5 Misura distanze - Antonino Di...

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Università degli Studi di Palermo Dipartimento di Rappresentazione Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio a.a. 2006-2007 Prof. V. Franco: Topografia e tecniche cartografiche Le misure di distanze vengono suddivise in: - misure dirette: un campione di lunghezza nota viene riportato lungo l’allineamento e si valuta quante volte il campione, o un suo sottomultiplo, è contenuto nella distanza da misurare; -misure indirette: vengono misurate direttamente delle grandezze (distanze ed angoli) legate da una relazione funzionale alla distanza da misurare, che viene quindi dedotta indirettamente; è ovvio che tra le grandezze da misurare deve sempre esserci almeno una lunghezza; -misure mediante onde: si sfruttano i principi della propagazione delle onde elettromagnetiche. E’ consuetudine indicare per le misure di distanze lo scarto quadratico medio non in valore assoluto ma relativo; per es., una misura di una distanza di 1 km effettuata con un s.q.m. di ± 1mm si indica con il valore relativo ±1x10 -6 (cioè 1mm/d = 1/1.000000 = 1x10 -6 ); la stessa distanza misurata con un s.q.m. di ±10mm si indica con il valore relativo di ±10 -5 ecc. Misura delle distanze

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Le misure di distanze vengono suddivise in:- misure dirette: un campione di lunghezza nota viene riportato lungo l’allineamento e si valuta quante volte il campione, o un suo sottomultiplo, è contenuto nella distanza da misurare;-misure indirette: vengono misurate direttamente delle grandezze (distanze ed angoli) legate da una relazione funzionale alla distanza da misurare, che viene quindi dedotta indirettamente; è ovvio che tra le grandezze da misurare deve sempre esserci almeno una lunghezza;-misure mediante onde: si sfruttano i principi della propagazione delle onde elettromagnetiche.E’ consuetudine indicare per le misure di distanze lo scarto quadratico medio non in valore assoluto ma relativo; per es., una misura di una distanza di 1 km effettuata con un s.q.m. di ± 1mm si indica con il valore relativo ±1x10-6 (cioè 1mm/d = 1/1.000000 = 1x10-6); la stessa distanza misurata con un s.q.m. di ±10mm si indica con il valore relativo di ±10-5 ecc.

Misura delle distanze

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� Metodi diretti

� Metodi indiretti

� Metodi che utilizzano

onde e.m.

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he Metodi diretti

• Apparati ad aste (Bessel) o a fili in invar (Jäderin)

• Nastri di acciaio

• Triplometri

• Nastri metrici usuali (rollina)

D = ———— ; D1 - D2 ≤ tD ; tD = ± (p √ D + q D)

p = 0.015 ÷ 0.025 (errori acc.), q = 0.0008 (errori sist.)

D1 + D2

2

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Apparato di Jäderin

mD = ± 0.5 ÷ 1 mm (1 km)

eD = mD / D ≅ 10-6

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he Nastri di acciaio

mD = ± 1 ÷ 2 cm (1 km)

mD / D ≅ 10-5

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he Triplometri

mD = ± 1 ÷ 5 cm (100 m)

mD / D ≅ 10-4

Metodo della coltellazione

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Rollina

mD = ± 5 ÷ 10 cm (100 m)

mD / D ≅ 10-3

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Metodi indiretti

Col termine misura indiretta di una distanza di solito in topografia si intende una misura eseguita con un teodolite ed una mira graduata detta stadia (nella sua veste più semplice la stadia è un’asta di legno graduata in centimetri e lunga 2,3 o 4 m).Il procedimento, molto usato in topografia fino all’avvento dei distanziometri ad onde, si basa essenzialmente sulla misura di una grandezza lineare sulla stadia e sulla misura di un determinato angolo con il teodolite.L’angolo misurato è quello sotto cui si vede il tratto di stadia e viene indicato con il nome di angolo parallattico (in figura 2ω).Il procedimento si articola in vari metodi di misura, più o meno precisi, a seconda dei procedimenti che si usano: si hanno cosìmetodi ad angolo parallattico variabile o costante se tale angolo varia o meno al variare della distanza e metodi a stadia verticale o orizzontale in funzione di come è posizionata la stadia.

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Analizzeremo solo il metodo ad angolo parallattico costante e stadia verticale (ancora usato).

−=−=

2

2

2

2

2

4

tan1cos

4cos

CKH

C

HsenKHD

αα

αα

Trascurando il secondo termine tra parentesi in quanto molto piccolo si ottiene la formula finale della distanza:

α2cosKHD =

Se invece dell’angolo d’altezza α è nota la distanza zenitale z la formula assume la forma:

zKHsenD2=

Con riferimento a semplici concetti di ottica geometrica e di trigonometria si dimostra facilmente che:

Ovviamente per asse di collimazione orizzontale (sen2z=1) si ha: D=KH

D

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In figura sono riportati due esempi di stadie di 4 m di altezza per cannocchiali ad immagine dritta; l'unica differenza tra le due consiste nel materiale essendo in alluminio quella di sinistra, mentre in legno quella di destra.Si può notare la graduazione centimetrica ed un'altra particolaritàche hanno tutte le stadie: il numero scritto nel campo del decimetro. Tale numero indica il numero di decimetri da terra, cioè dallo zero, ed è di notevole utilità per determinare la lettura in quanto nel campo dell'obbiettivo del cannocchiale si vedrà solo una porzione molto limitata di stadia.

La stadia

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Le letture alla stadia in corrispondenza di ogni filo del reticolo si faranno leggendo direttamente le prime due cifre, che rappresentano il numero di decimetri, poi contando le tacche che individuano il numero di centimetri ed infine stimando all'interno del tratto centimetrico il millimetro; si daranno quindi quattro cifre le prime tre lette, l'ultima stimata. Nell'esempio le letture che si faranno sono:

filo inferiore 1333filo medio 1402 � 1402=(1333+1471)/2filo superiore 1471

La lettura al filo medio non è necessaria per la determinazione della distanza ma viene spesso eseguita per un controllo in quanto dovrebbe rappresentare la media delle letture ai due fili inferiore e superiore: esatta, se si lavora a cannocchiale orizzontale, approssimata, se si lavora a cannocchiale inclinato.Tale lettura è inoltre necessaria quando si vuole determinare il dislivello tra il punto di stazione ed il punto in cui è posta la stadia, come si vedràin seguito.

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D = K H = K (l2 - l1)

K = costante strumentale = 100; H = l2 – l1 = intervallo di stadia

Applicando la legge di propagazione della varianza , si ha:222

HD mKm = 2lH mm = 2lD mKm ⋅=

L’errore medio mD dipende da ml (errore medio di lettura) che vale:

I

uDaml

2=

Si ha quindi sostituendo tale espressione nella (1):

(1)

DI

uaKmD ⋅=

22 a = 0.04 - 0.08; u (unità di stadia) = 10 mm; D = distanza in metri;

[ ]mm

L’errore quadratico medio mD risulta quindi proporzionale alla radice quadrata della distanza. Per a = 0.06, u = 10 mm e I = 24X (valori medi) si ha:

DmD 10≅ Per D = 100 m si ha: cmmmmD 1010010010 ==≅

E.q.m. nella misura indiretta di una distanza con distanziometro a fili e asse di collimazione orizzontale

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zKHsenD2=

E.q.m. nella misura indiretta di una distanza con distanziometro a fili e asse di collimazione inclinato

In questo caso la distanza è una funzione non lineare delle grandezze H e z. Applicando la legge di propagazione della varianza si ha:

2

2

2

2

2

zHDm

z

Dm

H

Dm

∂+

∂=

Per la legge di indipendenza delle piccole cause d’errore possiamo esaminare termine a termine tale espressione ottenendo per D=100m, z=60° e mz=1’:

m’D= 2D cotgz mz = 3.6 cm circa; m”D= K sen2z mH = 7.5 cm circa

mD = m’D + m”D = 11 cm circa

Per valutare l’e.q.m. da cui può essere affetta la misura di una distanza eseguita con tale metodo si può utilizzare la formula già vista nel caso D=KH, e cioè:

DmD 10≅

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2

2

2

2

2

zHDm

z

Dm

H

Dm

∂+

∂=Analizzando l’espressione

sempre con la legge di indipendenza delle piccole cause d’errore, possono farsi alcune considerazioni:

HDHDzmKsenmm

H

Dm

22

2

2; =

∂= se x e : il 2° termine per H si ha:

HHDm

H

Dm

H

zKHsenm ==

2

H

m

D

mHD =

L’errore relativo nella misura della distanza è uguale all’errore relativo commesso nella lettura alla stadia. Se si considera un errore relativo di 1/1000 per la distanza, deve essere anche mH/H = 1/1000. Cioè, per un intervallo di stadia di 1 metro l’errore deve essere al più di 1 mm.

Ciò si verifica per D=100m; infatti per tale valore e per K=100 si ha:

D=KH H=D/K=100m/100=1m e quindi: mmmHD

mm D

H11

1000

1=⋅=⋅=

1a considerazione

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2

2

2

2

2

zHDm

z

Dm

H

Dm

∂+

∂=

zDzDzmKHsenzmm

z

Dm cos2;

2

2

2 =

∂= se x e : il 2° membro per senz si ha:

zzDgzmDm

senz

zzKHsenm cot2

cos2

2 ==

mD/D= 2cotgzmz mz=mD/2Dtgz

e quindi:

Se si desidera un errore relativo sulla distanza di 1/1000, per z=60°sarà:

'3"173"000.2002000

732.1

"1

1

2000

60≅≅⋅≅⋅

°=

arc

tgm

z

Una lettura al cerchio verticale eseguita con l’approssimazione di alcuni primi non induce un errore temibile sulla distanza.

2a considerazione

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HH’Rifrazione differenziale

Conviene scegliere le ore piùidonee della giornata e comunque battere la stadia sempre al di sopra dei 50-60 centimetri da terra

H0

m0

n0

H

m

n

D0

D = KH D0 = KH0

D - D0 = K(H –H0)

Si dimostra che:

vnm

DD ⋅+

−=−2

0

Per D=100m, m=2m, n=1m, v=3° si ha: mD 08,10030175,05,11000

≅⋅⋅+=

cmmDD 808,00

=≅− (errore assoluto); 310

1000

1 −=≅ (errore relativo)

Se si desidera un errore relativo pari a 1/1000, è buona norma dotare la stadia di livelle che garantiscano un errore di verticalità < 3°.

Agli stessi risultati si giunge anche se si misura la distanza con asse di collima-zione inclinato (D=KHsen2z).

v

Errore di verticalità della stadia