Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni Pb Pbcollisioni Pb Pb

Parte 1:Parte 1:Molteplicità di particelle non Molteplicità di particelle non

identificateidentificate

3

Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni di ionicollisioni di ioni

Molteplicità = numero di particelle prodotte in una collisione

La molteplicità in collisioni nucleari contiene informazioni su: Entropia del sistema creato nella collisione

Come l’energia iniziale disponibile nella collisione viene ridistribuita per produrre particelle nello stato finale.

Densità di energia nello stato iniziale (formula di Bjorken) Meccanismi di produzione delle particelle Geometria (centralità) della collisione

Quindi, si possono ottenere informazioni importanti sulla collisione “semplicemente” contando il numero di particelle prodotte Analisi che non richiede identificazione di particelle, quindi viene

normalmente effettuata nei primi giorni di presa dati A RHIC il primo articolo è apparso 7 giorni dopo aver acceso il fascio

4

E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?

In collisioni PbPb centrali all’SPS si creano più di 1000 particelle !!!

5

E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?

In collisioni AuAu centrali alla massima energia RHIC si creano circa 5000 particelle !!!

6

Molteplicità e detector designMolteplicità e detector designIl numero di particelle prodotte nella collisione è un parametro importante per progettare esperimenti con ioni L’ “occupazione” di un rivelatore (es. la frazione di pixel in cui

passa una particella) è legata alla densità di particelle (es. il numero di particelle per cm2 sul sensore) e quindi alla molteplicità

Il danneggiamento da radiazione è legato al numero di particelle che attraversano il volume del rivelatore o dell’elettronica

Al momento della progettazione di ALICE all’LHC i dati sulle molteplicità a RHIC non erano disponibili ALICE è stato progettato sulla base delle molteplicità date da

simulazioni Monte Carlo delle collisioni PbPbI valori di dN/dy attesi a midrapidity variavano tra 2000 e 8000 particelle per

unità di rapidità a seconda del modello di produzione di particelle implementato in un particolare Monte Carlo

I rivelatori di ALICE sono stati progettati per avere buone performances fino a valori di densità di particelle dN/dy = 8000

7

Molteplicità e centralitàMolteplicità e centralitàIl numero di particelle prodotte è legato alla centralità (parametro di impatto) della collisione

Le collisioni di nuclei sono descritte come sovrapposizione di collisioni elementari tra i nucleoni (es. modello di Glauber)

Il numero di collisioni tra nucleoni ( Ncoll ) e il numero di nucleoni partecipanti ( Npart ) dipendono dal parametro di impatto b

Ogni collisione/partecipante contribuisce alla produzione di particelle e quindi alla molteplicità

8

Produzione di particelle - HardProduzione di particelle - HardProcessi Hard =

processi ad alto momento trasferito piccole distanze Interazioni a livello partonico La produzione di particelle avviene su scale di tempi brevi La costante di accoppiamento è piccola, quindi sono calcolabili

con tecniche perturbative (pQCD)Sono processi rari (con piccola sezione d’urto hard)

Scalano con il numero di collisioni

collhard

ABhard

ABhard

ABABhard

hardAB

N

bABT

bTAB

bTbp

)(

)(11

)(11)(

9

Produzione di particelle - SoftProduzione di particelle - SoftProcessi Soft =

processi a basso momento trasferito grandi distanze Non sono in grado di risolvere la struttura partonica dei

nucleoni La costante di accoppiamento è grande, l’approccio

perturbativo non funziona richiedono l’uso di modelli fenomenologici non perturbativi

99.5% soft

Il 99.5% (“bulk”) degli adroni prodotti è soft (pT< 1 GeV)

La molteplicità di particelle prodotte in processi soft è prevista scalare con il numero di partecipanti Wounded nucleon model

10

Wounded nucleon model (I)Wounded nucleon model (I)Basato sull’osservazione sperimentale (inizio anni ’70) che le molteplicità misurate in collisioni protone-nucleo scalano come:

v è il numero medio di collisioni elementari tra nucleoni (=Ncoll)

Quindi:

2

1

2

1

ppch

pAch

N

NR

pppart

pApart

pAcollpA

collppch

pAch

N

NNN

N

NR

2

1

2

1

2

1

ricordando che in pp: Npart = 2 e in pA: Npart= Ncoll+1

11

Wounded nucleon model (II)Wounded nucleon model (II)Motivazione: la molteplicità “soft” è prevista scalare con Npart perché si assume che la produzione di particelle soft avvenga in questo modo: Un nucleone quando subisce una collisione passa in uno stato

eccitato a vita media lunga Le eventuali collisioni successive non alterano significativamente

questo “baryon-like object” La lunga vita media e la dilatazione lorentziana dei tempi fanno sì

che il “baryon-like object” attraversi tutto il nucleo bersaglio prima di decadere

In altre parole, il tempo di formazione ( = ħ/E ) delle particelle soft è sufficientemente lungo che la loro materializzazione avviene fuori dal nucleo

La produzione di particelle soft quindi: Avviene al di fuori dei nuclei collidenti E’ indipendente dal numero di collisioni subite da ciascun

nucleone Dipende solo dal numero di nucleoni che hanno subito almeno

una collisione passando in uno stato eccitato, cioè da Npart

12

Misurare la molteplicitàMisurare la molteplicitàSperimentalmente si misura la molteplicità di: particelle cariche (ionizzanti) particelle in una certa regione spaziale coperta dai rivelatori

(accettanza)Problema: è difficile confrontare risultati di esperimenti con accettanze diverse

Per questo motivo, le molteplicità vengono comunemente espresse in termini di densità di particelle cariche in un certo intervallo di angolo polare Normalmente si usa il numero di particelle cariche in un’unità di

(pseudo)rapidità intorno a midrapidity: Nch(||<0.5) o Nch(|y|<0,5)

Inoltre, le distribuzioni dN/d (dN/dy) contengono altre informazioni sulla dinamica dell’interazione

La pseudorapidità è più facilmente accessibile sperimentalmente perché richiede di misurare una sola quantità (l’angolo ) e non richiede identificazione di particelle e misura di momenti

Distribuzioni dN/dDistribuzioni dN/d e dN/dy e dN/dy

14

Rapidità a RHIC (collider)Rapidità a RHIC (collider)Prima della collisione: pBEAM=100 GeV/c per nucleone EBEAM=(mp

2+pBEAM2)=100.0044 per

nucleone =0.999956, BEAM≈100

Dopo la collisione: I nucleoni del proiettile e del bersaglio (in

verde) sono rallentati e si trovano a valori di y (e di e di ) più bassi di quelli iniziali

Le particelle prodotte (in rosso) sono distribuite nella regione cinematica compresa tra le rapidità iniziali di proiettile e bersaglio

La massima densità è nella regione di rapidità centrale (midrapidity) :0

2

TARGETPROJ

MID

yyy

8.10

36.51

1ln

2

1ln

2

1

TARGETPROJ

BEAMBEAM

BEAMBEAMTARGETPROJ

yyy

pE

pEyy

15

Rapidità a SPS (targhetta fissa)Rapidità a SPS (targhetta fissa)Prima della collisione: pBEAM=158 GeV/c , =0.999982

pTARGET=0 , TARGET=0

Midrapidity

La distribuzione dN/dy nel sistema del centro di massa si ottiene da quella misurata nel laboratorio con una traslazione y’ = y - yMID

La distribuzione dN/d invece non ha questa proprietà

82.5

01ln2

1

82.51

1ln

2

1ln

2

1

TARGETPROJ

TARGET

BEAMBEAM

BEAMBEAMPROJ

yyy

y

pE

pEy

91.22

PROJMID

yy

16

PseudorapiditàPseudorapiditàRegione di midrapidity Particelle con pT>pL prodotte

ad angoli intorno a 90°

Formula di Bjorken per stimare la densità di energia nel caso in cui ci sia un plateau a midrapidity invariante per boost di Lorentz

pL>>pT pL>>pT

pT = pL

= 45 (135) degrees = ±0.88

pT>pL

Regioni di frammentazione Particelle con pL>>pT

prodotte nella frammentazione dei nuclei collidenti ad angoli intorno a 0° e 180°

0

yf

TBJ dy

dN

Ac

m

17

Collisioni PbPb all’SPSCollisioni PbPb all’SPSPb-Pb at 40 GeV/c (√s=8.77 GeV) Pb-Pb at 158 GeV/c (√s=17.2 GeV)

La posizione del picco si

sposta (midrapidity = ybeam/2 )La densità di particelle al picco

aumenta con l’energia

centrali

periferiche

18

Collisioni AuAu a RHICCollisioni AuAu a RHIC

centrali

centrali

perifericheperiferiche

energia s

19

Molteplicità per coppia di Molteplicità per coppia di partecipantipartecipanti

Si introducono le variabili:

che sono la densità di particelle a mid-rapidity e la molteplicità totale per coppia di partecipanti

Motivazione Semplice verifica dello scaling con Npart

Se la produzione di particelle scala come Npart , queste variabili (o una delle due) devono mostrare un andamento piatto in funzione della centralità della collisione

Semplice confronto con le collisioni pp in cui Npart=2

2/

/0

partN

ddN

dd

dNNcon

N

Nch

part

ch

2/

20

Dipendenza dalla centralitàDipendenza dalla centralitàdN/d a midrapidity La densità per coppia di

partecipanti cresce di ≈25% dalle collisioni AuAu periferiche a quelle centrali

Molteplicità totale Nch proporzionale a Npart

Nch per coppia di partecipanti diverso rispetto a collisioni pp

21

DipendenzaDipendenza da da ss

Molteplicità totale Andamento diverso in

collisioni pp e AA Estrapolazione per LHC

(s=5.5 TeV) Nch ≈ 25000-30000

dN/d a midrapidity dN/d in collisioni centrali di

ioni pesanti cresce come ln s Andamento diverso in collisioni

pp e AA Estrapolazione a LHC (s=5.5

TeV) dN/d|=0 ≈ 1100-1500

22

ConclusioniConclusioniDalla misura della molteplicità delle particelle cariche (non identificate) e della loro distribuzione in pseudorapidità (=angolo polare) si impara che: La produzione di particelle segue semplici leggi di scaling al variare

della centralità e dell’energiaLa molteplicità totale scala come Npart produzione di particelle dominata da processi soft

La densità di particelle dN/d a midrapidity cresce come il logaritmo di s

Se si usa la formula di Bjorken per calcolare la densità di energia partendo dalle dN/dy (dN/d) misurate alla massima energia di RHIC si ottengono valori di:

ben al di sopra della densità critica (c≈1 GeV/fm3) previsti dalla lattice QCD per la transizione di fase

1.12

3700

fm145

/GeV6.0

02

2

00

c

c

dy

dN

Ac

m

y

TBJ

≈15 GeV/fm3 (0= 0.35 fm/c)

≈5 GeV/fm3 (0= 1 fm/c)

Parte 2:Parte 2:Molteplicità delle varie specie Molteplicità delle varie specie

adronicheadroniche

24

IntroduzioneIntroduzioneLa misura delle molteplicità di particelle della varie specie adroniche (= quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni …), cioè della composizione chimica dopo l’adronizzazione, permette di rispondere ad alcune domande sullo stato del sistema al momento del chemical freeze-out La fireball era in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out ?

Qual era la temperatura Tch al momento del chemical freeze-out?

Qual era il contenuto barionico della fireball

Note: Equilibrio termico:

a livello macroscopico: temperatura T della fireball definita e uniforme

a livello microscopico: distribuzione di velocità delle particelle descritta da una distribuzione tipo Maxwell-Boltzmann con un unico parametro, la temperatura T

Equilibrio chimico:a livello macroscopico: densità ni delle varie specie di particelle uniformi all’interno della

fireball

a livello microscopico: molteplicità di particelle delle varie specie adroniche dipende solo dalle masse e dalla temperatura

25

Molteplicità di particelle identificate (I)Molteplicità di particelle identificate (I)

Pioni vs protoni A basse energie (s<5

GeV) la fireball è dominata dai nucleoni che provengono dai nuclei collidenti (alto stopping power)

I pioni (prodotti nell’interazione) dominano per alte energie (s>5 GeV)

La diminuzione dell’abbondanza di protoni la crescere di s indica un aumento della trasparenza dei nuclei collidenti al crescere dell’energia

26

Molteplicità di particelle identificate (II)Molteplicità di particelle identificate (II)

Pioni Sono i più abbondanti

tra gli adroni prodotti (perché sono quelli con massa minore e soglia di produzione più bassa)

La differenza tra le abbondanze di + e - a basse energie è dovuta alla conservazione dell’isospinL’alto stopping power che si

ha a basse energie forma una fireball dominata dai nucleoni dei nuclei collidenti eccesso di neutroni (N > Z per i nuclei pesanti) isospin totale negativo

27

Molteplicità di particelle identificate (III)Molteplicità di particelle identificate (III)

Antiprotoni Sono particelle

prodotte nella collisioneDiversamente dai protoni

per i quali nella fireball ci sono sia quelli prodotti sia quelli “stoppati” dai nuclei collidenti

Forte dipendenza da s (onset of production) alle energie SPS

Alle energie di RHIC il numero di antiprotoni è ≈ a quello di protoniNet-protons ≈ 0Il numero di protoni

“stoppati” dai nuclei collidenti è piccolo

28

Molteplicità di particelle identificate (IV)Molteplicità di particelle identificate (IV)

Kaoni (e iperoni ) Il numero maggiore di

K+ e rispetto alle rispettive particelle (K- e bar) a basse energie è dovuto al contenuto di quark di questi adroniIl K+ (u+anti-s) e la

(u+d+s) richiedono solo la produzione del quark strano, mentre i quark leggeri sono presenti nei nucleoni stoppati

Il K- (anti-u+s) e la bar richiedono invece la produzione di 2 o 3 quark nuovi

Produzione associata di K+ e (coppie s anti-s)

29

Molteplicità di particelle identificate (V)Molteplicità di particelle identificate (V)

Kaoni (e iperoni ) La differenza tra K+ e

K- (e tra L e Lbar) diminuisce al crescere di s perché con il diminuire dello stopping power diminuisce il peso dei quark “stoppati” rispetto a quelli “prodotti”

Le abbondanze di bar e di antiprotoni (entrambi formati da 3 quark “prodotti” e con masse simili) sono molto simili

30

Molteplicità di particelle identificate (VI)Molteplicità di particelle identificate (VI)

Conclusioni Basso s (< 5 GeV):

fireball dominata dalle particelle stoppate

Alto contenuto barionico

Importanza dell’isospin e dei quark “stoppati” dai nuclei collidenti

Alto s (> 20 GeV):Fireball dominata dalle

particelle prodotte

Basso contenuto barionico

Gerarchia in massa ( N > NK > Np )

Modelli statistici di Modelli statistici di adronizzazioneadronizzazione

32

Modelli statistici: assunzioni di baseModelli statistici: assunzioni di baseIl sistema (fireball) creato in una collisione di ioni pesanti si trova in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out chimico Si può scrivere una funzione di partizione del sistema e usare la

meccanica statisticaIdea originale: Fermi (1950s), Hagedorn (1960s): la produzione di adroni in

sistemi eccitati avviene secondo una legge puramente statistica

Per collisioni di ioni si usa l’ensemble grande canonico

Il sistema adronico è descritto come un gas ideale di adroni e risonanze ideale = non interagenti

33

Modelli statistici: noteModelli statistici: noteL’equilibrio termico e chimico è POSTULATO come ipotesi di lavoro Con questa assunzione si può prevedere la molteplicità di

adroni delle varie specie (quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni…) che si fissano al momento del freeze-out chimico del sistema

Dal confronto delle molteplicità previste con quelle misurate sperimentalmente si può verificare la validità dell’ipotesi di equilibrio chimico e termico

Non si fanno assunzioni sulla presenza o assenza di una fase partonica

Non si dice niente su COME e QUANDO il sistema raggiunge l’equilibrio chimico e termico Però: se si forma un sistema partonico in equilibrio chimico e

termico (= il QGP) a un tempo QGP, ci si aspetta che l’equilibrio venga mantenuto nella successiva evoluzione della fireball fino al freeze-out e che quindi il sistema sia in equilibrio al momento dell’adronizzazione

34

Perché ensemble gran-canonico?Perché ensemble gran-canonico?I calcoli sono più semplici perché l’energia e le cariche sono conservate “in media” su un volume grande (e non esattamente e localmente come in un sistema canonico) E’ una buona approssimazione per un sistema di molte particelle

La “slice” di fireball a midrapidity (quella di cui si misurano le abbondanze di particelle) è un sistema che scambia particelle e energia con un “serbatoio” esterno ( = le altre particelle prodotte nella collisione)Per sistemi più piccoli (cioè collisioni di ioni a basse energie, collisioni periferiche o collisioni elementari pp e e+e-) si deve usare: l’ensemble canonico

in cui l’energia è conservata “in media” nel sistema mentre le cariche sono conservate esattamente e localmente

l’ensemble microcanonicoin cui energia e cariche sono conservate esattamente

35

Gas di adroni e risonanzeGas di adroni e risonanze

Nei modelli statistici di adronizzazione si usa solitamente un gas di adroni e risonanze non interagenti che contiene i contributi di: Tutti i mesoni noti con masse <≈ 1.8 GeV Tutti i barioni noti con masse <≈ 2 GeV

In questo range di massa:

Lo spettro adronico e’ ben conosciuto e misurato con precisione

Le catene di decadimento delle particelle e delle risonanze sono noti

I limiti di massa limitano la validità del modello a temperature T<190 MeV circa. Per temperature superiori il contributo di risonanze più pesanti non è più trascurabile In ogni caso, al di sopra della temperatura critica per la

transizione di fase (≈160-200 MeV) non avrebbe senso parlare di gas di adroni

36

Perché gas di adroni e risonanze?Perché gas di adroni e risonanze?Per densità e temperature non troppo alte contiene tutti i gradi di libertà di un sistema confinato e fortemente interagente Le interazioni che portano alla formazione di risonanze sono

incluse implicitamente nell’hamiltoniana (Hagedorn) Si approssima un gas di adroni che interagiscono tra loro

scambiandosi delle risonanze con un gas di adroni e risonanze che non interagiscono

E’ consistente con l’equazione di stato che risulta da calcoli di QCD su reticolo al di sotto della temperatura critica

Quindi: il gas di adroni e risonanze è un “modello effettivo” di un sistema fortemente interagente

37

Ensemble gran canonicoEnsemble gran canonico

La funzione di partizione per il caso di gas non interagente è data dal prodotto delle funzioni di partizione (indipendenti tra loro) delle varie specie adroniche:

Dove l’indice i indica la specie adronica (pione, kaone, protone …)

T è la temperatura e V il volume del sistema

i è il potenziale chimico che garantisce la conservazione in media del numero di particelle di specie i

Può essere diverso per le varie specie adroniche: ad esempio la conservazione del numero barionico influisce sui protoni, ma non sui pioni

Passando ai logaritmi

i

iGCi

GC VTZVTZ ),,(),,(

i

iGCi

GC VTZVTZ ),,(ln),,(ln

38

Potenziale chimico Potenziale chimico Il potenziale chimico è il parametro che nell’ensemble gran-canonico garantisce la conservazione “in media” delle cariche ed è dato da:

Qj sono le cariche (numeri quantici) conservate

Qj sono i potenziali chimici che garantiscono che le cariche Qi siano conservate “in media” nell’intero sistema

= energia necessaria per aggiungere al sistema una particella con numeri quantici Qj

In un gas adronico (=governato da interazioni forti) limitato a masse <1.8 GeV (= senza charm, bottom e top) ci sono 3 cariche conservate: Carica elettrica Q (o terza componente I3 dell’isospin)

Numero barionico B Stranezza S

Quindi per una particella di specie i con isospin I3i, numero barionico Bi e stranezza Si si ha:

j

jQ Qj

iSiBiIi SBI 33

39

Statistiche quantistiche (I)Statistiche quantistiche (I)Funzione di partizione gran-canonica:

s sono gli stati del sistema di particelle identiche di specie i l’energia e il numero di particelle dipendono dallo stato (Es e Ns) =1/T (se T è misurata in MeV)

Per un sistema quantistico: Lo stato |s> è definito dai numeri di occupazione degli stati |>

di particella singola ( es. : |s> = |1,0,0,3,5…> = |n1, n2, n3 … > = |{n

(s)}> ) Il numero di particelle e l’energia dello stato s sono dati da:

sono gli autostati (di energia E) dell’hamiltoniana di particella singola (= livelli energetici con degenerazione di spin)

s

NEi

GCi

siseVTZ )(),,(

EnEnN ss

ss

)()(

40

Statistiche quantistiche (II)Statistiche quantistiche (II)Inseriamo Es e Ns nella funzione di partizione:

Usiamo le proprietà dell’esponenziale: ex+y=ex·ey e exy=(ex)y

avendo definito:

Esplicitando sommatorie e produttorie:

)(

)()()( )()(

),,(s

si

si

s

n

nE

s

nEn

iGCi eeVTZ

)(

)(

)(

)()(),,(s

s

s

si

n

n

n

nEi

GCi XeVTZ

)( iEeX

n

n

n

n

n

n

n n

nni

GCi XXXXXVTZ )(......),,(

2

2

1

1

1 2

212121...

41

Statistica di Fermi-DiracStatistica di Fermi-Dirac

Vale il principio di esclusione di Pauli: il numero di occupazione per uno stato di particella singola puo’ essere solo 0 o 1

ricordando che si era definito:

)(1

0

11)(),,( iE

n

ni

GCi eXXVTZ

)( iEeX

42

Statistica di Bose-EinsteinStatistica di Bose-EinsteinIl numero di occupazione per uno stato di particella singola puo’ assumere qualunque valore intero n = 0, 1, 2, 3, …

ricordando che si era definito:

1)(

0

11

1)(),,( iE

n

ni

GCi e

XXVTZ

Nota: la somma della serie geometrica xn converge a 1/(1-x) solo nel caso in cui x < 1, che nel nostro caso si traduce in un vincolo su i:

0)( 0)(1 EEEe iii

E i

)( iEeX

43

Funzione di partizione gran canonicaFunzione di partizione gran canonicaLa funzione di partizione per l’i-esima specie adronica si può quindi scrivere come:

gas ideale di particelle identiche (gas di Bose o gas di Fermi) il + vale per i fermioni e il – per i bosoni

sono gli autostati (di energia E) dell’hamiltoniana di particella singola

= livelli energetici con degenerazione di spin

Passando al logaritmo:

1)(1),,( iE

iGCi eVTZ

44

Funzione di partizione gran canonicaFunzione di partizione gran canonicaLimite macroscopico: dalla somma sugli stati di particella singola si passa all’integrale sui momenti:

dove gi=2s+1 è il fattore di degenerazione di spin

Sostituendo nell’espressione di lnZGC si ricava (ħ=c=1):

Dove si è introdotta la fugacità i definita come:

0

22

0

)(22

1ln2

1ln2

),,(ln

Ei

i

Eii

GCi

edppVg

edppVg

VTZ i

iei

dppgh

Vdpps

h

Vpds

h

Vi

23

23

33

44)12()12(

45

Densità di particelleDensità di particelleLa densità ni di particelle di specie i si ricava come:

in cui Ni è il numero totale di particelle di specie i nel sistema

Sostituendo l’espressione della funzione di partizione si ricava:

che sono le distribuzioni di Fermi-Dirac (+) e di Bose-Einstein (-)

i

GCii

iZT

VV

Nn

)ln(1

0 )(

2

2

0

)()(

22

0

)(22

12

)(1

1

2

1ln2

),(

i

i

i

i

Ei

EE

i

E

i

iii

e

dppg

ee

dppTg

edppTg

Tn

46

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (I)partizione (I)

L’espressione analitica della molteplicita’ Ni di adroni di specie i si ottiene integrando la funzione di partizione

Sviluppando il logaritmo in serie di Taylor si ottiene:

Nota: lo sviluppo di Taylor si può fare se:

0

2

12

01

22

0

22

)1(

2

)1(

2

1ln2

),,(ln

dpepk

Vg

ek

dppVg

edppVg

VTZ

Ek

k

ki

ki

k

kEki

ki

Ei

ii

GCi

Eeee iEE

ii 1

47

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (II)partizione (II)

Integrando per parti si arriva a:

ricordando che:

10

3

2

0

3

0

3

12

0

2

12

)(3

)1(

2

)(33

)1(

2

)1(

2),,(ln

k

Ekki

ki

EkEk

k

ki

ki

Ek

k

ki

ki

iGCi

E

pke

pdp

k

Vg

dp

dEke

pdpe

p

k

Vg

dpepk

VgVTZ

E

pp

mpmp

dp

d

dp

dEmpE

i

ii

)2(2

1

22

2222

48

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (III)partizione (III)

Cambiando variabile di integrazione (da p a E) si ha:

ricordando che:

1

2/322

2

1

322

2

10

3

2

)(3

)1(

2

)(3

)1(

2

)(3

)1(

2),,(ln

km

Ekiki

ki

km

Eki

ki

ki

k

Ekki

ki

iGCi

i

i

kemE

dEk

Vg

E

pke

mE

dEp

E

k

Vg

E

pke

pdp

k

VgVTZ

i

i

mEp

dpE

pdEmpE

0

22

49

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (IV)partizione (IV)

Introducendo la variabile x=kE si ha:

1222

2/322222

2

133

2/32222

2

133

2/3222222

2

1

2/322

2

3

)1(

2

3

)1(

2

3)(

)1(

2

)(3

)1(

2),,(ln

kmk

x

i

iiki

ki

kmk

xiki

ki

kmk

Ekiki

ki

km

Ekiki

ki

iGCi

i

i

i

i

emk

mkxdx

k

m

k

Vg

ek

mkxdx

k

Vg

ek

mkEkEkd

k

Vg

kemE

dEk

VgVTZ

50

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (V)partizione (V)

Introducendo w=kmi si riscrive come:

1

2/3

2

22

22

12

2/3

2

23

2

22

12

2/3222

22

1222

2/322222

2

13

1)1(

2

3

1)1(

2

3

)1(

2

3

)1(

2),,(ln

kw

xiki

ki

kw

xiki

ki

kw

xiki

ki

kmk

x

i

iiki

ki

iGCi

ew

xdxw

m

k

Vg

ew

w

xw

dxm

k

Vg

ew

wxdx

m

k

Vg

emk

mkxdx

k

m

k

VgVTZ

i

51

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VI)partizione (VI)

Introducendo y=x/w si ricava:

Il termine tra parentesi quadre coincide con la seguente rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel modificate:

11

2/3222

2

11

2/322

2

1

2/3

2

22

22

13

1)1(

2

13

1)1(

2

13

1)1(

2),,(ln

k

wyiki

ki

k

wyiki

ki

kw

xiki

ki

iGCi

eydywk

m

k

Vg

eywdywk

m

k

Vg

ew

xdxw

m

k

VgVTZ

1

2/12

2

11

2!)()( tyn

n

n eydyt

ntK

52

Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VII)partizione (VII)

Ri-sostituendo w=kmi e 1/T si conclude:

12

222

12

2

22

12

2

22

11

2/3222

2

)1(

2

)()1(

2

)()1(

2

13

1)1(

2),,(ln

k

ii

ki

ki

ki

iki

ki

k

iki

ki

k

wyiki

ki

iGCi

T

kmKm

k

TVg

mkKm

k

Vg

wKm

k

Vg

eydywk

m

k

VgVTZ

53

Densità di particelle di specie iDensità di particelle di specie i

La densità ni di particelle di specie i si ricava come:

12

22

12

222

2

12

222

2

)1(

2

)1(

2

)1(

2

)ln(1),,(),(

k

ii

ki

ki

k

ii

T

k

i

ki

k

ii

i

ki

ki

i

GCiii

ii

T

kmKm

k

Tg

T

kmKme

k

Tg

T

kmKm

k

Tg

ZT

VV

VTNTn

i

54

Correzioni (I)Correzioni (I)Catene di decadimento Il numero delle particelle di specie i misurate (es. pioni) è dato

dalla produzione “thermal” (Ni) + il contributo dei decadimenti delle particelle a vita breve che non vengono misurate (ed es. le che decadono in pioni)

Ad alte temperature

e/o alti B, la molteplicità

degli adroni leggeri è

dominata dal contributo del

decadimento delle risonanze

j

THERMijiji

THERMii

MEASi VTNBRVTNVTN ),,(),,(),,(

n+

tota

l /

n+

the

rma

l

55

Correzioni (II)Correzioni (II)

Per alte densità di particelle (cioè alti T e/o B) bisogna inserire nella funzione di partizione le interazioni repulsive a piccole distanze che si osservano tra gli adroni Si introduce una repulsione “hard-core” di tipo Van der Waals

assegnando ad ogni adrone un volume

(“Excluded volume correction”)Il raggio R viene normalmente posto a 0.3 fm (che corrisponde al volume di

hard-core misurato in scattering nucleone-nucleone) per tutti i tipi di adrone

3

3

44 RVeigen

56

Correzioni (III)Correzioni (III)

Larghezza delle risonanze Si inserisce nella funzione di partizione un’ulteriore

integrazione sulla massa con una distribuzione Breit-Wigner

Fattore s (<1) di soppressione di stranezza Tiene conto del fatto che il quark strano per la sua massa

maggiore potrebbe non aver raggiunto l’equilibrio chimico. Per riprodurre i dati PbPb a SPS e AuAu a RHIC non c’è bisogno

di introdurre questo S, cioè S=1 che indica equilibrio chimico anche per le particelle strane)

Per sistemi con poche particelle (p-p e collisioni di nuclei a basse energie) si trova invece S<1

0 ))((

2

22

2

2 14/)(

1

2),(

ii mEii

i

BW

iii

e

dpp

mmdm

N

gTn

57

Parametri liberi del modelloParametri liberi del modello

Ci sono 5 parametri liberi: T, B, S, I3 e V La conoscenza di carica elettrica (=terza componente

dell’isospin), numero barionico e stranezza dello stato iniziale (= i protoni ZS e i neutroni NS “stoppati” dai nuclei collidenti) permette di fissare il volume della fireball V, e i potenziali chimici S e I3

Restano quindi 2 parametri liberi: T e B

12

22

)1(

2),,(),,(

k

ii

ki

ki

iiii T

kmKm

k

TVgVTnVVTN

33/ ,con IiSiBiiT

i ISBe i

023

i

iiSSi

iiSS

ii SnVNZBnV

NZInV

i

Fit alle abbondanze di Fit alle abbondanze di particelle misurateparticelle misurate

59

Fit ai rapporti di particelleFit ai rapporti di particellePerché usare i rapporti di particelle ? Si cancellano alcuni errori sistematici sulle misure sperimentali Si rimuove la dipendenza dal volume V (la cui determinazione

è affetta dall’incertezza sullo stopping power e sulla correzione di “excluded volume”) nei calcoli del modello teorico

Si ricavano i valori di T e B che minimizzano lo scarto tra i rapporti di di particelle previsti dal modello statistico e quelli misurati. Si minimizza una quantità 2 definita come:

Riexp e Ri

model sono i rapporti misurati sperimentalmente e quelli previsti dal modello

i è l’errore (statistico + sistematico) sui punti sperimentali

i2

2model.exp2

i

ii RR

60

Rapporti di particelle all’AGSRapporti di particelle all’AGSAuAu - Ebeam=10.7 GeV/nucleon - s=4.85 GeV

Minimum of 2 for: T=124±3 MeV B=537±10 MeV

2 contour lines

61

Rapporti di particelle all’SPSRapporti di particelle all’SPSPbPb - Ebeam=40 GeV/ nucleon - s=8.77 GeV

Minimum of 2 for: T=156±3 MeV B=403±18 MeV

2 contour lines

62

Rapporti di particelle a RHICRapporti di particelle a RHICAuAu - s=130 GeV

Minimum of 2 for: T=166±5 MeV B=38±11 MeV

2 contour lines

63

Fit alle molteplicitàFit alle molteplicitàSe si usano le molteplicità anziché i rapporti di particelle Un parametro libero (il volume V) in più Maggiori incertezze sistematiche (sia nel modello che nei dati)

T e B in accordo con i risultati dei fit ai rapporti, ma 2 peggiore

Freeze-out chimicoFreeze-out chimico

65

Parametri del modello termico vs. Parametri del modello termico vs. ssLa temperatura T aumenta rapidamente con s fino a raggiungere i 170 MeV (≈ temperatura critica per la transizione di fase) per s≈7-8 GeV e poi rimane costante

Il potenziale chimico B diminuisce al crescere di s in tutto il range di energia esplorato dall’AGS a RHIC

66

Freeze-out chimico sul diagramma Freeze-out chimico sul diagramma delle fasidelle fasi

I parametri del modello di adronizzazione statistica si possono rappresentare sul piano T, B

E’ interessante confrontarli con la linea prevista con calcoli di QCD sul reticolo per la transizione di fase (“phase boundary”) da materia adronica a QGP

67

Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase

Lattice-QCD Stat.Thermal Model

T

b

SPS

RHIC

T

b

SPS

RHIC

T

b

SPSRHIC

AGS

Caso 1: (T,B) molto al di sotto del “phase boundary ” Lunga fase adronica dopo la transizione di fase? Il sistema non raggiunge mai il “phase boundary” ?

Caso 2: (T,B) al di sopra del “phase boundary ” Errore nel modello di adronizzazione statistica

Cade l’ipotesi del gas di adroni e risonanze

Errore nel calcolo del “phase boundary” in Lattice QCD

Caso 3: (T,B) molto vicini al “phase boundary ” Rapido freeze-out chimico immediatamente dopo la

transizione di fase ? Gli adroni “nascono” in equilibrio termico e chimico ?

68

Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase

La linea della transizione di fase viene raggiunta alle energie SPS (s≈ 8-10 GeV)Per energie più alte il freeze-out chimico è molto vicino alla transizione di fase predetta dalla QCD sul reticolo

69

Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e freeze-out termicofreeze-out termico

Freeze out termico Cessano le interazioni

elastiche Si fissa la dinamica delle

particelle (“momentum spectra”)

Tfo (RHIC) ~ 110-130 MeV

Freeze-out chimico Cessano le interazioni

inelastiche Si fissano le abbondanze

delle particelle (“chemical composition”)

Tch (RHIC) ~ 170 MeV

70

ConclusioniConclusioniI modelli di adronizzazione statistica permettono di ricavare la temperatura T e il potenziale chimico barionico B della fireball al momento del chemical freeze-out a partire dai rapporti misurati tra le abbondanze delle varie specie adroniche L’accordo tra le abbondanze di particelle misurate e quelle

previste dal modello ci dice che il processo di adronizzazione avviene seguendo leggi statistiche (= massimizzazione dell’entropia) e che il sistema si trovava all’equilibrio chimico e termico al momento del freeze-out

La linea di freeze-out chimico raggiunge quella della transizione di fase calcolata con la QCD sul reticolo per energie s ≈ 8-10 GeV (nel range di energie dell’SPS) Indicazione per un freeze-out chimico immediatamente

successivo alla transizione di fase da QGP a gas di adroni ?

Tecniche sperimentaliTecniche sperimentali

72

Inner Tracking System (ITS)

Momentum, dE/dx

Time Projection Chamber (TPC)

momentum, dE/dx

Time of Flight (TOF)

Identificazione di particelle in ALICEIdentificazione di particelle in ALICE

73

Inner Tracking System (ITS)Inner Tracking System (ITS)

L= 97.6 cm

Silicon Pixel Detectors (2D)

Silicon Drift Detectors (2D)

Silicon Strip Detectors (1D)

R= 43.6 cm

Layer

Technology

Radius

(cm)

±z (cm)

Spatial resolution

(m)

r z

1 Pixel 4.0 14.1 12 100

2 Pixel 7.2 14.1 12 100

3 Drift 15.0 22.2 38 28

4 Drift 23.9 29.7 38 28

5 Strip 38.5 43.2 20 830

6 Strip 43.6 48.9 20 830

6 strati cilindrici di rivelatori al silicio Punti ricostruiti con alta

precisione spaziale vicino al vertice di interazione

Identificazione di particelle tramite dE/dx misurato nei layers di drift e strip

74

ITSITS

PIXELS

STRIPS

DR

IFTS

75

Time Projection Chamber (TPC)Time Projection Chamber (TPC)Principale rivelatore traccianteCaratteristiche: Rin 90 cm

Rext 250 cm

Length (active volume) 500 cm Pseudorapidity coverage: -0.9 < <

0.9 Azimuthal coverage: 2 # readout channels ≈560k Maximum drift time: 88 s Gas mixture: 90% Ne 10%

CO2

Fornisce Molti punti ricostruiti in 3D per ogni

traccia Identificazione delle particelle basata

sulla dE/dx

76

Identificazione attraverso dE/dxIdentificazione attraverso dE/dxdE/dx estratta dal segnale generato dalla particella nell’attraversare i rivelatori

Momento estratto dal raggio di curvatura della traccia nel campo magnetico B ][][3.0]/[ mRTBcGeVp

...ln1 2

2z

A

Z

dx

dE

77

Time Of FlightTime Of Flight

TOFMultigap Resistive Plate Chambers per l’identificazione di pioni, kaoni e

protoni basata sulla misura del tempo di volo (efficiente fino a pT≈2.5 GeV/c)

Caratteristiche: Rin 370 cm

Rext 399 cm

Length (active volume) 745 cm # readout channels ≈160k Pseudorapidity coverage: -0.9 < <

0.9 Azimuthal coverage: 2

Dalla misura del tempo di volo si calcola la massa come:

1111

2

22

2

L

tcppp

pm TOF