Produzione di particelle in collisioni di nuclei.
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Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni di nucleicollisioni di nuclei
Parte 1:Parte 1:Molteplicità di particelle non Molteplicità di particelle non
identificateidentificate
3
Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni di ionicollisioni di ioni
Molteplicità = numero di particelle prodotte in una collisione
La molteplicità in collisioni nucleari contiene informazioni su: Entropia del sistema creato nella collisione
Come l’energia iniziale disponibile nella collisione viene ridistribuita per produrre particelle nello stato finale.
Densità di energia nello stato iniziale (formula di Bjorken) Geometria (centralità) della collisione Meccanismi di produzione delle particelle
NOTA: in collisioni adroniche e nucleari la produzione di particelle è dominata da processi (non-perturbativi) a basso momento trasferito Molti modelli, ma manca una comprensione delle molteplicità basata
su principi primi
4
E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?
In collisioni PbPb centrali all’SPS si creano più di 1000 particelle !!!
5
E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?
In collisioni AuAu centrali alla massima energia RHIC si creano circa 5000 particelle !!!
6
E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?
7
Molteplicità e detector designMolteplicità e detector designIl numero di particelle prodotte nella collisione è un parametro importante per progettare esperimenti con ioni L’ “occupazione” di un rivelatore (es. la frazione di pixel in cui
passa una particella) è legata alla densità di particelle (es. il numero di particelle per cm2 sul sensore) e quindi alla molteplicità
Il danneggiamento da radiazione è legato al numero di particelle che attraversano il volume del rivelatore o dell’elettronica
Al momento della progettazione di ALICE all’LHC i dati sulle molteplicità a RHIC non erano disponibili ALICE è stato progettato sulla base delle molteplicità date da
simulazioni Monte Carlo delle collisioni PbPbI valori di dN/dy attesi a midrapidity variavano tra 2000 e 8000 particelle per
unità di rapidità a seconda del modello di produzione di particelle implementato in un particolare Monte Carlo
I rivelatori di ALICE sono stati progettati per avere buone performances fino a valori di densità di particelle dN/dy = 8000
8
Molteplicità e centralitàMolteplicità e centralitàIl numero di particelle prodotte è legato alla centralità (parametro di impatto) della collisione
Le collisioni di nuclei sono descritte come sovrapposizione di collisioni elementari tra i nucleoni (es. modello di Glauber)
Il numero di collisioni tra nucleoni ( Ncoll ) e il numero di nucleoni partecipanti ( Npart ) dipendono dal parametro di impatto b
Ogni collisione/partecipante contribuisce alla produzione di particelle e quindi alla molteplicità
9
Produzione di particelle - HardProduzione di particelle - HardProcessi Hard =
processi ad alto momento trasferito piccole distanze Interazioni a livello partonico La produzione di particelle avviene su scale di tempi brevi La costante di accoppiamento è piccola, quindi sono calcolabili
con tecniche perturbative (pQCD)Sono processi rari (con piccola sezione d’urto hard)
Scalano con il numero di collisioni
collhard
ABhard
ABhard
ABABhard
hardAB
N
bABT
bTAB
bTbp
)(
)(11
)(11)(
10
Produzione di particelle - SoftProduzione di particelle - SoftProcessi Soft =
processi a basso momento trasferito grandi distanze Non sono in grado di risolvere la struttura partonica dei
nucleoni La costante di accoppiamento è grande, l’approccio
perturbativo non funziona richiedono l’uso di modelli fenomenologici non perturbativi
99.5% soft
Il 99.5% (“bulk”) degli adroni prodotti a RHIC è soft (pT< 1 GeV)
La molteplicità di particelle prodotte in processi soft è prevista scalare con il numero di partecipanti Wounded nucleon model
11
Wounded nucleon model (I)Wounded nucleon model (I)Basato sull’osservazione sperimentale (inizio anni ’70) che le molteplicità misurate in collisioni protone-nucleo scalano come:
v è il numero medio di collisioni elementari tra nucleoni (=Ncoll)
Quindi:
2
1
2
1
ppch
pAch
N
NR
pppart
pApart
pAcollpA
collppch
pAch
N
NNN
N
NR
2
1
2
1
2
1
ricordando che in pp: Npart = 2 e in pA: Npart= Ncoll+1
12
Wounded nucleon model (II)Wounded nucleon model (II)Motivazione: la molteplicità “soft” è prevista scalare con Npart perché si assume che la produzione di particelle soft avvenga in questo modo: Un nucleone quando subisce una collisione passa in uno stato
eccitato a vita media lunga Le eventuali collisioni successive non alterano significativamente
questo “baryon-like object” La lunga vita media e la dilatazione lorentziana dei tempi fanno sì
che il “baryon-like object” attraversi tutto il nucleo bersaglio prima di decadere
In altre parole, il tempo di formazione ( = ħ/E ) delle particelle soft è sufficientemente lungo che la loro materializzazione avviene fuori dal nucleo
La produzione di particelle soft quindi: Avviene al di fuori dei nuclei collidenti E’ indipendente dal numero di collisioni subite da ciascun
nucleone Dipende solo dal numero di nucleoni che hanno subito almeno
una collisione passando in uno stato eccitato, cioè da Npart
13
Misurare la molteplicitàMisurare la molteplicitàSperimentalmente si misura la molteplicità di: particelle cariche (ionizzanti) particelle in una certa regione spaziale coperta dai rivelatori
(accettanza)Problema: è difficile confrontare risultati di esperimenti con accettanze diverse
Per questo motivo, le molteplicità vengono comunemente espresse in termini di densità di particelle cariche in un certo intervallo di angolo polare Normalmente si usa il numero di particelle cariche in un’unità di
(pseudo)rapidità intorno a midrapidity: Nch(||<0.5) o Nch(|y|<0,5)
Inoltre, le distribuzioni dN/d (dN/dy) contengono altre informazioni sulla dinamica dell’interazione
La pseudorapidità è più facilmente accessibile sperimentalmente perché richiede di misurare una sola quantità (l’angolo ) e non richiede identificazione di particelle e misura di momenti
Distribuzioni dN/dDistribuzioni dN/d e dN/dy e dN/dy
15
Rapidità a RHIC (collider)Rapidità a RHIC (collider)Prima della collisione: pBEAM=100 GeV/c per nucleone EBEAM=(mp
2+pBEAM2)=100.0044 per
nucleone =0.999956, BEAM≈100
Dopo la collisione: I nucleoni del proiettile e del bersaglio (in
verde) sono rallentati e si trovano a valori di y (e di e di ) più bassi di quelli iniziali
Le particelle prodotte (in rosso) sono distribuite nella regione cinematica compresa tra le rapidità iniziali di proiettile e bersaglio
La massima densità è nella regione di rapidità centrale (midrapidity) :0
2
TARGETPROJ
MID
yyy
8.10
36.51
1ln
2
1ln
2
1
TARGETPROJ
BEAMBEAM
BEAMBEAMTARGETPROJ
yyy
pE
pEyy
16
Rapidità a SPS (targhetta fissa)Rapidità a SPS (targhetta fissa)Prima della collisione: pBEAM=158 GeV/c , =0.999982
pTARGET=0 , TARGET=0
Midrapidity
La distribuzione dN/dy nel sistema del centro di massa si ottiene da quella misurata nel laboratorio con una traslazione y’ = y - yMID
La distribuzione dN/d invece non ha questa proprietà
82.5
01ln2
1
82.51
1ln
2
1ln
2
1
TARGETPROJ
TARGET
BEAMBEAM
BEAMBEAMPROJ
yyy
y
pE
pEy
91.22
PROJMID
yy
17
PseudorapiditàPseudorapiditàRegione di midrapidity Particelle con pT>pL prodotte
ad angoli intorno a 90°
Formula di Bjorken per stimare la densità di energia nel caso in cui ci sia un plateau a midrapidity invariante per boost di Lorentz
pL>>pT pL>>pT
pT = pL
= 45 (135) degrees = ±0.88
pT>pL
Regioni di frammentazione Particelle con pL>>pT
prodotte nella frammentazione dei nuclei collidenti ad angoli intorno a 0° e 180°
0
yf
TBJ dy
dN
Ac
m
18
Collisioni PbPb all’SPSCollisioni PbPb all’SPSPb-Pb at 40 GeV/c (√s=8.77 GeV) Pb-Pb at 158 GeV/c (√s=17.2 GeV)
La posizione del picco si
sposta (midrapidity = ybeam/2 )La densità di particelle al picco
aumenta con l’energia
centrali
periferiche
19
Collisioni AuAu a RHICCollisioni AuAu a RHIC
centrali
centrali
perifericheperiferiche
energia s
20
Molteplicità per coppia di Molteplicità per coppia di partecipantipartecipanti
Si introducono le variabili:
che sono la densità di particelle a mid-rapidity e la molteplicità totale per coppia di partecipanti
Motivazione Semplice verifica dello scaling con Npart
Se la produzione di particelle scala come Npart , queste variabili (o una delle due) devono mostrare un andamento piatto in funzione della centralità della collisione
Semplice confronto con le collisioni pp in cui Npart=2
2/
/0
partN
ddN
dd
dNNcon
N
Nch
part
ch
2/
21
dN/ddN/dmaxmax vs. centralità vs. centralitàLa densità per coppia di partecipanti cresce di ≈25% dalle collisioni AuAu periferiche a quelle centrali Contributo della componente hard alla produzione di particelle ? MA:
il rapporto 200 / 19.6 è indipendente dalla centralitàUn fit a due componenti dN/d [ (1-x) Npart /2 + x Ncoll ] dà valori di x compatibili (≈
0.13) alle due energie
Fattorizazione della dipendenza da centralità (geometria) e energia
22
dN/ddN/dmax max vs. vs. ssdN/d a midrapidity per coppia di partecipanti in collisioni centrali cresce come ln(s) da energie AGS a RHIC Estrapolazione a LHC (s=5.5 TeV) dN/d|=0 ≈ 1100
Dipendenza da s diversa per collisioni pp e AA
23
La “dipendenza fattorizzata” della dNch/dmax dalla centralità e da s è riprodotta dai modelli basati sulla saturazione della densità di gluoni a piccoli valori di xBjorken
dN/ddN/dmaxmax vs. centralità e vs. centralità e ss
increasing s – decreasing x
Armesto Salgado Wiedemann, PRL 94 (2005) 022002
3
1
0
0
][2
partch
part
NGeVsNd
dN
N
Pocket formula:
e da dati ep e eA N0 unico parametro
libero Estrapolazione a LHC
dN/d|=0 ≈ 1600
24
Molteplicità totale:
Necessità di estrapolare alle regioni di fuori accettanza
Nch scala con Npart
Nch per coppia di partecipanti diversa da quella di collisioni p-p, ma compatibile con quella in collisioni e+e- alla stessa ennergia
Molteplicità totale vs. centralitàMolteplicità totale vs. centralità
dd
dNNch
25
Molteplicità totale vs. Molteplicità totale vs. ssMolteplicità per coppia di partecipanti in collisioni di ioni: Minore che in collisioni pp e e+e- a energie AGS Attraversa i dati p-p data a energie SPS E’ in accordo con e+e- al di sopra delle energie SPS (s >≈ 17 GeV)
26
pp vs. epp vs. e++ee--
La differenza tra le molteplicità misurate in collisioni e+e- e pp è spiegata con il “leading particle effect” Il protone uscente dalla collisione porta via una quantità
significativa di s che invece in e+e- è completamente disponibile per la produzione di particelle
In collisioni pp solo l’energia seff ( < s ) è disponibile per la produzione di particelle
L’energia seff effettivamente disponibile per la produzione di particelle viene definita come:
con questa definizione, le molteplicità in e+e- e pp risultano in accordo a parità di seff
s effse+ e- p p
collisionpp2
collisioneess
seff
27
Universalità ?Universalità ?
1/ 42.2chN s
L’andamento in funzione di seff in pp, e+e- e AA (per s>15 GeV) segue una curva universale Non c’è “leading particle effect” in AA
Effetto delle interazioni multiple subite da ciascun nucleone Universalità dei meccanismi di adronizzazione
28
Conclusioni dopo RHICConclusioni dopo RHICDalla misura della molteplicità delle particelle cariche (non identificate) e della loro distribuzione in pseudorapidità (=angolo polare) si impara che: La produzione di particelle segue semplici leggi di scaling al variare
della centralità e dell’energiaLa molteplicità totale scala come Npart produzione di particelle dominata da processi soft
La densità di particelle dN/d a midrapidity cresce come il logaritmo di s
Se si usa la formula di Bjorken per calcolare la densità di energia partendo dalle dN/dy (dN/d) misurate alla massima energia di RHIC si ottengono valori di:
ben al di sopra della densità critica (c≈1 GeV/fm3) previsti dalla lattice QCD per la transizione di fase
1.12
3700
fm145
/GeV6.0
02
2
00
c
c
dy
dN
Ac
m
y
TBJ
≈15 GeV/fm3 (0= 0.35 fm/c)
≈5 GeV/fm3 (0= 1 fm/c)
29
Prospettive per LHC …Prospettive per LHC …
Models prior to RHIC
Extrapolation of dN/dln s
5500
Saturation modelArmesto Salgado Wiedemann, PRL 94 (2005) 022002
16502.82/
/
00
d
dN
N
ddN ch
part
ch
Central collisions
Estrapolazione dell’andamento di dNch/dmax vs s Fit con dN/d ln s Modello di saturazione (dN/d s con =0.288) Facilmente distinguibili con i dati dei primi 10000 eventi PbPb all’LHC
11005.52/
/
00
d
dN
N
ddN ch
part
ch
… … LHC: eventi centraliLHC: eventi centraliDalle prime ≈3600 collisioni PbPb centrali a s=2.76 TeV
Andamento con ln(s) non rispettatoAumento della dN/d con √s più ripido in AA che in pp
30
LHC: dipendenza dalla centralitLHC: dipendenza dalla centralità à
31
Densità di energia per eventi centrali con la formula di Bjorken
≈ 3 volte maggiore che a RHIC
c)GeV/(fm15 2 Bj
LHC: dipendenza dalla centralitLHC: dipendenza dalla centralitàà
Dipendenza dalla centralità della dNch/dmax per coppia di partecipanti: simile a RHIC e LHC
dopo aver riscalato i risultati di RHIC alla moteplicità delle collisioni centrali a LHC
Conferma la fattorizzazione delle dipendenze da centralia’ e √s 32
Confronto con modelli Modelli basati sulla
saturazione dei gluoni Modelli Monte Carlo a due
componenti (soft+ minijet) + in HIJING parametrizzazione dello shadowing dei gluoni
Descrizione ragionevolmente buona dei dati sperimentali
Parte 2:Parte 2:Molteplicità delle varie specie Molteplicità delle varie specie
adronicheadroniche
34
IntroduzioneIntroduzioneLa misura delle molteplicità di particelle della varie specie adroniche (= quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni …), cioè della composizione chimica dopo l’adronizzazione, permette di rispondere ad alcune domande sullo stato del sistema al momento del chemical freeze-out La fireball era in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out ?
Qual era la temperatura Tch al momento del chemical freeze-out?
Qual era il contenuto barionico della fireball
Note: Equilibrio termico:
a livello macroscopico: temperatura T della fireball definita e uniforme
a livello microscopico: distribuzione di velocità delle particelle descritta da una distribuzione tipo Maxwell-Boltzmann con un unico parametro, la temperatura T
Equilibrio chimico:a livello macroscopico: densità ni delle varie specie di particelle uniformi all’interno della
fireball
a livello microscopico: molteplicità di particelle delle varie specie adroniche dipende solo dalle masse e dalla temperatura
35
Molteplicità di particelle identificate (I)Molteplicità di particelle identificate (I)
Pioni vs protoni A basse energie (s<5
GeV) la fireball è dominata dai nucleoni che provengono dai nuclei collidenti (alto stopping power)
I pioni (prodotti nell’interazione) dominano per alte energie (s>5 GeV)
La diminuzione dell’abbondanza di protoni la crescere di s indica un aumento della trasparenza dei nuclei collidenti al crescere dell’energia
36
Molteplicità di particelle identificate (II)Molteplicità di particelle identificate (II)
Pioni Sono i più abbondanti
tra gli adroni prodotti (perché sono quelli con massa minore e soglia di produzione più bassa)
La differenza tra le abbondanze di + e - a basse energie è dovuta alla conservazione dell’isospinL’alto stopping power che si
ha a basse energie forma una fireball dominata dai nucleoni dei nuclei collidenti eccesso di neutroni (N > Z per i nuclei pesanti) isospin totale negativo
37
Molteplicità di particelle identificate (III)Molteplicità di particelle identificate (III)
Antiprotoni Sono particelle
prodotte nella collisioneDiversamente dai protoni
per i quali nella fireball ci sono sia quelli prodotti sia quelli “stoppati” dai nuclei collidenti
Forte dipendenza da s (onset of production) alle energie SPS
Alle energie di RHIC il numero di antiprotoni è ≈ a quello di protoniNet-protons ≈ 0Il numero di protoni
“stoppati” dai nuclei collidenti è piccolo
38
Molteplicità di particelle identificate (IV)Molteplicità di particelle identificate (IV)
Kaoni (e iperoni ) Il numero maggiore di
K+ e rispetto alle rispettive antiparticelle (K- e bar) a basse energie è dovuto al contenuto di quark di questi adroniIl K+ (u+anti-s) e la
(u+d+s) richiedono solo la produzione del quark strano, mentre i quark leggeri sono presenti nei nucleoni stoppati
Il K- (anti-u+s) e la bar richiedono invece la produzione di 2 o 3 quark nuovi
Produzione associata di K+ e (coppie s anti-s)
39
Molteplicità di particelle identificate (V)Molteplicità di particelle identificate (V)
Kaoni (e iperoni ) La differenza tra K+ e
K- (e tra e bar) diminuisce al crescere di s perché con il diminuire dello stopping power diminuisce il peso dei quark “stoppati” rispetto a quelli “prodotti”
Le abbondanze di bar e di antiprotoni (entrambi formati da 3 quark “prodotti” e con masse simili) sono molto simili
40
Molteplicità di particelle identificate (VI)Molteplicità di particelle identificate (VI)
Conclusioni Basso s (< 5 GeV):
fireball dominata dalle particelle stoppate
Alto contenuto barionico
Importanza dell’isospin e dei quark “stoppati” dai nuclei collidenti
Alto s (> 20 GeV):Fireball dominata dalle
particelle prodotte
Basso contenuto barionico
Gerarchia in massa ( N > NK > Np )
Modelli statistici di Modelli statistici di adronizzazioneadronizzazione
42
Modelli statistici: assunzioni di baseModelli statistici: assunzioni di baseIl sistema (fireball) creato in una collisione di ioni pesanti si trova in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out chimico Si può scrivere una funzione di partizione del sistema e usare la
meccanica statisticaLa funzione di partizione è una quantità (funzione di temperatura, volume e altri
parametri) che descrive le proprietà statistiche di un sistema in equilibrio
Per collisioni di ioni si usa l’ensemble grande canonico (con potenziale chimico)
La produzione di adroni in sistemi eccitati avviene secondo una legge puramente statistica
Idea originale: Fermi (1950s), Hagedorn (1960s)
Il sistema adronico è descritto come un gas ideale di adroni e risonanze ideale = non interagenti
43
Modelli statistici: noteModelli statistici: noteL’equilibrio termico e chimico è POSTULATO come ipotesi di lavoro Con questa assunzione si può prevedere la molteplicità di adroni
delle varie specie (quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni…) che si fissano al momento del freeze-out chimico del sistema
Dal confronto delle molteplicità previste con quelle misurate sperimentalmente si può verificare la validità dell’ipotesi di equilibrio chimico e termico
Non si fanno assunzioni sulla presenza o assenza di una fase partonicaNon si dice niente su COME e QUANDO il sistema raggiunge l’equilibrio chimico e termico Un modello di adronizzazione statistica non è un modello per
descrivere l’evoluzione della collisione fino alla transizione di fase e non e’ neanche un modello per descrivere COME avviene la transizione di fase
L’equilibrio che sta alla base della funzione di partizione è puramente statistico (=dovuto al modo in cui l’adronizzazione riempie lo spazio delle fasi adronico realizzando la configurazione più probabile). Non è postulato un equilibrio di tipo cinetico (=raggiunto come risultato di rescatterings tra particelle durante l’evoluzione del sistema)
44
Perché ensemble gran-canonico?Perché ensemble gran-canonico?Nell’ensemble gran-canonico l’energia e le cariche sono conservate “in media” su un volume grande (e non esattamente e localmente come in un sistema canonico) E’ un’assunzione valida per un sistema di molte particelle che
hanno interagito significativamente durante l’evoluzione precedente
L’ensemble gran-canonico descrive un sistema che scambia energia e particelle con un “serbatoio” esterno La fireball al momento dell’adronizzazione puo’ essere vista come
un insieme di elementi di volume (cluster) che: Attraversano la linea del freeze-out chimico in momenti diversi durante
l’espansione/raffreddamento del sistema Durante l’evoluzione hanno scambiato energia e particelle con il resto della fireball
Per sistemi più piccoli (cioè collisioni di ioni a basse energie, collisioni periferiche o collisioni p-p e e+e-) si deve usare: l’ensemble canonico
in cui l’energia è conservata “in media” nel sistema mentre le cariche sono conservate esattamente e localmente
l’ensemble microcanonico in cui energia e cariche sono conservate esattamente
45
Gas di adroni e risonanzeGas di adroni e risonanze
Nei modelli statistici di adronizzazione si usa solitamente un gas di adroni e risonanze non interagenti che contiene i contributi di: Tutti i mesoni noti con masse <≈ 1.8 GeV Tutti i barioni noti con masse <≈ 2 GeV
In questo range di massa:
Lo spettro adronico e’ ben conosciuto e misurato con precisione
Le catene di decadimento delle particelle e delle risonanze sono noti
I limiti di massa limitano la validità del modello a temperature T<190 MeV circa. Per temperature superiori il contributo di risonanze più pesanti non è più trascurabile In ogni caso, al di sopra della temperatura critica per la
transizione di fase (≈160-200 MeV) non avrebbe senso parlare di gas di adroni
46
Perché gas di adroni e risonanze?Perché gas di adroni e risonanze?Per densità e temperature non troppo alte contiene tutti i gradi di libertà di un sistema confinato e fortemente interagente Le interazioni che portano alla formazione di risonanze sono
incluse implicitamente nell’hamiltoniana (Hagedorn) Si approssima un gas di adroni che interagiscono tra loro
scambiandosi delle risonanze con un gas di adroni e risonanze che non interagiscono
E’ consistente con l’equazione di stato che risulta da calcoli di QCD su reticolo al di sotto della temperatura critica
Quindi: il gas di adroni e risonanze è un “modello effettivo” di un sistema fortemente interagente
47
Ensemble gran canonicoEnsemble gran canonico
La funzione di partizione per il caso di gas non interagente è data dal prodotto delle funzioni di partizione (indipendenti tra loro) delle varie specie adroniche:
Dove l’indice i indica la specie adronica (pione, kaone, protone …)
T è la temperatura e V il volume del sistema
i è il potenziale chimico che garantisce la conservazione in media del numero di particelle di specie i
Può essere diverso per le varie specie adroniche: ad esempio la conservazione del numero barionico influisce sui protoni, ma non sui pioni
Passando ai logaritmi
i
iGCi
GC VTZVTZ ),,(),,(
i
iGCi
GC VTZVTZ ),,(ln),,(ln
48
Potenziale chimico Potenziale chimico Il potenziale chimico è il parametro che nell’ensemble gran-canonico garantisce la conservazione “in media” delle cariche ed è dato da:
Qj sono le cariche (numeri quantici) conservate
Qj sono i potenziali chimici che garantiscono che le cariche Qi siano conservate “in media” nell’intero sistema
= energia necessaria per aggiungere al sistema una particella con numeri quantici Qj
In un gas adronico (=governato da interazioni forti) limitato a masse <1.8 GeV (= senza charm, bottom e top) ci sono 3 cariche conservate: Carica elettrica Q (o terza componente I3 dell’isospin)
Numero barionico B Stranezza S
Quindi per una particella di specie i con isospin I3i, numero barionico Bi e stranezza Si si ha:
j
jQ Qj
iSiBiIi SBI 33
49
Funzione di partizione gran canonicaFunzione di partizione gran canonicaLa funzione di partizione per l’i-esima specie adronica è quella di un gas ideale di particelle identiche (gas di Bose o gas di Fermi) nel limite macroscopico:
il + vale per i fermioni e il – per i bosoni
gi=2s+1 è il fattore di degenerazione di spin
si è introdotta la fugacità i definita come
0
22
0
)(22
1ln2
1ln2
),,(ln
Ei
i
Eii
GCi
edppVg
edppVg
VTZ i
iei
50
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (I)partizione (I)
L’espressione analitica della molteplicita’ Ni di adroni di specie i si ottiene integrando la funzione di partizione
Sviluppando il logaritmo in serie di Taylor si ottiene:
Nota: lo sviluppo di Taylor si può fare se:
0
2
12
01
22
0
22
)1(
2
)1(
2
1ln2
),,(ln
dpepk
Vg
ek
dppVg
edppVg
VTZ
Ek
k
ki
ki
k
kEki
ki
Ei
ii
GCi
Eeee iEE
ii 1
51
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (II)partizione (II)
Integrando per parti si arriva a:
ricordando che:
10
3
2
0
3
0
3
12
0
2
12
)(3
)1(
2
)(33
)1(
2
)1(
2),,(ln
k
Ekki
ki
EkEk
k
ki
ki
Ek
k
ki
ki
iGCi
E
pke
pdp
k
Vg
dp
dEke
pdpe
p
k
Vg
dpepk
VgVTZ
E
pp
mpmp
dp
d
dp
dEmpE
i
ii
)2(2
1
22
2222
52
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (III)partizione (III)
Cambiando variabile di integrazione (da p a E) si ha:
ricordando che:
1
2/322
2
1
322
2
10
3
2
)(3
)1(
2
)(3
)1(
2
)(3
)1(
2),,(ln
km
Ekiki
ki
km
Eki
ki
ki
k
Ekki
ki
iGCi
i
i
kemE
dEk
Vg
E
pke
mE
dEp
E
k
Vg
E
pke
pdp
k
VgVTZ
i
i
mEp
dpE
pdEmpE
0
22
53
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (IV)partizione (IV)
Introducendo la variabile x=kE si ha:
1222
2/322222
2
133
2/32222
2
133
2/3222222
2
1
2/322
2
3
)1(
2
3
)1(
2
3)(
)1(
2
)(3
)1(
2),,(ln
kmk
x
i
iiki
ki
kmk
xiki
ki
kmk
Ekiki
ki
km
Ekiki
ki
iGCi
i
i
i
i
emk
mkxdx
k
m
k
Vg
ek
mkxdx
k
Vg
ek
mkEkEkd
k
Vg
kemE
dEk
VgVTZ
54
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (V)partizione (V)
Introducendo w=kmi si riscrive come:
1
2/3
2
22
22
12
2/3
2
23
2
22
12
2/3222
22
1222
2/322222
2
13
1)1(
2
3
1)1(
2
3
)1(
2
3
)1(
2),,(ln
kw
xiki
ki
kw
xiki
ki
kw
xiki
ki
kmk
x
i
iiki
ki
iGCi
ew
xdxw
m
k
Vg
ew
w
xw
dxm
k
Vg
ew
wxdx
m
k
Vg
emk
mkxdx
k
m
k
VgVTZ
i
55
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VI)partizione (VI)
Introducendo y=x/w si ricava:
Il termine tra parentesi quadre coincide con la seguente rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel modificate:
11
2/3222
2
11
2/322
2
1
2/3
2
22
22
13
1)1(
2
13
1)1(
2
13
1)1(
2),,(ln
k
wyiki
ki
k
wyiki
ki
kw
xiki
ki
iGCi
eydywk
m
k
Vg
eywdywk
m
k
Vg
ew
xdxw
m
k
VgVTZ
1
2/12
2
11
2!)()( tyn
n
n eydyt
ntK
56
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VII)partizione (VII)
Ri-sostituendo w=kmi e 1/T si conclude:
12
222
12
2
22
12
2
22
11
2/3222
2
)1(
2
)()1(
2
)()1(
2
13
1)1(
2),,(ln
k
ii
ki
ki
ki
iki
ki
k
iki
ki
k
wyiki
ki
iGCi
T
kmKm
k
TVg
mkKm
k
Vg
wKm
k
Vg
eydywk
m
k
VgVTZ
57
Densità di particelle di specie iDensità di particelle di specie i
La densità ni di particelle di specie i si ricava come:
12
22
12
222
2
12
222
2
)1(
2
)1(
2
)1(
2
)ln(1),,(),(
k
ii
ki
ki
k
ii
T
k
i
ki
k
ii
i
ki
ki
i
GCiii
ii
T
kmKm
k
Tg
T
kmKme
k
Tg
T
kmKm
k
Tg
ZT
VV
VTNTn
i
58
Correzioni (I)Correzioni (I)Catene di decadimento Il numero delle particelle di specie i misurate (es. pioni) è dato
dalla produzione “thermal” (Ni) + il contributo dei decadimenti delle particelle a vita breve che non vengono misurate (ed es. le che decadono in pioni)
Ad alte temperature
e/o alti B, la molteplicità
degli adroni leggeri è
dominata dal contributo del
decadimento delle risonanze
j
THERMijiji
THERMii
MEASi VTNBRVTNVTN ),,(),,(),,(
n+
tota
l /
n+
the
rma
l
59
Correzioni (II)Correzioni (II)
Per alte densità di particelle (cioè alti T e/o B) bisogna inserire nella funzione di partizione le interazioni repulsive a piccole distanze che si osservano tra gli adroni Si introduce una repulsione “hard-core” di tipo Van der Waals
assegnando ad ogni adrone un volume
(“Excluded volume correction”)Il raggio R viene normalmente posto a 0.3 fm (che corrisponde al volume di
hard-core misurato in scattering nucleone-nucleone) per tutti i tipi di adrone
3
3
44 RVeigen
60
Correzioni (III)Correzioni (III)
Larghezza delle risonanze Si inserisce nella funzione di partizione un’ulteriore
integrazione sulla massa con una distribuzione Breit-Wigner
Fattore s (<1) di soppressione di stranezza Tiene conto del fatto che il quark strano per la sua massa
maggiore potrebbe non aver raggiunto l’equilibrio chimico. Per riprodurre i dati PbPb a SPS e AuAu a RHIC non c’è bisogno
di introdurre questo S, cioè è come se si assumesse S=1 che indica equilibrio chimico anche per le particelle strane
Per sistemi con poche particelle (p-p e collisioni di nuclei a basse energie) si trova invece S<1
0 ))((
2
22
2
2 14/)(
1
2),(
ii mEii
i
BW
iii
e
dpp
mmdm
N
gTn
61
Parametri liberi del modelloParametri liberi del modello
Ci sono 5 parametri liberi: T, B, S, I3 e V La conoscenza di carica elettrica (=terza componente
dell’isospin), numero barionico e stranezza dello stato iniziale (= i protoni ZS e i neutroni NS “stoppati” dai nuclei collidenti) permette di fissare il volume della fireball V, e i potenziali chimici S e I3
Restano quindi 2 parametri liberi: T e B
12
22
)1(
2),,(),,(
k
ii
ki
ki
iiii T
kmKm
k
TVgVTnVVTN
33/ ,con IiSiBiiT
i ISBe i
023
i
iiSSi
iiSS
ii SnVNZBnV
NZInV
i
Fit alle abbondanze di Fit alle abbondanze di particelle misurateparticelle misurate
63
Fit ai rapporti di particelleFit ai rapporti di particellePerché usare i rapporti di particelle ? Si cancellano alcuni errori sistematici sulle misure sperimentali Si rimuove la dipendenza dal volume V (la cui determinazione
è affetta dall’incertezza sullo stopping power e sulla correzione di “excluded volume”) nei calcoli del modello teorico
Si ricavano i valori di T e B che minimizzano lo scarto tra i rapporti di particelle previsti dal modello statistico e quelli misurati. Si minimizza una quantità 2 definita come:
Riexp e Ri
model sono i rapporti misurati sperimentalmente e quelli previsti dal modello
i è l’errore (statistico + sistematico) sui punti sperimentali
i2
2model.exp2
i
ii RR
64
Rapporti di particelle all’AGSRapporti di particelle all’AGSAuAu - Ebeam=10.7 GeV/nucleon - s=4.85 GeV
Valore minimo di 2 per: T=124±3 MeV B=537±10 MeV
2 contour lines
65
Rapporti di particelle all’SPSRapporti di particelle all’SPSPbPb - Ebeam=40 GeV/ nucleon - s=8.77 GeV
Valore minimo di 2 per: T=156±3 MeV B=403±18 MeV
2 contour lines
66
Rapporti di particelle a RHICRapporti di particelle a RHICAuAu - s=130 GeV
Valore minimo di 2 per: T=166±5 MeV B=38±11 MeV
2 contour lines
67
Fit alle molteplicitàFit alle molteplicitàSe si usano le molteplicità anziché i rapporti di particelle Un parametro libero (il volume V) in più Maggiori incertezze sistematiche (sia nel modello che nei dati)
T e B in accordo con i risultati dei fit ai rapporti, ma 2 peggiore
Freeze-out chimicoFreeze-out chimico
69
Parametri del modello termico vs. Parametri del modello termico vs. ssLa temperatura T aumenta rapidamente con s fino a raggiungere i 170 MeV (≈ temperatura critica per la transizione di fase) per s≈7-8 GeV e poi rimane costante
Il potenziale chimico B diminuisce al crescere di s in tutto il range di energia esplorato dall’AGS a RHIC
70
Freeze-out chimico sul diagramma Freeze-out chimico sul diagramma delle fasidelle fasi
I parametri del modello di adronizzazione statistica si possono rappresentare sul piano T, B
E’ interessante confrontarli con la linea prevista con calcoli di QCD sul reticolo per la transizione di fase (“phase boundary”) da materia adronica a QGP
71
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase
Lattice-QCD Stat.Thermal Model
T
b
SPS
RHIC
T
b
SPS
RHIC
T
b
SPSRHIC
AGS
Caso 1: (T,B) molto al di sotto del “phase boundary ” Il freeze-out chimico avviene all’interno della fase
adronica Lunga fase adronica dopo la transizione di fase? Il sistema non raggiunge mai il “phase boundary” ?
Caso 2: (T,B) al di sopra del “phase boundary ” Errore nel modello di adronizzazione statistica
Cade l’ipotesi del gas di adroni e risonanze
Errore nel calcolo del “phase boundary” in Lattice QCD
Caso 3: (T,B) molto vicini al “phase boundary ” Rapido freeze-out chimico immediatamente dopo la
transizione di fase ? Gli adroni “nascono” in equilibrio chimico e le
abbondanze non sono modificate dai successivi rescatetrings ?
72
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase
La linea della transizione di fase viene raggiunta alle energie SPS (s≈ 8-10 GeV)Per energie più alte il freeze-out chimico è molto vicino alla transizione di fase predetta dalla QCD sul reticolo
73
Universalità?Universalità?Modello di adronizzazione statistica in collisioni e+e- e p-p Anche in questo caso si assume l’equilibrio termico e chimico Formulazione canonica della funzione di partizione (=
conservazione esatta delle cariche)
INPUT: molteplicità adroniche misurate
PARAMETRI DEL FIT: T, V, S (equilibrio incompleto per il quark s)
F. Becattini and U. Heinz, Z Phys. C76 (1997) 269.
74
Universalità?Universalità?Modello di adronizzazione statistica in collisioni e+e- e p-p Anche in questo caso si assume l’equilibrio termico e chimico Formulazione canonica della funzione di partizione (=
conservazione esatta delle cariche)
F. Becattini and U. Heinz, Z Phys. C76 (1997) 269.
Temperature estratte dal fit: Compatibili con un freeze-out a ≈
170 MeV indipendentemente da s
In accordo con i valori ottenuti in collisioni AA con s >≈ 10 GeV
Adronizzazione ad un valore critico di temperatura: Temperatura limite per un gas di
adroni (teoria di Hagedorn, bag model)
Phase boundary
75
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e freeze-out termicofreeze-out termico
Freeze out termico Cessano le interazioni
elastiche Si fissa la dinamica delle
particelle (“momentum spectra”)
Tfo (RHIC) ~ 110-130 MeV
Freeze-out chimico Cessano le interazioni
inelastiche Si fissano le abbondanze
delle particelle (“chemical composition”)
Tch (RHIC) ~ 170 MeV
76
ConclusioniConclusioniI modelli di adronizzazione statistica permettono di ricavare la temperatura T e il potenziale chimico barionico B della fireball al momento del chemical freeze-out a partire dalle molteplicità delle varie specie adroniche L’accordo tra le abbondanze di particelle misurate e quelle previste
dal modello indica che l’adronizzazione avviene seguendo leggi statistiche (= massimizzazione dell’entropia) e che il sistema era in equilibrio chimico e termico al momento del freeze-out
La linea di freeze-out chimico raggiunge quella della transizione di fase calcolata con la QCD sul reticolo per energie s ≈ 8-10 GeV
Universalità della temperatura di freeze-out per collisioni pp, e+e- e AA a s >≈ 10 GeV L’adronizzazione avviene quando i parametri caratteristici (densità di
energia, pressione…) della materia pre-adronica scendono al di sotto di valori critici corrispondenti a una temperatura di ≈ 170 MeV
77
Predizioni per LHCPredizioni per LHC
TLHC = 164 MeV
BLHC=1 MeV
78
Prime misure all’LHCPrime misure all’LHCPredizioni del modello termico estrapolando gli andamenti di T e B alle energie di LHC
Risultato inatteso per i protoni: abbondanze di protoni al di sotto delle predizioni del modello termico
Tecniche sperimentaliTecniche sperimentali
80
Inner Tracking System (ITS)
Momentum, dE/dx
Time Projection Chamber (TPC)
momentum, dE/dx
Time of Flight (TOF)
Identificazione di particelle in ALICEIdentificazione di particelle in ALICE
81
Inner Tracking System (ITS)Inner Tracking System (ITS)
L= 97.6 cm
Silicon Pixel Detectors (2D)
Silicon Drift Detectors (2D)
Silicon Strip Detectors (1D)
R= 43.6 cm
Layer
Technology
Radius
(cm)
±z (cm)
Spatial resolution
(m)
r z
1 Pixel 4.0 14.1 12 100
2 Pixel 7.2 14.1 12 100
3 Drift 15.0 22.2 38 28
4 Drift 23.9 29.7 38 28
5 Strip 38.5 43.2 20 830
6 Strip 43.6 48.9 20 830
6 strati cilindrici di rivelatori al silicio Punti ricostruiti con alta
precisione spaziale vicino al vertice di interazione
Identificazione di particelle tramite dE/dx misurato nei layers di drift e strip
82
ITSITS
PIXELS
STRIPS
DR
IFTS
83
Time Projection Chamber (TPC)Time Projection Chamber (TPC)Principale rivelatore traccianteCaratteristiche: Rin 90 cm
Rext 250 cm
Length (active volume) 500 cm Pseudorapidity coverage: -0.9 < <
0.9 Azimuthal coverage: 2 # readout channels ≈560k Maximum drift time: 88 s Gas mixture: 90% Ne 10%
CO2
Fornisce Molti punti ricostruiti in 3D per ogni
traccia Identificazione delle particelle basata
sulla dE/dx
84
Identificazione attraverso dE/dxIdentificazione attraverso dE/dxdE/dx estratta dal segnale generato dalla particella nell’attraversare i rivelatori
Momento estratto dal raggio di curvatura della traccia nel campo magnetico B ][][3.0]/[ mRTBcGeVp
...ln1 2
2z
A
Z
dx
dE
85
Time Of FlightTime Of Flight
TOFMultigap Resistive Plate Chambers per l’identificazione di pioni, kaoni e
protoni basata sulla misura del tempo di volo (efficiente fino a pT≈2.5 GeV/c)
Caratteristiche: Rin 370 cm
Rext 399 cm
Length (active volume) 745 cm # readout channels ≈160k Pseudorapidity coverage: -0.9 < < 0.9
Azimuthal coverage: 2
Dalla misura del tempo di volo si calcola la massa come: 11
112
22
2
L
tcppp
pm TOF