ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ... - Università di Pavia · in isotopi di altri elementi...

ALTRE APPLICAZIONI

DELLA CRESCITA ESPONENZIALE

• Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo)

• Livello di glucosio nel sangue

• Modello di diffusione dell’AIDS (Modello di Ho)

Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono

in ambiti molto diversi

• Modello di diffusione di una malattia infettiva(Modello di Bernoulli)

Lucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

E’ noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadono

in isotopi di altri elementi mediante l’emissione di particelle alpha (nuclei di elio),

particelle beta (elettroni) o fotoni.

Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei

radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale:

La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un

intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza

dell’intervallo e al numero di nuclei presenti all’inizio

dell’intervallo.

DATAZIONE AL

CARBONIO C14


alla Biologia

ttkNtNttN )()()(

Numero di nuclei radioattivi

al tempo t

Intervallo di tempo

)(tN

t

K costante di proporzionalità

)()()(

lim 0 tkNt

tNttNt


alla Biologia

Si ottiene cioè l’equazione differenziale lineare:

)(tkNdt

dN

che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) fornisce

la soluzione:

))(exp()( 00 ttkNtN

0 0( )N N t

Legge di decadimento radioattivo


alla Biologia

Valutazione del parametro K

Half-time (o tempo di dimezzamento) 1

( ) ( )2

N t t N t

0 0 0 0

1exp( ( )) exp( ( ))

2N k t t t N k t t

0 0

0 0

exp( ( )) 1

exp( ( )) 2

N k t t t

N k t t

Conoscendo il tempo di dimezzamento è possibile trovare il

valore di K


alla Biologia

0

0

0

0

exp( )) 1

exp( )) 2

exp( )*exp( )*exp( ) 1

exp( )*exp( ) 2

kt kt kt

kt kt

kt kt kt

kt kt

1exp( )

2kt

1ln( )

2kt

ln(2)k

t

Con tale valore di k il modello può essere utilizzato

per avere predizioni di )(tN per tempi 0tt


alla Biologia

DETERMINAZIONE DELL’ETA’

DI REPERTI ARCHEOLOGICI

Una delle prime strumentazioni utilizzate

al British Museum per la datazione al C14


alla Biologia

E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in

atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14.

Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una

parte su 750 miliardi, cioè

I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta.

Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità

di nuclei radioattivi C14.

ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni):

939 10*)10*33.1(10)750

1(

La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue

la legge:))(exp()( 00 ttkNtN

55702

1t

0N1210*33.1


alla Biologia

Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14:

2

1

)2ln(

tk

5570

693.0

Conoscendo la concentrazione attuale (tempo t) di C14 in un tessuto

si ha allora :N

))(exp( 00 ttkNN

k

NNtt

)/ln( 00

Se ad esempio fosse: 1210N

ktt

)33.1ln(0

anni41024.1

285.0 anni2300

410*24.1

)33.1ln()ln()/ln( 12

12

10

10*33.10 NN


alla Biologia

0

0

exp( ( ))N

k t tN

00*

exp( ( ))N

k t tN

(reciproci)

LIVELLO DI GLUCOSIO

NEL SANGUE


alla Biologia

Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio

attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di

sangue)

Il glucosio viene quindi metabolizzato con una

velocità proporzionale alla sua concentrazione.

)(tx concentrazione di glucosio al tempo t

)(tKxRdt

dx

L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:

K

RttKxttK

K

Rtx ))(exp())(exp()( 000

)( 00 txxLucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

Ponendo t0=0

))exp(1()exp()( 0 KtK

RKtxtx

al tendere di t

K

Rtx )(

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

x0*exp(-K*t)+(R/K)*(1-exp(-K*t))

tempo

glu

cosio

mg/l

R/K = 10.7143


alla Biologia

t

t

x

xdt

KxR

dx

0

0

)(tKxRdt

dx

)()log( 00 ttK

KxR

KxR

0 0

1log( ) log( )R Kx R Kx t t

K

))(exp( 00 ttk

KxR

KxR))(exp( 0

0

ttkKxR

KxR

))(exp()( 00 ttkkxRKxR RttkkxRKx ))(exp()( 00

K

RttKxttK

K

Rtx ))(exp())(exp()( 000


alla Biologia

0

0

1log( )

xt

tx

R Kx tK

passando ai reciproci

Calcolo della soluzione

dell’equazione differenziale:

Problema

Il paziente ha un livello iniziale di glucosio

Il medico vuole innalzare questo livello a

Per quanto tempo è necessario tenere il paziente

sotto flebo?

0xxm

0x

Il paziente viene sottoposto a infusione per un tempo T.

Quanto tempo occorre per tornare al livello iniziale?

Problema

Oppure:


alla Biologia

))exp(1()exp()( 0 KtK

RKtxtx

Possiamo utilizzare la precedente formula :

cercando il valore tale che: *t mxtx )( *

0exp( ) m

R RKt x x

K K KRx

KRxKt m

/

/)exp(

0

)/log()/log( 0 KRxKRxKt m

K

KRxKRxt m )/log()/log( 0*


alla Biologia

Se il paziente viene sottoposto a infusione per un

tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello

iniziale?

Problema:

Al tempo T si avrà:

))exp(1()exp()( 0 KTK

RKTxTx

Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la

variazione di concentrazione seguirà la legge :

)(tKxdt

dx

))(exp()( TtKctx )(Txc

(si è posto R=0)

valore iniziale al tempo T


alla Biologia

Riassumendo:

)(tx

))exp(1()exp(0 KTK

RKTx Tt0

))(exp()( TtKTx Tt

Occorre ora trovare Tt tale che: 0)( xtx

0))(exp()( xTtKTxcioè:

è il valore misurato al tempo T , quindi è un valore noto)(Tx


alla Biologia

)())(exp( 0

Tx

xTtk ))(log()log()( 0 TxxTtk

)log()(log1

0xTxK

Tt

Volendo una formula che dipende solo da 0,, xRK

e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato

))exp(1()exp()( 0 KTK

RKTxTx

)1)log(exp()1log(1

0

KTKx

R

Kt

ottenendo: (esercizio)


alla Biologia

MODELLO DI DIFFUSIONE

DI UNA MALATTIA INFETTIVA

Modello di Bernoulli (1760)

Introdotto per valutare l’efficacia dell’inoculazione come protezione del vaiolo

• Due popolazioni all’inizio identiche:

( )x t ( )t (0) (0)xcon

( )x t• sopravvissuti al tempo t di una popolazione che non subisce

contatto con il virus

• sopravvissuti al tempo t di una popolazione che viene

in contatto con il virus( )t


alla Biologia

Confronto dei sopravvissuti nelle due popolazioni

Problema

( )( )

( )

tg t

x t

studio della funzione:


alla Biologia

IPOTESI del modello di Bernoulli

( )( )

dx tx t

dttasso di mortalità

naturale

1. La popolazione diminuisce solo in base al tasso naturale

di mortalità( )x t

2. Un individuo infettato ha solo due possibilità:

muore o si immunizza

I sopravvissuti della popolazione infettata sono formati dagli individui

Suscettibili ( cioè quegli individui che possono essere infettati ) e da quelli

già immunizzati ( Rimossi)

( ) ( ) ( )t S t R t

In questo modello non si considerano gli Infettivi, cioè quegli individui in

grado di diffondere l’infezione.


alla Biologia

3. La proporzione di individui che hanno contratto il vaiolo e non muoio

ma si immunizzano è costante (1 )

4. Il numero di individui colpiti dal vaiolo è proporzionale ai Suscettibili

( ) ( )v t S t Velocità di infezione


alla Biologia

Studio della popolazione ( )t (sopravvissuti tra gli infettati)

( ) ( ) ( )t S t R t

diminuisce per morte naturale e per infezione secondo l’ipotesi 3( )S t

( )( ) ( )

dS tS t S t

dt

morte naturale infezione


alla Biologia

( )R t diminuisce per morte naturale e aumenta secondo l’ipotesi 2

( )( ) (1 ) ( )

dR tR t S t

dt

morte naturale

si sono ammalati

frazione di ammalati

che non sono morti ma immunizzati

Sommando( ) ( ) ( )d t dS t dR t

dt dt dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S t S t R t S t S t

( ) ( ) ( )S t R t S t


alla Biologia

( )( ) ( )

d tt S t

dt

( )t

( )( )

( )

tg t

x t

E’ possibile ora eseguire il confronto tra le due popolazioni,

cioè è possibile studiare la funzione:

numero di individui che pur

essendo venuti in contatto

con il virus sono sopravvissuti

segue la legge:


alla Biologia

( )( )

( )

tg t

x tPer trovare l’espressione della funzione :

ricaviamo l’equazione differenziale di cui essa è soluzione.

Per confrontare i sopravvissuti non infetti con i sopravvissuti venuti

in contatto con il virus, studiamo come varia nel tempo il loro

rapporto :

( )dg t

dt


alla Biologia

( ) ( )

( )

dg t d t

dt dt x t 2

( ) ( )( ) ( )

d t dx tx t t

dt dt

x

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t x t S t x t x t t

x t x t x t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t S t

x t x t x t

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

t S t S tg t

x t t t

( ) ( )( )

( )

dg t S tg t

dt t

Se si riuscisse ad esplicitare il termine si ridurrebbe ad una equazione differenziale

lineare a variabili separabili …

( )

( )

S t

t


alla Biologia

Studio del termine ( )

( )

S t

t

proporzione di individui ancora

viventi

che non hanno contratto il

virus

E’ tecnicamente più conveniente valutare il reciproco:

( )( )

( )

tf t

S t

2

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

d t dS tS t t

df t dt dt

dt S t2

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d t t dS t

S t dt S t dt

( ) ( )t S t ( ) ( )S t S tLucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

S t S t S t

( )f t

( )f t

( )( )

df tf t

dt

(0) 1f

In conclusione:

(0) (0)Sall’inizio tutta la popolazione

che viene in contatto col virus

è suscettibile di ammalarsi

(0) 1f


alla Biologia

( )( )

( )

tf t

S t

( ) (1 )e tf t

Ricordando che

( ) 1

( ) (1 ) t

S t

t e


alla Biologia

Calcolo di ( )

( )( )

tg t

x t

( ) ( )( )

( )

dg t S tg t

dt t

1( )

(1 ) tg t

e

1

( )f t

eq. differenziale

lineare

( )( )

(1 ) t

dg tg t

dt e

( ) 1g oLucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

Risolvendo:

( ) (1 ) tg t e

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Previsione del modello

tempo

(t)/

x(t

)

1-

0.7

0.6beta

• non dipende da

tasso di mortalità

• dipende da cioè dal

potere di immunizzazione e

dalla velocità d’infezione

,

Il modello prevede che il

rapporto tra i sopravvissuti

nelle due popolazioni si

stabilizzi al valore

Il tempo impiegato per stabilizzarsi dipende da

1


alla Biologia

( )( )

df tf t

dt

0 0

f t

f t

dfdt

f0

0

1f

f

dft t

f

0 0

1log( ) log( )f f t t 0

1log

1

ft t

0 1f

0exp( ( ))1

ft t 0(1 )exp( ( ))f t t

0(1 )exp( ( ))f t tLucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

( )( )

(1 ) t

dg tg t

dt e

0 0( ) (1 )

g t

t

g t

dg dt

g t e

0

(1 )log log

1

tg e

g

0 0( ) ( (1 ) )

g t

t

t

t t

g

egd

g t ee

dt

0 0( ) (1 )

g t t

t

g t

dg edt

g t e

0 1g

(1 ) tg eLucia Della Croce – Matematica applicata

alla Biologia

ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ... - Università di Pavia · in isotopi di altri elementi...

Documents

Transcript of ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ... - Università di Pavia · in isotopi di altri elementi...