Problemi: forza di Coulomb1. Due particelle fisse di carica q1 = + 8q e q2=-2q sono poste rispettivamente

nell’origine dell’asse x ed in un punto di coordinata x = L.In che punto, a distanza finita, si può collocare un protone p in modo che resti in equilibrio ?

Idea chiave:Per avere equilibrio, la forza netta sul protonedeve essere nulla, cioè

con F1 = forza esercitata da q1 su pF2 = forza esercitata da q2 su p

da cui

Il punto di equilibrio può essere solo sull’asse x. Ne determino la posizione con il seguente ragionamento:

1) il punto di equilibrio NON può trovarsi tra le cariche, dato che F1 ed F2 avrebbero versi concordi (vedi figura b));

2) NON può trovarsi a sinistra di q1: sebbene in tale zona F1 ed F2 abbiano versi discordi,F1 è sempre maggiore di F2, essendo generata da carica maggiore posta a distanza minore

3) alla destra di q2 le forze hanno ancora versi opposti e posso quindi cercare in tale regione una posizione di equilibrio, essendo la carica maggiore più lontana:

021 =+ FFrr

2121 FFFF =⇒−=rr

20

20

21 )(2

418

41

Lxqq

xqq

FF pp

−=⇒=

πεπεN.B. le cariche appaiono

qui in modulo

Lxx

Lxx

Lx

221412

=⇒=−

=

−

2. Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero, come mostrato in figura. Calcolare la forza elettrica risultante sulla carica di 7.00 µC

NjiFFF )436.0755.0(21

rrrrr−=+=

La forza netta sulla carica di 7.00 µC è datadalla somma vettoriale delle forze F1 ed F2dovute rispettivamente alle cariche di 2.00 µC e -4.00 µC.

Tali forze valgono in modulo:

Proietto tali forze su x ed y:

La forza totale è quindi:

Posso anche scriverla come:

xassesottotgFF

tg

NNNFFF

x

y

yx

011

2222

0.30755.0436.0

872.0)436.0()755.0(

=

=

=

=+=+=

−−φ

r

3. Due piccole sfere di massa m sono appese a delle funicelle di lunghezza l che sono collegate in un punto comune, come mostrato in figura. Una sfera ha carica Q e l’altra ha carica 2Q. Si assuma che gli angoli θ1 e θ2 che le funicelle formano con la verticale siano piccoli.

a) come sono correlati θ1 e θ2 ? b) dimostrare che la distanza e fra le sfere è data da:

c) quanto vale Q se l= 120 cm, m =10 g e r = 5.0 cm ?

3/124

≅

mglQkr e

a) Le sfere hanno cariche diverse, ma ciascuna esercita una forza uguale e contraria sull’altra di modulo:

ove r è la distanza fra esse. Dato che le masse sono uguali deve essere

θ1 = θ2

2

2r

QQkF ee×

=

θ1 θ2

r2Q Q

mg

Fe

T Tcosθ

Tsinθ

b) Perché ci sia equilibrio per ogni sfera il bilancio delle forze deve essere nullo:

a piccoli angoli quinditg sin =≈ θθ

θθθ

θ

θ

θtgmgmgF

mgT

TFF

mgTF

TFFF

eex

y

ge

==

=⇒

=−=

=−=

=++=

cossin

cos/

0sin

0cos

0rrrr

lr2

3/1232

2

2 4422

sin

≅⇒≅⇒==≅

mglQkrmgrlQk

rQk

lrmgmgF e

eedefe θ

c) Esplicito Q:

CmCNm

msmkglk

mgrQ

mgrlQk

e

e

82/1

2229

32232/13

32

1068.1)10120)(/109(4

)100.5)(/8.9)(1010(4

4

−−

−−

×=

××××

=

≅

≅

Problemi: campi elettrici4. Un dipolo elettrico è costituito da una carica puntiforme positiva q ed una negativa –q

separate da una distanza 2a.

a) trovare il campo elettrico E docuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza ydall’origine.

b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.

22221 yaqk

rqkEE ee +===

a) In P i campi E1 ed E2 generati dalle cariche hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:

il campo totale

ha componente y nulla, dato che i campi dovuti alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.La componente x del campo E totale è invece parial doppio della componente x di ciascun campo:

b) A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a2 nel denominatore, ottenendo:a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero piùvelocemente del campo prodotto da una carica puntiforme(E ≈ 1/y2) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche(positiva e negativa) tendono ad elidersi

21 EEErrr

+=

( ) 2/322222222

22

22

22cos2

//cos

cos2

yaqak

yaa

yaqk

yaqkE

yaara

yaqkE

eee

e

+=

++=

+=

+==

+=

θ

θ

θ

33

12yy

qakE e ≈=

N.B. molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipolipermanenti: uno ione positivo (H+) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl-). Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.

5. Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con caricatotale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

2rdqkdE e=

Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello

Tale campo ha componenti

delle quali la componente y si cancella con la componente y dell’elemento di carica dq posta sul latoopposto dell’anello. Il campo E in P avrà quindi solo componente x.Sapendo che

Integro ora su tutto l’anello:

θθ

sincos

dEdEdEdE

y

x

==

dqaxxk

rx

rdqkdEdE

rxaxr

eex 2/3222

2/122

)(cos

/cos,)(

+===

=+=

θ

θ

QaxxkE

dqaxxkdq

axxkdEE

ex

eexx

2/322

2/3222/322

)(

)()(

+=

+=

+== ∫∫∫

N.B. A grandi distanze E≈1/x2 (carica puntiforme)

6. Una bacchetta di lunghezza l = 14.0 cm, uniformemente carica, è piegata a forma di semicerchio, come mostrato in figura. Se la bacchetta possiede una carica totaleQ = .7.50 µC, trovare modilo, direzione e verso del campo elettrico nel centro del semicerchio.

2rdqkdE e=

Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello

ove

Le componenti y del campo prodotto da elementi di carica dq simmetrici rispetto all’asse x si annullano, mentre le componenti x si sommano:

Integro ora su tutto la bacchetta:

Sapendo che:

Vettorialmente:

θλλ drdsdq ==

rkd

rkd

rrkdEE ee

exxλθθλθθλ

π

π

2coscos 2

2

2 ==== ∫∫∫−

θcos

0

dEdE

E

x

y

=

=

)/1016.2()140.0(

)1050.7)(/1099.8(22/,

72

6229

2 CNm

CCNml

QkE

lrlQ

ex ×−=

×−×==

==−ππ

πλ

iCNErr

)/1016.2( 7×−=

r

dq

dθ

7. Un disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme σ.Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?

2/3220

2/3222/322 )(2

4)()2(

)( xrrdrx

xrdrrxk

xrxdqkdE ee +

=+

=+

=εσπσ

Idea chiave:• scompongo il disco in sottili anelli concentrici • calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli

Su un anello di raggio r e spessore radiale deè depositata una carica

la quale genera un campo sull’asse del disco pari a

Integro ora su tutto l’anello:

Tale integrale è della forma

da cui:

∫∫ −+==R

drrrxxdEE0

2/322

0

)2()(4εσ

drrdXmrxXconmXdXX

mm )2(,

23),(,

122

1

=−=+=+

=+

∫

drrdAdq )2( πσσ ==

x

−=

+=

− 2/122

1)( xrxxER

σσ

+

− 22

000 22/14 Rxεε

N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinitoil cui campo è pari a

02εσ

=E

8. Due strati infiniti, non conduttori, sono paralleli fra loro, come in figura. Calcolare il campo E a destra, al centro ed a sinistra dei due piani nel caso in cui:a) i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di segno opposto;b) i due piani posseggano distribuzioni di carica superficiale uniformi e di ugual segno.

Idea chiave:• il campo E prodotto da un piano infinito

vale

a seconda che la carica su di esso sia positiva o negativa.

• calcolo il campo E totale come somma vettorialedel campi E1 ed E2, prodotti dalle singoledistribuzioni

E

± σ

irr

02εσ

±=

a) Distribuzioni di segno opposto: nella regione 1 e 3 i campi prodotti dal piano con densità di carica + σ e – σ sono diretti in direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.Nella regione 2 i campi sono invece di verso concorde (lungo asse x)così che si ottiene un campo E di intensità totale

1 2 3

iiErrr

0022

εσ

εσ

==

b) Distribuzioni di segno uguale: regione 2 i campi prodotti dal piano condensità di carica + σ e – σ sono diretti in direzioni opposte, quindi i contributi si cancellano.Nelle regioni 1 e 3 i campi sono invece di verso concordecosì che si ottiene un campo E di intensità totale:

1 2 3

iiEiiErrrrrr

003

001 2

2,2

2εσ

εσ

εσ

εσ

==−=−=

Problemi: moto di cariche in campi elettrici9. In una stampante a getto d’inchiostro una goccia di massa m = 1.3 10-10 kg e con carica

negativa di modulo Q = 1.5 10-13 C penetra tra i piatti di deflessione, come mostrato infigura . Inizialmente la goccia si muove lungo l’asse x, con velocità v0x = 18 m/s.La lunghezza dei piatti è L = 1.6 cm. I piatti sono carichi e producono un campo elettricouniforme di intensità E = 1.4 106 N/C, diretto verso il basso. Quale è la deflessione verticale della goccia in corrispondenza dell’estremo di destradei piatti ? Si trascuri la forza di gravità.

Idea chiave:• Dato che la goccia è carica negativamente

ed il campo E è diretto verso il basso, sullagoccia agisce una forza elettrostatica QEdiretta verso l’alto.

• La goccia accelera verso l’alto con accelerazione costante

mQE

mFay ==

Le equazioni di moto, lungo x ed y sono:

Detto t’ il tempo di transito della goccia tra i piatti, gli spostamenti verticali ed Orizzontali in tale intervallo di tempo sono:

Ricavando t’ dalla seconda equazione e sostituendoli in 1) si ottiene:

0021

210

21

20

20

20

++=++=

++=++=

tvtatvxx

taytatvyy

oxxox

yyoy

Ltvx

tayyy

ox

y

==∆

=−=∆

')2

'21)1 2

0

mmmsmkg

mCNCvL

mQEtay

vLt

oxy

ox

64.0104.6)/18)(103.1(2

)106.1)(/104.1)(105.1(21'

21

'

410

22615

2

22 =×=

××××

===∆

=

−−

−−

10. Una sferetta carica positivamente di massa m = 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da unaaltezza h = 5.00 m, in un campo elettrico uniforme verticale, di intensità E = 1.00 104 N/C. La sferetta colpisce il suolo ad una velocità v = 21.0 m/s. Determinare:a) il verso del campo elettrico;b) la carica sulla sferetta.

Idea chiave:• La sferetta risente di una accelerazione verticale costante, data dalla combinazione della accelerazione di gravità e dalla accelerazione relativa al campo elettrico. Il moto della sferetta è quindi uniformemente accelerato.

Per la velocità della sferetta vale la relazione:

da cui si ricava l’accelerazione:

Questa è l’accelerazione complessiva della sferetta, che inserita nella seconda legge di Newton permette di calcolare il campo E:

a) Sapendo che la sola accelerazione di gravità fornirebbe una velocità finale

per raggiungere la velocità di 21.0 m/s è necessario che il campo E sia verticale ediretto verso il basso, dato che la carica è di segno positivo.

b) La carica q della sferetta vale quindi:

)(20

)(22

22

hav

xxavv

f

ifif

−+=

−+=

hv

a f

2

2

−=

jh

mvmgEq

jh

mvjqEjmgFFamF

f

fegnet

rr

rrrrrrr

)2

(

22

2

−=

−=+−=+==

smmsmghv

xxgvv

f

ifif

/90.9)00.5)(/8.9(22

)(22

22

===

−−=

CCsmsmkggvmq f µ43.31043.3/8.9)/0.21(1000.1)( 62

232

=×=

−×

=−= −−

y

0

h =

5 m Fg E

mCNhE )00.5(2/100.12 3×

Problemi: teorema di Gauss11. Una sfera isolante di raggio a possiede una densità volumetrica uniforme ρ ed una

carica totale Q positiva. Si calcoli:a) intensità del campo E fuori dalla sfera;b) intensità di E all’interno della sfera

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss,

sfruttando la simmetria sferica della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie sferica di raggio r concentrica con la carica, sulla cuisuperficie E è costante e perpendicolare in ogni punto.

a) Calcolo il flusso di E attraverso una superficie sfericaconcentrica con la carica ed esterna ad essa:

00

2 )4(εε

π QqrEdAEEdAAdE inE =====⋅=Φ ∫∫∫

rr

T. di Gauss)(

41

20

arperrQE >=

πεil campo esterno è equivalente a quello di carica puntiforme

b) Calcolo il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio rconcentrica con la carica ed interna ad essa. Per applicare il T. di Gauss devo calcolare la carica qin contenuta all’interno di tale sfera di volume V’:

)34(' 3rVqin πρρ ==

)(43

4

)34(

4

)4(

300

20

3

20

0

2

arperra

Qr

r

r

rqE

qrEdAEEdAAdE

in

inE

<==

==

====⋅=Φ ∫∫∫

πεερ

πε

πρ

πε

επ

rr

T. di Gauss

12. Calcolare il campo elettrico a distanza r generato da un filo uniformemente caricopositivo di lunghezza infinita la cui densità lineare di carica è λ.

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss, sfruttando la

simmetria cilindrica della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica di raggio re lunghezza l , coassiale con il filo carico

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al filo e diretto nel verso uscente.

Sui punti della superficie laterale del cilindro, E è costante in modulo ed è perpendicolarealla superficie in ogni punto.

Sulle basi E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso la superficie laterale, di area A:

00 ελ

εlqEAdAEEdAAdE in

E =====⋅=Φ ∫∫∫rr

T. di Gauss

rrE

lrlEAE

12

)2(

0

0

≈=

==

πελ

ελπ

il campo esterno varia più lentamente (≈1/r)che non ne caso di una distribuzione sferica (≈1/r2)

13. Trovare il campo elettrico creato da un piano isolante infinito con densità di carica superficiale σ.

Idea chiave:• applico il teorema di Gauss, sfruttando la

simmetria della distribuzione di carica.

• Utilizzo una superficie cilindrica con asse perpendicolare al piano e che attraversa simmetricamente la distribuzione piana.

Per simmetria della distribuzione di carica, il campo E deve essere perpendicolare al pianocon verso uscente

Sui punti della basi del cilindro, E è costante in modulo ed è perpendicolarealla superficie delle basi in ogni punto.

Sulla superficie laterale E è parallelo e quindi perpendicolare a dA, dando così flusso nullo.

Il flusso di E è diverso da 0 solo attraverso le basi del cilindro, ciascuna di area A:

00

222εσ

εAqEAdAEEdAAdE in

basebaseE =====⋅=Φ ∫∫∫

rr

T. di Gauss

0

0

2

2

εσεσ

=

=

E

AAE

il campo esterno è costante in ogni punto,indipendentemente dalla distanza dal piano

E è uniforme

Problemi: potenziale elettrico

14. Si calcoli il potenziale nel punto P, al centro del quadrato di cariche puntiformimostrate in figura. Si assuma d = 1.3 m, q1 = +12nC, q2 = -24 nC, q3 = +31 nC, q4 = +17 nC.

Idea chiave:• calcolo il potenziale elettrostatico in P

come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

+++=

=∑=

rq

rq

rq

rq

VVn

ii

4321

0

1

41πε

Essendo r la distanza fra le cariche, pari a

si ottiene:

2/222

2222 drdddr =⇒=

+

=

Vm

CCNm

dqqqqV

3522/3.1

10)17312412()/1099.8(

2/)(

41

9229

4321

0

=×++−

×=

+++=

−

πε

15. Le tre cariche in figura sono ai vertici di un triangolo isoscele di base 2.00 cm elati uguali di 4.00 cm. a) Calcolare il potenziale al centro della base, assumendo q = 7.00 µC. b) Calcolare il campo elettrico nello stesso punto.

=q1

q2 q3a) Il potenziale in P è dato da:

ove le distanze della cariche da P sono:

da cui si ottiene:

−−=

++=

=∑=

32103

3

2

2

1

1

0

1

11144

1rrr

qrq

rq

rq

VVn

ii

πεπε

mrr

mmmr2

32

222221

1000.1

1087.3)1000.1()1000.4(−

−−−

×==

×=×−×=

Vmmm

CCNm

rrrqV

6

2226229

3210

100.1110

110

11087.31)1000.7)(/1099.8(

1114

×−=

−−

×××=

−−=

−−−−

πε

Idea chiave:• calcolo il potenziale elettrostatico in P

come somma algebrica dei potenziali creati dalle quattro cariche.

• calcolo E come somma dei campi prodottidalle singole cariche

b) Le cariche negative producono in P campi E di verso opposto che quindi si annullano. Il campo in P è dato solo dalla carica q1:

( ) jCNj

mCCNm

jrqEP

rr

rr

622

6229

210

102.41087.31)1000.7)(/1099.8(

41

×−=×

××−=

−=

−

−

πε