PROBLEM SOLVING ARITMETICO

DOTT.SSA Tania Mattiuzzo

Cell.347.9675812

la soluzione dei problemi matematici richiede

competenze cognitive • abilità che definiscono la competenza testuale (comprensione

lessicale, sintattica e semantica almeno in buona parte simile a quella richiesta per la comprensione dei testi non matematici);

• quelle di tipo rappresentazionale della situazione problemica (es. saper rappresentare mentalmente oppure graficamente la situazione descritta nel testo, in particolare il rapporto tra i dati e domande a cui rispondere;

• quelle che consentono la generalizzazione delle conoscenze: saper riconoscere cioè la struttura profonda di un problema al di là degli oggetti o degli eventi di cui si parla (abilità di categorizzazione);

• quelle relative alle abilità di management dei compiti da svolgere (es. pianificazione delle fasi necessarie per la soluzione di un problema; saper essere in grado di autovalutare il proprio operato; individuare l’errore nell’applicazione delle procedure, ecc.)

abilità di management dei compiti da svolgere

• Questo ultimo aspetto introduce le ricerche ad indirizzo metacognitivo che hanno dato spazio ad alcuni processi di controllo nel problem solving matematico. Si tratta in particolare degli studi pioneristici della Brown sul ruolo dei processi di previsione, pianificazione, monitoraggio e valutazione del proprio operato di fronte al compito.

Stenberg (1987) successivamente identifica il ruolo di sei differenti processi di controllo che un soggetto utilizzerebbe

nella soluzione di problemi matematici:

• la decisione sulla natura del problema• la selezione delle componenti per la

soluzione• la selezione di una strategia per la

combinazione degli elementi• la decisione su una rappresentazione

mentale• la distribuzione delle risorse• il monitoraggio dei processi di soluzione.

comprensione del testo del problema

• ad essa viene riconosciuto un ruolo cruciale nelle fasi iniziali per identificare di che cosa si tratta nel testo (identificazione del problema), anche se solo indirettamente collegata alla metacognizione (es. organizzazione del testo, posizione del quesito, ecc.)

• La comprensione del problema è fortemente aiutata dal recupero di uno schema di memoria che si riferisca a quel tipo di problema.

• Questo schema, in connessione con un insieme di conoscenze metacognitive sulle tipologie dei problemi, è quello che aiuta a riconoscere la somiglianza tra problema in esame ed altri problemi svolti.

• Dopo che il problema è stato compreso, il solutore deve determinare quali sono gli elementi noti, quali quelli sconosciuti e che cosa viene esattamente richiesto, per arrivare a definire il problema in modi nuovi.

• Il confronto tra tipologie di problemi favorisce la procedura di classificazione e la generalizzazione delle conoscenze.

E’ questo il miglior predittore delle abilità del soggetto.

rappresentazione del testo

• abilità che si basa sulla selezione, reinterpretazione e riorganizzazione degli elementi offerti dal testo del problema problema attraverso “la costruzione di una mappa mentale degli elementi, della relazione fra gli elementi e degli scopi”

L’attività di pianificazione • prevede che gli elementi del testo vengano organizzati in un certo

modo.

In Cornoldi et al. (1995; pag. 17) “…i buoni solutori, procedendo nella soluzione, devono tener sotto controllo, aggiornare e completare il piano iniziale . Inoltre, al di là dell’efficienza del piano elaborato, esso ha comunque implicato dei costi (il soggetto ha dovuto impiegare tempo e risorse cognitive, ha dovuto sforzarsi per evitare di distrarsi durante la concentrazione in operazioni mentali di pianificazione abbastanza astratte) che in molti casi non sono compensati dai benefici poi avuti durante la soluzione. … Un soggetto con buone abilità metacognitive non è necessariamente quello che pianifica maggiormente, ma quello che sa capire fino a che punto è appropriato pianificare e quando è necessario aggiornare e completare il piano”…’’

Studenti con difficoltà nel risolvere problemi di

matematica• Cosa conosciamo sull’origine di queste

difficoltà

• Cosa possiamo fare

Proviamo a risolvere il seguente problema

Se il reddito annuo di Paolo venisse raddoppiato, guadagnerebbe 50 Euro più di Luigi. Paolo guadagna 70 Euro in più della metà del reddito di Marco. Marco guadagna 180 Euro a settimana. Qual è il reddito di Luigi?

Ora pensate ai processi cognitivi e alle strategie

metacognitive che avete usato per risolvere il problema.

Avete probabilmente usato alcune delle seguenti strategie e

processi:• Rilettura del problema o alcune sue parti• Identificazione delle parti• Formulazione del quesito• Visualizzazione o disegno o diagramma• Farsi uno schema elaborativo• Valutazione del risultato• Effettuare delle operazioni e ricontrollare il lavoro• Controllare di aver risolto il problema

correttamente (prodotto e elaborazione)

Buoni risolutori di problemi di matematica hanno una conoscenza

matematica che include:

• Conoscenza dei concetti

• Conoscenza dichiarativa

• Conoscenza dei processi mentali

• Conoscenza di strategie

Domande• Cosa sappiamo al riguardo di risolutori abili e meno

abili di problemi di matematica?• Cosa possiamo fare per aiutare gli studenti a divenire

risolutori più abili di problemi di matemica?

Per rispondere a queste domande, è importante:• Capire le teorie sottostanti• Avvicinarsi al problema con la stessa metodologia

che si usa per la ricerca• Utilizzare modalità di intervento che si sono rilevate

efficaci

Risolvere problemi è un’attività cognitiva complessa.

Cosa sappiamo a riguardo di risolutori abili e meno abili di problemi di matemica che usano la conoscenza di strategie?

• PS/SL abili– Repertorio di conoscenze cognitive e

metacognitive e uso appropriato di queste– Alta motivazione– Abilità di memoria– Linguaggio sviluppato– Emotività sotto controllo– Molto attenti– Persistenti– Auto motivati– Si controllano da soli – Abilità ad adattarsi e a generalizzare strategie

•PS/SL meno abili

–Mancanza o repertorio limitato di strategie

–Difficoltà nella selezione, organizzazzione e nell’uso di strategie appropriate

–Difficoltà nell’abbandono di strategie non efficaci

–Abilità metacognitive non sviluppate

–Bassa motivazione

–Impulsivi

–Problemi di attenzione, memoria e linguaggio

–Non persistenti

–Non auto motivati

–Inabilità a trovare e correggere errori

–Mancanza di visualizzazione dei problemi

–Inabilità a generalizzare

Alcune ricerche hanno messo in evidenza che studenti con difficoltà a

risolvere problemi di matematica paragonati agli studenti tipici

presentavano differenze rilevanti in….

. • Abilità matematica elementare• Abilità nel valutare la difficoltà del problema• Percezione delle proprie abilità• Persistenza• Debole uso di strategie: in particolare la

strategia di rappresentazione grafica del problema

Ricerca sull’intervento: Cosa possiamo fare?

Insegnamento delle strategie

cognitive: • Questo dà ulteriore assistenza sul metodo per

insegnare agli studenti come decidere sul da farsi.

• Gli studenti imparano a

– Capire problemi di matematica,

– Analizzare le informazioni presentate,

– Sviluppare schemi logici per risolvere problemi,

– Valutare le loro soluzioni.

Processi cognitivi e strategie metacognitive

Processi cognitivi• Leggere e capire il problema.• Parafrasare il problema usando

parole proprie.• Visualizzare il problema facendo un

illustrazione o creando un’immagine mentale.

• Fare un’ipotesi o creare un diagramma per risolvere il problema.

• Dare una soluzione approssimativa.• Fare i calcoli aritmetici.• Controllare l’elaborazione e il

prodotto.

Strategie metacognitive

(auto motivazione)• Sviluppare l’auto

apprendimento• Porsi molte doamnde sul

pocedimento: indagare le possibili soluzioni

• Controllare e Correggere

Insegnamento delle strategie cognitive

Strategie di monitoraggio individuale aiutano i risolutori di problemi a

• Acquisire la conoscenza strategica e attivare importanti processi cognitivi,

• Indirizzare se stessi mentre si assilimilano le informazioni e si applicano le strategie, e

• Regolare l’uso di strategie e il proprio progresso nel risolvere i problemi.

Accertamento dell’abilità nel risolvere i problemi

Accertamento iniziale e controllo continuo:• Valutare il rendimento dello studente nel risolvere problemi di

matematica• Accertarsi della conoscenza e dell’uso di strategie da parte di

ogni studente• Usare processi di accertamento rivolti verso gli studenti, basati

sull’elaborazione, e direttamente relativi al programma di istruzione

• Capire la conoscenza elementare degli studenti, il livello di abilità, lo stile di apprendimento, il metodo di elaborazione dati, le attività strategiche usate, l’atteggiamento, e la motivazione per l’apprendimento della matematica

• L’insegnante deve essere capace di giudicare i bisogni sia individuali che del gruppo

Istruzione esplicita

• Lezioni altamene strutturate e organizzate,• Aiuti e indizi adeguati, • Pratica indirizzata e ben distribuita, • Feedback immediato e produttivo sul

rendimento dello studente, • Incoraggiamento positivo, • Imparare più del necessario, e• Padronanza del materiale.

Istruzione implicita

• Tecnica di discussione indirizzata usando una routine specifica per risolvere il problema

• Impegnarsi attivamente nel processo d’apprendimento

• Obiettivo di rendimento che gli studenti si pongono da soli

• Trovare successo immediato• Fare pratica nella verbalizzazione di processi

cognitivi e strategie di controllo individuale

Modello di elaborazioneIl modello di elaborazione: pensare ad alta voce mentre si

dimostra un’attività cognitiva. • Aiuta gli studenti ad applicare i procedimenti e le strategie di risoluzione di

problemi • Enfatizza l’appredimento per imitazione • Dà agli studenti l’opportunità di osservare e sentire come risolvere un

problema di matematica• L’insegnante mostra agli studenti come esporre il ragionamento e a farlo a

loro volta mentre risolvono problemi di matematica• Mostra agli studenti sia cosa fare che cosa non fare• Modello dei ragionamenti corretti consente di osservare l’applicazione

adeguata e corretta dei processi e delle strategie• Modello dei ragionamenti incorretti consente agli studenti di osservare

come localizzare e correggere gli errori

Feedback sul rendimento

• Feedback sul rendimento e progresso mentre si imparano e si applicano le strategie e i procedimenti per risolvere problemi.– Rendimento durante sessioni di pratica e controlli sul

progresso periodico viene anche analizzato. – Gli studenti imparano a incoraggiarsi, valutarsi e

controllare il proprio rendimento.– Elogi ed incoraggiamento da parte degli altri studenti e

dell’insegnante per aver correttamente risolto un problema o aver migliorato nei controlli periodici del rendimento.

– Uso di elogi specifici indirizzando il feedback verso lo studente in questione.

Incoraggiamento• Essenziale per studenti che imparano a risolvere problemi• Bisogna sapere esattamente quali ragionamenti sono elogiati e

incoraggiati in modo che si possano ripetere • Dà opportunità di fare pratica nel dare e ricevere feedback e

incoraggiamento • Mostra che gli studenti hanno successo e che possono migliorare le

loro abilità nel risolvere problemi• L’incoragiamento deve riflettere accuratamente il risultato ottenuto

dallo studente • Serve ad informare gli studenti che stanno rendedo bene e stanno

facendo progressi• L’incoraggiamento da parte degli altri studenti per aver partecipato

nelle sessioni di pratica è parte essenziale del programma • L’obiettivo finale è di far sì che gli studenti si rendano conto che hanno

fatto bene e che si lodino per questo.

Riepilogando……

• L’intervento suggerito si basa sulla esplicitazione al soggetto di sette fondamentali categorie di strategie e processi cognitivi e tre metcognitive. I processi cognitiv sono:

1. leggere per comprendere2. parafrasare per tradurre3. visualizzare per trasformare4. ipotizzare per pianificare5. stimare per predire6. calcolare7. e controllare

Mentre….. Le strategie metacognitive sono:

• autoistruirsi in relazione alla conoscenza e all’uso di strategie

• Autointerrogarsi

• automonitorarsi.

References• . • Montague, M. & van Garderen, D. (2003). A cross-sectional study of mathematics

achievement, estimation skills, and academic self-perception in students of varying ability. Journal of Learning Disabilities, 36, 437-448.

• Montague, M., & Applegate, B. (2001) Middle school students’ perceptions, persistence, and performance in mathematical problem solving. Learning Disability Quarterly, 23, 215-228. 

• Montague, M., Warger, C. (2000) Solve it! Strategy instruction to improve mathematical problem solving. Learning Disabilities Research and Practice, 15, 110-116. 

• Montague, M. (1997). Student perception, mathematical problem solving, and learning disabilities. Remedial and Special Education, 18, 46-53.

• Montague, M. (1996). Assessing mathematical problem solving. Learning Disabilities Research and Practice, 11, 228-238. 

• Montague, M., Applegate, B., & Marquard, K. (1993). Cognitive strategy instruction and mathematical problem-solving performance of students with learning disabilities. Learning Disabilities Research and Practice, 29, 251-261.

•  

La discalculia

…..

Per l’analisi dei disturbi delle procedure esecutive e di calcolo si concorda con la prassi comune di definire l’età minima per porre la diagnosi non prima della fine del 3° anno della scuola primaria (3a elementare), soprattutto per evitare l’individuazione di molti falsi positivi.

Nel corso dell’ultimo anno della scuola dell’infanzia:

i bambini in genere raggiungono •l’enumerazione fino a dieci (enunciazione della serie verbale automatica), •il conteggio fino a cinque, •il principio di cardinalità •la capacità di comparazione di piccole quantità.

Per i bambini che non avessero ancora raggiunto queste competenze l’obiettivo è realizzare attività didattiche-pedagogiche mirate.

Alla fine della prima elementare vanno individuati i bambini che non hanno raggiunto una o più delle seguenti abilità:

• a) il riconoscimento di piccole quantità,• b) la lettura e la scrittura dei numeri entro il dieci,• c) il calcolo orale entro la decina anche con supporto

concreto.

L’individuazione di tali difficoltà è finalizzata alla realizzazione di attivitàdidattiche-pedagogiche mirate durante il secondo anno della scuola primaria.

PROCESSI SEMANTICI

PROCESSI LESSICALI

PROCESSI SINTATTICI

CALCOLO SCRITTO

CALCOLO A MENTE

COUNTING

Schema dei processi

Le aree di intervento

• Lessico: il nome dei numeri con attività che sollecitano sia la componente fonologica che visuopercettiva

• Semantica: la quantità continua e discreta, l’indipendenza della quantità dagli aspetti visuopercettivi e fonologici, i codici per esprimere le quantità, il significato delle operazioni

• Sintassi: i sistemi di grandezza, l’ordinamento secondo la dimensione

• Counting: dal subitizing alla capacità di operare con le quantità

• Calcolo mentale: operare con i numeri attraverso strategie

• Calcolo scritto

Le domande base

• Lessico: che numero è?• Counting: quanti sono?• Sintassi: quali regole organizzano il

sistema quantitativo del numero?• Semantica: Dove ce n’è di più?

Dove ce n’è di meno? Che fare per averne di più? E per averne di meno?

APPRENDIMENTO DEL NUMERO E DISCALCULIA

• Negli anni che vanno dal 1870 al 1890, gli studiosi dell’afasia osservarono che alcuni dei loro malati avevano perso la capacità di leggere e scrivere numeri. Questo deficit venne interpretato come un aspetto del quadro sintomatologico dell’afasia

• Vennero però osservati anche pazienti che avevano mantenuto la capacità di leggere e scrivere numeri, ma non quella di leggere e scrivere parole

• E più raramente, quadri opposti: incapacità di leggere o scrivere numeri, con mantenuta capacità di leggere o scrivere parole

• Henschen nel 1919 introdusse il termine di “acalculia” per designare: qualsiasi tipo di compromissione nell’uso dei numeri e in senso più stretto per designare specificatamente il disordine di calcolo

Kosc, 1974 definisce la discalculia evolutiva

• Un disordine strutturale delle abilità matematiche, che ha la sua origine in un disordine genetico o congenito in grado di influire nella formazione di alcune aree del cervello, in assenza di disordini simultanei alle funzioni mentali generali.

Disturbo specifico delle abilità aritmetiche

Questo disturbo implica una specifica compromissione delle abilità aritmetiche e, in particolare:

• La padronanza delle capacità di calcolo fondamentali proprie delle quattro operazioni.

• Esso si caratterizza per l’incapacità a comprendere i concetti alla base di particolari operazioni aritmetiche,

• mancata comprensione dei termini o dei segni matematici, mancato riconoscimento dei simboli numerici,

• difficoltà ad attuare manipolazioni aritmetiche standard, difficoltà a comprendere quali dati sono pertinenti al problema aritmetico in esame,

• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o simboli durante i calcoli,

• difettosa organizzazione spaziale dei calcoli aritmetici, incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelle della moltiplicazione.

Le prestazioni aritmetiche del bambino devono essere significativamente al di sotto del livello

atteso in base alla sua età, al suo livello intellettivo generale e alla sua scolarizzazione. Anche in

questo caso la valutazione può essere effettuata sulla base di un test aritmetico standardizzato

somministrato individualmente (ad esempio il test ABCA/Test delle abilità di calcolo aritmetico, Lucangeli et al., 1998 e il

Test AC-MT, Cornoldi et al., 2002).

Dagli studi emerge che i bambini che presentano questo disturbo tendono ad avere capacità uditivo percettive verbali nella norma, mentre le capacità visuopercettive e visuospaziali sono compromesse.

Quali sono le componenti che possono essere compromesse nella

Discalculia Evolutiva

• Elaborazione del numero: conoscenza lessicale, semantica e sintattica del numero e processi di transcodifica

• Conoscenza di fatti numerici: tabelline e conoscenza del significato dei segni

• Conoscenza procedurale: algoritmi di calcolo

LA CONOSCENZA DEL NUMERO

• Tra i modelli cognitivi che sostengono la specificità delle componenti coinvolte quando si eseguono dei calcoli o si riconoscono dei numeri, descrivo brevemente quello di McCloskey e Caramazza, che fornisce un primo, anche se schematico generale inquadramento dell’elaborazione di informazioni numeriche e delle modalità attraverso le quali avviene il calcolo.

due sistemi specifici e indipendenti alla base

dell’apprendimento della matematica • il sistema responsabile

dell’elaborazione dei numeri

che consente di operare

con i numeri, cioè riconoscerne i simboli grafici, contare, attribuire ad ogni numero la sua quantità, attribuire ad ogni cifra che compone un numero il suo corretto valore posizionale, ecc.

• il sistema preposto all’elaborazione del calcolo

cioè il sistema che riconosce i simboli aritmetici e specifica gli algoritmi di calcolo.

Modello McCloskey e Caramazza

SISTEMA DI ELABORAZIONE DELL’INPUT

NUMERICO (/7/+/2/)

SISTEMA DI CALCOLO (ACCESSO AGLI ALGORITMI

E AI FATTI NUMERICI)

SISTEMA DI ELABORAZIONE DELL’OUTPUT

NUMERICO (/9/ OPPURE /NOVE/)

Un’altra importante distinzione è da operarsi tra meccanismi di comprensione e produzione dei numeri (cfr.

Temple, 1991; Lucangeli e Passolunghi, 1995)

• Comprensione capacità percettive e

mnestiche che permettono la decodifica del numero (riconoscimento dell’etichetta, attribuzione di una quantità, elaborazione della relazione sintattica tra gli elementi che costituiscono il numero)

• Produzione: sono chiamate in causa

la capacità di selezionare gli elementi fondamentali del lessico numerico in base al loro valore semantico e sintattico

Un deficit a livello della:

• Comprensione:

impedisce l’accesso al sistema cognitivo dei numeri

• Produzione: impedisce l’output del sistema

All’interno dei sistemi di comprensione e produzione

• si distinguono unità funzionali di elaborazione in base al codice uditivo (fonologico) e visivo (grafemico o arabico) indipendenti tra loro (per cui possono essere compromessi selettivamente). A questo livello sono coinvolte le attività di transcodifica che consentono il passaggio da un codice all’altro.

• Un deficit in uno di questi sistemi darà luogo a difficoltà specifiche che comprometteranno il corretto funzionamento dell’intero sistema e di conseguenza l’apprendimento della matematica.

• Possiamo collocare con la frequenza della prima classe della scuola primaria lo sviluppo de “Il sistema di elaborazione del calcolo”, che comprende tutti i processi che hanno luogo dopo l’elaborazione dell’input e prima della produzione dell’output (per esempio i processi di conta, la rievocazione dei fatti numerici e degli algoritmi di calcolo, ecc.), e comprende tre componenti tra loro indipendenti (McCloskey et al.,1985)

1. processazione dei segni delle operazioni (in base al codice arabo o verbale)

2. recupero delle conoscenze sui numeri in Memoria a Lungo Termine (conoscenza dei cosiddetti fatti numerici)

3. l’attivazione delle componenti di memoria procedurale che specificano gli algoritmi per ogni operazione.

TIPI DI ERRORI• LESSICALI: sono quelli che riguardano il “nome” delle cifre

che compongono il numero senza coinvolgere il loro posto all’interno del numero es. 4 al posto di 7; 15 al posto di 13; 31 al posto di 32

• SINTATTICI: sono quelli in cui risulta compromessa la capacità di stabilire i rapporti tra le cifre in una struttura sintattica corretta, pur rimanendo integra la capacità di codificare le singole cifre es. 13 invece di 31 e 184 invece di 148

• ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO:Errori nel recupero di fatti aritmetici es. 3+3=9; es. 3x3=6Errori nel mantenimento e nel recupero delle procedure es.

nell’operazione 3+5, il b. parte da 3 per aggiungere 5 invece che porre l’addendo più grande come punto di partenza

Errori nell’applicazione delle procedure sono gli errori di riporto, di incolonnamento, di prestito es. 75-58=20 perché 5-8=0 e 7-5=2; es. 506-228=388 in cui il prestito è avvenuto una sola volta, a carico delle decine

Difficoltà visuospaziali es. difficoltà nel riconoscere i segni di un’operazione (+ e x); es difficoltà ad acquisire i concetti di “dall’alto verso il basso” “oppure da sinistra verso destra”

Ricordiamo…LA DISCALCULIA EVOLUTIVA

• Tra i Disturbi Specifici di Apprendimento è quella meno conosciuta

• Non è sufficiente avere generiche difficoltà in matematica per essere definiti discalculici devono essere rispettati specifici parametri condivisi dalla comunità scientifica

• Le difficoltà riguardano i compiti numerici e aritmetici di base come leggere e scrivere correttamente i numeri o eseguire calcoli a mente o per iscritto con sufficiente rapidità e precisione

Una definizione(Christine Temple)

“la discalculia è un disturbo delle abilità matematiche e aritmetiche che si manifesta in

bambini di intelligenza normale, che non hanno subito danni neurologici. Essa può

presentarsi associata a dislessia, ma è possibile che ne sia dissociata”