Probabilità e statistica

La matematica dell’incertezza nel secondo ciclo

Bambini e probabilità

1. Piaget-Inhelder (1951): le nozioni più fondamentali della probabilità presuppongono il raggiungimento dello stadio delle operazioni formali

2. Fischbein (1975): alcune competenze probabilistiche possono subire un peggioramento nel corso del tempo

3. Shaughnessy (1992); Kennedy et al. (2008): lo studio della probabilità stimola la risoluzione dei problemi e fornisce un evidente aggancio con l'esperienza quotidiana del bambino

Difficoltà evidenziate

1. Difficoltà a capire alcuni concetti probabilistici fondamentali, come quello di probabilità o di media

2. Tendenza a cader preda di distorsioni di giudizio (bias) o a compiere fallacie nel ragionamento probabilistico e statistico

Difficoltà a capire i concetti fondamentali

Difficoltà a capire i concetti fondamentali

Fallacie e bias

Importanza dell’analisi dei dati

1. I bambini devono «formulare domande per rispondere alle quali sono necessari dei dati; questi devono essere raccolti, organizzati e rappresentati per permettere una risposta» (Principles and Standards, p. 48).

2. I dati raccolti devono essere rilevanti per la vita dello studente, e possibilmente avere una ricaduta pratica

3. Es.: in una classe USA, i bambini hanno raccolto dati su quali cibi della mensa vengono gettati più spesso nell’immondizia; i dati raccolti hanno consentito di migliorare il menu scolastico

I bambini formulano le proprie domande

E’ importante che i bambini formulino loro stessi le domande a cui rispondere. Ciò può essere fatto a diversi livelli:

1. Domande su se stessi e sulla classe: domande sulle proprie ed altrui preferenze, sulle quantità, sulle misure relative a se stessi e ai propri compagni;

2. Domande sul contesto sociale a cui appartiene la classe;

3. Confronti tra la classe e altri gruppi di riferimento (bambini di altre classi, insegnanti, genitori)

4. Domande oltre la comunità in cui il bambino vive: curiosità geografiche, record sportivi …

Classificare e rappresentare dati

Una volta raccolti, i dati vanno classificati e categorizzati per dar loro un senso.

Ad es. in un sondaggio sui giochi preferiti in cui vengono votati 25 giochi diversi, ha poco senso un diagramma a barre con 25 colonne

Meglio categorizzare i dati, es. in giochi da tavolo, giochi elettronici, giochi di movimento ecc.

Misure di tendenza centrale

Consideriamo l’insieme di numeri1,1,3,5,6,7,8,9

La moda è il dato che compare più frequentemente nell’insieme; qui è 1La media si ottiene sommando tutti i dati e dividendo per il numero dei dati; qui è 40:8=5La mediana è il valore di mezzo in un insieme ordinato di dati; metà dei valori giacciono sotto di essa e metà sopra. Qui è un numero compreso tra 5 e 6, es. 5,5

Modelli intuitivi di media: la media come livellamento

Mettiamo che il numero medio di membri della famiglia nella classe sia 5

Che significa? E’ come distribuire uniformemente i papà, le mamme, i fratellini e le sorelline in modo tale che ciascun bambino abbia una famiglia della stessa grandezza

Livellare le colonne Il piede medio

Modelli intuitivi di media: la media come bilanciamento

La media può essere interpretata anche come un punto su una linea numerica che bilancia i dati presenti su un lato e sull’altro

La media come bilanciamento può essere usata per discutere i cambi di media: se aggiungo un giocattolo da E. 20, o tolgo un giocattolo da E. 1, che succede?

Supponiamo che aggiunga un giocattolo che cambia la media da 6 a 7 Euro. Quanto costa il giocattolo nuovo?

Rappresentazioni grafiche discrete

Rappresentazioni grafiche continue

Diagrammi a torta (aerogrammi)

Probabilità: eventi impossibili, possibili, certi

Domani pioverà Se lanci un sasso in acqua, affonderà Un albero ti parlerà questo pomeriggio Il sole sorgerà domani Tre bambini saranno assenti domani Stasera Giorgio andrà a letto prima delle

8.30 Avrai due compleanni quest’anno

I dadi strambi

Valutazioni elementari di probabilità

Sulla linea delle probabilità, tracciare un segno su un determinato punto

Dire quanti cartoncini rossi dovrebbero stare nel sacchetto per avere (più o meno) quella probabilità di estrarre il rosso

Far poi verificare la stima fatta facendo estrarre effetivamente i cartoncini

Non ci sono risposte esatte (non ci sono numeri!), ma il bambino capisce che la probabilità si avvicina (alla lunga) alla frequenza relativa

Valutazioni numeriche di probabilità

Spazio campione: l’insieme dei possibili esiti di un esperimento (es. se estraggo una pallina da un sacchetto che ne contiene 10, ho 10 esiti nello spazio campione)Un evento è un insieme di esiti simili nello spazio campione (es. l’estrazione di una pallina rossa)

Crea un gioco

Esperimenti in due stadi

Immaginate di lanciare due monete 100 volte. Quante volte vi aspettate che esca 1 testa e 1 croce?

…lo spazio campione è TT, TC, CT, CC, quindi il nostro evento ha una probabilità di ½

Dadi dadoni