INFERRE

COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

Direttore

Corrado TUniversità degli Studi di Palermo

Comitato scientifico

Giuseppe RUniversità degli Studi di Palermo

Francesco RUniversity of Cape Town

Francesco TUniversità degli Studi di Palermo

INFERRE

COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

Credo che il calcolo delle probabilità sia l’unica branca della matematica in cuibuoni autori ottengono spesso risultati completamente sbagliati.

Charles P

La collana è orientata verso due direzioni diverse ma connesse traloro. La prima ha come obiettivo quello di trasferire gradualmenteal lettore (studente o meno) un messaggio preciso, anche se a primavista ovvio: i metodi della matematica pura sono fondamentali e for-mano il tessuto connettivo essenziale al calcolo delle probabilità e allastatistica. Ciò non è scontato, perché si nota una carenza significativanel panorama editoriale italiano di testi orientati in tal senso. Questachiave di lettura, quindi, privilegia testi con linguaggio formale dellamatematica pura nella teoria delle probabilità e della statistica mate-matica, senza escludere le applicazioni. I volumi sono pensati per glistudenti delle scuole di matematica.

La seconda direzione, usando un linguaggio meno formale ma pursempre essenziale e rigoroso, riguarda l’applicazione del calcolo delleprobabilità e della statistica descrittiva a specifici temi, quali la teoriadei giochi, le scienze naturali, la chimica, la farmacia, la medicina,l’ingegneria, la biologia, la sociologia, l’economia e la finanza.

Corrado Tanasi

Calcolo delle probabilitàcon elementi di Statistica matematica

II edizione

Aracne editrice

www.aracneeditrice.itinfo@aracneeditrice.it

Copyright © MMXVIGioacchino Onorati editore S.r.l. – unipersonale

www.gioacchinoonoratieditore.itinfo@gioacchinoonoratieditore.it

via Sotto le mura, Canterano (RM)

()

----

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,

con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: maggio

Indice

Introduzione

1 Algebra degli eventi 11.1 Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elementi di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . 27

2 Probabilità di un evento2.1 Stupirsi di un evento poco probabile . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Dove cade un fulmine? . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Teorema delle probabilità totali . . . . . . . . . . . . . 522.3 Probabilità di alcuni giochi popolari . . . . . . . . . . 56

2.3.1 Legge del caso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.2 Lotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.3 Superenalotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.4 WinforLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Diagramma ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5 Il problema della rovina del giocatore . . . . . . . . . . 672.6 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Variabili aleatorie discrete3.1 Modelli discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Speranza matematica (o valore atteso) . . . . . . . . . 80

3.2.1 Speranza matematica e gioco equo . . . . . . . 813.2.2 Speranza matematica come operatore lineare . 833.2.3 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . . 88

37

7 7

7

Indice

Introduzione

1 Algebra degli eventi1.1 Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Elementi di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . .

2 Probabilità di un evento2.1 Stupirsi di un evento poco probabile . . . . . . . . . .

2.1.1 Dove cade un fulmine? . . . . . . . . . . . . . .2.2 Teorema delle probabilità totali . . . . . . . . . . . . .2.3 Probabilità di alcuni giochi popolari . . . . . . . . . .

2.3.1 Legge del caso? . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Lotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Superenalotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4 WinforLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Diagramma ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Il problema della rovina del giocatore . . . . . . . . . .2.6 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Variabili aleatorie discrete3.1 Modelli discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Speranza matematica (o valore atteso) . . . . . . . . .

3.2.1 Speranza matematica e gioco equo . . . . . . .3.2.2 Speranza matematica come operatore lineare .3.2.3 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . .

71

7

Indice8 Indice

3.2.4 Speranza matematica di una funzione di unavariabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.1 Notizie storiche e significato dei momenti . . . 95

3.4 Coefficiente di correlazione di due variabili aleatorie . . 963.5 Variabile aleatoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 993.6 La variabile aleatoria polinomiale . . . . . . . . . . . .3.7 La variabile aleatoria ipergeometrica . . . . . . . . . .3.8 La speranza matematica e la varianza di una H(a, b, n)

3.9 Variabile aleatoria geometrica . . . . . . . . . . . . . .3.9.1 Variabile aleatoria di Poisson . . . . . . . . . .3.9.2 La distribuzione di Poisson come limite della

binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4 Modelli continui 1194.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2.1 Funzione di ripartizione di una variabile alea-toria qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.2 Variabili aleatorie assolutamente continue . . . 1304.3 Cenni sull’integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . . 1344.4 Momenti di una variabile aleatoria qualunque . . . . . 1364.5 Disuguaglianza di Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 Disuguaglianza di Markov e di Bienaymé-Tchebychev . 1424.7 La mediana e i quantili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.8 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.8.1 La variabile aleatoria uniforme . . . . . . . . . 1464.8.2 La variabile aleatoria normale o di Laplace-

Gauss N (m,σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.8.3 Cos’è normale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.8.4 Ulteriori proprietà della Normale . . . . . . . . 1534.8.5 Approssimazione normale alla distribuzione bi-

nomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.8.6 La tavola di Galton . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.8.7 Variabili aleatorie esponenziali . . . . . . . . . 162

104105108109111

Indice 9Indice

3.2.4 Speranza matematica di una funzione di unavariabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.1 Notizie storiche e significato dei momenti . . . 79

3.4 Coefficiente di correlazione di due variabili aleatorie . . 803.5 Variabile aleatoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 833.6 La variabile aleatoria polinomiale . . . . . . . . . . . . 883.7 La variabile aleatoria ipergeometrica . . . . . . . . . . 893.8 La speranza matematica e la varianza di una H(a, b, n) 923.9 Variabile aleatoria geometrica . . . . . . . . . . . . . . 93

3.9.1 Variabile aleatoria di Poisson . . . . . . . . . . 953.9.2 La distribuzione di Poisson come limite della

binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Modelli continui 1034.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Variabile aleatoria qualunque . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.1 Funzione di ripartizione di una variabile alea-toria qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.2 Variabili aleatorie assolutamente continue . . . 1144.3 Cenni sull’integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . . 1184.4 Momenti di una variabile aleatoria qualunque . . . . . 1204.5 Disuguaglianza di Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6 Disuguaglianza di Markov e di Bienaymé-Tchebychev . 1264.7 La mediana e i quantili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.8 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.8.1 La variabile aleatoria uniforme . . . . . . . . . 1304.8.2 La variabile aleatoria normale o di Laplace-

Gauss N (m,σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8.3 Cos’è normale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.8.4 Ulteriori proprietà della Normale . . . . . . . . 1374.8.5 Approssimazione normale alla distribuzione bi-

nomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.8.6 La tavola di Galton . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.8.7 Variabili aleatorie esponenziali . . . . . . . . . 146

4.8.8 Un atomo non ha memoria . . . . . . . . . . . 1694.8.9 Amnesia discreta e continua . . . . . . . . . . . 1704.8.10 Variabile aleatoria di Cauchy . . . . . . . . . . 173

5 Variabili aleatorie n dimensionali 1755.1 Leggi di probabilità congiunte . . . . . . . . . . . . . . 175

5.1.1 Variabili aleatorie bidimensionali . . . . . . . . 1815.2 Speranza matematica condizionata di una variabile alea-

toria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3 La retta di regressione e dei minimi quadrati . . . . . . 1895.4 Variabile aleatoria normale bidimensionale . . . . . . . 1935.5 Somma di due variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . 1985.6 La funzione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.7 Teorema di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.8 Esempi di funzione caratteristica di variabili aleatorie

note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.9 La funzione caratteristica in Rn . . . . . . . . . . . . . 210

6 Successioni di variabili aleatorie6.0.1 Convergenza in probabilità . . . . . . . . . . . 2156.0.2 Convergenza in legge . . . . . . . . . . . . . . . 2176.0.3 Convergenza in media quadratica . . . . . . . . 221

6.1 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2 Il caso “domato” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.1 Quando un campione è numeroso? . . . . . . . 231

7 Distribuzioni legate alla normale7.0.2 La variabile aleatoria χ2 . . . . . . . . . . . . . 2357.0.3 La distribuzione di t-Student . . . . . . . . . . 2417.0.4 La distribuzione di Behrens-Fisher-Snedecor . . 2467.0.5 La distribuzione Gamma . . . . . . . . . . . . 248

7.1 La distribuzione delle statistiche campionarie . . . . . 2507.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.1.2 Campioni e popolazioni e tecniche di campio-

namento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.1.3 Media e varianza empirica . . . . . . . . . . . . 251

215

23� � 5

Indice10 Indice

7.1.4 Campione di Laplace -Gauss . . . . . . . . . . 256

8 Stime e test d’ipotesi 26� � 8.0.5 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.0.6 Efficienza di uno stimatore . . . . . . . . . . . 2728.0.7 La verosimiglianza e stimatori di massima ve-

rosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2748.0.8 Elementi della teoria dell’informazione . . . . . 2788.0.9 Stimatore efficiente . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.1 Statistica esaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.1.1 Quantità di informazione di una statistica . . . 294

8.2 Stimatori bayesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.3 Stime intervallari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.4 Test d’ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8.4.1 Generalità sulla teoria dei test . . . . . . . . . . 3178.5 Test tra ipotesi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

9 Catene di Markov il caso irriducibile 3379.1 Primo esempio di convergenza . . . . . . . . . . . . . 3379.2 Secondo esempio di non convergenza . . . . . . . . . . 3409.3 Definizione di catena di Markov . . . . . . . . . . . . . 3419.4 Grafico associato a una catena di Markov . . . . . . . 3429.5 La matrice di transizione della catena . . . . . . . . . 3459.6 Uso della matrice di transizione P . . . . . . . . . . . 3469.7 Scrittura con vettori riga . . . . . . . . . . . . . . . . . 3469.8 Scrittura con vettori colonna . . . . . . . . . . . . . . 3479.9 Dallo stato n allo stato n+m. La matrice Pm . . . . 3319.10 Matrici stocastiche. Una osservazione . . . . . . . . . . 3489.11 Catena di Markov irriducibile . . . . . . . . . . . . . . 3509.12 Catena di Markov regolare . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.13 Legge invariante di una catena irriducibile . . . . . . . 3529.14 Convergenza di una catena irriducibile . . . . . . . . . 3559.15 Qual è il limite eventuale? . . . . . . . . . . . . . . . . 3569.16 In termini di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3579.17 Convergenza di una catena irriducibile . . . . . . . . . 3579.18 Enunciati ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

9

Indice 11Indice

7.1.4 Campione di Laplace -Gauss . . . . . . . . . . 240

8 Stime e test d’ipotesi 2538.0.5 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.0.6 Efficienza di uno stimatore . . . . . . . . . . . 2568.0.7 La verosimiglianza e stimatori di massima ve-

rosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.0.8 Elementi della teoria dell’informazione . . . . . 2628.0.9 Stimatore efficiente . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.1 Statistica esaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.1.1 Quantità di informazione di una statistica . . . 278

8.2 Stimatori bayesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.3 Stime intervallari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.4 Test d’ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8.4.1 Generalità sulla teoria dei test . . . . . . . . . . 3018.5 Test tra ipotesi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9 Catene di Markov il caso irriducibile 3219.1 Primo esempio di convergenza . . . . . . . . . . . . . 3219.2 Secondo esempio di non convergenza . . . . . . . . . . 3249.3 Definizione di catena di Markov . . . . . . . . . . . . . 3259.4 Grafico associato a una catena di Markov . . . . . . . 3269.5 La matrice di transizione della catena . . . . . . . . . 3299.6 Uso della matrice di transizione P . . . . . . . . . . . 3309.7 Scrittura con vettori riga . . . . . . . . . . . . . . . . . 3309.8 Scrittura con vettori colonna . . . . . . . . . . . . . . 3319.9 Dallo stato n allo stato n+m. La matrice Pm . . . . 3319.10 Matrici stocastiche. Una osservazione . . . . . . . . . . 3329.11 Catena di Markov irriducibile . . . . . . . . . . . . . . 3349.12 Catena di Markov regolare . . . . . . . . . . . . . . . . 3369.13 Legge invariante di una catena irriducibile . . . . . . . 3369.14 Convergenza di una catena irriducibile . . . . . . . . . 3399.15 Qual è il limite eventuale? . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.16 In termini di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.17 Convergenza di una catena irriducibile . . . . . . . . . 3419.18 Enunciati ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.19 Calcolo esplicito dello stato al tempo n . . . . . . . . . 3599.20 Catene di Markov irriducibili periodiche . . . . . . . . 369.21 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.22 Catene di Markov riducibili . . . . . . . . . . . . . . . 369.23 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

138

12 Presentazione degli autoriIndice

13

Introduzione

Decisamente la matematica è una disciplina ambiziosa, infatti ha svi-luppato strumenti di una scienza impensabile: quella del caso. Imma-giniamo una teoria razionale e coerente, che voglia rendere conto diciò che, per sua natura, è sfuggente e sembra inaccessibile alla ragio-ne: il caso. Ora gli eventi casuali interessano al filosofo, che cerca didare risposta al quesito: il caso esiste nel mondo reale? La fisica, conla teoria quantistica, introduce l’aleatorio all’interno stesso dei suoimodelli di materia. La matematica, con la teoria delle probabilità, svi-luppa indagini e fornisce mezzi di conoscenza del caso. La psicologiasi occupa dell’aleatorio ponendosi la questione se esso sia qualcosa direale o di soggettivo. Ogni persona d’altra parte fa delle congetture,che poi giudica, su cui ragiona e poi regola i propri atti e interessi infunzione delle loro probabilità , è quello che nella vita pratica ci ac-compagna costantemente. La filosofia segue un tipo di riflessione cheverosimilmente non si chiuderà mai. Anche se l’approccio al soggettoviene affrontato dal filosofo in maniera interessante, questo ci aiutapoco. La fisica quantistica propone un modello che non prova l’esi-stenza del caso e come la filosofia, non fornisce la definizione formaledel caso e non risponde alla questione della sua esistenza nel mondo.Restano la matematica e la psicologia le due discipline sono più ditutte in grado di farci scoprire e fare luce sull’aleatorio. Diversi domi-ni della matematica studiano il caso. Le probabilità sono in grado di“misurare” il caso, di predire se non i dettagli di un processo aleatorio,almeno in grandi linee di fornirne alcune caratteristiche globali. Unodei meravigliosi risultati della teoria delle probabilità è che da eventicasuali ne può scaturire una struttura, in altri termini da un insiemedisordinato si può scorgere un certo determinismo. Vedremo in questo

14 Introduzione

corso come la probabilità manipola il caso, quali sono le leggi, comeè possibile comprendere e usare i fenomeni aleatori.

Presentiamo, in forma chiara e accessibile, i fondamenti del calcolodelle probabilità, presupponendo solo la conoscenza di elementi delcalcolo infinitesimale. Il testo è rivolto agli studenti delle Scuole diScienze Applicate e di Base, in particolare agli studenti della facoltàdi Ingegneria, Scienze Matematiche e Informatiche e Scienze Fisichee Naturali ed Economia.

Diamo ora in sintesi, una rassegna degli argomenti trattati neisingoli capitoli, sarà sottinteso che per quasi ogni nuova nozione in-trodotta, viene accompagnata da esempi ed esercizi svolti.

Nel Capitolo 1 si costruisce l’ambiente matematico idoneo a defini-re la probabilità di un evento. Introducendo gli elementi fondamentalidi calcolo combinatorio, si è in grado poi di risolvere vari problemi edi dare esempi.

Nei Capitoli 2 e 3 con gli assiomi di algebra e σ-algebra di pro-babilità e di σ-algebra probabilità subordinata, si dimostrano variteoremi utili, riguardanti la probabilità di variabili aleatorie discretee si prova il teorema della probabilità totale. Prendendo spunto daalcuni giochi popolari: Superenalotto, Lotto, Winforlife.. se ne calco-la la probabilità e si prova che in tutti i casi si tratta di giochi nonequi, si verifica l’inequità in dettaglio nel caso del gioco del Lotto eSuperenalotto. Infine si presenta la formula di Bayes, ricca di impli-cazioni. Si definisce poi il momento di qualunque ordine finito, con unbreve excursus storico sull’argomento. Dopo aver analizzato i modelliclassici di variabili aleatorie discrete, si definisce e si fornisce qualchecaratterizzazione del coefficiente di correlazione.

Nel Capitolo 4 si motiva l’uso dei modelli di variabili aleatoriecontinue e mediante l’integrale di Riemann-Stieltjes si entra nell’am-bito matematico dei modelli probabilistici di variabile aleatoria di tipocontinuo e assolutamente continuo. Si introducono, in questo ambito,i momenti di qualunque ordine finito e le disuguaglianze di Hölder,di Markov di Bienaymé-Tchebychev, si esaminano poi alcuni modelliclassici di variabile aleatoria continue, come la uniforme, di LaplaceGauss, ed esponenziale.

15Introduzione

corso come la probabilità manipola il caso, quali sono le leggi, comeè possibile comprendere e usare i fenomeni aleatori.

Presentiamo, in forma chiara e accessibile, i fondamenti del calcolodelle probabilità, presupponendo solo la conoscenza di elementi delcalcolo infinitesimale. Il testo è rivolto agli studenti delle Scuole diScienze Applicate e di Base, in particolare agli studenti della facoltàdi Ingegneria, Scienze Matematiche e Informatiche e Scienze Fisichee Naturali ed Economia.

Diamo ora in sintesi, una rassegna degli argomenti trattati neisingoli capitoli, sarà sottinteso che per quasi ogni nuova nozione in-trodotta, viene accompagnata da esempi ed esercizi svolti.

Nel Capitolo 1 si costruisce l’ambiente matematico idoneo a defini-re la probabilità di un evento. Introducendo gli elementi fondamentalidi calcolo combinatorio, si è in grado poi di risolvere vari problemi edi dare esempi.

Nei Capitoli 2 e 3 con gli assiomi di algebra e σ-algebra di pro-babilità e di σ-algebra probabilità subordinata, si dimostrano variteoremi utili, riguardanti la probabilità di variabili aleatorie discretee si prova il teorema della probabilità totale. Prendendo spunto daalcuni giochi popolari: Superenalotto, Lotto, Winforlife.. se ne calco-la la probabilità e si prova che in tutti i casi si tratta di giochi nonequi, si verifica l’inequità in dettaglio nel caso del gioco del Lotto eSuperenalotto. Infine si presenta la formula di Bayes, ricca di impli-cazioni. Si definisce poi il momento di qualunque ordine finito, con unbreve excursus storico sull’argomento. Dopo aver analizzato i modelliclassici di variabili aleatorie discrete, si definisce e si fornisce qualchecaratterizzazione del coefficiente di correlazione.

Nel Capitolo 4 si motiva l’uso dei modelli di variabili aleatoriecontinue e mediante l’integrale di Riemann-Stieltjes si entra nell’am-bito matematico dei modelli probabilistici di variabile aleatoria di tipocontinuo e assolutamente continuo. Si introducono, in questo ambito,i momenti di qualunque ordine finito e le disuguaglianze di Hölder,di Markov di Bienaymé-Tchebychev, si esaminano poi alcuni modelliclassici di variabile aleatoria continue, come la uniforme, di LaplaceGauss, ed esponenziale.

Nel Capitolo 5 la nozione di variabile aleatoria si estende al casomultidimensionale e si analizzano alcune leggi di probabilità congiun-te. Si definisce la nozione di funzione caratteristica di una variabilealeatoria uno e multidimensionale se ne sottolinea la ragion d’essere,insieme e la sua utilità nella teoria delle probabilità e si dimostra ilteorema di inversione.

Il Capitolo 6 presenta vari tipi di convergenza: in Probabilità,in Legge e in Media Quadratica. Il capitolo si chiude con la leggeforte dei grandi numeri e le dimostrazioni del teorema di Levy e delfondamentale teorema del limite centrale definito come il teorema del“caso domato”.

Il Capitolo 7 tratta di variabili aleatorie legate alla distribuzionenormale, introduce la nozione statistica secondo Fisher di un cam-pione con brevi nozioni di tecniche di campionamento e la variabilealeatoria χ2, di T-student. La nozione di media e varianza campio-naria si studiano nei dettagli, si dimostra l’interessante Teorema diGeary, il capitolo si chiude con l’ovvia conseguenza del teorema diBernstein.

Nel Capitolo 8 mostra come usare i dati per stimare di alcuniparametri di interesse e introduce la nozione di efficienza di una sta-tistica e limite di Cramer-Rao. Si prosegue con la nozione di massimaverosimiglianza e di statistica esaustiva e di stima per intervalli. Gliargomenti introdotti sono accompagnati da esempi. Poi si introduconoi test d’ipotesi semplici con il metodo di Neyman-Pearson, l’argomen-to è accompagnato da esempi sia teorici che numerici. Una buonaparte dell’ “arsenale” della teoria della probabilità viene impiegato inquesti ultimi capitoli, in un mixing di risultati teorici e di indirizzopuramente pratico.

Nell’ultimo capitolo si trattano le catene di Markov. Alcuni esempici faranno strada per capire due tipi di catene, quelle irriducibili e nonirriducibili con cui si chiude il capitolo.

16 Presentazione degli autoriIndice

17

Capitolo 1

Algebra degli eventi

1.1 Algebra di Boole

Definizione 1. Consideriamo una famiglia non vuota A e supponia-mo che in A siano definite tre operazioni interne che indicheremo con∩ ,∪ e c. La famiglia A si dice algebra di Boole, se sono verificati iseguenti assiomi:

1) (A ∪B) = (B ∪A), (A ∩B) = (B ∩A), proprietà commutativadi ∩ e ∪, ∀A,B ∈ A.

2) (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C), ∀A,B,C ∈A, proprietà associativa.

3) A ∩ (A ∪B) = A, A ∪ (A ∩B) = A, ∀A,B,C ∈ A, proprietàdi assorbimento.

4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B)∩ (A ∪ C), ∀A,B,C ∈ A proprietà distributiva di ∩ rispettoa ∪ e viceversa.

5) (A ∩ cA) ∪ B = B, (A ∪ cA) ∩ B = B, ∀A,B ∈ A proprietàdel complementare.

Esempi di algebre di Boole:1. Lo spazio euclideo n-dimensionale Rn con le ordinarie operazioni

di intersezione, unione e passaggio al complementare di sottoinsiemidi Rn.