Princippppi ed applicazioni del metodo degli …2 3 • 3x2 = 6 gradi di libertà ∀elemento 210 à...

Principi ed applicazioni delp ppmetodo degli elementi finiti

Formulazione base con approccio agli spostamentip

Corso di Meccanica Computazionale – Docente Massimiliano Bocciarelli

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER UN PROBLEMA 2D

Si consideri un problema piano, il cui dominio sia quello rappresentato sotto esi voglia determinare lo stato tenso-deformativo del solido indotto dai carichi edai vincoli presenti.


1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di

PROCEDURA1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di

parti, ad esempio triangolari, dette elementi finiti (mesh) e numero i nodi dellagriglia;

2

1

2 4

53

5

8

9

67

810

1112

1314

13

Lo scopo è quello di trasformare un problema differenziale avente come incognitedei campi (funzioni), in un problema algebrico avente come incognite degli scalari.Più i t i d ll’ i it i i l f i i ( )


Più precisamente si passa dall’avere come incognite primarie le funzioni sx(x,y) esy(x,y) ad avere come incognite gli spostamenti Ux e Uy dei nodi della griglia.

2. Approssimazione: approssimo linearmente il campo di spostamenti supp pp p pciascuno di questi elementi: (si noti l’introduzione delle numerazione localedei nodi a livello di elemento)

( )( )

x 1 1 1

y 2 2 2

s x,y a b x c y

s x,y a b x c y

⎧ = + +⎪⎨

= + +⎪⎩

U3y

( )y⎪⎩

3

U

U3x

U1y

U2yCambio di parametri d’interpolazione

1

2U1x

U2xd interpolazione

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1x 2 2x 3 3x i ixs x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎧ = + + =⎪⎨


( ) ( ) ( ) ( ) ( )y 1 1y 2 2y 3 3y i iys x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎨

= + + =⎪⎩

( ) ( ) ( ) i i

j j

j m m j j m j mi

1 x y

2 det 1 x y x y x y y y x x x y

dove : N x,y 2

Δ =

⎛ ⎞− + − + − ⎜ ⎟= ⎜ ⎟Δ ⎜ ⎟

( )( )( )

m m

x j j jx

i j j ij

1 x y

s x ,y Uvale che: N x ,y

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ =⎪= δ ⇒ ⎨( )( )i j j ij

y j j jy

, ys x ,y U⎨

=⎪⎩

i ii


Le tra funzioni di forma dell’elemento triangolare


Dalla combinazione delle tre funzioni di forma si ha l’approsimazione (lineare) del campodi spostamenti sul singolo elemento finito

ssx U1x

sx

U3x

U2x

13

2


In forma vettoriale ho:

1x

1y

UUU

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤

{e

x 2x1 2 3

y 2y1 2 3

3x

s UN 0 N 0 N 0s U0 N 0 N 0 N

U

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

s N1444442444443

{

e e

e

3x

3yU⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

N

U

Vettore delle

Matrice delle funzioni di

forma

Approssimazione del campo di spostamenti sul singolo elemento

componenti di spostamento nodali

dell’elemento

finito funzione dei soli spostamenti nodali


Applicando l’operatore differenziale di congruenza ho:

1x

1yx 1,x 2,x 3,x

UU

N 0 N 0 N 0U

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

{

2xy 1,y 2,y 3,y

2yxy 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3,x

3x

U0 N 0 N 0 N

UN N N N N N

U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε B

144444424444443

{e

3ye U⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦eε B

U

i

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

∂∂

⎫⎧ x0

ε

caso piano

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂∂∂

∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=y

x

xy

y

x

ss

y

x0

γεε

ε

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ∂∂ xy


3. Assemblaggio: sostituisco ora nell’equazione dei lavori virtuali scrittain forma vettoriale:

T T Tdv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f F = forza di volumeFV V S

dv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f

= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫T T Te e e e e edv dv dsε σ s F s f

f = forza di superficie

e e Fee e eV V S

e e Fe

T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U B σ U N F U N fe

Ma i gradi di libertà locali Ue di ciascun elemento li posso esprimere in funzionedi quelli globali U, attraverso le cosiddette matrice booleane di connettività:

e e=U L U1x

1x1

UUU⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1y

1y

2x

UU

U

U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

. Le è una matrice di zeri e uno2y

3xNx

3y

U

U UU U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

.


{{Ny

e

U⎣ ⎦⎣ ⎦U

U

Esempio:

21 2

33

12

2

3

2 3• 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento

2 10 à

4

5 1

2 3 1

1 • 5x2 = 10 gradi di libertà globali

U

4

}

1x1x

1y

UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

U

1y

2x2

2y

U 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

.U

3x5x

3y 6x15y 10x1

U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0U

U 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

L14444444244444443


10x12 6x10

⎣ ⎦L

Segue che:

e e Fe

T T T T T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds = + ∀∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U L B σ U L N F U L N f U

[ ] =

⎡ ⎤

∑ ∫L B σe

T T1X 1X NX NX e e e1x2N

e V

U U ... U U dv1442443•⎡ ⎤⎢ ⎥•⎢ ⎥

≡⎢ ⎥•⎢ ⎥•⎢ ⎥

intR

[ ] [ ]

•⎢ ⎥⎢ ⎥•⎣ ⎦

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∑ ∑∫ ∫L N F L N fe Fe

2Nx1

T T T T1X 1X NX NX e e e 1X 1X NX NX e e e1x2N 1x2N

e eV S

U U ... U U dv U U ... U U ds1442443

[ ]∀ 1X 1X NX NX 1x2N U U ... U U

1442443• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥

≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥

FestR ≡ f

estR• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢• •⎣ ⎦⎣ ⎦2Nx1

⎥2Nx1


Dovendo valere ∀UT congruente allora deve valere anche per la seguente scelta di UT

[ ]T T [ ]T T1 1x2N

1 0 ... 0 0= =U U

Da cui:Da cui:[ ] =

•⎡ ⎤⎢ ⎥

∑ ∫L B σe

T Te e e1x2N

e V

1 0 ... 0 0 dv1442443

⎢ ⎥•⎢ ⎥≡⎢ ⎥•

⎢ ⎥•⎢ ⎥⎢ ⎥•⎣ ⎦

intR

[ ] [ ]⎢ ⎥•⎣ ⎦

+

• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∑ ∑∫ ∫L N F L N fe Fe

2Nx1

T T T Te e e e e e1x2N 1x2N

e eV S

1 0 ... 0 0 dv 1 0 ... 0 0 ds 1442443 1442443

⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥≡ ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •

⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

fFestestR R

⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎣ ⎦⎣ ⎦ 2Nx12Nx1

Da cui, la prima equazione (scalare):


( ) ( ) ( )1 1 1= +F fint est estR R R

Adottando le altre scelte per UT segue che:

[ ]T T 0 1 0= =U U [ ]i 1x2N0 ... 1 ... 0= =U U

( ) ( ) ( )i i i+F fR R R( ) ( ) ( )i i i= +int est estR R R

Alla fine tutte le equazioni che posso scrivere possono essere espresse in termini q p p pvettoriali:

= +F fint est estR R R

O equivalentemente:

e e Fe

T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B σ L N F L N f

Equilibrio in forma debole e discretizzato per elementi finiti


4. Introduco il legame costitutivo.

Cominciamo con l’imporre il legame costitutivo elastico-lineare

Applichiamo ora le equazioni del legame costitutivo e di congruenza in forma vettoriale:

= = =e e e e e e eσ Dε DB U D B L U

Sostituisco nelle equazioni di equilibrio debole in forma discretizzata:

T T T T T Te e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫e e eL B D B L U L N F L N fe e Fe

e e eV V S


T T T T T Tdv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B D B L U L N F L N f

e trovo:

e e Fe

e e e e e e e e e ee e eV V S

F fe ext ext

dv dv ds+∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫1442443 14243 14243

eL B D B L U L N F L N f

K R R

e e Fe

T T Te e e e e e e

e eV V S

ext

dv dv ds⋅ = +∫ ∫ ∫1442443 14444244443

U UB D B U N F N f

K Rext

ext⋅ =K U RKe = Matrice di

rigidezza dell’elemento finito di dimensione 6x6 per un elemento piano a K = matrice di rigidezza

SISTEMA RISOLVENTE

per un elemento piano a tre nodi

gglobale del solido di

dimensione dipendente dal numero totale di nodi

della discreti a ione

Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finali

della discretizzazione

Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finalirisolventi sono un sistema di equazioni lineari.


5. Imposizione delle condizioni al contorno

Vi sono due tipi di condizioni al contorno: carichi applicati (dette naturali), i quali compaiono nel vettore dei termini noti P; spostamenti imposti (essenziali), i quali vengono imposti direttamente sui nodi interessati e il sistema lineare viene ridotto

ll l i h l i t t d t li di i i l talle sole righe colonne non interessate da tali condizioni al contorno.

NB: Se uno spostamento è assegnato la relativa forza esterna non può essere prescritta e rimane incognitaprescritta e rimane incognita.

Esempio:Esempio:

1 2

31

2 3

2 351

2 3 1

21

2 3

δ

y

42 1

x


In questo esempio: Ux1=0; Uy3= -δ; Uy4=0; Ux5=0

L’imposizione dei vincoli si effettua nel sistema assemblato, per prima cosaeliminando le equazioni relati------ve ai gradi di libertà vincolati.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 110

22 23 24 25 26 27 28 29 210

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

1

1y 2

0 RU F⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥22 23 24 25 26 27 28 29 210

33 34 35 36 37 38 39 310

44 45 46 47 48 49 410

K K K K K K K KK K K K K K K

K K K K K K

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢

1y 2

2x 3

2y 4

U FU FU F

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

55 56 57 58 59 510

66 67 68 69 610

77 78 79 710

K K K K K KK K K K K

K K K K

⎢⎢⎢⎢⎢

3x 5

6

4x 7

U FR

U F

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−δ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥77 78 79 710

88 89 810

99 910

Sym K K KK K

K

⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦

7

8

9

0 R0 R

U F

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦1010K⎢⎣ ⎦ 5y 10U F⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦


0⎡ ⎤

12 22 23 24 25 26 27 28 29 210K K K K K K K K K K⎡1y

2x 2

0U

U F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥12 22 23 24 25 26 27 28 29 210

31 32 33 34 35 36 37 38 39 310

41 42 43 44 45 46 47 48 49 410

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K

⎡⎢⎢

2x 2

2y 3

43x

U FFU

⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥51 52 53 54 55 56 57 58 59 510

71 72 73 74 75 76 77 78 79 710

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K⎣

5

74x

10

FFUF0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010K K K K K K K K K K⎣ 10

5y

00

U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Quindi bisogna portare al secondo membro i termini noti legati al valore imposto dello spostamento.


1y 222 23 24 25 27 210 26

2x 333 34 35 37 310 36

U F 0K K K K K K KU F 0K K K K K KU F 0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

0 00 00 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2y 444 45 47 410 46

555 57 510 563x

777 710 4

U F 0K K K K KF 0K K K KUF 0K K KU

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + + δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 76

0 00 00 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

777 710 4x

101010 5y

UF 0K U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

76

106 0 0K⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

SISTEMA RISOLVENTE con le CONDIZIONI AL CONTORNO impostecon le CONDIZIONI AL CONTORNO imposte


Una volta risolto il sistema posso determinare le reazioni vincolari nel seguente modo (ovvero usando le equazioni cancellate prima):

0⎡ ⎤⎢ ⎥

( q p )

1y

2x

U

UUR K K K K K K K K K K

⎢ ⎥⎢⎢⎢

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢

⎥⎥⎥⎥2y1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110

6 61 62 63 64 65 66 67 68 69 610 3x

8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810

UR K K K K K K K K K KR K K K K K K K K K K UR K K K K K K K K K K

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

9 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1010 4xR K K K K K K K K K K U00

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

5y

0U⎢⎢⎣ ⎦

⎥⎥


6. Risoluzione del sistema lineare

Metodi diretti:Metodi diretti:• metodo di eliminazione di Gauss;• …Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):• metodi di Richardson stazionari e non;• …

7. Ricostruzione della soluzione: una volta calcolata la soluzione in termini dispostamenti nodali per un materiale elastico-lineare posso calcolare il campospostamenti nodali, per un materiale elastico lineare, posso calcolare il campodeformativo e di sforzi locali con le seguenti relazioni già viste prima:

( ) ( ) ( )x,x, y xy , y= =e e ee eB Uε B L U( ) ( ) ( ),, y y , ye e ee e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x,y x, y xx,y x,, y x , yy y x,= = =e e e ee e eD ε D B D BUσ L U

Se invece il comportamento del materiale è elasto-plastico, abbiamo già vistoprima che deformazioni e sforzi si calcolano durante la fase di imposizione dellegame costitutivo


legame costitutivo.

Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dal

Osservazione 1:

Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dalpunto di vista computazionale); semplicemente le matrici di rigidezza e i vettori deicarichi di ciascun elemento vengono assemblati nella matrice di rigidezza e nel vettoredei carichi globali. Ad esempio:

1 2

31

2 3• 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento

g p

35 1

3

21

2 33x2 6 gradi di libertà ∀ elemento

• 5x2 = 10 gradi di libertà globali

}

1x1x

UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

U⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥

U4

2 3 1

1x1y

1y

2x2

UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

.U 22y

3x5x

3y 6 1

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

UU 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥

.


3y 6x15y 10x1

2 6x10

U⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦L14444444244444443

2 2 2 2 2 211 12 13 14 15 16

2 2 2 2 2

K K K K K KK K K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

( ) ( )x X

Loc. Glob.1 1 2 3= =

22 23 24 25 262 2 2 233 34 35 36

2 2 2244 45 46

K K K K KK K K K

K K K

⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

K( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y Y

x X

1 2 2 4

2 3 1 1 2 4 1 2

= =

= == =2 2

55 56266

Sym K KK

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y Y

x X

y Y

2 4 1 2

3 5 4 73 6 4 8

= =

= == =

2 2 2 2 2 233 34 31 32 35 36

2 2 2 2 244 41 42 45 46

K K K K 0 0 K K 0 0K K K 0 0 K K 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Tabella delle 2 2 2 211 12 15 16

2 2 222 25 26

K K 0 0 K K 0 0K 0 0 K K 0 0

0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

incidenze per l’elemento 2

T T1 1 1 3 3

2 255 56

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

K K 0 0

⎢ ⎥= + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

K L K L L K L 3

266Sym K 0 0

0 00

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


T2 2 2

0⎢ ⎥⎣ ⎦L K L

14444444444244444444443

Osservazione 2:

Gli integrali, che definiscono la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi nodalidell’elemento, non sono mai calcolati analiticamente, ma numericamente esolitamente con la tecnica di Gauss:

GT T

e e e e ej ej ej jdv H= ≅∑∫K B D B B D B1e

e e e e ej ej ej jjV =∑∫

GV T Te e e ej ej jdv H= ≅∑∫F N F N F

1e

j j jjV =

∫

1

Gs T Te e e ej ej j

jds H= ≅∑∫F N f N f

1Fe jS =

L’indice j è un indice che va da 1 al numero di punti di Gauss utilizzati per calcolarenumericamente l’integrale. In genere per un elemento triangolare si usano G=1 oG=3 punti di Gauss I valori di H sono i corrispondenti pesi


G=3 punti di Gauss. I valori di Hj sono i corrispondenti pesi.

Tra le tante tecniche di integrazione numerica, una delle più efficienti è quella diGauss, in quanto la posizione dei punti di Gauss ξj e dei relativi pesi Hj sonoj jdeterminati in modo tale che con n punti di Gauss, un polinomio di ordine 2n-1possa essere integrato esattamente.

( ) ( )1

1 11 = =−

⎛ ⎞ξ ξ ≅ ξ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫G G

j j j jj j

f d f H f H


Osservazione 3:

Esistono altre tipologie di elementi finiti, ad esempio quello a 4 nodi o più nodi:


Osservazione 4: di seguito la tipica struttura di un codice che implementa il metododegli elementi finiti


Princippppi ed applicazioni del metodo degli …2 3 • 3x2 = 6 gradi di libertà ∀elemento 210 à...

Documents

Transcript of Princippppi ed applicazioni del metodo degli …2 3 • 3x2 = 6 gradi di libertà ∀elemento 210 à...