PRINCIPALI TIPI DI ELEMENTO E LORO IMPIEGO · • stati piani di deformazione ... Condizioni di...

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© Università di Pisa 2006

PRINCIPALI TIPI DI ELEMENTO E LORO IMPIEGO


PRINCIPALI TIPI DI ELEMENTO

2D2D 3D3D

x

y

x

zy

ASTA

Travature reticolari

TRAVE

Telai

SOLIDO

Pb. di Elasticità piana Pb. di Elasticità 3D

GUSCIO

Piastra/guscio assialsimmetrico

Piastra/guscio 3D


ALTRI TIPI COMUNI DI ELEMENTO

“GAP”

Pb. contatto

“PIPE”

Tubazioni

Massa

Masse concentrate

Molla

Elementi elastici

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ELEMENTO ASTA/1

Travature reticolari piane e spaziali• solo sforzo normale• 2 nodi• 2 o 3 g.d.l /nodo• carichi applicabili solo nei nodi• Car. geometriche: A


ELEMENTO ASTA/2

F.NI DI FORMA

F.ne di forma lineare: N11= A11 + B11x

x

y1

i

j

v jx

v jy

v jxv jy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1311

1311

0000

NNNN

La soluzione ottenuta è esatta, secondo il modello di travatura reticolare


ELEMENTO ASTA/3 - TRALICCIOTraliccio di sostegno per batterie di perforazione petrolifera. Questo tipo di strutture viene tradizionalmente trattato con modelli a travatura reticolare, assimilando i “nodi” a cerniere.

Il modello è giustificabile con:• bassa rigidezza flessionale delle aste• giochi tra bulloni e fori

3


ELEMENTO ASTA/4 - TRALICCIO

Nel fare il modello si escludono solitamente le aste che non hanno una funzione strutturale (rompitratta)

Modello di calcolo


ELEMENTO ASTA/5 – ALTRE STRUTTURE

20

1.5

2A=900 mm2 A=450 mm2

Briglia superiore Briglia inferioreAste di parete

Peso copertura = 10 KN/m


Modello

Deformata

Sforzo normale

File di comandi: capriata_reticolare_piana.txt

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ELEMENTO TRAVE/1

Telai piani• 2 nodi• 3 g.d.l /nodo• carichi concentrati e distribuiti• Car. geometriche: A, Jx, …

2D2D

Il piano x,y deve contenere:• nodi• carichi• uno degli assi principali di inerzia delle sezioni


ELEMENTO TRAVE/2

Telai spaziali• 2 (3) nodi• 6 g.d.l /nodo• carichi concentrati e distribuiti• Car. geometriche: A, Jzz, Jyy, Jxx, …

3D3D


Elementi piani: ogni nodo rappresenta un punto del continuo, tramite due g.d.l.

vix

θ

viy

yxv

yixx

y

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−=θ

x

y

i

( ) yxv

vyvyvixx

yixixx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−=+= θ

Trave: con il nodo si vuole rappresentare lo stato di

spostamento dell’intera sezione

Trave: con il nodo si vuole rappresentare lo stato di

spostamento dell’intera sezione

Ipotesi sezioni pianeIpotesi sezioni piane

3 g.d.l. per nodo3 g.d.l. per nodo

ELEMENTO TRAVE/3

5


Stato di tensione/deformazione implicitamente conseguente alla scelta di elementi trave:• le deformazioni dovute al taglio sono trascurate

• le uniche componenti di tensione non nulle sono:

y

xσx

τxy

2D2D3D3D

τxyσx

τxz

• le σx hanno un andamento lineare nella sezione (formula di Navier)

y

xσx

ELEMENTO TRAVE/4


Oss.ne: la f.ne utilizzata per rappresentare la deformata della trave è una cubica.

( ) 32 DxCxBxAxvy +++=

Le f.ni di forma rappresentano correttamente punto per punto la deformata del tratto di trave solo nel caso di taglio costante. Negli altri casi la rappresentazione di spostamenti, deformazioni e tensioni nei punti interni è approssimata, con errore che decresce al diminuire delle dimensioni dell’elemento

T=costante

T non costante

( )costante3

3

==dx

xvdT y

y

ELEMENTO TRAVE/8


Esempio: trave appoggiata con carico uniformemente distribuito

10000

10

J=108

A=104

Mmax =1.25 108Mmax =1.25 108

3 elementiMmax =1.25 108



25 elementi

ELEMENTO TRAVE/9

6


Esempio: trave appoggiata con carico concentrato

10000

10

J=108

A=104

Mmax =2.5 104Mmax =2.5 104

2 elementi

ELEMENTO TRAVE/10


ELEMENTO TRAVE/11 – GRU A PONTE 3D3D

Interasse ruote testata (e1) =5 m Scartamento (S) =20 mScartamento carrello = 2.5 m

500

700

200

8

Trave principale

200

350

5

Testata


ELEMENTO TRAVE/12 – GRU A PONTE

ModelloDeformataTaglio Z (asse Z locale)Momento flettente My (asse Y locale)Momento torcente Mx (asse X locale)

File

di c

oman

di :

GRU

_A_P

ON

TE.tx

t

7


5400

5000

4500

3500

500

Φ 500 sp. 5

2D2DELEMENTO TRAVE/13 – GRU A BANDIERA

CP400

400 5

Sez. braccio


ELEMENTO TRAVE/14 – GRU A BANDIERA

File

di c

oman

di: G

RU_A

_BAN

DIE

RA.tx

t


ELEMENTI “PIPE”/1Serie di elementi per lo studio di sistemi di tubazioni (“piping”) in 2 o 3 dimensioni• tubo rettilineo: elemento trave con un’apposita definizione dei parametri geometrici (diametri invece di A, J, etc.)

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• tubo curvilineo: elemento con una speciale definizione della matrice di rigidezza, che tiene conto del basso rapporto tra raggio di curvatura e diametro• elementi speciali: finalizzati a rappresentare correttamente la rigidezza di molti componenti tipici (“T”, valvole, etc.)


Il modello rappresenta i tratti di tubazione di colore blu ed i 2 vessel

File comandi:“piping.txt”

Dimensioni espresse in metri


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ELEMENTI PIANI/1

Problemi di elasticità piana• 4 (3) nodi• 2 g.d.l /nodo• tre “classi” di problemi:

• stati piani di tensione (“plane stress”)• stati piani di deformazione (“plane strain”)• stati assialsimmetrici (“axi-symmetric stress/strain”)

Esempi di zone di transizione


i

j

k

x

y

l

Rispetto all’elemento triangolare è possibile scrivere 4 condizioni (invece di 3) per ciascuna delle f.ni di forma

i

l

k

j⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

0),(0),(0),(1),(

11

11

11

11

ll

kk

jj

ii

yxNyxNyxNyxN

N111

( ) xyDyCxBAyxN 1111111111 , +++=

Per tale motivo, le f.ni di forma possono avere una formulazione a 4 parametri, che include un termine di 2° grado

Superficie rigata: ogni sezione con piani “x=cost”mostra una variazione lineare con “y” e viceversa

Superficie rigata: ogni sezione con piani “x=cost”mostra una variazione lineare con “y” e viceversa


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

xv

yvyvxv

yxxy

yy

xx

γ

ε

ε

Andamento tensioni/deformazioni

( ) xyDyCxBAyxN lmlmlmlmlm +++=,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅+=⋅+=⋅+=

ygxfexdcyba

xy

y

x

γεε

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ELEMENTI PIANI/2Stati piani di tensione:• sono caratterizzati dall’avere una delle componenti principali di tensione identicamente nulla• si verificano tipicamente in corpi piani, di spessore piccolo rispetto alle altre dimensioni caratteristiche del problema, caricati nel loro piano medio.

x

y

z

y

0,,

0

≠

===

xyyx

yzxzz

τσσ

ττσ


180 R10

60

Il modello giace sul piano “x-y” e rappresenta il piano medio (a metà spessore) della struttura.I carichi possono essere sull’intero spessore o per unità di spessore.


x

y

z

ELEMENTI PIANI/3Stati piani di deformazione:• sono caratterizzati dall’avere una delle componenti principali di deformazione identicamente nulla• si verificano tipicamente in corpi di spessore grande rispetto alle altre dimensioni caratteristiche del problema.

0,,

0

≠

===

xyyx

yzxzz

γεε

γγε

εz=0

+-

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x

y

z

Il modello giace sul piano “x-y” e rappresenta una sezione, eseguita con un piano ortogonale all’asse z, della struttura.I carichi sono per unità di spessore.


Stati assial-simmetrici

• si verificano in corpi di geometria assial-simmetrica (ottenibile per rotazione di una sezione attorno ad un asse fisso ζ) caricati con carichi che presentano lo stesso tipo di simmetria.

ζ

Provino cilindrico intagliato soggetto a trazione

ζ

ρθ

Recipiente cilindrico soggetto a pressione interna

ζ

• fissato un SR cilindrico “ρ, θ, ζ”, per simmetria lo stato di tensione/deformazione risulta indipendente da θ e le componenti di spostamento in direzione circonferenziale (θ) risultano nulle: il problema può di conseguenza essere studiato come piano.


Il modello deve rappresentare una sezione del corpo fatta con unpiano passante per l’asse di simmetria (in ANSYS, l’asse di simmetria e la direzione radiale devono coincidere rispettivamente con l’asse “Y” e l’asse “X” del SR cartesiano globale).

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⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

∂

∂+

∂∂

=

∂

∂=

∂∂

=

xv

xv

yvyvxv

x

yxxy

yy

xx

θε

γ

ε

εRispetto al caso “planestress” è necessario aggiungere una componente di deformazione/tensione

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

01

0

0

x

xy

y

x

L

Volume rappresentato dall’elemento


Esempio di applicazione


Modello geometricamente identico

File di comandi:ANALISI_PIANA_INTAGLIO.txt

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F=F0 cos(nθ)

ELEMENTI ARMONICI (O DI FOURIER)

Corpi aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi variabili con la coordinata angolare secondo una f.ne armonica• 4 (3) nodi• 3 g.d.l /nodo(vx, vy e vz)• operano ESCLUSIVAMENTE nell’ambito di analisi lineari

Y (ζ)

X (ρ)

Z(θ)

X,Y,Z coordinate ANSYS


⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

z

y

x

zy

xz

xy

y

z

x

vvv

zxy

xxzx

xy

y

zxx

x

10

011

0

00

011

00

γγγεεε

In questo caso tutte le 6 componenti di deformazione sono non nulle

Si trova che, in presenza di carichi esterni del tipo:

{ } ( ) { } ( ))sin(cos θθ nPonP

Lo stato di spostamento, tensione e deformazione mostra una simile dipendenza da θ:

{ } ( ) { } ( )( )θθ nUonU sincos


Esempio : cilindro con intaglio soggetto a flessione

( )θσ cosRJMx

JM

z

z

z

zy ⋅=⋅=

X

Z

R

θ

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File di comandi: CILINDRO_INTAGLIO_FLESSIONE.txt


ELEMENTI DI CONTATTO “GAP”

Contatto tra corpi• 2 nodi• 2 (3) g.d.l /nodo• consentono di rappresentare gioco ed interfernza


Esempio: giunti filettati conici per batterie di perforazione

DRILL COLLAR

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Condizioni di carico:• forzamento dovuto al serraggio iniziale

• flessione rotante dovuta all’attraversamento di “dog-legs”, instabilità, vibrazioni etc.


SVILUPPO DI MODELLI FEM DELLE GIUNZIONI EFFICIENTI ED ACCURATI

Modello di base• Geometria assialsimmetrica• 30000 elementi circa

Aspetti principali• Fenomeni di contatto• Interferenza iniziale• Condizioni di carico assialsimmetriche e non assialsimmetriche


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METODOLOGIA DI ANALISI

Flessione• Elementi armonici (Fourier)• Cond. carico non assialsimmetrica•Analisi elastica lineare

Coppia di serraggio• Elementi piani assialsimmetrici• Cond. carico assialsimmetrica•Analisi elasto-plastica non lineare

t

σσmax

Δσ


ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO

Gusci aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi assialsimmetrici• 2 nodi• 3 g.d.l /nodo(vx, vy e θz)


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vix

θ

viy

yxv

yixx

y

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−=θ

x

y

i

( ) yxv

vyvyvixx

yixixx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−=+= θ

La costruzione di [Ke] si basa sull’ipotesi di Kirchoff-Love: “una linea retta normale al piano medio tracciata sul corpo prima della deformazione, risulta ancora rettilinea ed ortogonale al piano medio deformato dopo la deformazione”

Possibile ricostruire lo spostamentodi ogni punto dello spessore in base a spostamenti e rotazioni del piano medio.


Limiti di validità ipotesi Kirchoff-Love:spessore << altri parametri geometrici

R xy

Rθ

s

Rθ

s

xyRRs ,θ<<

Componenti strutturali che possano essere assimilati a “gusci” o “piastre”sottili di geometria assialsimmetrica

xyRRsisotropiMat

,1.0.

θ<


Stato di tensione/deformazione implicitamente conseguente alla scelta di elementi guscio assialsimmetrico:• le deformazioni dovute al taglio sono trascurate

• le σ hanno un andamento lineare nello spessore

y

xσx

• le uniche componenti di tensione non nulle sono:

y

x

σ xτ xy

X (R)

Y (assiale)σ θ

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Il modello rappresenta una sezione del corpo con un piano passante per l’asse. I nodi sono posizionati sul piano medio.


Cilindro di piccolo spessore

Elementi guscio assialsimmetrico

Cilindro di forte spessore

Elementi piani assialsimmetrici


Esempio : recipiente in pressione in parete sottile

Ipotesi:• bocchelli e penetrazioni considerate a parte• effetti trascurabili del peso proprio

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© Università di Pisa 2006File di comandi: REC_PRESS_SOTT.txt


Gusci e piastre aventi geometria qualsiasi.• 4 nodi• 6 g.d.l /nodo

ELEMENTO GUSCIO 3D


La costruzione di [Ke] si basa anche in questo caso sull’ipotesi di Kirchoff-Love.

Possibile ricostruire lo spostamentodi ogni punto dello spessore in base a spostamenti e rotazioni del piano medio.

Limiti di validità ipotesi Kirchoff-Love:

spessore << altri par. geometrici(dimensioni, raggi curvatura)

Componenti strutturali che possano essere assimilati a “gusci” o “piastre” sottili

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x y

zComponenti di tensione:σx, σy, τxy, τxz, τyz

Andamento lineare nello spessore

15° max


Esempio : tubazione interrata in vetroresina per trasporto idrico

Blocco di ancoraggioin calcestruzzo

Passo d’uomoA

A

O

V


2500

1400

Φ 800

Livello del terreno

Terreno di riportoδ = 1800 kg/m3

Contorno della trincea

Sabbia di riporto

Sabbia compattata

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File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt


ELEMENTI SOLIDI 3D (“BRICK”)

Problemi di elasticità 3D:• 8 nodi• 3 g.d.l /nodo

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Tetraedro: 4 nodi

F.ne di forma: A+Bx+Cy+Dz

Deformazioni/tensioni costanti

Esaedro: 8 nodi

F.ne di forma: A+Bx+Cy+Dz+Exy+Fyz+Gzx+Hxyz

Deformazioni/tensioni variabili linearmente


Approccio per sottostrutture (“submodelling”)

Stato di tensione spesso fortemente dipendente da parametri geometrici locali (es. raggi di raccordo).

Stato di tensione spesso fortemente dipendente da parametri geometrici locali (es. raggi di raccordo).

La sua analisi richiederebbe pertanto “mesh” localmente molto infittiti (elementi piccoli rispetto ai parametri geometrici locali). La sua analisi richiederebbe pertanto “mesh” localmente molto infittiti (elementi piccoli rispetto ai parametri geometrici locali).

Questo tende a rendere il modello complessivamente molto complesso da costruire (inclusione di tutti i dettagli geometrici) e pesante dal punto di vista computazionale (numero enorme di gdl)

Questo tende a rendere il modello complessivamente molto complesso da costruire (inclusione di tutti i dettagli geometrici) e pesante dal punto di vista computazionale (numero enorme di gdl)

Possibile alternativa: approccio per sottostrutture Possibile alternativa: approccio per sottostrutture


PREVISIONE DEL COMPORTAMENTO A FATICA DI ELEMENTI IN ALLUMINIO PRESSOFUSO

Esempio : staffa sospensione di scooter in lega di alluminio

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PROVE IN PIENA SCALAPROVE IN PIENA SCALA

Telaio di prova

Provino

Afferraggiofisso

Braccio diflessione

Cuscinettoassiale orientabilea semplice effetto

Attuatore idraulico

Cella di carico Zona rottura


Mf Mt=0.5 Mf

MODALITÀ DI ROTTURAMODALITÀ DI ROTTURA

R=0.1

FlessioneFlesso-torsione


ANALISI AD ELEMENTI FINITIANALISI AD ELEMENTI FINITI

APP

RO

CC

IO A

SO

TTO

STR

UTT

UR

E

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ANALISI AD ELEMENTI

FINITI-2

ANALISI AD ELEMENTI

FINITI-2

0

1

2

3

4

σ

ε

Δσloc = Δσe

σmax, loc

1

2

3

0 4 t

P

AnalisiElasto-plastica

AnalisiElastica


Fle

sso-

tors

ione

RISULTATI – Zona di innesco della rotturaRISULTATI – Zona di innesco della rottura

Fle

ssio

ne

Prevista Effettiva

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