Galileo, dialogo dei massimi sistemiStesse leggi della fisica in tutti i sistemi inerziali

= − ⇒

nave portor r ut

invarianteamF

=⇒

= −

. .

' rispetto alla nave v vrisp nave risp porto

velocitau

Relativita’

porto

xnave

xporto

nessun esperimento sulla nave scoprira' u

Lunghezze invarianti

1

⇒velocita' u

Per Galileo, t=t', T S

T T

S S

r r utr posizione rispetto a Or posizione rispetto a O

= −

==

Invece della nave useremo il paragone del treno

2

Ma l’Elettrodinamica ?

∂ ∂∇ − = ∇ − = ∂ ∂

2 22 2

2 2 2 2

senza sorgenti,onde elettromagnetiche :

1 10 0E Bc t c t

C = velocita’ della luce: rispetto a chi? Secondo la relativita’ , rispetto a qualsiasi riferimento.

3

Lo spazio e il tempo sono un a priori

x

stazioneCarattere relativo della simultaneita’

4

Macchinista:

gli specchi riflettono la luce contemporaneamente.

Capostazione:

La luce ci mette tempo per arrivare. Poiche’ lo specchio B si allontana dal punto O da dove e’ partita la luce mentre A va verso O , la luce arriva prima in A perche’ deve fare un cammino piu’ corto.

Chi ha ragione? Tutti e due!

Il macchinista lancia dal punto O un segnale luminoso e misura il tempo che la luce impiega per arrivare agli specchi A e B solidali col treno ed equidistanti da O.

4

oA B

stazione

h

Esperimento pensato sulla Relativita’ dei tempi

Quanto ci vuole perche’ la luce arrivi sul pavimento?

Macchinista:

tempo proprioThtc

=

Sut

h222Stuh +

Per il capostazione

2 2( )SS

h utt

c+

=Capostazione:

2 2 2 2 2= +S Sc t h u t

risolvendo,2

2

1

1

(time dilation)

S Tht tc u

c

= >

−

2 2 2 2( )− =Sc u t h

capostazione: l’orologio del macchinista va indietro.

macchinista : l’orologio del capostazione va indietro. L’esperimento si puo’ fare a ruoli invertiti!Tempo proprio: il piu’ corto

5

6

Relativita’ delle lunghezze

Sul treno che viaggia lungo l’asse x con velocita’ u ci sono specchi a distanza l dalla sorgenteluminosa O. Mentre OA e’ lungo l’asse x, OB e’ lungo y.

stazione

B

AO

Macchinista e capostazione sincronizzano gli orologi a t=0 quando il treno passa dalla stazione.

7

L’origine della stazione OS era in O=OT al tempo t=0

Segnale partito da O al tempo t=0

Segnale riflesso da A e B simultaneamente al tempo t=l/c

Riflessione da A: ( ), , , ( ,0,0, )lx y z t lc

=

Riflessione da B: ( ), , , (0, ,0, )lx y z t lc

=

Ritorno simultaneo in O:

( ) 2, , , (0,0,0, )lx y z tc

=

Diario di bordo del Macchinista:

OAO OBOτ τ=

B

AO

8

2

2

2 e' un tempo proprio,

misurato da un solo orologio mentre

ci aspettiamo che il capostazione misuri 1

T

TS T

ltc

tt tuc

=

= >

−

Ritorno simultaneo in O:

( ) 2, , , (0,0,0, )lx y z tc

=

simultaneita’ assoluta, perche’ i due eventi avvengono nel medesimo punto!

OAO OBOτ τ=

9

Diario del capostazione

La velocita' del treno e' parallela all'asse x. Il treno e' passato al tempo t =0.La lunghezza del braccio lungo y misurata dal macchinista e' OKanche per me perche' ortogonale al moto;

La lungh

Su

ezza l del braccio lungo x e' misurata dal macchinista ; l'esperimentomi serve per misurarla e chiamero' la mia misura l ; la mia misura si basa su eventi non simultanei.

Le origini coincidono a t=0

x

, quando parte il segnale, che arriva in A al tempo .OAτ

B

AO

10

la velocita’ e’ c

( )ττ

τ τ

+= = ⇒ =

−

=

22

2

4 2' '' 1

1

dove l . Questo e' il normale allungamento dei tempi (time dilation).

y OBO yOBO

OBO OBO

y

l u lO BOcc u

cOB

Il percorso OBO

OBOuOO τ='''

O’ O’’

2 2' '' 2 ( )2OBOuO BO l τ

= +

B

11

τ ττ+

0 0

0

Nel tempo lo specchio A avanza di u ;quindi la luce percorre l

A A

x Au

il tempo e' x OA xOA

OA

l u lcc u

τ ττ+

= ⇔ =−

ma al ritorno

c c u→ + 2

2

2 1

1

x xAO OAO

l luc u cc

τ τ= ⇒ =+ −

u allunga il tempo, ma stavolta di piu’ ! Se fosse OA=OB il raggio riflesso da A dovrebbe tornare in O dopo quello riflesso da B

Il percorso OAO B

AO

12

Questo comporta che anche la lunghezza di OA e’ diversa per capostazione e macchinista, ed e’ massima per il macchinista (lunghezza propria), mentre per il capostazione

2

1Sul lc

= −

2 2

2

2 1

1

2 1

1

OBOBO

OAOAO

lucc

lc u

c

ττ = = −

=

−

Contrazione di Lorentz

La contrazione della lunghezza OA

Ma , la differenza di ritardo non ' '. e' piu' corto di

OAO OBO

OA OB

c el l

τ τ=⇒

13

OA e’ davvero piu’ corto nel sistema della stazione, non lo sembra. Qualsiasi misura del

capostazione lo conferma.

Sono effetti reali!

Lunghezza propria: e’ la piu’ lunga

tempo proprio: e’ il piu’ breve

14

( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ET T T Tx y z t

( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ES S S Sx y z t u

Posizione del semaforo e trasformazione di Lorentz

Il Capostazione accende un semaforo a distanza xs dalla stazione a un certo istante ts. L’accensione e’ un evento E. Capostazione e macchinista osservano E ed esprimono la sua distanza da OS ciascuno in termini delle proprie misure

Macchinista e capostazione sincronizzano gli orologi a t=0 quando il treno passa dalla stazione.

15

:La stazione e il semaforo corrono a -u.distanza in moto dell'evento da :

(misurata in moto)distanza evento da :

T T

S T T

S T T

Macchinista

O xO O ut

O x ut=

+

:acceso semaforo a tdistanza evento da :

(lunghezza propria,misurata col metro)

S

S

S

Capostazione

Ox

2

21T T Sux ut xc

+ = −Contrazione relativistica:la misura del

macchinista e’ piu’corta

( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ET T T Tx y z t

( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ES S S Sx y z t u

16

2

21T T Sux ut xc

+ = − ( )2

21

T TS T T

x utx x utuc

γ+= = +

−

2

2

1dove si definisce 1

cu

γ =−

( ) ( )2

21

T TS T T T S S

x utx x ut x x utuc

γ γ+= = + ⇒ = −

−

Per il principio di Relativita’ la stazione viaggia a -u:

Come si trasforma il tempo?

17

( )( )

−=+=

SST

TTS

utxxutxx

γγDa eliminando xT esprimere tT in

termini di xS, tS

( )S S S Tx x ut utγ γ = − +

2 2S S S Tx x ut utγ γ γ= − +

( )2 21S S Tx ut utγ γ γ− = − +

ora basta ricavare Tt

18

TSS ututcux γγ =

+− 2

22

−= 2c

uxtt SST γ

2

22 2

2 2

22

222

2 2 22

1 11 1 1 c1 11 1 11 c c cc

uc

u

u u uuγ γ γγ

− −= ⇒ = ⇒ − = − =

− −−

= −−

( )2 21S S Tx ut utγ γ γ− = − +

22 2

2 S S Tu x ut utc

γ γ γ−= − +

19

Trasformazione di Lorentz

2

2

1 1, .1

c

per c e torna Galileou

γ = → →∞

−

( )

( )

2

2

'

:

T S S T S S

S T T S T T

uL inversa di x x ut t t xc

si ottiene da u uux x ut t t xc

γ γ

γ γ

= − = − → −

= + = +

( )

2

T S S

T S

T S

T S S

x x uty yz z

ut t xc

γ

γ

= −

=

=

= −

20

Con la trasformazione, le lunghezze cambiano e anche gli intervalli di tempo.C’e’ pero’ un invariante: l’intevallo s tale che

= −2 2 2 2sIntanto, due eventi hanno s=0 se la luce va da uno all'altro.

S Sc t x

Sorgenteche emette un lampo di luce

Propagazione di un lampo di luce lungo l’asse x=x’

Sorgenteche emette un lampo di luce

rivelatore

Capostazione:

= − =2 2 2 2

luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L dopo un tempo t s 0S Sc t x

Macchinista:

= − =2 2 2 2

luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L' dopo un tempo t's 0T Tc t x

Devono concordare che l’intervallo s=0.

Propagazione di un lampo di luce lungo l’asse x=x’

l’invarianza dell’intervallo 21

= −2 2 2 2

Verifica della conservazione dell'intervallo s, cioe' invarianza di s c t x

β

β

=

− = − = +

0

2 2 2 20 0 0

Poniamo , =

Deve venire x x x x . Per Galileo S S T T S T T

ux ctc

x x x

γ β γ β= + = +0 0 0Prendiamo ( ) ( ) S T T S T Tx x x x x x

γ β β

γ β β

γ β γβ

− = + − + = + + − + +

= − − = −= −

2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 2 2 2 20 2

2 20

( ) ( )

2 ( 2 )

1 (1 ) .Quindi, dato che , 1

S S T T T T

T T T T T T T T

T T

T T

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x22

γ β γ β

γ β

= + = +

−

0 0 0

2

2

( ) ( )1 = =

1

S T T S T Tx x x x x xucu

c

γ β γ β→

= − = −0 0 0

L'inversa si ottiene con u -u ( ) ( ) .T S S T S Sx x x x x x

23

La trasformazione di Lorentz lascia invarianti le equazioni di Maxwell.

= −

> <

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

s =0 intervallo lightlike intervallo timelike intervallo spacelike

Per u c torna Galileo.

c t xc t x c t x

γ

γ

⊥= + +

= +

2

r (r ) ((r ) ) v.r

t ( )

S T T T

TS T

vt

tc

Velocita’ in direzione arbitraria

γ

γ

⊥= + −

= −

2

r (r ) ((r ) ) v.r

t ( )

T S S S

ST S

vt

tc

⊥=

v velocita' del treno, r= r +r con r parallelo a v

γ β

−2

2

1 v = = v1

cc

24

γ β γ β

γ β

= + = +

−

0 0 0

2

2

Il caso v//x ( ) ( )1 = = si generalizza

1

S T T S T Tx x x x x xucu

c

Tempo proprio di una astronave in moto arbitrario

stazione

dxS

22 2 2 2 2 2 2

2 2

Nel sistema di riposo della astronave mentre per il capostazione percorre dx,ds=cd =tempo proprio, invariante. Per il capostazione, ds e' lo stesso, pero'

1 ds =c dt c dt (1 ) c dc dt

dxdx

τ τ

− = − =2

2 2 2 22

2

t (1 ) c dt (1 ), dove .c c

ddt d . Il tempo passa piu' veloce per il capostazione.1

u uβ β

τ τβ

− = − =

= >−

2

1

1 2

1 2

2 1

L'astronave viaggia il suo orologio va da a .L'intervallo da a sull'astronave vale alla stazione

t ( )t dτ

τ

τ ττ τ

γ τ τ− = ∫25

= − = −2 2 2 2 2 2 2ss= intervallo invariante

T T S Sc t x c t x

Paradosso dei gemelli: il gemello che vola resta piu’ giovane.

Contrazione delle lunghezzedalla trasformazione di Lorentz

1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.T T Tx x

γ β γ β β

γβ

∆ =

= + ⇒ ∆ = ∆ + ∆

= >−

0

0 0

2

per trovare la lunghezza misurata dal capostazione non si puo' porre 0 nella

( ) ( ), =

che porterebbe ad un allungamento 1dato che 1.

1Questo e' un trabocc

T

S T T S T T

xux x x x x xc

hetto perche' gli estremi vanno misurati simultaneamente nella stazione.

26

Contrazione delle lunghezze

γ β

γ γ

γ β γβ β

∆ = ∆ − ∆ ∆ =

⇒ ∆ = ∆ ⇒

∆ = ∆ −∆ ∆

= −

=

0 0

0 0

2

21 contrazione di

Usiamo invece ( ) ponendo 0. L = L .

Poi da ( )= troviamo che per il macchinistale estremita' della ba

Lorentz

r

.

r a

T S S S

T

S

S T S

T S S S

T

x x x x

x x

x x x x L

uL Lc

non sono state misurate simultaneamentema e' stata misurata prima quella davanti.

1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.T T Tx x

27

=

Il gatto del macchinista si mette a correre sul treno.

Macchinista: la velocita' del gatto e' T

T

dxWdt

[ ]

2

γ

γ

+⇒ = =

+

T TS

ST T

dx udtdxVudt dx dtc

Composizione relativistica delle velocita’ e velocita’ limite

21

W uV uWc

+=

+

( ) 2S T T S T Tux x ut t t xc

γ γ = + = +

Per il capostazione, la sua velocita' e' = S

S

dxVdt

2

Puo' aiutare mettere degli indici:1

gT TSgS

gT TS

W uV W u

c

+=

+

28Non si puo’ mai raggiungere c

Problema

Un razzo R si allontana dalla terra T in linea retta lungo l’asse x .

Un UFO viene avvistato da terra e dal razzo, mentre si muoveanch’ esso in linea retta lungo l’asse x. Visto da terra, questo UFO si muove a 0.5c, mentre visto dal razzo si muove a −0.5c. Qual’e`la velocita´di R rispetto a T ?

29

0.5 c

u

Toh, un ufo che va a -0.5 c

1uR RT

uTRT uR

W uVu W+

=+

0.5 , 0.51

uR RTuR

uR RT

W u con WW u+

= = −+

0.8RTu =

StazioneTerra

Trenorazzo gattoufo

Toh, un ufo che va a 0.5 c

30

Esame del 23/6/2009

31

Esame del 23/6/2009

32

33

Geometria

Per la relativita’ di Galileo, il mondo e’ descritto da un tempo 1d e una geometria euclidea 3d

Per Einstein la geometria e’ spazio-temporale, 4d e non euclidea.

x2+y2+z2- (ct)2 =s2 conservazione dell’intervallo

x2+y2+z2+(ict)2 =s2 generalizza Pitagora a 4d ed esprime la conservazione

del’intervallo:

Basta porre x4=ix0=ict per essere (pseudo) eucliei

Cronotopo di Minkowsky

( )

( )

1 1 0

2 2

3 3

0 0 1

'''

'

x x xx xx x

x x x

γ β

γ β

= − = = = −

1 4 1 4' ... ' treno ...x stazionex x x

34

Cronotopo di Minkowsky

( )

( )

γ β

γ β

= −

=

= = −

1 1 0

2 2

3 3

0 0 1

''

riproduce '

'

x x xx xx x

x x x

1 4 1 4' ... ' =ict' treno ...x =ict stazionex x x

1 011

222

333

0 11

0 00 1 0 0

Posto ,0 0 1 0

0 0

( )0 00 1 0 00 0 1 0

( )0 0

i

i

x xx cti xxxxxxx

i x xi x icti ict

γ βγ

βγ γ

γ βγ βγγ βγ

γ ββγ γβγ γ

Λ = −

−− = =

−− +−

35

Trasformazione di Lorentz: lineare, lascia invariato l’intervallo (tensore di rango 0)

Convenzione di Einstein: somma sugli indici ripetuti

'

significa '

x x

x xµ µν ν

µ µν νν

= Λ

= Λ∑

2 2 2

0 00 1 0 0

; det( ) 1.0 0 1 0

0 0

cos( ) sin( ) le rotazioni

sin( ) cos( )

i

i

come

γ βγ

γ β γ

βγ γ

θ θθ θ

Λ = Λ = − = −

−

36

Analogia formale:

spazio 3d

rotazioni

scalari =invarianti per rotazione

vettori: vanno per rotazione come punti

{ }, 1, 2,3scalare

i

i i

x ix x

=

=

{ } { }tensori , ,

1, 2,3 , 1, 2,3 , k 1,2,3i j i j kx x x x x

i j= = =

Cronotopo 4d

trasformazioni di Lorentz

scalari =invarianti per Lorentz

quadrivettori: vanno per Lorentz

come punti

{ }, 1, 2,3, 4

scalare

x

x xµ

µ µ

µ =

=

{ } { } { }tensori , , ,

1, 2,3, 4 , 1, 2,3,4 , 1,2,3,4

x x x x x xµ ν µ ν µ ρ

µ ν ρ= = =

37

distanza pseudoeuclidea (positiva, nulla o negativa)

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4( )s x y z ict x x x x∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

x4=ictx0=ct

Non sono scalari le lunghezze e gli intervalli di tempo

Scalari: lunghezza propria, intervallo fra due eventi, il tempo proprio

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 0 1 2 3

2 2 2tempo proprio : invariante

s x x x x x x x c tdss c dc

τ τ

∆ = ∆ + ∆ + ∆ −∆ = ∆ + ∆ + ∆ − ∆

∆ = − ∆ ⇒ =

10

( )

µ µ

µ µ µ

γ −= − = = −

−

= = ⇒ = − =

2 22

2 2 2 2

2 2 22

2

4

I prodotti scalari fra quadrivettori danno scalari, cioe' invarianti relativistici:

, e' scalare.

( )1

u cw w u c cu

x x x ict x x x c t

c

s

quadrivelocita’:dw xdµ µτ

=

Quadrivettori: si trasformano come xµ 'w wµ µν ν= Λ

Esempi:punto cronotopico: ( )µ = =

4, ,x x x ict2

1

−=

cudtdτ

µ µ µ γτ

= = = = − −

2 2

1 1 , ( , )1 1

d d dw x x x ic u icd dt dtu u

c c

= = trivelocita' quadrivelocita'u w

39

1 2 3

0 0 0

0 1 2 3

dV non e' uno scalare: trasformando lungo x dV

=cdt non e' uno scalare: trasformando lungo x dx dx e' uno scalare.

dV dx dx dx

dxcdVdt dx dx

B

dx dx

N

γγ

= →

→=

1 2 3

La carica q= contenuta in e' scalare; per esempio, il numero di elettroni si ottiene con un conteggio e non dipende dal riferimento.

non e' uno scalare: trasformando lungo x, dV

dV dV

dV dx dx

B

dx

Nρ

= →

0

dV .

Quindi in modo che q q. deve trasformarsi come =cdt come la componente 0 di un quadrivettore.dx

γρ γρ

ρ→ →

µµ

ρ ρρ= = =

0quadricorrente: ( , ),dx

j J i jdt c c

40

µ

µ µ

µ

ω ω

ω

= =

=

=

0( , ),

kr- t scalarequadrivettore d'onda

k k i kc c

k xk

φ ω

La fase di un'onda elettromagnetica =kr- t e' scalare (se ilcampo e' nullo in un punto lo e' per tutti; il numero di nodifra due punti e' una questione di conteggio ed e' invariante).

41

42

Vettori e tensori in 2dCos Sin

Rotazione vettori v= ,w=Sin Cos

x x

y y

v wR

v wθ

θ θθ θ

−

Cos Sin Cos SinCos Sin : vettori v ,w

Sin Cos Sin CosSin Cosx y x y

x y x y

v v w wR

v v w wθ

θ θ θ θθ θθ θ θ θθ θ

− − − → → + +

Tensore a 2 indici: si trasforma come

T=

(Cos Sin )(Cos Sin ) (Cos Sin )(Sin Cos )

(Sin Cos )(Cos Sin ) (Sin Cos )(Sin Cos )

x x x y

y x y y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

v w v wv w v w

v v w w v v w wv v w w v v w wθ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ

− − − + → + − + +

Elettrodinamica classica

πρ

π

∇ =

∇ =

∂∇∧ = −

∂∂

∇∧ = +∂

Equazioni di Maxwell nel vuoto: invarianti

4

0

1

1 4

E

B

BEc t

EB jc t c

e si ottiene :

AE B At

φ ∂= −∇ − = ∇∧

∂

π φ πρ ∂ ∂∇ − = − ∇ − = − ∂ ∂

2 22 2

2 2 2 2

:

1 4 1 4

onde

A jc t c c t

µ µ

µ

φ φ

ω ω

= =

= =

0

0

quadrivettore corrente: potenziale : ( , ),

quadrivettore d'onda : ( , ),

j A A i Ac c

k k i kc c

µ µπ

⇒

∂∇ − = − ∂

22

2 21 4A jc t c

Trasformazione di Lorentz :' ' 'j j A A k kµ µν µ µ µν µ µ µν µ= Λ = Λ = Λ

43

44

Problema: il capostazione misura un campo e.m. prodotto da

, jρ

E’ chiaro che una carica ferma nella stazione e’ carica+corrente per il macchinista.

Che campo misura il macchinista?Risposta: formare il quadrivettore, fare la Lorentz. Risolvere di nuovo le equazioni di Maxwell.

I campi elettrico e magnetico non si trasformano come quadrivettori.

4

Tensori a 2 indici: oggetti chesi trasformano come

'Tensore a 4 indici:

'

contraendo, cioe' sommando in questo modo i tensori si trovano sca

lar

wx x

w w

A A

NB w w x x x x s

µν

µ ν

µν µρ νσ ρσ

αβγδ αη βθ γλ δν ηθλν

µν µν µ µ ν ν

= Λ Λ

= Λ Λ

=

Λ Λ

=

i

Scalari= tensori a 0 indici, quadrivettori= tensori a 1 indice, e sono usati anche tensori a parecchi indici.

Einstein: Le leggi della Fisica sono uguaglianze fra tensori. Relativizzazione delle leggi fisiche= trascrizione in forma tensoriale. 45

4

Il Campo elettromagnetico e' un tensore:

Il Campo elettromagnetico e' un tensore antisi

contraendo in questo modo i tensori si trovano scal

mmetrico:

ri

a

AAFx x

F F

NB w w x sx x x

F F

µνµν

µ ν

νµ µν

µν µν µ µ ν ν

µν

∂∂= −∂ ∂

= −

= =

2 2scalare (vedremo che e' E ).Bµν = −

46

3131

3 2232

3 1

1 212 3

2 11

2 3

Tensore Campo elettromagnetico: AAF

x xA AF B AAFx

A AF Bx x

Bx xx

µνµν

µ ν

∂∂= − =∂ ∂

∂ ∂= −

∂∂= −∂ ∂

∂ ∂= − =∂ ∂

=∂ ∂

1 4 1 4 11 41

1 1 4 1 4

41 1 42 2 43 3

( ) ( )1 1 1( )( ) ( )

e analogamente

A iA A A AE i iFx c t x c ix x c x

iF E iF E iF E

φ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂= − − = − − = − − + = −

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂− = − = − =

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

00

0

0tensore antisimmetrico di rango 2 (ha 2 indici).

B B iEB B iE

FB B iEiE iE iE

µν

− − − − = − −

47

Equazioni di Maxwell in forma tensoriale

48

0 F F Fx x xµν νλ λµλ µ ν

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

da'1 0, =0.

Sono le 4 equazioni di Maxwell omogenee.

E B divBc t∂

∇∧ + =∂

La divergenza del tensore campo elettromagnetico

e' un quadrivettore .4 Le equazioni di Maxwell non omogenee si scrivono: .

AAF Fx x x

F Jx c

µνµν µν

ν µ ν

µν µν

π

∂∂∂= −

∂ ∂ ∂

∂=

∂

49

Problema: risolto dalla formulazione tensoriale:il capostazione misura un campo e.m. prodotto da

, jρ

Che campo misura il macchinista?Risposta: trasformazione del tensore F

Tensori a 2 indici: oggetti chesi trasformano come

'

wx x

F F

µν

µ ν

µν µρ νσ ρσ= Λ Λ

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

2

2

00

0

0

Si trasforma di Lorentz (velocita' lungo x) con0 0

0 1 0 0' dove al solito

0 0 1 00 0

1 .v1

B B iEB B iE

FB B iEiE iE iE

i

F F

i

c

µν

µν µλ νσ λσ

γ βγ

βγ γ

γ

− − − − = − −

= Λ Λ Λ = −

=

−

Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico

50

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

0 0 00 0 1 0 0

' 0 0 0 1 0

0 0 0

B B iE iB B iE

F F FB B iEiE iE iE i

µν µν µλ νσ λσ

γ βγ

βγ γ

− − − − = = Λ Λ Λ = − −

−

Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico

Siano E ,E le componenti di E parallele e ortogonali a v:

analogamente definiamo B ,B .⊥

⊥

Viene che le componenti paralele non cambiano:

E' E , B' B .Per le componenti v viene:

1 1E' = [E (v B)], B' = [B (v )]Ec c

γ γ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

= =

⊥

+ ∧ − ∧

512 2Risulta invariante F F E -B (direttamente).µν µν =

52

Risulta invariante anche E.B

Quindi una onda elettromagnetica, in cui i campi sono ortyogonali,

va in una onda elettromagnetica (E.B=0).

La teoria quantistica relativistica e’ quella di Dirac, ma il fenomeno si puo’spiegare semplicemente a livello semiquantitativo. Per un modello alla Bohr l’elettrone che si muove con velocita’ v vede un campo magnetico

vAl primo ordine in viene che le componenti paralele al moto

non cambiano E' E ,B' B ,ma erano nulle; nasce pero' un campo radiale1 B' (v ).

Lo spin dell'elettrone ha un momento

c

Ec⊥

= =

≈ − ∧

2 2

2 2

magnetico =g ; 2

risulta una interazioneg 1H' .p .

1dato che eE=- . La teoria di Dirac prevede H' . .2

B B

BSO

SO

eSmc

dVS E S Lmc m c r dr

dV r dV S Ldr r m c r dr

µ µ µ

µ

=

= ∧ =

=

Interazione spin-orbitaUn elettrone che si muove nel campo elettrico di un nucleo sente anche un campo magnetico.

53

( ) ( )

0 4

0 4

,

, , ,

, , ,

k x t k x

k k k k k ic c

x x ct x x x ict

µ µ

µ

µ

ω

ω ω

Φ = • − =

= = = =

= = = =

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

( )µ µ λ

µ

µ

ν ν ν

φ

ω

Φ

=

=

= = Φ

(0) (0)

quadrivettore potenziale : ( , )

quadrivettore d'onda : ( , )

onda e.m. : Re Re ,dove ' la fase.ik x i x

A A ic

k k ic

A A e A e e

Dove il campo si annulla, si annulla per tutti gli osservatori: la fase e’ scalare!

Onde elettromagnetiche

54

Effetto Doppler

55

56

Effetto Doppler

57

stazione

Asse x

u

θS

vettore d’onda della luce

θ =Se l'angolo misurato dal capostazione 0S

Capostazione e macchinista osservano un’onda elettromagnetica piana monocromatica emessa da una sorgente ferma rispetto alla stazione.

Il treno corre con u>0

il treno con u>0 si allontana dalla sorgente57

vettore d’onda della luce

Asse x

stazione

u

θ π=Se per il capostazione ,il treno si avvicina alla sorgente di luce.

S

πθ =Se la sorgente e' allo zenit 2S

58

θS

( )

ω

θ ωω

=

=

S

S

S S S S

S

Capostazione: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . k fa´un angolo con l'asse x, pulsazione ck

k S

x( ) ( ) ( ) ( )ω ωθ θ= =

S S S S 0cos k sin k S S

yc c c

59( ) ( )

T

T T T

T T

T T

Macchinista: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione

emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . ck

k fa´un angolo con l'asse x,

k cos k T

x c

ω

ω

θω θ

=

=

( ) ( ) ( )T T T 0k sinT

y

T

c cωω θ= =

µω ω

= =

0d'ondaquadrivett (o e : , )r k k i kc c

( ) [ ]( ) [ ]0 0

0 0

0

Applichiamo a k la trasformazione di Lorentz dalla stazion al

( ) ( ) ( ) ( ) (

treno ana

) ( )

loga a:.Viene

( )

:

( ) .T S S T

T x S x S T y S y

S T S S

T s S x

x x ct y y x x x

k k k k k k k kγ β

γ

γ β

β γ β= −

= − = = −

= = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ωθ θ= = =

T T T T T 0Mettiamoci: k cos k sin k T T T

x yc c c

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

ω ω ωθ θ

ω ω ω ωγ θ β θ γ

= = = ⇒

= − = =

S S S S S 0

S S 0

Volendo una relazione fra gli angoli e fra le frequenze, sostituiamoci:

k cos k sin k

( ) cos ( ) sin ( )

S S S

x y

S S ST x T y T

c c c

k k kc c c ( )ω

β θ

−

Scos S S

c c

( ) ( )

( ) ( )

( )

ω ωωθ γ θ β

ωωθ θ

ω ωωγ β θ

= −

=

= −

T S

T S

S

cos cos

sin sin

cos

S ST

ST

S ST

c c c

c c

c c c

( ) ( )( )( ) ( )

( )

ω θ

ω

γ β

θ

ωγ θ

ω θ

ω θ

ω

= −

=

= −

T

T

S

S

S

cos

sin

Semplifichiamo le 3 relazi

1

oni:cos

si

cos

nT S

T

ST

S

uc

60

61

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ω θ ω θ ωγ β γ βω θ θ ω θω = − = = − ST TS Scos sin cos 1cos sinS ST T TS

( ) ( )( )( ) ( )

T S

T S

dalle componenti x,y

cos cos

sin sinT S

T S

ω θ γω θ β

ω θ ω θ

= −

=

( ) ( )( )

( )

θθ

γ θ β

θ θ β θ β

=−

≈ +

sintan

[cos ]

sin per 1,aberrazione della luce stellaredovuta all'orbita terrestre.

ST

S

T S S

61

θ π>⇒

stella davanticorrezione negativa

S

x

62

( ) [ ]( ) [ ]

0 0

0 0 0

Trasformazione di Lorentz dalla stazione al treno analoga a:.Viene :

Trasformazione di Lorentz dal treno alla stazione ( ) (

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

og(

na)

l.

T S S T S T S S

T x S x S T y S y T s S x

x x ct y y x x x

k k k k k k k k

γ β γ β

γ β γ β

= − = = −

= − = = −

( ) [ ]0 0

a a:.S T T T S S T Tx x ct y y x x xγ β γ β= + = = +

Cambiamento di frequenza per effetto Doppler

[ ]0 0

La componente temporale viene :( ) ( ) ( ) .Qui e' la velocita' del treno rispetto alla stazione.

S T T xk k kγ β

β

= +

µω ω

= =

0d'ondaquadrivett (o e : , )r k k i kc c

63

[ ]0 0

La componente temporale viene :( ) ( ) ( ) .Qui e' la velocita' del treno rispetto alla stazi

Ma vogliamo scrivere la relazione in termini della velocita' V della sorgente (ferma nel

one.

la s

S T T xk k kγ β

β

= +

0 0

0 0

tazione) risp. al treno

( ) ( ) ( ) . Mettendoci

( ) ( ) ( ) cos( )= cos( )

angolo della velocita' V della sorgente con il vettore d'ondavisto sul treno

S T T x

S TS T T x T T

T

Vk k kc

k k k kc c c

γ

ω ω ωθ θ

θ

= −

= = =

=

( )ωω θγ = −

1 , V=velocita' della sorgente risp. co al trenos S T T

Vc

Sorgente

T

k

V𝜃𝜃𝑇𝑇

64

Trasformazione dal treno alla stazione dove si trova la sorgente di luce

( )ω θω γ

γ

= −

=

− 2

1 , V=velocita' della sorgente risp. al treno

1

cos

1 ( )

S T TV

Vc

c

( )

ωω

θ

πθ

ω

ω

ω

−= −

=

=

≈

−

2

2

2

2

pulsazione della sorgente f

Effetto Doppler trasversale pe

erma.

r

c

1,

1

1 )2

os

2

(

S

S

T

T

T

T S

c

V

V

V

c

c

L’effetto Dopplertrasversale (θS = π/ 2 ) avviene ad esempio se

il rivelatore ruota intorno alla sorgente. Questo non e`previsto dalla Fisica pre-relativistica. Si sono fatte le verifiche sperimentali che hanno confermato la teoria di Einstein.

65

Verifiche sperimentali che hanno confermato la teoria di Einstein.

66

( )

ωω

θ

θ π

ωω

θ

ω

ω

ω

ω

−= −

− −

++

=

=

=

−

≈

=

−

≈

2

2

2

2

2

2

Effetto Doppler longitudinale p

pulsazione della sorgente ferma.cos

allontanamento

0 av

er

per

1,

vicinamen

1

1 1

1

1

1

to

1

T

T

S

S

T

T

S

S

T

S

T

Vc

V

Vc

Vc

V

c

c

Vc

c

VcV

ω+

=−

1

1S

VcVc

Sorgente

T

k

V𝜃𝜃𝑇𝑇

Meccanica relativisticaConsideriamo un punto materiale libero di massa m0; questa e` la massa diriposo, misurata nel sistema in cui il corpo e`in quiete.

Procediamo in modo induttivo, cercando una relativizzazione del principio variazionale classico di minima azione δS = 0.

Logico aspettarsi S scalare, cosi’ la legge e’ uguale per tutti

τ

=

= − = − −∫ ∫

20

22 2

0 0 2

energia, invariante;azione=energia *

1b b

a a

t t

t t

m c tempo

vS m c d m c dtc

67

µ µ= =

0

0

Relativizzando p=mv, p ( , ) quadrivettore,

massa di riposo invariante, E e' una energia

Em w p ic

m

τ= − = − −∫ ∫2

2 20 0 21b b

a a

t t

t t

vS m c d m c dtc

= = − −∫2

20 2( ), ( ) 1b

a

t

t

vS dtL v L v m cc

C’e’ una lagrangiana,

<< ⇒ ≈ − − = − +22

2 2 00 02( ) (1 )

22m vvv c L v m c m c

c e la costante non conta

68

68

∂= == − − ≡

−

→

⇒∂

02

22

0 2

2

0

1

m= m per piccole velocita', ma diverge per v c; quindi c=velocita' limite, irraggiungibile per i corpi

( )

dotati di ma

1

ssa.

m vLvL v m cc

p mvv v

c

= − = 2.E p v L mc

µ µ

≈ + +

= =

⇒

= ⇒ =

2 20 0

0

20

10 2 200 0

1, .....2

e non c'e' costante arbitraria, perche'

p ( , ) ' un quadrivettore!

energia di riposo3 10 / 9 10

per v c E m c m v

Em w p i ec

m cc cm s m c m erg

6969

Reazioni chimiche

+ → +2 2.4H H H eV

−

≈ =

+

≈

2 9

29

10 1'

10

pm c eV GeVH piu leggero di H H

difetto

Reazioni nucleari

+ → +6 2 43 1 22 22.4Li H He MeV

0.3% della massa va in energia

70

An induced nuclear fission event. A neutron is absorbed by the nucleus of a uranium-235 atom, which in turn splits into fast-moving lighter elements(fission products) and free neutrons.

71

Fusione:

72

Relativita’ GeneralePrincipio di relativita’ esteso a sistemi non inerziali +principio di equivalenza

Gravita’ , effetto lente, buchi neri, cosmologia ma anche gps.

La piu’ bella teoria secondo L Landau

73

Onde gravitazionali generate da un sistema binario. La distorsione dello spazio giace in un piano, che e' ortogonale alla direzione di propagazione dell'onda.

2016: rivelate le onde gravitazionali

74