Presentazione standard di PowerPoint · 5 Weighted Interval Scheduling Weighted interval scheduling...

Programmazione dinamica:Selezione di intervalli pesati

12 ottobre 2015

Appello 29 gennaio 2015

Quesito 2 (24 punti)Dopo la Laurea in Informatica avete aperto un campo di calcetto che ha

tantissime richieste e siete diventati ricchissimi. Ciò nonostante volete

guadagnare sempre di più, per cui avete organizzato una sorta di asta: chiunque

volesse affittare il vostro campo (purtroppo è uno solo), oltre ad indicare da

che ora a che ora lo vorrebbe utilizzare, deve dire anche quanto sia disposto a

pagare. Il vostro problema è quindi scegliere le richieste compatibili per orario,

che vi diano il guadagno totale maggiore. Avete trovato una soluzione, ma è

molto lenta. Vi ricordate allora che al corso di Algoritmi vi avevano tempestato

con le varie tecniche di progettazione di algoritmi: potranno esservi utili

(almeno una volta nella vita)?

Formalizzate il problema reale in un problema computazionale e risolvetelo in

maniera che sia il più efficiente possibile. Giustificate le risposte.

6.1 Weighted Interval Scheduling

4

Interval SchedulingInterval scheduling problem.

Job j starts at sj, finishes at fj .

Two jobs compatible if they don't overlap.

Goal: find biggest subset of mutually compatible jobs.

Time0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f

g

h

e

a

b

c

d

5

Weighted Interval SchedulingWeighted interval scheduling problem.

Job j starts at sj, finishes at fj, and has weight or value vj .


Goal: find maximum weight subset of mutually compatible jobs.

Time0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f

g

h

e

a

b

c

d

weight = 9

weight = 7

weight = 10

weight = 2

weight = 12

weight = 8

weight = 2

weight = 5

6

Weighted Interval Scheduling

Weighted interval scheduling problem.

Job j starts at sj, finishes at fj, and has weight or value vj .


Goal: find maximum weight subset of mutually compatible jobs.

Copyright © 2005 Pearson Addison-Wesley. All rights reserved.

Insiemi compatibili: {1,3} di peso 2{2} di peso 3 è la soluzione ottimale

7

Unweighted Interval Scheduling Review

Note: Greedy algorithm works if all weights are 1.

Consider jobs in ascending order of finish time.

Add job to subset if it is compatible with previously chosen jobs.

Observation. Greedy algorithm can fail spectacularly if arbitrary weights are allowed.

Time0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b

a

weight = 999

weight = 1

8

Weighted Interval Scheduling

Notation. Label jobs by finishing time: f1 f2 . . . fn .

Def. p(j) = largest index i < j such that job i is compatible with j.

Ex: (independently from weights) p(8) = 5, p(7) = 3, p(2) = 0.

Time0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6

7

8

4

3

1

2

5


6-9

Soluzione = {5, 3, 1}

Valore = 2+4+2 = 8

10

Dynamic Programming: Binary Choice

Notation. OPT(j) = value of optimal solution to the problem consisting of job requests 1, 2, ..., j.

Case 1: OPT selects job j.can't use incompatible jobs { p(j) + 1, p(j) + 2, ..., j - 1 }

must include optimal solution to problem consisting of remaining compatible jobs 1, 2, ..., p(j)

Case 2: OPT does not select job j.must include optimal solution to problem consisting of remaining compatible jobs 1, 2, ..., j-1

otherwise)1()),((max

0j if0)(

jOPTjpOPTvjOPT

j

optimal substructure

11

Input: n, s1,…,sn , f1,…,fn , v1,…,vn

Sort jobs by finish times so that f1 f2 ... fn.

Compute p(1), p(2), …, p(n)

Compute-Opt(j) {

if (j = 0)

return 0

else

return max(vj + Compute-Opt(p(j)), Compute-Opt(j-1))

}

Weighted Interval Scheduling: Brute Force

Brute force recursive algorithm.

demo-activity-selection.ppt#1. Activity%20Selection%20(Interval%20Scheduling)

demo-activity-selection.ppt#1. Activity%20Selection%20(Interval%20Scheduling)


6-12


0j if0)(

jOPTjpOPTvjOPT

j

13

Weighted Interval Scheduling: Brute Force

Observation. Recursive algorithm fails spectacularly because of redundant sub-problems exponential algorithms.

Ex. Number of recursive calls for family of "layered" instances grows like Fibonacci sequence.

3

4

5

1

2

p(1) = 0, p(j) = j-2

5

4 3

3 2 2 1

2 1

1 0

1 0 1 0

T(n)= O(2n): too much!

14




for j = 1 to n

M[j] = empty

M[0] = 0

M-Compute-Opt(j) {

if (M[j] is empty)

M[j] = max(wj + M-Compute-Opt(p(j)), M-Compute-Opt(j-1))

return M[j]

}

Weighted Interval Scheduling: Memoization

Memoization. Store results of each sub-problem in a cache; lookup as needed.

max(vj +

15

Weighted Interval Scheduling: Running Time

Claim. Memoized version of algorithm takes O(n log n) time.Sort by finish time: O(n log n).

Computing p() : O(n) after sorting by start time (exercise).

M-Compute-Opt(j): each invocation takes O(1) time and either

(i) returns an existing value M[j]

(ii) fills in one new entry M[j] and makes two recursive calls

Progress measure = # nonempty entries of M[].initially = 0, throughout n.

(ii) increases by 1 at most 2n recursive calls.

Overall running time of M-Compute-Opt(n) is O(n).

Remark. O(n) if jobs are pre-sorted by start and finish times.

16

Weighted Interval Scheduling: Bottom-Up

Bottom-up dynamic programming. Unwind recursion.




Iterative-Compute-Opt {

M[0] = 0

for j = 1 to n

M[j] = max(vj + M[p(j)], M[j-1])

}


6-17

Iterative-Compute-Opt {

M[0] = 0

for j = 1 to n

M[j] = max(wj + M[p(j)], M[j-1])

}

M[1] = max ( 2+M[0], M[0]) = max (2+0, 0) = 2M[2] = max ( 4+M[0], M[1]) = max (4+0, 2) = 4M[3] = max ( 4+M[1], M[2]) = max (4+2, 4) = 6M[4] = max ( 7+M[0], M[3]) = max (7+0, 6) = 7M[5] = max ( 2+M[3], M[4]) = max (2+6, 7) = 8M[6] = max ( 1+M[3], M[5]) = max (1+6, 8) = 8

18

Weighted Interval Scheduling: Finding a Solution

Q. Dynamic programming algorithms computes optimal value.

What if we want the solution itself (the set of intervals)?

A. Do some post-processing.

# of recursive calls n O(n).

Run M-Compute-Opt(n)

Run Find-Solution(n)

Find-Solution(j) {

if (j = 0)

output nothing

else if (vj + M[p(j)] > M[j-1])

print j

Find-Solution(p(j))

else

Find-Solution(j-1)

}

Esempio del calcolo di una soluzione


0j if0)(

jOPTjpOPTvjOPT

j

Soluzione = {5, 3, 1}

Valore = 2+4+2 = 8

M[1] = max ( 2+M[0], M[0]) = max (2+0, 0) = 2M[2] = max ( 4+M[0], M[1]) = max (4+0, 2) = 4M[3] = max ( 4+M[1], M[2]) = max (4+2, 4) = 6M[4] = max ( 7+M[0], M[3]) = max (7+0, 6) = 7M[5] = max ( 2+M[3], M[4]) = max (2+6, 7) = 8M[6] = max ( 1+M[3], M[5]) = max (1+6, 8) = 8

M[6]=M[5]: 6 non appartiene a OPTM[5]=v5+M[3]: OPT contiene 5 e una soluzione ottimale al problema per {1,2,3}M[3]=v3+M[1]: OPT contiene 5, 3 e una soluzione ottimale al problema per {1}M[1]=v1+M[0]: OPT contiene 5, 3 e 1 (e una soluzione ottimale al problema vuoto)

20

Dynamic Programming SummaryRecipe.

Characterize structure of problem.Recursively define value of optimal solution.Compute value of optimal solution.Construct optimal solution from computed information.

Dynamic programming techniques.Binary choice: weighted interval scheduling.Multi-way choice: segmented least squares.Adding a new variable: knapsack.Dynamic programming over intervals: RNA secondary structure.

Top-down vs. bottom-up: different people have different intuitions.

Tale proprietà è detta: Proprietà della Sottostruttura Ottima.

Proprietà della sottostruttura ottima: Scheduling di attività

Il punto cruciale qui è che O – {n} :

• è una soluzione, cioè è un insieme di attività compatibili di {1, …, p(n)} (perché le attività di O sono compatibili)

• è ottima, cioè ha cardinalità massima fra le soluzioni al sottoproblema relativo alle attività {1, …, p(n)} (infatti, se così non fosse, esisterebbe una soluzione O’ per {1, …, p(n)} di cardinalità strettamente superiore a quella di O – {n} e allora O’∪{n} sarebbe una soluzione strettamente migliore di O.

Riepilogo e riferimenti

• Primi esempi della programmazione dinamica: calcolo dei numeri di Fibonacci (la volta scorsa), selezione di intervalli pesati (oggi: [KT] par. 6.1)

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