Riassunto

1

- Le cariche elettriche si possono separare fra loro: esiste il monopoloelettrico

- Le cariche si possono muovere in materiali conduttori. Non negliisolanti.

- Cariche di segno opposto si attraggono, dello stesso segno sirespingono

- La forza di interazione fra due cariche puntiformi (forza di Coulomb) dipende anche dal mezzo in cui si trovano le cariche

- L’interazione totale fra molte cariche è determinate dalla sommavettoriale delle single forze di interazione (principio di sovrapposizione)

q

FE

=

EqF

=

Il campo è la regione di spazio in cui si

manifesta l’azione della forza elettrica

Il campo elettrico

le linee di forza sono uscenti dalle cariche positive

ed entranti in quelle negative

il campo si rappresenta mediante le linee di forza

il campo è tangente alle linee di forza

il numero di linee che attraversano una superficie ⊥ unitaria è proporzionale

all’intensità del campo

campo elettrico generato da una carica puntiforme q

20

04

1

r

qqF

=

200 4

1

r

q

q

FE

==

vale il principio di sovrapposizione

==0q

FEE i

i

=2

04

1

r

dqE

dipolo elettrico

se le cariche non sono puntiformi ma distribuite su

corpi di dimensioni finite

se un campo ha modulo e direzione costante in ogni punto dello

spazio è detto uniforme (distribuzione uniforme di cariche)

dqp

=

momento di dipolo elettrico

momento torcente

dipolo in un campo elettrico (es. la molecola di H2O)

Ep

=

nAA

A

=

= v

vettore areale

Flusso di un vettore

Il teorema di Gauss

9

=→=→

AdEerficie

i

i

A

AEi

sup0

lim

=→= AdEAE

i

i

Superficie Chiusa: Superficie che divide lo spazio in una regione «interna» e una regione esterna

204

1

r

qE

=

0

2

2

0

44

1

qr

r

qEAdAE

EdAAdE

===

===

=i

iq

0

il flusso elettrico attraverso unasuperficie gaussiana è proporzionale alnumero di linee che entrano ed esconodalla superficie

Carica puntiforme:

0

24

q

rEdAEEdAAdE =====

0

24

1

q

rE =

campo elettrico generato da una carica puntiforme

Alcuni esempi:distribuzione di carica a simmetria sfericadistribuzione su una/due lamine piane

la simmetria

Sistemi a simmetria piana

• Superficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra

• Il flusso vale:

• Il teorema di Gauss dice che:

• Quindi, usando la densità superficiale di carica, si ha:

EAEdSS

E 2==

0

2

QEA =

02

=E

A

qint=

Doppia Piastra

All’interno del cilindro la carica totale è nulla (essendo le due densità di carica uguali ed opposte) per cui esternamente al doppio strato E=0.

Tra le due piastre si ha un contributo di campo elettrico dato dalla somma dei contributi singoli delle due piastre E=/20.

Per cui, il campo totale vale E= /0

Piano conduttore carico

La superficie del cilindretto immersa nel conduttore ha flusso nullo: l’unico contributo non nullo è attraverso la superficie superiore, per cui, il campo totale vale E= /0

Consideriamo ora un piano metallico con distribuzione di carica

+ + + ++ + + + + ++ +

Cilindretto su cui applichiamo il th di GaussE

✓ E = 0 all’interno del conduttore✓ la carica risiede sulla superficie✓ E = /0 in un punto prossimo alla superficie del conduttore e ⊥ ad essa✓ la carica si accumula nei punti della superficie a curvatura maggiore (punte)

0

int

qEAAdE ===

00

== E

AEA

A

qint=

teorema di Coulomb

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Gabbia di faraday

All’interno di un conduttore cavo, per il teorema di Gauss il Campo Elettrico è nullo. La carica si distribuisce sulla superficie in modo da schermare l’interno dal campo elettrico esterno

Moto di una particella carica in un campo elettrico uniforme

m

Eqa

amEqF

=

==

Moto parabolico

In un punto P il campo elettrico creato da una carica di 6 · 10-8C vale 60 N/C. Qual è la distanza dal punto P dalla carica che genera il campo ?

All’interno di un nucleo di un certo elemento chimico, la forza di repulsione tra due protoni vale circa 4,2 N. A che distanza l’uno dall’altro si trovano i due protoni all’interno del nucleo? (carica del protone = + 1,6 · 10-19 C).

Un campo elettrico è dovuto alla carica Q = + 0,02 C. Calcola:· L’intensità del vettore campo elettrico nel punto A a 5 m di distanza da Q.· L’intensità, la direzione ed il verso della forza che subirebbe una carica di 3 mC postain A.· Quanto vale il campo elettrico in A se, oltre alla carica Q, si trova, sulla linea di forzapassante per A, a 3 m di distanza se dalla parte opposta rispetto a Q, una carica Q´ di-3 mC

A5 m 3 m

Nr

qqEq 4

39

2

0

0

1016.225

10302.0109

4

1=

==

−

mNr

QEQ /103

9

103109

'

4

1 63

9

2

0

' =

==−

mNEE QA /1036.91016.2102.7 666

' =+=+

Quale è il lavoro compiuto per muovere un protone in un campo uniforme da 200 N/C per 2 m?

F=qE

A

B

CD

−===

BA

B

A

B

A

ABrr

qqdr

r

qqrdFL

11

44

1

0

0

2

0

0

LBC = LDA = 0 (F ⊥ spostamento); LCD = -LAB Ltot = 0 F è conservativa

Energia potenziale elettrostatica: è il lavoro compiuto dalle forze del campo per portare la carica q0 immersa nel campo E da un punto A ad un punto B lungo un

percorso qualunque

BAAB UUL −= −=−=−=−=

B

A

B

A

ABAB sdEqsdFLUUU

0

il campo elettrico è conservativo

Le forze elettriche sono conservative

• Consideriamo una particella carica che si spostaattraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico:

la carica negativa possiede:- più energia potenziale e menoenergia cinetica lontano dalla caricafissa positive- più energia cinetica e meno energiapotenziale vicino la carica positiva fissa.L’energia totale si conserva

+

-

posizione di riferimento (U = 0) U(P) = lavoro compiuto dalle forze del campo per portare una carica di prova da P all’infinito

−===

=−

P

P

PP

PP

sdEqsdEqLU

LUU

00

[U] = [L] nel S.I. si misura in J

0q

UV =

−=−=

=B

A

AB sdEq

L

q

UV

00

il potenziale in un punto è l’energia potenziale per unità di carica

000 q

L

q

U

q

UVVV ABAB

AB −=−=−= differenza di potenziale tra 2 punti

[V] = [U / q0] nel S.I. si misura in Volt, 1V = 1J / C

Potenziale elettrico

Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forzauguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa dellapresenza del campo E.

essendo: lavoro = forza spostamento

A B

q0 E

Felet

Fapplicata = -Felet

Indipendente dalla carica.

−===

P

P

PP sdEqsdEqLU

00

−=−=

=B

A

AB sdEq

L

q

UV

00

La d.d.p. è una misura del lavoro che una carica può compiere

EddsEEdssdEVVV

B

A

B

A

B

A

BA ====−=−

EdEldsEdsEsdEVV

C

A

C

A

C

A

CA =====− coscoscos

lAC

dAB

=

=

VB = VC → superfici equipotenziali (superfici ⊥ alle linee di E)

A B

CDifferenza di potenziale in un campo elettrico uniforme

Superfici equipotenziali

Si chiama superficie equipotenziale • il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico

assume uno stesso valore• La superficie equipotenziale è perpendicolare in ogni punto

alla linea di forza del campo che passa per quel punto

Se tra due armature vi è una d.d.p. di 10 V e una forza esterna spostasse unacarica da 1 C da un punto a ad un punto b vicine alle due armature, la caricaacquisterebbe una energia potenziale = (1 C) x 10 V) = 10 J.Se la carica valesse 2 C l’energia potenziale acquistata sarebbe di 20 J

La d.d.p. è una misura del lavoro che una carica può compiere

1 eV = 1.6 x 10-19 CV = 1.6 x 10-19 JElettronvolt:

l'energia guadagnata (o persa) da una carica pari a quella dell’elettrone che si muove nel vuoto tra due punti di una regione tra i quali vi è una differenza di potenziale elettrostatico di 1 volt.

Potenziale dovuto ad una carica puntiforme

P

PPP

PPP

PP

r

q

rr

q

r

q

r

drqdr

r

qsdE

q

UV

1

4

11

4

1

4

44

1

000

20

200

=

+−=

−

=====

( )r

qrV

04

1

=

potenziale dovuto ad una distribuzione

continua di cariche ==r

dqV

r

dqdV

00 4

1

4

1

per un insieme di cariche puntiformi: ==

i

ii

r

qVV

04

1

Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale

•mattone spostato yi→ yf carica spostata → rf

L = F d cos(q)Gravità Elettrico

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

yi→

yf→

Fg=mg

h

FG = mg (giù)

LG = -mgh

UG= +mgh

rf

FE = kq1q2/r2

(sinistra)

LE = -kq1q2/rf

UE= +kq1q2/rf

FE

dr

dVE −=

( )r

qrV

04

1

=( )

204

1

r

qrE

=

=

P

P sdEV

carica puntiforme

relazione tra campo e potenziale

Calcolare il potenziale in un punto posto a 50 cm da una carica puntiforme di 10 mC E se la carica fosse stata -10 mC?

( ) Vxxx

r

qrV 5

69

0

108.15.0

)1010(109

4

1===

−

( ) Vxxx

r

qrV 5

69

0

108.15.0

)1010(109

4

1−=

−==

−

Due armature piane e parallele sono caricate affinché vi sia una d.d.pdi 120 V. Se la distanza è di 1 mm, quanto vale il Campo Elettrico? Cosa accadrebbe se le due armature fossero poste a 10mm?

mmKVmVxxdr

dVE /120.0/10120

101

120 3

3===−=

−

3 KV/mm

Rigidità dielettrica dell’aria

mmKVmVxxdr

dVE /12/1012

1010

120 6

6===−=

−

Valutare il campo Elettrico e il potenziale nel punto O, considerando che tutte le cariche poste ai vertici valgono 0.2 C e il lato vale 10 cm

Valutare il campo Elettrico e il potenziale nel punto P posto a 10 cm da A, considerando che tutte le cariche poste ai vertici valgono 0.2 C e il lato vale 10 cm

P

Potenziale di un conduttore carico isolato

✓ogni punto della superficie del conduttore si trova allo stesso potenziale

✓il potenziale all’interno del conduttore è costante (schermi elettrostatici e gabbia di Faraday)✓l’intensità di E è grande nei punti che hanno un

raggio di curvatura piccolo e convesso (potere delle punte)

0=−=− B

A

AB sdEVV

Filo conduttore

Essendo un unico conduttore il potenziale è costante:

( )

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

01

1

0 4

1

4

1

r

r

r

r

r

r

r

r

q

q

S

q

S

q

r

r

q

q

r

q

r

qrV

====

=

==

Da cui:Se r1>r21<2

( )

( )2

2

0

2

1

1

0

1

4

1

4

1

r

qrV

r

qrV

=

=

Due cariche puntiformi di grandezze 4×10-8 C e 9×10-8 C si trovano nel vuoto a 50 cm di distanza. In quali punti si annullano l’intensità del campo elettrico e il potenziale ?

q1 q250 cm

2

1

0

14

1

r

qE

=

21 EE =

2

2

0

2)50(4

1

r

qE

−=

2

2

2

1

)50( r

q

r

q

−=

Il potenziale non può essere mai nullo in questo caso (somma fra termini positivi)

La differenza di potenziale che dà origine ad un fulmine può raggiungere 109 V e la carica coinvolta può arrivare fino a 40 C. Quanta energia è liberata nella scarica?

0q

UV =

JxqVUEn

91040===

un’area pari al Portogallo

Sardegna