1

Teoremi

http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/mfo1_16.htm

Teorema di Tellegen

Dato un insieme di tensioni e di correnti che soddisfano rispettivamente le

LKT e le LKC per una data rete (Vj, Ij) e per un’altra rete (Vj’, Ij’) che ha in

comune con la precedente solo la topologia, si definisce potenza virtuale

1

2 3

4 0

0

0

324

21

531

III

II

III

3 nodo

- 2 nodo

1 nodoLKT

0

0

354

321

VVV

VVV

LKC2

5

341

'

jjv IVP ovvero .'

jjv IVP

01

'

1

'

l

jjj

l

jjjv IVIVP

La sommatoria delle potenze virtuali è nulla.

Esempio

3

Nel caso particolare in cui V e I siano proprio le tensioni e le correnti di un

circuito, il terema di Tellegen si riduce al principio di conservazione delle

potenze.

2'2'3'1'1'

3'4'1'1'2'

54321

54321

IIIII

VVVVV

V e I scelte arbitrariamente con la stessa convenzione, purché soddisfino

le LK

;0''';0''';0'''';0''5:15:15:15:1

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii IVIVIVIV

1''1''3''2''2''

2''1''3''1''2''

54321

54321

IIIII

VVVVV

4

Sovrapposizione degli effetti

Per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed

effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto

complessivo dovuto a più cause è uguale alla somma degli

effetti che ciascuna causa determina singolarmente.

La corrente in un lato della rete dovuta all’azione di n

elementi attivi è la somma algebrica delle correnti circolanti

nello stesso lato dovute agli elementi attivi agenti

separatamente.

La differenza di potenziale tra due punti delle rete è la

somma algebrica delle differenza di potenziale tra gli stessi

punti dovute agli elementi attivi agenti separatamente.

5

N.B.Quando si considera agente nella rete un solo generatore,

i generatori di tensione devono essere in cortocircuito (E=0)

i generatori di corrente devono essere aperti (I=0)

8 W6V 3A

8 W3A

8 W6V

V

V1V2

4 W

4 W4 W

VV 884

8431

VV 2

84

462

VVVV 1021

NON VALE PER LE POTENZE

6

Principio di sostituzione

I

VA BInteressa studiare solo la parte A

Sostituendo B con un

generatore di tensione V

tutte le tensioni e le

correnti in A (compresa I)

rimangono costanti

I

VA V

Sostituendo B con un

generatore di corrente I tutte

le correnti e le tensioni in A

(compresa V) rimangono

costanti

VA I

7

I

0A

Esempio

I

0A B

0

VA

0

VA B

8

Teorema di Thevenin

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e

resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo

tronco e della tensione ai suoi capi, è sempre possibile

schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di

tensione VTh con in serie una resistenza RTh

tronco

tronco

VTh

RTh

Rete attiva

lineare

RTh Resistenza relativa alla

stessa rete disattivata

Vth tensione a vuoto ai

morsetti A e B

+ A

- B

A

B

I

V

9

IRete attiva

lineare

A

B

Per il principio di sostituzione

sostituisco la rete B con un gen. di

corrente di valore pari alla corrente

effettiva,

Per il principio di sovrapp. degli effetti

VAB= V’AB+ V’’AB

V’AB tensione misurata quando A=0

V’’AB tensione misurata quando i

generatori interni sono disattivati

V’’AB =RABI

Rete attiva

A

B

IRete

Disattivata

Req= RAB

A

B

V’AB= VAB(0)

Tensione a vuoto

V’’AB

Dimostrazione

I

A

B

RAB

+

-

10

VTh=VAB(0)

RTh= RAB

VAB= VTh +RThI

VTh

RTh

A

B

I

VAB= V’AB+ V’’AB= VAB(0)+RABI

1111

Trasformazione di generatori indipendenti

I

VVg

R

VIg

I

Un generatore di tensione con un resistore in serie è

equivalente ad un generatore di corrente con una resistenza in

parallelo.

LKT Vg+RI –V = 0

V = Vg +RI

LKC Ig –V/R + I = 0

V = RIg + RI

R

Le relazioni coincidono se Vg =RIg

In tal caso i 2 bipoli sono equivalenti dal punto di vista esterno

12

Teorema di Norton

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e

resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo

tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile

schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di

corrente IN con in parallelo una conduttanza GN

tronco

troncoIN

GN

Rete attiva

lineare

GN Conduttanza relativa

alla stessa rete disattivata

IN corrente di cortocircuito

tra i morsetti A e B

A

B

A

B

13

ERete attiva

lineare

A

B

Per il principio di sovrapp. degli

effetti

I= I’+ I’’

I’ corrente misurata quando E=0

I’’corrente misurata quando i

generatori interni sono disattivati

I’’=-GABE

Rete attiva

A

B

ERete

Disattivata

GAB

A

B

I’= ICC

Corrente di cortocircuito

I’’

Dimostrazione (non in programma)

E

AI’’

B

GAB

I

I’

14

INGN

I = ICC – GAB Etronco

IN

GN

I

I = IN – GN VAB

A

B

I= I’+ I’’=ICC - GABE

15

Osservazioni

Un generatore reale di energia può essere

schematizzato indifferentemente come generatore di

tensione (Thevenin) o di corrente (Norton).

VTh

RTh

INGN R

R

I

V

I

VIN =VTh/ RTh

GN=1/ RTh

Equivalente di Norton

A

A

B

B

16

Teorema di Millmann

E1E2 E3 Ei En

R1 R2 R3Ri Rn

A

B

i

i

i

ii

ABG

EG

V

Caso limite di rete con due soli nodi

Il valore della d.d.p esistente tra i 2 nodi di una rete binodale è

quello espresso dal baricentro delle conduttanze

caratterizzanti ciascun lato esistente tra i 2 nodi, considerando

le conduttanze in posizione diversa per effetto delle tensioni

dei generatori ideali in serie alle conduttanze stesse.

17

E1 E2 E3 Ei En

R1 R2 R3Ri Rn

A

B

i

i

i

ii

ABG

EG

V

G1E1G1 Gn

EnGn i

iG i

iiGE

A

B

A

B

Equivalente di Norton

per ciascun ramo

Dimostrazione

18

TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA

R

a

b

THEVENIN a

b

RTh RVTh

I

2

2

RR

VRRIP

TH

TH

ppmax

RTh R

Si ha la massima potenza trasferita al carico quando la resistenza del

carico è uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico: R = Rth

Dimostrazione:

THTh

Th

ThThTh RRRRR

RR

RRRRRV

dR

dp

020

24

2

2

Th

Th

R

Vp

4

2

max

19

maxp

p

1

ThRR

1

Rendimento in potenza:

generatore

carico

p

p

Se R = RTh allora:

2

1

2

4

2

2

max

Th

Th

Th

ThThThgeneratore

Th

Thcarico

R

V

RR

VVIVp

R

Vpp

IN CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA SI HA

UN RENDIMENTO PARI AL 50%