Presentazione di Bruno Jannamorelli

Konigsberg …

Il problema dei 7 ponti di Konigsberg

Partendo da una delle quattro zone della città, esiste un percorso che permetta di ritornarvi attraversando i sette ponti una e una sola volta?

Soluzione di EULERO:

Per ogni arco che arriva su un vertice, deve esserci un altro arco che permette di uscire da quel vertice.

Non esiste un percorso euleriano!

Konigsberg diventa Kaliningrad … i ponti diventano nove!

Esiste un percorso euleriano?

Ecco un grafo che risolve il problema:

Non esiste un percorso euleriano, ma si può partire da C e fermarsi in D (o viceversa) attraversando una e una sola volta i 9 ponti.

Conclusione:

• Se un grafo connesso non ha vertici dispari, allora può essere attraversato da un percorso ciclico (euleriano), partendo da un vertice qualunque e ritornando nello stesso vertice.• Se un grafo connesso ha solo due vertici dispari A e B, esiste un percorso che lo attraversa partendo da A e fermandosi in B, o viceversa.• Se un grafo connesso ha più di due vertici dispari, non può essere attraversato da un solo percorso.

È possibile entrare in questa casa attraversando le porte una e una sola volta?

Ecco un grafo che risolve il problema:

Ci sono quattro vertici di ordine dispari …

Il percorso non esiste!

Avvio alla geometria premetrica

• attività topologiche

• attività che non richiedono l’uso di vere e proprie metriche

Obiettivi:

• capacità di situare se stessi, gli altri e gli oggetti in determinati spazi.• capacità di effettuare percorsi• capacità di leggere/produrre disegni schematici per rappresentare situazioni topologiche• passaggio dalla tridimensionalità alla bidimensionalità e viceversa.

“La topologia è la geometria … del foglio di gomma”

.A .A’

X X’CB C’

B’

Proprietà topologiche:

Sono quelle proprietà che restano invariate rispetto alle trasformazioni bicontinue e biunivoche (omeomorfismi).

Omeomorfismo:

Corrispondenza tra i punti di una figura F e i punti di una figura F’ tale che:

• La corrispondenza sia biunivoca: ad ogni punto di F corrisponde uno e un sol punto di F’, e viceversa.

• La corrispondenza sia continua nei due versi: a punti “vicini” di F corrispondono punti “vicini” di F’, e viceversa.

Esempi di omeomorfismi:

• deformazioni del foglio di gomma senza sovrapposizioni o lacerazioni (con le sovrapposizioni viene a mancare la biunivocità, con le lacerazioni salta la continuità)• Tagli-deformazioni-saldature.