Preparazione alla parte di logica dei test d’ingresso all ...

CorsodilogicaPreparazioneallapartedilogicadeitest

d’ingressoall’università

14/01/'16-AS2015/'16 prof.D.BeneE

Presentazionedelcorso�  LezioneI:cennisulragionamentoformale.

�  LezioneIII:ladeduzionelogica.IquanKficatori.

�  LezioneV:ilragionamentoipoteKco-deduEvo.

�  LezioneVII:isillogismi.

�  LezioneIX:analisidelleKpologiediquiz(Iparte).

�  LezioneXI:analisidelleKpologiediquiz(IIparte).

LelezioniconordinaliparisonorelaKvealleesercitazioni.

Presentazionedelcorso�  Lalogicaeunabrancadellafilosofiachestudiailragionamentoel’argomentazione,inparKcolareiprocedimenKinferenziali.

�  ConprocedimentoinferenzialesiintendeilprocessochepermeTe,daunaproposizioneassuntapervera,didedurreilvalorediveritàdiunasecondaproposizione.

�  ApprenderemoalcuniargomenKdibaserelaKviallalogicacherisulterannomoltouKliperaffrontareitestuniversitari.

�  Taleapprendimentoavverrà,tramiteesempi,introducendoglielemenKessenzialidellalogica.

ElemenKdilogicaproposizionale�  Undiscorso,perquantosempliceocomplessopossaessere,sicomponediuninsiemeelementaridiparKdeTeproposizioni.

�  Unaproposizionematema2caèunasequenzadisimboliilcuisignificatopuòassumereduevalori:unodiverità(V)el’altrodifalsità(F).

ElemenKdilogicaproposizionaleEsempio:

�  “Il25dicembreèNatale”.ÈunaproposizionematemaKcaconvaloreV.

�  “Ilnumero7èdivisibileper2”.ÈunaproposizionematemaKcaconvaloreF.

�  “DomenicavinceròalSuperenaloTo”.NonèunaproposizionematemaKca.

�  “Oggipiove”.ÈunaproposizionematemaKcamaqualèilsuovalore?

ElemenKdilogicaproposizionale�  L’ulKmaproposizione,“Oggipiove”,èsicuramenteunaproposizionematemaKca,perchépuòassumeresoloduevalori:Sepioveallorasaràvera,altrimenKrisulteràfalsa.

�  ProposizionidiquestoKpodipendonoquindidalcontesto,ovverodobbiamoimmaginareunasituazione,unmomento,unmodellocheperesseabbiasenso.

�  Perlaproposizione“Oggipiove”abbiamobisognodiunmodellotemporale,perchéinunagiornatapossonoessercimomenKdipioggia(equindilaproposizionerisulterebbevera)emomenKnondipioggia(periqualilaproposizioneèfalsa).

ElemenKdilogicaproposizionale�  Ilproblemadelcalcolodelleproposizionièdeterminareilvalorediveritàdicomposizionidipiùproposizioni.

�  Primadiaffrontareilproblemadobbiamocapirecomesicombinanoleproposizioni,ovveroqualisonoleoperazionichesipossonofaretraleproposizioni.

�  Essesicompongonograzieaicosìde.conne3vilogici.IconneEvilogicifondamentalisonocinque.

denominazione(LT) denominazione(IT) denominazione(EN) SIMBOLO non non not et e and vel o or

abbreviazione denominazione(IT) denominazione(EN) SIMBOLO - se…allora… if…then…

sseoiff …seesolose… …ifandonlyif…

¬∧∧

→↔

ElemenKdilogicaproposizionale

IlconneEvonon.Lanegazione

TaleconneEvoinverteilvalorediveritàdiunaproposizione.

Esempio:Consideriamolaproposizionepcosìdefinita

p:Saramangiaunamela.

Allorasarà:

¬p:Saranonmangiaunamela.

Osservazioneimportante:Ilvalorediveritàcheassumeunaproposizionesipuòvalutareancheconlatavoladiverità.InunatavoladiveritàèpossibiledisKngueretuEicasipossibilideivaloridiveritàassunKdalleproposizioni.


VediamolatavoladiveritàdelconneEvonegazione:

Osservazione:SeapplichiamoadunastessaproposizionepduevolteilconneEvonegazioneoTeniamonuovamentep,infaEavremolaseguentetavoladiverità:

p ¬pV F F V

p ¬p ¬¬pV F V F V F


Confrontandolaprimacolonnaconl’ulKmasivedechep=¬¬p,perchéassumonosemprelostessovalorediverità.

Esempio:“nonèverochenonc’èilsole”equivaleadire“c’èilsole”.

Ingenerale,dueproposizionehannolostessovalorediveritàquando,inognicaso,hannolamedesimatavoladiverità.

Ilconne.vo¬operasuunaproposizionep,producendounaproposizioneaventevaloridiveritàoppos>aquellidip.

SS


ÈpossibilelegareiconneEagliinsiemi.

DeToUl’insiemeuniverso,associounaproposizionepauninsiemeS.Quindi¬psaràl’insiemecomplementarediS.

UKlizzandoidiagrammidiEulero-Venn:

p

U

¬p

S

IlconneEvoet.Lacongiunzione

SpieghiamolafunzionalitàditaleconneEvoconilseguente

Esempio:Consideriamoleproposizioni

p:Alessandramangiaunamela.

q:Alessandrastudia.

Laproposizionecompostadapeqtramitelacongiunzioneè

p∧q:Alessandramangiaunamelaestudia.


Seinundatomomento(chechiamiamomodello)Alessandramangiaunamelamanonstudia,abbiamochephavalorediveritàVinveceqvaleF.Allorailvalorediveritàdip∧qsaràF,vistochelarispostaalladomanda“ÈverocheAlessandramangiaunamelaestudia?”ènegaKva.


Analizzandoglialtricasisicostruiscelaseguentetavoladiverità:

Ilconne.vo∧operasudueproposizionipeq,producendounaproposizionecheèverasoloquandopeqsono

entrambevereefalsaintu.glialtricasi.

p q p∧qF F FF V FV F FV V V


DeToUl’insiemeuniverso,associoallaproposizionepauninsiemeSeallaproposizioneql’insiemeR.Quindip∧qsaràl’insiemeintersezioneS∩R.


SS p qp∧q

IlconneEvovel.Ladisgiunzione

Esempio:Consideriamoleproposizioni

p:Oggipiove.

q:Francodorme.

Laproposizionecompostadapeqtramiteladisgiunzioneè

p∨q:OggipioveoFrancodorme.

ÈchiarochebastasiaveraunasoladelledueproposizioniperfarsìchelaproposizionecompostarisulKvera.


Vediamolatavoladiveritàperladisgiunzione:

Ilconne.vo∨operasudueproposizionipeq,producendounaproposizionecheèveraseèveraalmenounadelleproposizionipeqedèfalsasolosepeqsono

entrambefalse.

p q p∨qF F FF V VV F VV V V


DeToUl’insiemeuniverso,associoallaproposizionepauninsiemeSeallaproposizioneql’insiemeR.Quindip∨qsaràl’insiemeintersezioneS∪R.


SS p qp∨q

IlconneEvose…allora....L’implicazionelogica

Adesempio,laproposizione“Seiltempoèbelloallorafacciounapasseggiata”,compostadalledueproposizionielementari

p:Iltempoèbello.

q:Facciounapasseggiata.

puòesserescriTacome

sepalloraq.(insimboli,p→q)

Inquestocasolaproposizionepprendeilnomediantecedenteeqèchiamataconseguente.


TrapeqnonèdeTochecisiasempreunnessologico,possoscegliere,cosìcomeperglialtriconneEvi,dueproposizioniqualsiasi;adesempio

p:2èunnumeropari.

q:Romaèlacapitaled’Italia.

Dunquel’implicazionelogicanonsignificanecessariamentechepèlacausadiqocheqèlaconseguenzalogicadip,comeaprimavistapotrebbesembrareseciaffidassimoalsignificatochenellinguaggiocomunediamoallafrase“sepalloraq”.


Allora,perchérisulKchiaroilsignificatodelconneEvo,convieneaffidarciesclusivamenteallatavoladiveritàchelodefinisce:

Ilconne.vooperasudueproposizionipeq,producendounaproposizionecheèfalsasoloquandopèveraeqèfalsa;

intu.glialtricasièvera.

p q p→qF F VF V VV F FV V V


Esaminiamolatavolarigaperriga.

1°riga:Sepeqsonoentrambefalse,allorap→qèvera.Posto:

p:2èunnumerodispari.

q:VicenzaèunaciTàdell’EmiliaRomagna.

laproposizione

p→q:Se2èunnumerodisparialloraVicenzaèunaciTàdell’EmiliaRomagna

èvera,ancheseèbenevidentechepnonèlacausadiq.


2°riga:Sepèfalsaeqèvera,allorap→qèvera.Posto:

p:2èunnumerodispari.

q:VicenzaèunaciTàdelVeneto.

laproposizione

p→q:Se2èunnumerodisparialloraVicenzaèunaciTàdelVeneto

èvera.Inaltritermini,poichéVicenzasitrovaeffeEvamentenelVeneto,noiriteniamoveral’implicazione,indipendentementedalvalorediveritàdip.


3°riga:Sepèveraeqèfalsa,allorap→qèfalsa.Posto:

p:2èunnumeropari.

q:VicenzaèunaciTàdell’EmiliaRomagna.

laproposizione

p→q:Se2èunnumeroparialloraVicenzaèunaciTàdell’EmiliaRomagna

èfalsa.


4°riga:Sepeqsonoentrambevere,allorap→qècertamentevera.Posto,adesempio:

p:2èunnumeropari.

q:VicenzaèunaciTàdelVeneto.

laproposizione

p→q:Se2èunnumeroparialloraVicenzaèunaciTàdelVeneto

èvera.


Ilvalorediveritàdip→qlopossiamointuiredallaseguenteanalogia.

DeToUl’insiemeuniverso,associoallaproposizionepauninsiemeSeallaproposizioneql’insiemeRcheconKeneS.

SS p q

IlconneEvo…seesolose....Ladoppiaimplicazionelogica

Laproposizionep↔qsileggepseesoloseq.

Facendoun’analisicomequellaperilconneEvoprecedente,sioEenelatavoladiveritàperlaproposizionep↔q:

p q p↔qF F VF V FV F FV V V


Esempio:

p:PerTvaleilTeoremadiPitagora.

q:TèuntriangoloreTangolo.


IlconneEvoèchiamatodoppiaimplicazionelogicaperchésussistelaseguenterelazione:

p↔q=(p→q)∧(q→p).

Verifichiamol’uguaglianzaconfrontandoleduetavolediverità:

p q p→q q→p (p→q)∧(q→p)F F V V VF V V F FV F F V FV V V V V

p↔qVFFV

Tautologie

Letautologiesonoproposizionicomposteche,indipendentementedalvalorediveritàdelleproposizionicomponen>,risultanoesseresemprevere.

�  IlPrincipiodelterzoescluso(ter>umnondatur)

Dataunaproposizionepqualsiasi,consideriamolaproposizionecompostap∨¬p

Lasuatavoladiveritàrisultaessere

p ¬p p∨¬pF V VV F V

Tautologie

Sinotachenell’ulKmacolonnadellatavolacomparesemprelaleTeraV:laproposizionep∨¬pèsemprevera.EssaesprimeilPrincipiodelterzoescluso:perogniproposizionep,opèveraopèfalsa.

Tautologie

�  IlPrincipiodinoncontraddizione

Taleprincipioaffermacheunaqualsiasiproposizionepnonpuòesserecontemporaneamenteveraefalsa.Èfalso,cioè,chesianosimultaneamentevereunaproposizionepelasuanegazione¬p.

Insimbolip∧¬prisulteràsemprefalsa,¬(p∧¬p)saràsemprevera.Verifichiamo:

p ¬p p∧¬p ¬(p∧¬p)F V F VV F F V

LeLeggidiDeMorgan

AlcuneparKcolariequivalenzediproposizioni,vistalaloroimportanzaalivelloapplicaKvo,prendononomedileggi.Vediamooradueleggi,vedendoleloroapplicazionipiùavanK.TalileggisonoconosciutecomeleggidiDeMorgan.

LeLeggidiDeMorgan

�  PrimaLeggediDeMorgan:¬(p∧q)=¬p∨¬q

Perverificarel’equivalenza,bastadeterminarelatavoladiveritàdelprimomembro,delsecondoemeTerleaconfronto:

p q p∧q ¬(p∧q)F F F VF V F VV F F VV V V F

p q ¬p ¬q ¬p∨¬qF F V V VF V V F VV F F V VV V F F F

LeLeggidiDeMorgan

�  SecondaLeggediDeMorgan:¬(p∨q)=¬p∧¬q

Perverificarelasecondaleggeilragionamentoèanalogo:

p q p∨q ¬(p∨q)F F F VF V V FV F V FV V V F

p q ¬p ¬q ¬p∧¬qF F V V VF V V F FV F F V FV V F F F

LeLeggidiDeMorgan

Esempio:Laproposizione“nonèverochecorroosonoseduto”èequivalentea:

[A] noncorroperchésonoseduto.

[B] noncorroenonsonoseduto.

[C] corroperchénonsonoseduto.

[D] noncorroononsonoseduto.

[E] nessunadelleprecedenK.

Ulterioriesempi

Esempio:“SeTeresastudiasupereràl’esame”èvera,allorapossoconcluderecheèsenz’altrofalsalaproposizione:

[A]“SeTeresanonstudianonsupereràl’esame”

[B]“Teresanonhasuperatol’esameperchénonhastudiato”

[C]“Teresahasuperatol’esamesenzastudiare”

[D]“SeTeresastudianonsupereràl’esame”

[E]nessunadelleprecedenK

Ulterioriesempi

Esempio:“chidormenonpigliapesci”èequivalenteadireche:

[A]“Chinonpigliapescinondorme”

[B]“Chinonpigliapescidorme”

[C]“Chipigliapescidorme”

[D]“Chipigliapescinondorme”


Ulterioriesempi

Esempio:“Simonecamminaomangiaebeve”èequivalenteadireche:

[A]“Simonemangiaocamminaebeve”

[B]“Simonecamminaebeveoppuremangiaebeve”

[C]“Simonecamminaomangiaecamminaobeve”

[D]“Simonenonmangiaebevecamminando”


Ulterioriesempi

Esempio:Lafrase“Sec’ètrafficononprendol’auto.Hopresol’auto,quindinonc’ètraffico”èunatautologia?

[A]sì

[B]no

[C]dipendedalmodelloscelto

[D]lafraseèambigua,nonèpossibiledeterminarneilvalorediverità


Ulterioriesempi

Esempio:Lanegazionedellafrase“Sel’economiaamericanasiriprende,anchequellaeuropeausciràdaquestastagnazione”è:

[A]“Anchesel’economiaamericanasiriprende,quellaeuropeanonusciràdaquestastagnazione”

[B]“Sel’economiaamericananonsiriprende,quellaeuropeausciràdaquestastagnazione”

[C]“Sel’economiaamericananonsiriprende,anchequellaeuropeanonusciràdaquestastagnazione”

[D]“L’economiaamericanasiriprendeequellaeuropeanonusciràdaquestastagnazione”


L’artedelladeduzione

La deduzione è un processo che da alcune premesse PpermeTe,medianteregoledideduzione,unaconclusioneC.

I teoremicosKtuisconounclassicoesempiodideduzione:siparla di alcune premesse che cosKtuiscono l’ipotesi (dalgreco hypothesis, ovvero supposizione) e, aTraversol’applicazione di determinate regole di deduzione, checosKtuiscono la dimostrazione, si perviene ad unaconclusioneotesi(thesis,ovveroposizione).

premesse P

regoledi deduzione

conclusione C

LaregoladiinferenzadeduEva

Laregoladiinferenzadedu>va(modusponens–leggediassegnazione)affermachedatedueproposizionipeq,seèveral’implicazionep→qedèverap(antecedente),alloraèveraancheq(conseguente).

Esempio:ConsideriamoleseguenKproposizioni:

p:MaTeostudia.

q:MaTeosaràpromosso.



p:MaTeostudia.


Insimbolilaregoladiinferenzaè

p→q:SeMaTeostudiaallorasaràpromosso.

p:MaTeostudia._____________________________________



Lalineaorizzontalevieneusatacomesimbolodellaparola“quindi”,“dacui”,….PercomoditàdiscriTurasosKtuiremolalineaconilsimbolo⇒.Conquestanuovasimbologialaregoladiinferenzasipuòscrivere

[(p→q)∧p]⇒q,

cheleggeremo:

p→qèveraedèverap,quindiqèvera.


FacendoaTenzioneanonconfondersi,laregoladiinferenzapuòancheessereleTa

Sep→qepsonovere,alloraqèvera

doveitermini“se”ed“allora”nonrappresentanoilconneEvoimplicazionelogicamafannopartedellinguaggionaturale,comeleparole“quindi”,“dacui”,etc.

Ilsimbolo⇒lochiameremoimplicazione.


Osservazione:C’èunasostanzialedifferenzatral’implicazionelogicael’inferenza(oimplicazione):nellaprimalaveritàdipnoncomportalaveritàdiq,tant’ècheledueproposizionipossonoanchenonavereunnessologicofraloro.Nell’implicazioneinveceLaveritàdiquellochestaasinistradelsimbolo⇒portaallaveritàdiquellochestaalladestra,cioèdiq.



p:Lucaèmaggiorenne.

q:LucahadiriToalvoto.

Insimbolilaregoladiinferenzaè[(p→q)∧p]⇒q:

p→q:SeLucaèmaggiorenneallorahadiriToalvoto.

p:Lucaèmaggiorenne.___________________________________________

q:LucahadiriToalvoto.


(non)Esempio:ConsideriamoleseguenKproposizioni:

p:Piove.

q:Lestradesonobagnate.

Ilragionamento

p→q:Sepiovealloralestradesonobagnate.

q:Lestradesonobagnate._____________________________________

p:Piove.


VisembraunragionamentocorreTo?Essoportaalloschema[(p→q)∧q]⇒p.

Essononcoincideconlaregolad’inferenza.InfaEilragionamentononèvalido,perchélaconclusionepnonèconseguenzadelleduepremessep→qeq.Virendeteconto,delresto,chelacadutadellapioggianonèunaconseguenzadelfaTochelestradesonobagnate!


(non)Esempio:

Seunnumeroèprimo,alloraessoèdispari.

2èunnumeroprimo.____________________________________

2èunnumerodispari.

Inquestocasoilragionamentoèvalido,infaE,comesipuòverificarefacilmente,laregoladiinferenzaèstatausatacorreTamente.Cosac’èallorachenonva?


Siosservacheunaproposizionedellapremessaèfalsa,infaE“Seunnumeroèprimo,alloraessoèdispari”nonèveraseprendiamocomemodelloilnumero2.

PossiamotrarreunaconclusionemoltosignificaKva:

AncheseilprocessodideduzionelogicaècorreOo,dapremessenonverediscendonoconclusionifalse.


Esempio:

SeTèuntriangoloequilatero,alloraTnonèuntriangoloreTangolo.

IltriangoloTnonèequilatero.________________________________________

IltriangoloTèreTangolo.

Poichélaconclusioneèmanifestamentefalsa(untriangolononequilateropuòesserenonreTangolo,infaEpuòadesempioessereoTusangolo),cerchiamodiricostruireloschemaseguito.


Poniamo

p:Tèuntriangoloequilatero.

q:TnonèuntriangoloreTangolo.

Loschemaseguitodiventa[(p→q)∧¬p]⇒¬q.

Essorispecchiaunragionamentononvalido.


Riassumendo:

�  Laregoladiinferenza,purapplicatacorreTamente,puòportareaconclusionifalseseunadellepremesseèfalsa(sivedal’esempiodeinumeriprimi).

�  Sonodaritenerescheminonvalididiragionamentoleforme[(p→q)∧q]⇒pe[(p→q)∧¬p]⇒¬q.

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