Praticamente FEMAP - Sapienzadma.ing.uniroma1.it/users/labcstrut_c1/LCS_draft.pdf · Universit¶a...

Universita degli studi di Roma ”La Sapienza”Facolta di Ingegneria

Dipartimento di Aersopaziale e Astronautica

Praticamente FEMAP

Dispense per il Corso di Laboratorio di Cacolo Strutture

Prof. Paolo Gasbarri - Ing. Riccardo Monti

Febbraio 2009

Indice

Indice i

Elenco delle Figure iii

Elenco delle Tabelle v

Introduzione 1

1 I fondamenti del FEM 11.1 Il rapporto Uomo vs software . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Finite Element Method - F.E.M. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Il programma FEMAP 62.1 La finestra di dialogo principale . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Comandi di gestione del piano di lavoro . . . . . . . . . . . . 82.3 Il file di InPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Il file di OutPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 FEMAP 1-D: la trave 173.1 Impostazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Il modello “carta e penna” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Digitally FEMAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Creazione del file di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Creazione della geometria del modello . . . . . . . . . 223.3.3 Il materiale usato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.4 Definizione del tipo di elementi . . . . . . . . . . . . . 243.3.5 Creazione della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Creazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Assegnazione delle condizioni di vincolo . . . . . . . . 303.4.2 Imposizione delle condizioni di carico . . . . . . . . . . 31

3.5 Creazione del file di InPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Lettura del file di OutPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Visualizzazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ii

INDICE

4 FEMAP 2-D: la piastra 424.1 Le generalit del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 La soluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 La modellizzazione con il FEMAP . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 La geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.2 Definizione degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.3 Individuazione della mesh e creazione del modello . . 474.3.4 Condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.5 Imposizione del carico uniformemente distribuito . . . 524.3.6 Esportazione del modello e sua analisi . . . . . . . . . 534.3.7 Visualizzazione dei risultati dell’analisi statica . . . . . 54

5 Opzioni di analisi 565.1 L’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Le richieste di default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3 Impostazioni per analisi con massa concentrata o distribuita . 575.4 Impostazioni per analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Visualizzazione delle opzioni di default . . . . . . . . . . . . . 615.6 Imposizione di carichi non convenzionali . . . . . . . . . . . . 63

6 Materiali compositi 646.1 Breve introduzione ai materiali compositi . . . . . . . . . . . 646.2 Progettazione del materiale composito . . . . . . . . . . . . . 666.3 Creazione del materiale composito con FEMAP . . . . . . . . 68

A Elementi finiti 73A.1 Elementi monodimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Elementi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Elementi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.4 Altri tipi di elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B Vincoli strutturali 77B.1 Classiche condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

C Definizione del numero di elementi 81C.1 Metodo di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

D Vettore proiezione 86

E I materiali compositi 89E.1 Inquadramento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89E.2 Caratterizzazione microscopica dei materiali compositi . . . . 90E.3 Percorso metodologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91E.4 Regola delle miscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92E.5 Applicazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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Elenco delle Figure

1.1 Estratto del file di output dal NASTRAN . . . . . . . . . . . 2

2.1 Schermata principale del FEMAP . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Listato del file di InPut al NASTRAN . . . . . . . . . . . . . 92.3 Listato del file di OutPut dal NASTRAN . . . . . . . . . . . 122.4 sezione del file di OutPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Rappresentazione del sistema strutturale . . . . . . . . . . . . 173.2 Rapprsentazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Creazione del file di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Creazione del segmento di estremi A e B . . . . . . . . . . . . 233.5 Inserimento dei dati relativi al materiale . . . . . . . . . . . . 243.6 Impostazione della sezione resistente . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Conferma delle impostazioni relative alla sezione resistente . . 263.8 Costruzione della mesh del modello . . . . . . . . . . . . . . . 283.9 Assegnazione delle proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Cambiamento della visualizzazione della sezione . . . . . . . . 303.11 Imposizione delle condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . 313.12 Applicazione del carico al modello . . . . . . . . . . . . . . . 323.13 Selezione del tipo di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.14 Assegnazione richieste di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.15 Selezione del processore adottato . . . . . . . . . . . . . . . . 363.16 Scelta del tipo di visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 373.17 Scelta del tipo di visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 383.18 Deformate modali della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.19 Terzo deformata modale della trave in esame . . . . . . . . . 41

4.1 Piastra appoggiata su tutti e quattro i lati . . . . . . . . . . . 424.2 Creazione dellla geometria della piastra . . . . . . . . . . . . 464.3 Assegnazione caratteristiche della piastra . . . . . . . . . . . 474.4 Creazione della mesh sulla piastra . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Creazione del modello della piastra . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Finsetra di dialogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Selezione di piu entita geometriche . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv

ELENCO DELLE FIGURE

4.8 Imposizione delle condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . 514.9 Applicazione del carico uniformemente distribuito . . . . . . . 524.10 Deformazione della piastra soggetta al carico . . . . . . . . . 544.11 Deformata modale relativa ad una frequenza propria di vi-

brazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 box di dialogo delle impostazioni di default . . . . . . . . . . 585.2 Assegnazione delle caratteristiche di analisi . . . . . . . . . . 595.3 Selezione dell’intervallo delle frequenze di analisi . . . . . . . 605.4 Rappresentazione degli sfrozi di Von Mises . . . . . . . . . . 62

6.1 Elemento rappresentativo di volume . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Creazione del materiale composito . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Assegnazione delle proprieta del composito . . . . . . . . . . 706.4 Assegnazioni delle caratteristiche del laminato . . . . . . . . . 716.5 righe di programma della PCOMP . . . . . . . . . . . . . . . 72

B.1 Spostementi e rotazioni relativi al sistema di riferimento adot-tato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B.2 Esempio di visualizzazione delle condizioni vincolari . . . . . 79

C.1 Differenze tra le frequenze al variare dei nodi . . . . . . . . . 83C.2 Variazioni percentuali tra le frequenze al variare dei nodi . . . 84C.3 Andamento delle prime quattro frequenze proprie del sistema 85

D.1 Sistsema di riferimento nel piano della sezione . . . . . . . . . 87D.2 Sistema di riferimento della struttura . . . . . . . . . . . . . . 87D.3 Relazione tra i sistemi di riferimento locale e globale . . . . . 88

E.1 Elemento rappresentativo di volume . . . . . . . . . . . . . . 90E.2 Possibile sezione dell’elemento rappresentativo . . . . . . . . . 91E.3 Rappresentazione di una lamina . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

v

Elenco delle Tabelle

3.1 Caratteristiche meccaniche della lega . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Risultati analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Caratteristiche modali della trave . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Deformazione della piastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B.1 Vincoli dei gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78B.2 Condizioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

C.1 Frequenze proprie di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

E.1 Caratteristiche dei materiali costituenti il composito . . . . . 95E.2 Caratteristiche del materiale composito . . . . . . . . . . . . 96

vi

IntroduzioneQuello che mi sto accingendo a redigere altro non vuole essere che un diariodi bordo da consultare qualora ve ne fosse bisogno per ritrovare la retta viain momenti di improvvisa mancanza di orientamento.Il programma che sto per illustrare altro non e che un minuscolo pezzo diun ben piu ampio puzzle che ha nome di Calcolo Strutturale le cui leggi, es-sendo ben codificate, ci aiutano nella soluzione dei problemi che a noi tuttisi presentano una volta addentrati in questo campo.Un punto che intendo sottolineare fin da subito e quello riguardante le com-petenze di colui che e seduto di fronte al calcolatore. Utilizzare questoprogramma sicuramente non rientra nelle esperienze difficili della vita, anzicomprese le poche regole che lo governano non ci vuole uno specialista asvolgere la mera operazione di inserimento dati.La parte delicata del tutto e la valutazione dei risultati che il sistema pro-duce, dare un senso a dei numeri, saperli giustificare, valutare la bonta e lepatologie di un modello sono imprese che invece implicano una preparazioneche nella fattispecie e richiesta ad un ingegnere.Cio significa che la seconda parte, quella di analisi dei risultati, e quello chegli anglosassoni definiscono il “core”, il cuore del problema.Sempre in via del tutto generale intendo puntualizzare che questo non vuoleessere un manuale d’uso ma semplicemente una serie di note applicative permettere ognuno dei lettori nella condizione di muoversi da solo. Verrannoquindi forniti esempi di modellizzazione 1-D e 2-D dato che con elementimonodimensionali e bidimensionali sono descrivibili la maggior parte dellestrutture di nostro interesse come ad esempio una trave, una piastra e un-endo questi due elementi possiamo condurre lo studio di una semi-ala.Qualora si rasentasse la necessita di nozioni teoriche verranno fatti dei breviincisi in cui si cercher di dare esclusivamente le informazioni necessarie allettore.Il programma utilizzato sara il Femap 8.x sinonimo di Finite Element MethodAplication dato il metodo numerico adottato; mentre il codice di calcolo sarail Nastran il cui nome e sinonimo di NASA Structural Analisys essendo statosviluppato negli anni Settanta dallo stesso Ente.Ritengo che siano state date tutte le informazioni necessarie ad inquadrarel’ambito in cui ci muoveremo e giunto il momento di addentrarsi nel vivodella questione.Auguro a tutti buon lavoro!

Capitolo 1

I fondamenti del FEM

sectionI concetti base Prima di avventurarci nel dettaglio nell’utilizzo delprogramma FEMAP e bene fissare dei punti di riferimento tra i quali misembra doveroso individuare il percorso base che si segue nell’utilizzazionedi questi software. Il FEMAP e un preprocessore ed un postprocessorenonche un visualizzatore grafico che deve essere abbinato al vero e pro-prio programma di calcolo rappresentato dal NASTRAN. Dovendo eseguireun’analisi le operazioni che andremo ad eseguire sarebbero le seguenti:

- Creazione del modello strutturale completo per mezzo del preproces-sore FEMAP e relativa creazione di un file di InPut (in particolare sigenera un file con estensione .nas);

- Fase di calcolo in cui il file di InPut e inserito ed elaborato dal NAS-TRAN che a sua volta produce un file di OutPut (con estensione .f06)dove sono contenuti i risultati. Oltre al file di OutPut vengono anchegenerati files di controllo delle operazioni eseguite con estensioni .f04,.op2, .log, .master, .dball etc..;

- Il file di OutPut.f06 viene importato nel postprocessore Femap cheessendo anche visualizzatore grafico provvede a mostrare su monitor irisultati ottenuti dall’analisi.

Di tutto il processo fin qui descritto deve restare ben chiaro che mentrel’inserimento dati nel preprocessore e basata sull’interazione fra uomo emacchina, la fase di calcolo rende l’uomo estraneo all’elaborazione. E quellache si definisce una scatola nera. Ci si affida ai risultati ottenuti in manieraassai critica in quanto nella maggior parte delle occasioni gli errori sonoderivanti dalla cattiva immissione dei dati da parte dell’utente, ma puo ver-ificarsi il caso di un “bug” del software.L’esosita del programma NASTRAN, a livello commerciale, viene a gius-tificarsi nel momento stesso che si deve certificare l’affidabilita del calcoloeffettuato in modo da assicurare all’utente la veridicit del risultato ottenuto.

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1.1. IL RAPPORTO UOMO VS SOFTWARE

1.1 Il rapporto Uomo vs software

Prima di ogni altra informazione in merito all’inserimento dei dati bisognaricordare il rapporto che esiste tra l’utente e il software. L’uomo e dotato diintelligenza mentre il programma e di base un insieme di sequenze 1 - 0 cheesegue meccanicamente le operazioni da noi richieste.Questa apparente divagazione filosofica serve ad introdurre un concetto as-sai importante quello relativo alle unita di misura utilizzate nell’inserimentodei dati e nella quantificazione del calcolo effettuato.Si ricordi che il programma non si intromette nella decisione del sistemametrico adottato, si deve quindi sceglierne uno, comunemente il sistemaMKSA meglio conosciuto come Sistema Internazionale SI, e lo si utilizza finin fondo con coerenza.Ad esempio nel caso in cui un modulo di Young del materiale 1 venga in-trodotto come GPa (E1 = 70GPa) ed il modulo del materiale 2 come Pa(E1 = 210.000.000.000Pa) si crea un mal condizionamento della matrice dirigidezza [K] che porta ad un sicuro errore di calcolo (si ricorda inoltre chela matrice deve essere anche invertita nel calcolo degli spostamenti nodali).Con lo stesso spirito di coerenza si ragiona quando si interpretano i risultati.Se le dimensioni del corpo sono state immesse in metri m allora le defor-mazioni saranno ovviamente riportate in metri.Al fine di determinare la bonta del calcolo eseguito all’interno del file diOUTPUT viene inserito un controllore numerico individuato dalla scritturamostrata in Fig.1.1. Affinche si abbia la tranquillita che il calcolo sia stato

Fig. 1.1: Estratto del file di output dal NASTRAN

effettuato in maniera corretta con matrici ben condizionate il valore di EP-SILON deve essere molto piccolo. Valori accettabili di tale parametro sonoinfatti quelli che risultano essere ε ≤ 10−7.Per valori maggiori di quello indicato e necessario rimettere in discussionele scelte fatte per la costruzione del modello.Ecco quindi come il discorso accennato nell’introduzione riguardante il fattodi sapere leggere i risultati e saperli criticare a ragion veduta prende corpoqualificando, di necessita, l’utente seduto dietro il monitor.

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1.2. FINITE ELEMENT METHOD - F.E.M.

1.2 Finite Element Method - F.E.M.

Nel momento stesso che si effettuano delle operazioni seppur automatizzategrazie all’utilizzo di un calcolatore, oggi ne esistono di potentissimi, bisognaavere il percorso logico e teorico da seguire ben chiaro in testa.Possedere questo schema consente all’operatore di avere un controllore sulsistema in piu, quindi offre la possibilita di comprendere almeno concettual-mente il funzionamento di quella “black box” su cui non si puo intervenire,ma di cui almeno concettualmente si puo seguire il percorso operativo.A tale proposito riporto qui di seguito la consecuzione cronologica delleoperazioni da svolgere per applicare il metodo FEM anche se queste sono“nascoste” da schermate video e automatizzate dalla pressione di mille edun pulsante.Riportiamo quindi le singole operazioni secondo la loro progressione tempo-rale indicando se esse sono seguite dall’utente o dal calcolatore:

- Discretizzazione della struttura in base alle sue caratteristiche geomet-riche (operazione che deve effettuare l’uomo per realizzare un buonmodello);

- Identificazione del comportamento dei singoli elementi in relazione aduna data teoria classica. Ad esempio si individuano gli elementi trave,piastra o guscio per poi trattarli di conseguenza (operazione dell’uomo,da cio dipende la bonta dell’analista);

- Discretizzazione del comportamento dell’elemento rappresentando levariabili cinematiche attraverso un numero discreto di parametri definitisolo ed unicamente ai nodi della struttura detti “spostamenti nodali”.Si ottiene quindi

{S(x, y, z)} = [N(x, y, z)] · {∆} (1.1)

dove la matrice [N(x, y, z)] e data dall’espressione 1

[N(x, y, z)] = [Φ(x, y, z)] [ΦNi(x, y, z)]−1 (1.2)

dove [Φ(x, y, z)] sono funzioni continue e [ΦNi(x, y, z)]−1 sono funzionicontinue calcolate in ogni nodo dell’elemento, con sente di esprimere inogni punto lo spostamento all’interno dell’elemento in funzione deglispostamenti nodali. Viene percio definita come matrice di interpo-lazione degli spostamenti nodali (operazione del calcolatore);

1Si ricorda all’attento lettore che questa matrice deve godere delle proprieta di Com-pletezza e Compatibilita. Nel caso in cui entrambi questi due requisiti fossero presenti sidirebbe che la matrice e quindi l’elemento da essa descritto sarebbero Conformi.

3


- Espressione delle deformazioni in termini di spostamenti nodali

{ε} = [B(x, y, z)] · {∆} (1.3)

(operazione eseguita dal calcolatore);

- Espressione, attraverso i legami costitutivi del materiale, degli sforziin funzione delle deformazioni

{σ} = [C] · {ε} = [C] · [B(x, y, z)] · {∆} (1.4)

(operazione eseguita dal calcolatore);

- Espressione delle forze elastiche in termini di spostamenti nodali at-traverso il principio dei lavori virtuali

δL =∫

V{δε}T · {σ}dV (1.5)

che puo essere espresso come

δL = {δ∆}T[∫

V[B]T · [C] · [B]dV

]{δ∆} = {δ∆}T [K] {δ∆} (1.6)

ma sapendo cheδL = {δ∆}T {R} (1.7)

si ottiene quindi che{δ∆}T [K] = {R} (1.8)

conosciuta come Legge di Hooke (operazione eseguita dal calcolatore);

- Concentrazione delle forze distribuite ai dell’elemento in questione (op-erazione eseguita dal calcolatore);

- Scrittura delle equazioni di equilibrio per l’elemento (operazione ese-guita dal calcolatore);

- Arrivati a questo punto si hanno tutte le informazioni per risolverei sistemi di equazioni e trovare le incognite richieste dal problema inesame.

- Utilizzo dei risultati di calcolo al fine progettuale (solo e soltantol’uomo ne e incaricato).

Affinche il metodo FEM sia applicabile vi bisogno della rispondenza adalcune ipotesi, di seguito riportate, da parte della matrice [N(x, y, z)] :

- Ipotesi di completezza: si dice che [N(x, y, z)] e completa quando siposso descrivere tutti gli stati di deformazione dell’elemento compresiquelli di deformazione nulla e costante;

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- Ipotesi di compatibilita: si afferma che [N(x, y, z)] e compatibile quandoha continuita di classe C0 nel caso di problemi di elasticit e di classeC1 nel caso di problemi di tipo flessionale. Serve a descrivere i requisitidi impenetrabilita e di non lacerazione degli elementi;

- Ipotesi di convergenza: se l’elemento presenta i requisiti di completezzae compatibilita allora esso verra detto Conforme e convergera allasoluzione “vera” in modo monotono e velocemente. Nel caso in cuinon rispondesse ad entrambi i requisiti allora convergera in manierapiu lenta e non monotona, ad esempio oscillando attorno alla soluzione“vera”. Esistono dei casi che pur essendo l’elemento non conformeconverge rapidamente alla soluzione, per cui si utilizzano anche questotipo di elementi.

E ora importante riuscire ad applicare queste informazioni e produrre deirisultati in modo tale da iniziare a comprenderne le regole, farle proprieottimizzando man mano i risultati in modo da ottenerne sempre di piuprecisi.

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Capitolo 2

Il programma FEMAP

2.1 La finestra di dialogo principale

Introduciamo il preprocessore FEMAP dai rudimenti in modo che vi sia con-fidenza con lo strumento e ci si possa dedicare unicamente all’apprendimentoe all’utilizzo dello stesso relativamente agli scopi del corso.Nella seguente Fig. 2.1 si ha la schermata iniziale del FEMAP con i relativicomandi distribuiti perimetralmente rispetto al piano virtuale di lavoro.

Fig. 2.1: Schermata principale del FEMAP

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2.1. LA FINESTRA DI DIALOGO PRINCIPALE

Grazie alla notazione numerica andiamo ad identificare i vari componentidello schermo:

1. Barra di stato: consente la gestione dei file e racchiude all’interno deimen a tendina tutti i comandi del programma;

2. Prima barra principale dei comandi : in questa barra sono racchiusi,sotto forma di pulsanti, i comandi di gestione della visualizzazione delmodello e la gestione delle opzioni generali;

3. Seconda barra principale dei comandi : in questa barra vi sono inserititutti i comandi necessari per la gestione del modello sia in fase dipre-processing che di post-processing ;

4. Barra dei comandi : ultima delle barre comando che permettono l’intera-zione dell’utente con il software. In essa si possono leggere i listatidei comandi eseguiti e dei messaggi provenienti dal programma unita-mente ai messaggi di attenzione ed errore;

5. Sistema di riferimento: in questa parte dello schermo viene visual-izzato il si sistema di riferimento e la sua orientazione nello spazio3-D in cui e rappresentato il modello. Il programma fornisce di de-fault un sistema di riferimento cartesiano, ma e possibile scegliereun piu opportuno sistema sferico o cilindrico qualora il problema inesame lo richiedesse. Tale scelta e lasciata alla sensibilita di analisi eall’esperienza dell’analista;

6. Origine: questo punto ha coordinate e rappresenta l’origine dell’ipoteticosistema di riferimento che descrive la spazio utile alla rappresentazionedel modello. In realta il sistema di riferimento di cui al punto 5.Dovrebbe trovarsi in questo punto del piano ma per problemi di sovrap-posizione grafica, e quindi poca chiarezza, e stato posizionato in unluogo di minore intralcio visivo;

7. Righello: il righello si adatta alle dimensioni del modello creato dandola misura del massimo ingombro. Solitamente si preferisce rimuoveretale opzione per conquistare una migliore visuale;

8. Piano di lavoro: rappresenta il vero spazio 3-D in cui si sceglie dirappresentare il modello. Attraverso i comandi di visualizzazione sipuo visualizzare in 2-D o in 3-D a seconda delle esigenze.

N.B. I comandi sottoforma di pulsanti che si trovano nella barra contrad-distinta dal numero 3. Altro non sono che parte dei comandi che si trovanoall’interno della barra di comando primaria contrassegnata con il numero 1.

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2.2. COMANDI DI GESTIONE DEL PIANO DI LAVORO

2.2 Comandi di gestione del piano di lavoro

Í Rimozione del righello:

1. Sulla 1°barra dei comandi principali cliccare su View e se-lezionare Options;

2. Selezionare l’opzione Tools and View Style presente nel boxCategory;

3. Selezionare Workplane and Rulers all’interno del box Op-tions;

4. Deselezionare la casella Draw Entity e cliccare poi su Apply;5. Scegliere Ok per confermare le impostazioni date e per uscire dal

box di dialogo;E E possibile snellire la procedura esposta premendo il tasto F6 e

arrivare direttamente al punto 2.

Í Variazione della visuale:

1. Sulla 1°barra dei comandi principali cliccare su View e se-lezionare Rotate;

2. Nel sottomenu scegliere Model;3. A questo punto scegliere il tipo di visuale che si intende adottare

cliccando su i pulsanti XY, YZ, ecc..;4. Scegliere Ok per confermare le impostazioni date e per uscire dal

box di dialogo:E E possibile snellire la procedura esposta premendo il tasto F8 e

arrivare direttamente al punto 2.

Í Variazione della visuale:Per migliorare le caratteristiche di visualizzazione durante la fase di la-voro sul modello e utile inserire il comando di rendering dell’immaginein modo tale da poter posizionare l’oggetto in qualsiasi orientazionedell’immagine senza dover eseguire nessun comando. Per fare cio siesegue tale procedura:

1. Sulla 1°barra dei comandi principali cliccare su View e se-lezionare Select;

2. Nel box Model Style selezionare o verificare che sia presentel’opzione rendering;

3. Scegliere Ok per confermare le impostazioni date e per uscire dalbox di dialogo;

E E possibile snellire la procedura esposta premendo il tasto F5 earrivare direttamente al punto 2.

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2.3. IL FILE DI INPUT

2.3 Il file di InPut

Una volta creato il modello in tutte le sue parti e deciso quale sara il tipo dianalisi da condurre avremo bisogno di creare il file di InPut contraddistintodalle possibili estensioni .nas, .dat, .bdf che verra fornito al NASTRAN pereseguire la fase di calcolo.E quindi importantissimo gestire tale file perche all’interno di esso vi e ripor-tato tutto quello che e il modello in tutte le sue caratteristiche strutturali,di materiali etc...Per meglio comprendere cio di cui stiamo parlando andiamo a introdurre untipico esempio di file .nas relativo ad un problema di una trave incastrataad una estremita sottoposta ad un carico concentrato trasversale applicatoall’estremo libero, il cui listato viene riportato in Fig. 2.2.

Fig. 2.2: Listato del file di InPut al NASTRAN

• Executive Control Deck

A. In questo campo viene indicata il tipo di soluzione prescelta. Ad

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2.3. IL FILE DI INPUT

esempio SOL 101 (si trova anche sotto la forma di SESTATICpermette di richiedere un’analisi di tipo statico in campo elasticolineare;

B. Indica il tempo massimo concesso dall’operatore per effettuare lafase di calcolo da parte del NASTRAN espresso in minuti;

• Case Control Deck

C. In questa sezione vengono riportate le richieste che l’operatore faal codice di calcolo. Ad esempio con DISPLACEMENT = ALLsi vuole indicare la richiesta di calcolo di tutti gli spostamentiregistrati in corrispondenza di ogni nodo strutturale;

• Bulk Data Deck

D. Campo riservato alla descrizione del carico applicato, viene adessere presente ogni qual volta si stia trattando un problema dirisposta 1;

E. Spazio riservato all’inserimento delle caratteristiche vincolari dellastruttura, vedere App. C.

F. Questa sezione viene dedicata alle proprieta degli elementi uti-lizzati per descrivere la struttura. In esso compaiono tutte leinformazioni relative al materiale, alle dimensioni della sezionetrasversale e le caratteristiche d’inerzia con i tre momenti I11,I22, I12;

G. Avendo precedentemente definito le proprieta degli elementi edella sezione resistente si deve definire anche il tipo di materiale.Quest’operazione trova spazio in questa parte del file .nas. Inessa compaiono il modulo di Young, il coefficiente di Poisson ela densita a cui si aggiunge quando necessario il coefficiente didilatazione termica;

H. Troviamo qui elencati i punti che compongono la nostra strut-tura identificati dalle sei coordinate, tre relative agli spostamenti(u, v, w) e tre relative alle rotazioni relative ai tre assi cartesiani(φ, θ, ψ);

I. In conclusione troviamo l’elenco degli elementi in cui compaionole caratteristiche legate ad ogni singolo elemento che quindi vedeespressa sotto forma di numero ogni elemento ad una proprietadefinita nell’ambito del punto F.

1Si ricorda al lettore che esistono due fondamentali tipi di problema, quello di autoval-ori, che prende in considerazione caratteristiche intrinseche del sistema come ad esempioun’analisi modale; e problemi di risposta che valutano la risposta della struttura in parti-colari condizioni di carico.

10

2.4. IL FILE DI OUTPUT

2.4 Il file di OutPut

Se si e deciso di dare un significato ad ogni sezione del file di InPut mi sembracome minimo doveroso dare spazio anche a quello che e lo scopo di tutto ilnostro interessamento al mondo del calcolo strutturale con programmi comeNASTRAN e FEMAP.Andiamo quindi ad interessarci al mondo di quello che e il contenitore ditutte le informazioni relative ai risultati ottenuti e da noi richiesti nel CaseControl Deck. A tale proposito in Fig. 2.3 e stato riportato il listato del filedi OutPut .f06.Come nel caso del file di InPut abbiamo una struttura ben precisa che e

quella che ci interessa conoscere per poter ricercare, terminata l’analisi, irisultati vero scopo del nostro lavoro.Il primo elemento che ci interessa del file .f06 e il vettore colonna della massache si vede essere un vettore a tre componenti

{W} =

Wx

Wy

WZ

e fornisce la massa della struttura secondo il metodo (massa consistente,massa concentrata, etc) 2 che si e scelto ed impostato quando si e definitoil file di InPut. Accanto alle informazioni inerziali viene posta la posizionedel baricentro che e presentato come matrice (3x3) nelle tre direzioni dellospazio contate a partire dall’origine del sistema di riferimento, vedere §2.1,

2Massa consistente: tale metodo fornisce la stima della massa in modo analitico de-finendo la matrice di massa come

[M ] =y

V

ΦT · ρ · ΦdV (2.1)

Questa definizione porta in campo modale ad una sovrastima delle frequenze e cio e dovutoal metodo di discretizzazione adottato. Un esempio di cio potrebbe essere quello espressoda

[M ] =ρAl

420

156 22l 54 13l22l 4l2 13l −3l2

54 13l 156 −22l13l −3l2 −22l 4l2

(2.2)

Massa concentrata: si presenta come un metodo assai semplice ripartendo in parti ugualila massa rispetto ai nodi presenti nel modello strutturale, tenendo anche conto dei terminilegati all’inerzia rotatoria. Tale metodo porta ad una sottostima delle frequenze in campomodale e cio e ovviamente dovuto al tipo di approssimazione che viene introdotta. Unesempio di tale matrice potrebbe essere il seguente

[M ] =ρAl

2

1 0 0 00 l

120 0

0 0 1 00 0 0 l

12

(2.3)

11


Fig. 2.3: Listato del file di OutPut dal NASTRAN

12


punto 5.Si e gia ribadito piu e piu volte l’importanza del saper leggere le informazioniche vengono prodotte dal codice di calcolo NASTRAN, in quanto esse ci per-mettono di conoscere le caratteristiche della nostra struttura sia in terminidi risposta al campo di sollecitazioni, sia di risposta modale sia in terminidi caratteristiche intrinseche alla struttura stessa.Relativamente a quest’ultimo aspetto mi vorrei soffermare ad analizzare unaparte molto importante del file di OutPut ovvero quella che viene indicatocome OUTPUT FROM GRID POINT WEIGHT GENERATOR.Prima di iniziare a commentare e discutere questa sezione del file contenentii risultati dell’analisi preferisco introdurre immediatamente un estratto deirisultati, riportato in Fig. 2.4, in modo da avere sotto gli occhi cio di cui sista parlando.La descrizione di questo estratto del file di OutPut verra effettuata spiega-

Fig. 2.4: sezione del file di OutPut

gando e approfondendo il significato delle singole matrici seguendo l’ordineindividuato dalla progressione alfabetica.

• Matrice A: questa matrice e per noi di massima importanza in quantoessa rappresenta la matrice delle caratteristiche inerziali dell’interastruttura. In essa si possono leggere i momenti di inerzia Iii e deiprodotti di inerzia Iij definiti nel seguente modo

Iij =∫

Aij

l2dAij i, j = x, y, z (2.4)

i quali formano il tensore di inerzia secondo lo schema classico qui

13


riportato

[J ] =

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

(2.5)

i termini sulla diagonale principale si ricorda che afferiscono ai mo-menti di inerzia principali; mentre i termini fuori diagonale sono dettiprodotti di inerzia. Questa matrice gode della proprieta di simmetriae in base a cio si deduce che nel caso piu generale essa annovera solosei coefficienti incogniti, i tre della diagonale principale e i tre terminisottostanti o sovrastanti ad essa.Come si puo osservare nella matrice riportata vi sono casi in cui essa hacome unici termini diversi da zero i coefficienti della diagonale prin-cipale, cio significa che essa non solo e la matrice inerziale, ma e lamatrice dei momenti principali di inerzia, essi sono i massimi valori diinerzia della struttura.Se si pensa alle caratteristiche della struttura sottoforma di autovalori,considerando quindi il problema det([A] − λ[I]) = 0 , i tre momentiIxx , Iyy ed Izz rappresentano proprio i tre autovalori della strutturaessendo i coefficienti del polinomio caratteristico

p(λ) = (λ− Ixx) · (λ− Iyy) · (λ− Izz) (2.6)

• Matrice B e Matrice C: entrambe queste due matrici corrispondono aimomenti statici della struttura. Per meglio focalizzare la definizionedi momento statico ricordiamo che esso e esprimibile come

Sij =∫

Aij

ldAij i, j = x, y, z (2.7)

dove l e la distanza tra l’asse di riferimento e l’area Aij che si staconsiderando.Rispetto ai valori numerici delle due matrici si osservi come una sial’opposto dell’altra ovvero se prendiamo come riferimento la matrice[B] si avra una relazione tale che [B] = −1 · [C].

• Matrice D: ultima matrice che compone questa sottosezione del filedi OutPut e la matrice delle masse direzionali. Questa matrice e unamatrice di massa a tutti gli effetti, pertanto definita positiva 3, sim-metrica e ovviamente regolare, ovvero det([D]) 6= 0.Se si osserva il vettore di massa precedentemente descritto si notera

3Si ricorda che condizione per cui una matrice e definita positiva e che rispetti il Criteriodi Sylvester ovvero det([Dk]) > 0con k = 1, 2, ..., n dove i Dk sono i minori di testa dellamatrice [D] .

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che i termini sulla diagonale principale corrispondono a quel vettorecolonna che era stato definito come

{W} =

Wx

Wy

Wz

(2.8)

A seguire con la dicitura OLOAD RESULTANT individuiamo la risultantedei carichi, dove con carico si intendono sia le forze che i momenti. Talerisultante viene a trovarsi sotto forma di matrice (6x6) dove si hanno lerighe costituite da le tre componenti di forze e momenti e come colonne letre componenti degli spostamenti e delle rotazioni. Tale matrice si presentaovviamente come diagonale a blocchi e se la riduciamo ad una (2x2) doveogni elemento corrisponde ad una matrice (3x3) otteniamo una matrice deltipo [

A11 A12

A12 A22

]=

[(F, T ) 0

0 (M,R)

](2.9)

Questa matrice e seguita da una riga in cui e riportata la composizionedella risultante totale in modo da avere Ftot = (Fx, Fy, Fz) ed Mtot =(Mx,My,Mz) di tutto il sistema strutturale.Dopo questa sezione dedicata ai carichi agenti sulla struttura segue il con-trollore EPSILON di cui gia al Cap. 1, §1.1. In questo caso in cui ilproblema era molto semplice, le matrici sono state ben condizionate percui il valore dell’ ε e veramente piccolo, si ha infatti ε = 2.023305710−13.Prestare attenzione al valore di questo controllore e una delle operazioni chedevono necessariamente essere fatte prima di prendere in considerazione labonta dei risultati e quindi prima di affidarsi a quanto calcolato dal codiceNASTRAN.Con la dicitura SPCFORCE RESULTANT , basata sulla stessa impostazionematriciale del OLOAD RESULTANT, si descrivono le reazioni vincolari ero-gate dai dispositivi atti a ridurre i gradi di liberta della struttura. La siglaSPC sta di fatto ad indicare la dicitura Single Point Constrain ovvero vin-colo del singolo nodo. Ricordando la dicitura di vincolo, definito come ilcinematismo atto a limitare i gradi di liberta del sistema (DOF - Degree ofFreedom), e ovvio che si abbiamo componenti della matrice, anch’essa diag-onale a blocchi, relativi alle forze e ai momenti per cui anche la risultantesara espressa in termini di FSPC = (Fx, Fy, Fz) ed MSPC = (Mx,My,Mz).Dopo avere descritto quella che e la configurazione dei carichi, sia applicatiche vincolari, si passa alla vera e propria parte dei risultati in termini dispostamenti, rotazioni, sforzi e quant’altro richiesto nell’analisi.

• DISPLACEMENT VECTOR: vengono qui riportati con notazione tab-ulare quelli che sono tutti gli spostamenti e le rotazioni di ogni singolonodo. Ricordando la teoria FEM la quale aveva come incognita gli

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spostamenti nodali avremo quindi che descrivendo N elementi potremoleggere N + 1 spostamenti nodali.

• LOAD VECTOR: indica il vettore dei carichi applicati;

• FORCE OF SINGLE POINT COSTRAINT : indica il vettore dellereazioni vincolari generati a causa dell’applicazioni dei carichi;

• FORCE IN BAR ELEMENTS : in questa sezione del file di OutPutvengono riportati sempre secondo la ormai conosciuta notazione tab-ulare le componenti di forza e di momento all’interno di ogni singoloelemento;

• STRESSES IN BAR ELEMENTS : molto piu interessanti di forze emomenti sono talora le componenti sforzo che ci permettono di val-utare la resistenza del singolo elemento o dell’intero componente. Inquesta sezione conclusiva sono riportati tutti i tipi si sforzo che carat-terizzano la struttura a cui si aggiungono anche l’indicazione dellosforzo massimo e di quello minimo.

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Capitolo 3

FEMAP 1-D: la trave

3.1 Impostazioni generali

Il primo passo verso l’utilizzo del programma FEMAP ed in generale versol’utilizzo del metodo FEM e nella direzione piu semplice che si possa im-maginare, quella delle strutture monodimensionali.La tipologia di configurazione strutturale, essendo un corso di aerospaziali,ovviamente sara quella di una trave incastrata ad un estremo e libera all’altrocon un carico concentrato d’estremita, che non si avra difficolta ad immag-inare come una semiala.Visualizziamo ora il sistema strutturale ed andiamone a determinare le di-verse caratteristiche che sono riportate in fig. 3.1.

Fig. 3.1: Rappresentazione del sistema strutturale

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3.1. IMPOSTAZIONI GENERALI

Le caratteristiche della sezione resistente le possiamo trovare definitenella sezione indicata con A−A che e riportata sempre nella Fig. 3.1.In base alle dimensioni fornite e alla geometria della sezione e possibileandare a calcolare il momento di inerzia attorno all’asse Y che verra pertantoindicato con Iy . Essendo la sezione rettangolare il momento di inerzia saradato semplicemente

Iy =∫

Az2dA =

b · h3

12= 31.25 · 10−12m4 (3.1)

In merito alle condizioni al contorno del problema, scritte nell’ottica dellavariabile del problema data dallo spostamento w(x) fuori dal piano, avremoche per quanto riguarda l’estremo incastrato avremo l’imposizione dei vin-coli sugli spostamenti generalizzati dati da spostamenti e rotazioni, che informule si traducono nella seguente maniera

x = 0w(0) = 0dw(x)

dx = 0(3.2)

mentre per quanto riguarda le condizioni all’estremo di sinistra libero sidovranno inmporre condizioni di vincolo di tipo cinematico sul momento esul taglio date dalla seguente relazione

x = Ld2w(x)

dx2 = 0d3w(x)

dx3 = −P(3.3)

Per completare il quadro della situazione manca ora da definire il mate-riale che intendiamo utilizzare nella progettazione della nostra trave. Es-sendo aeronautici utilizzeremo una classica lega leggera aeronautica le cuiproprieta meccaniche sono riportate nella seguente Tab. 3.1 Si presti atten-

Caratteristica ValoreDenominazione AA 2024-T4Tipo materiale IsotropoModulo di Young E (GPa) 72.4Coefficiente di Poisson 0.33Densita ρ (kg/m3) 2770

Tab. 3.1: Caratteristiche meccaniche della lega

zione al fatto che in questo esempio il Modulo di Taglio non occorre che siadefinito essendo l’AA 2024 - T4 isotropico e quindi con solo due variabiliindipendenti, date dal Modulo di elasticita, o Modulo di Young, e dal Coef-ficiente di Poisson.In tal modo abbiamo definito le caratteristiche del problema che sia in caso dirisoluzione analitica, che sfruttando il metodo degli elementi finiti dovremo

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3.2. IL MODELLO “CARTA E PENNA”

prendere in considerazione.A fini del tutto accademici introduciamo ora la risoluzione del problemaproposto prima con il metodo analitico e poi con il metodo FEM.

3.2 Il modello “carta e penna”

Per risolvere il problema con approccio analitico si deve partire dall’equazionedifferenziale derivante dalla Teoria Classica della Trave

d2

dx2

[E(x)Iy(x)

d2w(x)dx2

]= p(x) (3.4)

che ipotizzando di utilizzare materiale costante lungo la luce della travee di mantenere le caratteristiche di inerzia costanti lungo la stessa luce sisemplifica divenendo

EIyd4w(x)

dx4= p(x) (3.5)

Ricordando che il carico distribuito risulta essere q(x) = 0 andiamo ad inte-grare l’Eq. 3.5 arrivando sino all’ordine di grado zero, ottenendo il seguentepolinomio

d3w(x)dx3

=α1

EIy(3.6)

d2w(x)dx2

=α1

EIy· x +

α2

EIy(3.7)

dw(x)dx

=α1

EIy· x2

2+

α2

EIy· x +

α3

EIy(3.8)

w(x) =α1

EIy· x3

6+

α2

EIy· x2

2+

α3

EIy· x +

α4

EIy(3.9)

Imponendo le condizioni al contorno individuate nel precedente paragrafo§3.1, precisamente si ricordano le Eqq. 3.2, 3.3, otterremo che i coefficienticosı trovati hanno il seguente valore

α1 = −P (3.10)α2 = PL (3.11)α3 = 0 (3.12)α4 = 0 (3.13)

Se andiamo a sostituire i coefficienti nelle Eqq. 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9 avremo adisposizione la soluzione analitica completa che ci permettera di valutare irisultati ottenuti con il metodo FEM valutandone anche le caratteristiche

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3.2. IL MODELLO “CARTA E PENNA”

di calcolo.

d3w(x)dx3

= − P

EIy(3.14)

d2w(x)dx2

= − P

EIy· x +

PL

EIy(3.15)

dw(x)dx

= − P

EIy· x2

2+

PL

EIy· x (3.16)

w(x) = − P

EIy· x3

6+

PL

EIy· x2

2(3.17)

Al fine di completare il nostro studio andiamo a valutare spostamenti e ro-tazioni in tre punti della nostra trave, i valori relativi sono stati riportatinella seguente Tab. 3.2 In campo ingegneristico si sa che i numeri convin-

Grandezza x = 0 x = 0.5L x = L

Spostamenti (m) 0 -0.046041 -0.14733Rotazioni (deg) 0 9.4965 12.662Momento (Nm) -0.44199 -0.22099 0Taglio (N) 0.44199 0.44199 0.44199

Tab. 3.2: Risultati analitici

cono, ma alle volte per rendersi bene conto di come realmente si manifestanoi fenomeni fisici, chimici che essi siano si ha bisogno di rappresentazioni chein qualche modo rappresentino lo stato della realta. A tal scopo dell’analisiora condotta sono stati tracciati i grafici relativi all andamento del Taglio,del Momento, delle Rotazioni e degli Spostamenti. Tali andamenti sono statiunificati nella sola Fig. 3.2 riportata qui di seguito.

Dall’osservazione si vede che quanto dedotto analiticamente si sposa inperfetto accordo con quelli che risultano essere i risultati numerici, questoci permette di avere una solida base di partenza, di sicurezze “assolute” sucui fondare la nostra iniziazione ai metodi FEM.In definitiva saranno questi i valori che dovremo confrontare con quelliprodotti dal NASTRAN per verificarne la bonta, o per meglio dire perfidarci di quanto ci viene fornito come pacchetto di informazioni su cui nonpossiamo operare attivamente nella fase di calcolo o processing che dir sivoglia.Da questo momento in poi ci si dedichera unicamente all’utilizzazione delsoftware quindi e consigliabile tenere bene a mente tutti i passaggi teoricifatti poiche dedicandoci al programma si potrebbe perdere di vista il riferi-mento teorico-ingegneristico obiettivo principale del nostro procedere.Nei prossimi paragrafi si procedera passo dopo passo alla creazione del mod-ello partendo dalle basi del programma utilizzato in modo che lo studente

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3.3. DIGITALLY FEMAP

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

0

1

2Taglio

Luce . m

For

za −

N

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0Momento

Luce . m

Mom

ento

− N

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15Rotazione

Luce . m

Ang

olo

− °

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0Spostamento

Luce . m

Spo

stam

ento

− m

Fig. 3.2: Rapprsentazione dei risultati

sia messo a conoscenza non solo delle mere operazioni legate alla creazione,analisi, nonche visualizzazione dei risultati del modello, ma sappia anchegestire in minima parte il software in questione.

3.3 Digitally FEMAP

Dopo aver dato una soluzione analitica del problema proposto cerchiamo dirisolverlo utilizzando programmi che ci siamo riproposti di imparare ad uti-lizzare, ovvero il FEMAP in un primo ed ultimo momento ed il NASTRAN,tralasciando come gia accebnnato i problemi di ordine teorico che hannoavuto ampio spazio di espressione poche righe prima.

3.3.1 Creazione del file di lavoro

Prima operazione che e richiesta all’utente e quella di creare un file di lavoroche insieme ai files prodotti dal codice di calcolo formeranno la cartella dilavoro.Dopo aver avviato il programma FEMAP 8.x seguire le seguenti istruzioni:

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1. Aprendo il menu File della 1°Barra di Comando, vede Cap. 2,§2.1, scegliere Salva con nome o semplicemente premere il tasto F4e salvare il file nella cartella precedentemente predisposta ad accoglierei file di lavoro. Tale file avra come estensione .mod, nel nostro caso ilfile sara “trave.mod”;

2. Dopo aver fatto tale operazione confermare il comando dato cliccandosul pulsante Save, come mostrato in Fig. 3.3;

Fig. 3.3: Creazione del file di lavoro

3. Prima operazione per iniziare a lavorare migliorare la visuale del pianodi lavoro disattivando il righello seguendo la procedura esposta nelCap. 2, §2.2, Rimozione del righello;

3.3.2 Creazione della geometria del modello

Adesso che abbiamo a disposizione il nostro piano di lavoro dobbiamo crearela geometria della nostra trave. Quando parliamo di geometria intendiamodire la rappresentazione della sua grandezza caratteristica, in questo casoquindi rappresenteremo un segmento di lunghezza L = 1 m. Questo seg-mento e caratterizzato dagli estremi A e B di coordinate A ≡ A(0; 0; 0) eB ≡ B(1; 0; 0) che saranno il primo ed il secondo punto che andremo adindividuare.

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1. Dal menu Geometry scegliere l’opzione Curve-Line;

2. Dal menu a tendina selezionare Projects Points. Tale scelta e basatasu un metodo del tutto generale dato che lo stesso risultato potremmoottenerlo utilizzando anche il comando Horizontal...;

3. Nel box di dialogo Locate - Enter First Location for ProjectedLine inserire le coordinate del punto A e confermare le impostazionidate cliccando sul pulsante OK;

4. Ripetere le operazioni fatte al punto 2 per l’inserimento del punto Ball’interno del box Locate - Enter First Location for ProjectedLine, come mostrato in Fig. 3.4;

Fig. 3.4: Creazione del segmento di estremi A e B

5. Uscire dal comando cliccando sul pulsante Cancel;

6. Per massimizzare la visuale rigenerare lo schermo seguendo la suc-cessione di comandi: View → Autoscale → Visibile oppure piusemplicemente premere i tasti Ctrl + A.

3.3.3 Il materiale usato

Elemento fondamentale per la caratterizzazione della struttura e il materialecostituente descritto in una sezione a se stante proprio per la sua importanza.

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Le caratteristiche meccaniche da tenere in considerazione sono quelle espressenel Cap. 3, §3.1 che andremo ad inserire seguendo tale procedura.

1. Selezionando il menu Model scegliere l’opzione Material;

2. Una volta avuto accesso al box di dialogo inserire il nome del materiale,nel nostro caso AA 2024 T4, nello spazio Title;

3. Sincerarsi che il tipo di materiale che si sta inserendo e del tipo cor-retto, nella fattispecie isotropo, andando a selezionare tale caratter-istica nel box di dialogo a cui si accede cliccando sul pulsante Typeposizionato sulla prima riga a destra. Per uscire cliaccare su OK;

4. Inserire adesso i dati relativi al materiale nelle caselle corrispondentiYoungs Modulus E, Poisson’s ratio ν e Mass Density ρ, comeindicato in Fig. 3.5;

Fig. 3.5: Inserimento dei dati relativi al materiale

5. Una volta inseriti tali valori si puo confermare cliccando su Ok;

6. Uscire dal box di dialogo cliccando su Cancel.

3.3.4 Definizione del tipo di elementi

Siamo cosı giunti alla determinazione del tipo di elementi che dovranno rap-presentare la nostra struttura. Sicuramente questa e una delle fasi che piu

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impegnano l’analista perche egli deve discernere la corretta rappresentazionedella realta da una distorta in base alle caratteristiche che ogni elemento pre-senta.A tale scopo e stata dedicata una ampia appendice al tipo di elementi finitiche ritengo sia imperativo leggere prima di porsi in modo costruttivo difronte al programma. Tale appendice riportata a conclusione di questo di-ario di viaggio e identificabile come App. A: “Elementi Finiti”. Qui diseguito riporteremo la creazione delle proprieta delle varie sottoparti dellastruttura.

1. Dal menu Model scegliere l’opzione Property...;

2. Come prima operazione individuare i singoli elementi con un nomeda assegnare nell’apposito spazio contraddistinto da Title, nel nostrocaso il nome sara “Trave”;

3. Sincerarsi che il tipo di elemento che si sta descrivendo sia conformeal tipo di elemento da noi prescelto. Per fare cio aprire il box di sceltarapida Element/Property Type e selezionare BAR];

4. Avendo selezionato BAR come elemento scegliere OK per confer-mare la scelta effettuata;

5. A questo punto e necessario selezionare il materiale nella casella inalto a destra Material, ovviamente nel nostro caso e bene scegliere ilAA 2024 T4, come mostrato in Fig. 3.6;

6. Si devono ora impostare le dimensioni della sezione resistente. Per farecio basta aprire la finestra di dialogo Shape;

7. Aperto tale box di dialogo si deve selezionare il tipo di sezione all’internodello spazio etichettato con Shape, che nel nostro caso sara Rectan-gular Bar.

8. Una volta assegnate le dimensioni si puo visualizzare il tutto grazie alcomando Draw Section posto in basso a sinistra, si veda Fig. 3.7;

9. Per completare l’assegnazione della sezione resistete si deve assegnareil posizionamento degli assi. Nel nostro caso sceglieremo l’opzioneUp nella sotto sezione Orientation Direction (y). Tale scelta deveessere fatta tenendo conto che gli assi visualizzati rispetto alla sezionesono locali come del resto il sistema di riferimento che qui di chiede discegliere;

10. Fatta la propria scelta si puo ritornare al box di dialogo principaleconfermando con un click sul tasto OK;

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Fig. 3.6: Impostazione della sezione resistente

Fig. 3.7: Conferma delle impostazioni relative alla sezione resistente

26

3.4. CREAZIONE DEL MODELLO

11. Una volta ricontrollati i valori inseriti si confermino le caratteristicheimmesse cliccando su OK e in seguito su Cancel per uscire dall’assegnazionedelle proprieta.

3.3.5 Creazione della mesh

Dalla consultazione di un dizionario delle lingua inglese emerge che la traduzioniitaliana di mesh altro non e che la maglia.Direttamente dal significato del verbo to mesh consegue quindi l’operazionedi creazione della maglia 1-D, 2-D o 3-D a seconda del singolo modello chestiamo creando.Una maglia cosı come e definita prevede la presenza di nodi e rami che con-giungano i nodi stessi.Nel nostro caso i nodi sono coloro che ci permettono la determinazione deglispostamenti di ogni punto grazie al vettore degli spostamenti nodali {δ} cheabbiamo ampiamente esaminato in Cap. 1, §1.2. I rami definiscono il luogodei punti dello spazio dove deve essere applicato il nostro elemento tipo, cheesso sia monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale.Nel nostro caso grazie al “Metodo di Convergenza Modale”, esposto nell’App.C: Definizione del N°di elementi, vogliamo creare una mesh che abbia 25elementi quindi 26 nodi dato che gli elementi sono in numero di (n − 1)rispetto agli n nodi.Per fare cio seguiamo la procedura qui esposta:

1. In primo luogo accediamo al menu Mesh e selezioniamo la voce MeshConrtol da cui con l’apertura di un successivo menu a tendina se-lezioneremo Size Along Curve;

2. A questo punto selezioniamo con il mouse la curva geometrica prece-dentemente creata ed identificata dal software come ID 1;

3. Confermare la scelta della curva 1 cliccando su OK;

4. Il box di comando che si apre Mesh Size Along Curves richiedel’immissione di Number of Elements che nel nostro caso saranno25;

5. Confermare l’inserimento dati cliccando su OK, dopo di che nellafinestra che si apre successivamente scegliere Cancel per terminarel’assegnazione, come mostrato in Fig. 3.8.

3.4 Creazione del modello

Abbiamo raccolto tutti gli elementi per la creazione del modello che ci er-avamo prefissi di realizzare all’inizio del paragrafo. Dobbiamo adesso met-tere insieme le diverse tessere che costituiscono il mosaico nella sua interezza.

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Fig. 3.8: Costruzione della mesh del modello

Per far cio dovremmo assegnare le proprieta degli elementi alla mesh creataor ora. Seguiamo passo passo le varie fasi.

1. Selezionare dal menu Mesh l’opzione Geometry e conseguentementeall’apertura del nuovo men a tendina selezionare l’opzione Curve;

2. Utilizzando il mouse selezionare la curva del modello, nel nostro casol’unica esistente identificata con ID 1, a cui si vogliono attribuiredeterminate proprieta;

3. Confermare la scelta della o delle curve cliccando su OK;

4. Nel box di dialogo Geometry Mesh Options selezionare da elencoil nome della proprieta che si vuole assegnare, nel nostro caso sara“Trave”;

5. Confermare le proprie scelte cliccando su OK;

6. Per motivi esposti all’interno dell’App. D: vettore proiezione nel boxVector Locate - Define Element Orientation Vector si deveimmettere un vettore, non allineato con l’asse dell’elemento, di coor-dinate O ≡ O(0; 0; 0) e P ≡ P (1; 1; 0), come mostrato in Fig. 3.9;

28


Fig. 3.9: Assegnazione delle proprieta

7. Una volta immessi i due punti estremali del vettore direzione si con-fermino le impostazioni cliccando su OK;

Al fine di identificare la corretta orientazione degli assi locali della sezionepuo essere utile visualizzare materialmente il posizionamento spaziale di talegeometria. Per ottenere tale tipo di visualizzazione seguire il procedimentoqui di seguito esposto.

Í Visualizzazione delle sezione resistente:

1. Dal menu a discesa View scegliere Options...;

2. Selezionare l’opzione Labels, Entities and Color presente nelbox Category;

3. Selezionare Element - Orientation/Shape all’interno del boxOptions, come mostrato nella seguente Fig. 3.10;

4. Selezionare Show Cross Section dal box Element Shape acliccare su Apply;

5. Scegliere OK per confermare le impostazioni date e per usciredal box di dialogo.

E E possibile snellire la procedura esposta premendo il tasto F6 earrivare direttamente al punto 2.

29


Fig. 3.10: Cambiamento della visualizzazione della sezione

3.4.1 Assegnazione delle condizioni di vincolo

Per quanto riguarda la parte di determinazione del modello, che comprendemateriali, sezioni e quant’altro, il lavoro puo essere ritenuto completo. Ilnostro bisogno descrittivo ci richiede l’imposizione delle condizioni vincolarie di carico. In questa sezioni ci occupiamo dei vincoli che come si e visto inCap. 3, §3.1 si possono facilmente identificare nel vincolo di incastro.Seguendo le indicazioni fornite nell’App. B: “Vincoli strutturali”, dovremoquindi imporre la condizione identificata come fixed , ovvero incastro. Vedi-amo ora come arrivare a cio:

1. Dal menu Model selezionare la voce Constrain e successivamenteNodal in quanto l’assegnazione vuole essere fatta su un nodo dellastruttura, in particolare uno dei due estremi;

2. Inserire il nome del set di vincoli che si stanno per inserire nello spaziocontraddistinto dalla sigla Title, nel nostro caso il nome sara “Incas-tro”;

3. Immesso il nome del set scegliere OK per proseguire oltre;

4. Selezionare con il puntatore del mouse il nodo delle estremita sinistradella trave, posizione in cui si vuole inserire il vincolo (se tutto e statofatto correttamente questo nodo dovrebbe essere il numero 1);

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5. Scelto tale nodo ciccare su OK per continuare;

6. Nella finestra Create Nodal Consrtain / DOF selezionare il pul-sante “Fixed”, le caselle relative a “Spostamenti” e “Rotazioni” ven-gono tutte selezionate;

7. Per confermare scegliere OK e successivamente Cancel per uscire,come e possibile osservare nella seguente Fig. 3.11;

Fig. 3.11: Imposizione delle condizioni di vincolo

8. All’estremo vincolato comparira la notazione numerica dei gradi diliberta vincolati, nel nostro caso saranno presenti i numeri da 1 a 6.

3.4.2 Imposizione delle condizioni di carico

Ultimo elemento per completare la descrizione del modello e evidentementel’applicazione del carico agente sulla trave che ricordiamo essere un caricodi tipo concentrato con componenti nello spazio cartesiano del tipo P ≡P (0; 1; 0) agente all’estremita della trave.Vediamo ora la procedura che consente di applicare tale carico alla trave inquestione:

1. Dal menu Model selezionare la voce Load e successivamente Nodalin quanto l’assegnazione vuole essere fatta su un nodo della struttura,in particolare l’estremo destro;

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2. Inserire il nome del set di carico che si sta per inserire nello spaziocontraddistinto dalla sigla Title, nel nostro caso il nome sara “CaricoConcentrato”;

3. Immesso il nome del set scegliere OK per proseguire oltre;

4. Selezionare con il puntatore del mouse il nodo delle estremita destradella trave, posizione in cui si vuole applicare il carico concentrato (setutto stato fatto correttamente questo nodo dovrebbe essere il numero26);

5. Scelto tale nodo cliccare su OK per continuare;

6. Nella lista delle possibili applicazioni di carico individuare e selezionarel’opzione relativa alle forze denominata ”Force;

7. Avendo scelto la modalita di individuazione del vettore di carico comeComponets all’interno della sezione Direction vi e la possibilita diimmettere le componenti del vettore “Force” lungo x, y e z all’internodello spazio denominato “Load”. Nel nostro caso l’unica ad interessarcisar quella lungo y di modulo |~Fy| perche diretta verso il basso, comedel resto e osservabile in Fig. 3.12;

Fig. 3.12: Applicazione del carico al modello

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3.5. CREAZIONE DEL FILE DI INPUT

8. . Una volta fatto cio confermare le proprie scelte cliccando si OK enella finestra che si apre consecutivamente scegliere Cancel per usciredal comando di assegnazione dei carichi.

3.5 Creazione del file di InPut

Avendo completato la descrizione del modello siamo ora pronti per affrontarela vera fase di analisi. Secondo lo schema di massima seguito fin dal princi-pio si deve creare il file di inPut , il file .nas, o .dat che verra letto dal codiceNASTRAN per essere poi elaborato e da cui sara originato il file di OutPut.f06.Poniamo in evidenza le nostre richieste relativamente al modello ed in par-ticolare si ricercano tutte le componenti di spostamento, rotazione, stressdell’intero modello con un’analisi di tipo statico.Vediamo ora come arrivare ad ottenere tali risultati.

1. Dopo aver salvato il documento ed essersi assicurati il lavoro fin quisvolto selezionare Export dal menu File;

2. Una volta aperto il menu Export selezionare Analysis Model...;

3. Nella finestra che si apre cliccare sul pulsante Manually CreateAnalysis Model;

4. All’interno del box di dialogo selezionare Static nel campo relativo aType ed individuare il nucleo di calcolo di cui si dispone nell’ambitodel NASTRAN, noi prenderemo in considerazione l’MSC.NASTRAN,di aiuto puo essere la seguente Fig. 3.13;

5. Effettuare questa ulteriore scelta confermare cliccando su OK;

6. A questo punto occorre individuare un nome da attribuire al file .nas,che nel nostro caso sara “TraveStat” e confermare con OK;

7. Nella finestra Nastran Analysis Control si deve selezionare l’opzione2. Displacement and Stresses all’interno della regione dedicata alleOutput Requests nella sezione Output Types;

8. Una volta fatto cio cliccare sul pulsante Advanced;

9. Selezionare la versione del NASTRAN di cui si dispone nel camporelativo ad Nastran Version e poi cliccare su OK;

10. All’interno della successiva finestra che si apre selezionare l’opzione 2.Print and PostProcess all’interno del campo Output Requests,come mostrato in Fig. 3.14;

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3.5. CREAZIONE DEL FILE DI INPUT

Fig. 3.13: Selezione del tipo di analisi

Fig. 3.14: Assegnazione richieste di analisi

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3.6. LETTURA DEL FILE DI OUTPUT

11. Avendo seguito tutte le istruzioni fin qui date selezionare OK e all’aperturadella successiva finestra confermare con OK;

12. Se tutto ha funzionato correttamente devono apparire le scritte: “1Constrain Set(s) Translated” - “0 Constrain Equation(s) Translated”- “1 Property(s) Translated element” - “1 Material(s) Translated” -“26 Node(s) Translated” - “25 Element(s) Translated” all’interno dellaBarra dei comandi (identificata con il numero 4 nel Cap. 2, §2.1).

Abbiamo cosı creato il file “TtraveStat.nas” che se aperto con il blocco noteavra la struttura descritta nel Cap. 2, §2.3.L’operazione che segue e quella dell’analisi da parte del processore NAS-TRAN.Eseguire il processore e ricercare il file “TraveStat.nas” all’interno dellacartella in cui risiede il file .mod, ricordando si selezionare come tipo difile All files.Una volta individuato tale file fare click su Apri e successivamente su Run.Una volta che il processore avra terminato l’analisi si udira un caratteristico“Beep” emesso dall’unita centrale del calcolatore, che avvertira dell’avvenutocompletamento della fase di calcolo.La prima operazione che si deve aver cura di eseguire e il controllo deglierrori. A tale proposito aprire il file “TraveStat.f06” con un opportunoprogramma, ad esempio il Blocco Note e ricercare le parole “FATAL MES-SAGE”. Nel caso esse non siano presenti si pu continuare nell’analisi deirisultati.

3.6 Lettura del file di OutPut

Una volta controllata la bonta del file contenente i risultati dell’analisi questodeve essere importato dal post-processore che assolvera anche ai compiti divisualizzatore grafico.Per importare i risultati dovremo seguire la procedura qui esposta.

1. Selezionare Import dal menu principale File;

2. Aperto il menu di dialogo Import, selezionare Analysis Results;

3. All’apparire della maschera di dialogo Import Results From se-lezionare il processore con cui e stata eseguita l’analisi, nel nostro casoMSC.NASTRAN, come illustrato nell’immagine di Fig. 3.15;

4. Avendo confermato la scelta cliccando si OK passare alla scelta delfile di OutPut che e stato prodotto, nel nostro caso avra nome “Trav-eStat.f06”, e confermare ancora una volta;

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3.7. VISUALIZZAZIONE DEI RISULTATI

Fig. 3.15: Selezione del processore adottato

5. A questo punto confermare con OK a tutte le comunicazioni che ilprogramma proporra;

6. Sincerarsi che nella barra dei comandi in basso del monitor compaiala scritta “Cleanup og Output Set 1 is Complete”.

7. A questo punto si sono importati risultati dell’analisi, dobbiamo adessovisualizzarli.

3.7 Visualizzazione dei risultati

Il post-processore FEMAP permette differenti modi di visualizzazione deirisultati, tutti ovviamente pongono in luce un aspetto differente. La carat-teristica comune ai modi di visualizzazione e il confronto con una scalagrafica dove ad ogni colore corrisponde un valore.Tale valore rappresentera le deformazioni se questo e quanto si e voluto vi-sualizzare, o magari rappresentera lo sforzo e cosı per tutti i tipi di risultatiottenuti.A questo punto poniamoci il problema di come scegliere la visualizzazionepiu classica, al lettore e affidato il compito di sperimentare ed indagare lealtre possibilita.

1. Dal menu View selezionare Select;

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3.7. VISUALIZZAZIONE DEI RISULTATI

2. Una volta aperta la maschera di dialogo selezionare con il mousel’opzione Contour all’interno dello spazio Contour Style;

3. A questo punto aprire la nuova maschera di selezione cliccando suDeformed and Contour Data..., come fatto e mostrato in fig. 3.16;

Fig. 3.16: Scelta del tipo di visualizzazione

4. Nei campi relativi all’Output Set individuare per il momento l’opzione1. Total Traslation. Questa operazione deve essere eseguita sia perquanto riguarda il campo Deformation sia per il campo Contour;

5. Confermare le scelte effettuate cliccando su OK per uscire dalle duefinestre di dialogo che si sono successivamente utilizzate;

6. Con il mouse cliccare sull’ultima icona che si trova sulla barra parallelaal lato destro dello schermo con etichetta PostProcess;

7. Fatto cio per visualizzare la deformata andare a selezionare la sec-onda icona dall’alto con etichetta Deformed, si otterranno i risultativisualizzati in Fig. 3.17.

Cosa assai importante e andare a confrontare il risultato ottenuto analiti-camente con quello che il codice di calcolo ci fornisce. A tal propositonel file di “TraveStat.f06” si deve andare a ricercare la sezione dal titolo

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3.8. ANALISI MODALE

Fig. 3.17: Scelta del tipo di visualizzazione

“DISPLACEMENT VECTOR e nella colonna T2, in quanto la traslazioneavviene unicamente lungo l’asse y, leggere il massimo spostamento registratoin corrispondenza del nodo 26.Si legge w(x) = −1.470972E−01 che confrontato con quello ottenuto al §3.2,Tab. 3.2 puo essere ritenuto abbastanza soddisfacente facendo registrare unvalore dell’errore dalla soluzione esatta pari ad ε = 2.028 · 10−4.

3.8 Analisi modale

Nel caso in cui si voglia eseguire un tipo di analisi che sia di tipo modale,tipicamente rivolta alla determinazione delle frequenze proprie di vibrazionee alle deformate modali, dovremo richiedere al processore una differenteanalisi.Per quanto riguarda il modello non ci sono cambiamenti di sorta.Se pensiamo a come e definito un “problema di autovalori” nella sua ac-cezione piu generale

[M ]{δ}+ [D]{δ}+ [K]{δ} = 0 (3.18)

ci accorgiamo che e identico ad uno di risposta soltanto che e assente iltermine forzante posto a secondo membro, o identicamente sono poste azero le forze di inerzia.

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3.8. ANALISI MODALE

Da questa considerazione deduciamo quindi che tutto quello che riguarda icarichi applicati, concentrati o distribuiti che essi siano, verra posto a zeromatematicamente ovvero non considerato nel modello.Prima di passare alla soluzione di tipo numerico con il processore NASTRANcogliamo l’occasione di questa semplice analisi per eseguire un altro test diaffidabilita del nucleo di calcolo individuando prima a mano le prime 10frequenze.Adottando le semplici formule della meccanica classica delle travi si ottieneche le frequenze sono date da

fn =ωn

2π=

12π

√EIλ4

ρAL4(3.19)

dove i coefficienti λ sono ottenuti come autovalori del polinomio caratteris-tico associata all’equazione della dinamica e risultano essere pari a Grazie

n λ

1 1.875104072 4.694091133 7.854787444 10.995540735 14.13716839> 5 (2n− 1) · π/2

Tab. 3.3: Autovalori

ai coeffcienti λ riportati in Tab. 3.3 si puo calcolare la pulsazione propria,il periodo e la frequenza propria di vibrazione di ogni singolo modo propriodella nostra trave. Tali valori numerici ottenuti si trovano nella seguenteTab. 3.4. E ovviamente possibile definire la morfologia delle deformate

Modo λ ωn (rad/s) T (s) fn (Hz)1 1.8751 25.945 0.24217 4.12932 4.6941 162.6 0.038643 25.8783 7.8548 455.28 0.013801 72.4594 10.996 892.16 0.0070427 141.995 14.137 1474.8 0.0042604 234.726 17.279 2203.1 0.002852 350.637 20.42 3077.1 0.0020419 489.738 23.562 4096.7 0.0015337 652.019 26.704 5261.9 0.0011941 837.4610 29.845 6572.9 0.00095593 1046.1

Tab. 3.4: Caratteristiche modali della trave

modali che e nota a priori a meno di una costante, la quale caratterizza il

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3.8. ANALISI MODALE

singolo problema grazie all’implementazione della deformata stessa la cuiformulazione si ricorda essere la seguente

wn(x) = (cosh(λξ)−cos(λξ))− sinh(λ)− sin(λ)cosh(λ) + cos(λ)

(sinh(λξ)−sin(λξ)) (3.20)

Nella seguente Fig. 3.18 sono riportate le deformate modali dei primi cinquemodi fuori del piano in termini adimensionali ovvero non per lo specificoproblema ma come autofunzione del problema generale. Una volta compiuta

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ascissa non dimensionale della trave

Def

orm

ata

mod

ale

della

trav

e

Deformate modali analitiche della trave INCASTRO−LIBERA

1st mode2nd mode3rd mode4th mode5th mode

Fig. 3.18: Deformate modali della trave

l’analisi modale del sistema strutturale a mano e rinfrescati i concetti ad essaattinenti facciamo eseguire la stessa operazione al NASTRAN, richiedendoanziche una analisi di tipo statico una di tipo dinamico quale quella neces-saria per la determinazione delle frequenze proprie delle strutture.Al fine di ottenere gli stessi risultati dell’analisi fatta a mano si blocchinonel modello eseguito al FEMAP tutti i gradi traslazionali esclusi quelli chepermettono il movimento fuori dal piano. Una volta fatto cio si segua laprocedura qui di seguito illustrata

1. Si segua la procedura introdotta al paragrafo §3.5 fino al punto 3;

2. Al posto dell’analisi di tipo 1.Static si scelga 2. Normal Modes/Eigenvalue;

3. Questa volta sceglieremo come nome TRAVE DYN;

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3.8. ANALISI MODALE

4. Si seguano le istruzioni di cui al paragrafo §3.5 fino al punto 8;

5. Inserire il numero di autovalori e autovettori richiesti nello spazioEigenvalues and Eigenvectors nel campo Number Desired, nelnostro caso saranno 10. Fare quindi click su OK;

6. Scegliere il modello del NASTRAN che si ha a disposizione e confer-mare con OK;

7. Confermare le impostazioni di default nella finestra NASTRAN XYOutput for Modal Analysis cliccando su OK;

8. Seguire le istruzioni di cui al paragrafo §3.5 fino al punto 12;

9. Eseguire l’analisi con il processore NASTRAN come segnalato nelparagrafo §3.5;

10. Eseguire tutti i passaggi segnalati nel paragrafo §3.6;

11. Seguire i passaggi del paragrafo §3.7 selezionando di volta in voltala frequenza prescelta dal box Output Set e confermando di voltacliccando su OK.Nella seguente Fig. 3.19 e possibile vedere un esempiodi cio che e possibile visualizzare seguendo la procedura appena adessoseguita;

Fig. 3.19: Terzo deformata modale della trave in esame

12. Nel caso in cui si volesse visualizzare la deformazione della trave inmodo dinamico si puo selezionare Animate dalla colonna delle iconea destra dello schermo.

41

Capitolo 4

FEMAP 2-D: la piastra

4.1 Le generalit del problema

L’obiettivo che ci eravamo preposti di raggiungere con l’aiuto di questo liber-colo era quello gettare le basi per l’utilizzo del programma FEMAP siariguardo a problemi monodimensionali che a problemi bidimensionali.Il caso monodimensionale ha ricevuto ampia trattazione nell’ambito del Cap.3, e venuto ora il momento di trattare il caso in cui le dimensioni caratter-istiche del problema in esame siano due.Introduciamo le caratteristiche del problema in modo che le parole sianomesse da parte dai fatti.L’oggetto del nostro studio sara una piastra che rispetta le ipotesi di Kirch-hoff relativamente allo spessore e al valore delle deformazioni registrate,vediamo quindi concretamente quanto rappresentato nella seguente Fig. 4.1Come si puo intuire dalla rappresentazione la piastra ha caratteristiche vin-

Fig. 4.1: Piastra appoggiata su tutti e quattro i lati

colari di appoggio su tutti e quattro i lati ed e caricata uniformemente daun carico pari ad p(x, y) = p0.Tali caratteristiche vincolari permettono di identificare le condizioni al con-torno lungo tutti e quattro i lati per cui avremo la condizione sugli sposta-menti

w(x, y) = 0 x = 0, a y = 0, b (4.1)

42

4.2. LA SOLUZIONE ANALITICA

a cui si aggiunge la condizione sui momenti rappresentata da

∂2w(x, y)∂x2

= 0 x = 0, a (4.2)

∂2w(x, y)∂y2

= 0 y = 0, b (4.3)

dove a e b sono stati precedentemente definiti in Fig. 4.1.La nostra piastra sara costituita per semplicita ancora una volta di un tipicomateriale di impiego aeronautico, gia utilizzato in precedenza, la lega AA2024 T4 le cui caratteristiche sono riportate in Tab. 3.1.Avendo a disposizione tutti i dati procederemo anche questa volta per risoluzioneanalitica in un primo momento per poi avere un parametro di riferimentocon cui confrontare la risoluzione numerica ottenuta tramite il processoreNASTRAN.

4.2 La soluzione analitica

Grazie alla particolare caratterizzazione vincolare e al tipo di carico appli-cato e possibile risolvere il problema generale della piastra di equazione

D∇4w(x, y) = p(x, y) (4.4)

dove con D si indica la rigidezza flessionale della piastra data da

D =Et3

12(1− ν2)(4.5)

con soluzione relativa agli spostamenti pari ad

w(x, y) =∞∑

m=1

∞∑

n=1

amn sin(

mπx

a

)sin

(nπy

b

)(4.6)

Attraverso quello che va sotto il nome di sviluppo alla Fourier , o allaGalerkin o ancora alla Navier . Sfruttando tale sviluppo in serie proposto siottiene che

amn =pmn

Dπ4[(

m2

a2

)+

(n2

b2

)]2 (4.7)

e a loro volta i coefficienti Pmn grazie alla distribuzione di carico uniformehanno una semplice espressione pari ad

pmn =16p0

π2mnm,n = 1, 3, 5, ..., 2k + 1 e k = 0, ..,∞ (4.8)

A questo punto basta mettere insieme i diversi componenti dell’Eq. 4.6ottenendo l’espressione

w(x, y) =16p0

Dπ6

∞∑

m=1

∞∑

n=1

1mn

sin(

mπxa

)sin

(nπyb

)[(

m2

a2

)+

(n2

b2

)]2 (4.9)

43

4.2. LA SOLUZIONE ANALITICA

naturalmente anche in questo caso si deve tenere conto che gli m,n =1, 3, 5, ..., 2k + 1 con k = 0, ...,∞ e cio e dovuto al fatto che i coefficientipari sono tutti nulli a causa della ortogonalita della base di funzioni, seno ecoseno, scelto per l’implementazione del metodo alla Galerkin, e quindi noncontribuiscono alla sommatoria.Avendo a disposizione tale formulazione, mi riferisco all’Eq. 4.9, possiamoora calcolare gli spostamenti trasversali in tutto il dominio della piastra chee del tipo D = [0, 1]x[0, 1].Date le particolari condizioni del problema e facile prevedere che il punto dimassima deformazione e proprio quello corrispondente al centro geometricodella piastra, punto P che avra coordinate P ≡ P (0.5a; 0.5b).Andiamo quindi a sostituire, nell’Eq. 4.9, alle variabili spaziali x ed y i valoridel punto P ora individuato. Svolgendo tutte le semplificazioni otterremoche

w(x, y) =16p0

Dπ6

∞∑

m=1

∞∑

n=1

1mn

sin(

mπ2a

)sin

(nπ2b

)[(

m2

a2

)+

(n2

b2

)]2 (4.10)

con m,n = 1, 3, 5, ..., 2k + 1 tenendo poi conto delle dimensioni geometrichedella piastra e del valore del carico applicato avremo che il tutto si riduce a

w(x, y) =16

Dπ6

∞∑

m=1

∞∑

n=1

1mn

sin(

mπ2a

)sin

(nπ2b

)

[(m2) + (n2)]2(4.11)

formulazione che sicuramente si presenta piu gestibile al livello di calcolo.Desiderando unicamente il valore della deflessione massima potremmo pren-dere in considerazione valori di m ed n unitari in quanto la soluzione con-verge velocemente al valore esatto ma prenderemo in considerazione i primiquattro termini corrispondenti a m = 3 ed n = 3.Svolgendo i conti otterremo i seguenti risultati riportati in Tab. 4.1

m n w (10−5 m)1 1 7.68141 3 7.57903 1 7.47663 3 7.4801

Tab. 4.1: Deformazione della piastra

Si noti come effettivamente la convergenza sia rapida essendoci una min-ima differenza fra i quattro risultati ma e importante apprezzarla data laprcisione di calcolo che richiederemo al codice solutore.A questo punto abbiamo ottenuto il risultato che desideravamo e siamoquindi pronti per svolgere l’analisi con il nucleo di calcolo NATSRAN ed ilpre-processore FEMAP.

44

4.3. LA MODELLIZZAZIONE CON IL FEMAP

4.3 La modellizzazione con il FEMAP

Nella descrizione del processo di modellizzazione verranno omessi tutti queipassaggi che nel Cap. 3 sono stati inseriti inerenti alla mera gestione delprogramma come ad esempio la creazione del file di lavoro questo perche sicerca di snellire una trattazione resa pesante dagli innumerevoli passaggi.In virtu di quanto detto or ora diremo che il nuovo file di lavoro avra nomepiastra.mod e si consiglia di inserirlo in una cartella a se stante per poterindividuare i files dell’analisi ad esso relativi con maggiore facilita al mo-mento della verifica della corretta creazione dell’InPut o dell’OutPut.

4.3.1 La geometria

La creazione della geometria e una operazione assai semplice che porta allacostruzione del piano medio rapprepresentativo della nostra piastra. Pereseguire tale operazione vi sono differenti strade che sono equipollenti comerisultato, ma non sono equivalenti dal punto di vista della pulizia mentaleche implicano.Per limitare al massimo la confusione che si potrebbe creare il testa al lettoreseguiro la strada che a mio personale avviso e la migliore, il lettore in seguitocon l’aumentare dell’esperienza scoprira e scegliera quella a lui piu consonavedendo e verificando l’equivalenza delle strade possibili.Per creare la geometria in questione facciamo un attimo il punto su quelleche sono le caratteristiche geoemtriche ovvero individuiamo i vertici dellapiastra. Facendo questa semplice operazione otteniamo che

A ≡ A(0; 0) B ≡ B(1; 0) C ≡ C(1; 1) D ≡ D(0; 1)

le co-ordinate cosı trovate saranno quelle necessarie per individuare i ver-tici della piastra all interno delsoftware FEMAP. La procedura che si divraseguire e quella qui di seguito riportata:

1. Dal menu Geometry selezionare il comando Surface e successiva-mente dal sottomenu scegliere il comando Corners;

2. Seguendo le richieste del box di immissione dati Locate - Enter FirstCorner of Surface immettere progressivamente i quattro vertici A,B, C e D;

3. Al termine dell’inserimento la superficie verra creata sul piano di la-voro e selezionerete Cancel per abbandonare il comando. Avrete cosıottenuto lo stesso risultato mostrato in Fig. 4.2.

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Fig. 4.2: Creazione dellla geometria della piastra

4.3.2 Definizione degli elementi

Prima di passare alla individuazione degli elementi e ovviamente necessariodefinire il materiale secondo le regole descritte nel Cap. 3, §3.3.3. Questoavra le proprieta indicate nel paragrafo §3.1 e avra nome AA 2024 T4.Il problema che stiamo studiando abbiamo gia detto essere un problemabidimensionale, a tal proposito dovremo scegliere un tipo di elemento chesia atto a descrivere il comportamento delle strutture 2-D. Tra i diversi el-ementi di tipo planare scegliamo quello individuato dalla sigla QUAD4 chein FEMAP individua con la sigla Plate1.Ricordiamo che le dimensioni della piastra costituente il nostro modello sonoquelle di 2 = 1 m, b = 1 m e t = 0.002 m.In questa fase ci interessa particolarmente lo spessore, unico dato geoemet-rico da dover inserire nella definizione delle proprieta. L’impostazione dellecaratteristiche dell’elemento dovra avvenire seguendo i seguenti passi:

1. Dal menu a discesa Model si selezioni il comando Property;

2. Si inserisca il nome della proprieta, in questo caso PIASTRA nellospazio contrassegnato da Title;

3. Si definisca il materiale che costituisce il tipo di elementi nell’appositospazio Material;

4. Verificare che il tipo di elemento sia corretto cliccando sul pulsanteElem/Property Type. Una volta aperto il box di dialogo selezionare

1Si consiglia vivamente di andare a vedere l’App. A, §A.2 riportata a conclusione dellatrattazione

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Plate nello spazio Plane Elements, confermare le impostazioni clic-cando su OK;

5. Inserire lo spessore della piastra all’interno dello spazio Thicknesses,Tavg or T1, compreso nelle Property Values, come mostrato nellaseguente Fig. 4.3;

Fig. 4.3: Assegnazione caratteristiche della piastra

6. Confermare le impostazioni con OK per poi abbandonare lo spazio didefinizione delle proprieta con Cancel.

4.3.3 Individuazione della mesh e creazione del modello

Si pone ora la questione della determinazione del numero di elementi dainserire nel modello della nostra piastra. Attraverso un processo di conver-genza modale, che ricordiamo esser stato spiegato nell’App. C, §C.1.A fronte di questo metodo di indagine prenderemo come numero di elementiquello di 625, corrispondente a 26 nodi per lato della piastra. Otterremocosı una mesh adatta alle nostre esigenze data la nostra volonta di verifi-care la funzionalita del sistema tramite il raffronto con la soluzione classicaprecedentemente individuata.Per realizzare la mesh e opportuno seguire la seguente procedura:

1. Dal menu Mesh selezionare Mesh Control e dal sottomenu scegliereSize on Surface;

2. Selezionare la superficie, se tutto e stato eseguito correttamente dovrebbeavere ID 1, e confermare con OK;

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Fig. 4.4: Creazione della mesh sulla piastra

3. Nell’area Element Size inserire 0.04 e confermare con OK per poiabbandonare il comando con Cancel, cip che si otterra e riportato inFig. 4.4.

Passiamo ora alla creazione del modello definitivo. In questa fase altro nonsi deve fare che mettere insieme tutte le tessere del mosaico che abbiamocostruito man mano che andavamo avanti. Se tutto e stato eseguito nellamodalita corretta al termine di questo procedimento dovremmo esser giuntiall’ottenimento del modello geometrico finale, mancheranno da essere appli-cati i carichi ed i vincoli.Ritorniamo adesso alla creazione del modello seguendo la procedura sottoindicata:

1. Dal menu Mesh selezionare Geometry e a seguire Surface;

2. Selezionare la superficie e confermare con OK;

3. All’interno del box di dialogo Automesh Surface aprire il menu atendina individuato dalla dicitura Property e selezionare PIASTRA,come mostrato in Fig. 4.5;

4. Confermare cliccando su OK.

Í Migliorare la visualizzazione:

1. Premere il tasto F6 e selezionare Labels, Entities and Colornel sotto-spazio Category;

48


Fig. 4.5: Creazione del modello della piastra

Fig. 4.6: Finsetra di dialogo

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2. All’interno dello spazio Options selezionare Surface;

3. Deselezionare Draw Entity e cliccare su Apply;

4. A questo punto selezionare Element - Orientation/Shape nelsottospazio Options;

5. Selezionare Show Cross Section nel sottospazio Element Shape;

6. Cliccare su Apply e poi su Cancel per abbandonare il pannellodi scelta. La Fig. 4.6 riportata di seguito mostra la finestra didialogo e di impostazioni su cui si deve operare.

L’operazione che e stata appena descritta puo essere applicata a qualsiasientita geometrica e a qualsiasi sezione tanto che e consigliabile ricorrere atale visualizzazione al fine dell’elaborazione del modello in quanto ci si rendeconto della reale disposizione delle geometrie e quindi della corretta, o noncorretta, modellizzazione effettuata

4.3.4 Condizioni di vincolo

Determinato il modello geometrico e attribuiti gli elementi resta ora daindividuare le condizioni di vincolo e le caratteristiche di carico. Le primesaranno individuate nell’ambito di questo paragrafo, mentre le seconde sarannodescritte nel prossimo paragrafo.Abbiamo precedentemente individuato quelle che sono le caratteristiche vin-colari nel Cap. 4, §4.2 corrispondenti a quattro appoggi, vincolo che vieneindividuato dal preprocessore FEMAP come Pinned e la cui caratteristica equella di limitare le tre traslazioni nello spazio u = u(x, y, z),v = v(x, y, z) ew = w(x, y, z) corrispondenti a T1, T2 e T3 nel linguaggio del NASTRAN 2.E nostro desiderio applicare la condizione di vincolo ancora una volta ai nodidella struttura per cui sara questo il metodo che sceglieremo nell’attribuzionedelle caratteristiche.Il bisogno di selezionare numerosi nodi ci da l’occasione di introdurre l’utilizzodelle selezioni multiple che possono essere assai utili nel caso di dover se-lezionare, per un qualsiasi motivo, piu entita siano esse geometriche cheFEM . Seguiamo quindi la procedura qui esposta per assegnare i vincoli:

1. Dal menu Model selezionare prima Constrain e successivamente, nelnuovo menu a tendina, il comando Nodal;

2. Inserire il nome del Set di vincoli nello spazio dedicato individuato daTitle, nel nostro caso sara “APPOGGIO”, e confermare con OK;

3. Scegliere il metodo di selezione Box che si trova nel mena a cui siaccede cliccando su Pick;

2A tale proposito consultare l’App. B

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4. Individuare un punto nello schermo e trascinare il puntatore del mousecreando un rettangolo che comprenda tutti i nodi giacenti su uno deiquattro lati della piastra come mostrato in Fig. 4.7;

Fig. 4.7: Selezione di piu entita geometriche

Fig. 4.8: Imposizione delle condizioni di vincolo

5. Ripetere tale operazione per gli altri tre lati della piastra quindi scegliereOK per continuare;

6. Con il puntatore del mouse cliccare su Pinned all’interno del box didialogo Create Nodal Constrain / DOF, mostrato nella Fig. 4.8

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che segue;

7. Confermare le impostazioni cliccando su OK e abbandonare il co-mando con Cancel.

4.3.5 Imposizione del carico uniformemente distribuito

Ultimo passo per dichiarare il modello completato e quello di determinare lecondizioni carico uniformemente distribuito i cui dettagli sono stati ampia-mente espressi.Il nostro carico vogliamo che sia imposto su tutta la superficie e non suisoli nodi ecco quindi che sceglieremo un tipo di assegnazione riguardante lasuperficie ed i suoi elementi finiti.Arriviamo pian piano al nostro obiettivo seguendo il percorso qui esposto:

1. Dal menu Model selezionare Load, quindi On Surface;

2. Inserire il nome del set di carico, nel nostro caso “DISTRIBUITO”,nell’apposito spazio individuato dal nome Title, confermare con OK;

Fig. 4.9: Applicazione del carico uniformemente distribuito

3. Selezionare la superficie, la quale dovrebbe avere ID 1, e confermarecon OK;

4. Selezionare il tipo di carico Force e andare ad inserire il vettore dicarico p(x, y) = p0 = (0; 0; 1) rispettando le varie componenti del

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vettore forza3 specificate nel sotto-spazio Value, come mostrato inFig. 4.9;

5. Confermare le impostazioni con OK e abbandonare il comando Can-cel.

Abbiamo quindi concluso la nostra costruzione del modello e siamo quindipronti per affrontare l’analisi che ci dara modo di testare il funzionamentoe l’affidabilita di questo codice di calcolo che appare sempre piu misteriosa-mente somigliante ad una Black Box.

4.3.6 Esportazione del modello e sua analisi

Dobbiamo adesso procedere con la creazione del file di InPut al NASTRANnel modo che e stato gia spiegato nel Cap. 3, §3.4. Una volta effettuatatale operazione dovra essere eseguita la fase di calcolo descritta nel Cap. 3,§3.4 e una volta fatto cio potremo, dopo aver verificato l’assenza di eventu-ali errori di processing , acquisire i risultati e visualizzarli tramite le opzionifornite dal FEAMP.Di questo modello vogliamo innanzitutto individuare le caratteristiche dell’analisistatica e in un secondo momento vorremmo identificare le proprieta modali.A tal proposito si deve tenere a mente che per la parte statica abbiamoottenuto un soluzione analitica in modo del tutto semplice. Relativamenteall’analisi modale la visualizzazione mentale delle deformate modali per unapiastra risulta essere maggiormente complessa.E buona norma stimare qualitativamente i risultati che ci aspettiamo dallaanalisi in modo da avere sempre a mente un parametro di confronto.Cerchiamo a questo punto di immaginare quelle che potrebbero essere ledeformate modali della nostra struttura. E facile pervenire alla soluzione diquesta analisi qualitativa se si pensa a quella che la teoria ci fornisce comeregole del comportamento strutturale.Le deformate modali saranno in funzione del valore dei coefficienti m ed ninseriti nell’espressione degli spostamenti. In particolare le deformate ve-dranno comparire tanti ventri in proporzione al valore di detti coefficienti.Questo accadra sia in direzione x che in direzione y ottenendo quindi unasoluzione come combinazione dei coefficienti, il che microscopicamente ap-pare come combinazione delle singole deformazioni direzionali lungo x ed y.

3Si noti che il vettore ha l’unica componente non nulla di segno positivo. Questo perchesi vuole che la deformazione sia dal basso verso l’alto e cio nel nostro sistema di riferimentocorrisponde un tale tipo di carico

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4.3.7 Visualizzazione dei risultati dell’analisi statica

Una volte eseguita l’analisi del modello ed aver controllato che tutto siain ordine, importare il file dei risultati “PIASTRA STAT.f06” secondo laprocedura gia spiegata nel Cap. 3, §3.5 e procedere alla visualizzazione deirisultati secondo la procedura illustrata nel Cap. 3, §3.6.Cio che otterremo e il seguente stato di deformazione, visibile in Fig. 4.10.La cosa molto importante e quella di andare a leggere il massimo sposta-mento registrato e confrontarlo con quello trovato per via analitica.Se andiamo a leggere il wmax(x, y) vediamo che esso e registrato al cen-

Fig. 4.10: Deformazione della piastra soggetta al carico

tro della piastra come ci aspettavamo ed in modulo e Wmax(0.5; 0.5) =7.49975 · 10−5 m come da noi calcolato. Tale valore coincide esattamentecon il valore trovato avendo scelto m = 3 ed n = 3 considerando quattrotermini.Una volta richiesta tale analisi vogliamo anche conoscere le caratteristichemodali della struttura per cui seguendo le istruzioni del Cap. 3, §3.6 es-eguiamo l’analisi modale richiedendo i primi dieci modi tatuatali di vi-brazione.Una volta importati i risultati ricordiamoci della stima che abbiamo effet-tuato qualitativamente nel precedente paragrafo §4.3.A titolo di esempio concentriamoci sulla quarta frequenza corrispondente a38.93 Hz rappresentata in Fig. 4.11.La deformata e simmetrica e si contano 2 ventri sia lungo la direzione x chelungo la direzione y. Riportandoci ai coefficienti dello sviluppo di Fourierm ed n e intuitivo capire che siamo nel caso di m = 2 ed n = 2.Se l’intuizione non ci dovesse aiutare piu di tanto basta pensare a tutte le

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combinazioni fino a che non si giunge a quella desiderata:

• m = 1 ed n = 1 : un ventre lungo x ed una lungo y;

• m = 2 ed n = 1 : due ventri lungo x ed uno lungo y;

• m = 1 ed n = 2 : un ventre lungo x e due ventri lungo y;

• m = 2 ed n = 2 : due ventri lungo x e due ventri lungo y.

Fig. 4.11: Deformata modale relativa ad una frequenza propria di vibrazione

Possiamo ritenere quindi conclusa anche l’analisi delle geometrie semplicinel caso bidimensionale.Ora siamo in grado di descrivere una ampia famiglia di geometrie semplice-mente scomponendole in elementi monodimensionali ed in elementi bidimen-sionali.

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Capitolo 5

Opzioni di analisi

5.1 L’analisi

Quando si decide di creare un modello per poterlo analizzare raramentequello che si desidera conoscere sono i meri spostamenti o i singoli modi divibrazione propria della struttura. Parimenti il processore NATRAN e ilsoftware FEMAP non sono stati creati per implementare e per gestire sem-plici problemi relativi ai problemi di statica e dinamica del genere descrittoprima.Le operazioni che si possono richiedere a tali pacchetti operativi sono moltopiu avanzate ed mi sembra doveroso metterne in luce alcune tra le piu im-portanti in modo che l’utente possa comprendere le potenzialita messeglia disposizione e se bisognoso possa procedere all’approfondimento di taliconoscenze.Ovviamente sempre a scopo didattico separeremo le opzioni di calcolo af-ferenti all’analisi statica da quelle a carattere dinamico e per ognuna indi-vidueremo la procedura per essere richiesta.Come primo elemento mi soffermerei sulla mia ultima affermazione che in-dicava una richiesta, questo perche molte delle opzioni che ci accingiamoad introdurre sono relative alla fase di creazione ed esportazione del mod-ello. Altre possibilita ci sono offerte ad esempio dall’imposizione di carichidi natura diversa da quelli trattati.Per poter comprendere bene quello di cui sto parlando bisogna introdurreil principio con cui il FEMAP crea il file di InPut e le informazioni che ivisono contenute.Ebbene quando si crea il file .nas al suo interno piu o meno implicitamentesono inserite una serie di richieste che di default sono fatte dal programmaFEMAP. Ad esempio nell’analisi statica noi abbiamo utilizzato solo la vi-sualizzazione degli spostamenti, ma avremmo potuto richiedere la visualiz-zazione delle rotazioni o magari desideravamo conoscere i momenti e percheno, gli sforzi.

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5.2. LE RICHIESTE DI DEFAULT

Queste richieste sono gia inserite nel file di InPut al NASTRAN che noicreiamo, basta semplicemente richiederne la visualizzazione.Vi sono richieste e fasi di calcolo che invece devono essere impostate dall’operatoree solo una volta che sono state esplicitamente codificate possono essere ot-tenute dall’utente.Questo capitolo quindi si ripropone di illuminare in merito a tutte questepotenzialita in modo che esse possano essere gestire facilitando il compitodi analisi del progettista.

5.2 Le richieste di default

Con il termine default si intende:

“a preset option: an option that will auto-matically be selectedby a computer if the user does not choose one”.

A partire da questa definizione si comprende l’operazione che il softwarecompie una volta che non vengano fatte particolari richieste dall’utente.Le impostazioni di default si possono individuare e modificare all’interno delbox di dialogo NASTRAN Case Control che si incontra mentre si segue laprocedura di creazione del file di InPut di cui riporto la rappresentazionequi di seguito in Fig. 5.1 Come si puo facilmente osservare esistono moltepossibili combinazioni di richiesta d’analisi dalle piu semplici alle piu com-plesse che riguardano le differenti tipologie di analisi.Una prima possibilita di intervento sulle richieste dell’analisi pu quindi esserericonosciuta nella modifica di queste impostazioni che l’utente puo calibrarea seconda dei suoi desiderata ottenendo moltissime informazioni che copronouna vastissima gamma di problemi strutturali.Queste opzioni di analisi sono relative a tutti i modelli, non entrano quindia conoscenza delle caratteristiche del singolo problema che a noi interessastudiare.Se desideriamo quindi imporre particolari condizioni modellistiche si devenecessariamente lavorare sul modello dopodiche si puo massimizzare l’analisimodificando le impostazioni del presentato NASTRAN Case Control.

5.3 Impostazioni per analisi con massa concentratao distribuita

Nell’analisi strutturale di tipo modale vi puo essere l’esigenza di descrivere ilmodello con diverse proprieta della massa. Essa infatti puo essere descrittacome massa concentrata e come massa distribuita.Tra questi due modi di descrivere il modello vi sono delle differenze, non le

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5.3. IMPOSTAZIONI PER ANALISI CON MASSA CONCENTRATA ODISTRIBUITA

Fig. 5.1: box di dialogo delle impostazioni di default

tratteremo in questo ambito, che si manifestano macroscopicamente nell’alterazionedelle frequenze di vibrazione propria.Nel caso della massa concentrata le frequenze risulteranno minorate; mentrenel caso della massa distribuita avremo una maggiorazione.Gia in passato avevamo messo in evidenza tale diversita descrittiva ed inparticolare si veda la nota a pia di pagina nel Cap. 2, §2.4.In tale nota si faceva riferimento a matrici di massa concentrata e consis-tente il che equivale a dire masse concentrate e distribuite. Ricordiamo che ilcalcolo della prima matrice e assai piu agevole della seconda che presupponeun computo di tipo integrale e quindi piu oneroso.L’utente puo impostare tale opzione di analisi nel box di dialogo NASTRANDynamic Analysis che si incontra nell’impostazione delle caratteristiche dianalisi modale riportato qui di seguito in Fig. 5.2.Piu precisamente si dovra selezionare Lumped se si desidera un’analisi che

consideri un modello a massa concentrata e Coupled per un modello a massadistribuita.

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5.4. IMPOSTAZIONI PER ANALISI MODALE

Fig. 5.2: Assegnazione delle caratteristiche di analisi

5.4 Impostazioni per analisi modale

Vi e una classe di problemi strutturali per cui e di secondaria importanzaconoscere la risposta modale in toto, sicuramente piu importante e ricercarela risposta della struttura in un intervallo di frequenze.Volendo concretizzare questo concetto possiamo fare un esempio tipico delcampo spaziale.Nella progettazione di un satellite che deve essere trasportato da un lancia-tore e interesse del progettista che le frequenze del pay load non coincidanocon quelle generate dal vettore, oppure che le frequenze del modem per iltrasferimento dati non siano coincidenti con quelle del sistema satellitare.Dato questo tipo di problemi vogliamo quindi imporre un intervallo di ricercaal cui interno sia presenta la frequenza critica. Indicando con la lettera ωCR

la frequenza critica che vogliamo studiare e con δ un valore di sicurezzadell’intorno di indagine il nostro intervallo sara dato da [ωCR−δ;ω−CR+δ].Tornando all’esempio del lanciatore avremo che ωCR = 50 Hz ,δ = 10 Hzottenendo quindi l’intervallo [40; 60] Hz.L’inserimento di queste richieste puo essere effettuato durante l’esportazionedel file di analisi, quindi la creazione del file .nas, nella finestra NASTRANDynamic Analysis nel box Range of Interest.Nei due spazi dovremo assegnare il limite inferiore ed il limite superiore delnostro intervallo, nell’esempio 40 Hz e 60 Hz, come mostrato in Fig. 5.3.

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5.4. IMPOSTAZIONI PER ANALISI MODALE

Abbiamo sempre ricordato l’importanza di saper riconoscere le impostazioni

Fig. 5.3: Selezione dell’intervallo delle frequenze di analisi

all’interno del file InPut.nas, mi sembra quindi doveroso mostrare la stringadi comando corrispondente alla imposizione della ricerca di modi propri divibrazione all’interno del range selezionato. Tale stringa e qui di seguitoriportata

Nel caso in cui si volesse modificare l’intervallo, portandolo ad [30; 70]Hz , non ci e bisogno di rimettere mano sul modello attraverso il FEMAP,bastera modificare i valori desiderati nella stringa come mostrato nella sec-onda immagine riportata qui sotto

Abbiamo quindi compreso l’importanza di dominare il file di InPut da

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5.5. VISUALIZZAZIONE DELLE OPZIONI DI DEFAULT

un punto di vista di modifica delle informazioni contenute. Talvolta mod-ificare delle proprieta del modello agendo sul software FEMAP puo essereun’operazione complessa e dispendiosa da un punto di vista di tempo, siricorda infatti che si possono realizzare modelli di elevata complessita.Agire sul file di analisi puo essere un metodo rapido e veloce per otteneregli stessi risultati in modo sicuro controllando in modo attento ci che si stafacendo. E possibile modificare non solo le impostazioni dell’analisi richiestama anche il modello, basta agire nel modo giusto, nel posto giusto. Inviti-amo pertanto a saper dominare in maniera agevole tale file in previsione diapplicazioni future.

5.5 Visualizzazione delle opzioni di default

Abbiamo gia ampiamente discusso su quelle che potrebbero essere le possibilirichieste di calcolo che vorremmo vedere soddisfatte e, a seguito di analisi,visualizzate ma ancora non le abbiamo indicate in modo approfondito.Pensiamo quindi a quello che potremmo desiderare:

• Componenti delle traslazioni, lungo l’asse x, l’asse y e l’asse z;

• Componenti delle rotazioni, attorno all’asse x, attorno all’asse y eattorno all’asse z;

• Componenti delle Forze lungo x, y e z;

• Componenti dei momenti attorno ad x, y e z;

• Componenti delle forze risultati di vincolo nelle tre direzioni;

• Componenti dei momenti vincolari attorno alle tre direzioni dello spazio;

• Forze e sforzi assiali degli elementi trave;

• Forze e sforzi tangenziali degli elementi trave;

• Forze e sforzi assiali degli elementi piastra;

• Forze e sforzi tangenziali degli elementi piastra;

• Sforzi nelle piastre secondo Von Mises;

Oltre alle possibilita indicate vi possono essere altre possibili richieste didefault che e possibile visualizzare, lasciamo al lettore la curiosita di scoprireil loro significato e la loro utilizzazione.Questo non perche non si voglia spiegare o illustrare uno per uno i varicasi, bensı perche la trattazione diverrebbe prolissa e noiosa dovendo essereridotta per necessita ad un mero elenco. Ecco quindi che la mia decisione

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5.5. VISUALIZZAZIONE DELLE OPZIONI DI DEFAULT

viene ad essere giustificata e spero compresa.Illustriamo adesso il modo con cui visualizzare tali possibili risultati. Ilprocedimento e comune a tutti per cui si fara un esempio e per le altreopzioni si da per scontato che riproponendo tale procedura si perverra allacorretta visualizzazione. Scegliamo dunque un opzione da visualizzare. Lamia scelta ricade sugli sforzi di Von Mises nel caso della piastra che abbiamointrodotto nel Cap. 4.Individuiamo quindi la procedura da seguire:

1. Avviare il programma FEMAP ;

2. Costruire il ogni sua parte il modello;

3. Analizzare il modello con il processore NASTRAN ;

4. Caricare i risultati all’interno del post-processore FEMAP ;

5. Selezionare View dalla barra dei comandi, quindi scegliere Select;

6. Scegliere l’opzione Contour all’interno del box Contour Style;

7. Cliccare su Deformed and Contour Data;

8. Selezionare nel box Output Vectors l’opzione 7033.Plate Top Von-Mises Stresses in entrambi i campi Deformation and Contour;

9. Confermare le impostazioni con OK per due volte.

Fig. 5.4: Rappresentazione degli sfrozi di Von Mises

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5.6. IMPOSIZIONE DI CARICHI NON CONVENZIONALI

Quanto visibile in Fig. 5.4 sara quello che avrete ottenuto e potrete leggeregli sforzi sulla scala cromatica posta alla sinistra dello schermo.

5.6 Imposizione di carichi non convenzionali

Il software FEMAP ed il processore NASTRAN consentono di impostareed applicare al nostro modello strutturale carichi di tipo non convenzionale.In questo ambito non e il caso di trattare questi esempi in quanto si perderebbelo spirito della trattazione, che ricordo vuol essere un diario di bordo del nav-igante strutturista e non un manuale d’uso.Ritengo che sia utile pero introdurre l’argomento per consentire all’utentela conoscenza, seppur superficiale, dei mezzi che egli ha a sua disposizione.Quando si parla di carichi non convenzionali voglio indicare carichi dipen-denti dallo spazio, dal tempo etc.. Un classico caso di dipendenza spazialepotrebbe essere l’imposizione di un carico di tipo sinusoidale applicato aduna piastra, problema che sappiamo essere risolubile anche analiticamentetramite il metodo di Fourier se la piastra e appoggiata sui quattro lati.Ancora piu frequenti sono le situazioni in cui si vuole descrivere un caricodi tipo “time dependent” .Il principio base della modellizzazione di queste particolari situazioni e quellodi legare il carico da applicare ad una funzione analitica che viene tabulata,quindi applicata secondo criteri di tipo modellistici, e quindi sui nodi o suglielementi, oppure con criteri di tipo geometrici, legati quindi alla forma delcorpo.Le funzioni che si possono inserire sono le piu varie e consentono di rappre-sentare le diverse situazioni che si verificano nella realta.

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Capitolo 6

Materiali compositi

6.1 Breve introduzione ai materiali compositi

Con il passare del tempo si fa sempre piu importante e dominante l’uso deicosiddetti materiali compositi all’interno del settore industriale aeronautico.Il tempo trascorso dai primi anni Settanta ad oggi ha permesso alle indus-trie di portare avanti progetti di sviluppo di materiali che rappresentano ilfuturo date le loro peculiarita.Materiali compositi non vuole dire solamente materiale dalle ottime carat-teristiche meccaniche e ottima rispondenza ai requisiti aeronautici, vuoledire anche una gamma infinita di problematiche che mettono a dura provail pezzo meccanico con essi realizzato e la sua messa in esercizio.Date le innumerevoli complicazioni derivanti dalla natura stessa del materi-ale composito si e tutt’oggi in una fase di sviluppo anche se piuttosto avan-zata. E compito dell’ingegnere conoscere gran parte delle problematichelegate al mondo dei compositi al fine di una corretta e adeguata proget-tazione sia del materiali stesso che della struttura con essa realizzata. Ilettori mi permettano di riportare alla loro memoria poche nozioni basilarisul concetto di materiale composito in modo da poter rendere snella la trat-tazione sulla loro trattazione.Si definisce materiale composito un sistema multifasico composto da duegrandi famiglie di componenti la matrice, solitamente un polimero, e una fi-bra di rinforzo, in campo aeronautico si utilizzano fibre di carbonio, Kevlar®,vetro, etcGeneralmente la matrice presenta caratteristiche meccaniche assai scadenti(basso Modulo di Young, bassa resistenza agli sforzi siano essi assiali che tan-genziali) mentre la fibra presenta elevatissime caratteristiche meccaniche. Ilcompito di quest’ultima e quello di resistere ai carichi applicati; mentre com-pito della matrice e quello di mantenere la fibra nella posizione originaria etrasmettere i carichi nel modo piu diretto possibile.Tutto funzionerebbe nel modo perfetto se fossimo in presenza di una per-

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6.1. BREVE INTRODUZIONE AI MATERIALI COMPOSITI

fetta continuita materica tra la fibra e la matrice; non essendo cos ed essendopresente quella che viene indicata come interfaccia si vengono a creare prob-lemi legati a questa discontinuita come ad esempio il pull-out delle fibre o lapresenza di campi tensionali che tendono a far separare la fibra dalla matriceportando al collasso il componente.Detto cio e inquadrato brevemente alcune delle principali problematiche cor-relate all’utilizzo dei materiali compositi, mi sembra interessante andare aconsiderare il metodo di studio degli stessi.Data la multifasicita del composto materico e intuibile che si deve parlaredi materiali che sono ben lontani dal comportamento isotropico. In realtae difficile parlare anche di materiali ortotropo 2-D o 3-D si dovrebbe par-lare quindi di materiali anisotropi. Ricorrere a questo tipo di trattazionesarebbe molto dispendioso e poco proficuo, si formula dunque una ipotesiche semplifica enormemente la trattazione.L’ipotesi che viene fatta e quella di considerare la singola fibra come cilin-drica (in realta non lo e poiche si tratta di un migliaio di filamenti ritorti chenon danno una sezione regolare) avvolta da uno strato uniforme di matriceche bagna completamente la fibra (in realta data la irregolarita della sezionedi fibra la resina bagna solo una parte del rinforzo). In tal modo si e ottenutoun elemento rappresentativo di volume che se preso come elemento base per-mette di formulare delle approssimazioni e delle equazioni che descrivono ilmateriale come se esso fosse ortotropo 2-D. Le due direzioni preferenzialiche si individuano sono quelle parallele all’asse del cilindro di fibra e quellatrasversale al suddetto asse.Si ottiene quindi quanto e di seguito rappresentato in Fig. 6.1.Con queste ipotesi si puo impostare lo studio delle caratteristiche mecca-

Fig. 6.1: Elemento rappresentativo di volume

niche del materiale scelto ed andare avanti fino all’ottenimento di tutte legrandezze di cui si necessita.

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6.2. PROGETTAZIONE DEL MATERIALE COMPOSITO

Esistono diversi approcci per lo studio delle proprieta meccaniche, uno diquesti e conosciuto come “Regola delle miscele”. Tale approccio e assai sem-plice, fornisce risultati in prima approssimazione corretti ma ha il difetto dinon considerare eventuali difetti del materiale, cosa che alcune metodologiefanno.Lo studio delle caratteristiche e possibile se ci si riferisce ad un sistema el-ementare formato da tanti elementi rappresentativi di volume come quelliintrodotti. Tale sistema fa si che si consideri una lamina. La lamina daadesso in poi diventera per noi il concetto base della modellizzazione deimateriali compositi attraverso il software FEMAP.Tutti i materiali compositi di nostro interesse possono essere ridotti ad unainsieme ordinato di lamine elementari. Ad esempio pensando ad un classicolaminato si dovra pensare a un materiale composito dello spessore tipica-mente di 1.2 mm formato da 8 lamine elementari da 0.125 mm. Tali laminepotrebbero essere disposte in modo tale da essere sfasate fra di loro di ±45°.Mi riferisco a singole lamine del tipo prepreg , preimpregnate, che sovrap-poste fra di loro al netto della polimerizzazione mi forniscono, con una certatolleranza, il laminato da 1.2 mm.Con il FEMAP altro non si deve fare che creare esattamente tale laminatofornendo il tipo di fibra o di materiale di cui esso e composto, il relativospessore ed il relativo orientamento rispetto a una terna scelta dall’utente.Passiamo adesso a comprendere quelle che sono le istruzioni da fornire alNASTRAN in modo tale che comprenda l’utilizzazione di un materiale com-posito.Al NASTRAN si deve fornire una descrizione completa delle diverse laminecomponenti il laminato e si deve creare quella che viene denominata PCOMP ,stante ad indicare il composito in cui si vengono descritte le caratteristichedi orientazione e spessore di ogni singola lamina.

6.2 Progettazione del materiale composito

Per poter definire un esempio la cui comprensibilita sia semplice e al con-tempo sia significativo ai nostri fini si deve cercare di scegliere un caso lecui caratteristiche siano note a priori. A tale scopo prendero come sistemastrutturale il caso della struttura bidimensionale trattato in precedenza inmodo tale che si possano confrontare a posteriori i risultati e giudicarne concognizione la bonta di soluzione.Ricordando brevemente i dati del problema avremo che la piastra possiedele seguente caratteristiche geometriche:

a = 1 m b = 1 m t = 0.002 m

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6.2. PROGETTAZIONE DEL MATERIALE COMPOSITO

Una volta ricordate tali caratteristiche possiamo passare alla fase model-listica ricordando che del problema di cui al Cap. 4 stiamo trattando ladescrizione del materiale costitutivo di cui al paragrafo §4.3.2.Prima operazione che si deve effettuare per descrivere un laminato compos-ito e quella di decidere in modo razionale i materiali costituenti.La piastra in materiale composito che si vuole creare sara costituita da unamatrice epossidica e fibra di carbonio. Una volta individuato il materiale alivello di classe di appartenenza bisogna decidere con precisione quale, tra itanti disponibili in commercio, si dovr utilizzare.Alla luce delle considerazioni fatte ho scelto il seguente materiale HS/Ep. Sitratta di una fibra ad alta resistenza Hight Strenght in matrice epossidica. Diquesti due elementi si conoscono dalla letteratura le caratteristiche mecca-niche riferite ai due componenti isolati, si devono percio calcolare le carat-teristiche del materiale finale che verra utilizzato per comporre le singolelamine di cui si comporra la piastra in studio.Riportiamo qui a seguire le caratteristiche meccaniche per ognuno dei duemateriali introdotti.

• Fibra di carbonio

- Denominazione: T500 (HS)

- Modulo di Young E11: 235 GPa


- Coefficiente di Poisson ν12: 0.29


- Modulo di Taglio G12: 24 GPa

- Modulo di Taglio G21: 5 GPa

- Densita ρ: 1744 kg/m3

• Matrice epossidica

- Denominazione: Courtaulds 3501

- Modulo di Young E: 4.1 GPa

- Coefficiente di Poisson ν: 0.39

- Modulo di taglio G: 1.6 GPa

- Densita ρ: 1280 kg/m3

Si notera immediatamente come per la fibra di rinforzo ci sia una mag-giore ricchezza di dati, cio si deve attribuire al fatto che la matrice e statamodellizzata come materiale di per se isotropo; mentre il rinforzo e statomodellizzato come materiale ortotropo 2-D. L’unione di queste due fasi darluogo ad un materiale bifasico ortotropo 2-D.

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6.3. CREAZIONE DEL MATERIALE COMPOSITO CON FEMAP

Le caratteristiche meccaniche finali si possono decidere per mezzo dell’applicazionedella “Regola delle miscele”, ad esempio, imponendo un volume di fibra Vf

pari al Vf = 60% . Si e scelto questo valore di volume di fibra poiche si puodimostrare che con tale valore il materiale ottenuto ha le migliori caratter-istiche in termini di resistenza agli sforzi.Applichiamo dunque la Regola delle miscele ed otteniamo le caratteristichefinali del materiale selezionato le quali risultano essere le seguenti:


- Modulo di Young E22: 6.90 GPa



- Modulo di Taglio G12: 4.48 GPa

- Modulo di Taglio G21: 4.48 GPa

- Densita ρ: 1280 kg/m3 1578 kg/m3

Una volta conosciute le caratteristiche intrinseche del materiale si deve pro-gettare la sovrapposizione delle lamine che poi andranno a formare il lami-nato vero e proprio.Per motivi che non voglio stare qui ad indagare adottiamo una configu-razione delle lamine simmetriche rispetto al piano medio del lamina da uti-lizzare. In particolare la l’altezza della lamina e di 2 mm che suddivisa inlamine elementari dal tipico spessore di 0.125 mm ci fornisce un numero dilamine componenti di 16. Sfruttando la condizione di simmetria del materi-ale composito dobbiamo per cio descrivere un totale di 8 lamine che verrannoorientate secondo la seguente disposizione 0°, 90°, +45°, −45°, −45°, +45°,90 °, 0°.Una volta fatto cio e considerate tutte le possibili variabili si puo procederealla creazione del materiale in ambito FEMAP.

6.3 Creazione del materiale composito con FEMAP

Senza soffermarsi ulteriormente sulle procedure che precedono la determi-nazione del materiale iniziamo a creare il nostro materiale composito seguendola qui descritta procedura.

1. Dal box di dialogo Model scegliere l’opzione Material;

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2. Una volta aperto la finestra relativa finestra di dialogo inserire il nomedel materiale, Carbon, nell’apposito spazio Title e appuntarsi il nu-mero identificativo del materiale perche necessario in seguito. Talenumero si puo leggere nell’apposito spazio ID, in questo caso e il n°1;

3. Scegliere il tipo di materiale da definire, Orthotropic (2-D), dallafinestra di comando Type..., selezionando l’opzione con il puntatoredel mouse e confermare le impostazioni cliccando su OK. Per unamaggiore comprensione vedere Fig. 6.2;

Fig. 6.2: Creazione del materiale composito

4. Visualizzata la nuova maschera di inserimento dati passare all’inserimentodelle caratteristiche del materiale precedentemente individuate facendoattenzione che si possono inserire entrambi i moduli di elasticita, unsolo modulo di taglio nello spazio contraddistinto dalla dicitura ShearG12, ed il solo coefficiente di Poisson ν12. Oltre a cio inserire anchela densita nell’apposito spazio situato in basso a sinistra della finestradi dialogo;

5. Inseriti tutti i dati relativi al materiale costituente la singola laminasi puo ritenere conclusa la fase di creazione del materiale e si con-fermano quindi le impostazioni e le informazioni inserite cliccando suOK, successivamente si abbandona l’ambito di progettazione del ma-teriale cliccando su Cancel.

Ci troviamo a meta strada rispetto alla realizzazione del nostro laminato,si deve ora procedere alla descrizione di come e organizzata la disposizione

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delle diverse lamine che compongono il componente.Per concludere la descrizione del nostro nuovo componente seguiamo dunquei passi riportati qui di seguito:

1. Dal menu Model scegliere l’opzione Property...;

2. Inseire il nome della proprieta, che in questo caso e Composite, all’internodell’apposito spazio contraddistinto dalla dicitura Title;

3. Selezionare il tipo di elemento entrando nella finestra di dialogo chesi apre cliccando su Elem/Proprty Type... posizionato in alto asinistra, come indicato in Fig. 6.3;

Fig. 6.3: Assegnazione delle proprieta del composito

4. Nel box di dialogo appena aperto selezionare Laminate all’interno delbox Plane Elements a destra della finestra e confermare la selezionecliccando su OK;

5. A questo punto inserire le caratteristiche delle lamine a partire dal nu-mero identificativo del materiale indicato come ID nel cui corrispon-dente campo si dovra inserire il numero del materiale di cui e costituitala lamina, nel nostro caso tutte le lamine avranno ID 1 ;

6. Nella seconda casella contraddistinta dall’etichetta Thickness si dovrainserire lo spessore della lamina, nel nostro caso inseriremo 125e − 6per indicare 0.000125 m;

70


7. In ultimo nello spazio Angle inseriremo l’angolo in gradi secondo cuie orientata la lamina. Al variare della lamina inseriremo di volta involta la progressione 0°, 90°, +45°, −45°, −45°, +45°, 90 °, 0°;

8. Ultima operazione che si deve compiere e quella di imporre la con-dizione di simmetria del laminato che automaticamente porta a 16il numero di lamine inserite senza che l’utente debba inserirle tutte.Questa operazione si effettua attivando l’opzione Symmetric Layersposta in basso a sinistra della finestra di dialogo;

9. Accetteremo le impostazione cliccando prima su OK e poi abban-doneremo l’ambito scegliendo Cancel. Tutte le operazioni eseguitesono visibili in Fig. 6.4 di seguito presentata.

Fig. 6.4: Assegnazioni delle caratteristiche del laminato

Una volta terminate tutte le operazioni descritte si e pronti per procederenell’assegnazione della proprieta alla struttura studiata, la nostra piastra2-D di cui faremo l’analisi secondo le normali abitudini.Ritengo interessante da mostrare le linee di codice che si riferiscono allacreazione del materiale composito e che si trovano nel file di InPut.nas.In Fig. 6.5 sono riportate le righe di comando inserite dal compilatore proNASTRAN dove si riscontra la presenza di materiali ortotropi indicati conla sigla MAT8 e del relativo elemento in materiale composito individuatodalla scheda PCOMP come era stato detto in precedenza.Nel momento stesso che si andra a creare il file di InPut per poi dare inizio

all’analisi verra comunicato un messaggio di errore che segnala la non as-segnazione di assi di orientazione del materiale composito. Tale errore non

71


Fig. 6.5: righe di programma della PCOMP

ci riguarda ne tanto meno influenza l’analisi. Esso si riferisce ad altri tipidi soluzione in cui si vogliono studiare le problematiche relative ai materialicompositi precedentemente accennate come ad esempio la delaminazione, glisforzi interlaminari o i problemi di interfaccia tra matrice e fibra di rinforzo.A questo punto ritengo di aver esaurito le argomentazioni che mi ero ripromessodi affrontare in questo viaggio fra realta pratiche e realta teoriche che speroabbia fatto avvicinare il lettore non solo al mondo degli elementi finiti eal mondo dei software di nuova generazione, ma soprattutto all’avvincentemondo strutturale che permette la comprensione del funzionamento di buonaparte della realt che ci circonda.

Con cio auguro a tutti buon lavoro!

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Appendice A

Elementi finiti

Come e stato gia detto nei precedenti capitoli la scelta del tipo di elementoopportuno nella descrizione del modello utilizzato per condurre l’analisipregiudica la correttezza della descrizione. Una volta individuato la classedell’elemento, monodimensionale o bidimensionale o tridimensionale, e aus-picabile scegliere anche il piu adeguato elemento al fine di raffinare semprepiu la capacita rappresentativa della realta.Ogni singolo tipo di elemento ha delle sue peculiarita ben precise che mini-mamente l’analista deve conoscere per poter operare una scelta cosciente equindi corretta. A tal proposito riporto qui di seguito i diversi tipi di ele-mento suddivisi in base alle loro caratteristiche geometriche di appartenenza.

A.1 Elementi monodimensionali

• ROD : E il piu semplice elemento 1-D che si possa avere. Esso hala capacita di descrivere fenomeni legati alle sollecitazioni assiali etorsionali quindi tipicamente utilizzato per descrivere strutture di tiporeticolare;

• TUBE : Elemento con caratteristiche affini a quelle del ROD caratter-izzato da una sezione chiaramente di tipo circolare che condiziona ilcalcolo delle rigidezze assiali e torsionali in quanto computate in basea diametro e spessore;

• BAR: Tale tipologia di elemento e quello che risponde in pieno alleipotesi della teoria classica delle travi, le sue caratteristiche di man-tengono costanti e ha come caratteristica la coincidenza dell’asse elas-tico con l’asse neutro. Presenta capacita descrittiva di fenomeni sol-lecitazionali assiali, torsionali e flessionali oltre alla possibilita di risen-tire dei fenomeni legati alle forze di taglio lungo due direzioni recip-rocamente normali. Non presenta pero capacita descrittiva rispetto ai

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A.2. ELEMENTI BIDIMENSIONALI

fenomeni di ingobbamento da warping ;

• BEAM : Se l’elemento BAR era in grado di descrivere la maggior partedelle travi ad asse rettilineo, questo elemento e in grado di descriverletutte. Presenta caratteristiche identiche al BAR ma in piu le proprietadella sezione resistente possono variare, fino ad un massimo di novevolte, lungo l’asse, asse elastico ed asse neutro possono non coincidere,considera e descrive gli effetti della rastremazione nel caso delle forzedi taglio, permette la considerazione di masse non strutturali con bari-centro non coincidente con quello delle strutturali, consente infine laconsiderazione di momenti di inerzia per le masse torsionali.

• BEND : Fino ad ora si sono esaminati elementi che caratterizzavanostrutture monodimensionali ad asse rettilineo, in questo caso si ha lapossibilita di descrivere strutture a supporto curvilineo considerandocaratteristiche identiche a quelle dell’elemento BAR.

A.2 Elementi bidimensionali

• TRIA3 : Descrive comportamenti di sollecitazione costante lungo lospessore ed e caratterizzato da curvatura costante. Questa scarsita diproprieta descrittive fa si che venga fornita una soluzione con un bassogrado di accuratezza. La sua adozione e consigliabile nelle zone in cuiavviene un passaggio da un tipo di partizione ad un altro. Utile anchenella descrizione delle regioni di discontinuita come nel caso dei fori;

• TRIA6 : Questo elemento e del tutto simile al precedente, offre in piutre nodi intermedi con possibilita di migliorare l’integrazione con altrielementi strutturali;

• QUAD4 : E il piu versatile degli elementi bidimensionali possedendouna buona capacita descrittiva. I suoi quattro nodi di vertice nondevono essere necessariamente complanari e questo offre la possibilitadi un largo impiego. Nel caso di comportamento a membrana utilizzaun sistema di determinazione degli sforzi planari di tipo integrale maridotto. Praticamente esatto il suo comportamento a flessione concurvatura che varia linearmente;

• QUAD8 : Analogo all’elemento QUAD4 ma con 4 nodi intermedi inpiu. La sua applicazione ideale e nei corpi a curvatura singola comead esempio le superfici cilindriche mentre e minore la sua attitudine adescrivere superfici a doppia curvatura come i corpi sferici. Rispettoal QUAD4, qualora venga usato per massimizzare il risultato, forniscerisultati piu accurati;

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A.3. ELEMENTI TRIDIMENSIONALI

• SHEAR: Ultimo degli elementi bidimensionali concentra la sua ca-pacita descrittiva nell’ambito delle forze di taglio all’interno dell’elemento.Gli elementi SHEAR sono tipicamente adottati in campo aeronauticoperche ideali per descrivere comportamenti a piastra o a guscio rin-forzato.

A.3 Elementi tridimensionali

• PENTA: Tale elemento solido a 5 facce utilizza due differenti insiemidi integrazione per il computo degli spostamenti relativi al numero dinodi presenti sul bordo dell’elemento;

• HEXA: Del tutto uguale al precedente PENTA ma presenta 6 facce;

• HEXA20 : Tipo di elemento simile all’HEXA ma ha la peculiarita diprendere in considerazione solo materiali isotropi . Viene adottatoinoltre per la descrizione di corpi costituiti da materiali pressoche in-compressibili il cui coefficiente di Poisson si aggira attorno a 0.5;

• TETRA: Questo tipo di elemento solido ha la caratteristica di avereuno stato di deformazione lineare a causa del fatto che sfrutta funzionidi forma di tipo quadratico. Nel caso si omettano i nodi ai bordi lostato di sollecitazione diviene costante, le funzioni di forma si sonoridotte ad espressioni di tipo lineare. Viene adottato come elementodi riempimento all’interno di discretizzazioni fatte con altri elementi.Se si vogliono descrivere ampie regioni del corpo soggette ad alte con-centrazioni di sollecitazioni con tali elementi si dovra presupporre unadiscretizzazione molto fitta;

• TRIAX6 : Impiegato nella descrizione di solidi di rivoluzioni sollecitatida carichi assialsimmetrici, possono descrivere corpi di materiale isotropoe ortotropo.

A.4 Altri tipi di elementi

• ELAS : Adatto alla descrizione di rigidezze concentrate. Questo tipodi elemento e in grado di connettere sia un DOF ed un supportoinamovibile, sia due DOF ;

• GENEL: Volendo descrivere la rigidezza di una sotto-struttura con-nessa ad n nodi inserendo direttamente i coefficienti delle matrici dimassa e rigidezza allora e consigliabile l’adozione di tale tipo di ele-mento;

• DMIG : Con caratteristiche uguali al GENEL e questo elemento che inpiu consente l’inserimento di matrici non simmetriche e complesse;

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A.4. ALTRI TIPI DI ELEMENTI

• CONM2 : Se si necessita inserire momenti e prodotti di inerzia con-centrati relativi a particolari nodi allora e il caso di utilizzare questoultimo tipo di elemento che il codice NASTRAN mette a disposizione.

76

Appendice B

Vincoli strutturali

Quando si parla di vincolo strutturale abbiamo gia ricordato che vogliamoriferirci ad un dispositivo meccanico in grado di limitare i gradi di libertadella nostra struttura. Quando si parla di gradi di liberta intendiamo riferirciagli spostamenti e alle rotazioni che il corpo puo compiere nello spazio tridi-mensionale.Riferendoci ad un corpo in uno spazio 3-D avremo 6 gradi di liberta di questocorpo, tre relativi allo spostamento e 3 relativi alle rotazioni. Avremo quindirelativamente agli spostamenti

{s} =

u(x)v(y)w(z)

(B.1)

e relativamente alle rotazioni

{r} =

φ(x)θ(y)ψ(z)

(B.2)

Per avere una percezione piu intuitiva di quanto espresso nelle equazioniEqq. B.1, B.2 andiamo a visualizzare la situazione descritta in Fig. B.1Il NASTRAN riceve le informazioni vincolari legando ad ogni grado di

liberta un numero progressivo. Per ovvi motivi tale numerazione contera seielementi GdL(i) = DOF (i)1. con i = 1, ..., 6.In particolare si attribuisce le seguente successione riportata nella seguenteTab. B.1: In virtu di cio volendo riferirsi all’esempio della trave incastratadel Cap. 3 andremo a trovare una condizione di vincolo che annovera tuttie sei i DOF ottenendo una rappresentazione del tipo mostrata in Fig. B.2Dovendo lavorare con il preprocessore si ha uno sdoppiamento relativamenteall’inserimento dati e alla visualizzazione degli stessi inseriti. Quando si

1GdL = Gradi di Liberta. DOF e la traduzione inglese di GdL ed e acronimo di Degreeof Freedom

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Fig. B.1: Spostementi e rotazioni relativi al sistema di riferimento adottato

Sigla Descrizione1 vincolo alla traslazione lungo l’asse x2 vincolo alla traslazione lungo l’asse y3 vincolo alla traslazione lungo l’asse z4 vincolo alla rotazione attorno l’asse x5 vincolo alla rotazione attorno l’asse y6 vincolo alla rotazione attorno l’asse z

Tab. B.1: Vincoli dei gradi di liberta

78

B.1. CLASSICHE CONDIZIONI DI VINCOLO

Fig. B.2: Esempio di visualizzazione delle condizioni vincolari

utilizza il comando di definizione dei vincoli (Constrain) ci si trova davantia delle sigle alfanumeriche che si riferiscono ai numeri prima indicati, ed inparticolare seguendo la notazione inglese si ha quanto riportato in Tab. B.2

Sigla Descrizione DOF corrispondenteT1 Translation along axis 1 1T2 Translation along axis 2 2T3 Translation along axis 3 3R1 Rotation about axis 1 4R2 Rotation about axis 2 5R3 Rotation about axis 3 6

Tab. B.2: Condizioni vincolari

B.1 Classiche condizioni di vincolo

In questo paragrafo sono riportate le condizioni classiche di vincolo che co-munemente possono essere individuate in un problema strutturale. Al finedi facilitare la gestione e la padronanza del programma riporto qui di se-guito le diverse possibilita di vincolo e le relative indicazioni che devono

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B.1. CLASSICHE CONDIZIONI DI VINCOLO

essere fornite al FEMAP, nonche al NASTRAN per realizzare la condizionedesiderata.

- Incastro: Nel caso di condizione di incastro avremo che tutti i DOFsono limitati per cui avremo: T1 - T2 - T3 - R1 - R2 - R3. Nellinguaggio FEMAP, ed in lingua inglese, tale condizione viene indicatacon il termine Fixed ;

- Appoggio: L’appoggio impedendo lo spostamento ma consentendo larotazione vedra limitati i soli termini di traslazione: T1 - T2 - T3.Questa condizione vincolare puo essere ottenuta scegliendo, nel box didialogo dei vincoli, l’opzione Pinned ;

- Carrello: Tale condizioni non e desrivibile in un caso generale perchei DOF limitati saranno diversi da caso a caso. In generale diremoche tale meccanismo consente le rotazioni e lo spostamento in una di-rezione, se siamo in ambito 2-D, mentre lo consente in due dimensioninel caso di problemi 3-D. Si ha quindi che una delle tre direzioni esempre fissata, ed in particolare quella ortogonale al piano di scorri-mento;

- Glifo: Ancora una volta non si possono dare indicazioni piu preciseper questo tipo di vincolo in quanto dipendente dal tipo di problemache si sta risolvendo. In via del tutto generale ricordiamo che usandoquesta condizione di vincolo si limitano le rotazioni e si consentono letraslazioni in una o due direzioni a seconda che il problema sia 2-D o3-D, lasciando cosı fissa la terza traslazione in direzione perpendicolareal piano di scorrimento.

80

Appendice C

Definizione del numero dielementi

La determinazione del numero di elementi necessari alla corretta discretiz-zazione della struttura e uno dei principali nodi dell’analisi eseguita con ilmetodo FEM.Come gia accennato in precedenza la scelta di un numero n di elementi oun numero m comporta una sostanziale differenza.Se individuiamo la soluzione esatta con il simbolo S e con S∗(n) , dove ne il numero di elementi e rispettivamente (n + 1) e il numero dei nodi, lasoluzione dipendente dalla quantita di elementi potremo individuare unarelazione che metta in corrispondenza tali grandezze, ovvero

S = limn→∞S∗(n) (C.1)

E ovviamente impensabile e improponibile pensare di lavorare con una cosıalto numero di elementi per questo si cerca un criterio piu semplice e veloceper la determinazione di una adeguato numero di elementi.Introducendo la quantita ε(n) indicativa dell’errore commesso nell’approssimazionepossiamo andare a determinare il valore nel numero di elementi N suffici-enti, in base alle nostre necessita, per descrivere la struttura. Detto cio larelazione C.1 diviene la seguente

limn→N

S∗(n) = S + ε(n) (C.2)

Tale relazione a sicuramente un significato piu pratico.In merito alla quantificazione della grandezza ε(n) diremo che questa deveessere un valore scelto dall’analista ricordando che per essa vale la relazione

limn→N

ε(n) = 0 (C.3)

Una volta capito il concetto alla base, la minimizzazione della quantita siamoora in grado di proiettarci sul metodo di minimizzazione.

81

C.1. METODO DI CONVERGENZA

C.1 Metodo di convergenza

La strada per la risoluzione della questione precedentemente posta in evi-denza e indicata dal cosiddetto Metodo di convergenza. Questo metodo puoavere sia un approccio di tipo statico, basato sulla risposta ad una certa sol-lecitazione, sia un approccio di tipo modale, basato quindi sulle frequenze divibrazione propria della struttura, che ricordiamo essere una caratteristicaintrinseca.Pensando a strutture di medio alta complessita il Metodo di convergenzastatico implica una molteplicita di operazioni che accrescono la complessitarealizzativa del modello. Ad esempio si potrebbe avere a che fare con dis-tribuzioni di carico complesse.Per semplificare il problema si ricorre al Metodo di convergenza modale.Essendo un approccio in frequenza non vi e necessita di imposizione dellecondizioni di carico per cui una volta creata la geometria ed il modello, edimposti i vincoli saremo pronti per eseguire l’analisi di convergenza modale.Riportiamo di seguito un esempio di analisi legato ad una trave con con-dizioni d’estremita di incastro-libera discretizzata dapprima con 5 elementi,poi con 10, 15, 20, 25 ed infine 100.Creato il modello si e richiesto al codice NASTRAN di estrarre le prime20 frequenze in tutti e 6 i casi. Avendo sotto mano i file di OutPut si eandati a confrontare le frequenze e si e calcolata la variazione e la variazionepercentuale. I risultati ottenuti sono i seguenti esposte in Tab. C.1.

N° 6 nd. 11 nd 16 nd. 21 nd. 26 nd. 101 nd.

1 2,438E+00 2,47E+00 2,478E+00 2,480E+00 2,481E+00 2,483E+002 4,058E+00 4,11E+00 4,124E+00 4,128E+00 4,130E+00 4,132E+003 1,464E+01 1,53E+01 1,545E+01 1,550E+01 1,552E+01 1,556E+014 2,437E+01 2,55E+01 2,571E+01 2,579E+01 2,583E+01 2,589E+015 3,951E+01 4,25E+01 4,307E+01 4,328E+01 4,339E+01 4,356E+016 6,575E+01 7,07E+01 7,167E+01 7,203E+01 7,220E+01 7,248E+017 7,374E+01 8,23E+01 8,399E+01 8,459E+01 8,487E+01 8,534E+018 1,080E+02 1,35E+02 1,382E+02 1,394E+02 1,400E+02 1,410E+029 1,227E+02 1,37E+02 1,397E+02 1,407E+02 1,412E+02 1,420E+0210 1,797E+02 1,98E+02 2,053E+02 2,077E+02 2,088E+02 2,106E+0211 1,273E+03 2,24E+02 2,298E+02 2,320E+02 2,330E+02 2,346E+0212 3,694E+03 2,71E+02 2,851E+02 2,892E+02 2,911E+02 2,941E+0213 5,754E+03 3,30E+02 3,415E+02 3,454E+02 3,473E+02 3,503E+0214 7,250E+03 3,49E+02 3,769E+02 3,838E+02 3,867E+02 3,915E+0215 8,037E+03 4,20E+02 4,740E+02 4,809E+02 4,840E+02 4,891E+0216 ********* 4,51E+02 4,797E+02 4,911E+02 4,956E+02 5,027E+0217 ********* 4,70E+02 5,915E+02 6,106E+02 6,176E+02 6,277E+0218 ********* 5,79E+02 6,264E+02 6,378E+02 6,428E+02 6,507E+0219 ********* 6,97E+02 7,088E+02 7,418E+02 7,523E+02 7,666E+0220 ********* 7,81E+02 7,969E+02 8,158E+02 8,235E+02 8,353E+02

Tab. C.1: Frequenze proprie di vibrazione

82


Come si puo direttamente osservare nel primo caso la struttura non haabbastanza elementi perche possano essere calcolate le prime 30 frequenze.Negli altri casi invece esse vengono estratte, ma osservandone meglio i valorici si accorge che esse differiscono molto.Di queste differenze tra il set di dati (k + 1) − esimo ed il k − esimo sipuo visualizzare osservando la Fig. C.1 riportata qui a seguire da cui sivede come all’aumentare dei nodi della struttura la variazione di attenua finquando tra la configurazione a 26 nodi e quella a 101 non si registra piu unagrande variazione.Dire che la variazione non e assai rilevante significa aver raggiunto un grado

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10000

−5000

0

5000Differenza tra 2o e 1o set di dati

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

100


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10


Fig. C.1: Differenze tra le frequenze al variare dei nodi

di approssimazione soddisfacente in altre parole si e minimizzato l’errore ε(n)scopo dell’analisi per la convergenza modale.Si deve pero essere sicuri di quanto detto e a tal proposito di vuole grafi-care anche l’andamento delle variazioni percentuali che riflettono, in altramaniera, il modo di variare della soluzione, offrendo al lettore una secondachiave di lettura che si spera sia concorde con la precedente.

83


In Fig. C.2 e stato riportato l’andamento delle variazioni percentuali del(k + 1)− esimo set di dati rispetto al k − esimo, quello che ne emerge cheaumentando i nodi la variazioni diventa sempre piu irrilevante alle bassefrequenze mostrando un accordo ottimale con quanto gia detto.Rappresentazione piu consona della convergenza modale e quella che coin-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−100

−50

0

50Variazione percentuale tra il 2o ed il 1o set di dati

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

Variazione percentuale tra il 4o ed il 3o set di dati

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1


Fig. C.2: Variazioni percentuali tra le frequenze al variare dei nodi

volge direttamente le frequenze ed il numero dei nodi del modello utilizzato.Per essere precisi non si utilizza il numero dei nodi, bensı il suo inverso.Questo modo di procedere fa si che la rappresentazione grafica suggeriscaun andamento molto spesso monotono decrescente o crescente, talvolta sipuo presentare anche l’andamento oscillatorio, della soluzione.In questo caso l’andamento e monotono decrescente e proseguendo la trai-ettoria si vede che la curva interseca l’asse delle ordinate in unico punto.Questo punto ha un significato assai ben preciso, infatti esso rappresenta ilpunto di tangenza orizzontale della curva ed inoltre, cosa ancora piu impor-tante, rappresenta il valore teorico analitico della frequenza.Utilizzando tale chiave di lettura si vede con facilita che le frequenze basse

84


hanno un andamento piu vicino all tangenza orizzontale; mentre le altefrequenze stentano ad avvicinarsi a questo comportamento che puo essereraggiunto solo aumentando il numero dei nodi del sistema strutturale.Nella seguente Fig. C.3 e possibile osservare e apprezzare tutto cio che estato detto in proposito della convergenza modale.

0 0.05 0.1 0.15 0.22.43

2.44

2.45

2.46

2.47

2.48

2.49

2.51o frequenza propria

1/n

freq

uenz

a −

Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.24.05

4.06

4.07

4.08

4.09

4.1

4.11

4.12

4.13


1/n

freq

uenz

a −

Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.214.6

14.8

15

15.2

15.4


1/n

freq

uenz

a −

Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.224

24.5

25

25.5

264o frequenza propria

1/n

freq

uenz

a −

Hz

Fig. C.3: Andamento delle prime quattro frequenze proprie del sistema

85

Appendice D

Vettore proiezione

Nell’assegnazione della proprieta prescelta in ambito monodimensionale, quindielementi di tipo BAR e BEAM il preprocessore richiede l’inserimento diquello che viene definito come Vector Locate - Define Element OrientationVector.Tale richiesta corrisponde all’assegnazione di un vettore, va bene anche unversore, di orientazione dell’elemento monodimensionale. Sembrerebbe cheavendo N elementi orientare nello spazio si debbano esprimere N vettori oversori che orientino tale elemento.Iniziamo con il dire che non e una richiesta del preprocessore FEMAP, bensıe una richiesta del tipo “sine qua non” fatta dal codice di calcolo NASTRAN.Ovviamente stando cosı le cose qualunque preprocessore usassimo che abbiacome codice di calcolo il NASTRAN ci richiederebbe tale informazione.La richiesta viene fatta solo nel caso degli elementi BAR o BEAM perchesono quelli che possono lavorare in tutte le direzioni. Un elemento RODlavorando solo in direzione assiale viene posizionato seguendo la traccia ge-ometrica elaborata durante la modellizzazione geometrica.Chiariti tutti questi punti andiamo a dar risposta alla domanda presentatadal nucleo di calcolo.La necessita di immettere tale vettore nasce dal fatto che a priori non siconosce la relazione che intercorre tra il sistema riferimento del sistemastrutturale che chiameremo STRUTTURA e il sistema di riferimento pro-prio delle elemento che potremmo definire come riferimento BODY.Il piano su cui giace la sezione della trave viene indicato come piano genericoΠyz che deve essere messo in relazione con l’opportuno piano della strutturache si sta progettando. In tutti i casi l’asse x del sistema BODY coincidecon l’asse della trave pur essendo quest’ultimo non orientato come l’asse xdel sistema di riferimento STRUTTURA.Il versore ha quindi il compito di determinare la corretta orientazione dellasezione facendo si che il la normale al piano trasversale della trave coincidacon l’asse della stessa.

86

Prendiamo come esempio una sezione rettangolare come mostrato in Fig.D.1 qui di fianco riportata dove e messo in evidenza il sistema di riferimentoBODY contraddistinto dalla lettera B.

Fig. D.1: Sistsema di riferimento nel piano della sezione

Si prenda successivamente in considerazione l’asse della trave nel sistemadi riferimento STRTTURA individuato in Fig. D.2 qui di seguito dal pediceS.Affinche si ottenga la coincidenza dell’asse maggiore di inerzia YB si deve

Fig. D.2: Sistema di riferimento della struttura

operare l’impostazione di un versore che ha coordinate nello spazio

xi =

000

xf =

101

dove con i pedici i ed f si sono indicati il punto di inizio e il punto di fine;unendo questi due punti dello spazio si ha il versore desiderato.

87

Imponendo e impostando tale versore abbiamo detto che il piano Πyz delriferimento BODY deve coincidere con il piano Πxy del riferimento STRUT-TURA, che risulta essere esattamente il piano di giacitura del vettore im-messo nel codice di calcolo. Alla fine si ottiene la seguente rappresentazioneproposta in Fig. D.3 qui a seguire.

Questo ragionamento va effettuato per ogni sezione in modo che si ot-

Fig. D.3: Relazione tra i sistemi di riferimento locale e globale

tengano i risultati attesi. Esistono due strade per ottenere quanto speratodi cui la prima e quella appena descritta che richiede ogni singola volta delleconsiderazioni sulla struttura.La seconda strada e quella di far ruotare il sistema di riferimento dellasezione fin quando non si adegua alle nostre esigenze.

Í Rotazione della sezione resistente:

1. Dal menu Modify scegliere l’opzione Property;

2. Nella dialog-box che si aprira selezionare la famiglia di elementidi cui si vuole cambiare le propriet e confermare facendo click soOK;

3. All’interno della finestra, e la stessa utilizzata per la definizionedegli elementi, aprire il box di comando Shape;

4. All’interno di questa finestra andare nel box Orientation Di-rection (y) far ruotare il sistema di riferimento BODY in modotale che si attagli alle esigenze dell’utente;

5. Confermare le impostazioni facendo click su OK e poi ancora suOK;

6. Se tale procedura ha dato i suoi frutti bene, se cos non fossericominciare fin tanto che non si ottiene quanto voluto.

88

Appendice E

I materiali compositi

E.1 Inquadramento del problema

Il mondo della progettazione ingegneristica generalizzata, ed in particolarequella aerospaziale, ha spostato la sua attenzione dai tradizionali e collaudatimateriali di tipo metallico ai materiali compositi sfruttando le loro grandis-sime potenzilita. Dico potenzialita in quanto vi sono alcuni fenomeni relativialla realizzazione ed alla caratterizzazione che ancora non sono ben definiti,cio da luogo quindi ad una sospensione di giudizio per quanto riguarda lapiena affidabilita.A tal proposito vi e da sottolineare come questa insicurezza si traduca a liv-ello progettuale nella considerazione di fattori di sicurezza χ piu alti rispettoalla tradizionale progettazione con i materiali metallici. Sono proprio le nor-mative vigenti che stabiliscono tali maggiorazioni nei coefficienti di progetto.Ad esempio se nel calcolo di una normalissima piastra in lega di alluminio(i.e. AA2024T3) si adotta un coefficiente χ = 1.15 nel caso in cui la pi-astra sia realizzata in materiale composito (i.e. UHM/Ep) esso si innalzaad χ = 1.25. Questa limitazione quindi riduce notevolmente il marigine delguadagno in peso dato dall’utilizzo di un materiale caratterizzato in generaleda un bassa densit1a (tipici valori riscontrati 1300 ≤ ρ ≤ 1700 Kg/m3.A tutto cio si deve aggiungere il mondo delle lavorazioni tecnologiche chesicuramente condiziona in maniera significativa l’adozione di tali materialiche devono risultare eseguiti con la massima perizia immaginabile affinchepossano garantire le proprie caratteristiche per cui sono stati progettati.Ultimo elemento che non deve essere tralasciato nell’individuazione dei fat-tori interagenti nella progettazione con materiali compositi e la resistenza aicarichi che essi subiscono e di conseguenza lo studio della meccanica dellafrattura e dei problemi di fatica.

89

E.2. CARATTERIZZAZIONE MICROSCOPICA DEI MATERIALICOMPOSITI

E.2 Caratterizzazione microscopica dei materialicompositi

Prima di passare alla fase di caratterizzazione meccanica intendo ricordareche quelle che sono le caratteristiche microscopiche dei materiali compositi.Quando si parla di composito si intende un materiale multifasico costituitoda una matrice e da una fibra resistente. Esistono differenti tipi di matricecome ad esempio le polimeriche e le metalliche, ed esistono differenti tipi difibra. Tali fibre sono differenti per materiale, per formato, per utilizzazione.La maggior parte delle complicazioni che si hanno con i compositi derivadell’essere multifasici, questo perche la non omogeneita del continuo fa siche esista sempre una separazione, seppur di dimensioni infinitesime tra lamatrice e la fibra di rinforzo. Questa interfaccia rappresenta il luogo sicondensano tutti i maggiori problemi relativi a questa classe di materialie proprio questa porzioni di spazio rappresenta la frontiera degli studi cheoggi si stanno compiendo a livello sperimentale.Nello studio del continuo solido classico non vi sono problemi di modelliz-zazione e l’elemento di volume rappresentativo di tale continuo risulta essereil cubo. Su esso e facile applicare sforzi di ogni tipo e direzione mantenendoun buon livello di rappresentazione della realt1’a. Con i materiali compositia causa della multifasicita si e dovuto individuare un differente volume ma-teriale che potesse essere rappresentativo di quanto accade. Si e scelto comeelemento il seguente volume di Fig. E.1, ovvero un cilindro in cui esisteuna singola fibra (somma di n filamenti ed assunta circolare) contornata dauno strato costante di matrice. Nel momento in cui considero il continuomaterico formato da tutti e soli questi elementi rappresentativi di volumeallora posso intendere il mio solido come omogeneo e trarne tutti i vantaggidi tale assunzione.

Fig. E.1: Elemento rappresentativo di volume

L’assunzione di fibra circolare e di fatto un’ipotesi che gia di per se stessasemplifica moltissimo il problema in quanto attraverso un MSE (Microsco-pio a Scansione Elettronica) e possibile osservare che gli n filamenti checostituiscono la fibra e che vengono ritorti per migliorare le caratteristichemeccaniche forniscono una realta ben diversa. Questa realta, rappresentata

90

E.3. PERCORSO METODOLOGICO

in Fig. E.2, si presenta in modo non prevedibile e quindi non costante; eccoquindi l’origine della maggiorazione dei coefficienti di sicurezza.

Fig. E.2: Possibile sezione dell’elemento rappresentativo

Tale complessa realta che ancora oggi non si conosce del tutto rappre-senta uno dei punti di applicazione della moderna sperimentazione, la qualetenta di percorrere due diverse strade del tutto equivalenti. La prima stradae quella di innalzare il livello tecnologico tanto da portarlo a realizzare unafibra sempre piu perfetta e quindi sempre piu vicina al modello meccanicofatto, la seconda tenta di costituire un modello matematico sempre piu vi-cino alla realta. Questa seconda strada risulta essere piu ardua in quantoabbiamo appena ricordato il carattere di imprevedibilita.Ad accrescere l’aleatorieta delle prove di caratterizzazione meccanica e diutilizzo vi sono quelli che rappresentano i problemi principali dei mate-riali compositi che tipicamente possono essere individuati con il nome dipull out e delamination . Tali eventi che si verificano a carico del com-ponente realizzato in composito rappresentano due delle cause piu efficacidell’abbattimento delle caratteristiche meccaniche riscontrabili.Adesso che ho fornito una visione d’insieme del problema e possibile intro-durre quelle che sono le linee guida del percorso da seguire.

E.3 Percorso metodologico

Uno dei percorsi che puo essere seguito per caratterizzare i materiali com-positi e quello per cui i parte dal metodo piu semplice e con minor variabili,che quindi fornira risultati di primo approccio con pochi conti per poi af-finare il modello rendendolo sempre piu complesso in moto tale da elevare ilgrado di descrizione della realta.Il mondo dei compositi e assai vantaggioso per il progettista per una ragionefondamentale: permette di adottare il materiale cosı come il progettistastesso lo ha concepito, massimizzando cosı i risultati.L’obiettivo principale, alla luce dell’ultima affermazione, e quella di individ-uare un componente “atomico”, in modo che aggregando tutti i componenti

91

E.4. REGOLA DELLE MISCELE

si possa pervenire alla descrizione del nostro elaborato.Considerero come elemento “atomico” di questa trattazione la lamina dicomposito, intendendo con il termine lamina l’elemento base che sovrap-posto, inclinato, unito e lavorato unitamente ad altre lamine forma il prodottoultimo che mi da luogo alla creazione e alla messa in opera del componentecosı come l’ho progettato.Una volta individuato il mio “mattone” fondamentale posso passare alla suacaratterizzazione meccanica che come detto avverra perfezionando di voltain volta il modello alla base.Nel prossimo paragrafo si analizzera la metodologia che viene normalmenteindicata con la denominazione Regola delle Miscele, di semplice ed efficaceapplicazione. Tale metodologia verra prima illustrata teoricamente ed in unsecondo momento sara messa in pratica con un tradizionale esempio.

E.4 Regola delle miscele

Iniziamo a considerare un continuo bidimensionale formato totalmente daelementi rappresentativi di volume, vedere precedente Fig. E.1. Avendoassunto questo come elemento base mi trovo quindi di fronte ad un materialeche si presenta macroscopicamente omogeneo (si noti che ancora non statointrodotto il grado di isotropia). L’analisi che stiamo per svolgere vienequindi condotta su un elemento del tipo di quello rappresentato in Fig. E.3.

Fig. E.3: Rappresentazione di una lamina

Questo elemento risponde a quelle che sono le ipotesi che vengono effet-tuate nel caso dell’applicazione della Regola delle miscele . Gli assi indicatinel sistema di riferimento O(1, 2) sono considerati come assi principali e ilcorpo in tale configurazione risulta, per noi, essere non deformato e privo diqualsiasi campo sollecitazionale.

92


Cosa fondamentale per poter introdurre una teoria e fissare le ipotesi divalidita che risultano essere:

- Omogeneita;

- Ortotropia;

- Comportamento elastico lineare;

- Fibre equispaziate e perfettamente allineate.

A questo punto della trattazione si puo introdurre il concetto di frazionevolumetrica , concetto alla base della scienza dei materiali compositi. Contale nome si indica la percentuale di matrice e di fibra presente nel corpoche stiamo considerando. A tal proposito indicheremo il volume totale come

Vcomposite = Vmatrix + Vfiber (E.1)

e dividendo tutto per il Vcomposite si ottiene la frazione volumetrica datadall’espressione

1 = Vm + Vf (E.2)

Questo concetto risulta essere assai importante perche stabilisce la quotaparte delle grandezze relativa alla matrice e quella relativa alla fibra.Se volessimo calcolare la densita del nostro componente in composito laesprimeremmo come

ρcomp = ρmVm + ρfVf (E.3)

Tale espressione risulta essere quella che abbiamo introdotto con il nome diRegola delle miscele. Tale regola altro non e che la somma delle grandezzerelative alle fibre e quelle relative alla matrice pesate rispetto alla corrispon-dente frazione volumetrica.Stesso medesimo ragionamento pu essere effettuato per la determinazionedelle caratteristiche meccaniche E1, E2, G12, ν12 e ν21 avendo fatto usodella contrazione degli indici ripetuti.Andiamo quindi ad esplicitare le diverse grandezze ognuna secondo il lorosviluppo analitico.

• Calcolo di E1.Affinche si possa calcolare tale grandezza supponiamo che le defor-mazioni risultanti dall’applicazione di una forza, e quindi lo sforzo, indirezione parallela all’asse 1 siano uguali sia per la matrice che per lafibra, ottenendo

ε1 = εm = εf (E.4)

quindi se andiamo a scrivere lo sforzo esso risultera pari ad

ε1E1 = εfEfVf + εmEmVm (E.5)

93


e semplificando rispetto alle deformazioni otteniamo nuovamente laregola delle miscele

E1 = EfVf + EmVm (E.6)

• Calcolo di E2.Il modulo di Young rispetto al secondo asse di ortotropia viene deter-minato grazie all’uguaglianza degli sforzi applicati

σ2 = σm = σf (E.7)

da cui esprimendo le deformazioni risulta

σ2

E2=

σf

EfVf +

σm

EmVm (E.8)

e semplificando rispetto alle deformazioni si ottiene

E2 =EfEm

EfVf + EmVm(E.9)

• Calcolo di G12.Il modulo di taglio, grandezza assai difficile da determinare speri-mentalmente, si puo facilmente determinare seguendo la formulazioneadottata per la determinazione del modulo di Young E2, tanto cheesso risulta essere

G12 =GfGm

GfVf + GmVm(E.10)

Si mette in evidenza che gli scorrimenti a carico della fibra e a caricodella matrice sono differenti ∆γf 6= ∆γm considerando invece ugualigli sforzi tangenziali in completa analogia al caso del modulo E2.

• Calcolo di ν12.La determinazione di questa grandezza viene determinata seguendol’espressione formale adottata per determinare il Modulo E1. In basea cio avremo quindi che

ν12 = νfVf + νmVm (E.11)

• Calcolo di ν21.Ultima grandezza ad essere determinata e il secondo coefficiente diPoisson. Esso viene calcolato in maniera differente basandosi sullarelazione

E11

ν12=

E22

ν21(E.12)

che quindi fornisce immediatamente l’espressione di ν21 come

ν21 = ν12E22

E22(E.13)

94

E.5. APPLICAZIONE NUMERICA

Avendo oramai determinato tutte le grandezze meccaniche relative al prob-lema esposto in Fig. E.3 possiamo riscrivere tutti i risultati in forma dimatrice di flessibilita

[C] = [K]−1

1E−1 −ν21

E2−ν31

E30 0 0

−ν12E1

1E2

−ν32E3

0 0 0−ν13

E1−ν23

E2

1E2

0 0 00 0 0 1

G230 0

0 0 0 0 1G13

00 0 0 0 0 1

E12

(E.14)

e togliendo tutti i termini con indice pari a 3, in quanto si sta trattando unageometria bidimensionale, si ottiene la matrice che descrive lo stato dellecose

[C] = [K]−1

1E−1 −ν21

E20

−ν12E1

1E2

00 0 1

E12

(E.15)

E.5 Applicazione numerica

Per meglio comprendere quelli che sono stati i ragionamenti fatti sinora eopportuno reificare i concetti puramente teorici in pratici calcoli di interesseingegneristico.A tal proposito si considerano una fibra di rinforzo di Carbonio ad alto mod-ulo e un matrice epossidica con le seguenti caratteristiche riportate in Tab.E.1Applicando le formule prima dedotte e ricavate si giunge a semplici risul-

Caratteristica Fibra di Carbonio Matrice EpossidicaModulo di Young (GPa) 490 3.5Modulo di Taglio (GPa) 163 1.6Coef. Poisson 0.32 0.38Volume di fibra 0.6 0.4

Tab. E.1: Caratteristiche dei materiali costituenti il composito

tati di immediato impiego utili ai fini progettuali che sono riportati a seguirenella Tab. E.2Questi sono dunque i valori che andranno inseriti nel data base del codiceNASTRAN, in modo tale da creare quella che si chiama PCOMP , schedaatta alla descrizione dei materiali compositi che oltre al tipo di materiale ne-cessita dell’inserimento dell dimensioni, tipicamente lo spessore, della laminae della sua orientazione rispetto al sistema di riferimento scelto dal proget-tista durante la fase di ideazione, progettazione, calcolo e verifica.La possibilita di operare con questa classe di materiali apre le porte ad un

95

E.5. APPLICAZIONE NUMERICA

Caratteristica ValoreModulo di Young E11 (GPa) 295.4Modulo di Young E22 (GPa) 8.66Modulo di Taglio G12 (GPa) 3.94Coef. Poisson 0.344

Tab. E.2: Caratteristiche del materiale composito

nuovo modo di pensare e costruire, e proprio questa loro capacita di inno-vazione ha fatto di questi materiali uno degli elementi caratteristici dellaprogettazione degli ultimi venti anni.Proprio per la loro polivalenza devono essere studiati ricordando pero cheportano con loro una quantita assai grande di problemi di cui si deve, cate-goricamente, tenere conto qualora vengano impiegati nella progettazione diun qualsiasi sistema strutturale.

96

Index

.bdf, 9

.dat, 9, 33

.dball, 1

.f04, 1

.f06, 1, 11, 33

.log, 1

.master, 1

.mod, 22, 35

.nas, 1, 9, 33, 56, 59

.op2, 1

anisotropi, 65appoggio, 80asse di ortotropia, 94autofunzione, 40

BAR, 25, 73, 86barra di stato, 7barra principale dei comandi N°1, 7barra principale dei comandi N°2, 7BEAM, 74, 86BEND, 74bifasico, 67

carrello, 80Coefficiente di Poisson, 18compatibilita, 3completezza, 3CONM2, 76Constrain, 79coupled, 58Criterio di Sylvester, 14

default, 57, 61deform¡te modali, 53delamination, 91delaminazione, 72

DISPLACEMENT, 10DISPLACEMENT VECTOR, 15, 38DMIG, 75DOF, 15, 77

ELAS, 75EPSILON, 2equazione dinamica, 39

FATAL MESSAGE, 35FEM, 50fibra, 93fibra di carbonio, 67fixed, 30, 80force, 32FORCE IN BAR ELEMENTS, 16FORCE OF SINGLE POINT COS-

TRAINT, 16Fourier, 43, 54, 63frazione volumetrica, 93frequenza di vibrazione, 39

Galerkin, 43GdL, 77GENEL, 75glifo, 80

HEXA, 75HEXA20, 75

incastro, 80InPut, 60Input, 33isotropico, 65isotropo, 67

Kirchhoff, 42

97

INDEX

Legge di Hooke, 4LOAD VECTOR, 16lumped, 58

massa concentrata, 11massa consistente, 11MAT8, 71matrice, 93matrice epossidica, 67mesh, 27, 47Metodo di convergenza, 82Metodo di convergenza modale, 82Metodo di convergenza statico, 82Modulo di elasticita, 18Modulo di Taglio, 18Modulo di Young, 18, 64momenti di inerzia, 13momenti statici, 14momento di inerzia, 18multifasico, 90

Navier, 43

OLAOD RESULTANT, 15origine, 7ortotropo, 65, 67OutPut, 33, 35

pay load, 59PCOMP, 66, 71, 95PENTA, 75periodo, 39piano di lavoro, 7pinned, 50, 80polinomio caratteristico, 39post-postecessore, 36post-processing, 7post-processore, 35pre-processing, 7pre-processore, 44prepreg, 66problema di autovalori, 10, 38problema di risposta, 10processing, 20, 53prodotti di inerzia, 13

pull out, 91pull-out, 65pulsazione popria, 39

QUAD4, 46, 74QUAD8, 74

reazioni vincolari, 15Regola delle miscele, 66, 68, 92rendering, 8righello, 7rigidezza flessionale, 43Rimozione del Righello, 22rimozione del righello, 8rimozione griglia “Surface”, 48ROD, 73, 86Rotazione della sezione, 88rotazioni, 18, 31

SESTATIC, 10sforzi interlaminari, 72SHEAR, 75sistema di riferimento, 7SOL 101, 10SPC, 15SPCFORCE RESULTANT, 15spostamenti, 18, 31spostamenti generalizzati, 18STRESSES IN BAR ELEMENTS, 16

Teoria Classica della Trave, 19TETRA, 75TRIA3, 74TRIA6, 74TRIAX6, 75TUBE, 73

variazione della visuale, 8visualizzazione della sezione resistente,

29Von Mises, 61

warping, 74

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