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C diCorso diProgetto di Strutture g

POTENZA, a.a. 2009 – 2010

Serbatoi e tubiSerbatoi e tubiSerbatoi e tubiSerbatoi e tubi

Dott. Ing. Marco VONAgDiSGG, Università di Basilicata

Centro di Competenza Regionale sul Rischio Sismico (CRiS)[email protected]@unibas.it

I COEFFICIENTI ELASTICI PER I TUBI LUNGHI

Per condizioni di vincolo più complesse è utile conoscere i valoridello spostamento e della rotazione dovuta a una coppiap ppM = 1 o ad un taglio Q = 1 applicati al bordo libero

Tali grandezze sono chiamate coefficienti elastici del bordoTali grandezze sono chiamate coefficienti elastici del bordo

Per una tubo lungo e coppia M = 1 in corrispondenza di x = 0 sih Q 0 i lha: Q = 0 e inoltre

⎧ D21 2δα0 l

⎩⎨⎧

+=−=

SCD

021 δα

M = 1

Da cui si ottiene poiché :Da cui si ottiene, poiché :

0=′

= ww


Ricordando che

[ ]⎫⎧ ″ 2[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++−+=′′= 1111

22 sCcSCsScwDwDM α

⎫⎧ ″′ ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−++−++−+++″′

=′′′= 1111113 )()()(2 sSCcSCsSCcSCwDwDQ α

Spostamento dovuto ad una coppia unitaria

DCwwm 22

1)0(α

===COEFFICIENTI

Rotazione dovuta ad una coppia unitaria1

COEFFICIENTI

ELASTICI

DSCm α

αϕϕ 1)()0( =+−−==


Taglio Q = 1 ( M = 0 )

⎧

0 l

⎩⎨⎧

+−==

)(210

2 SCDS

αQ = 1

⎩ )(

DC 22

1=Da cui si ottiene

E quindi gli spostamenti

D22α

31)0( Cww ===E quindi gli spostamenti 32

)0(αD

Cwwq

SCq 21)()0( αϕϕ =+−−==E le rotazioni

Dq 22)()(

αϕϕ

È da osservare che, in accordo al teorema di reciprocità:È da osservare che, in accordo al teorema di reciprocità:

qmw ϕ=

I COEFFICIENTI ELASTICI DELLA PIASTRA

In genere i tubi sono chiusi nella parte terminale con unapiastra circolareDeterminiamo i coefficienti elastici per tale piastra

Rotazione dovuta ad una coppia ripartita sul contornoRotazione dovuta ad una coppia ripartita sul contorno

rMϕ −= rD )1( ν

ϕ+

−=

M

φ

Considerando versi positivi come nella teoria delle piastre circolarip p


Nella teoria dei tubi si adotta comunemente la stessa convenzionedella teoria delle piastra per i momenti ( M ) ma opposta per ilverso delle rotazioni ( ϕ )

φM

Pertanto adottando la convenzione utilizzata nella teoria dei tubi la+-+-

Pertanto adottando la convenzione utilizzata nella teoria dei tubi larotazione dovuta ad una coppia unitaria è pari a:

R)1( ν

ϕ+

=Dm

Lo spostamento radiale w dovuto alla coppia unitaria è nulloLo spostamento radiale w dovuto alla coppia unitaria è nullo

0=mw


Quando invece la piastra è soggetta a forze radiali distribuiteuniformemente sul contorno ogni punto è soggetto ad uno stato diuniformemente sul contorno, ogni punto è soggetto ad uno stato ditensione biassiale

1σr

σr

1 In cui σ r è la tensione radiale

1sr1

=σ


La deformazione radiale vale

ν−11

E di l t t di l l b dEsE rrrνσνσε −

=⋅−=1)(1

E, di conseguenza, lo spostamento radiale al bordo:

R )1( ν−Es

Rwq)1( ν

=

Tale spostamento può, in generale, essere trascurato rispetto alcoefficiente elastico del tubo poiché rappresenta un

t t b ( l i t )comportamento a membrana (per la piastra)

La rotazione ovviamente è nulla

0=qϕ

I COEFFICIENTI ELASTICI DEGLI ANELLI ISOLATI

Per una coppia unitaria si ha ( M = 1 ):

R2

EJR

m =ϕ 0=mw

M l f di l i i i hMentre per la forza radiale unitaria si ha: 1RN

==σN=1

1

AAσ

R1

Rσ 1

EAR

E==

σε

EARRwq

2

== ε 0=qϕ

La rotazione ovviamente è nulla

RIEPILOGO DEI COEFFICIENTI ELASTICI

Nella tabella sono riepilogati i coefficienti elastici dei casi visti

mϕ qwqmw ϕ=

Tubo lungoD

wm 221α

=Dm α

ϕ 1= 32

1αD

wq =

Piastra circolareRw )1( ν−

=ϕ =R

0

D2αDα 2 αD

Piastra circolare

R2 R2

Eswq)1( ν

ϕ+Dm 0

Anello isolatoEJR

m =ϕEARwq

2

=0

METODO DEI COEFFICIENTI ELASTICI: APPLICAZIONI

In genere il procedimento consiste nell’utilizzare sistematicamentedei coefficienti elastici nello studio dei tubi (e di altre strutture a(simmetria centrale) soggetti a condizioni di vincolo complesse

Consideriamo innanzitutto un serbatoio solo in parte pieno esupponiamo che sia la parte vuota sia quella piena possano essereconsiderati come tubi lunghi

L’ bi i è i ll di d i l ll i i iL’obiettivo è in genere quello di determinare le sollecitazioni( M e Q ) in alcune sezioni particolari quali ad esempio quelle incorrispondenza del pelo libero del fluidocorrispondenza del pelo libero del fluido


Serbatoio parzialmente riempito di liquido

1w 1ParteM

QQ2Parte

2ϕ

2w



L’ bi i è ll di d i l ll i i i ( M Q ) llL’obiettivo è quello di determinare le sollecitazioni ( M e Q ) nellasezione corrispondente al pelo libero del liquido

In assenza di sollecitazioni ( M e Q ) lo spostamento e la rotazionein S hanno i seguenti valori

Parte superiore M

1w

01 =w 01 =ϕ Q

Parte inferioreR2 2w

2ϕ

02 =wEsR2

2γϕ −=

2w



C id d h M Q ili d i ffi i i l i i iConsiderando anche M e Q e utilizzando i coefficienti elastici siottengono le espressioni degli spostamenti e delle rotazioni nellasezione Ssezione S

⎧ += QM0 ϕϕϕ

⎩⎨⎧

−+=+−=

qm

qm

QwMwwQM

00

1

1 ϕϕϕ

M

1w

⎪⎧ R2γ

Q

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

++−=

qm

qm

QwMww

QMEsR

02

2 ϕϕγϕ

2w

2ϕ

⎪⎩ qm Q2 2w



C id d l i i di ll i SConsiderando le equazioni di congruenza nella sezione S :

21 ϕϕ = 21 ww =21 21

Si ottiene:

R2M

1w

0=QmEs

RMϕ

γ2

2

= Q

In tal modo le due sezioni delserbatoio possono essere studiati 2w

2ϕ

serbatoio possono essere studiatiindipendentemente considerandola sezione S come bordo liberoal quale applicare lesollecitazioni M e Q


Serbatoio interamente riempito con variazione di sezioneAnche in questo caso si vogliono determinare le sollecitazioni ( Mq g (e Q ) nella sezionecorrispondentealla variazionedi spessore s M

S1w 1s

1x

QS

2s

2wAnche in questo casole due parti possiamoconsiderarle cometubi lunghi


Serbatoio interamente riempito con variazione di sezioneIn assenza di sollecitazioni ( M e Q ), lo spostamento e la( Q ), protazione in S valgono :

Parte superioreParte superiore2

11

Rxw γ=

2

1Rγϕ −=

1

1Es

w =1

1 Esϕ

MS

1w 1s1x

Parte inferiore2Rxγ

Q

22

12

EsRxw γ

=

2w

2s

2

2

2 EsRγϕ −=


Serbatoio interamente riempito con variazione di sezioneIn presenza di sollecitazioni ( M e Q ), lo spostamento e lap ( Q ), protazione in S valgono :Parte superiorep

⎪⎪⎧

+−−= 11

2

1 qm QMEsR ϕϕγϕ

⎪⎪⎩

⎪⎨

−+⋅

= 11

21

1

1

qm QwMwE

Rxw

Esγ M

QS

1w 1s1x

Parte inferiore⎧ 2Rγ

⎪⎩ 1qEs Q

2s

⎪⎪⎨

⎧++−=

2

222

2 qm

R

QMEsR ϕϕγϕ

2w

⎪⎪⎩

⎨++

⋅= 22

2

21

2 qm QwMwEs

Rxw γ


Serbatoio interamente riempito con variazione di sezioneAnche in questo caso imponendo le equazioni di congruenzaq p q g

21 ϕϕ =

1w 1s x21 ww =

M

QS

1w 1x

Q

s

Si determinano lesollecitazioniM Q

2w

2sM e Q

2w


Serbatoio coperto da piastra circolare e riempitoIndichiamo con p le grandezze relative alla piastra e con s lep g pgrandezze relative al serbatoio

Si ha sulla piastraSi ha sulla piastra

0== ppw ϕ s xS

1x

0=w

Sul serbatoio Q M M Q0=sw

R2γQ M M Q

EsR

sγϕ −=


In presenza di sollecitazioni ( M e Q ), lo spostamento e laSerbatoio coperto da piastra circolare e riempito

p ( Q ), protazione in S valgono :

PiastraPiastra

⎩⎨⎧ −= mpp

QMϕϕ s

1x

Serbatoio

⎩⎨ −= qpp Qww

Q

SM M QSerbatoio

⎪⎨⎧

++−= qsmss QMER ϕϕγϕ

2 Q M M Q

⎪⎩⎨

+= qsmss

qsmss

QwMww

QEss

ϕϕϕ

Si determinano quindi le sollecitazioni M e Q


Serbatoio coperto da piastra circolare con anello perimetraleConsideriamo il caso più complesso di un serbatoio lungo copertop p g pda una piastra circolare munita di anello di irrigidimento

S PIl serbatoio sia riempitodi liquido fino alla x

S P

qquota di intradossodell’anello

s 1x

Anche in questo caso sivogliono determinare le

Q M M Qg

sollecitazioni ( M e Q )nelle sezioni P ed S

Q M M Qe nella sezionebaricentrica dell’anello


Serbatoio coperto da piastra circolare con anello perimetraleDall’equilibrio dell’anello si ricavaq

⎨⎧ =++−

0)()(0ssaarp

RQMRMRQMRQRQRQ

⎩⎨ =++++− 0)()( ssssaapppp RtQMRMRtQM

Le caratteristiche di deformazione nel punto P della piastra sono:Le caratteristiche di deformazione nel punto P della piastra sono:

qPPmPP QwwM −=−= ;ϕϕ

Quindi nel punto A baricentro dell’anello rigidamente collegato a P

Q qPPmPP QwwM −=−= ;ϕϕ

I SERBATOI IN C.AP.

Nei serbatoi in c.a. ordinario ovviamente il maggiore pericolo èrappresentato dalla possibilità di fessurazione del calcestruzzopp pdovuta alla trazione degli anelli

Tale problema può essere facilmente risolto ricorrendo allaTale problema può essere facilmente risolto ricorrendo allaprecompressione. In linea di principio, essa consiste nell’applicaredelle pressioni, con direzione dall’esterno all’interno, uguali op , , gmaggiori delle pressioni dovute al liquido contenuto

In tali condizioni il serbatoio pieno è scarico se la pressioneIn tali condizioni il serbatoio pieno è scarico se la pressioneapplicata uguaglia quella interna del liquido mentre è soggetto aduna forza residua se questa è inferioreu a o a es dua se questa è e o e

Ovviamente, la condizione di carico più sfavorevole per unserbatoio in c a p è q ella di serbatoio otoserbatoio in c.a.p. è quella di serbatoio vuoto

I SERBATOI IN C.AP.

Serbatoio a vuoto

I l i ll l’i i diIn tal caso, agisce sulla parete l’intera pressione diprecompressione che non è equilibrata dall’effetto, antagonista, delliquido contenuto all’internoliquido contenuto all interno

È anche evidente che il massimo sforzo si ha all’attod ll’ li i d ll i ( i è i h i idell’applicazione della precompressione (e cioè prima che si sianoverificate le cadute di tensione)

In tale fase si svolge perciò un vero e proprio collaudo statico delserbatoio

CALCOLO DEI SERBATOI IN C.AP.

Per ottenere in tutte le sezioni una pressione residua costante siapplica un carico di precompressione pari a:pp p p p

)( ppp Δ+−= pΔ

Ovviamente si ha: 1pp ⋅=Δ ηIn cui η = 0.1 e pηp1 = pressione alla base del serbatoio p

p

Il valore della precompressione sarà1p

RpZ = RpZ

spps RpA σ=,Il quantitativo di armature sarà

Tutto ciò è valido a cadute di tensione lente esaurite


Le verifiche del serbatoio dovranno essere eseguite prima dellecadute lente e quindi sotto l’azione di una pressioneq p

)1( α+=′

pp

Essendo α il coefficiente di caduta di tensione valutabile neicasi ordinari intorno al 25%

pp

)1( α+p


Il momento flettente della strisciaPer assorbire il momento flettente della striscia verticale del tubo siPer assorbire il momento flettente della striscia verticale del tubo sipuò prevedere anche una precompressione assiale ( V ) realizzatacon cavi verticali equidistanti. In tal modo si esclude ognisollecitazione di trazione anche nel senso delle generatrici

Per annullare la trazione allembo esterno del serbatoiovuoto deve essere:

w062 =−

sM

sV

M

ss

MV 6ovverows

V =ovvero


Si può verificare spesso che la tensionedi compressione massima sia superiore

1salla tensione massima di calcolo sulcalcestruzzo

1s

A tale inconveniente si può ovviareringrossando le sezioni nella parteringrossando le sezioni nella parteinferiore

Gli incrementi di sollecitazionedovuti a tale incremento disezione può essere trascurato inrapporto all’incremento dellaresisten a

2sresistenza


i id i d ll i i d ll i l

Diagrammi delle tensioni

Si può ottenere una riduzione delle tensioni e della risultantedisponendo in modo asimmetrico il cavo di precompressione alpiede del serbatoiopiede del serbatoio

V vuoto V vuotopieno

pieno

1s 1s1


i i di i i

Diagrammi delle tensioni con cavi eccentrici

In questo caso però i cavi di precompressione non sono piùconcordanti e occorre considerare delle variazioni disollecitazione dovute alla precompressionesollecitazione dovute alla precompressione

V vuoto V vuotopieno

pieno

1s 1s1


Se ad esempio viene data


Se ad esempio viene datauna forma parabolica ai cavidi precompressione pdi precompressionenell’ultima parte degli stessioccorre correggere le

ep

sollecitazione per effetto delcarico equivalente allaprecompressione

hprecompressione

ee2

2heVpe =


Analogo comportamento è


Analogo comportamento èpossibile nel caso di unadisposizione del cavo più pdisposizione del cavo piùsemplice (rettilinea) ma consezione variabile

ep

asimmetricah


Per comodità si è supposto di adottare una precompressione del

Correzione della precompressione sugli anelli

Per comodità si è supposto di adottare una precompressione deltipo

1ppp η+=

D’altra parte è evidente che lapressione applicata agli anelli w

p

più vicini all’incastro al piedesi scarica quasi interamentesulle strisce dando luogo a unsulle strisce dando luogo a uneffetto di precompressionemolto modesto

w ′po to odesto p

2p



È i di i il li liÈ quindi inutile applicare aglianelli più bassi l’interapressione che comportapressione che comportal’impiego di cavi diprecompressione poco o nullap p psfruttati nella parte inferiore delserbatoio w

p

La precompressione ridottavaria linearmente fino ad unasezione in cui si ha w ′

pp2p

ww ≅



Con questa soluzione si realizza anche una forte riduzione di Mal piede

Di ciò occorre tener conto nella progettazione dellaprecompressione verticalep p

Infatti il momento a serbatoio pieno può risultare dello stessoordine di grandezza di quello a serbatoio vuoto e di segnoordine di grandezza di quello a serbatoio vuoto e di segnoopposto

A ciò si può ovviare adottando per la precompressione verticaleuna disposizione simmetrica dei cavi


Modalità di realizzazione della precompressione

La precompressione verticale è ottenuta con cavi ancorati allasommità ed al piede del serbatoio

Nel caso di serbatoi alti lo sforzo di precompressione vieneridotto nella parte alta con ancoraggi intermedi dispostialternativamente sulla fascia interna ed esterna della parete

La precompressione orizzontale può ottenersi con cavi contenutiLa precompressione orizzontale può ottenersi con cavi contenutiall’interno di guaine disposte nel getto e ancorati alle dueestremità per mezzo di appositi ancoraggi

Particolare cura va posta alla valutazione della caduta di tensioneper attritoper attrito



⎧)(0

xfppx e βασσ +−=

⎩⎨⎧

=3.05.0

fCavo su cls liscio

Cavo in guaina metallica⎩

α Somma dei valori assoluti delle deviazioni angolari al cavo (rad)

mrad /01.0=β (attrito rettilineo)

Il termine β x in generale è trascurabile rispetto a x

La deviazione angolare α tra le due sezioni di ancoraggio delcavo non potrà essere troppo grande: si adotta ordinariamente

α = 120° o anche α = 90°



Inoltre la taratura sarà eseguita alle due estremità del cavoInoltre, la taratura sarà eseguita alle due estremità del cavo

In tali condizioni, adottando f = 0.3 si avrà alla mezzeria delcavo

0180603.0

0 73.0 spppx e σσσπ==

−

00 spppx


Ovvero una caduta di tensione del 27%


Disposizione costruttiva degli ancoraggi

Gli ancoraggi trovano alloggiamento su degli appositi risaltiGli ancoraggi trovano alloggiamento su degli appositi risalti

Una coppia di risalti forma quindi una

0180603.0

0 73.0 spppx e σσσπ==

−

00 spppx


Ovvero una caduta di tensione del 27%

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