Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III...

Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli

CAPITOLO 1:

FENOMENI OSCILLATORI

Fenomeni oscillatoriFenomeni oscillatori Introduzione


Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 1

I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV.

La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione matematica che descrive le loro oscillazioni.

Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice.

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice


Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico semplice, :

2

2

dt

xdmkx Ovvero: 0

2

2

xm

k

dt

xd

ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s].

la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell’ oscillatore armonico

semplice in funzione del tempo.

m

k2



Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è:


)sen()( tAtx

• A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio;• (ωt+ ) è la fase del moto;• è la fase iniziale o costante di fase.

L’ampiezza A e la costante di fase dell’oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t0 :

dove:

)()(

)(0

00 tv

txttg

2

0

2

0

22)(

)(

tvtxA



Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T



A

T

k

mT

22

La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi:

m

k

T

2

11

Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):

T 2

2


La posizione del corpo è:



)()( tAsentx

Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità:

)cos()( tAtv

Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazionein funzione del tempo:

)()sen()( 22 txtAta

A

ωA

ω2A


L’equazione differenziale dell’oscillatore armonico semplice:

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Proprietà dell’equazione differenziale


0xωdt

xd 202

2

è un’equazione del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea

PROPRIETA’

• se x(t) è soluzione dell’equazione, lo è anche ax(t) con a costante;

• se y(t) è un’altra soluzione, anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione; cioè la combinazione lineare di più soluzioni è ancora soluzione dell’equazione.


Nel caso più generale si ottiene una equazione non omogenea:



dove f(t) è una generica funzione del tempo che in particolare può essere costante.

Si dimostra che in questo caso la soluzione più generale è:

)t(f)t(xdt

)t(xd 22

2

Con soluzione particolare dell’equazione non omogenea

e soluzione della omogenea associata

)()sen()( txtAtx p

)(txp

)t(Asen


Un classico esempio è quello di un punto materiale m appeso a una molla di costante elastica k . L’equazione del moto è:



ovvero, posto si ha :

E’ una equazione non omogenea, con il termine noto costante. Una soluzione particolare è = mg/k, per cui la soluzione generale è:)(txp

kxmgdt

xdmma

2

2

mk2

gxdt

xd 2

2

2

kmg

tAtx )sen()(


Conseguenza della linearità dell’equazione che descrive il moto armonico è il principio di sovrapposizione degli effetti:



Se in corrispondenza di si ha come soluzione e in corrispondenza di si ha allora se il termine noto è + la soluzione è + :

)(1 tf )(2 tf)(2 tx

)(1 tx)(1 tf )(2 tf )(1 tx )(2 tx

2122

22

2

12

21

2

212

212

2

ffxdt

xdx

dt

xdxxxx

dt

d


Un’applicazione del moto armonico è il Pendolo Semplice :

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Pendolo Semplice


La forza di richiamo che tende a riportare la particella verso la posizione di equilibrio è la componente tangen-ziale della forza peso mg :

senmgF

se l’angolo θ è piccolo, allora :

senθ ≈ θ

Quindi la forza di richiamo assume la seguente forma:

L

xmgmgF


L’equazione del moto si ricava applicando la legge:



τ = momento prodotto da una forza α = accelerazione angolareI = momento di inerzia del pendolo

2

2

dt

dII

Il momento della forza di richiamo è :

senLmgCon L = braccio rispetto al perno della forza di richiamo e I = momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione

2mLI


L’ equazione del moto diventa :



2

2

dt

dII

ILmg sen 2

22sen

dtd

mLLmg

02

2

L

g

dt

d

02

2

2

dt

d

Considerando senθ ≈ θ si ha :

Assumendo l’equazione assume la seguente forma : 2Lg


Una soluzione dell’ equazione del moto del pendolo semplice è:

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Pendolo semplice

• A è lo spostamento angolare massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio;• (ωt+ ) è la fase del moto;• è la fase iniziale o costante di fase.

L’ampiezza A e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti:

dove:


tAt sen

2

0

2

0

22

)()(

t

dtd

tA

)(

)()(

0

00

tdtd

tttg


Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Pendolo semplice


A

T

k

mT

22

La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi:

m

k

T

2

11

Assumendo per il pendolo , le espressioni diventano le seguenti:L

mgk

g

LT 2

Lg

T

211


È evidente l’analogia tra le espressioni matematiche di questi due sistemi meccanici

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Analogia Oscillatore Armonico - Pendolo semplice


0xm

k

dt

xd2

2

02

2

2

dt

d

)(tx )(t

m I

mk

Lg


Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia meccanica totale

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche


UKE

si conserva, cioè resta costante durante il moto.

L’energia potenziale U è in ogni istante:

)(sen2

1

2

1)( 222 tkAkxtU

L’energia cinetica K è invece in ogni istante:

)(cos2

1

2

1 2222 tAmmvK

)(cos2

1

2

1 222 tkAmvK


L’ energia meccanica totale è quindi :



Essa è costante e ha il valore di 2

2

1kA

2

22

22

21

)(sen21

)(cos21

kAE

tkA

tkAUKE

tot

tot


Consideriamo ora il valore medio dell’ energia nell’ oscillatore armonico :Mentre i valori medi di posizione, velocità e accelerazione in un periodo, sono tutti nulli, infatti:



0cos2

1sen

2

1sen 2

0

2

0

d

il valore medio dell’ energia nell’oscillatore armonico non è nullo:

2

1cos

1cossen

1sen

0 0

2222

dd

Infatti la funzione ha un andamento del tipo:2sen

π 2π 3π

θ

sen2θ


I valori medi di energia potenziale e cinetica sono quindi :



e

Essi sono eguali, per cui in media l’ energia meccanica totale è per metà cinetica e per metà potenziale.

totEAmtAmU2

1

4

1)(sen

2

1 22222

totEAmtAmK2

1

4

1)(cos

2

1 22222


Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Moto armonico e moto circolare uniforme


Il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme

x

y

A )()( tAsentx)t(

Il vettore A ruota in senso antiorario con velocità angolare eprende il nome di “fasore”


Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Notazione Complessa

Capitolo: Oscillazioni meccaniche ed elettriche Pagina 21

Identità di Eulero :

sencos je j

E’ possibile considerare e come la parte reale e la parte immaginaria di

cossen

)Im(sen

)Re(cos

j

j

e

e

je

)e*AIm()eAeIm()AeIm()t(Asen)t(x tjjtj)t(j

jAe*A


Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici


Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati dalla stessa pulsazione :

)t(senA)t(x)t(senA)t(x 222111

Per il principio di sovrapposizione degli effetti la somma è un moto armonico con la stessa pulsazione:

)sen()( tAtx

Teorema di “Carnot”

x

y

A1

A2 A

2121

2

2

2

1 cos2 AAAAA

K

K

t +




L’ampiezza del moto risultante dipende dalla differenza di fase 21

2121

2

2

2

1 cos2 AAAAA

massima per ,....4,2,0 21 AA

minima per ....5,3, || 21 AA

2211

2211

coscos

sensen

AA

AAtg

Inoltre

x

y

A

t +




I risultati della sovrapposizione di due moti armonici di eguale periodo lungo lo stesso asse, sono riportati di seguito:




Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati da diversa pulsazione :

Per semplicità supponiamo che e . Si ha :

)t(senA)t(x)t(senA)t(x 2211

AAA 21021

ttAtAtAtxtxtx2

sen2

cos2sensen)()()( 21212121

ttAttAtx sencos2sen

e

tAtA 21

2 cos12

Se 1 ~ 2, allora

Con = (1 - 2)/2




Quindi da questa composizione si ha un nuovo moto oscillatorio :

caratterizzato da :

• una nuova pulsazione ;

• un’ ampiezza modulata con pulsazione .

ttAttAtx sencos2sen

221

221

Si parla di modulazione di ampiezza, caratteristica del fenomeno del battimento :

K1

K2




Consideriamo la somma di due moti armonici su assi ortogonali caratterizzati dalla stessa pulsazione :

Se i moti sono in fase

Il punto si muove lungo un segmento di retta tra le posizioni -A, -B e A, B; tale retta forma con l’ asse x l’ angolo :

tBtytAtx sen)(,sen)(

0

BA

tytx )()(

A

Barctg

K

K




Se i moti sono in opposizione di fase

BA

tytx )()(

AB

arctg

eGraficamente:

IN FASEIN OPPOSIZIONE DI FASE




Se i moti sono in quadratura di fase 2

quindi:

2sen)(sen)(

tBtytAtx

1)()(

22

Bty

Atx

che rappresenta l’equazione di un’ ellisse percorsa in senso orario

Se i moti sono in quadratura di fase ma con il moto è in senso antiorario2

3




Quindi graficamente

In particolare se A è uguale a B l’ellisse degenera in una circonferenza




Se i moti hanno una differenza di fase generica

La traiettoria è sempre un’ ellisse, con gli assi non paralleli agli assi cartesiani (anche se A = B)


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito LC


L’equivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla è il circuito LC :

Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:

dtdi

LCq con

dtdq

i

quindi

01

2

2

qLCdt

qdLC12 02

2

2

qdt

qd in cui


Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è:

Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito LC

• è la carica iniziale sul condensatore ossia l’ ampiezza del moto oscillatorio;• (ωt+ ) è la fase del moto;• è la fase iniziale o costante di fase.

L’ampiezza e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti:

dove:


20

2

0

22

0

)()(

ti

tqQ )()(

)(0

00 ti

tqttg

tQq sen0

0Q

0Q


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Analogia


È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

01

2

2

qLCdt

qd0x

m

k

dt

xd2

2

)(tx )(tq

m L

Ck1

)(tv )(ti


L’ energia elettromagnetica totale è:

Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Considerazioni Energetiche


essa è costante e ha il valore di

2

0

22

2

2

1

2

1

2

1QL

C

qLiUUU EB

2

0

2

2

1QL


Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa :

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato


vf att

Introduciamo la forza di attrito viscoso :

che è proporzionale alla velocità tramite il coefficiente di attrito viscoso

Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

02

2

xmk

dtdx

mdtxd

mavkx


La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere :



l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa:

02

2

xmk

dtdx

mdtxd

Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

mk

m 02

02 2

02

2

xdt

dx

dt

xd


Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore.Ci sono tre casi possibili :



)t(seneA)t(x t0

reale 22

0

• Smorzamento debole

20

2 m

k4

2

Parametro relativo alla forza elastica

Parametro relativo alla forza di attrito


La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente :



)t(seneA)t(x t0




nullo22

0

• Smorzamento critico

20

2 m

k4

2



BAtetx t




immaginario22

0

• Smorzamento forte

20

2 m

k4

2



2

022

02 ttt BeAeetx

La soluzione globale è del tipo:


Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione:



La curva 4, corrispondente allo smorzamento critico, in cui il punto tende più rapidamente alla posizione di equilibrio x=0.

T0 = 2/0

/ = 1

/ > 1


Nel moto armonico smorzato l’ energia dell’ oscillatore viene gradualmente dissipata dall’ attrito fino ad annullarsi. Calcolando l’ energia media , nel caso di smorzamento debole, si ha :

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Considerazioni energetiche


t0

2t0

2 eE)eA(k2

1kA

2

1E

dove è il suo valore iniziale. 0E

Per poter valutare di quanto varia l’ energia media nel tempo si deve calcolare la derivata del valore medio dell’ energia normalizzata:

t0

t0

eE

eE

EdtEd

Il parametro rappresenta il tempo di decadimento.

1


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito RLC


L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC :


condtdq

i

quindi

Ridt

diL

C

q

02

2

LC

q

dt

dq

L

R

dt

qd


La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:



l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa:


LCLR 1

2 0

02 2

02

2

qdtdq

dtqd

02

2

LC

q

dt

dq

L

R

dt

qd





mk

m

02

2

xmk

dtdx

mdtxd 0

2

2

LC

q

dt

dq

L

R

dt

qd

LR

LC1


Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici del circuito. Ci sono tre casi possibili :



con reale, cioè : 22

0

• Smorzamento debole

20

2 L

RC 41 2

Parametro relativo alla conservazione della carica

Parametro relativo alla dissipazione della carica

tDetq t sen


La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente :


Capitolo: Fenomeni Oscillatori

tDetq t sen

Pagina 48




con nullo, cioè : 22

0

• Smorzamento critico

20

2

BtAetq t

LR

C 41 2






con immaginario, cioè : 22

0

• Smorzamento forte

La soluzione globale è del tipo:

20

2

2

022

02 ttt BeAeetq

LR

C 41 2




Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione:




Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato:

Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato


Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

applichiamo cioè all’ oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale

)sen( '

0 tFF

)sen( '0 tFF

in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna

'

matFvkx '

0 sen tmF

xmk

dtdx

mdtxd '02

2

sen


La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere:



l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa:


mk

m 02

tsenm

Fx

dtdx

dtxd '02

02

2

2

tmF

xmk

dtdx

mdtxd '02

2

sen

'


La soluzione generale di questo sistema è :



Soluzione della omogeneaassociata

''sen'sen)( 0 tAteAtx t

Soluzione particolare

22222

0

0

'4'

1'

m

FA 22

0 ''2

'

tg

dove :


La soluzione particolare rappresenta quindi la soluzione a regime:



''sen')( tAtx regime

infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo :

teAtx t

Omogenea sen)( 0

Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:

''sen')( tAtx regime)sen( '

0 tFF

22

0 ''2

arctg'


Analizziamo lo studio della risposta in funzione di e in particolare in relazione alla del sistema:



'0

0

'

22222

0

0

'4'

1'

mF

A

22

0 ''2

arctg'

kF

A 0' 0

tkF

tx '0 sen)( • Spostamento in fase con la forza esterna

• Parametro dominante “ k ” costante elastica




0

'

22222

0

0

'4'

1'

mF

A

22

0 ''2

arctg'

• Spostamento in opposizione di fase con la forza esterna• Parametro dominante “ m ” massa

20'

'mF

A

tm

Ftx

sen)( 2'

0




0

'

22222

0

0

'4'

1'

mF

A

22

0 ''2

arctg'

2

• Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna• Parametro dominante “ ” coefficiente di smorzamento

tmF

tx '

0

0 cos2

)(

0

0'

2 m

FA


Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Risonanza


Grafichiamo in funzione di :''A

22222

0

0

'4'

1'

mF

A

Nel caso in cui lo smorzamento è eccessivo , l’ andamento è monotono decrescente.

Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo in condizioni di risonanza :

Si nota che se lo smorzamento aumenta la condizione di massimo si sposta verso la parte sinistra del grafico e si riduce in ampiezza, quindi la condizione di risonanza si ottiene prima ma con un’ ampiezza inferiore.

0

'


Oscillazioni meccanicheOscillazioni meccaniche Risonanza


In modo equivalente grafichiamo la fase in funzione di :

Questo grafico riassume i tre casi possibili :

0

'

'0

'

22

0 ''2

arctg'

0

' 0

2

0

'


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m.


L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC con generatore di f.e.m.:


condtdq

i

quindi tLLC

qdtdq

LR

dtqd o '

2

2

cos

RiCq

dtdi

Lt '

0 cos


La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:



l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa:


LCLR 1

2 0

tL

qdtdq

dtqd '02

02

2

cos2

tLLC

qdtdq

LR

dtqd o '

2

2

cos

'





mk

m

LR

LC1

tmF

xmk

dtdx

mdtxd '02

2

sen tLLC

qdtdq

LR

dtqd o '

2

2

cos

mF0

L0


Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime:

Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m.


''sen)( 0 tQtQ regime

infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo :

tQetQ t

Omogenea sen)(

La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:

''sen)( 0 tQtQ regime )cos( '0 t


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m


La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi :

''cos)( 0 titi regime

Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione nell’ equazione del circuito in corrente:

tLLC

idtdi

LR

dtid o ''

2

2

sen

L’uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali i corrispondenti coefficienti di e al primo e al secondo membro.

t'sen t'cos


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m


Imponendo le due identità si ottengo le seguenti relazioni:

2

'

'2

00

1

CLR

i

RC

Ltg

'

'

'

1

RC

L'

'

'

1

arctg


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Risonanza


0

'

0R

i 00

La condizione più interessante è ancora quella di risonanza :

2

'

'2

00

1

CLR

i

tR

ti '0 cos)( In condizioni di risonanza quindi il circuito si comporta come puramente resistivo poiché la corrente e la f.e.m. sono in fase




Riportiamo in seguito l’andamento della e della in funzione della per diversi valori di resistenza:

'0i'

Quindi la assume il valore massimo per 0iLC1

0

'


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza


Si definisce larghezza della risonanza la differenza tra i valori e in corrispondenza dei quali la corrente massima assume il valore , ridotto di un fattore rispetto al valore di risonanza. 2

0

R

2

Cioè imponendo :

22

00

12

CLR

R

2 1

da cui si ricava

2

02

2

2 42

LR

LR 2

02

2

1 42

LR

LR


Oscillazioni elettricheOscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza


La larghezza della risonanza risulta essere uguale a :

QLR 0

12

dove la quantità :

,0

12

0

R

LQ

si chiama fattore di merito della risonanza.

Esso è tanto maggiore quanto più stretta è la risonanza, cioè quanto più piccola è la resistenza rispetto a ω0 L, condizione a cui si tende nel caso in cui si voglia realizzare un circuito altamente selettivo .




Risonanza :

Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei sintonizzatori di onde elettromagnetiche.

Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle pulsazioni che l’ambiente circostante può imprimere al sistema.


Analisi in regime alternatoAnalisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata


Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi di circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici combinazioni in serie e in parallelo.

Resistore R

Applicando ai capi di un resistore una f.e.m. t cos0

esso risulta essere attraversato dalla corrente tii cos0Ai capi del resistore compare la tensione in fase con la corrente:

tVtRiRiVR coscos 00

tra i valori massimi sussiste la relazione: 00 RiV




Induttore L

Per l’ induttore attraversato dalla corrente alternata

tii cos0

si ha:

)2

cos(

)2

cos(sen

0

00

tV

tiLtiLdtdi

LVL

la tensione è in anticipo di π/2 sulla corrente. LV

Tra i valori massimi sussiste la relazione: 00 LiV Il termine ωL si chiama reattanza dell’induttore.




Condensatore C

Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata

tii cos0

si ha:

la tensione è in ritardo di π/2 sulla corrente. CV

Tra i valori massimi sussiste la relazione:

Il termine si chiama reattanza del condensatore.

dt

dVCi C

2cos

2cossen 0

00

tVtC

it

Ci

VC

Ci

V

00

C1




Serie RL

Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha:

Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro.

.2

cos,cos,cos 000

tLiVtRiVtii LR

La somma VR + VL ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore

risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono

espressi da:

.,0222

0 R

LtgiLRV




Serie RC

Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha:

Tale tensione è in ritardo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro.

La somma VR + VC ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore

risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono

espressi da:

,2

cos,cos,cos 000

tC

iVtRiVtii CR

022

2

0

1i

CRV

RCtg

1




Serie LC

In questo caso abbiamo solo i vettori VL e VC, paralleli e discordi, entrambi ortogonali al vettore i:

tii cos0

2cos0

t

Ci

VC

2cos0

tLiVL

Lse C1

2cos0

tVV

00

1i

CLV

Lse C1

2cos0

tVV

00

1iL

CV

Se C

L

1 , VL e VC sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero.

,2

cos,cos,cos 000

tLiVtRiVtii LR




Serie RLC

In questo caso si ha:

,2

cos0

tC

iVC

quindi :

.

1

,1

,cos 0

22

00 RC

Ltgi

CLRVtVV




Serie RLC

.

1

,1

,cos 0

22

00 RC

Ltgi

CLRVtVV

Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui C1

è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL

è preponderante rispetto a C1 (comportamento resistivo).




Impedenza serie

Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una correntealternata

tii cos0

la tensione ai capi della serie è:

.cos0 tVV

Il valore massimo V0 è legato al valore massimo i0 della corrente da :

86000 iZV

dove Z0 è detta impedenza della serie.

.,11

,cos222000 L

Rtg

LRVitiiii LR

2coscoscos 00

0

tL

Vit

R

V

RV

itVV LR




Parallelo RL

Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un induttore si ha:

Nel complesso il comportamento è induttivo in quanto la corrente i è in ritardo rispetto alla tensione e l’impedenza:

222

222

0

00

11

1

LR

LR

LR

i

VZ

cresce con ω, dal valore zero per ω=0 al valore R per ω elevata

.

2coscoscos 00

0

tL

Vit

R

V

RV

itVV CR




Parallelo RC

Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un condensatore si ha:

Nel complesso il comportamento è capacitivo in quanto la corrente i è in anticipo rispetto alla tensione e l’impedenza:

diminuisce con ω, dal valore R per ω=0 ad un valore nullo per ω elevata

.

)cos(0 tiiii CR22

200

1C

RVi CRtg

22222

2

0

00

11

1

RC

R

CR

i

VZ




Parallelo LC

Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un condensatore e di un induttore si ha:

2cos0

tCViC

2cos0

t

LV

iLtVV cos0

LC1

0

LCVi

1

00 tiiii CL cos0




Parallelo LC

Quindi :

Il comportamento è diverso a seconda che sia ω < ω0

oppure ω > ω0 Per ω=ω0 l’impedenza diventa infinita e la corrente si

annulla, essendo iL=-iC.

C1

Lsetg 2

C1Lsetg

2

111

2

0

00

LC

L

LCi

VZ

LC

10




Parallelo RLC

Si hanno le seguenti relazioni :

2cos0

tCViC

2cos0

t

LV

iLtVV cos0

tRV

iR cos0

2

200

11

LC

RVi

tiiiii LCR cos0




Parallelo RLC

Quindi :

LCRtg

1

2

2

0

00

11

1

LC

R

iV

Z

Il circuito si comporta come parallelo RC se ωC>1/ωL e come un parallelo RL se ωC<1/ωL. Quando ωC=1/ωL il comportamento è resistivo, l’impedenza ha un massimo e la corrente un minimo: si parla di antirisonanza.




Ammettenza

In ognuno dei casi esaminati la corrente totale assorbita dal parallelo è sfasata rispetto alla tensione ai capi del parallelo. La relazione tra il valore massimo della corrente e il valore massimo della d.d.p. può essere posta nella forma :

dove Y0 è l’ ammettenza del circuito, definita come l’ inverso dell’ impedenza:

000 VYi

0

0

1Z

Y


Analisi in regime alternatoAnalisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata


Per l’analisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza alternata.La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l’ effetto del circuito. Quando gli elementi sono in serie l’impedenza totale è la somma delle singole impedenze, quando sono in parallelo l’inverso dell’impedenza totale è la somma degli inversi delle singole impedenze.Introducendo, invece, l’ammettenza complessa si ha che, per elementi in parallelo, l’ammettenza totale è la somma delle ammettenze mentre , per elementi in serie, si sommano gli inversi delle ammettenze.


Analisi in regime alternatoAnalisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata


L’impedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Zr, e una parte immaginaria Zi che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X :

.,, 22

00

r

rr

i

Z

XtgXZZiXZeZZ

Analogamente per l’ammettenza dello stesso circuito si scrive:

,,, 22

00 G

BtgBGYiBGeYY i

dove la parte reale G è detta conduttanza e la parte immaginaria B è detta suscettanza.

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