Polinomi ed

equazioni algebriche

R. Notari

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1. Radici e loro molteplicita .

Teorema 1 (di Ruffini) Sia P (x) ∈ K[x] un

polinomio. x0 ∈ K e una radice di P (x) se, e

solo se, x− x0 divide P (x).

Teorema 2 Sia P (x) ∈ K[x] un polinomio.

x0 ∈ K e una radice di P (x) di molteplicita

almeno m ∈ N se, e solo se,

P (i)(x0) = 0, i = 0, . . . , m− 1,

dove P (i)(x) e la derivata i−esima di P (x).

x0 ∈ K e radice di P (x) di molteplicita esat-

tamente m ∈ N se, e solo se, oltre alle con-

dizioni precedenti si ha anche che

P (m)(x0) 6= 0.

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2. Esistenza delle radici e

fattorizzazione su C.

Teorema 3 [fondamentale dell’ algebra]

Sia P (x) ∈ C[x] un polinomio a coefficienti

complessi di grado almeno 1. Allora P (x) ha

almeno una radice z ∈ C.

Corollario 4 Ogni polinomio P (x) a coeffi-

cienti complessi si fattorizza completamente

su C come prodotto di potenze di fattori di

grado 1, ossia esiste a ∈ C tale che

P (x) = a(x− z1)m1 · · · (x− zr)

mr

dove z1, . . . , zr sono tutte e sole le radici di

P (x) di molteplicita m1, . . . , mr rispettivamen-

te.

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3. Polinomi a coefficienti reali.

Osservazione 5 Ogni polinomio P (x) a co-

efficienti reali, puo anche considerarsi come

un polinomio a coefficienti complessi. Pos-

siamo allora affermare che esso ha almeno

una radice complessa, ma non che esso ha

almeno una radice reale. Ad esempio, si con-

sideri il polinomio P (x) = x2 + 1 : esso non

ha radici reali, ma ha le due radici complesse

z1 = i, z2 = −i.

Proposizione 6 Sia P (x) un polinomio a co-

efficienti reali e sia z ∈ C\R una radice di P (x)

di molteplicita m ∈ N. Allora z, complesso co-

niugato di z, e una radice di P (x) della stessa

molteplicita m ∈ N.

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4. Fattorizzazione su R.

Osservazione 7 Sia z = a + ib un numero

complesso con b 6= 0. Allora

(x− z)(x− z) = x2 − 2ax + a2 + b2

e un polinomio a coefficienti reali di secondo

grado avente discriminante ∆ = −4b2 nega-

tivo.

Teorema 8 Ogni polinomio P (x) a coeffici-

enti reali si fattorizza come prodotto di po-

tenze di polinomi di grado ≤ 2 avendo i fattori

di grado 2 discriminante ∆ negativo, ossia e-

siste a ∈ R tale che

P (x) = a(x− x1)m1 · · · (x− xr)

mrpn11 · · · pns

s

dove x1, . . . , xr sono le radici reali di moltepli-

cita m1, . . . , mr e p1, . . . , ps sono polinomi di

grado 2 con ∆ < 0 e danno le radici com-

plesse coniugate di P (x) con la relativa molte-

plicita .

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5. Radici dei numeri complessi.

Teorema 9 Sia z = ρ(cos θ + i sin θ) un nu-

mero complesso di modulo ρ > 0 ed argo-

mento θ. Allora l’ equazione

xn − z = 0

ha n radici distinte w0, . . . , wn−1 date da

wi = n√

ρ

(cos

θ + 2iπ

n+ i sin

θ + 2iπ

n

)con i = 0, . . . , n − 1, e dove n

√ρ e l’ unico

numero reale positivo che elevato alla n da ρ.

Osservazione 10 I numeri w0, . . . , wn−1 sono

i vertici di un poligono regolare ad n lati in-

scritto in una circonferenza di centro l’ origine

del piano complesso ed avente raggio n√

ρ.

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