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Poliedri regolari

Riferimenti bibliografici:

- Forme – Maria Dedò – Ed. Zanichelli

Definizione: Un poliedro è detto regolare se soddisfa le

seguenti condizioni:

(a) le facce sono tutti poligoni regolari

(b) le facce sono tutte congruenti tra loro

(c) in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce

I poliedri regolari sono detti anche solidi platonici.

Osservazioni:

- i prismi regolari e le piramidi regolari definiti nel

capitolo precedente NON sono regolari secondo

questa definizione.

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- Le condizioni (a), (b) e (c) della definizione data non

sono sovrabbondanti:

(a) e (c) – non (b)

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(b) e (c) – non (a)

(a) e (b) – non (c)

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Definizione (equivalente): un poliedro è regolare se ha

per facce poligoni regolari e ha tutti gli angoloidi

uguali.

Come conseguenza ha uguali tutti gli spigoli, gli angoli

e i diedri.

Confronto con i poligoni regolari

Ricordiamo che un poligono è regolare se ha tutti i lati e

tutti gli angoli congruenti.

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I poligoni regolari sono caratterizzati dalla seguente

proprietà:

TEOREMA:

Un poligono è regolare se e solo se ha una

circonferenza inscritta (tangente a tutti i lati del

poligono) e una circonferenza circoscritta ( passante per

tutti i vertici del poligono) concentriche.

Osservazione: per ogni n ≥ 3 esiste un poligono

regolare avente n lati (n-gono regolare). Basta infatti

suddividere una circonferenza in n archi congruenti per

ottenere i vertici di tale poligono.

Quindi i poligoni regolari sono infiniti.

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Torniamo ai poliedri regolari. Vale una

caratterizzazione analoga a quella dei poligoni:

TEOREMA:

Un poliedro è regolare se e solo se esistono tre sfere

concentriche tali che:

una passa per tutti i vertici (circosfera)

una è tangente a tutti gli spigoli (intersfera)

una è tangente a tutte le facce (insfera).

Il centro delle tre sfere si chiama centro del poliedro.

Diversamente dal caso piano, i poliedri regolari sono

pochi, cinque.

Ad ogni poliedro regolare è associata una coppia di

numeri interi {p,q} dove p rappresenta il numero dei

lati del poligono regolare utilizzato per costruire il

poliedro e q rappresenta il numero di poligoni che si

incontrano in ogni vertice

Ad esempio il cubo ha

{p,q} = {4,3}

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La coppia {p,q} si chiama anche simbolo di Schäfli del

poliedro.

TEOREMA:

I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei polideri regolari

sono cinque.

Dimostrazione: ogni poliedro regolare soddisfa le

seguenti condizioni geometriche:

1) gli angoli piani delle facce che concorrono in un

vertice devono avere somma inferiore a 2π

(Teorema sulla somma delle facce di un angoloide).

2) In ogni vertice del poliedro si devono incontrare

almeno tre facce.

Ricordiamo che in un poligono regolare di p lati, gli

angoli misurano

((p-2)/p) π.

Quindi la somma degli angoli delle facce che si

incontrano in un vertice è

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q((p-2)/p) π;

per la prima delle due relazioni abbiamo quindi

q((p-2)/p) π < 2 π

da cui segue

pq -2q-2p < 0

ovvero

(p-2)(q-2) < 4 con q ≥ 3.

Allora i possibili valori per p e q sono:

p = 3 (le facce sono triangoli) e q = 3,4,5,

p = 4 (le facce sono quadrati) e q = 3,

p = 5 (le facce sono quadrati) e q = 3.

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I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei poliedri regolari

sono quindi:

{3,3} {3,4} {3,5} {4,3} {5,3}.

Osservazione: per ognuno dei simboli di Schäfli {p,q}

trovati, esiste effettivamente un poliedro regolare:

{p,q} = {3,3} : tetraedro regolare.

E’ una piramide retta, regolare a base triangolare con le

facce che sono tutti triangoli equilateri.

Ha 4 facce, 4 vertici, 6 spigoli, 4 angoli triedri.

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{p,q} = {4,3} : cubo ( o esaedro regolare).

Ha 6 facce che sono quadrati, 6 vertici, 12 spigoli, 6

angoli triedri.

{p,q} = {3,4} : ottaedro regolare.

Si costruisce unendo due piramidi rette, regolari a base

quadrata, aventi per facce laterali triangoli equilateri.

Ha 6 facce, 6 vertici, 12 spigoli, 6 angoli triedri.

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{p,q} = {3,5} : icosaedro regolare.

Si costruisce unendo un antiprisma regolare con le basi

pentagonali e le facce che sono triangoli equilateri, con

due piramidi regolari a base pentagonale, aventi per

facce laterali triangoli equilateri uguali a quelli

dell’antiprisma.

Ha 20 facce, 12 vertici, 30 spigoli, 12 angoli triedri.

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{p,q} = {5,3} : dodecaedro regolare.

Si costruisce prendendo due “cestini” ciascuno formato

da un pentagono circondato da cinque altri pentagoni e

saldandoli lungo la poligonale sghemba di dieci lati

formata dai loro spigoli liberi

Ha 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli, 20 angoli triedri.

Fino a questo punto si è mostrato che le coppie {p,q}

sono solo 5 e che per ciascuna di esse esiste un poliedro

regolare (la dimostrazione rigorosa dell’esistenza si fa

fornendo le coordinate dei vertici e le equazioni dei piani

delle facce in R3).

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Per concludere che i poliedri regolari sono solo 5

bisognerebbe dimostrare che per ogni coppia {p,q}

esiste “un solo” poliedro regolare……

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Cenno alla dualità dei poliedri regolari

- i centri delle facce di un cubo sono vertici di un

ottaedro (e viceversa i centri delle facce di un

ottaedro sono vertici di un cubo)

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- i centri delle facce di un icosaedro sono vertici di un

dodecaedro (e viceversa i centri delle facce di un

dodecaedro sono vertici di un icosaedro)

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- i centri delle facce di un tetraedro sono vertici di un

tetraedro (autoduale)

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Riassumendo:

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Formula di Eulero

TEOREMA:

Ogni poliedro (convesso) soddisfa la seguente

relazione:

V – S + F = 2

Dove V,S e F indicano rispettivamente il numero di

vertici, di spigoli e di facce del poliedro.

Qualche suggerimento didattico:

- raccogliere dati su vari poliedri, per esempio partendo

dai regolari:

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Diminuire la regolarità……

Esempio di calcolo su un poliedro non convesso:

F= 16, V=16, S=32 ⇒ V-S+F = 0: NON VALE.

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Esempio di poliedro non convesso in cui vale:

Ancora l’ipotesi giusta per la validità della formula di

Eulero è che il poliedro sia omeomorfo ad una sfera.

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Dimostrazione della Formula di Eulero

I poliedri a volte vengono rappresentati mediante dei

diagrammi, detti diagrammi di Schlegel. Un tale

diagramma è il grafo (reticolato piano) che si ottiene

considerando la proiezione del poliedro da un punto

molto vicino ad una sua faccia, in modo che la faccia si

proietti in un poligono al cui interno si proiettano tutti i

restanti vertici e spigoli del poliedro.

(In modo più intuitivo lo stesso grafo si ottiene

immaginando che il poliedro sia cavo, con la superficie

fatta di gomma sottile. Se si toglie una faccia si può

deformare la superficie rimanente per distenderla su un

piano. In questo modo il reticolato dei vertici e spigoli è

il diagramma cercato ).

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Un diagramma di Schlegel di un poliedro mostra

chiaramente le relazioni di appartenenza tra vertici,

spigoli e facce (relazioni di incidenza) ma altera tutte le

relazioni metriche (aree, distanze, angoli…).

Il diagramma di Schlegel di un poliedro ha lo stesso

numero di vertici e spigoli del poliedro stesso, mentre il

numero delle facce del poliedro è uguale al numero

delle componenti connesse del complementare del

grafo.

Lo scopo è mostrare che per tale grafo vale V-S+F=2.

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Per ottenere questo risultato si modificherà il grafo con

una serie di operazioni che non alterano il valore di V-

S+F.

Triangoliamo ogni componente connessa limitata del

complementare del grafo, che non sia già un triangolo.

Per ogni diagonale che si traccia in un poligono,

aumenta di 1 sia F che S e dunque V-S+F resta

inalterato. Quindi per triangolare ogni poligono, per

esempio di n lati, si dovranno tracciare le n-3 diagonali

uscenti da uno stesso vertice, che faranno aumentare di

n-3 sia F che S e quindi non cambieranno V-S+F.

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Nel grafo ci sono triangoli che hanno un lato sul

contorno. Eliminiamoli.

Ora abbiamo triangoli con due lati sul contorno.

Eliminando triangoli con un lato sul contorno, F ed S

diminuiscono di uno mentre se eliminiamo triangoli con

due lati sul contorno, F e V diminuiscono di 1 e S di

due. In entrambi i casi V-S+F resta inalterato.

Proseguendo in questo modo si arriva ad avere un grafo

ridotto ad un triangolo, per il quale vale V-S+F =2.