Permutazioni

• Permutare = cambiare l’ordine in cui gli oggetti o numeri sono disposti

• Le permutazioni possono essere composte; esempio

• L’insieme delle permutazioni di 3 elementi costituisce un gruppo

312

321

132

321

123

321

Proprietà di gruppo

• L’operazione è associativa (3*2)*5=3*(2*5)• Esiste un particolare elemento, l’identità, che

composto con gli altri sia a destra che a sinistra li lascia invariati

• Ogni elemento ha un inverso, ossia un elemento che composto con esso sia a destra che a sinistra dà come risultato l’identità

Non gode della proprietà commutativa

Isometrie

Nel piano o nello spazio, un’isometria è un’applicazione s che

conserva le distanze tra due punti.

Esempi di isometrie sono: riflessioni, rotazioni, traslazioni,

glissoriflessioni.

Permutazioni-isometrie

• Come le permutazioni costituiscono un gruppo, è così anche per le isometrie

• Le isometrie dei poligoni (rettangolo, quadrato, triangolo equilatero) possono essere viste come permutazioni dei loro vertici

Isometrie dello spazio

• Riflessioni (rispetto a un piano)• Rotazioni (rispetto a un asse)• Traslazioni• Glissoriflessioni (le composizioni di una riflessione con una

traslazione in direzione parallela al piano di simmetria della riflessione)

• Glissorotazioni (le composizioni di una rotazione con una traslazione parallela all’asse di rotazione)

• Riflessioni rotatorie (le composizioni di una rotazione con la riflessione rispetto a un piano perpendicolare all’asse di rotazione)

I gruppi associati alle simmetrie dello spazio sono 230.

I reticoli

Reticolo nel piano Reticolo nello spazio

Fregi

I fregi sono un gruppo di isometrie che contiene solo una traslazione,

rotazioni e riflessioni.

I gruppi possibili sono 7.

Tassellazioni

I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni del

piano sono 17.

L’esempio più significativo sono quelle di Penrose.

Città con Scacchi

Il Pesce-Uccello