PERCORSO DIDATTICO

Unita Didattica 1: Relazioni, elementi di teoria delle fun-zioni, grafici di funzioni.

Unita Didattica 2:Trasformazioni geometriche del pianodal punto di vista analitico (isometrie, similitudini, affi-nita).

SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONEPER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO

Classe A049

Specializzanda: Tinti Federica

1

2

Unita Didattica 1: Relazioni,

elementi di teoria delle

funzioni, grafici di funzioni.

0.1 Analisi dei programmi ministeriali

Analizziamo quali sono i programmi ministeriali nelle diverse scuole

• nel programma del PNI (Piano Nazionale per l’Informatica )

L’insegnamento della matematica nei licei di ordinamento si basa sui

programmi ministeriali redatti nel 1952, che riprendono sostanzialmen-

te i programmi della Riforma Gentile, risalente al 1923. Nell’attesa di

una riforma della scuola secondaria superiore, molti licei hanno adot-

tato progetti di sperimentazione, tra cui vi e il Piano Nazionale per

l’Informatica (PNI).

Osservando il PROGRAMMA DI MATEMATICA PER IL BIENNIO

DEGLI ISTITUTI SECONDARI SUPERIORI:

1-OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

Alla fine del biennio lo studente dovra essere in grado di:

- individuare proprieta invarianti per trasformazioni elementari;

- dimostrare proprieta di figure geometriche;

- utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo stu-

diate;

- riconoscere e costruire relazioni e funzioni;

3

- comprendere il senso dei formalismi matematici introdotti;

- cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali;

- matematizzare semplici situazioni problematiche in vari ambiti disci-

plinari;

- riconoscere le regole della logica e del corretto ragionare;

- adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti;

- inquadrare storicamente qualche momento significativo dell’evoluzio-

ne del pensiero matematico.

• elaborati dalla Commissione Brocca,

2-COMPARE IL TEMA DELLE RELAZIONI NEL TEMA 3.

RELAZIONI E FUNZIONI

a) Relazioni binarie: relazioni d’ordine e di equivalenza. Applicazioni

(funzioni).

b) Funzioni. Grafici e zeri di tali funzioni.

0.2 Metodologie utilizzate

Le lezioni saranno prevalentemente di tipo interattivo, saranno previste

attivita di laboratorio. Si cerchera di mettere in evidenza le principali mi-

sconcezioni che si possono creare nell’analisi dei diversi argomenti.

Al termine ci sara una verifica sommativa.

0.3 Tempi dell’intervento didattico

• 10 ore di lezione

• 2 ore di verifica sommativa

• 1 ore per la correzione della verifica

4

0.4 OBIETTIVI GENERALI:

• Acquisire le conoscenze, le competenze e le capacita previste dal per-

corso didattico.

• Acquisire consapevolezza dell’utilita logica delle proprieta degli argo-

menti trattati.

• Condurre all’uso del lessico e del formalismo grafico appropriato.

• Imparare ad operare con la simbologia opportuna.

• Sviluppare la capacita di utilizzare metodi, strumenti e modelli mate-

matici in situazioni diverse.

• Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni

problematiche di varia natura avvalendosi dei modelli matematici piu

adatti alla loro rappresentazione.

• Sviluppare l’interesse per gli aspetti storico-epistemologici della mate-

matica.

• L’uso di software, servira ad abituare l’allievo ad operare consapevol-

mente all’interno di diversi sistemi, dotati di loro regole formali e limiti

operativi.

0.5 OBIETTIVI TRASVERSALI :

• Sviluppare attitudine alla comunicazione ed ai rapporti interpersonali,

favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi

stessi.

• Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale

degli studenti.

5

• Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l’attitudine a riesaminare

criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.

• Contribuire a sviluppare capacita logiche e argomentative.

• Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.

0.6 OBIETTIVI SPECIFICI

0.6.1 Conoscenze:

• sottoinsiemi del prodotto cartesiano

• Proprieta di relazione tra un insieme e se stesso

• Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente

• Relazione d’ordine.

• Definizione di funzione.

• Disegnare i grafici di funzioni

Competenze:

• Saper calcolare prodotto cartesiano di due insiemi

• Saper riconoscere relazioni di equivalenza fra due insiemi

• Saper riconoscere una funzione

Capacita:

• saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere

problemi

• saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite in contesti

diversi.

6

• saper fare il grafico di funzione

0.7 Destinatari dell’unita didattica

L’unita didattica e rivolta ad una classe seconda del PNI. L’orario setti-

manale e di 5 ore settimanali.

0.8 Sviluppo dei contenuti

0.8.1 Relazioni

Per poter introdurre le relazione e necessarie riprendere la definizione di

prodotto cartesiano fra due insiemi:

Definition 0.8.1. Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto

cartesiano di A per B, l’insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate

(x, y) con x ∈ A, y ∈ B. E si indica con

A×B

L’elemento x si chiama prima coordinata e l’elemento y si chiama seconda

coordinata.

Esempio Siano A = {1, 2} e B = {a, b, c}. Si ha allora, in base alla de-

finizione data: A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} e B × A =

{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}Si puo osservare dall’esempio che il prodotto cartesiano non gode della pro-

prieta commutativa: A×B 6= B × A

Osserviamo ora come viene definita la relazione binaria,

Definition 0.8.2. Dati due insiemi A e B, quando esiste un criterio per as-

sociare elementi di A con elementi di B, cioe una proprieta, che indichiamo

con <, verificata da certe coppie (x, y) con x ∈ A, y ∈ B, si dice che e data

una relazione binaria di A e di B.

7

Se la coppia (x, y) verifica la proprieta <, si scrive x<y oppure <(x, y).

La relazione < si definisce binaria perche e definita da coppie ordinate (x, y),

con x ∈ A, y ∈ B.

Osserviamo: ogni volta che si stabilisce una relazione di A in B si genera

un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B, cioe quel sottoinsieme delle

coppie per le quali x e associato ad y, secondo un criterio fissato.

Il sottoinsieme G di A× B che contiene le coppie che verificano la relazione

<, si chiama grafico della relazione.

Esempio Siano A = {1, 3, 4} e B = {2, 5} e la relazione x<y : x + y e un

numero pari. Si ottiene: G = {(1, 5), (3, 5), (4, 2)}.E’ possibile rappresentarlo graficamente utilizzando la teoria degli insiemi.

0.8.2 Relazione binarie su di un insieme ed (eventuali)

proprieta

Riflessiva

La relazione gode della proprieta riflessiva se, per ogni a ∈ A, a<a.

Cioe una relazione definita fra gli elementi di un insieme e riflessiva se ogni

elemento dell’insieme considerato e in relazione con se stesso.

Simmetrica

Si dice che una relazione binaria < nell’insieme A e simmetrica quando

da x<y segue che y<x.

Antisimmetrica

Si dice che una relazione < nell’insieme A e antisimmetrica quando da:

x<y e y<x

segue che x = y.

8

Transitiva

Una relazione binaria < nell’insieme A si dice transitiva se qualunque

siano gli elementi x, y, z di A, tali che:

x<y e y<z

si ha di convergenza x<z.

0.8.3 Relazione di equivalenza. Insieme quoziente

Fra le relazioni binarie definite nell’insieme A hanno particolare impor-

tanza le relazioni di equivalenza:

Definition 0.8.3. (REL EQUIVALENZA) Una relazione < e una relazione

di equivalenza se e soltanto se essa e riflessiva, simmetrica e transitiva.

Se < e una relazione di equivalenza se risulta:

x<y

si dice che x e equivalente a y.

Si dice classe di equivalenza [a] dell’elemento a ∈ A rispetto alla relazione

di equivalenza < il sottoinsieme di A costituito dagli elementi x tali che a<x.

Esempio

Nell’insieme A delle rette del piano, la relazione di equivalenza:

< = {(r; s)|r e coicidente o parallele a s}

Le classi di equivalenza di questa relazione sono i sottoinsiemi di A del tipo:

[s] = {r ∈ A|r e coincidente o parallela ad s}.

Definition 0.8.4. (INSIEME QUOZIENTE) Si dice insieme quoziente del-

l’insieme A rispetto ad <, l’insieme A< delle classi di equivalenza degli ele-

menti di A rispetto alla relazione di equivalenza <.

9

0.8.4 Relazione d’ordine

Una relazione < si dice relazione d’ordine se gode delle proprieta ri-

flessiva, antisimmetrica e transitiva.

Una relazione < si dice relazione di ordine stretto se gode della proprieta

antisimmetrica e transitiva.

Esempio

Consideriamo, nell’insieme A dei segmenti del piano, la relazione

< = {(a; b) :la lunghezza di a e minore di quella di b }La relazione data e una relazione d’ordine infatti gode della proprieta rifles-

siva, simmetrica e transitiva.

Esempio

Consideriamo, nell’insieme A dei segmenti del piano, la relazione

< = {(a; b) :la lunghezza di a e maggiore di quella di b }La relazione data e una relazione d’ordine infatti gode della proprieta an-

tisimmetrica (perche nessun segmento puo avere lunghezza maggiore della

propria stessa lunghezza)e transitiva(perche se un segmento a ha la lunghez-

za maggiore di quella di b e b ha lunghezza maggiore di quella di c, allora a

ha lunghezza maggiore di c).

< e una relazione d’ordine in senso stretto.

0.9 Elementi di teoria delle funzioni

La matematica trae grandi vantaggi dalla possibilita di esprimere in modo

quantitativo la relazione tra due grandezze. Se, infatti, nell’analizzare un fe-

nomeno possiamo esprimere con una legge-rappresentabile con una formula-

come una grandezza varia al variare dell’altra, allora dai dati dell’una pos-

siamo tranne conclusioni sull’altra e avanzare previsioni sull’evolversi del fe-

nomeno in esame.

10

Il concetto di funzione fu introdotto nel XVII secolo, per rappresentare un

legame di dipendenza tra due grandezze: dire che la grandezza y e funzione

della grandezza x significa affermare che, assegnato un valore numero a x,

risulta in conseguenza determinato il valore di y.

Scriviamo y = f(x): x e la variabile indipendente ed y la variabile dipenden-

te.

La funzione e il modello matematico della dipendenza. E’ un modello de-

terministico perche il valore della grandezza e univocamente determinato dai

valori delle altre: il fenomeno e, quindi, descritto come prevedibile e prede-

terminabile nel suo evolversi.

La definizione di funzione ha, nella storia, percorso vari stadi di generaliz-

zazione, dalla prima data da Gorrfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fino a

quella oggi comunemente utilizzata in matematica: la funzione come una

particolare corrispondenza.

0.9.1 Definizione di funzione

Definition 0.9.1. Se A e B sono due insiemi (non vuoti) si chiama appli-

cazione o funzione da A e B una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento

di A un solo elemento di B.

L’insieme A e l’insieme di definizione della funzione. Ad ogni suo elemento

corrisponde un solo elemento di B.

La funzione e quindi, una corrispondenza univoca: ad un elemento di un

insieme associa un solo elemento dell’altro insieme. Questo vuol dire che,

se x indica una grandezza i cui valori variano nell’insieme A e y un’altra

grandezza i cui valori variano nell’insieme B, assegnando un valore a x si

determina in conseguenza il corrisponde valore y.

La definizione di funzione come modello matematico della dipendenza e la

definizione di funzione come corrispondenza univoca sono percio due modi

equivalenti di definire lo stesso oggetto.

11

0.9.2 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive

Definition 0.9.2. Una funzione f da A e B si dice iniettiva se ∀x, z ∈A, x 6= z ⇒ f(x) 6= f(z).

In una funzione definita in un insieme A e di codominio B non e detto

che siano coinvolti tutti gli elementi di B.

il sottoinsieme del codominio B formato da tutti e soli gli elementi che cor-

rispondono almeno ad un elemento di A e detto immagine della funzione.

L’insieme di definizione e l’immagine sono i due insiemi che realmente inte-

ressano quando si studia una funzione: i primo indica quali sono gli elementi

posti in corrispondenza, il secondo quali sono i loro corrispondenti.

L’immagine in generale e un sottoinsieme di B, se coincide con esso la fun-

zione e detta suriettiva.

Una funzione iniettiva e suriettiva da A a B e una corrispondenza biunivoca

tra A e B: ogni elemento di A e di B e coinvolto nella corrispondenza.

Definition 0.9.3. Una funzione di dominio e codominio < e detta funzione

reale di una variabile reale.

Definition 0.9.4. Si chiamano zeri di una funzione i valori della variabile

x a cui corrisponde il valore 0.

Esempio:

Qual e l’insieme di definizione della funzione reale y = x3 − x?

Quali sono i suoi zeri?

Si tratta di una funzione polinomiale. E’ percio definita per ogni x ∈ <.

Per trovare i suoi zeri, risolviamo in < l’equazione x3 − x = 0.

x(x2 − 1) = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1.

L’individuazione degli zeri della funzione aiuta a tracciare approssimare il suo

grafico, perche indica quali sono le sue intersezioni con l’asse delle ascisse.

12

0.9.3 Grafici di funzioni

In una corrispondenza fra due insiemi, linearmente ordinati, si usa dare

una rapresentazione grafica nel piano: nel piano cartesiano si segnano tutti

e soli i punti P (x; y) per i quali y e il corrispondente di x.

L’insieme di tutti questi punti che a seconda dei casi, e una linea, un insieme

di tratti, un insieme di punti ben separati l’uno dall’altro, una spezzata,...e

il grafico di una corrispondenza.

Nel caso di una funzione, e il grafico della corrispondenza.

Esaminiamo il grafico di alcune funzioni elementari:

Funzioni lineari

La loro espressione formale e un polinomio di primo grado in x: y = ax+b.

Per esaminare il grafico di una generica funzione lineare, si puo partire dalla

piu elementare, la funzione identita, che associa ad ogni numero reale se

stesso.

La sua espressione formale e y = x e il suo grafico e la bisettrice del primo e

del terzo quadrante. Dal suo grafico otteniamo quello di una qualsiasi altra

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

y=x

Figura 1: Bisettrice I e III quadrante.

13

funzione lineare, applicando semplici trasformazioni geometriche.

Il grafico di una qualsiasi funzione lineare e una retta.

Anche la funzione costante y = k (con k ∈ R) e una funzione lineare:

ad ogni associa il valore k, il suo grafico e una retta parallela all’asse delle

ascisse.

La funzione valore assoluto y = |x| e una funzione definita per casi:

• se x ≥ 0 allora y = x

• altrimenti y = −x

Il suo grafico e una linea spezzata, formata da due semirette simmetriche:

• se x ≥ 0 e infatti il grafico della funzione identita

• altrimenti e il suo simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.

Esempio:

Disegnare i grafici delle due seguenti funzioni:

y = x− |x| (1)

y = |x| − x (2)

Disegnamo il grafico della prima:

• se x ≥ 0, la funzione e costante: y = x− x = 0

• se x < 0, y = x− (−x) = 2x

Il grafico della seconda funzione si ottiene da questo con una simmetrica

rispetto all’asse delle ascisse. Infatti:

• se x ≥ 0, y = x− x = 0

• se x < 0, y = −x− x = −2x

14

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Figura 2: Grafico della funzione y = x− |x|

Funzione razionale intera di grado n

Se l’espressione di una funzione e un polinomio di grado n nella variabile

x, la funzione e detta funzione polinomiale o funzione razionale intera

di grado n.

Esempio:

Tracciare il grafico della funzione y = x3 − 1.

Ricordiamo che il grafico funzione y = x3 − 1 si ottiene da questo con la

traslazione di vettore v(0; 1) del grafico y = x3.

Funzione composta

In particolare, se f e g sono funzioni, anche la corrispondenza composta

h e una funzione y = h(x) e la funzione composta g(f(x)).

Poiche la funzione g agisce sul valore in uscita della funzione f il dominio di

g deve coincide con l’immagine di f . Ad esempio se componiamo la funzione

valore assoluto con un qualsiasi altra funzione razionale intera.

Esempio: Disegnare il grafico della funzione

y = |x2 − 4x− 5|

15

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Figura 3: Grafico della funzione y = |x| − x

E’ una funzione composta perche

• la funzione f e una funzione razionale intera di secondo grado che

associa ad ogni numero reale x il valore dell’espressione x2 − 4x− 5.

• la funzione g e la funzione valore assoluto che associa ad ogni numero

reale il suo valore assoluto.

quindi la funzione puo essere anche espressa come y = g(f(x)).

Tracciamo prima il grafico della funzione y = x2− 4x− 5. E’ la parabola che

ha per asse la retta x = 2 e per vertice il punto V (2; 9); l’intersezione con

l’asse delle ordinate e nel punto P (0;−5) e quindi anche il punto P ′(4;−5)

appartiene alla parabola. Consideriamo ora la funzione g. Per x < −1 e

x > 5 i valori di f(x) sono positivi e restano, inalterati. Per −1 < x < 5 i

valori di f(x) sono negativi e poiche interessa il loro valore assoluto, occorre

cambiare il loro segno.

Dobbiamo percio considerare il tale intervallo la parabola simmetrica rispetto

all’asse delle ascisse di quella disegnata.

Il grafico della funzione y = |x2− 4x− 5| che abbiamo disegnato e un grafico

continuo: e possibile tracciare senza sollevare la penna dal foglio.

16

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura 4: Grafico della funzione y = x3, y = x3 − 1

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Figura 5: Grafico della funzione y = x2 − 4x− 5

Non sempre il grafico di una funzione ha questa caratteristica.

Il grafico della legge di proporsionalita inversa e formato da due rami di

iperbole che si avvicinano senza intersecarsi con i due assi cartesiani: per

x = 0 il grafico non e continuo.

Questo e il grafico della funzione y = 1x

che esprime appunto una legge di

proporzionalita inversa. La funzione non e definita se x = 0, poiche in tal

caso si ha una frazione con denominazione 0.

Il suo insieme di definizione e quindi <0 e in corrispondenza del valore 0, il

grafico ha una discontinuita. Possiamo dire che la funzione e continua nel

17

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1000.511.52

Figura 6: Grafico della funzione y = |x2 − 4x− 5|

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−400

−200

0

200

400

600

800

1000

Figura 7: Grafico della funzione y = 1/x

suo insieme di definizione.

Funzione razionale fratta

La funzione reale y = x/x e definita per ogni x ∈ R0. La x compare al

denominatore di una frazione, y = x/x e una razionale intera.

L’insieme di definizione di una funzione razionale frazionaria e un sottoin-

sieme proprio di R: il sottoinsieme che si ottiene escludendo i valori che,

sostituiti a x, annullano il denominatore.

18

Funzione irrazionale

La funzione reale y =√

x/√

x e una funzione irrazionale perche la x

compare in un’espressione sotto il segno di radice.

Una funzione irrazionale, se la radice che contiene l’espressione con x e di

indice pari, non e sempre definita in R: occorre escludere quei valori reali

che, sostituiti a x, rendono negativa l’espressione sotto radice.

La funzione y =√

x/√

x e irrazionale e anche frazionaria.

In definitiva questa funzione e definita solo per i reali positivi: per ogni

x ∈ R+.

Crescenza decrescenza e monotonia

Analizziamo ora la funzione y = x3−x, assegnamo dei valori alla variabile

x:x y

-2 -6

-1 0

0 0

0.5 -0.375

1 0

2 6

il suo andamento e inizialmente crescente poi diviene decrescente e poi defi-

nitivamente crescente.

Per poter indicare se una funzione e decrescente o crescente in un certo

intervallo, bisogna prima indicare come denotare un intervallo:

{x ∈ R, a < x < b} e {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}

indicano rispettivamente gli intervalli di estremi a e b rispettivamente aperto

e chiuso.

Il primo intervallo lo indicheremo (a, b) ed il secondo [a, b].

Il termine intervalli si utilizza anche per indicare il caso particolare in cui

uno dei due estremi e infinito.

19

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

7

Figura 8: Grafico della funzione y = x3 − x

Ad esempio (−∞, b) indica l’insieme dei numeri reali minori di b, mentre

(−∞, b] indica l’insieme dei numeri reali minori o uguali a b. Analogamente

per (a,−∞), e [a,−∞).

Quindi in generale indicare un intervallo con (a, b) si sottointende che uno

dei due estremi possa ance essere l’infinito.

Definition 0.9.5. Una funzione y = f(x), e crescente in un intervallo (a, b)

dove e definita, se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) si ha:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

.

Una funzione y = f(x), e decrescente in un intervallo (a, b) dove e definita,

se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) si ha:

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

.

Un funzione ovunque crescente o ovunque decrescente e detta monotona.

Un esempio di funzione monotona nel suo dominio di definizione e la funzione

y = exp(x)

20

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Figura 9: Grafico della funzione y = exp(x)

Invertibilita

Definition 0.9.6. Una funzione e strettamente monotona nel suo insieme di

definizione se per ogni coppia di valori x1, x2 nel suo dominio di definizione

f(x1) 6= f(x2).

Osserviamo: Una funzione strettamente monotona nel suo in-

sieme di definizione e iniettiva.

Non per tutte le funzioni e possibile definire la funzione inversa, occorre che la

funzione sia iniettiva, sono in questo caso la corrispondente inversa e una fun-

zione poiche soddisfa la proprieta di associare ad ogni elemento dell’insieme

di definizione un solo elemento dell’immagine.

Una funzione e invertibile se e solo se e iniettiva.

Unendo quanto detto con quanto affermato precedentemente.

Una funzione strettamente monotona e invertibile

Quando si considera l’inversa si scambia il dominio con il codominio. Se una

funzione e invertibile la funzione inversa si ottiene semplicemente scambiando

21

la variabile indipendente con la variabile dipendente.

Nella rappresentazione grafica della funzione si effettuera la trasformazione:

{x′ = x;

y′ = y.

queste sono le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice y = x

Pertanto nel grafico della funzione f si ottiene quello sella funzione inversa

f−1 considerando la curva ad esso simmetrica rispetto a tale retta.

Osserviamo che se il grafico della funzione f e continuo anche il grafico della

funzione f−1 e continuo.

22

0.9.4 Verifica sommativa

Esercizio 1 Sia I l’insieme dei multipli di 3; si consideri la relazione

< = {(a; b) : a ∈ A, b ∈ A, |a− b| = 6}

Dire, giustificando la risposta, se si tratta di una relazione di equiva-

lenza, d’ordine, d’ordine stretto.

(Nessuna delle tre perche non vale la proprieta transitiva)

Esercizio 2 Si consideri la relazione

< = {(x; y) : x ∈ <, y ∈ <, y =√

1 + x2}

Dire, giustificando la risposta, se la relazione < e una funzione e se essa

e iniettiva, suriettiva, biiettiva.

(Funzione non inettiva non suriettiva)

Esercizio 3 Date le funzioni R→ R, f : y = x2, g : y =√

x

a) si determini la funzione f ◦ g

b) si determini la funzione g ◦ f

Esercizio 4 Disegnare il grafico della funzione y = |2− |x− 1||.

Esercizio 5 Quali delle seguenti funzioni sono invertibili giustificare la ri-

sposta.

a) y = x2 − 2x + 3

b) y = |x|

c) y = 3x− 1

d) y = 2/x

23

0.9.5 Griglia di valutazione della verifica

Il voto da attribuire in decimi si determinera associando il seguente pun-

teggio:

Esercizi Punti

Esercizio 1 1

Esercizio 2 1

Esercizio 3 1

Esercizio 4 2

Esercizio 5a 1

Esercizio 5b 1

Esercizio 5c 1

Esercizio 5d 1

24

Unita Didattica

2:Trasformazioni geometriche

del piano dal punto di vista

analitico (isometrie,

similitudini, affinita) e grafico

di funzioni.

0.10 Analisi dei programmi ministeriali

Analizziamo quali sono i programmi ministeriali nelle diverse scuole

• nel programma del PNI (Piano Nazionale per l’Informatica )

1. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

Alla fine del triennio l’alunno dovra possedere, sotto l’aspetto concet-

tuale, i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado

di:

1. sviluppare dimostrazioni all’interno di sistemi assiomatici proposti

o liberamente costruiti;

2. operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintat-

tiche di trasformazione di formule;

3. utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale;

25

4. affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di

modelli matematici atti alla loro rappresentazione;

5. costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso,

tradurle in programmi per il calcolatore;

6. risolvere problemi geometrici per via sintetica o per via

analitica;

7. interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali;

8. applicare le regole della logica in campo matematico;

9. utilizzare consapevolmente elementi del calcolo differenziale;

10. riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle

scienze sperimentali;

11. inquadrare storicamente l’evoluzione delle idee matematiche fon-

damentali;

12. cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico.

2-COMPARE NEI CONTENUTI

Tema n. 1 - Geometria

1.a Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole nel piano cartesiano

1.b Cambiamento del sistema di coordinate

1.c Equazioni delle isometrie e delle similitudini. Affinita e

loro equazioni. Proprieta invarianti

• elaborati dalla Commissione Brocca,

1-Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado

di:

1. individuare proprieta invarianti per trasformazioni elementari:

2.dimostrare proprieta di figure geometriche:

3. utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo stu-

diate:

4.riconoscere e costruire relazioni e funzioni:

5.matematizzare semplici situazioni riferite alla comune esperienza e a

vari ambiti disciplinari;

6. comprendere e interpretare le strutture di semplici formalismi ma-

26

tematici;

7. cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali

2-COMPARE NEI CONTENUTI:

Tema 1

GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO

1.Piano euclideo e su e trasformazioni isometriche. Figure e loro pro-

prieta.

2.Omotetie e similitudini del piano.

0.11 Tempi dell’intervento didattico

• 12 ore di lezione

• 2 ore di verifica sommativa

• 1 ore per la correzione della verifica

0.12 Destinatari dell’unita didattica

L’unita didattica e rivolta ad una classe seconda(terza) del PNI. L’orario

settimanale e di 5 ore.

0.13 OBIETTIVI GENERALI:

• Acquisire le conoscenze, le competenze e le capacita previste dal per-

corso didattico.

• Acquisire consapevolezza dell’utilita logica delle proprieta degli argo-

menti trattati.

• Condurre all’uso del lessico e del formalismo grafico appropriato.

• Imparare ad operare con la simbologia opportuna.

27

• Sviluppare la capacita di utilizzare metodi, strumenti e modelli mate-

matici in situazioni diverse.

• Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni

problematiche di varia natura avvalendosi dei modelli matematici piu

adatti alla loro rappresentazione.

• Sviluppare l’interesse per gli aspetti storico-epistemologici della mate-

matica.

• L’uso di software, servira ad abituare l’allievo ad operare consapevol-

mente all’interno di diversi sistemi, dotati di loro regole formali e limiti

operativi.

0.14 OBIETTIVI TRASVERSALI :

• Sviluppare attitudine alla comunicazione ed ai rapporti interpersonali,

favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi

stessi.

• Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale

degli studenti.

• Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l’attitudine a riesaminare

criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.

• Contribuire a sviluppare capacita logiche e argomentative.

• Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.

0.15 OBIETTIVI SPECIFICI

0.15.1 Conoscenze:

• la traslazione

28

• la simmetria assiale

• la rotazione

• le isometrie

• l’omotetia

• la similitudine

• le affinita

Competenze:

• risolvere le trasformazioni geometriche

• Risolvere problemi di geometria applicando le trasformazioni geometri-

che

Capacita:

• saper risolvere problemi relativi alle trasformazioni geometriche

• saper risolvere problemi di geometria applicando le trasformazioni geo-

metriche

0.16 Sviluppo dei contenuti

Le trasformazioni geometriche

Definition 0.16.1. Una trasformazione geometrica e una corrispondenza

biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano

stesso.

Se conderiamo un punto A(x; y) il punto corrispondente ad A lo chiamia-

mo A′(x

′; y

′).

Diciamo che A′e il trasformato o l’immagine di A.

29

Viceversa A e l’antitrasformato o controimmagine di A′.

Se indichiamo con g la trasformazione g : A(x; y) ½ A′(x

′; y

′), poiche e una

corrispondenza biunivoca, la trasformazione inversa sara g−1 : A′(x

′; y

′) ½

A(x; y).

A ogni punto A viene associato il trasformato A′ mediante due relazioni:{

x′= F(x;y)

y′= G(x,y)

Esempio {x′= 2x-y+5

y′= x+y+1

→{

2x− y = x′-5

x + y = y′-1

Applicando il metodo di Cramer per risolvere il sistema otteniamo le equa-

zioni della relazione che alla coppia (x′; y

′) fa corrispondere (x; y).

{x = x

′

3+ y

′

3− 2

y = x′

3+ 2y

′

3+ 1

Definition 0.16.2. (PUNTI E FIGURE UNITE) In una trasformazione

geometrica, un punto unito e un punto che ha se stesso per immagine.

In una trasformazione geometrica una figura unita e una figura che ha se

stessa per immagine.

Se in una figura ogni punto e unito, la figura e puntualmente unita{

x′= 4− x

y′= y

sono i punti della retta x = 2

altrimenti si dice globalmente unita.{

x′= x + 1

y′= y + 2

sono mi punti della retta y = 2x

la trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identita{

x′= x

y′= y

30

nelle identita ogni punto e unito.

Composizione di trasformazioni

Consideriamo la trasformazione g1 che trasforma P in P1 e la trasforma-

zione g2 che trasforma P1 in P2.

La trasformazione composta di g1 e g2 trasforma P in P2, e lo indichiamo

con g2 ◦ g1.

In generale g2 ◦ g1 6= g1 ◦ g2, per la composizione di trasformazioni non vale

la proprietaa commutativa.

Osserviamo: Per la definizione di trasformazione inversa, dalla composizio-

ne di una trasformazione con la sua inversa si ottiene l’identita. g ◦ g−1 =

g−1 ◦ g = i.

Definition 0.16.3. (TRASFOMAZIONE INVOLUTORIA) Una trasforma-

zione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l’identita.

ESEMPIO: Una trasformazione h di equazione

{x′= -x

y′= -y

e involutoria. Infatti P (x, y) → P′(−x;−y) → P (x; y)

0.17 AFFINITA’

Tra le trasformazioni geometriche studiamo quelle rappresentate dalle

equazioni di primo grado.

Definition 0.17.1. Una trasformazione geometrica che ha equazione del

tipo: {x′= ax + by + c

y′= a

′x + b

′y + c

′ con

∣∣∣∣∣a b

a′

b′

∣∣∣∣∣ 6= 0

e una affinita.

31

In ogni trasformazione geometrica e interessante osservare le proprieta

invarianti, ossia quelle proprieta che si conservano nella trasformazione. Si

puo dimostrare che ogni affinita trasforma rette in rette, segmenti in segmenti

e poligoni in poligoni con lo stesso numero di lati.

Possiamo suddividere le affinita in dirette ed indirette:

dirette Se

∣∣∣∣∣a b

a′

b′

∣∣∣∣∣ > 0 (conserva l’orientamento dei vertici)

indiretta Se

∣∣∣∣∣a b

a′

b′

∣∣∣∣∣ < 0(se inverte l’orientamento dei vertici)

Studieremo per prime delle particolari affinita le ISOMETRIE

0.17.1 LE ISOMETRIE

La parola isometria deriva dalle parole greche ısos che significa uguale,

e metros che significa misura. Una isometria e una trasformazione del

piano che conserva la distanza.

Definition 0.17.2. Una isometria e una affinita nella quale la distanza fra

due qualunque punti del piano A e B e uguale a quella fra le loro immagini

A′e B

′: AB = A′B′

Osserviamo:

una isometria trasforma una figura geometrica in una figura congruente.

per questo in una isometria si conserva anche l’estensione delle superfici.

Ci sono quattro tipi di isometrie:

• la traslazione

• la simmetria assiale

• la simmetria centrale

• la rotazione

32

LA TRASLAZIONE

Rappresentiamo in un piano cartesiano un vettore −→v , ponendo il primo

estremo nell’originedegli assi. Le coordinate del secondo estremo sono una

coppia di numeri, dette componenti del vettore (es: −→v (2;−5)). Lo stesso

vettore puo essere rappresentato con altri segmenti orientati a quello dato,

ossia con uguale distanza fra gli estremi(modulo), stessa direzione e verso.

Definition 0.17.3. Consideriamo un generico punto del piano e consideria-

mo il vettore −→v e chiamiamo A′il punto del piano coincidente con il secondo

estremo. La traslazione di vettore −→v e quella trasformazione che associa al

punto A in punto A′.

L’equazione della generica traslazione t secondo il generico vettore−→v (a; b)

sono date da {x′= x+a

y′= y+b

Osserviamo:la traslazione e una affinita diretta, infatti:∣∣∣∣∣

1 0

0 1

∣∣∣∣∣ = 1 > 0

Osserviamo:

• In una traslazione non ci sono punti uniti: se il punto P (x; y) fosse

unito, si dovrebbe avere:{

x = x+a

y = y+b

che e impossibile per (a; b) 6= (0; 0).

• Le rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele

• In una traslazione le rette unite sono quelle parallele al vettore della

traslazione

• la composizione di due traslazioni di vettori −→v 1 e −→v 2 e ancora una

traslazione di vettore −→v 1 +−→v 2

33

LA SIMMETRIA ASSIALE

Definition 0.17.4. Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale ri-

spetto alla retta r e quella trasformazione geometrica che a ogni punto P fa

corrispondere il punto P′, nel semipiano opposto rispetto ad r e tale che r

sia asse del segmento PP ′

• r passa per il punto di PP ′

• PP ′ e perpendicolare a r.

La simmetria assiale e una trasformazione involutoria cioe componendola

con se stessa si ottiene l’idnetita.

Possiamo suddividere la simmetria asssiale in due casi:

a) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse y Consideriamo una

generica retta parallela all’asse y di equazione x = a e un punto P (x; y),

il punto P ′ simmetrico a P rispetto alla retta.

Per calcolare l’ascissa di P ′ possiamo osservare che il punto medio fra

PP ′ ha ascissa a, cioe: a = x+x′

2, da cui ricaviamo: x

′= 2a − x. Le

coordinate di P′sono (2a− x; y).

Le equazioni della simmetrica rispetto all’asse x = a, sono:

{x′= 2a-x

y′= y

La simmetria rispetto all’asse y:

{x′= -x

y′= y

b) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse x Con ragionamen-

to analogo: Le equazioni della simmetria rispetto all’asse y =

b {x′= x

y′= 2b-y

34

Se l’asse di simmetria e l’asse x{

x′= x

y′= -y

c) simmetria rispetto alla bisettrice dei quadranti Le equazioni del-

la bisettrice rispetto alla bisettrice b del primo e del terzo

quadrante sono {x′= y

y′= x

Le equazioni della bisettrice rispetto alla bisettrice b del secondo

e del quarto quadrante sono{

x′= -y

y′= -x

d) Simmetrica rispetto alla retta y = mx + q Osserviamo che il punto

medio del segmento PP ′ deve appartenere alla retta r

y + y′

2= m

x + x′

2+ q

Il coefficiente angolare di PP ′ deve essere l’opposto del reciproco:

y′ − y

x′ − x= − 1

m

ponendo a sistema le equazioni e risolvendo rispetto a x′, y

′dopo alcuni

passaggi: {x′= 1−m

1+m2 x + 2m1+m2 y − 2mq

1+m2

y′= 2m

1+m2 x− 1−m2

1+m2 y + 2q1+m2

il determinante della matrice dei coefficienti delle variabili x ed y ha

come valore −1 quindi e una affinita indiretta.

Osserviamo:

• In una simmetria assiale i punti uniti sono i punti sull’asse di simmetria

• In una simmetria assiale le rette unite sono l’asse di simmetria e tutte

le rette perpendicolari all’asse.

35

LA SIMMETRIA CENTRALE

Definition 0.17.5. Fissato nel piano un punto M , la simmetria centrale di

centro M e la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano fa

corrispondere il punto P′tale che M e il punto medio del segmento PP

′.

Se consideriamo M(a; b) al punto P (x; y) corrispondente nella simmetria

di centro M il punto P′(x

′; y

′)

x + x′

2= a,

y + y′

2= b

da cui si ottengono le equazioni della simmetria centrale:{

x′= 2a-x

y′= 2b-y

Osserviamo:

• l’unico punto unito della simmetria centrale e M .

• si dimostra che una simmetria centrale e una isometria. La simmetria

centrale e una trasformazione involutoria.

• in una simmetria centrale ogni retta passante per il centro e globalmente

unita.

•∣∣∣∣∣−1 0

0 −1

∣∣∣∣∣ = 1 > 0 ossia abbiamo una affinita diretta.

Casi particolare: Se M coincide con l’origine O degli assi le equazioni

precedenti diventano: {x′= −x

y′= −y

LA ROTAZIONE

• rotazione di centro l’origine degli assi

Le equazioni della rotazione di un angolo α e di centro O sono quindi{

x′= x cos α− y sin α

y′= x sin α + y cos α

36

• rotazione di centro C qualunque

x′

= (x− xc) cos α− (y − yc) sin α + xc

y′

= (x− xc) sin α + (y − yc) cos α + yc

svolgendo i calcoli:

x′

= x cos α− y sin α + p

y′

= x sin α + y cos α + q

p = xc − xc cos α + yc sin α, q = yc − xc sin α− yc sin α

Osserviamo:

•∣∣∣∣∣

cos α sin α

sin α cos α

∣∣∣∣∣ = 1 > 0 abbiamo un affinita diretta.

• La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo α e

ancora una rotazione di centro C ma con angolo −α.

• Componendo due rotazione con lo stesso centro C, in angoli α1 e α2,

si ottiene ancora una rotazione di centro C e angolo α1 + α2.

• Componendo una rotazione di con centro C1 e C2 diversi si puo otte-

nere:

– una rotazione di diverso centro C e angolo α1 + α2

– una traslazione

RIASSUMIAMO LE CARATTERISTICHE DELLE ISOMETRIE

a) Proprieta delle isometrie Se

{x′= ax + by + c

y′= a′x + b′y + c′

sono le equazioni di una isometria, il determinante

∣∣∣∣∣a b

a′

b′

∣∣∣∣∣ = ab′−a′b

vale:

37

• 1 se l’isometria e una traslazione, una simmetria centrale, una

rotazione

• -1 se l’isometria e una simmetria assiale

I punti uniti:

• nella traslazione non ci sono punti uniti

• nella simmetria assiale i punti uniti sono dell’asse

• nella simmetria centrale e nella rotazione c’e un solo punto unito:

il centro.

Rette globalmente unite:

• nella traslazione sono quelle parallele al vettore associato

• nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all’asse

• nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro

• nella rotazione non ci sono rette unite.

b) Le condizioni affiche una affinita sia una isometria Date le equazioni di

una affinita:{

x′ = ax + by + c

y′ = a′x + b′y + c′

∣∣∣∣∣a b

a′ b′

∣∣∣∣∣ 6= 0.

cerchiamo la condizione fra i coefficienti che permettono di affermare

che l’affinita e una isometria.

Dati due punti A(xA; yA), B(xB; yB) la loro distanza e AB deve essere

uguale alla distanza A′B′. Determinando i trasformati A′ e B′; ed

imponendo che AB = A′B′, si ottengono le seguenti condizioni

{a2 + a

′2 = b2 + b′2 = 1

ab + a′b′ = 0

c) La composizione di isometrie La componente di due isometria e ancora

una isometria. Poiche si puo dimostrare che:

38

• per la composizione vale la proprieta

• esiste l’elemento neutro, che e l’identita

• per ogni isometria esiste l’inversa.

l’operazione di composizione genera nelle isometrie una struttura di

gruppo. Come esempio di composizione di trasformazioni esaminiamo

la glissometria.

d) la glissosimetria La composizione di una traslazione con una simmetria

assiale si chiama glissometria.

Esempio Determinare le equazioni della glissometria ottenuta compo-

nendo la traslazione di vettore −→v (3;−2), di equazioni:{

x′= x + 3

y′= y − 2

e con simmetria assiale {x′′

= x′

y′′

= −y′

Otteniamo le equazioni della glissometria:{x′′

= x + 3

y′′

= −y + 2

0.17.2 L’OMOTETIA

Il prodotto di un vettore per un numero reale

Dato un vettore −→v ed un numero reale k 6= 0, il prodotto k−→v del numero

per il vettore e di nuovo un vettore −→v 1 che ha:

• la stessa direzione di −→v

• modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di −→vossia |−→v 1| = |k||−→v |

• verso concorde con quello di v se k e positivo, oppure verso discorde se

k negativo.

Se (a; b) sono le componenti di −→v , le componenti di −→v 1, (ka; kb).

39

L’omotetia con centro nell’origine degli assi

Dati un numero reale K 6= 0 e un punto P del piano, l’omotetia di

rapporto k e contro O e quella trasformazione che associa a P il punto P ′

tale che:−−→OP ′ = k

−→OP .

Il punto P ′ e detto omotetico di P. Il numero k e detto rapporto di omotetia.

Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono

{x′= kx

y′= ky

Osserviamo:

• Se k = 1, l’omotetia coincide con l’identita. Infatti le equazioni diven-

tano: {x′ = x

y′ = y

Ad ogni punto del piano P corrisponde se stesso, quindi tutti i punti

del piano sono uniti.

• se k = −1, {x′ = -x

y′ = -y

ossia ritroviamo la simmetria di centro O(0; 0). Sappiamo gia che

l’unico punto unito e l’unico punto unito della trasformazione.

• Se k 6= 1(k 6= 0), il centro O(0; 0) e l’unico punto di omotetia di rap-

porto k.

Infatti, O e certamente punto unito, in quanto: (0; 0) ½ (k0; k0) =

(0; 0).

Persi due punti omotetici P e P ′, cioe P (x; y) = P′(kx; ky); se P

coincide con P ′

deve risultare che x = kx, y = ky. Ma se per ipotesi k 6= 0 allora

l’unico punto unito e (0; 0) che coincide con il centro dell’omotetia.

40

Gli ingrandimenti e le riduzioni

L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciando inalte-

rata la forma. Vlgono le seguenti proprieta

• se |k| > 1, l’omotetia ingrandisce la figura

• se |k| < 1, l’omotetia riduce la figura.

• se |k| > 0, due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di

origine il centro O.

• se |k| < 0, punti corrispondenti appartengono a semirette opposte di

origine O.

L’omotetia con centro C qualunque

Analogamente a quanto detto per l’omotetia di centro O dato un numero

reale k 6= 0, l’omotetia di rapporto k e centro C e quella trasformazione che

associa a P il punto P ′ tale che−−→CP ′ = k

−→CP .

Proprieta dell’omotetia

• Una omotetia trasforma un segmento in un segmento proporzionale

• Una omotetia conserva le ampiezze degli angoli

• Una omotetia trasforma una retta in una retta a essa parallela.

• Componendo due omotetie con lo stesso centro C, si ha ancora una

omotetia di centro C e con rapporto K = k1k2

• Componendo due omotetie con centri C1 e C2 diversi, si ha una omo-

tetia o una traslazione Infatti se k1k2 = 1, abbiamo una traslazione, se

k1k2 6= 1 abbiamo una omotetia.

41

0.17.3 LA SIMILITUDINE

Definition 0.17.6. Si definisce similutidine una particolare affinita che man-

tiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, ossia comunque si

scelgano A e B considerati i loro trasformati A′e B

′si ha: A′B′

AB= k

Il valore k viene detto rapporto di similitudine.

Si puo verificare che le equazioni di una similitudine possono assumere solo

una delle forme seguenti

•{

x′ = mx− ny + c

y′ = nx + my + c′

∣∣∣∣∣m −n

n m| = m2 + n2 > 0

e una similitudine diretta

•{

x′ = mx + ny + c

y′ = nx−my + c′

∣∣∣∣∣m n

n −m| = −m2 − n2 < 0

e una similitudine indiretta.

Osserviamo:

• E’ possibile verificare che tutte le isometrie sono similitudini di rapporto

k = 1, in particolare:

a) le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette

b) la simmetria assiale e una similitudine indiretta

• Anche le omotetie sono casi particolari di similitudini

• Ogni similitudine possiede le seguenti proprieta:

– conserva il rapporto fra le lunghezze

– trasforma un angolo in un angolo congruente e quindi conserva

l’ampiezza degli angoli.

– trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari e rette pa-

rallele in rette parallele

42

0.17.4 L’INSIEME DELLE AFFINITA’

L’insieme delle affinita, si puo dimostrare che la composizione di due

similitudine di rapporto k1k2. Poiche ogni similitudine si puo ottenere dalla

composizione di una omotetia e una isometria e della composizione di una

omotetia con l’identita (che puo essere vita come una particolare isometria)si

ottiene l’omotetia stessa, concludiamo che ogni omotetia e una similitudine.

Analogamente, ogni isometria e una similitudine. Vale quindi il seguente

schema:

Affinita

Similitudini

Omotetie{Identita

Isometrie

0.17.5 AFFINITA’

Abbiamo definito come affinita una similitudine utilizzando il seguente

teorema che non dimostriamo.

Theorem 0.17.1. Una affinita e una similitudine se sono verificate le se-

guenti condizioni:

• a2 + a′2 = b2 + b

′2

• ab + a′b′ = 0

il rapporto di similitudine k e dato da k =√

a2 + a′2 =√

b2 + b′2

Inoltre poiche una isometria e una similitudine di rapporto k = 1, nel

caso delle isometrie le condizioni diventano:

• a2 + a′2 = b2 + b

′2 = 1

• ab + a′b′ = 0

Definition 0.17.7. Le equazioni{x′= hx + p

y′= ky + q

k, h 6= 0

rappresentano particolari affinita chiamate dilatazioni. h, k sono rapporti

di dilatazione.

43

Le proprieta generali delle affinita

• Allineamento tre o piu punti allineati vengono trasformati in tre o piu

punti allineati; quindi le rette vengono trasformate in rette e i segmenti

in segmenti.

• Parallelismo rette parallele sono trasformate in rette parallele. Da cio

segue che i parallelogrammi vengono trasformati in parallelogramma.

• Incidenza se due rette si incontrano nel punto P , le rette loro imma-

gini si incontrano in P ′, immagine di P .

• Rapporto fra aree Date due figure piane S e T , siano S ′ e T ′ le loro

trasformate il rapporto tra le aree e costante.

Alle proprieta delle affinita per le similitudini si aggiungono le seguenti pro-

prieta

• Rapporto fra lunghezze viene conservato

• L’ampiezza degli angoli viene conservata, quindi in particolare si

conserva la perpendicolarita fra rette.

Alla proprieta delle affinita e delle similutidini, per le isometrie si aggiunge

che sono invarianti le lunghezze e l’estensione delle superfici.

44

0.18 Verifica sommativa

a) Stabilire se le equazioni:{

x′ = 3√

x

y′ = x + y − 1

definiscono una trasformazione geometrica.

b) Determinare i punti uniti della trasformazione{

x′ = 2x + y + 1

y′ = x + 3

c) Sono assegnate la retta r di equazione y = 4x − 4 e la traslazione di

equazioni {x′ = x− 6

y′ = y + 3

Scrivere l’equazione della retta r′ corrispondente di r nella trasforma-

zione data.

d) Date due rette di equazioni

r : y = −3

2x + 2 r′ : y =

3

2x− 4

si corrispondono in una simmetria di asse parallelo all’asse y. Determi-

nare l’equazione dell’asse di simmetria.

e) Determinare la retta corrispondente alla retta r di equazione y = 3x− 2

nella simmetria di centro l’origine degli assi cartesiani.

f) Determinare la retta corrispondente di y = x in una rotazione 30◦

intorno

all’origine O.

g) Verificare che l’affinita individuata dalle equazioni:{

x′ = y + 3

y′ = x− 3

e una isometria, cercare i punti uniti e le rette unite.

45

h) Disegna l’omotetia del triangolo di vertici A(4; 6), B(7; 10), C(10; 4) con

k = −2 di centro O(0; 0).

i) Verifichiamo che le equazioni

{x′ = −3x− 4y + 1

y′ = 4x− 3y

sono quelle di una similitudine e determiniamo il rapporto di similitu-

dine.

l) Data l’affinita t di equazioni:

{x′ = x− y

y′ = x + y

determinare la figura corrispondente al rettangolo di vertici A(2; 2),

B(4, 2), C(4; 5), D(2; 5).

0.18.1 Tabella di valutazione della verifica

Il voto da attribuire in decimi si determinera associando il seguente pun-

teggio:

Esercizi Punti

Esercizio a 1

Esercizio b 1

Esercizio c 1

Esercizio d 1

Esercizio e 1

Esercizio f 1

Esercizio g 1

Esercizio h 1

Esercizio i 1

Esercizio l 1

Totale 10

46

Bibliografia

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[2] G, Zwinner, L.Scaglainti, Le basi della Matematica 1 , Cedam 1991.

[3] M. Bergamni, A.Trifone and G.Barozzi, Trasformazioni geometriche e

strutture algebriche, volume J,Zanichelli 2005.

[4] G. Bagni Corso di matematica 1 , Zanichelli 2000.

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