10a Esercitazione: soluzioni

Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) ResponsabileEsercitazioni del corso di Microeconomia A-K, a.a. 2009-2010

Stefania Migliavacca(Stefania.Migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) ResponsabileEsercitazioni del corso di Microeconomia L-Z, a.a. 2009-2010

Part I

Esercizi da svolgere ad esercitazione

Esercizio 1. Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo operaun’impresa caratterizzata dalla funzione di costo totale TC(Q) = 2Q. La curvadi domanda inversa per il bene considerato è p = 10 − Q ed il bene è acquistatoesclusivamente dagli abitanti di Pavia. Supponete che l’attività produttiva generiun danno alla collettività limitrofa, ad esempio dovuto alla necessità di rimuovere iresidui inquinanti della produzione che vengono scaricati nei fiumi, nella misura di4Q. (1) Si fornisca una rappresentazione grafica della situazione indicando curva didomanda inversa, costo marginale privato e costo marginale sociale. (2) Si calcolil’equilibrio privato (ovvero la quantità di bene Q prodotto dall’impresa supponendoche non tenga conto del danno causato alla collettività limitrofa) in termini di quan-tità scambiata, prezzo, profitti, surplus dei consumatori di Pavia e danno sopportatodalla collettività limitrofa. (3) Si individui il livello Pareto efficiente di output e lo sirappresenti nel grafico di cui sopra. (4) Supponete che il governo decida di introdurreuna tassa su ogni unità prodotta per un ammontare pari a 3. Si calcoli l’equilibrioprivato in corrispondenza di tale tassa e si dica se si tratta di una tassa pigouviana(argomentando la risposta).

Esercizio 1. Soluzione. (1) La curva di domanda inversa è

p = 10−Q

e si caratterizza per una pendenza pari a -1, un’intercetta verticale (0; 10) edun’intercetta orizzontale (10; 0). La curva di costo marginale privato è

MC = dTC(Q)dQ = 2

ed è dunque una retta orizzontale (parallela all’asse delle ordinate) con intercettaverticale (0; 2). Dal momento che la produzione genera delle immissioni inquinanti

1

dannose per la collettività limitrofa (con costo pari a 4Q), il costo totale privato (cheinclude soltanto i costi di produzione e non i danni causati) è inferiore al costo totalesociale (che invece comprende sia costi di produzione che danni a terzi); in particolareil costo totale sociale è

TCS(Q) = TC(Q) + 4Q

da cui un costo marginale sociale pari a

MCS(Q) = dTCS(Q)dQ = 2 + 4 = 6

ed è dunque una retta orizzontale (parallela all’asse delle ordinate) con intercettaverticale (0; 6). Graficamente

MC

Q

p

2

10

D, curva di domanda inversa

8 10

MCS=MC+46

(2) Trattandosi di un’impresa concorrenziale, l’equilibrio privato è ottenuto come

p =MC(Q) da cui p∗ = 2

e, sostituendo nella curva di domanda inversa,

2 = 10−Q→Q∗ = 8.

Il profitto dell’impresa competitiva è

π∗ = TR− TC = p∗Q∗ − 2Q∗ = 0;

il surplus dei consumatori di Pavia è

SC∗ = (10−p∗)Q∗2 = 64

2 = 32

mentre il danno provocato alla collettività limitrofa che deve sostenere costi perrimuovere i residui inquinanti è

D∗ = 4×Q∗ = 4× 8 = 32

Dunque la produzione del bene genera un benessere per gli abitanti di pavia e lacollettività limitrofa nella misura di

W ∗ = π∗ + SC∗ +D∗ = 0 + 32− 32 = 0

Graficamente

2

MC

Q

p

2

10

D

8 10

MCS=MC+46

MC

Q

p

10

D

8 10

MCS=MC+4

Beneficio derivante dallo scambio Costo sopportato dalla collettivitàlimitrofa per rimuovere i residui

inquinanti

Equilibrio privato Equilibrio privato

(3) Il livello socialmente efficiente di output è ottenuto come

MCS(Q) = 10−Q da cui 6 = 10−Q→Q∗∗ = 4, p∗∗ = 6

Graficamente

MC (curva di offerta)

Q

p

2

10

Curva di domanda

Equilibrio privato

8 10

MCS=MC+46

Equilibrio “sociale” – Pareto efficiente

4

Si noti che in corrispondenza del livello Pareto-efficiente di output profitti, surplusdei consumatori e danno alla collettività limitrofa risultano pari, rispettivamente, a

π∗∗ = TR− TC = p∗∗Q∗∗ − 2Q∗∗ = 16;

SC∗∗ = (10−p∗∗)Q∗∗2 = 16

2 = 8

D∗∗ = 4×Q∗∗ = 16

Dunque in corrispondenza del livello Pareto-efficiente di output si ha un benesserecomplessivo di

W ∗∗ = π∗∗ + SC∗∗ +D∗∗ = 16 + 8− 16 = 8(4) La tassa comporta un aumento dei costi di produzione. I costi con la tassa

diventanoTC(Q, t) = TC(Q) + tQ = 2Q+ 3Q = 5Q

da cui un costo marginale privato pari a

MC(Q, t) = 5

3

dal momento che il costo marginale che porta al livello socialmente ottimale di outputè pari aMCS(Q) = 6 > 5, la tassa introdotta non è una tassa di tipo pigouviano. Lacontrazione della produzione indotta dalla tassa non è sufficiente a portare l’equilibrioprivato al livello pareto-efficiente. Formalmente il nuovo equilibrio privato è

5 = 10−Q→Q∗∗∗ = 5, p∗∗∗ = 5

MC

Q

p

2

10

Curva di domanda

Equilibrio privato iniziale

8 10

MCS=MC+46

Equilibrio “sociale” – Pareto efficiente

MC (con tassa)

Equilibrio privato con tassa

5t

54

Una tassa pigouviana sarebbe stata di ammontare pari a t=4 e avrebbe portato i costimarginali privati a coincidere con i costi marginali sociali inducendo la contrazioneottimale della produzione. Graficamente con t=4 si avrebbe

MC

Q

p

2

10

Curva di domanda

Equilibrio privato iniziale

8 10

MCS=MC+4=MC con tassa t=46

Equilibrio “sociale” ed eq. privato con t=4

MC (con tassa t=3)

Equilibrio privato con t=3

5t=3

54

t=4

Esercizio 2. Elisa ama ascoltare musica techno ad altissimo volume a qualsiasi oradel giorno e della notte. Paola, la sua compagna di appartamento, odia la musicatechno. In particolare l’utilità che Elisa ottiene dall’ascolto di musica techno è

UE(h) = 5 + 8h− h2

(il costo marginale per Elisa derivante dall’ascolto di musica techno è MCE(h) = 0)mentre il danno per Paola di tale ascolto è

DP (h) = 6h− 5

4

dove h è il numero di ore durante le quali Elisa ascolta musica techno. (1) Definiteil concetto di esternalità. Determinate (2) il numero di ore di musica techno cheElisa ascolterebbe in assenza di regole che le impongano di smettere; (3) il numero diore di musica techno socialmente ottimale. (4) Fornite una rappresentazione graficadelle curve di beneficio marginale e di danno marginale delle consumatrici indicandol’ottimo privato (individuato al punto 2) e quello sociale (individuato al punto 3).(5) Che tipi di interventi potrebbero convincere Elisa a ridurre il numero di ore diascolto di musica techno? Argomentate.

Esercizio 2. Soluzione. (1) Le esternalità si verificano quando l’azione di unsoggetto (sia esso produttore o consumatore) causa delle conseguenze (positive onegative) nella sfera di altri soggetti, senza che a questo corrisponda una compen-sazione in termini monetari ovvero senza che si verifichi il pagamento di un prezzodefinito attraverso una libera contrattazione di mercato. Esistono:

• esternalità di consumo, presenti nei casi in cui il consumo del bene da partedi un individuo influenza il livello di utilità di un altro individuo. Possonoessere negative se ad esempio il nostro vicino ascolta musica in piena notte,così danneggiando la nostra utilità "sonno", positive, se ad esempio la musicarisulta essere di nostro gradimento in quel particolare momento.

• esternalità di produzione, rilevabili quando l’attività di produzione di un’impresadanneggia o avvantaggia la produzione di un’altra. Un esempio classico di es-ternalità di produzione positiva può essere l’adiacenza di un frutteto ad un alle-vamento di api, uno negativo è l’inquinamento di un fiume ad elevata pescositàda parte di una fabbrica.

(2) Dal momento che Elisa non è costretta a risarcire Paola per la dis-utilitàcausata dall’ascolto di musica, deciderà di ascoltare musica techno fintanto che ilbeneficio che trae dall’ultima ora di ascolto diventa pari al suo costo marginale(MBE(h) =MCE(h) dove MCE(h) = 0). Il beneficio marginale di Elisa è

MBE(h) =d(UE(h))

dh = 8− 2h

quindi il numero di ore dedicate all’ascolto di musica techno sono

MBE(h) = 0→ 8− 2h = 0→ h∗ = 4

dove al solito abbiamo impiegato l’apice ’*’ per indicare la scelta ottima della con-sumatrice. L’utilità che Elisa trae dall’ascolto di 4 ore musica techno - sostituendonella funzione di utilità di Elisa - è

UE(4) = 5 + 8h∗ − (h∗)2 = 5 + 32− 16 = 21

mentre Paola subisce un danno pari a

DP (4) = 6h∗ − 5 = 24− 5 = 19

(3) Il numero di ore di ascolto di musica techno socialmente ottimale è quelloin corrispondenza del quale il beneficio marginale (MB) derivante dall’attività diascolto eguaglia il danno marginale (MD) causato. Beneficio marginale e dannomarginale sono

MBE(h) =d(UE(h))

dh = 8− 2h ;MDP (h) =d(DP (h))

dh = 6

5

dunqueMBE(h) =MDP (h)→ 8− 2h = 6→ h∗∗ = 1

dove l’apice ’**’ indica l’ottimo sociale.(4) Il grafico relativo alle situazioni sopra calcolate è il seguente

h

MB,MD

8

4

MBE

Ottimo privato

6MDP

Ottimo sociale

1

(5) Sarebbe possibile risolvere il problema dell’esternalità o attraverso la creazionedi un mercato dei diritti di ascolto oppure attraverso l’introduzione di una tassa(pigouviana) sull’ascolto. Nel primo caso potrei creare dei certificati, ciascuno deiquali contenente il diritto ad ascoltare un’ora di musica techno, e lasciare che leragazze se li scambino liberamente. Nel secondo caso potrei tassare Elisa in misurapari al danno causato a Paola.

Esercizio 3. Siano date due imprese delle quali una produce microprocessori, m, el’altra assembla computer, c. L’impresa che produce microprocessori si caratterizzaper un’intensa attività di ricerca e sviluppo e per una continua introduzione di nuovee migliori qualità di microprocessori. Si supponga che le funzioni di costo delle dueimprese siano date rispettivamente da

TC(m) = m2

40 e TC(c) = c2

10 −m

dove m e c indicano le quantità di microprocessori e di computer prodotti. Dalmomento che i costi dell’impresa produttrice di computer dipendono sia dalla suascelta di produzione che dalla scelta di produzione della rivale (e non si verificanocompensazioni monetarie tra le due imprese), siamo nell’ambito delle esternalità diproduzione. Si supponga che ambedue le imprese siano price taker e che il prezzo dimercato dei microprocessori sia pm =18, mentre quello dei computer sia pc =50. (1)Descrivete brevemente quale forma di interdipendenza sussiste tra le due imprese.(2) Si determini la quantità di microprocessori e di computer prodotta in equilib-rio ed i profitti delle due imprese. (3) Come cambierebbe la risposta data al puntoprecedente se l’impresa che produce microprocessori acquistasse l’impresa che pro-duce computer?

6

Esercizio 3. Soluzione. (1) La relazione tecnologica tra le due imprese può essereinterpretata come un caso di esternalità positiva di produzione: un aumento nellaproduzione di microprocessori riduce infatti il costo della produzione di computer.Formalmente

dTC(c)dm = −1 mentre dTC(m)

dc = 0 .

(2) Se le imprese concorrenziali agiscono in maniera indipendente, le quantitàofferte sono tali per cui

pm =MC(m) e pc =MC(c) (1)

i costi marginali delle due imprese sono

MC(m) = dTC(m)dm = 2m40 =

m20 e MC(c) = dTC(c)

dc = 2 c10 =

c5

dunque sostituendo nella (1), si ottiene

18 = m20 →m∗ = 360 e 50 = c

5 → c∗ = 250 (2)

da cui profitti rispettivamente pari a

π(m∗) = TR(m∗)− TC(m∗) = pmm∗ − (m∗)2

40 = 3240

eπ(c∗) = TR(c∗)− TC(c∗) = pcc

∗ − (c∗)2

10 −m∗ = 6610

(3) In questo caso le due imprese opererebbero come un’unica entità internaliz-zando l’effetto che la produzione di microprocessori ha sui costi del produttore dicomputer. In termini analitici, il profitto dell’impresa congiunta che produce siamicroprocessori che computer è

Π(m, c) = pm ×m− TC(m) + pc × c− TC(c) = pm ×m− m2

40 + pc × c− c2

10 −m

da cui

∂Π(m,c)∂m = 0→ pm =MC(m)− 1→ 18 = m

20 − 1→m∗∗ = 380 > m∗ = 360 (3)

e,

∂Π(m,c)∂c = 0→ pc =MC(c)→ 50 = c

5 → c∗∗ = 250

L’offerta di microprocessori aumenta per tener conto degli effetti positivi che taleproduzione genera sulla produzione di computer. I profitti aumentano rispetto alcaso i cui le imprese operano individualmente diventando

π(m∗∗) + π(c∗∗) = TR(m∗∗)− TC(m∗∗) + TR(c∗∗)− TC(c∗∗) =

= pmm∗∗ − (m∗∗)2

40 + pcc∗∗ − (c∗∗)2

10 −m∗∗ = 9860 > 3240 + 6610 = 9850

..

7

Esercizio 4. L’impresa 1, price taker sul mercato delle sardine, adotta un sistemadi produzione che genera inquinamento. La funzione di costo totale della nostraimpresa è

TC1(q1, Z) = q21 − 4Z + Z2

dove q1 indica la quantità di sardine e Z le emissioni inquinanti. L’inquinamentoprodotto dall’impresa 1 causa una riduzione dei profitti dell’impresa 2, i cui costitotali di produzione sono

TC2(q2, Z) = q22 + Zq2

dove q2 indica l’output della seconda impresa. Il prezzo delle sardine è pari a 10 euro(p1 = 10) mentre il prezzo sul secondo mercato, anch’esso competitivo, è pari a 6 euro(p2 = 6). Si determini: (1) la produzione e l’inquinamento nel caso in cui la primaimpresa non sia costretta a tener conto dei danni causati alla seconda; (2) i profittisui due mercati in assenza di interventi correttivi; (3) la produzione e l’inquinamentosocialmente efficienti; (4) i profitti sui due mercati in corrispondenza della quantitàefficiente di inquinamento; (5) confrontate i risultati ottenuti ed argomentate.

Esercizio 4. Soluzione. (1) Trattandosi di un operatore price taker, l’impresa 1produrrà fintanto che

p1 =MC1(q1) doveMC1(q1) =∂TC1(q1,Z)

∂q1= 2q1

da cui10 = 2q1→ q∗1 = 5

ed inquinerà fintanto che il beneficio derivante dall’ultima unità inquinante emessa(MB1(Z)) eguaglierà il costo di tale emissione (nullo in quanto l’operatore non ècostretto a tener conto dei danni causati dall’inquinamento)

MB1(Z) = 0 dove MB1(Z) =∂TC1(q1,Z)

∂Z = −4 + 2Z

da cui−4 + 2Z = 0→Z∗ = 2

Tale inquinamento incide sulla funzione di costo totale della seconda impresa chediventa

TC2(q2, Z∗) = q22 + 2q2

e dunque il livello di produzione scelto dalla seconda impresa sarà

p2 =MC2(q2) doveMC2(q2) =dTC2(q2,Z

∗)dq2

= 2q2 + 2

da cui6 = 2q2 + 2→ q∗2 = 2

(2) I profitti dell’impresa 1 in corrispondenza dei livelli di inquinamento e pro-duzione al punto 1, sono

π∗1 = TR1(q∗1)− TC1(q

∗1 , Z

∗) = 10× 5−¡52 − 8 + 22

¢= 29

mentre quelli dell’impresa 2 sono

π∗2 = TR2(q∗2)− TC2(q

∗2 , Z

∗) = 6× 2−¡22 + 4

¢= 4

8

(3) Per calcolare produzione ed inquinamento socialmente efficienti supponiamoche la gestione delle due imprese venga affidata ad un soggetto pubblico (regolatorebenevolente) che massimizzi i profitti congiunti dei due impianti. La funzione di costoin questo caso diventa

TC(q1, Z, q2) = TC1(q1, Z) + TC2(q2, Z) = q21 − 4Z + Z2 + q22 + Zq2

L’equilibrio è ottenuto risolvendo il seguente sistema⎧⎨⎩p1 =MC1(q1)MB(Z) = 0p2 =MC2(q2)

dove

MC1(q1) =∂TC(q1,Z,q2)

∂q1= 2q1;MC2(q2) =

∂TC(q1,Z,q2)∂q2

= 2q2 + Z;

MB(Z) = ∂TC(q1,Z,q2)∂Z = −4 + 2Z + q2

quindi ⎧⎨⎩p1 =MC1(q1)MB(Z) = 0p2 =MC2(q2)

→

⎧⎨⎩ 10 = 2q1−4 + 2Z + q2 = 06 = 2q2 + Z

da cuiq∗∗1 = 5;Z∗∗ = 2

3 q∗∗2 = 8

3

(4) I profitti dell’impresa 1 in corrispondenza dei livelli di inquinamento e pro-duzione al punto 3, sono

π∗∗1 = TR1(q∗∗1 )− TC1(q

∗∗1 , Z∗∗) = 10× 5−

h52 − 2

3 +¡23

¢2i ' 25.22mentre quelli dell’impresa 2 sono

π∗∗2 = TR2(q∗∗2 )− TC2(q

∗∗2 , Z∗∗) = 6× 8

3 −h¡83

¢2+ 8

323

i' 7.11

(5) Se l’impresa 1 non è costretta a tener conto del danno causato, inquina piùdi quanto è socialmente ottimale (l’inquinamento riduce i suoi costi di produzione):Z∗ = 2 > Z∗∗ = (2/3). Così facendo l’impresa 1 aumenta i suoi profitti a discapitodella rivale: π∗1 = 29 > π∗∗1 ' 25.22 mentre π∗2 = 4 < π∗∗2 ' 7.11.

Esercizio 5. Considerate un’industria con due imprese, Creazione (C) e Imitazione(I), che producono lo stesso bene e sono caratterizzate dalle seguenti funzioni di costototale:

TCc(qc) = q2c e TCi(qi) = q2i − 4qcdove qc e qi rappresentano, rispettivamente, le quantità prodotte da Creazione e daImitazione. Dal momento che i costi di Imitazione dipendono sia dalla sua sceltadi produzione che dalla scelta di produzione della rivale (e non si verificano com-pensazioni monetarie tra le due imprese), siamo nell’ambito delle esternalità di pro-duzione. Sul mercato del prodotto le due imprese sono price-taker e il prezzo dimercato del bene è 100. (1) Quale tipo di interdipendenza sussiste tra le due imp-rese a livello di produzione? (2) Si calcolino le quantità di bene prodotta da cias-cuna impresa nel caso in cui esse agiscano in modo indipendente. (3) Nell’ipotesi

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in cui Creazione e Imitazione agiscano in modo indipendente, ritenete che la quan-tità del bene complessivamente prodotta sia maggiore, minore o uguale di quellasocialmente ottimale? Motivare brevemente la vostra risposta. (Non c’è bisognodi fare calcoli). (4) Se invece Creazione acquistasse Imitazione, quale sarebbe laquantità complessiva di bene prodotta dalla nuova impresa Creazione&Imitazione?(5) Calcolate l’ammontare di sussidio (sussidio pigouviano) che il governo dovrebbeintrodurre per indurre Creazione a produrre il livello socialmente efficiente di output.

Esercizio 5. Soluzione. (1) Il costo di Imitazione è decrescente nel livello diproduzione scelto da Creazione. Tanto maggiore è l’output di Creazione, tanto minoreè il costo di produzione di Imitazione; dunque vi è una esternalità positiva causatada Creazione su Imitazione. Formalmente

dTCi(qi,qc)dqc

= −4 mentre dTCc(qc)dqi

= 0

(2) Se le imprese agiscono in modo indipendente ed il mercato è concorrenziale,sceglieranno il livello di produzione in corrispondenza del quale

p =MCc e p =MCi

doveMCc =

dTCc(qc)dqc

= 2qc eMCi =dTCi(qi)

dqi= 2qi

quindi sostituendo (e ricordando che il prezzo di mercato è 100), abbiamo

100 = 2qc→ q∗c = 50 e 100 = 2qi→ q∗i = 50

(3) Se Creazione e Imitazione agiscono in modo indipendente verrà prodotta unaquantità del bene inferiore a quella socialmente ottimale. Ciò dipende dal fattoche Creazione non viene rimborsata per il beneficio che genera. In altri termini ilcosto marginale sociale relativo alla produzione di qC è inferiore al costo marginaleprivato percepito da Creazione (ed in base al quale vengono effettuate le decisioniodi produzione). Creazione produce fino al livello in cui

prezzo = costo marginale privato

anziché fino al punto in cui

prezzo = costo marginale sociale

, e il suo output è perciò sub-ottimale.(4) Il costo totale della nuova impresa Imitazione&Creazione è

TC(qc, qi) = TCc(qc) + TCi(qi) = q2c + q2i − 4qc

ed i profitti dell’impresa risultante dalla fusione diventano

Π(qc, qi) = RT (qc, qi)− TC(qc, qi) = p(qc + qi)−£q2c + q2i − 4qc

¤dunque i livelli ottimali di output sono(

∂Π(qc,qi)∂qc

= 0∂Π(qc,qi)

∂qi= 0

→½p = 2qc − 4p = 2qi

→½100 = 2qc − 4100 = 2qi

→½q∗∗c = 52q∗∗i = 50

10

e Creazione aumenta il suo livello di produzione tenendo conto dell’effetto generatosui costi di Imitazione.(5) Al fine di indurre Creazione a produrre il livello socialmente efficiente di out-

put, è necessario introdurre un sussidio che porti i costi marginali privati a coinciderecon quelli sociali (in corrispondenza del livello socialmente ottimale q∗∗c ); dunque ènecessario che

MCc + s = 2qc + s

sia uguale aMC(qc) = 2qc − 4

in corrispondenza di q∗∗c

2q∗∗c + s = 2q∗∗c − 4 ovvero s = −4

Esercizio 6. L’impresa A produce il bene x venduto in un mercato concorrenzialeal prezzo costante di 1000. La funzione di costo totale dell’impresa A è

TCA(x, z) = x2 + (12− z)2

dove z rappresenta il livello di inquinamento connesso al processo produttivo dix. L’impresa B produce il bene y, venduto in un mercato concorrenziale al prezzocostante pari a 400. La funzione di costo totale dell’imopresa B è

TCB(y, z) = y2 + 12z2.

(1) Si calcoli il livello di inquinamento scelto dall’impresa A quando massimizza i suoiprofitti. (2) Si determino i profitti massimi dell’impresa B dato il comportamentodell’impresa A. (3) Si calcoli il livello di inquinamento socialmente efficiente. (4) Sidetermini il livello di imposta di Pigou che dovrebbe gravare sull’impresa A perchèsi raggiunga la configurazione Pareto efficiente.

Esercizio 6. Soluzione. (1) Guardate bene il costo dell’impresa A: l’inquinamentonon dipende da quanto l’impresa A produce (z non dipenda da x); il significato deltermine (12− z)

2, che appare nel costo, è semplicemente che l’impresa A può decideredi inquinare più o meno, e minor inquinamento le costa di più, indipendentemente daquanto produce, quindi tale termine rappresenta una specie di “costo di disinquina-mento”: più aumenta l’inquinamento (almeno sino a 12) e più si riduce il costo. Lascelta ottima, dal punto di vista privato, di questa impresa sarà produrre la quantitàx che massimizza il profitto

πA = TRA − TCA = 1000x− x2 − (12− z)2

Notate che la scelta della quantità ottima di prodotto x può avvenire senza con-siderare il costo del disinquinamento, visto che x e z entrano in modo indipendentenel profitto. Dopo aver scelto quanto produrre, l’impresa A deciderà di fissare illivello di inquinamento in modo da minimizzare il costo di disinquinamento. Ovvia-mente, il livello di inquinamento che minimizza il costo di disinquinamento è 12. In

11

termini formali per individuare il livello ottimo delle due variabili, x e z è necessarioannullare entrambe le derivate parziali del profitto:½

∂πA∂x = 0∂πA∂z = 0

→½

1000− 2x = 02 (12− z) (−1) = 0 →

½x∗ = 500z∗ = 12

Si ribadisce che, in questo esempio, la scelta di quanto inquinare è indipendente dallascelta di quanto produrre e viceversa: x ottimale rimane sempre 500 anche se cambiala parte della funzione di costo che dipende da z; e la scelta di quanto inquinarerimane 12, qualsiasi sia il modo in cui il costo dipende dalla quantità x.(2) Ora considerate il costo dell’impresa B: l’inquinamento z è deciso dall’impresa

A, e questa non ci può fare nulla, nel senso che il costo da inquinamento non dipendeda quanto B decide di produrre. Quindi è come se fosse un costo fisso per l’impresaB (che ora sappiamo valere 1

2z2 = 1

2122 = 72). L’impresa B, come ogni impresa, non

considera i costi fissi e massimizza il proprio profitto

πB = 400y − y2 − 72

da cui una derivata prima rispetto alla quantità prodotta pari a

dπBdy = 400− 2y

che si annulla perdπBdy = 0→ 400− 2y = 0→ y∗ = 200

Si noti che questa impresa sceglie y∗ = 200 indipendentemente da quello che fal’impresa A.(3) La quantità socialmente efficiente di inquinamento è quella che massimizza

il surplus sociale. In questo esempio il surplus sociale è semplicemente la sommadei profitti delle due imprese, visto che essendo in concorrenza perfetta esse noncontribuiscono, con le loro scelte, al surplus dei consumatori. Formalmente il profittocongiunto (che dipende dal livello di produzione delle due imprese e dal livello diinquinamento) è

Π(x, y, z) =£1000x− x2 − (12− z)2

¤+£400y − y2 − 1

2z2¤

Quindi occorre massimizzare il profitto congiunto rispetto alle tre variabili: x, y ez. Come abbiamo visto prima, la scelta dell’inquinamento da parte dell’impresa Aè indipendente dalla sua scelta di quanto produrre; d’altra parte, il suo profitto,ma non la decisione di quanto produrre, dipende da quanto inquina. Similmente,la scelta di quanto produrre da parte dell’impresa B non dipende dall’inquinamentodi A: di nuovo, il suo profitto, ma non la decisione di quanto produrre, dipendedall’inquinamento di A. Dunque la quantità socialmente efficiente dipende solo daquanto A decide di inquinare (e non da quanto le due imprese decidono di produrre),tenendo però conto del fatto che questa scelta influenza anche i profitti di B (manon la sua produzione). Detto in altri termini, basta concentrarci sull’effetto chel’inquinamento ha sui profitti delle due imprese, e non anche sul loro livello di pro-duzione. Ricordando le annotazioni precedenti, ovvero il fatto che sia y che x nondipendono dal livello di inquinamento, sappiamo già che i livelli ottimali di questedue variabili saranno x∗ = 500 e y∗ = 200 (come al punto 2). Cambia però il livelloottimo di inquinamento dal momento che l’impresa A non teneva conto del dannocausato all’impresa B; infatti calcolando la derivata del profitto congiunto rispetto az e ponendo questa derivata uguale a zero otteniamo

∂Π∂z = 0→−2(12− z)(−1)− 1

2(2)z = 0→ z∗∗ = 8

12

L’inquinamento socialmente efficiente è inferiore a quello deciso privatamentedall’impresa A (z∗ =12>8). Si ripete che questo risultato non dipende da quantole due imprese producono, perché la derivata appena calcolata non dipende da talidecisioni.(4) L’imposta di Pigou è, in questo caso, un’imposta uniforme per ogni unità di

inquinamento dell’impresa A, che faccia sì che il maggior costo marginale di inquina-mento (inclusivo dell’imposta) di tale impresa la induca a inquinare in ammontareproprio pari alla quantità socialmente efficiente, che abbiamo scoperto appena primaessere 8. Ora, ricordiamo che il profitto dell’impresa A è originariamente

πA = TRA − TCA = 1000x− x2 − (12− z)2

Se aggiungiamo un ulteriore costo, dovuto ad un’imposta t per ogni unità di inquina-mento, il profitto dell’impresa A diventa

πA(, t) = 1000x− x2 − (12− z)2 + tz

Allora l’impresa A, per massimizzare il profitto rispetto all’inquinamento, sceglieràil livello di z in modo da annullarne la derivata parziale, cioè

∂πA∂z = 0→−2(12− z)(−1)− t = 0→ z = 24−t

2

Siccome l’inquinamento socialmente ottimale z∗∗ = 8, sostituendo si ottiene

8 = 24−t2 → t∗ = 8

Esercizio 7. Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo operaun’impresa caratterizzata dalla funzione di costo totale TC(Q) = 10Q. (1) Si cal-coli l’equilibrio (in termini di quantità scambiata, prezzo, profitti e surplus dei con-sumatori) supponendo che la domanda inversa di mercato sia p = 100 − Q. (2) Sisupponga che l’attività produttiva generi un danno, ad esempio dovuto ad emissioniinquinanti, a soggetti terzi nella misura di Q2−45Q. Si calcoli il danno in corrispon-denza dell’equilibrio privato. (3) Se invece di un’impresa competitiva il mercato fossestato dominato da un monopolista, quale sarebbe stato il livello di output prodottoe quale il danno causato ai terzi? (4) Confrontate (anche graficamente) l’equilibriocompetitivo con quello monopolistico in presenza dell’esternalità e calcolate il livellodi imposta pigouviana che dovrebbe gravare sull’impresa nei due casi.

Esercizio 7. Soluzioni. (1) Trattandosi di un’impresa concorrenziale,

p =MC(Q)→ p = 10

dove MC(Q) = [dTC(Q)/dQ]. Stante la forma della curva di domanda inversa,l’equilibrio sul mercato è

10 = 100−Q→Q∗ = 90, p∗ = 10, π∗ = TR− TC = p∗Q∗ − 10Q∗ = 0

ed il surplus dei consumatori è

SC = (100−p∗)Q∗2 = 8100

2 = 4050

13

Graficamente

MC (costo marginale privato)

Q

p

10

100

Curva di domanda

Equilibrio

90 100

Surplus dei consumatori

(2) Dal momento che l’impresa competitiva produce 90 unità, il danno causato aiterzi è

(Q∗)2 − 45×Q∗ = 8100− 45× 90 = 4050.(3) Un monopolista produrrebbe in corrispondenza del livello

MR =MC→ 100− 2Q = 10→Q∗∗ = 45

il prezzo di mercato sarebbe

p∗∗ = 100− 45 = 55

i profittiπ∗∗ = p∗∗Q∗∗ − 10Q∗∗ = (45)2

ed il danno subito dai terzi in questo caso sarebbe pari a

(Q∗∗)2 − 45×Q∗∗ = 45× 45− 45× 45 = 0

(4) Nel caso in esame il monopolista, a differenza dell’impresa competitiva, produceil livello socialmente ottimale di output; dunque con il monopolista non è necessarial’introduzione di un’imposta pigouviana per correggere l’esternalità.Per quanto concerne invece il caso dell’impresa competitiva. Dal momento che il

costo sociale collegato alla produzione del bene Q è

TCS = TC +Q2 − 45Q = 10Q+Q2 − 45Q = Q2 − 35Q,

da cui un costo marginale sociale

MCS = dTCSdQ = 2Q− 35

In presenza di un’impresa competitiva lo Stato dovrebbe introdurre una tassa, t = 45,per portare i costi marginali privati a coincidere con quelli sociali in corrispondenzadel livello socialmente ottimale di output (Q∗∗ = 45); infatti

MC(Q) + t =MCS(Q∗∗)→ 10 + t = 2Q∗∗ − 35→ t = 45

14

Graficamente

MC (costo marginale privato)

Q

p

10

100

Curva di domanda

Equilibrio competitivo

90 100

MR

45

55

Equilibrio monopolistico ed equilibrio pareto-efficiente

MCS=2Q-35 (costo marginale sociale)

Tassa pigouviana in concorrenza

MC+t (costo marginale privato con tassa)

Esercizio 8. A causa di una recente frana è necessario ricostruire il ponte che col-lega il Comune A al Comune B. Gli abitanti dei due comuni possono decidere dicooperare (C) e contribuire in equal misura alla realizzazione del nuovo ponte oppuredi non cooperare (NC) sperando che gli abitanti dell’altro Comune provvedano au-tonomamente a stanziare l’intera somma. La scelta viene effettuata simultaneamentee comporta i seguenti esiti.

1. Se i due comuni cooperano, ciascuno ottiene un beneficio pari a y.

2. Se i due comuni non cooperano il ponte non viene realizzato e, a causa dell’impossibilitàdi effettuare scambi, ciascuno ottiene un benessere pari a 1.

3. Infine, se un solo Comune decide di farsi carico integralmente degli oneri dellaricostruzione, questi otterrà un beneficio a y/2 (mentre il comune che nonpartecipa alla spesa ma beneficia comunque della ricostruzione del ponte otterrà2 + y).

(a) Si rappresenti il gioco in forma di matrice indicando in alto il Comune A.(b) Per quali valori di y, cooperare è una strategia dominante? (c) Per quali valoridi y non cooperare è una strategia dominante? (d) Per quali valori di y si ha unatteggiamento opportunistico da parte di uno dei due Comuni e le coppie di strategie{C,NC} e {NC,C} sono equilibri di Nash del gioco?

Esercizio 8. Soluzione. (a) I due Comuni hanno a disposizione le medesimestrategie: C (cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in

15

forma di matrice è

Impresa bC NC

Impresa a Cyy

2 + yy

2

NCy

22 + y

11

(b) Cooperare è una strategia dominante per il Comune A (analogamente per ilComune B) se il beneficio che tale Comune ottiene scegliendo di cooperare è superiorea quello che otterrebbe scegliendo di non cooperare alla ricostruzione del ponte,qualsiasi sia la scelta del Comune B. Analiticamente è necessario che

y > 2 + y e y2 > 1 ovvero se 0 > 2⇔ y > 2

dal momento che la prima condizione non potrà mai essere verificata, stanti i payoffdel gioco, C non sarà mai una strategia dominante.(c) Non cooperare è una strategia dominante per il Comune A (analogamente per

il Comune B) se il profitto che la stessa ottiene scegliendo NC è superiore a quello cheotterrebbe scegliendo C, qualsiasi sia la scelta del Comune limitrofo. Analiticamenteè necessario che

y < 2 + y e y2 < 1 ovvero se 0 < 2⇔ y < 2

da cui y < 2. Se il beneficio della ricostriuzione è non superiore a 2, allora i dueComuni decideranno di non provvedere alla ricostruzione del ponte.(d) Nei casi sopra non elencati (e quindi per valori di y>2), uno dei due Comuni

adotterà un comportamento opportunistico e gli equilibri di Nash del gioco saranno{C,NC} ed {NC,C}.

Esercizio 9. Il sindaco di Musicopoli vuole organizzare un concero nel parco cit-tadino. (1) Supponendo che la popolazione si componga di 100 consumatori identicie che il sindaco sappia che il beneficio marginale che ciascun cittadino ricaverebbedall’evento è

MBi = 11− 15h

dove h è il numero di minuti di musica, costruite e rappresentate graficamente ilbeneficio marginale sociale (ovvero l’aggregato dei benefici marginali dei singoli con-sumatori) connesso all’evento. (2) Supponendo che il costo totale dell’evento sia

TC(h) = h2

e supponendo che il sindaco disponga dell’autorità necessaria ad imporre a tutti icittadini di pagare per l’evento, inividuate la durata ottimale del concerto ed il con-tributo richiesto a ciascuno.

Esercizio 9. Soluzione. (1) La curva di beneficio marginale di ciascun abitantedi musicopoli si caratterizza per una pendenza pari a -15 , per un’intercetta verticale(0; 11) e per un’intercetta orizzontale pari a (55; 0). Graficamente

16

h

MB

55

11

MBi

dal momento che il bene è non rivale e non escludibile, per ottenere la curva dibeneficio marginale sociale di tutti i 100 contribuenti devo sommare le loro curvedi beneficio marginale individuali verticalmente. Formalmente il beneficio marginalesociale (MBS) per gli abitanti di Musicopoli è

100×MBi = 100ס11− 1

5h¢= 1100− 20h→MBS = 1100− 20h

ovvero

h

MBS, MBi

55

11

Beneficio marginale di 1 consumatore

22Beneficio marginale di 2 consumatori

Beneficio marginale di 3 consumatori

33

Beneficio marginale sociale

(2) Data la disponibilità a pagare dei consumatori ed il costo marginale dell’evento

MC(h) = 2h

la condizione MBS=MC implica

1100− 20h = 2h→ h∗ = 110022 = 50

per un prezzo complessivo pagato dalla cittadinanza pari a

MBS∗ = 1100− 20× h∗ = 100

ed un contributo procapite di uno

MB∗i =MBS∗

100 = 1

Graficamente

17

h

MB

55

11

Beneficio marginale sociale

50

MC=2m

100

1Contributo di ciascun consumatore

Beneficio marginale individuale

Contributo della collettività nel suo complesso alla fornitura del bene pubblico

.

Esercizio 10. Un Governo deve decidere quale ammontare di bene pubblico fornire.Ci sono solo due cittadini interessati a tale bene (A e B). Le curve della disponibilitàa pagare (ovvero le curve di beneficio marginale) di ognuno dei due cittadini sono

MBA = 2− 16Q e MBB = 4− 1

3Q

La produzione del bene ha un costo

TC(Q) = Q2

4 + 9

(1) Individuate (anche graficamente) la quantità ottimale di bene pubblico specifi-cando il contributo complessivo, quello individuale e l’introito pubblico (supponendoche il Governo abbia la facoltà di imporre ai contribuenti di partecipare al finanzi-amento della spesa per la produzione del bene pubblico). (2) Se il Governo dovesseimporre ad entrambi i cittadini un contributo alla produzione del bene pubblico nellastessa misura, ritenete che il bene sarebbe prodotto? Argomentate la risposta.

Esercizio 10. Soluzione. (1) La curva del beneficio marginale di A si caratter-izza per una pendenza pari a -(1/6); un’intercetta verticale (0; 2) ed un’intercettaorizzontale (12; 0). La curva del beneficio marginale di B si caratterizza per unapendenza pari a -(1/3); un’intercetta verticale (0; 4) ed un’intercetta orizzontale (12;0). Dunque graficamente

18

Q

MB,MC

12

2Beneficio marginale di A

4 Beneficio marginale di B

da cui un beneficio marginale sociale pari a

MBS =MBA +MBB = 2− 16Q+ 4−

13Q = 6−

12Q

Q

MB,MC

12

2Beneficio marginale di A

4 Beneficio marginale di B

6

Beneficio marginale di A+B

La curva di costo marginale èMC(Q) = Q

2

da cuiMBS =MC(Q)→ 6− 1

2Q =Q2 →Q∗ = 6 ,

un contributo complessivo alla realizzazione del bene pubblico pari a

MBS∗ = 6− 3 = 3,

un contributo individuale di

MB∗A = 2− 16Q∗ = 1 e MB∗B = 4− 1

3Q∗ = 2

ed un introito pubblico di

MBS∗ ×Q∗ − TC(Q∗) = 18− 9− 9 = 0

Graficamente

19

Q

MB,MC

12

2Beneficio marginale di A

4 Beneficio marginale di B

6

Beneficio marginale di A+B

MC

6

3

1

(2) Se ad entrambi i contribuienti venisse richiesto di versare un analogo contrib-uto, e quindi se

MB∗∗A =MB∗∗B = MBS∗

2 = 32

il primo consumatore si dichiarerebbe non più interessato al bene pubblico (il benefi-cio derivante dal consumo in questo caso sarebbe nullo). Sul mercato resterebbe soloil consumatore B. Stante il costo di produzione e la disponibilità a pagare dell’unicointeressato avremmo che

MBS =MC(Q)→MBB =MC→ 4− 13Q =

Q2 →Q∗∗ = 24

5 , MBS∗∗ = 4− 13245 =

125

Dal momento che in questo caso il governo subirebbe una perdita, il bene pubbliconon sarebbe fornito:

MBS∗∗ ×Q∗∗ − TC(Q∗∗) = −9Esercizio 11. Nel mercato italiano dei gelati confezionati sono presenti due grandiimprese, la Algida (A), la Sammontana (B), che competono scegliendo simultane-amente la quantità da produrre (à la Cournot). La loro struttura dei costi è laseguente

TC(yA) = yA e TC(yB) = yB

Supponete che la domanda di mercato sia data da: Y = 10−P , dove Y = yA+yB.(1) Determinate l’espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Cal-colate quali saranno la quantità totale, il prezzo di equilibrio nel mercato e i profittidelle due imprese. (3) Supponete ora che l’impresa A diventi uno Stackelberg leadere che quindi faccia la prima mossa scegliendo il proprio volume di produzione primadell’impresa B. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente ilmercato? Perché? (Si risponda senza fare calcoli). (4) Calcolate quali saranno lequantità prodotte da ciascuna impresa, la quantità totale prodotta nel mercato, ilprezzo di equilibrio ed i profitti delle due imprese. (5) Quale tipo di concorrenzapreferiranno i consumatori? Spiegate brevemente.

20

Esercizio 11. Soluzione. (1) E’ necessario innanzitutto calcolare le funzioni dirisposta ottima (usiamo BR per indicare tali funzioni) dei duopolisti. Trattandosi diuna concorrenza simultanea in quantità esse risultano date da

BRA→MRA =MCA (4)

eBRB→MRB =MCB (5)

Dal momento che la domanda inversa è P = 10− Y = 10− yB − yA, abbiamo che iricavi totali delle due imprese sono

TRA = P × yA = 10yA − yB × yA − y2A e TRB = P × yB = 10yB − yA × yB − y2B

da cui i seguenti ricavi marginali

MRA = 10− yB − 2yA eMRB = 10− yA − 2yBSimilmente i costi marginali sono

MCA = 1 eMCB = 1

quindi sostituendo nella (??) e nella (5) otteniamo

BRA→ 10− yB − 2yA = 1→ yA =92 −

12yB (6)

eBRB→ 10− yA − 2yB = 1→ yB =

92 −

12yA (7)

(2) Mettendo a sistema le BR trovate sopra otteniamo½BRA

BRB→½yA =

92 −

12yB

yB =92 −

12yA

→½y∗A = 3y∗B = 3

da cui una quantità complessivamente prodotta pari a

Y ∗ = y∗A + y∗B = 6

un prezzo di equilibrio diP ∗ = 10− Y ∗ = 4

e profitti per ciascun duopolista pari a

π∗A = π∗B = TR∗ − TC∗ = 9

(3) Pur avendo una struttura identica di costi, le due imprese non continueranno aspartirsi equamente il mercato in quanto l’impresa A cercherà di sfruttare il vantaggioche le deriva dalla possibilità di "fare la prima mossa" e produrrà più dell’impresa B.(4) Se l’impresa A diventa uno Stackelberg leader, sceglie il proprio livello di

output anticipando la scelta dell’impresa rivale ovvero anticipando il fatto che

BRB→ 10− yA − 2yB = 1→ yB =92 −

12yA (8)

dunque inserendo nella funzione di profitto di A la scelta ottima dell’impresa Bcontenuta nella BRB , otteniamo

πA =P × yA − yA = (10− yA − yB)× yA − yA =

=£10− yA −

¡92 −

12yA

¢¤× yA − yA =

= 10yA − y2A − 92yA +

12y2A − yA =

= 92yA −

12y2A

21

nel momento in cui ad yB sostituisco il valore della risposta ottima di B, ottengoun profitto per l’impresa A che è funzione esclusivamente di yA. Per trovare quantoproduce l’impresa A, Stackelberg leader, devo semplicemente calcolare la derivata delprofitto risptto a yA e porla uguale a zero

dπAdyA

= 0→ 92 − 2

12yA = 0→ y∗∗A = 9

2 > 3 = y∗A

Sostituendo il valore ottenuto nella funzione di risposta ottima dell’impresa B ottengoquanto produce l’impresa B

y∗∗B = 92 −

12y∗∗A = 9

4 < y∗B

Dunque la quantità di bene complessivamente prodotta è

Y ∗∗ = y∗∗A + y∗∗B = 274 > 6

ed il prezzo a cui è venduta è

P ∗∗ = 10− Y ∗∗ = 134 < 4

I profitti dello stackelberg leader (ovvero dell’impresa A) sono

π∗∗A = 818

mentre quelli dell’impresa B sono

π∗∗B = 8116

(5) Dal momento che nel caso di concorrenza à la Cournot i gelati complessiva-mente venduti ed il prezzo di vendita sono rispettivamente pari a

Y ∗ = y∗A + y∗B = 6 e P ∗ = 10− Y ∗ = 4

mentre in caso di leadership alla Stackelberg si ha

Y ∗∗ = y∗∗A + y∗∗B = 274 > 6 e P ∗∗ = 10− Y ∗∗ = 13

4 < 4

i consumatori preferiranno sicuramente una concorrenza à la Stackelberg in quantoacquisteranno più gelato ad un minor prezzo. Il guadagno di surplus per i con-sumatori dovuto al passaggio da una concorrenza simultanea - à la Cournot - aduna sequenziale - à la Stackelberg - è rappresentato dall’area azzurra nel grafico sot-tostante.

MC

Y

p

1

10

D, curva di domanda inversa

9 10

4

6

Equilibrio di Cournot

Equilibrio di Stackelberg

13/4

27/4

22