parabola archimede
15
1 rchimede e il calcolo dell’area de segmento parabolico Lavoro ispirato al metodo brillantemente descritto dal matematico Reviel Netz nel libro: “Il codice perduto di Archimede” Giancarlo Albricci, giugno 2008 La bellezza di questo lavoro è esclusivamente dovuta al sommo genio di Archimede e all’intelligenza di Reviel Netz. Errori ed imprecisioni sono invece tutti addebitabili a me.
description
Il calcolo dell'area del segmento parabolico col metodo di Archimede
Transcript of parabola archimede
1
Archimede e il calcolo dell’area delsegmento parabolico
Lavoro ispirato al metodobrillantemente descritto dal matematico
Reviel Netz nel libro:“Il codice perduto di Archimede”
Giancarlo Albricci, giugno 2008
La bellezza di questo lavoro è esclusivamente dovuta al sommo geniodi Archimede e all’intelligenza di Reviel Netz.Errori ed imprecisioni sono invece tutti addebitabili a me.
2
Come Archimede calcolò l’areadi un segmento parabolico
ABCCBAS 3
4
L’area del segmento parabolico ABC è uguale ai 4/3dell’area del triangolo isoscele inscritto ABC .
3
CZ = tangente alla parabola
DE = asse della parabola
AZ = parallela a DE
CK = prolungamento di CB
Dato il segmento parabolico ABCArchimede traccia le seguenti linee:
4
Archimede aveva precedentemente dimostrato che:AK = KZ DB = BE CB =BK
Ne conseguono subito le proprietà dei triangoli su base AC:
ACZACKABCACZACK 4
1
2
1
2
1
Se definiamo:(PQR) = area triangolo PQR
5
Archimede posiziona il punto X a caso sul segmento AC etraccia la linea XONM parallela all’asse della parabola
Con le proprietà della parabola Archimede dimostra che
MX : OX = AC : AX
6
Archimede prolunga KT = CK ; poi trasporta OX in T ponendoSH = OX con SH parallelo e uguale a OX e T punto medio di SH
A causa del parallelismo si ha AC : AX = KC : KNquindi MX : OX = KC : KN ossia MX : OX = KT : KN
MX : SH = KT : KN
e infine
7
MX : SH = KT : KN
Archimede considera i segmenti MX e SH come pesisu una bilancia di bracci TK e KN.La proporzione gli dice che tali pesi stanno in equilibrio.
8
Quindi: ogni linea MX parallela all'asse della parabola, e internaal triangolo ACZ, è in equilibrio con la sua sezione OX delimitatadal segmento parabolico ABC posizionata in T rispetto al fulcro K.
Genialità di Archimede:ciò vale per tutte le linee MX e OX, QUINDI vale anche seconsideriamo queste linee tutte insieme.
La somma di tutte le linee MX dà il triangolo ACZ, la somma ditutte le linee OX dà il segmento parabolico ABC.
Il triangolo ACZ è in equilibrio con il segmento parabolico ABC(posizionato in T) rispetto al fulcro K.
Ma dove va posizionato il peso di ACZVisto che la posizione del punto X è variabile?
9
Dove va posizionato il peso di ACZ, visto che la posizione di N è variabile sulla mediana KC?
Nel baricentro di ACZ, che si trova sulla mediana KC a distanza1/3 KC (ossia 1/3 KT) dal fulcro K.
10
Il baricentro di ACZ è sulla mediana KC a distanza1/3 KC (ossia 1/3 KT) dal fulcro K.
Siccome il braccio di ACZ è 1/3 del braccio KT e i pesi sono inequilibrio, ne consegue che il peso di ACZ è triplo del peso delsegmento parabolico ABC.
11
Il peso di ACZ è triplo del peso del segmento parabolico ABC
dunque l’area del segmento parabolico ABC è 1/3 dell’areadel triangolo ACZ.
12
L’area del segmento parabolico ABC è 1/3 dell’areadel triangolo ACZ; ne consegue dunque:
ABCABCACZCBAS 3
44
3
1
3
1
13
Siamo arrivati con ciò alla formula di Archimede:
ABCCBAS 3
4
L’area del segmento parabolico è uguale ai 4/3dell’area del triangolo isoscele inscritto nelsegmento parabolico
14
L’innovazione di Archimede sta in un passo fondamentale,che ripetiamo:
E’ il primo esempio di somme di infiniti segmenti di areainfinitesima che danno come risultato delle aree finite.Un uso del calcolo infinitesimale che verrà sviluppatopiù di mille anni dopo!
Inoltre l’idea di applicare la fisica (delle leve) a un problemamatematico è anch’essa un’idea innovativa
Conclusione: Archimede era un genio.
La somma di tutte le linee MX dà il triangolo ACZ, la sommadi tutte le linee OX dà il segmento parabolico ABC.
15
Archimede e il calcolo dell’area delsegmento parabolico
Lavoro ispirato al metodobrillantemente descritto dal matematico
Reviel Netz nel libro:“Il codice perduto di Archimede”
Giancarlo Albricci, giugno 2008
La bellezza di questo lavoro è esclusivamente dovuta al sommo geniodi Archimede e all’intelligenza di Reviel Netz.Errori ed imprecisioni sono invece tutti addebitabili a me.
