….LA PARABOLA…. Definizione di parabolaDisegno delle paraboleEquazioni delle paraboleConcavitàGraficiEsempio dell’applicazione della definizione di parabolaFormule, spiegazioni e esempiTangenti ed esempiPassaggi risolutivi

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

La parabola può presentarsi con le seguenti equazioni:Y = ax2 + bx + cY = ax2 + bx Y = ax2 + c

Esempio dell’applicazione della definizione di parabola

Determinare l’equazione di una parabola con fuoco F(3;5) e con direttrice y=1; considerando un punto P(x;y) appartenente alla parabola e H(x;1) derivante dall’incontro perpendicolare tra P e la direttrice.

PF = PH

=

X2-6x+9+y2-10y+25 = y2-2y+1

-8y = -x2+6x-33

Y= x2 - x +

Per disegnare una parabola cosa mi occorre conoscere??

• VERTICE V =

• FUOCO F =

• DIRETTRICE Y =

• ASSE DI SIMMETRIA X =

• EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CONOSCENDO V E a

Y –Yv = a(X-Xv)2

Determina l’equazione di una parabola con V(3:5) e passante per un punto A (1;-6)

Y –Yv = a(X-Xv)2

Y-5 = a(X-3)2 *

-6-5 = a(1-3)2

-11 = 4a a = −114

* Y-5 = − 114 (X2-6X+9)

Y = 5 −114 X2 + 332 X −994

Y = −114 X2 + 332 X −994 +204

Y = −114 X2 + 332 X −794

TANGENTE DELLA PARABOLA IN UN SUO PUNTO

Y - Yo = m ( X - Xo )

2aXo + b

ESEMPIO DI APPLICAZIONE FORMULA

Y = X2 + 2X+1Xo =2Yo = 4+4+1=9m = 2*2*1+2 = 6Y-9 = 6 ( X-2 )Y-9 = 6X – 12Y = 6X - 3

TANGENTI ALLA PARABOLA MANDATE DA UN PUNTO ESTERNO𝑌= −𝑋2 + 4 𝑃ሺ6;9ሻ→𝑃𝑈𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝑇𝐸𝑅𝑁𝑂

Determino il fascio di rette

൜𝑦− 9 = 𝑚(𝑥− 6)𝑦= −𝑥2 + 4

−𝑥2 + 4− 9 = 𝑚𝑥− 6𝑚 −𝑥2 − 𝑚𝑥+ 6𝑚− 5 = 0 𝑥2 + 𝑚𝑥− 6𝑚+ 5 = 0

Δ = 0 → Per determinare m 𝑚2 − 4ሺ−6𝑚+ 5ሻ= 0 𝑚2 + 24𝑚− 20 = 0

Δ/4 = 144 +20 = 164 𝑚21 = −12± ξ164 𝑡1:𝑦= ൫−12− 2ξ41൯𝑥− 6൫−12− 2ξ41൯+ 9

𝑦= −2൫6+ ξ41൯𝑥+ 72+ 12ξ41+ 9

𝑦= −2൫6+ ξ41൯𝑥+ 81+ 12ξ41

𝑡2:𝑦= ൫−12+ 2ξ41൯𝑥− 6൫−12+ 2ξ41൯+ 9

𝑦= −2൫6− ξ41൯𝑥+ 72− 12ξ41+ 9

𝑦= −2൫6− ξ41൯𝑥+ 81− 12ξ41

• PARABOLA PASSANTE PER 3 PUNTI1. Sostituisco alla X e alla Y dell’equazione generale le coordinate del 1° punto2. Sostituisco le coordinate del 2° punto3. Sostituisco le coordinate del 3° punto4. Risolvo con la sostituzione o con la regola di Cramer il sistema in a; b; c

• RAPPRESENTA LA PARABOLA Y = aX 2 + bX + C graficamente1. Determino le coordinate del vertice

2. Analizzo la concavità della parabole per capire se la parabola taglia l’asse delle X 3. Determino l’intersezione con l’asse Y legando al sistema la parabola con X = 04. Determino le eventuali intersezioni con l’asse X o con una opportuna retta parallela

all’asse X legando al sistema la parabola con Y = 0 se si interseca con l’asse X oppure Y = k nell’altro caso.

5. Rappresento graficamente

• DETERMINA L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE Y = d1. Considero un punto P (x ; y) appartenente alla parabola2. Considero un punto H (x ; d) appartenente alla direttrice3. Imposto l’equazione PH = PF; dove F rappresenta il fuoco della parabola4. Risolvendo l’equazione sopra riportata ricavo la parabola richiesta5. N.B: ripassare i 3 casi di distanza tra due punti

• TANGENTI DA RICAVARE AD UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO1. I dati a disposizione sono: l’equazione della parabola e l’ascissa del punto di

tangenza. Utilizzo la formula Y-Yо = m (X - Xo).2. Determino, per prima cosa, l’ordinata del punto di tangenza sostituendo alla X

dell’equazione della parabola il valore assegnato3. Lego l’equazione della parabola all’equazione ricavata dalla formula sopra

indicata. Risolvo la formula scambiando la lettera m con il valore corrispondente trovato dopo l’esecuzione dei calcoli, ponendo Δ=0 avremo un'equazione di secondo grado in incognita "m" e non più in "x" .

4. Risolviamo l'equazione e troviamo il valore di "m" che sarà il coefficiente angolare della tangente richiesta

…FINE…

Federica F. Caffù2c igeaA.s. 2008/2009