Paolo Bagnaia Corso di Fisica CTF (A-L) A.A. 2002-2003 · • Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di...

Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione 1♠

Corso di FisicaCTF (A-L)

A.A. 2002-2003

Paolo Bagnaia

Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione 2

Orario 2003

Lezioni :- lunedì 13-15 aula Conversi;- martedì 13-15 aula Magna;- mercoledì 14-16 aula Magna;- giovedì 12-13 aula Magna.

Ricevimento :

Dip. Fisica, ed. Marconi, 2º piano, stanza 126;martedì + mercoledì, ore 10-13.

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Testi consigliati

• Halliday-Resnick-Walker(edizione “breve” !!!)

• Tipler (… !!!)• Serway (… !!!)• [esercizi nel testo]• Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di Fisica• Davidson - Metodi matematici per un corso

introduttivo di Fisica.

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Sommario• 1 - Meccanica - Cinematica, Statica, Dinamica.

• 2 - Meccanica dei Fluidi.

• 3 - Termodinamica.

• 4 - Elettromagnetismo - Elettrostatica, Correntielettriche, Fenomeni magnetici, Induzione, Ottica.

• 5 - Onde e Oscillazioni. N.B. programma completo → guida della Facoltà

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Programma 02-03 - pag. 1/5

1. Il metodo sperimentale – La misura e gli osservabili in fisica. Il sistema unità di misura. Le dimensioni ed i cambiamenti di unità di misura. Rappresentazione delle misure. Errori di misura e loro valutazione. Errori casuali e sistematici.2. Cinematica – Sistemi di riferimento. Grandezze scalari e vettoriali. Velocità

istantanea. Il moto rettilineo uniforme. Il moto accelerato: moto uniformemente Scomposizione dei vettori. Somma e prodotti tra vettori. Moto in più dimensioni. uniforme: velocità angolare. Moti relativi.3. Dinamica del punto – Definizione di forza. Prima legge della dinamica. I sistemi

riferimento inerziali. Seconda legge della dinamica. Terza legge della dinamica. I lavoro: forze costanti, forze variabili. Teorema dell’energia cinetica. Potenza. Forza elastiche. Forze di attrito: attrito statico e dinamico. Forze conservative. Energia Conservazione dell’energia meccanica. Moti oscillatori e periodici. Il pendolo. armonico: equazioni del moto e conservazione dell’energia.

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4. Sistemi di punti materiali – Il centro di massa. Leggi della dinamica per un Impulso e quantità di moto. Conservazione della quantità di moto: caso elastici ed anelastici in una dimensione.

5. Equilibrio dei corpi – Momento di una forza. Condizioni di equilibrio. Leve.

6. La gravitazione universale – Legge di Gravitazione. Leggi di Keplero.

7. I fluidi – Proprietà dei fluidi e dei liquidi. Densità e pressione. Principio di Pascal. di Archimede. Legge di Stevino. Linee di flusso ed equazione di continuità. dell’energia: equazione di Bernoulli. I liquidi reali: la viscosità. Moti laminari e Legge di Hagen – Poiseuille. Legge di Stokes: velocità di sedimentazione.

8. Onde – Onde e particelle. Onde in una corda tesa. Lunghezza d’onda e frequenza. Onde stazionarie. Onde acustiche. Ampiezza ed intensità di un onda.

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Programma 02-03 - pag. 3/59. Calorimetria e Termodinamica – Il calore: misura ed unità di misura. Il calore

calore latente. La temperatura e le scale termometriche. Leggi di dilatazione termica. zero della termodinamica. Primo principio della termodinamica. Leggi dei Gas Trasformazioni isoterme, isocore, isobare ed adiabatiche. Teoria cinetica dei gas. Avogadro. Calori specifici molari. Trasformazioni reversibili ed irreversibili. Cicli termodinamici. Secondo principio della Termodinamica. Macchine termiche: ciclo di Entropia e sue variazioni.10. Elettrostatica – Cariche elettriche. Forze elettriche: legge di Coulomb. Struttura

e proprietà elettriche della materia. Il campo elettrico. Il dipolo elettrico. Legge di potenziale elettrico. I conduttori e l’induzione elettrica. Capacità elettrica. Superfici equipotenziali. Studio di alcuni esempi notevoli: campo elettrico generato da una puntiforme, da distribuzioni di carica su fili, strati e doppi strati. I condensatori. dell’energia immagazzinata in un campo elettrico. 11. Corrente elettrica e circuiti elettrici – La conduzione nei metalli. Densità di

Resistività e resistenza. Le leggi di Ohm. Energia e potenza nei circuiti elettrici. tensione e di corrente. Circuiti elettrici in corrente continua. Carica e scarica dei

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12. L’elettromagnetismo – Il campo magnetico. Corrente elettrica e campo di Biot e Savart. Legge di Ampere. Dipolo magnetico. Forza di Lorentz. Legge di Legge di Lenz. Energia immagazzinata in un campo magnetico. Autoinduzione. Equazioni di Maxwell (cenni). Onde elettromagnetiche. Velocità della luce. Il Huygens.

13. Ottica geometrica – Limiti dell’ottica geometrica. Le leggi della riflessione e rifrazione. Riflessione totale. Specchi piani. Specchi sferici. Diottro sferico. Lenti Strumenti ottici.

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Programma 02-03 - pag. 5/5Bibliografia Lo studente può utilizzare liberamente i libri di testo che ritiene più idonei a preparare l'esame. Può fare riferimento ai testi seguenti, sia per la preparazione della prova orale che di quella scritta :

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• Halliday, Resnick, Walker - Fondamenti di Fisica - Casa Editrice Ambrosiana, 1995.• Serway - Principi di Fisica - EdiSES, 1996.• Duncan - Fisica per Scienze Biomediche - Casa Editrice Ambrosiana, 1994.• Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di Fisica per Biologia e Scienze Naturali - Cisu, 1988.• Ragozzino - Problemi di Fisica con soluzione esplicita ragionata - Casa Editrice

Ambrosiana, 1993.• Davidson - Metodi matematici per un corso introduttivo di Fisica - EdiSES, 1998.


Prove finali! scritto + orale (~ 1 ogni 1.5 mesi);! scritto :

! prenotazione in portineria;! lo scritto annulla i precedenti;! tre ore, possibile ritirarsi entro ~ 1 ora;! ammissione all’orale se voto (altrimenti “N.A.”);! (se positivo) validità > 6 mesi (vedere avviso);

! orale :! prenotazione in portineria (foglio differente);

! se ok, verbale comune con matematica (“corsointegrato”).

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Scritti• tre ore;• al Palazzo degli esami

(via Induno, vicino a viale Trastevere)[non sempre, vedi foglio prenotazioni];

• testi “teorici” : si;• libri o quaderni di esercizi : no;• fogli distribuiti all’inizio :

– bella copia [unico da riconsegnare] con 1 esercizio/facciata;

– brutta copia;– testo.

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Esoneri• da tre anni, lo scritto può essere sostituito da

“compiti di esonero”;• due compiti :

" primo compito (marzo) riservato a chi frequenta;" prenotazioni per il primo esonero in aula;" secondo compito (fine maggio) riservato a chi ha

superato il primo;" esonero per chi supera il secondo compito.

• molti esercizi semplici,• esonero valido ~ 1 anno (se no, fare lo scritto).

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Avviso ai naviganti (su internet)

Queste presentazioni sono state espressamente create per gli studenti del primo annodel Corso di Laurea in CTF della “Sapienza”. Nonostante ciò, la loro utilità didattica ètutt’altro che garantita. La maggior parte dei miei colleghi docenti di Fisica, interpellatial riguardo, hanno espresso l’opinione che questo tipo di presentazione oscura i realicontenuti sotto la sofisticazione tecnologica e la raffinatezza formale, in analogia con gli spot televisivi, che mascherano rozzi messaggi commerciali con delle apparenzeraffinate.

La mia opinione personale è meno negativa : penso che una tecnologia potente, in mano ad un docente esperto e a studenti maturi, possa produrre dei buoni risultati. Tuttavia, come in tutte le scienze sperimentali, la sola verifica possibile è nel risultatoreale, cioè nella utilità riscontrata dagli studenti.

Pertanto, tutti coloro che volessero esprimere critiche, commenti, apprezzamenti di qualsiasi genere (oltre ovviamente segnalare errori tecnici, formali o sostanziali) sonovivamente pregati di farmi conoscere la loro opinione. Mi si permetta di ricordare che èmolto difficile produrre della buona didattica senza una continua interazione con glistudenti.

P.B., Roma, gennaio 2001♠


Sito web• Sito WWW :

http://www.uniroma1.it

→ dipartimenti

→ Fisica

→ DIDATTICA

→ SERVER CON INFORMAZIONI SULLA DIDATTICA

→ FISICA PER FARMACIA

[http://www.phys.uniroma1.it/DOCS/CORSI/ChFar/bagnaia/index.html]

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Paolo Bagnaia - CTF - Introduzione 15♠

Fine Introduzione

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Cinematica 1

La Meccanica• Cinematica, Statica, Dinamica.

• La cinematica studia il moto dei corpi in modo descrittivo, senza indagarne le cause.

• Cinematica = geometria analitica ⊕ evoluzione temporale.

• Moto in una (per cominciare) e più dimensioni

• ! quanti valori per identificare la posizione di un corpo ? Concetto di “grado di libertà”.

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x

y

P(x’,y’)

f(x,y) : equazione della traiettoria(no tempo)

Rappresentazioni grafiche del moto

Differenti !!!t

x

x’=x’(t’)

x = x(t) : equazione oraria del moto

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Velocità e accelerazione• Per ora, solo in una dimensione.

• Spostamento ∆x :

• Velocità media nel tempo t :

• Velocità istantanea al tempo t :

• Accelerazione media e istantanea :

)()( 12 txtxx −=∆

dtdx

ttxttx

txv ≡

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆

)()(limlim0t0t

ttxttx

tttxtx

txvM ∆

−∆+=−−=

∆∆= )()()()( 11

12

12

2

2

00

11

12

12

limlimdt

xddtvd

Δtv(t)Δt)v(t

ΔtΔva

;Δt

)v(tΔt)v(ttt

)v(t)v(tΔtΔva

ΔtΔt

M

≡≡−+==

−+=−−==

→→

♠


interpretazione geometrica

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vMedia = ∆x / ∆t ∝ tan (α)corrisponde alla pendenza del segmento — ;

se ∆t → 0 ⇒ ∆x → 0,il triangolo diviene piùpiccolo, ma α resta finito;il segmento — approssima la tangente alla curva — .

corrispondenza tra i concetti di “derivata”, “pendenza”, “tangente”, “approssimazione lineare”.

x

tt2t1

∆∆∆∆t

∆∆∆∆x

x1

x2

αααα


• corpo fermo : v=0, a=0 : x-xº = v·(t-tº) = 0 ⇒ x = xº.

• moto uniforme : v=cost, a=0 :x-xº = v (t-tº) →→→→ x = xº + v t.

• moto uniformemente accelerato : a=cost ; [tº = 0].v(t) - vº = a t →→→→ v(t) = vº + a t.vM = [v(t) - vº] / 2 = vº + ½ a t .x - xº = vM t→→→→ x = xº + vº t + ½ a t2.

x

t

Esempi :

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moto uniformemente accelerato

x = xº + vº t + ½ a t2; v = vº + a·t.

x

t

♠

v

t

a

t

xo

vo [ <0 !!!]

a

t = - vº/a

t = - vº/a


y = yº + vº t + ½ a t2se : vº = 0 ; a = - gy = yº - ½ g t2

Ex. : trovare t’ per cui y(t’) = 0

Esempio (caduta dei gravi)moto uniformemente accelerato

a = - gscelta del sistema di riferimento (verso l’alto)

yº - ½ g t’2 = 0 →→→→gyt 02' ±=

costante di gravità

???

t’♠

t

y


Vettori :

x

yr=r(t)

O rX

rY

NB : • nel disegno, solo due dimensioni (x,y), aggiungere la terza (z);

• si può scrivere rrrroppure r

→→→→

molte grandezze fisiche possonoessere rappresentate da vettori[ex. punti nello spazio, velocità, ...]

un vettore ha bisogno di 3 “numeri” per essere definito [ex. componenti x,y,z - OPPURE -modulo + 2 angoli]

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Operazioni tra vettori (1)

• somma s = a + b

• differenza d = a - b

♠

a→→→→b→→→→

s→→→→

+

a→→→→

b→→→→d→→→→

-

v→→→→

-v→→→→

→ → →

→→→


Operazioni tra vettori (2)

• prodotto “scalare” s = a · b

• prodotto “vettoriale” v = a × b

♠

a→→→→

b→→→→

b cos φφφφ

a→→→→b→→→→

c→→→→

→ → →

→→→


Velocità, accelerazione → vettori• posizione r = r(t)

• spostamento ∆r = r(t2) - r(t1) = r(t1+∆t) - r(t1)

• velocità media vM= ∆r / ∆t

• velocità istant. v=dr / dt [vx=dx/dt; vy=dy/dt; vz=dz/dt]

• accelerazione media aM = ∆v / ∆t

• accelerazione istant. a = dv(t)/dt = d2r(t)/dt2.

♠

→ →

→ → → → →

→→

→ →

→ →

→ → →


vettore posizione e velocità

• posizione r1, r2;

• spostamento ∆∆∆∆r.

♠

x

y

r1→

r2→

∆∆∆∆r→


Velocità e accelerazione• la velocità istantanea è tangente alla traiettoria

(semplice conseguenza della definizione);• viceversa, l’accelerazione non ha sempre la stessa

direzione;• possiamo scomporla in due componenti :

" componente parallela alla velocità (accelerazionetangenziale); modifica solo il modulo della velocità;

" componente ortogonale alla velocità (accelerazione normale); modifica solo la direzione della velocità;

" [esempi : l’acceleratore e il volante dell’automobile]

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y

xx

y

NB an · v = 0

at · v = a · v

→ →

→ → → →

Accelerazione tangenziale e normale

a

traiettoria

♠

v

at

an

v’


Esempio : moto deigravi in 2 dimensioni

)cosv( ϑ⋅= xt

ϑϑ 22

2

cosv2gtan xxy −⋅=

−⋅⋅=

⋅⋅=

2g21sinv)(

cosv)(

ttty

ttx

ϑ

ϑ

Asse x

Asse y

;00 =x ;cosvv 0 ϑ⋅=x 0=xa

;00 =y ;sinvv 0 ϑ⋅=y g−=ya

♠


x

y

moto dei gravi in 2 dimensioni

♠

[0,0]

θθθθ

v cosθ

v sinθ

[v2 sin(2θ)/(2g), v2 sin2θ/(2g)]

[v2 sin(2θ)/g, 0]


Moto circolare uniforme

⋅=⋅=

)sin()()cos()(

tRtytRtx

ωω

x

y

θR

R/v

v==

ωω

⋅=

⋅−=

)cos(v

)sin(v

tR

tRy

x

ωω

ωω

⋅−=

⋅−=

)sin(

)cos(2

2

tRa

tRay

x

ωω

ωω

RRa

2

2

v== ω

dtd ϑω ≡ [=velocità angolare]

♠

ra 2ω−=→→→→ →→→→


vAv’A

vB

∆θ

αR

R’

Moto circolare uniforme : accelerazionedef. di accelerazione media

triangolo v’A vA

♠

ϑϑα

∆⋅ →∆===−=∆⋅

→ vvvvv

0)2sin(2)2sin(2

t

ABM ta→ → →

RRda 22 vvvdt

==⋅=⋅= ωωϑ→ ∆t → 0 ⇒ ∆θ → 0 ⇒ va → vb ⇒ α → 0 ⇒ a → punta verso il centro.

→ →

ϑα ∆=⇒

⊥⊥′=′

'RR

B

A

BA

vv

vv

→

→

→ →


Le unità di misura

Unitàfondamentali :

• metro (m) : in origine 1/40 000 000 della circonferenza terrestre → definito in modo che c=299 792 458m/s

• secondo (s) : in origine 1/(24x60x60) del giorno solare medio → definito dalla frequenza della luce emessa dal Cesio 133 (1 s = T(cesio) x 9 192 631 770

• massa (Kg) : chilogrammo campione -oppure in funzione delle masse atomiche

Sistema “MKS” (esiste anche il sistema “CGS”) + unità derivate (ex. velocità : spazio / tempo → m/s

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Unità derivate

Si definiscono nuove unità di misura, derivate dalle unità fondamentali. Ex. :• velocità = dx/dt →→→→ misurata in m/s;• accelerazione = d2x/dt2 →→→→ misurata in m/s2.

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Dimensioni delle grandezze fisicheTutte le grandezze fisiche sono definite a partire da pochegrandezze fondamentali.Ex., in meccanica, sono sufficienti TRE grandezze fondamentali.Scegliamo : L, T, M.

Conseguenza : ogni altra grandezza può essere espressa in funzione di MLT [equazioni dimensionali ]. Ex.[v] = [L·T-1]; [a] = [L·T-2]; [f] = [M · L · T-2].NB : si confrontano, sommano, sottraggono solamente grandezze omogenee, cioè con le stesse dimensioni. Ex. v1 = v2 + v3.

→→→→ Gli argomenti di funzioni trascendenti sono “numeri puri”. Ex. x = R · sin(ωt) ove [x] = [R] = [L], [ω] = [T-1].

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Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Cinematica 22♠

Fine parte 1a

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Meccanica del punto 1

Leggi fondamentali della dinamica[I. Newton, ~ 300 anni fa]

• Dal punto di vista della logica formale, sono postulatida cui è possibile derivare altre leggi come teoremi.

• Sono state scelte in modo che esse, e le loro conseguenze, siano in accordo, entro le precisioni dimisura, con le osservazioni sperimentali effettuate.

• Nel tempo, nuovi fenomeni (o migliori precisioni) →→→→miglioramenti successivi; le vecchie leggi sono prime approssimazioni delle nuove (ex. relatività speciale, meccanica quantistica).

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Prima legge“Un corpo non soggetto ad interazioni, permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.”

Sembra facile, in realtà :! richiede la conoscenza delle interazioni, a priori dal loro effetto

sul moto dei corpi (altrimenti è un enunciato “circolare”);! si può sempre trovare un sistema di riferimento in cui il

principio sia soddisfatto (ex. un sistema solidale con il corpo allo studio), in modo che il principio sia banalmente valido pertutti i corpi, soggetti ad interazioni, oppure no.

¿ come si risolve questo problema ?♠


SoluzionePrima legge modificata : “Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in un sistema di riferimento inerziale”.

! la legge dice che il moto dei corpi si può studiare solo nei sistemi in cui non compaiono anomalie (accelerazioni non dovute ad interazioni);

! dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi dei sistemi di riferimento inerziali;

! dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo uniforme sono equivalenti.

[NB. non abbiamo fatto ricorso al concetto di “stelle fisse” (?!)]

♠


Seconda legge“Una forza impressa ad un corpo produce un’accelerazione parallela alla forza e ad essa proporzionale; il coefficiente diproporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietàintrinseche del corpo.”

F = m a

! richiede la conoscenza delle forze, a priori dal loro effetto sul moto dei corpi (altrimenti è un enunciato “circolare”);

! il coefficiente “m” è la massa di un corpo :" la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo; " la massa si mantiene la stessa per tutta la vita di un corpo.

♠


Le forze

• la seconda legge è la base di tutta la dinamica :! osservando la natura, si descrivono le forze con leggi

matematiche;! quindi, applicando la seconda legge, si calcola il moto

dei corpi [in sistemi inerziali !!! ] ;

• le forze sono additive : ex., se su un corpo si esercitano due forze ( F1 e F2 ) la legge dice che :

m a = F1 + F2 = FTot

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Unità di misura della forza

[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2]

si misura in Newton (MKS) o in dine (CGS);

1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s2

1 dine = 1 g · 1 cm / 1 s2 = 1 N / 105

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Terza legge“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza FFFFAB su un corpo B, automaticamente il corpo B imprime su A una forza FFFFBA uguale in modulo ed opposta in verso” (Principio di azione e reazione).

FAB = - FBA

! non è particolarmente difficile : molti esempi pratici (nuoto, barche a remi, ecc.);

! nei sistemi isolati, la somma vettoriale di tutte le forze (cioè la forza totale) è sempre nulla, perché tutte le forze tra corpi, comunque complicate, si cancellano due a due.

♠


La forza pesoF = mg · g accelerazione di gravità

[costante, = 9.8 m/s2, verso il basso]

massa (meglio, “massa gravitazionale”)

forza

" g diretta verso il basso (vedi oltre, “gravitazione”);" mg = m per tutti i corpi; cioè la “massa” che compare nel

secondo principio è identica a quella che compare nella espressione della forza peso (perché ???);

" conseguenza : l’accelerazione di caduta è la stessa per tutti i corpi (a = g), ed è indipendente dalla massa.

♠


peso [=mg]

“I vincoli”• esempi : tavoli, rotaie, fili inestensibili, ...• il “trucco” consiste nel sostituire il vincolo con una

forza ortogonale al vincolo, che produca lo stesso effetto sul moto.

Ex. : forza vincolare [=-mg]

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x

y

i vincoli nel moto circolare uniforme

|a| = v2 / r |F | = m v2 / r

la forza è diretta verso il centro (forza centripeta)

in pratica, si può usareun filo robusto (vincolo)

a

aa

♠

a


Scomposizione delle forze• esempio classico : il piano inclinato• la forza totale (Wtot) è diretta verso il basso;• scomposizione :

" sia θ l’angolo del piano inclinato" W · cos θ ortogonale al piano inclinato, bilanciata dalla

forza vincolare;" W · sin θ efficace, parallela al piano inclinato.

• cioè, lungo il piano inclinato :m a = W sin θ = m g sin θ

l’accelerazione di gravità g è minore di un fattore sin θ .

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il piano inclinato

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piano inclinato (caso senza attrito)

θ

W = mgW cos θ

W sin θ

W sin θ

W cos θ


Forze di attrito" due tipi di attrito :" attrito statico (impedisce l’inizio del moto) :

• opposto alle forze che agiscono sul corpo;• valore massimo : Fstat(max) = µs N = µs m g

(NB in modulo, la direzione è differente !!!).

" attrito dinamico (agisce durante il moto) :• F = µd N = µd m g• direzione e verso = - v

" i coefficienti µs e µd sono differenti (µd < µs) e dipendono dalle superfici dei corpi e dalla presenza di lubificanti, polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che impediscano lo scorrimento delle superfici)

♠


il piano inclinato + attrito

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piano inclinato (caso con attrito dinamico)

θ

W = mgW cos θ

W sin θ

FTOT

W cos θFa = µ m g cos θ


il lavoro• Si definisce lavoro di una forza F su un corpo che

si sposta di un tratto d :L = F · d = F d cos θ

• L > 0 se F,d concordi (θ < 90°);• L < 0 se F,d discordi (θ > 90°);• L = 0 se F,d ortogonali (θ = 90°).ex. caduta di un grave da fermo (forza peso) : L = m g h;

attrito dinamico : L < 0;attrito statico : L = 0;moto circolare uniforme (forza centripeta) : L = 0;

♠


Il lavoro

♠

θθθθ d

FL = F · d

L = F d cos θθθθθ d

F

F cos θθθθ


Lavoro di forze variabiliL’espressione precedente puòessere impossibile da calcolare se una delle grandezze in gioco varia di modulo e/o di direzione nel periodo considerato.In tale caso, occorre scomporre il tragitto in intervalli piccoli (al limite, infinitesimi) e considerare il lavoro totale come la somma dei lavori infinitesimi, corrispondenti ai tragitti:

♠

x

F(x)

L =∫ F(x)·dx→→→→ →→→→


Unità di misura del Lavoro[e di tutte le grandezze con le stesse dimensioni]

[L] = [F d] = [m l2 t- -2]

MKS : J = joule = 1 newton · 1 metro;CGS : erg = 1 dine · 1 centimetro = 1 J / 107.

♠


Energia cinetica• Un corpo, di massa m e velocità v (modulo),

possiede un’energia cinetica data da :

K = ½ m v2

• K dipende solo dal modulo della velocità, non da direzione e verso;

• [K] = [ m v2 ] = [ m l2 t -2 ] = [ L ]• pertanto K si misura in J (erg).

♠


teorema dell’energia cinetica

♠

Il lavoro totale delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso :

L = ∆ K = KFIN - KINIy

x

traiettoria

INI

FIN

vFIN

vINI

• valido per qualsiasi forza;• correla grandezze differenti :

! lavoro (forze, spostamenti);! en. cinetica (massa, velocità).


.20v

21-2v

21

)20v-2v(

21

)0v+v(210v-v

mm

m

tt

m

xamxFL

=

==

=∆⋅∆

⋅=

=∆⋅⋅=∆⋅=

Dimostrazione (caso unidimensionale con accelerazione costante)

teorema dell’energia cinetica (2)

♠

.)0vv(21)0vv(210v

0

;2)(210v0

;/)0v-v(media

ttt

xxxtatxx

ta

∆+⋅==∆−⋅+∆=

=∆=−∆⋅+∆+=

∆=


teorema dell’energia cinetica (3)

♠

Dimostrazione (caso unidimensionale generale) ∫ ⋅=

1

0

)(x

xdxxFL

)20v2

1v(v

v 21=vv

1

0

−= ∫ mdmL QED

vvvvv

v)(

dmdxdxdmdx

dtdx

dxdm

dxdtdmdxamdxxF

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=⋅


La potenza• definizione :

il lavoro compiuto nell’unità di tempoW = dL / dt

1 Watt = 1 W = 1 J / 1 s(anche : cavallo-vapore = 736 W

lavoro in watt-ora = 3600 J)

W = dL / dt = d (F · x) / dt = F · v [ NB : se F costante ]

♠


Forze conservative• una forza è conservativa se :

" in ogni ciclo chiuso L=0;- oppure -

! L in un cammino dipende solo dai punti iniziale e finale e NON dalla traiettoria

y

x

A

B

" LAB + LBA = 0;! LAB= -LBA.

[dimostrazione facile, da LAB = -LBA per le proprietàdegli integrali]

♠


• se una forza è conservativa, si può definire una funzione U(x), che dipende unicamente dal punto dello spazio x, tale che [notare i “-” ] :

LAB = -∆UAB = U(xA) - U(xB) ;

U(xB) = U(xA) - ∫AB F ·dx

• Teorema energia cinetica →LAB = KB - KA = UA - UB ;

KB + UB = KA + UA = ETOT = costante

Energia potenziale

♠


differenze di energia potenzialeNB L’energia potenziale non èuna grandezza direttamente misurabile. Solamente le differenze di e.p. hanno rilevanza in fisica (v. pag. prec.). La scelta del punto di riferimento, rispetto a cui si calcola l’e.p., si cancellanelle differenze.e.g. due scelte : U(x0)=0oppure U*(x1)=0.

U(xA)-U(xB) = LAB = LA0 + L0B == LA1 + L1B = U*(xA)-U*(xB) x

y

P0

A

B

P1

♠


Conservazione dell’energia

♠

y

x

A

B

ETOT è la stessa nei vari

punti del percorso !!!

solo forze conservative

KB + UB = KA + UA = ETOT = cost.


forze conservative : gravitàGravità :

U(x) = U(xo) - L= U(xo) - m g h= - m g h + costante

Ex. U(xA) = 0; K(xA) = 0;U(xB) = -mgh; K(xB) = ½ m vB

2 = ?→ 0 = -mgh + ½ m vB

2 → vB = (2gh)½

oppure U(xB) = 0; U(xA) = +mgh;→ 0 + mgh = 0 + ½ m vB

2

→ vB = (2gh)½

A

B

(!!!!)♠


forze conservative : mollaForze elastiche (ex. molla) :

F = - Kx• la forza è proporzionale alla deformazione della molla;• la costante di proporzionalità K indica la “robustezza” della

molla (= forza per deformazione unitaria);• la forza è diretta lungo l’asse della molla, in senso opposto alla

deformazione;• la forza è conservativa (facile : immaginare un ciclo).

U(x) = - L = - ∫dx (-Kx) = ½ K x2 + costante.

½ m v2 + ½ K x2 = costante.

♠


forze elastiche

♠

x1

F1

x3

F3

x0

x2 = 0

F2 = 0


forze elastiche : energia

♠

x1

F1

x3

F3

x0

x2 = 0

F2 = 0

KUva

—0←3

—

→02

—0→1

KUva

—0←4

—

←05

—0→6


Oscillazioni - moto armonicoEx. molla (v. indietro) :

F = - K x; U = ½ K x2;" la forza riporta il corpo nel punto di equilibrio (segno “-”)

→ oscillazioni, moto periodico;" ricordiamo il moto circolare uniforme (a = - ωr);" proiettiamo su un asse (ex. x) - moto “armonico” :

! x = A sin (ωt);! v = dx/dt = Aω cos (ωt);! a = dv/dt = d2x/dt2 = -Aω2 sin (ωt);→ F = - Kx = - KA sin (ωt) = ma = - m A ω2 sin (ωt);→ ω = (K / m)½; T = 2π / ω = 2π (m / K)½;

" le oscillazioni sono “isocrone” (ω e T non dipendono da A) → oscillazioni più ampie sono compiute a velocità maggiore;

♠


moto armonico

♠

x

y

x

t

x

x(t) = A sin (ωt + φ)

A

T = 2π / ω

proiettare il moto circolare uniforme

sull’asse x


moto armonico : energia

♠

x(t) = A sin (ωt + φ)v(t) = A ω cos (ωt + φ)

x

UK

t

x,v

AAω

E = ½Kx2 + ½mv2 = [ω = (K / m)½]= ½K[Asin(ωt + φ)]2 + ½m[Aωcos(ωt + φ)]2 == ½KA2 = ½mA2 ω2 = costante


forze conservative : pendolo

♠

Fpeso = m g (verso il basso)Ffilo = (vincolo lungo il filo)

tutte le forze sono conservative.

U = m g h = m g L (1 - cos θ)

Lθ

h = L (1-cos θ)m

anche : proiettare le forze lungo assi (parallelo e ortogonale al filo) :FPAR = mg cos θ + T = 0FORT = - mg sin θ ≈ - mg θ (“-” indica la direzione verso

il punto di equilibrio)


equazione del pendoloPendolo, caso di “piccole oscillazioni” :

x ≈ L θ;F = - m g sin θ ≈ - mg θ = - mg x / L ;

" formalmente identico alla molla, con K = mg / L→ oscillazioni isocrone; frequenza, periodo :

! ω [= (K / m)½] = (g / L)½;! T = 2π / ω = 2π (L / g)½;

"moto armonico, di equazionex = A sin (ωt);A = xMAX = L θMAX.

♠


pendolo

♠

FPAR = mg cos θ + T = 0FORT = - mg sin θ ≈ - mg θ

Lθ

h = L (1-cos θ)

m

mg

mg cos θ

mg sin θ

θ


Forze non conservative

Ex. attrito :• il lavoro dipende dal cammino (a

parità di coefficiente µ, maggiore percorso = maggiore lavoro);

• la forza NON è conservativa (ex. il lavoro in un ciclo chiuso NON ènullo). x

y

A

B

L’energia si disperde nell’ambiente, e.g. sotto forma di calore.

♠

LAB > L’AB

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Meccanica del punto 39♠

Fine parte 1b

Paolo Bagnaia - CTF - 1c - Meccanica dei sistemi 1

Sistemi di punti materiali• n punti materiali di massa mi e posizione ri

(i = 1,2,3,...,N);

definizione di centro di massa :

→ MTOTrCM = Σ miri;

MTOTvCM = Σ mivi; .... segue ...

♠

......

321

332211

++++++

==∑∑

mmmrmrmrm

mrmri

iicm

→→→→→→→→ →→→→ →→→→ →→→→


... segue ...

→ MTOTrCM = Σ miri;

MTOTvCM = Σ mivi;

MTOTaCM = Σ miai = Σ fiTOT = Σ fi

EXT + Σ fiINT

Sistemi di punti materiali (2)

♠

Teorema del centro di massa : il moto (virtuale) del c.m. èdeteminato dalle sole forze esterne al sistema; le forze interne determinano i moti relativi dei membri del sistema :

MTOTaCM = Σ fiEXT = FTOT

EXT

= 0

Principio di azione e reazione


quantità di motodefinizione : p = m v

→ F [= ma = m dv/dt = d (mv) / dt ] = dp / dt[spesso citata come espressione corretta della 2ª legge, include i sistemi a massa variabile, per cui dm/dt ≠ 0].Nei sistemi a molti punti, definiamo :

P = Σ pi = Σ mivi = MTOT vCM

Possiamo scrivere il teorema del centro di massa :FTOT

EXT = dP / dtFTOT

EXT=0 → dP / dt = 0

→ P = Σ mivi = costante

♠


Urti! l’urto avviene in un tempo piccolo (qualche ms);! pertanto, le forze d’urto sono molto intense;! pertanto, durante l’urto, possiamo trascurare le altre forze (ex.

gravità, forze elastiche, attriti);! poiché le forze d’urto sono interne al sistema di corpi che

collidono e le forze esterne sono trascurabili, durante l’urto si conserva sempre la quantità di moto totale dei corpi che si urtano [→ P(prima) = P(dopo) ];

! se le forze d’urto sono conservative, poiché l’energia potenziale prima e dopo l’urto è la stessa (forze d’urto nulle fuori della collisione), anche l’energia cinetica si conserva durante l’urto [ → K(prima) = K(dopo) ].

♠


urti elastici (1)! si chiamano u.e. quelli in cui si conserva l’energia cinetica;! la quantità di moto si conserva comunque (vedi sopra);! studiamo il caso (semplice) in cui le forze d’urto sono collineari

con la linea che congiunge i CM dei corpi che si urtano (urti “centrali”, cfr. due palle da biliardo che si “spizzano”);

! semplifichiamo al caso in cui le velocità dei corpi prima dell’urto siano parallele (urti unidimensionali);

! abbiamo quindi (in una sola dimensione) le seguenti variabili :• masse (M, m);• velocità prima dell’urto (V, v) e dopo l’urto (W, w);

! ... e le seguenti equazioni :" conservazione della quantità di moto (in una dimensione);" conservazione dell’energia cinetica.

♠

... segue ...


urti elastici (2)

M m crash !!!

prima dell’urto

♠

M mvV→→→→→→→→

M mwW

→→→→ →→→→

w ? W ?→→→→ →→→→


MV + mv = MW + mw

½MV2 + ½mv2 = ½MW2 + ½mw2

urti elastici (3)

♠

m (v - w) = M (W - V)

m (v - w) (v + w) = M (W - V) (W + V)

w = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m)

W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m)

v + w = W + V → W = v + w - V

m (v - w) = M (v + w - V - V)

w (m + M) = mv - Mv + 2MV

p equazioni iniziali

E

algebra →

← algebra

soluzioni →


urti elastici (4) soluzioniw = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m)

W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m)Casi particolari :

! M=m → w = V, W = v (inversione);

! M>>m, V=0 → w = - v; W ≈ 0 (rimbalzo).

Leggi della riflessione (conseguenza) :1. l’angolo di incidenza θ e quello di

riflessione θ’ sono uguali;2. la traiettoria incidente, quella riflessa e

la normale al piano di riflessione giacciono nello stesso piano.

♠

θ θ’


urti anelastici (1)

♠

MV + mv = (M + m) ww = (MV + mv) / (M + m)

! l’energia cinetica NON si conserva [forze non conservative];! la quantità di moto si conserva [sistema isolato] ;! studiamo solamente il caso estremo :

i due corpi restano attaccati dopo l’urto.

∆K = KFIN - KINI = ½ (M+m) w2 - ½ MV2 - ½ mv2 == - ½ mM (V - v)2 / (M + m) < 0

l’energia cinetica diminuisce(si disperde, ex. in calore o deformazioni)


urti anelastici (2)

M m crash !!!

prima dell’urto

♠

w ?→→→→

M mvV→→→→ →→→→

wM+m

→→→→


• si definisce momento di un vettore v rispetto a un punto P :

m = r ∧ v

• il momento è correlato con il concetto di rotazione attorno ad un asse;

• definiamo il momento della forza ττττ :ττττ = r ∧ f

momento delle forze

v→P

→r

×m (verso il basso)

♠


Equilibrio dei corpi• i corpi puntiformi in quiete sono in equilibrio se

fTOT = Σi fi = 0• i corpi estesi richiedono in più :

ττττTOT = Σi ττττ i = Σi ri ∧ fi = 0

♠

Ex., fTOT = 0, ττττTOT≠ 0,

il corpo ruota :

f1

f2


Tipi di equilibrio! stabile, se il corpo, allontanato

dalla posizione di equilibrio, vi torna;

! instabile, se si allontana ulteriormente;

! indifferente, se resta nella nuova posizione;

♠

Attenzione in più dimensioni, ex. un “punto di sella”.


Forza di gravitazione• le masse (gravitazionali) si attraggono :

23112

12

21 /1067.6; skgmGr

mGmF ⋅×== −

m1 m2F F

stesso modulo, stessa direzione, verso opposto !!! (3 principio)

♠


Gravità e forza peso• se r12 ≈ rterra, m1 ≈ mterra →→→→

F = [GmT/rT2] × m = m g

cioè la forza peso mg è solo un caso particolare della forza di gravità, g dipende solo da mT e rT;

• la forza di gravità è conservativa (facile da dimostrare);

• l’energia potenziale vale :U(r12) = - G m1m2 / r12 + cost

[dimostrare per esercizio : U(r12) partendo da F;U(r12) ≈ mgh, se sulla superficie della terra]

♠


Le leggi di Keplero1. i pianeti percorrono orbite ellittiche; il sole occupa uno dei

fuochi dell’ellisse;2. il raggio vettore tra sole e pianeta spazza aree uguali in

tempi uguali;3. il rapporto tra il quadrato del periodo e il cubo del

semiasse maggiore è lo stesso per tutti i pianeti.

NB :" le leggi sono “dimostrabili” a partire dalla gravità;" valgono per qualsiasi sistema gravitazionale, il sistema solare è solo

un esempio;" approssimazione m(sole) >> m(pianeti).

♠


1ª legge di Kepleroellisse : (x/a)2 + (y/b)2 = 1 (generalizzazione del cerchio, a = b = R).

NB : è un’esagerazione, le orbite reali dei pianeti sono quasi cerchi.

" a, b = semiassi (maggiore, minore);" comete periodiche : ellissi schiacciate;" altri corpi celesti : ellissi oppure

iperboli, parabole

♠

x

y

sole

pianeta


ellisse " ellisse : (x/a)2 + (y/b)2 = 1;" s1 + s2 = d1 + d2 = cost." f1, f2 fuochi.

♠

x

y

s1 s2

d1

d2

f2f1

b

a

! il cerchio è un caso particolare con a = b = s1 = s2 = d1 = d2 = R.


• i due triangoli (! e !) corrispondono a tempi uguali, ed hanno area uguale; pertanto :

∆ A = ½ × r × r θ = ½ r2 ω δt = costante →→→→ ω r2 = v r = costante →→→→ v ∼ 1 / r

2ª legge di Keplero

♠

soler’,θ’r,θ

x

y


3ª legge di Keplerodati due pianeti : T2 / a3 = T’2 / a’3

♠

a’

Dim. (caso particolare, orbite circolari):

m1 ω12 r1 = m1 [2π/T1]2 r1 =

= G ms m1 / r12

→→→→ T12 / r1

3 = 4 π2 / [G ms]

analogamente :

T22 / r2

3 = 4 π2 / [G ms]

pertanto :

T12 / r1

3 = T22 / r2

3 = costante (indipendente dal pianeta)

sole

a

Paolo Bagnaia - CTF - 1c - Meccanica dei sistemi 21♠

Fine parte 1c

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Meccanica dei Fluidi 1

Meccanica dei fluidi

! definizioni;

! statica dei fluidi (principio di Archimede);

! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

[importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue]

♠


Definizioni

• fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma (=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore;

• densità : ρ = dm / dV (= massa / volume, in Kg/m3, g/cm3);

• pressione : p = dF / dA (=forza/ area, in N/m3 = pascal, dine/cm3) [*];

• viscosità : F = η A v / s (forza “di taglio” tra superfici, vedi oltre).

[*] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni, vedi il principio di Pascal).

♠


sv=0

Viscosità

F = η A v / s :" A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; " v = velocità relativa delle lamine;" η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di

temperatura, pressione);" F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine).

Av→F

→

F→

♠


Principio di PascalUn cambiamento di pressione in un fluido è trasmessoinalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti(→ la pressione è isotropa).

F→→→→

p

♠


Statica dei fluidi

[il liquido è a riposo]! F2 = F1 + mg = F1 + ρVg;! p2 = F2 / A = F1 / A + ρVg / A =

= p1 + ρg (y2 - y1);! y1 → 0; y2 - y1 = h; p1 = po = patm; ! p = po + ρgh.

la pressione aumenta linearmente con la profondità.

patm= po

1

2

y

0

♠


vasi comunicanti

il liquido è in quiete → p1 = p2;→ h1 = h2 → il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi;[NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione po]

stessaaltezza

p1p2 p1=p2

popo po po po

♠


Il barometro

• patm + ρgh1 = p=0 + ρg(h1+h2);

• patm = ρ g h2 ;

patm

vuotop=0

l’altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, nédall’altezza h1, ma solo dalla densità ρρρρ e dalla pressione atmosferica patm. Si puòmisurare patm in mm-Hg ( = h2).

♠

h1

h2

ρ


La pressa idraulica

" lavoro, per spostamenti d1 e d2 (= d1 × S1 / S2) :L2 = F2 × d2 = [F1 × S2 / S1] × [d1 × S1 / S2] = F1 × d1 = L1.[le forze sono conservative → l’energia meccanica si conserva → il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone 2]

F2→

S2

F1→

S1

p1 p2

p1 = F1 / S1 = p2 = F2 / S2;

F2 = F1 × S2 / S1 >> F1;

È un moltiplicatore di forza(una “leva idraulica”)

♠


Principio di Archimede

FTOT = (p1 - p2) × d2 = ρliquido g d × d 2 = Vcorpo ρliquido g = mliquido g;“la forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato, ed è diretta verso l’alto”la forza totale sul corpo èFArch + Fpeso = (mliquido - mcorpo) g = (ρliquido - ρcorpo) V g [→ navi, etc.]

p1

p2

" cubetto, di lato d, parallelo alla verticale;" 6 forze, dovute alla pressione, sui lati;" 4 forze (due coppie) si annullano;" restano F1 = p1×d 2 e F2 = p2×d 2;" FTOT = F1 - F2 = (p1 - p2) × d 2;

F2

→F1→

♠


fluido idealein fluidodinamica si definisce il “fluido ideale” :! incompressibile (i.e. ρ è costante, indipendente da p,

v, T, h, ...);! viscosità nulla (η = 0, lavoro di scorrimento nullo);!moto non rotazionale (cfr. i vortici nei fiumi);!moto “laminare” (= le traiettorie delle molecole del

fluido sono linee che non si chiudono e non variano nel tempo).

Concetto di “tubo di flusso” :

♠


Dinamica dei fluidi

nel tempo ∆t, dati due volumi uguali, di area ⊥ S1 e S2 :• attraverso S1 : m1 = ρ V1 = ρ d1 S1 = ρ1 v1 ∆t S1;• attraverso S2 : m2 = ρ V2 = ρ d2 S2 = ρ2 v2 ∆t S2;• ρ1 = ρ2 →→→→ m1 = m2 →→→→ v1 S1 = v2 S2;→→→→ portata Q = dV / dt [= v1 S1 = v2 S2 ] = costante.NB : v ∼ 1 / S (!!!), cfr. le automobili in autostrada ! quale è la differenza ?

Soluzione : ρρρρ ≠≠≠≠ costante

tubo di flussov→→→→

S1

S2

♠


legge di Bernoulli (1)

" esprime la conservazione dell’energia nel moto dei fluidi;" calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della

gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti 2 e 1, per una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) :

! ∆K = K2 - K1 = ½ m v22 - ½ m v1

2 = ½ ρ V (v22 - v1

2);! ∆LG = L12,G = - mg (h2 - h1);! ∆LP = L2,P - L1,P = - (p2 S2 δ2 - p1 S1 δ1) = - (p2 - p1) V;


S1,v1,h1,p1

S2,v2,h2,p2

♠



h = quota (→ energia potenziale);

p = pressione;v = velocità;S δ = V = m / ρ.


S1,v1,h1,p1

S2,v2,h2,p2

spiegazione dei termini :

δ

Sv→

♠



" teorema dell’energia cinetica : ∆K = ∆LG + ∆LP →→→→½ ρ V (v2

2 - v12) = - m g (h2 - h1) - (p2 - p1) V; [ dividere / V ]

½ ρ (v22 - v1

2) = - ρ g (h2 - h1) - (p2 - p1); [riarrangiare i termini]

½ ρ v22 + ρ g h2 + p2 = ½ ρ v1

2 + ρ g h1 + p1; [i due punti sono generici]

½ ρ v2 + ρ g h + p = costante;NB : “costante” →→→→ la somma dei tre termini è la stessa, se calcolata in tutti i

punti del tubo di flusso; inoltre, non varia nel tempo.


S1,v1,h1,p1

S2,v2,h2,p2

♠

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Meccanica dei Fluidi 15♠

Fine parte 2

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Termodinamica 1

Fenomeni termici• calore e temperatura;• dilatazione termica;• calorimetria;• passaggi di calore;• cambiamenti di fase;• 1° principio della termodinamica;• trasformazioni termodinamiche;• i gas perfetti;• 2° principio della termodinamica;• il ciclo di Carnot;• l’entropia.

♠


Calore e temperatura!attenzione : calore ≠ temperatura !!!

[molti esempi : stufe e cerini, ...]! termometro : misura della temperatura;! principio 0 della termodinamica : “due corpi, in

equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio tra loro” [NB equilibrio termico = stessa temperatura];

! definizione di temperatura (poi, meglio) :• 0° = ghiaccio fondente (a pressione atmosferica);• 100° = acqua bollente (” ” ” );

! termometro a gas (scala assoluta, vedi oltre).

♠


dato empirico : T aumenta →→→→ i corpi si dilatano[modellini microscopici].

a) dilatazione lineare, parametro “α” (in gradi C-1) :∆L = L α ∆T;α = (∆L / L) (1/ ∆T );α ≈ 10-5 ÷ 10-6 C-1

b) dilatazione di volume, parametro “β” :∆V = V β ∆T ;β = (∆V / V ) (1/ ∆ T );β ≈ 3 α. [... segue ...]

dilatazione termica

∆L

TT+∆T

♠


calcolo della dilatazione termica∆V / V = (V’ - V) / V =

= [(L + ∆L)3 - L3] / L3 =

= [L3 + 3L2 ∆L + ... - L3) / L3 =

≈ 3L2 ∆L / L3 = 3 ∆L / L.

β = (∆V / V) (1/ ∆T ) =

≈ 3 (∆L / L) (1/ ∆T ) =

= 3 α.

∆L

TT+∆T

♠


il calore" il calore è l’energia che si trasferisce da un

corpo all’altro, a causa delle differenze di temperatura;

" pertanto, si misura in J (= joule);" altra unità (obsoleta) : caloria (= calore

necessario per innalzare di 1 C la massa di 1 g di acqua);

" conversione :! 1 Joule = 0.2389 calorie;! 1 caloria = 4.186 Joule

♠


calorimetria! descrive i trasferimenti di calore, senza studiarne le

cause [analogia : cinematica];! definizioni :• capacità termica C di un corpo : calore necessario ad innalzare di

un grado la temperatura del corpo [per una trasformazione generica : Q = C ∆T ];

• calore specifico c di una sostanza : calore necessario ad innalzare di un grado la temperatura di un grammo della sostanza[per una trasformazione generica : Q = m c ∆T, C = m c ];

• calore specifico “molare” cm di una sostanza (gas) : calore necessario ad innalzare di un grado la temperatura di una mole* della sostanza [per una trasformazione generica : Q = nm cm ∆T, C = nm cm ].[*] 1 mole : NA molecole; NA = numero di Avogadro = 6.02 × 1023.

♠


passaggi di calore

il calore va “spontaneamente” dal corpo più freddo a quello più caldo, fino a che la temperatura dei due corpi non diventa la stessa.

Q(1→2) = Q(2→1) ;m1 c1 Tf - T1 = m2 c2 Tf - T2 ;

m1 c1 (T1 - Tf )= m2 c2 (Tf - T2 ).

Tf

T1 T2Q→

T1 > T2

↓↓↓↓

♠


cambiamenti di fase

per certi valori critici dei parametri della materia (ex. ghiaccio a 0° a pressione atmosferica), una immissione di calore non provoca aumento di temperatura, ma un cambio di “fase” (stato di aggregazione della materia (ex. da solido a liquido) );“calore latente” L = quantità di calore necessaria per il cambiamento di fase di una quantità unitaria di massa del materiale (ex. L[acqua↔ghiaccio] = 333 KJ / Kg) :

Q = L m.

m

↓↓↓↓ Q = L m

♠


trasmissione del calore : conduzione• passaggio del calore tra due corpi a contatto (a livello

microscopico : piccoli urti tra molecole contigue);• legge della conduzione :

H = dQ/dt = k A (T1 - T2) / L

A

T1

T2

L

k = coefficiente di conduzione, dipende dal materiale :

# metalli : k grande, 10÷500 W / (m K);# isolanti termici : k piccolo, .01÷1 W / (m K).

♠


trasmissione del calore : convezione• il liquido, scaldandosi, si

dilata →→→→ diviene meno denso →→→→ risale per il principio di Archimede;

→→→→ in alto fluido caldo, in basso fluido freddo;

• molto comune in natura (pentole di cucina, atmosfera terrestre, ...);NB : la gravità gioca un ruolo : scaldare dal basso o dall’alto è differente !

espansione

principio di Archimede

discesa

♠


trasmissione del calore : irraggiamento• le onde elettromagnetiche (v. oltre) trasportano energia, in

assenza di materiali intermedi;• la potenza irraggiata è data dalla legge di Stefan-Boltzmann :

Wirr = ε σ A T4.

A

costante di S.-B.(5.67×10-8W/m2K4)

area del corpo(m2)

emittanza dellasuperficie ( ≤≤≤≤ 1 )

temperatura(Kelvin, vedi)

♠


termodinamicaConcetti fondamentali (vedi libro di testo) :# stati micro-scopici e macro-scopici;# parametri micro- e macro-scopici;# equilibrio termodinamico;# trasformazioni termodinamiche;# trasformazioni reversibili (e non-reversibili);# variabili di stato (ex. p V T U S );# variabili definite dalla trasformazione (ex. L Q );# equazioni (= leggi) di stato;# principi della termodinamica (leggi delle trasformazioni).

♠


LL’ ≠

Lavoro in una trasformazione

dL = F · ds = (pA) ds = p dV ;

L = ∫ p dV; [NB p è la pressione esterna]

NB : in questo esempio, L > 0

p

V♠

F→→→→

dV

12


precisazione : calore e lavorosecondo le nostre convenzioni :

# L = + ∫ p dV [ L > 0 se il volume aumenta ];[ L < 0 ” ” ” diminuisce ].

# Q > 0 se il sistema (ex. gas) assorbe calore;Q < 0 se il sistema (ex. gas) cede calore;

NB in letteratura, altre convenzioni :Q ↔↔↔↔ - Q; L ↔↔↔↔ - L

controllate bene il vostro testo !!!

♠


esperimento di Joule• i processi termodinamici, in cui il

lavoro si trasforma in calore, nonsono conservativi : L non si trasforma in energia potenziale meccanica, ma “scompare” dando origine a calore;

• equivalenza calore ↔ lavoro (Joule); →→→→

• il lavoro non si “conserva”; forse la somma algebrica di calore e lavoro è una quantità che si conserva ... 1 caloria = 4.186 Joule

♠


1º principio della termodinamica• separatamente, Q e L dipendono dalla trasformazione

(cioè non sono variabili di stato);• si osserva sperimentalmente che la differenza “Q - L” è

una variabile di stato (= per tutte le trasformazioni con gli stessi stati iniziale e finale, “Q - L” è lo stesso);

• si definisce ∆U (= variazione di “energia interna”) la differenza “Q - L” (→→→→ U è una variabile di stato);

• 1º principio della termodinamica :

∆U = Q - L

♠


1º principio della termodinamica : commenti

• 1º principio della termodinamica : ∆U = Q - L ;

• l’enunciato precedente è corretto, ma può indurre in errore : ∆U, Q, L non sono grandezze fisiche definite operativamente, tra cui il principio stabilisce una relazione [cfr. ad ex. “pV = nRT”];

• il significato fisico del principio è invece che la differenza “Q - L” è una variabile di stato (cioè è la stessa per tutte le trasformazioni con gli stessi stati iniziale e finale).

♠


Trasformazioni adiabatiche, isocore, isobare, isoterme, cicliche, libere

! adiabatiche : senza scambi di calore con l’esterno (Q=0 →→→→ ∆U = - L);

! isocore : senza cambiamenti di volume della sostanza (∆V = 0 →→→→ L = 0 →→→→ ∆U = Q);

! isobare : senza cambiamenti di pressione sulla sostanza (L = p ∆V →→→→ ∆U = Q - p ∆V );

! isoterme : a temperatura costante (dipende dalla sostanza, ex. gas perfetto →→→→ ∆U = 0 →→→→ Q = L );

! cicliche : stato finale = stato iniziale (∆U = 0 →→→→ Q = L );! libere (espansione libera) : p = 0 ; Q = L = 0 (∆U = 0).

♠


grafici di trasformazioni adiabatiche, isocore, isobare, isoterme, cicliche, libere

NB * solamente stati di equilibrio (e pertanto trasformazioni che si discostano “poco” dall’equilibrio [ reversibili ] ) possono essere disegnate sul piano p-V.

adiabaticaisocora

ciclica

isobara

isoterma

libera *

V

p

Esempi di trasformazioni

♠


il “gas perfetto”• semplice sistema termodinamico, su

cui è facile ragionare;• buona approssimazione per gas reali

rarefatti e ad alta temperatura;• caratteristiche :

!numero molecole grande (~ NA);!volume (gas) >> volume (proprio);!urti elastici tra molecole e con pareti;!uniche forze presenti : collisioni (tra

molecole + pareti);• in pratica : p piccola, ρρρρ piccola, T grande.

♠


Equazione di stato dei gas perfetti

• equazione verificata sperimentalmente :

p V = n R T• p : pressione del gas;• V : volume occupato;• n : numero di moli (= nmolecole / NA, oppure m / mmolare);• R = 8.31 J / (mol K), costante dei gas perfetti (la

stessa per tutti i gas);• T = temperatura in gradi Kelvin (= C + 273.16°).

♠


Trasformazioni isoterme dei gas perfetti• isoterme a T = T * :

pV = nRT* →→→→ L = ∫ p dV = nRT* ∫ dV/V = nRT* ln (VF / VI);

V

p

T2

T3

NB isoterme reversibili

T1 < T2 < T3

T1

♠


teoria cinetica dei gas (1)# modello di gas perfetto con una scatola a forma di cubo, di lato

d, una sola molecola di massa m e velocità v, parallela (caso a) alle pareti della scatola;

# urti molecola-pareti elastici, mscatola >> m ;# variazione di quantità di moto nell’urto :

∆q = m vprima - m vdopo = 2 m v ;# pertanto, la forza media su ogni faccia è :

Famedia = ∆q / t2d = 2 m v / [ 2 d / v ] = m v2 / d ;

# caso b : v con direzione qualsiasi;# in media, dal teorema di Pitagora :

<vx2> = <vy

2> = <vz2> = <v2> / 3;

m v→→→→

d

(a)

m v→→→→

d

(b)

segue ...

♠


teoria cinetica dei gas (2)# pertanto, in media :

Fbmedia = m <vx

2> / d = m <v2> / ( 3 d ) ;# consideriamo ora il caso di N molecole :

[ n ≡ nmoli ; M ≡ mmole ; N = n NA ; N m = mTOT = n M ] ;

FTOT = Σi Fbi = N m <v2> / ( 3 d ) = n M <v2> / ( 3 d );

# pressione su una faccia (principio di Pascal : pFACCIA = pGAS ≡ p ) :p = FTOT / S = n M <v2> / ( 3 d 3 ) = n M <v2> / ( 3 V ) = ρ <v2> / 3;

# “velocità quadratica media” = √<v2> :

m v→→→→

d

(b)

MRT

nMpV 33v 2 ==

♠


# fi ≡ numero di molecole con velocità vi → fi = fi(T );

# Σi fi (T1) = Σi fi (T2) = N;# v1 ≡ max [fi] = vel. più probabile;

# v2 ≡ Σi fi vi / N = vel. media;# v3 ≡ √<v2> = vel. quadratica media;

<v2> = Σi fi vi2 / N .

# ƒ(T) ≡ distribuzione di Maxwell delle velocità (calcolabile) ;

# ∫ ƒ(T1) dv = ∫ ƒ(T2) dv = N;# v1 ≡ max [ƒ(T)] = vel. più probabile;

# v2 ≡ ∫ƒ(T) v dv / N = vel. media;

# v3 ≡ √<v2> = vel. quadratica media ;

<v2> = ∫ƒ(T) v2 dv / N .

teoria cinetica dei gas (3)

MRT

nMpV 33v2 ==

v

dN/dv

T1

v1 v2 v3

♠

T2 > T1


# per gas reali a T ambiente (controllare) :√<v2> ≈ 100 ÷ 1000 m/s;

# per un gas perfetto monoatomico :U = Σi ½ mi vi

2 = ½ m Σi vi2 × N / N = ½ N m × √<v2> =

= ½ N m × 3 R T / M = 3 n R T / 2 ;# cioè U (= energia interna) è solo funzione di T (= temperatura)

[ questo risultato è vero per tutti i gas perfetti, anche non monoatomici ] ;

! curiosità : distribuzione di Maxwell f(v) :

teoria cinetica dei gas (4)

MRT

nMpV 33v2 ==

−

=

RTMvv

πRTMπf(v)

2exp

24

22

2/3 T

v

f

♠


calori specifici dei gas perfetti (1)# definizione di calore specifico molare : cx = Q / ( n ∆T ) ;# [differente dal calore specifico “di massa”, più usato per solidi e

liquidi : c = Q / ( m ∆T ) ] ;# problema : a parità di ∆T, Q (e quindi c) dipendono dalla

trasformazione che porta il gas da T a T+∆T ;# l’indice “x” in cx indica la trasformazione prescelta;# i calori specifici più comunemente studiati sono :

# cp (a “pressione costante”);# cv (a “volume costante”).

V

p

T

T +∆Tcp

cv

♠


# isocora ( cv ) : !L = 0 → ∆U = Q = n cv ∆T → cv = ∆U / ( n ∆T ) ;!monoatomico : U = 3 n R T / 2 → ∆U = 3 n R ∆T / 2 ;

cvmono = ∆U / ( n ∆T ) = cv

mono = 3 R / 2 ;

# isobara ( cp ) :!L = p (VF - VI) = n R (TF - TI) = n R ∆T→ ∆U = Q - L = n cp ∆T - n R ∆T ;

!U = U(T) → ∆Uv = ∆Up→ n cv ∆T = n cp ∆T - n R ∆T → cp - cv = R ;

!monoatomico :cp

mono = cvmono + R = cp

mono = 5 R / 2 .

calori specifici dei gas perfetti (2)

V

p

T

T +∆Tcp

cv

♠


calori specifici dei gas perfetti (3)tabella riassuntiva per cv , cp , γ :

8R/27R/25R/2cp

8/67/55/3γ =

cp / cv

6R/25R/23R/2cv

poli-bi-mono-

V

p

T

T +∆Tcp

cv

♠


• Legge delle adiabatiche :[ NB facile, ma non dimostrare ]

T1V1γ-1 = T2V2

γ-1;

p1V1γ = p2V2

γ;

mat. : γ > 1 → adiabatica più “ripida” che isoterma;fisica : Q = 0 → ∆U = - L →

∆V > 0 → L > 0 → ∆U < 0 → ∆T < 0.

trasformazioni adiabatiche (Q = 0)

T2

T1

V

p

I

F

♠


dimostrazione [per curiosità] :• 1º princ. → dU = ncvdT = dQ - p dV = - p dV ;• eq. gas → pdV + Vdp = nRdT = n(cp-cv)dT = ncvdT (γ-1);• - p dV (γ - 1) = p dV + V dp → V dp = - γ p dV;• dp / p = - γ dV / V ;• ln (pf / pi) = - γ ln (Vf / Vi) =

= ln [ (Vi / Vf)γ ] ;

• pf Vfγ = pi Vi

γ [QED].

legge delle adiabatiche

T2

T1

V

p

I

F

♠


2º principio della termodinamica (1)[elenco di fatti sperimentali che sono permessi dal 1º principio, ma non avvengono nel mondo reale ...]

! [Kelvin] non esiste una trasformazione, il cui unico risultato sia trasformare integralmente calore in lavoro da una sorgente ad un’unica temperatura;

! [Clausius] non esiste una trasformazione, il cui unico risultato sia trasferire calore da un corpo più freddo ad uno più caldo.

TL

T2T1

Q

T1<T2

no !!!

♠


2º principio della termodinamica (2)! due enunciati non indipendenti, ciascuno dimostrabile a partire

dall’altro [facile, ma un po’ artificioso, non lo facciamo ...] ;! principio basato sul concetto di “unico risultato”;! quindi, occorre definire trasformazioni, in cui lo stato iniziale

coincida con quello finale ( cicli ), e discutere Q e L in queste trasformazioni;

! definizione di “rendimento termodinamico di un ciclo” η :η ≡ |||| L |||| / |||| Qassorbito |||| = ( |||| Qassorbito |||| - |||| Qceduto |||| ) / |||| Qassorbito |||| ;

NB : • |||| x |||| significa “valore assoluto” di x;• per il 1° principio, in un ciclo ∆U = 0 → L = |||| Qassorbito |||| - |||| Qceduto |||| .

♠


il ciclo di Carnot : definizione

Trasformazione ciclica composta da 4 trasformazioni elementari reversibili di un gas perfetto :

T2

T1

V

p

a

b

cd

1. a-b : isoterma a T = T1;2. b-c : adiabatica T : T1 → T2;3. c-d : isoterma a T = T2;4. d-a : adiabatica T : T2 → T1;

LTOT = ♦

+-0

d-a

00-0∆U

+-++L+-0+Q

TOTc-db-ca-b

♠


il ciclo di Carnot : rendimento# Qab = Lab = nRT1 ln(Vb / Va ) ;# Qcd = Lcd = -nRT2 ln(Vc / Vd ) ; [NB : ln (a/b) = - ln (b/a) ]

# Qab / Qcd = T1 / T2 [ ln(Vb / Va ) / ln(Vc / Vd ) ];# T1Vb

γ-1 = T2Vcγ-1 ;

# T1Vaγ-1 = T2Vd

γ-1 ;# (Vb / Va)γ-1 = (Vc / Vd)γ-1;# Vb / Va = Vc / Vd ;# Qab / Qcd = T1 / T2 ;# η = ( Qab - Qcd ) / Qab =

= 1 - T2 / T1.

♠

T2

T1

V

p

a

b

cd


ciclo di Carnot : conclusioni• il ciclo di Carnot è reversibile : pertanto, possiamo

pensare di percorrerlo in senso inverso (“frigorifero”);

• teorema di Carnot :“nessuna macchina termica operante tra le temperature T1 e T2 (< T1) può avere rendimento superiore al ciclo di Carnot” :ηx ≤ ηcarnot = 1 - T2 / T1 ;

♠

T2

T1

V

pa

b

cd


entropia S : trasf. reversibili• definizione (provvisoria) :in una trasformazione reversibile ∆S = ∫IF dQ / T ;• nel ciclo di Carnot : isoterme ∆S = Q / T ;

adiabatiche ∆S = 0;in totale : ∆STOT = Q1/T1 + 0 + Q2/T2 = 0; [*]

• una qualsiasi trasformazione ciclica reversibile puòessere approssimata da una somma di cicli di Carnot;

• pertanto ∆S = 0 in ogni ciclo reversibile.• pertanto S è una funzione di stato.[*] : Q1 / Q2 = T1 / T2 → Q1 / T1 = - Q2 / T2 .

♠


isoterme

cicli reversibili e ciclo di Carnot

♠

V

p

Si può sempre approssimare un ciclo reversibile (—) con una “spezzata” di isoterme (—) e di adiabatiche (—), che approssimano il ciclo con la precisione desiderata.


entropia S : trasf. irreversibili• in una trasf. irreversibile, ∆S = ∫IF dQ / T non è

definita !!!• soluzione : S è una funzione di stato ;→ per calcolare ∆S in una trasf. irreversibile, si sceglie

una trasf. reversibile con gli stessi stati iniziale e finale, si calcola ∆SREV e si definisce ∆SIRREV = ∆SREV ;

V

p

I

F IRREV. (non disegnabile)

REV1; ∆S1 = ∆S2 = ∆SIRREV

REV2

♠


no !!!

entropia : espansione libera

• espansione libera V → 2V :Q = 0, L = 0 → ∆U = 0 → T = cost.∆S = ∫ dQ / T = 1/T × ∫ dQ = Q / T = 0

V, gas V, vuoto

• calcoliamo lungo l’isoterma reversibile (∆U = 0) :∆S = ∫ dQ / T = 1/T ∫ dQ = 1/T ∫ dL =

= ( 1/T ) nRT ln ( VF / VI ) = nR ln ( VF / VI ) = nR ln 2 .♠


entropia : riscaldamento irreversibile# due corpi, entrambi di massa m e calore specifico c, posti a

contatto, raggiungono l’equilibrio termico con una trasformazione non reversibile;

# calcoliamo le due variazioni di entropia utilizzando due trasformazioni reversibili, e.g ottenute ponendo entrambi i corpi a contatto con termostati, e poi diminuendo lentamente la temperatura del termostato;

# ∆S1 = ∫ dQ / T = mc ∫ dT / T = mc ln (TF / TI) = mc ln [ T / (T+∆T ) ];# ∆S2 = ∫ dQ / T = ... ... = mc ln [ T / (T-∆T ) ];# ∆STOT = ∆S1 + ∆S2 = mc ln [ T 2 / ( T 2 - ∆T 2 ) ];NB ∆STOT > 0.

T-∆TT+∆T Q→

♠


entropia di un gas perfetto• consideriamo una qualsiasi trasformazione di un gas perfetto, tra

uno stato I [pI VI TI] e uno stato F [pF VF TF] ;• calcoliamo ∆S lungo una qualsiasi trasf. reversibile tra I e F :

# dU = dQ - dL → dQ = dU + dL ; [ tr. reversibile ]

# dQ = n cv dT + p dV = n cv dT + n R T dV / V ; [ gas perfetto ]

# dQ / T = n cv dT / T + n R dV / V ;

# ∆S = ∫ dQ / T = n cv ln ( TF / TI ) + n R ln ( VF / VI ) ; [ T V ]= n (cv + R ) ln ( VF / VI ) + n cv ln ( pF / pI ) ; [TF / TI = pFVF / pIVI]

# ∆S = n cp ln ( VF / VI ) + n cv ln ( pF / pI ) ; [ p V ]= n cp ln ( TF / TI ) + n ( cv - cp) ln ( pF / pI ) ;

# ∆S = n cp ln ( TF / TI ) - n R ln ( pF / pI ) ; [ p T ]

♠


entropia : conclusionia) l’entropia è una funzione di stato → non dipende dalla

trasformazione, ma solo dagli stati iniziali e finali → il calcolo èvalido per qualsiasi trasformazione;

b) alternativamente, si può usare il calcolo precedente per dimostrare che, poichè ∆S dipende solo dagli stati iniziale e finale → S è una funzione di stato.

I

F dU = dQ - dLp

V♠

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Termodinamica 44♠

Fine parte 3

Paolo Bagnaia - CTF - 4a - Elettrostatica 1

Elettromagnetismo! elettrostatica

" legge di Coulomb;" campo elettrico;" teorema di Gauss;" potenziale elettrostatico;" capacità e condensatori;" campi elettrici nella materia;

! correnti continue" leggi di Ohm;" forza elettro-motrice;" resistenze e circuito RC;

! campi magnetici" legge di Biot-Savart;

♠

" legge di Ampère;" solenoide;" toroide;

! induzione elettromagnetica" legge di Faraday-

Neumann-Lenz;" induttanza;" circuito RL;

! equazioni di Maxwell

[vedi →→→→ onde elettromagnetiche]


La legge di Coulomb nel vuoto

!""#""$r12

q1 q2+ -

- -

+ +

ε0 = 8.85 × 10-12 C2 / [N m2] ;1/(4πε0) = 8.99 × 109 N m2 / C2

♠

212

21

41

rqq

πF

0ε=

→


la legge di Coulomb : commenti• nuova unità MKS : coulomb [ C ] (molto grande) ;• q1 e q2 nel vuoto; ε0 = “costante dielettrica del vuoto” ;• analoga alla legge di gravitazione, tranne segno “ ±q ” ;• la carica elettrica si conserva (cfr. massa) ;• la carica elettrica è discreta : q = ± N e [N molto grande] ;• qprotone = 1.6 × 10-19 C = -qelettrone = -e ;• natura simmetrica se q↔-q (tutte le cariche cambiano segno);• qelettrone < 0 → scelta (a posteriori, non troppo felice).

♠


campi vettorialidefinire :

" sorgenti e pozzi;" linee di campo;" superfici equipotenziali;" flusso;" integrale di linea;

+

-

♠


linee di campo

♠

+ -

ex. campo di dipolo


Il campo elettrico• concetto di campo vettoriale : v = v (x,y,z) ;• linee di campo escono da +q, entrano in -q ;• E = F / q0 [ “carica esploratrice” ] ;• q puntiforme → E = q / ( 4πε0 r 2 ) ;• q distribuzione qualsiasi, E(x,y,z) contiene l’informazione

completa [è equivalente conoscere la distribuzione delle cariche, oppure il campo elettrico in tutto lo spazio] ;

• il campo è additivo : ETOT = E1 + E2 + E3 + ...• forza su carica q in (x,y,z) : F = E(x,y,z) × q ;• E si misura in N / C (oppure -vedi oltre - in V / m).

♠

+

-


Campo elettrico di dipòlo• applicazioni importanti (ex. molecola d’acqua H2O) ;• caso particolare : lungo l’asse del dipolo :

+- dz P

( ) ( )

30

30

30

220

22220

220

4242

4

4/1

41

4

2/2/41

zπp

zπqd

zπqd

dzdzdz

zπq

ddzz/ddzzπq

dzq

dzq

πEEETOT

εεεε

ε

ε

===−

+−+=

=

++

−+−

=

=

+−

−=+= −+

♠


Flusso del campo elettrico• Definizione di flusso di un campo vettoriale v

attraverso una superficie S, di cui n è il vettore unitario normale (versore) :Φv(S) = v · n S [oppure]

Φv(S) = ∫ v · n dSn

v→→→→

S

• caso particolare :v è il campo elettrico E .

NB :" S è una superficie geometrica “ideale”;" Φv(S) è uno scalare, che dipende da vettori.

♠


Teorema di GaussData una superficie chiusa S ed un campo elettrostatico E :

ΦE(S) = ∫ E · n dS = Σi qi / εo ;

la somma algebrica Σi è estesa a tutte le cariche contenute nella superficie S.NB • il teorema di Gauss è matematicamente equivalente alla

legge di Coulomb;• è un potente strumento di calcolo dei campi elettrici (cfr. conservazione dell’energia in meccanica).

♠


campi elettrici : carica puntiforme• carica puntiforme Q :

E(r) = 1/(4πε0) Q / r 2 ;

Φ (E) = Σ ds E · n == 4πr 2×1/(4πε0) Q/r 2

= Q / ε0

Φ (E)= Σ ds E · n == 4πr 2× E = Q / ε0;

⇒ E(r) = 1/(4πε0) Q / r 2. QED

S

Q

E

♠


campi elettrici : guscio sfericoconseguenze :

!un guscio sferico produce all’esterno lo stesso campo di una carica puntiforme;

!all’interno di un guscio sferico carico in modo uniforme il campo è nullo.

S

Q

E

♠


campi elettrici : sfera pienasfera piena

(raggio R, carica Q) :

a) esterno (r>R) : E(r) = 1/(4πε0) Q / r 2 ;

b) interno (r<R) : Φ (E)= 4πr 2×E = q/ε0 =

= Q/ε0 (4/3 π r 3) / (4/3 πR 3);E = Q / (4π ε0) r / R 3.

r

R

rR

E

∼ r ∼ 1/r2

♠


campi elettrici : filo carico

• filo carico, densità λ = dQ/dx :Φ (E)= Φ (E, mantello) + Φ (E, tappi) =

[Φ (E, tappi) = 0 ]

= S E == 2πrh × E = λ × h / ε0 ;

E = 1/(2πε0) λ /r .[NB : E ∼ 1/r ]

rE

♠


• strato carico piano, densità σ = dQ/dS :Φ (E) = Φ (E, mantello) + Φ (E, tappi) =

[Φ (E, mantello) = 0 ]

= 2S E = Q / ε0 = σ S / ε0 ;

E = σ / 2 ε0.

NB E non dipende dalla distanza punto-piano carico !!! capire bene le approssimazioni implicite ...

campi elettrici : strato

E

S

♠


• doppio strato carico (due piani indefiniti paralleli, con densità ±σ) ;

• tre zone dello spazio : a,b,c(somme vettoriali);

a) E = 0;b) E = E+ + E- = σ / ε0 ;c) E = 0.

campi elettrici : doppio stratoS

+ -

0 0a) b) c)

♠


conduttori ed isolanti• si chiamano “isolanti” quei corpi (ex. legno, vetro, ceramica) in cui

le cariche elettriche NON possono muoversi; l’elettrostatica degli isolanti è simile a quella del vuoto (vedi oltre ε0 → ε0 εr);

• si chiamano “conduttori” (ex. metalli) quei corpi, all’interno dei quali le cariche elettriche scorrono liberamente (meglio, gli elettroni degli orbitali esterni sono liberi); l’elettrostatica dei conduttori richiede che le cariche elettriche siano in equilibrio elettrostatico tra loro (cfr. l’acqua in un sistema di condotti).

++

+-

-- -

+isolante

++

+-

-- -

+conduttore

♠


campo elettrico di un conduttore• situazione statica (= cariche ferme);• campo interno E = 0 (se E ≠ 0, le

cariche si muovono);• teorema di Gauss per la superficie “…”

→ carica nulla all’interno del corpo → tutte le cariche (Q) si dispongono sulla superficie;

• il campo E sulla superficie del corpo èortogonale alla superficie stessa (la componente parallela metterebbe le cariche in movimento).

E=0

E

Q

♠


potenziale elettrico• la forza elettrostatica è conservativa (cfr. forza

gravitazionale);• pertanto, esiste l’energia potenziale e.s. :

∆UAB = UB - UA = -LAB = - ∫AB

F · dx ;• si definisce il “potenziale e.s.” V ;• ∆VAB è il lavoro della forza e.s. per portare una carica q0

dal punto A al punto B, diviso q0 :∆VAB = VB - VA = ∆UAB / q0 = -LAB / q0

A

B

♠


potenziale elettrico (2)• ∆VAB non dipende dal cammino della carica, ma solo dai

punti iniziale e finale;• ∆VAB è l’integrale del campo elettrico tra A e B :

∆VAB = - LAB / q0 = - ∫AB

F · dx / q0 = - ∫AB

E · dx ;• nel caso di carica puntiforme q :

∆VAB, puntiforme = - ∫AB

E · dx = q/(4πε0) [ 1/rB - 1/rA ] ;• usualmente si sceglie la “costante” di V in modo che il

valore di V(∞) sia zero :∆V∞∞∞∞X = VX - V∞∞∞∞ = VX

A

B

♠


il volt

• unità di misura MKS del potenziale elettrico :1 Volt = 1 V = 1 Joule / 1 Coulomb

• utilizzando il Volt, il campo elettrico può essere misurato in :[campo] = [forza / carica] = N / C =

= N × m / ( C × m ) = Volt / m

♠


s.e. E

superficie equipotenziale• “superficie equipotenziale” : luogo dei

punti con lo stesso potenziale [dati due punti A e B su una s.e., ∆VAB=0];

• se il campo è generato da una carica puntiforme, le s.e. sono sfere centrate nella carica;

• [si potrebbe dimostrare che] E in un punto èortogonale alla s.e. passante nel punto.

♠


capacità• si definisce “capacità elettrica” di un conduttore (C) il

rapporto tra la carica portata sul conduttore e il corrispondente aumento di potenziale :

C = Q / ∆V• C si misura in Farad (F) : 1 Farad = 1 F = C / V ;• per un conduttore isolato, ∆V ∼ Q → C non dipende da

Q e da ∆V → dipende solamente dalla geometria dei conduttori;

• si chiama “induzione completa” il caso in cui tutte le linee di campo che escono da un conduttore entrano in un secondo (ex. il doppio strato);

• un sistema di conduttori in situazione di i.c. costituisce un “condensatore”.

♠


condensatori• un condensatore è costituito da due

“armature” (ex. piatti), una delle quali ècaricata +Q (ex. con una pila, vedi oltre);

• l’altra armatura, in condizioni di induzione completa, acquista una carica -Q ;

• la carica totale del condensatore è QTOT = = +Q -Q = 0;

• in elettrotecnica, un condensatore si disegna come due sbarrette affacciate (vedi a lato);

• in commercio si trovano c. da 10-6÷10-12 F.

+ -

- +

- +

♠


condensatore piano

• campo tra le armature (doppio strato) E = σ / ε0 ;• d.d.p. ∆V = ∫ E·dx = E d ;• carica Q = σ × S ;• capacità C = Q / ∆V = σ S / (E d) = σ S ε0 / (σ d)

= ε0 S / d.+ - d

S

♠


condensatore cilindrico• altezza del cilindro : h ;• campo tra le armature (filo carico) :

E = [ 1/(2πε0) λ/r = ] q / (2πε0 rh ) ;• d.d.p. ∆V = ∫ E·dr = q / (2πε0h) ln (b/a) ;• carica Q = q ;• capacità C = Q / ∆V

C = q (2πε0h) / [q ln (b/a) ] == 2πε0h / ln (b/a) . a

b

♠


condensatore sferico• campo tra le armature (guscio sferico) :

E = q / (4πε0 r2 ) ;• d.d.p. ∆V = ∫ E·dr = q / (4πε0) [1/a - 1/b] ;• carica Q = q ;• capacità C = Q / ∆V = (4πε0) / [1/a - 1/b]

= 4πε0 ab / (b - a) .

ab

♠


condensatori in serie / parallelo

!serie : ∆VTOT= ∆V1 + ∆V2 ; q1+ = q1- = q2+ = q2- ≡ q;" ∆VTOT = q/C1 + q/C2 = q (1/C1 + 1/C2 );" 1/CTOT = 1/C1 + 1/C2.

!parallelo: ∆V1 = ∆V2 ≡ ∆V ; q1 = C1∆V ; q2 = C2∆V;" q = q1 + q2 = C1 ∆V + C2 ∆V = (C1 + C2 )∆V ;" CTOT = C1 + C2.

C1

C2

C1 C2

♠


campi elettrostatici nella materia" spiegazione microscopica : se un isolante si trova in un

campo elettrico, le sue molecole si deformano (→ piccoli dipoli) [oppure le molecole sono piccoli dipoli anche in assenza di campo elettrico, ex. acqua];

" i dipoli di allineano al campo elettrico, e in questo modo complicano la distribuzione di cariche;

" → il campo totale è la risultante di tutti questi effetti;" regola empirica : ogni materiale possiede una “costante

dielettrica” εr, un numero puro > 1; le leggi dell’elettro-statica si modificano nella materia : ε0 → ε0 εr ;

" ex. legge di Coulomb : F = 1/(4πε0 εr) Q/r2 ;" capacità di un condensatore piano : C = ε0 εr S / d.

♠

Paolo Bagnaia - CTF - 4a - Elettrostatica 29♠

Fine parte 4aFine parte 4aFine parte 4aFine parte 4a

Paolo Bagnaia - CTF - 4b - Elettromagnetismo 1

la corrente elettrica

• le cariche sono libere di muoversi all’interno dei conduttori;

• una superficie ortogonale all’asse di un conduttore è attraversata da una carica qnell’unità di tempo :

i = dq / dt! unità di misura : 1 Ampère = A = C / s.

+++

+ + ++

+ ++ +

+ +

- --

----

----

--

♠


densità di corrente• il conduttore ha superficie S, normale al suo asse;• si chiama “densità di corrente” J (vettore parallelo alla

velocità delle cariche positive)[*] : J = J = i / S = 1/S dq/dt

• detto n il numero di elettroni di conduzione per unità di volume, v la velocità media degli elettroni, e la loro carica [*] :

q = Nel e = n V e = (n S v ∆t ) e ;i = dq /dt = n S v e ;J = n v e .

[*] NB attenzione al verso, l’elettrone ha carica negativa !!!--- - - - - - -- -- -

SL

♠


leggi di Ohm• per molti conduttori (conduttori “ohmici”, ex. metalli) :

V / i = costante = R

• R i = R J S = V = E L → E = R J S / L ≡ ρ J

R = ρ L / S

• R in Volt / Ampere = Ohm = Ω ;• ρ (resistività) dipende dal tipo di materiale e dalle sue

condizioni (ex. temperatura);• ρ in Ω m; per i metalli ρ = (1 ÷ 50)×10-8 Ω cm.

SL

♠


elettroni nei metalli! modello a “elettroni liberi”, di massa m e carica e :

" senza campo elettrico, gli elettroni si muovono liberamente nel conduttore;" collidono con gli atomi del reticolo cristallino, in media dopo un tempo τ;" la velocità quadratica media dipende da : temperatura + effetti quantistici;" la velocità media vettoriale è nulla (vq.m.∼ 106 m/s, vM = 0);

! un campo elettrico E modifica la situazione :" la velocità media vettoriale è data da F = ma = eE → vM = aτ = eEτ / m ;" poiché vM = J / ne → E = vMm / eτ = Jm / ne2 τ [NB vM ∼ 10-5 m/s] ;" poiché E = ρJ → ρ = m / ne2 τ ;

! affinché la legge di Ohm sia valida, ρ deve essere costante e non dipendere da E → τ non dipende da E (vero se vM << vq.m.).

- - - - -++ +

♠


energia nei circuiti elettrici• campo E : accelerazione costante degli elettroni;• legge di Ohm : corrente costante ( → velettroni costante);• la resistenza dissipa energia (potenza dissipata); • calcoliamo gli effetti energetici della corrente :

"dU = V dq = V i dt ;"potenza W = dU / dt = V i ;

"W = V i = i 2 R = V 2 / R.

[se R aumenta, W aumenta ? diminuisce ? ]- +

R

V

♠


forza elettro-motrice• f.e.m. di un generatore : ƒ = dL / dq ;

• differenza di potenziale (d.d.p.) ↔ (f.e.m.) ;

• dL = ƒ dq = ƒ i dt = i 2 R dt → ƒ = i R [simile alla l. di.Ohm] ;

• definizione di “resistenza interna” di un generatore;

• NB : la forza associata alla f.e.m. NON è conservativa.

♠


circuiti elettricielementi dei circuiti :

" generatore di f.e.m. ∆V = ƒ

" resistenza ∆V = R i

" condensatore ∆V = Q / C

" induttanza ∆V = L di/dt

R

∆∆∆∆V

C

- +

L

♠


leggi dei circuiti• definizione di

! “generatore”;! “resistenza interna”;! “circuito”;! “nodo”;! “maglia”.

• leggi dei circuiti :! la somma algebrica delle d.d.p. in una maglia è nulla;! la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla;

-+

- +

♠


resistenze in serie e in parallelo

"serie : i1 = i2 ≡ i ; ∆VTOT = ∆V1 + ∆V2 ; ! ∆VTOT = i R1 + i R2 = i (R1 + R2 );! RTOT = R1 + R2.

"parallelo: ∆V1 = ∆V2 ≡ ∆V ;! i = i1 + i2 = ∆V / R1 + ∆V / R2 = ∆V (1/R1 + 1/R2 ) ;! 1 / RTOT = 1 / R1 + 1 / R2. [ →→→→ RTOT = R1 R2 / (R1 + R2)]

♠


circuito RC : carica! legge dei circuiti : ƒ - i R - q / C = 0;! ƒ = i R + q / C ; q(t=0) = 0;! ƒ = R dq / dt + q / C ; [equazione differenziale]

! q(t) = qC(t) = Cƒ [1 - e - t / (RC) ] ;! i(t) = dq / dt = ƒ e - t / (RC) / R ;! ∆VC(t) = qC(t) / C = ƒ [1 - e - t / (RC) ] ;! ∆VR(t) = R i(t) = ƒ e - t / (RC) ;

NB : ∆VC(t) + ∆VR(t) = ƒ [QED]

+ -

ƒ

R C

♠


circuito RC : carica (2)

! ∆VC(t) = qC(t) / C = ƒ [1 - e - t / (RC) ] ;! ∆VR(t) = R i(t) = ƒ e - t / (RC) ;

+ -

ƒ

R C

t

∆Vƒ

∆VR = R i(t)

∆VC = qC(t) / C

0

♠


circuito RC : scarica! non c’è più il generatore ƒ ; q(t=0) = q0 ;! R dq / dt + q / C = 0; [equazione differenziale]

! q(t) = qC(t) = q0 e - t / (RC) = V0 C e - t / (RC) ;! i(t) = dq / dt = - V0 e - t / (RC) / R . [ NB : “-” ]

R C

0 t

| i(t) |

i(t)

V0/R

♠


energia di un condensatore• dall’eq. precedente [ i(t) = dq / dt = - V0 e - t / (RC) / R ] :• W = V 2 / R = i 2 R = V0

2 e - 2t / (RC) / R ;

• L = ∫ W dt = V02 / R ∫o

∞e - 2t / (RC) dt = ½ C V0

2 ;

• altro metodo [portiamo una carica dq attraverso la ddp V ] :• dL = V dq = q dq / C ;

• L = ∫ dL = ∫o∞

q(t) / C dq = ½ q02 / C = ½ C V0

2 .

♠


campo magnetico B• fenomeni magnetici in natura (calamita, elettrocalamita,

etc.);• analogia : il campo elettrico E è definito dalla forza su

una carica q ferma, il campo magnetico B dalla forza su una carica q in movimento con velocità v :

FE = q E ↔ FM = q v ∧ B [ forza di Lorentz ]

• B si misura in “Tesla” (T) : T = N / (C m / s ) = N / (A m) [in CGS anche Gauss (G) : 1 Gauss = 10-4 T] .

♠


campo B : esempicampo B costante lungo z : B = B k ;! v1 lungo z : v1 = v1 k :

! B ∧ v1 = 0 → FM = 0;! traiettoria rettilinea.

! v2 lungo y : v2 = v2 j :! FM = q v2 B ;! forza costante in modulo, sempre

ortogonale a v2 ;! traiettoria : moto circolare uniforme;! q v2 B = m v2

2 / r → r = m v2 / ( q B ).! v qualsiasi : traiettoria ad elica .

y

z

x

B

v1

v2

♠


proprietà del campo magnetico• esperienza della “calamita spezzata”;• in natura, non esistono “monopoli magnetici”, l’analogo

delle cariche elettriche per il campo magnetico;• dal punto di vista dei campi vettoriali, il campo

magnetico non ha “sorgenti” né “pozzi”, le sue linee di campo sono tutte linee chiuse.

N S N NS S

♠


forza su un filo percorso da corrente

[per semplicità, i ⊥ B]• su un elettrone nel filo m, e, v :

F = e v B ;• su un tratto del filo lunghezza L, sezione S,

elettroni/Volume n :FTOT = Nel. e v B = n L S e v B = i L B ;

• definito un vettore L parallelo al filo, nel caso generale [angolo filo/campo qualsiasi] :

FTOT = i L ∧ B.

i

x B

♠


legge di Biot-Savartun filo rettilineo indefinito, percorso da una corrente i genera in tutto lo spazio un campo magnetico B, che in un punto P distante r dal filo vale :! il modulo |B| :

B = µ0 i / (2πr); µ0=1.26×10-6 T m / A;

! la direzione di B è tangente alla circonferenza, passante per il punto P, giacente sul piano ortogonale al filo e centrata nel filo;

! il verso di B segue la “regola della mano destra” (pollice || i, indice ||B);

i

Br P

♠


correnti → campi magneticianalogia E ↔ B :

• una carica elementare dq genera un campo elettrico :dE = 1 / (4πε0) dq r / r 3 ;

• un pezzetto elementare di filo ds percorso da corrente igenera un campo magnetico :dB = µ0 / (4π) i ds ∧ r / r 3.

dqr

dE dsr

dB×

i

♠


spira percorsa da correntespira di raggio percorsa da corrente i :! dB = µ0 / (4π) i ds ∧ r / r 3;! s ⊥ r ;

! B = µ0 i / (4π) ∫ ds / r 2 = µ0 i / (4π) 2πr / r 2 == µ0 i / (2r).

♠

Bi

r


due conduttori paralleli! la corrente i1 genera un campo magnetico che esercita

una forza sul filo 2 [ F12 ] ;! la corrente i2 genera un campo magnetico che esercita

una forza sul filo 1 [ F21 ] ;

! F12 = i2 L B1 = µ0 L i1 i2 / (2πd) = i1 L B2 = F21 ;

! correnti concordi → forze attrattive;! correnti discordi → forze repulsive.

NB questo metodo è quello realmente usato per misurarecon precisione le correnti (→ definizione dell’ Ampère)

i1 i2

d

♠


la legge di Ampère

il valore di ∫ B · ds (prodotto scalare tra il campo magnetico e l’elemento di linea), calcolato per una linea chiusa è uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate con la linea chiusa, moltiplicato per µ0 :

xi1

•i2

B

ds

♠

( )∑∫ ±=⋅econcatenat

o idsB µ→→→→ →→→→


la legge di Ampère : commenti

" c’è parallelismo tra elettrostatica e magnetismo :carica ↔ legge di Coulomb ↔ legge di Gauss ;corrente ↔ legge di Biot-Savart ↔ legge di Ampère.

xi1

•i2

B

ds

♠


o idsB µ→→→→ →→→→


la legge di Ampère : filo indefinito• [si ritrova il valore della legge di Biot-Savart]

• ∫ B · ds = 2π r B = µ0 i →

→ B = µ0 i / (2π r ).

•i

Bds

r

♠


o idsB µ→→→→ →→→→


la legge di Ampère : solenoide• ∫ B · ds =

= ∫a,int B · ds + ∫b B · ds + ∫a,ext B · ds + ∫b B · ds =

= ∫a,int B · ds = B a = µ0 iTOT = µ0 i N = µ0 i n a →

→ B = µ0 i n.

BBBBa

b

♠


la legge di Ampère : toroide

• ∫ B · ds = B 2π r = µ0 iTOT = µ0 i N →

→ B = µ0 i N / (2π r ).

B

r

♠


legge di Faraday-Neumann-Lenz• Φ (B) =∫ B ·dA = ∫ B ·n dA;• 1 Weber = 1 Tesla × 1 m2;• Φ (B) non dipende dalla scelta della

superficie A, è lo stesso per tutte le superfici delimitate dalla stessa linea;

• legge di F.-N.-L. : quando il flusso concatenato con una spira varia nel tempo, si induce nella spira una f.e.m.

ƒ = - d Φ (B) / d t.

NS

♠


legge di Lenz• se la spira è conduttrice, con

resistenza R, si genera una corrente :i = - 1/R dΦ (B) / d t;

• la corrente i, a sua volta, genera un campo magnetico, il cui flusso si oppone alla variazione di flusso che lo ha generato (significato del “-”) :B → Φ (B) → dΦ (B) / dt → ƒ → i →B’ → Φ (B’) opposto a Φ (B).

B(aumenta)

iB’

♠


correnti indotte• B ⊥ A ; A costante ; B varia :

ƒ = - dΦ/dt = - d(BA) / dt = -A dB/dt;i = A/R dB/dt.

• B ⊥ A ; B costante ; A varia (ex. si stringe) :ƒ = - dΦ/dt = - d(BA) / dt = -B d(bh)/dt = Bhv;i = Bhv / R; F = ihB = B2h2v / R; W = B2h2v2 / R.

v•

Bh

♠


correnti alternate• in una spira rotante in un campo

magnetico costante si induce una corrente “alternata”, di periodo pari a quello della rotazione della spira;

• B = costante; A = costante;θ = angolo(B,A) = ωt ;ƒ = - dΦ /dt = -BA d(cosθ) / dt

= BA ω sin(ωt);i = BA ω sin(ωt) / R.

B

♠


induttanza• [simile alla capacità in corrente continua];• dato un circuito elettrico di N spire, attraversato da una

corrente i, che induce un campo magnetico B, il cui flusso concatenato è Φ(B), si definisce “induttanza” del circuito il valore

L ≡ N Φ (B) / i

• ex. solenoide di lunghezza d, area A, N spire :B = µ0in → NΦ (B) = ( n d )( B A ) = µ0 i n2 d A →L = µ0 n2 d A [N.B. L non è funzione della corrente i ].

♠


autoinduzione• in una bobina di induttanza L passa una corrente

i, variabile nel tempo :

ƒ = - dΦ /dt = - d [ iL ]/dt = - L d i /dt

• L si misura in henry :1 henry = 1H = 1 T · 1 m2 / 1 A.

♠


circuito RL (cenni)• -iR - Ldi/dt + ƒ = 0;• ƒ = iR + Ldi/dt ;• i = ƒ / R [1 - e-tR/L ];

+ -

ƒ

R L

t

∆Vƒ

∆VL = -Ldi/dt

∆VR = R i

0♠


tutto l’elettromagnetismo in quattro equazioni :

A. legge di Gauss del campo elettrico (→ legge di Coulomb) :

∫S E · dA = q / ε0 ;B. legge di Gauss del campo magnetico (→ calamita spezzata) :

∫S B · dA = 0;C. legge dell’induzione di Faraday :

∫L E · ds = -d Φ (B) /d t ;D. legge di Ampère (+ correzione di Maxwell) :

∫L B · ds = µ0 ε0 d Φ (E) /d t + µ0 i.

equazioni di Maxwell (cenni)

♠

Paolo Bagnaia - CTF - 4b - Elettromagnetismo 35♠

Fine parte 4bFine parte 4bFine parte 4bFine parte 4b

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni 1

Onde e ottica

!Onde" proprietà delle onde;" onde sonore;" il decibel;

♠

!Ottica" la luce;" il principio di Huygens;" la rifrazione;" ottica geometrica;" riflessione e rifrazione;" specchi, lenti, microscopi.


le onde• onde del mare, corde vibranti, onde elettromagnetiche ...• fenomeno periodico (T);• caso semplice : onda sinusoidale in due dimensioni;• l’onda si muove nello spazio e nel tempo.

t=T/2 t=T/4y

x

t=0

♠


parametri delle onde• y(x,t) = A sin (kx -ωt ) =

= A sin (2πx/λ - 2πt/T ); • ampiezza A ;• periodo T = 2π / ω ;• lunghezza d’onda λ = 2π / k.

y

x

λ

A

t=0 t

y

T

Ax=0

♠


velocità delle onde• [attenzione al significato di “velocità”] ;• in un tempo T [= periodo] una cresta si sposta di una

distanza λ [= lunghezza d’onda];• più in generale, v si calcola da : kx - ωt = costante; • v = ∆x / ∆t = λ / T = ω / k = λν ;

♠


il suono• le onde sonore sono “longitudinali”;• il mezzo vibrante è il corpo interposto tra la sorgente

(ex. violino) e il ricevitore (ex. orecchio) : in genere aria;• il metodo elementare di propagazione sono gli urti tra le

molecole del mezzo;• il mezzo, in media, non si muove;• i fronti d’onda sono sfere centrate nella sorgente.

S

min minmaxmax

vonda

♠


misura del suono : il decibel• la sorgente emette suoni con potenza WS;• un ricevitore a distanza r, di superficie S, riceve una

potenza WR = WS × S / (4 π r 2) ;• si definisce “intensità sonora” I = WR / S = WS / (4 π r 2);• l’intensità sonora si misura in Watt / m2;• altro modo di misurare (più usato) :

β = log10(I / I0) [=“bel”];I0 = 10-12 W / m2 = intensità minima udibile;intensità in decibel (dB) = 10 × β = 10 log10(I / I0).

♠


le onde elettromagnetiche

• le onde e.m. sono onde trasversali del campo e.m. ;• la loro velocità nel vuoto è costante [c=3×108 m/s] ;• c = 1 / √ε0µ0 ;• “costante” significa indipendente da :

" proprietà delle onde (frequenza, lunghezza d’onda, ampiezza);" sistema di riferimento della misura (¿?) → relatività speciale;

• pertanto, per un’onda e.m. nel vuoto : λν = c,

i.e. lunghezza d’onda e frequenza non sono indipendenti, λ = c / ν , ν = c / λ.

[trattazione qualitativa, si può dimostrare dalle eq. di Maxwell]

♠


proprietà delle onde e.m.

♠

x

zy

B

x

y

z

E

E

By

z

x

• x : propagazione dell’onda;• y : campo elettrico E;• z : campo magnetico B.


la luce

luce visibile

λ (m) 108 ÷ 104 onde lunghe 101 ÷ 104

103 ÷ 10-1 onde radio 105 ÷ 1010

10-3 ÷ 10-6 infrarosso 1011 ÷ 1014

700 ÷ 400nm visibile 4÷7.5×1014

10-7 ÷ 10-9 ultravioletto 1015 ÷ 1017

10-9 ÷ 10-11 raggi X 1017 ÷ 1019

<10-11 raggi γ > 1021

ν (Hz)

700 nm 400 nm

♠


principio di Huygens

principio di Huygens“la luce si propaga con onde sferiche. Tutti i punti sulla superficie di un fronte d’onda si comportano come sorgenti puntiformi di un nuovo fronte d’onda sferico. L’onda totale è data dall’inviluppo delle onde elementari”.

t=s/ct=0

s

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principio di Huygens - fenditure

♠

! caso (a) : una fenditura, onda sferica;

! caso b) : due fenditure, due onde sferiche, interferenza.

a) b)


indice di rifrazione• la velocità v della luce nei mezzi è minore di

quella nel vuoto;• definiamo l’indice di rifrazione n :

n = c / v• se v ≤ c :

1 ≤ n ≤ ∞• n dipende da :

" proprietà del mezzo;" [quasi indipendente dalle] proprietà della luce (λ).

v=c/n

c

♠


rifrazione• note le proprietà dei mezzi

[n1, n2, v1=c/n1, v2=c/n2] e le proprietà del raggio incidente [λ1, θ1], trovare le proprietàdel raggio rifratto [λ2, θ2];

• ∆t1 = λ1 / v1 = ∆t2 = λ2 / v2 →→ λ1 / λ2 = v1 / v2 ;

• triangoli BAC e BDC :BC = λ1 / sin θ1 = λ2 / sin θ2 →→ sin θ1 / sin θ2 = λ1 / λ2

= v1 / v2= n2 / n1

[legge della rifrazione]

♠

λ1

θ1

n1,v1

n2,v2 λ2

θ2

D

A

B

C


ottica geometrica• approssimazioni :

" “dimentichiamo” che la luce è un’onda e.m.;" assumiamo che sia data da “raggi” che si propagano in linea

retta nei mezzi omogenei trasparenti;" alcuni mezzi sono riflettenti (= specchi) → leggi della

riflessione;" assumiamo valida la legge della rifrazione (riformulata, vedi

seguito) quando i raggi incontrano una superficie di separazione tra due mezzi trasparenti;

• ricaviamo, con semplici dimostrazioni geometriche, leggi valide per specchi, lenti, microscopi, occhio umano, macchine fotografiche, etc.

♠


leggi della riflessione• leggi della riflessione:

1) angolo di incidenza θ = angolo di riflessione;2) raggio incidente, raggio riflesso e normale coplanari.

[NB se superficie riflettente non planare, si prende la normale nel punto di incidenza → ex. specchi sferici]

θ θ

♠


rifrazione in ottica geometrica

♠

λ1

θ1

n1,v1

n2,v2 λ2

θ2

D

A

B

Cθ1

n1,v1

n2,v2

θ2

ottica ondulatoria (legge di Huygens) → ottica geometrica (legge di Snell)


leggi della rifrazione• leggi della rifrazione (Snell-

Cartesio) :

1) legge dei seni :θ1 = raggio inc. -normaleθ2 = raggio rifr. -normale

sin θ1 / sin θ2 = n2 / n1;

2) raggio inc., raggio rifr., normale sono coplanari.

θ1

n1,v1

n2,v2

θ2

♠


il prisma• n dipende da λ per tutti i materiali• ex. quarzo :

" n(λ=400 nm) = 1.52;" n(λ=500 nm) = 1.51;" n(λ=700 nm) = 1.50;

• un prisma investito da un raggio di luce bianca (mistura di più λ) separa la luce di differenti λ;

→ escono raggi colorati;• ex arcobaleno.

lucebianca

♠


riflessione totale" sin θ1 / sin θ2 = n2 / n1;

→ sin θ2 = n1 / n2 sin θ1 ≤ 1;

→ sin θ1 ≤ n2 / n1 ;

→ θ1 ≤ asin(n2 / n1) ;

• se θ1 > θc = asin(n2 / n1)

→ riflessione totale (ex. fibre

ottiche).

n1

n2

n2 < n1

♠


specchi piani• riflessione;• def. di oggetto e immagine;• immagine reale o virtuale;• immagine diritta o capovolta;• per gli specchi piani :

" |p| = |i| ;" i = - p ;" immagine virtuale, diritta.

[per convenzione, p>0, i>0 se reale, i<0 se virtuale]

o i

♠


specchi sferici : elementidefinizioni :• specchio concavo (ex, altri casi

possibili);• PC = r = raggio dello specchio;• OC = asse dello specchio;• F = fuoco = punto in cui

convergono tutti i raggi paralleli all’asse;

• OF = f = distanza focale;• dimostreremo :

f = ½ r.

C

P

OF

S

♠


specchi sferici : dimostrazionedimostrazione :• α ≈ PS / OS = PS / p ;• β ≈ PS / CS = PS / r ;• γ ≈ PS / IS = PS / i ;• OPC : α + θ + ( 180 - β ) = 180 ;• OPI : α + 2 θ + ( 180 - γ ) = 180 ;• 2 α + 2 θ = 2 β ;• α + 2 θ = γ ;• α = 2 β - γ ;• α + γ = 2 β ;

1 / p + 1 / i = 2 / r [... segue]

POC = α = ♦PCI = β = ♦PIS = γ = ♦OS = p ;CS = r ;IS = i ;OPC = CPI = θ.

C

P

SIO

♠


specchi sferici : equazione [ ... segue ]

1 / p + 1 / i = 2 / r ;" per def., se p → ∞ ⇒ i → f ;" 0 + 1 / f = 2 / r ;" f = r / 2 [QED] ;" 1 / p + 1 / i = 1 / f .NB. nella dim., non si usa la direzione

dei raggi; pertanto, i ↔ p ." i = f p / (p - f);" p < f ⇒ immagine virtuale;" p > f ⇒ immagine reale;" p = f ⇒ ??? ;" ingrandimento m = | i | / | p | . [no dim.]

POC = α = ♦PCI = β = ♦PIS = γ = ♦OS = p ;CS = r ;IS = i .

C

P

SIO

♠


rifrazione su superfici sferiche• approssimazione : Q’ ≈ Q (cioè r grande, γ piccolo) ;• OPC : α + β + (180 - θ1) = 180 → α + β = θ1 ;• IPC : γ + θ2 + (180 - β) = 180 → γ + θ2 = β ;• n1 sin θ1 = n2 sin θ2 → θ1, θ2 piccoli → n1 θ1 ≈ n2 θ2 ;• n1 (α + β) ≈ n2 (β - γ) → n1 α + n2 γ = β (n2 - n1) [ ... segue ... ]

r

P

ICQQ’Oα β γ

θ2

θ1

p i

n1 n2

♠


rifrazione su superfici sferiche (2)• n1 α + n2 γ = β (n2 - n1) ;• sin α ≈ α ≈ PQ / p ; sin β ≈ β ≈ PQ / r ; sin γ ≈ γ ≈PQ / i ;• n1 / p + n2 / i = (n2 - n1) / r ;• la formula non dipende da α → tutti i raggi uscenti da O convergono in I ;• noti i mezzi (n1, n2, r), p ↔ i ;• non dipende dal verso dei raggi → oggetto e immagine possono scambiarsi.

r

P

ICQQ’Oα β γ

θ2

θ1

p i

n1 n2

♠


lenti sottili• prendiamo n1 ≈ 1, n2 = n ;• passaggio 1 → 2 :

1/p - n / i’ = ( n-1 ) / r1 ; [“-”]

• passaggio 2 → 1 : n / (i’+L) + 1/ i = (1 - n) / r2 ;

• L → 0 (“lente sottile”) ;• n / i’ = 1/p - ( n-1 ) / r1 =

= (1 - n) / r2 - 1 / i ;

• 1/p + 1/i = (n-1)(1/r1 - 1/r2);

O C1 C2 I

QP

p r1 r2 i

i’ L

n1 n2 n1

♠


equazioni delle lenti sottili• 1/p + 1/i = (n-1)(1/r1 - 1/r2);• p → ∞ ⇒ i → f (dist. focale);

" Equazione delle lenti sottili :1 / p + 1 / i = 1 / f;

" Equazione dei costruttori di lenti : 1/ f = (n-1)(1/r1 - 1/r2) .

O C1 C2 I

QP

p r1 r2 i

i’ L

n1 n2 n1

♠


immagine di una lente• Ex. lente convergente con oggetto “lontano” ;• altri casi possibili (ex lenti divergenti) ;• “costruzione dei raggi” ;• ingrandimento m = | i | / p (in questo caso m > 1).

OI

F1

F2

p i

f f

♠


microscopio

• due lenti : “obiettivo” + “oculare” ;• l’immagine complessiva è virtuale e capovolta;• ingrandimento globale m = m1 × m2 .

OI

obiettivo oculareocchio

♠

Paolo Bagnaia - CTF - 5 - Onde e oscillazioni 30♠

Fine parte 5

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 1♠

Liquidi viscosi! la viscosità;

! moti di liquidi viscosi;

! legge di Hagen-Poiseuille;

! moto turbolento;

! velocità di sedimentazione;

! legge di Stokes.

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 2

sv=0

viscosità

F = η A v / s :" A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; " v = velocità relativa delle lamine;" η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di

temperatura, pressione);" F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine).

Av→F

→

F→

♠


coefficiente di viscosità• η si misura in N·m / (m2·m/s) = Pa·s;• il valore varia con il tipo di liquido e la

temperatura; alcuni valori in tabella :

alcool

plasma

sangue

acqua

20°

37°

37°

100°

20°

0°

1.2×10-3 Pa·s

1.5×10-3 Pa·s

4.0×10-3 Pa·s

0.3×10-3 Pa·s

1.0×10-3 Pa·s

1.8×10-3 Pa·s

0.013×10-3 Pa·s100°vapore

0.009×10-3 Pa·s0°idrogeno

0.018×10-3 Pa·s20°aria

1500×10-3 Pa·s20°glicerina

200×10-3 Pa·s30°olio motore

♠


legge di Bernoulli

½ ρ v2 + ρ g h + p = costante;


S1,v1,h1,p1

S2,v2,h2,p2

♠

[valida solo per liquidi non viscosi con ηηηη = 0]


moti di liquidi viscosi• discutiamo il moto di un liquido incompressibile, viscoso (η ≠ 0) in un condotto

cilindrico piano di raggio R costante :

• a causa della simmetria cilindrica, possiamo discutere il moto del liquido, considerando le forze tra “cilindretti” coassiali di altezza L, raggio di base r e spessore infinitesimo dr ; a causa della viscosità : v[r=R] = 0; v[r+dr] < v[r]; v[r=0] = vmax.

NB : usiamo “[ ]” per le dipendenze funzionali, “( )” nel solito modo algebrico; chiamiamo v’[r] = dv/dr; v”[r] = d2v/dr2 → Fviscosa [r] = η S v / d = η 2πrL v’[r] ;dv[r+dr]/dr = d [v + dv/dr · dr] / dr → v’[r+dr] = v’[r] + v”[r] · dr.

rRL

1 v→→→→ 2

♠


forze nei liquidi viscosi

• su ogni cilindretto agiscono le pressioni sulla superficie di base (2πrdr) e le forze viscose del cilindretto più interno (r) e di quello più esterno (r + dr) :Fpressione[lato 1] - Fpressione[lato 2] = Fviscosa[r] - Fviscosa[r+dr];

• (p1 - p2) 2πrdr = η 2πrL v’[r] - η 2π(r+dr)L v’[r+dr] ; / 2ππππ, sviluppo di v’[r+dr]

• (p1 - p2) r dr = ηrLv’ - η(r+dr)Lv’ - η(r+dr)Lv” · dr ; +-rv’, trascurare dr2, / dr

• (p1 - p2) r = -ηLv’ - ηrLv” = -ηL d [rv’] / dr ; separazione di variabili

• (p1 - p2) ∫ r dr = -ηL ∫ d [rv’] → ½ (p1 - p2) r2 = -ηLr dv/dr + cost.

r=0 ⇒ dv/dr = 0 ⇒ cost. = 0 → ½ (p1 - p2) r2 = -ηLr dv/dr. ... continua ...

rRL

1 v→→→→ 2

♠


equazione dei liquidi viscosi

• ½ (p1 - p2) r2 = -ηLr dv/dr → (p1 - p2) r dr = - 2 ηL dv integrare r = r ÷÷÷÷ R, v= v ÷÷÷÷ 0

• ½ (p1 - p2) (r2 - R2) = - 2 ηL v;• v[r] = (p1 - p2) · (R2 - r2) / (4ηL).• notare :

" il calo di pressione (p1 - p2) / L;

" la dipendenza da η : v ~ 1/η ;" l’andamento di v = v[r] → vedi" NB : in un liquido ideale v[r] = cost.

rRL

1 v→→→→ 2

r

v

R0

v* v* = v[r=0] = = (p1-p2) R2 / (4ηL)

♠


equazione di Hagen - Poiseuille• v[r] = (p1 - p2) · (R2 - r2) / (4ηL);

• Q = dV/dt = ∫ v dS = ∫0R

v[r] · 2πr dr = ∫0R

(p1 - p2) · (R2 - r2) / (4ηL) · 2πr dr =

= 2π (p1 - p2) / (4ηL) · (R2 · ½ R2 - ¼ R4) = 2π (p1 - p2) / (4ηL) · ¼ R4 == πR4 (p1 - p2) / (8ηL) eq. di Hagen-Poiseuille

• notare :" Q ~ πR4 , nei liquidi ideali Q ~ πR2 (v = cost ⇒ Q ~ S);" ∆p = ZQ, con Z = 8ηL / (πR4), analogo alle leggi di Ohm delle correnti elettriche;" Q ~ 1/L (“impedenza di un condotto”);

" Q ~ 1/η (“impedenza di un condotto”);

v→→→→

♠


moti turbolenti• un liquido viscoso può scorrere in modo turbolento,

caratterizzato da vortici;• l’equazione di Poiseuille non è più valida, il valore della

portata Q è minore, non si può più descrivere il moto in modo matematicamente semplice;

• la turbolenza insorge spontaneamente per alti valori del numero di Reynolds nR :

nR = vdρ / η

• esperienza : nR < 2000 → moto laminare;nR > 2000 → moto turbolento;

" v : velocità del liquido;" d : diametro del condotto;" ρ : densità;" η : viscosità.

♠


velocità di sedimentazione

• una sferetta di raggio r e densitàρS, scende in un liquido di viscositàη e di densità ρL (ρS > ρL) ;

• forza viscosa (“legge di Stokes”) :Fviscosa = 6π ηrv ;

• bilancio totale delle forze (asse verso il basso) :FTOT = ma = 4/3 π r3 ρSa = Fpeso - Farchimede - Fviscosa =

= 4/3 π r3 ρSg - 4/3 π r3 ρLg - 6π ηrv;• a = g (1 - ρL/ ρS) - 9 ηv / ( 2 r2 ρS); [... continua ...]

v→→→→

♠


velocità limite• a = g (1 - ρL/ ρS) - 9 ηv / ( 2 r2 ρS);

• v[t=0] ≈ 0 → a[t=0] > 0 → v aumenta ...• vlimite = v[a=0] = 2 r2g (ρS - ρL) / (9 η)

t

v

0

! v = g t ;! v = gt(1-ρL/ρS) ;! vlimite ;! v[t].

♠


Gas reali

! gas perfetto e gas reali;

! equazione di van der Waals;

! diagrammi di fase.

♠


il “gas perfetto”1. sistema termodinamico costituito da N

molecole;2. molecole in moto casuale, isotropo,

governato dalle leggi degli urti;3. il numero N è grande (~ NA), le

fluttuazioni statistiche sono trascurabili;4. il volume proprio occupato dalle

molecole è piccolo rispetto al volume totale del recipiente;

5. le molecole non sono soggette ad altre interazioni, oltre gli urti elastici tra loro, e con le pareti del recipiente.

pV = nRT

♠


i gas reali - volume proprio(...)

4. il volume proprio occupato dalle molecole è piccolo rispetto al volume totale del gas;(...)

sostituire :4’) ogni molecola occupa un certo volume,

( ex. rm = raggio tipico → Vm = 4/3 π rm3,

Vmole ≡ b = NA Vm = 4/3 πNA rm3 );

ex. rm=2.5×10-10 m → b = 4×10-5 m3/mole = 4×10-2 l/mole, da confrontare (T=300K, p=1 atm) con V=22.6 l/mole.

nell’equazione di stato V → V’ = V - nb(importante a piccolo V)

♠


i gas reali - forze intermolecolari(...)

5. le molecole non sono soggette ad altre interazioni, oltre gli urti elastici tra loro, e con le pareti del recipiente.

5’) esistono forze intermolecolari attrattive; esse aumentano la “pressione efficace”in funzione della densità :[ogni molecola sente una forza ~ al numero di molecole che ha in un piccolo intorno, i.e. ~ N/V; inoltre, il numero di molecole che si trovano in tale situazione è anche esso ~ N/V; in totale, effetto ~ (N/V)2, cioè ~ (n/V)2 ]

nell’equazione di stato p → p’ = p + a(n/V)2

(importante ad alta densità, i.e. alto n e/o piccolo V)

♠


equazione di stato dei gas reali• equazione dei gas reali (di van der Waals) :

(p + a n2 / V2) (V - nb) = n R T • p : pressione del gas;• V : volume occupato;• n : numero di moli (= nmolecole / NA, oppure m / mmolare);• R : 8.31 J / (mol K), costante dei gas perfetti;• T : temperatura in gradi Kelvin (= C + 273.16°);• a,b : parametri dei gas reali, da determinare

sperimentalmente per ogni gas.

♠


0

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400V (cm3)

p [1

05 Pa]

T=264 K

304 K

344 K

500 K

500 K, gas perfetto

b

CO2

n = 1 mole

♠


diagrammi di fase• nel piano pT si scrivono le linee

di separazione tra le fasi di un corpo

• differente per ogni sostanza, ex. ~ acqua (scala ~ log);

• lungo le linee coesistono due fasi;

• A : punto triplo (i.e. le tre fasi possono coesistere);

• C : punto critico (per T>TC, non c’è più liquido, solo gas);

• l’acqua ha pendenza differente dagli altri materiali;

- - - p0 = 1 atm.

♠

p

T

A

Csolido liquido

vapore

gas

(acqua) — sublimazione— fusione— evaporazione

pA

pC

p0

TCTA

Paolo Bagnaia - CTF - 6 - seminari 19♠

FineFineFineFine

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica 1♠

! Cinematica! Meccanica del punto! Meccanica dei sistemi! Meccanica dei fluidi! Termologia! Termodinamica! Elettrostatica! Correnti continue! Campo magnetico! Ottica.

Esercizi di Fisica

Paolo Bagnaia

Paolo Bagnaia - CTF - 1a - Esercizi di cinematica 2

Alcune avvertenze1. Queste note sono il testo degli esercizi svolti a lezione, con una breve traccia delle

soluzioni. Quindi non sostituiscono né un buon libro di esercizi, né le lezioni in aula.2. La soluzione serve come controllo dello svolgimento autonomo elaborato dallo

studente. Non è molto utile guardarla subito dopo avere letto il testo, senza provare a risolvere l’esercizio senza aiuto esterno.

3. Il livello degli esercizi è molto semplice, adatto ad una prima comprensione degli argomenti. Il livello degli esercizi d’esame è un po’ più difficile. Esiste anche una raccolta degli esercizi d’esame degli ultimi anni (rivolgersi all’ufficio dispense del Dipartimento di Fisica, Edificio Fermi, piano terreno).

4. È buona norma risolvere un esercizio in modo simbolico, utilizzando lettere al posto dei valori numerici (ex. “v” per velocità, “m” per massa, etc.). Una volta ottenuta la soluzione, si potrà così controllare la correttezza delle dimensioni e la plausibilità del risultato. Poi si otterrà la soluzione numerica, sostituendo i valori dei dati.

5. Talvolta i dati non usano sistemi di misura omogenei (ex. la velocità in Km/h e lo spazio in m). In questo caso è bene fare subito le “equivalenze”, passando ad un unico sistema di misura.

P.B., Roma, Gennaio 2002.


Cinematica


Esercizi presi da Halliday-Resnick-Walker / Serwaynotazione : “HRW capitolo [esercizi]” oppure “S capitolo [esercizi]”

" CINEMATICA :HRW 2 [1E, 3E, 9P, 11P, 13P, 19P, 29P, 33E, 35E, 37E, 39E, 41E, 43E, 47P, 49P, 51P, 55P, 57P, 61E, 63E, 65E, 67E, 71P, 77P, 79P, 83P, 85P, 89P],HRW 3 [1E, 3E, 5P, 9E, 11E, 15P, 19E, 21E, 27P, 29P, 31P], HRW 4 [5E, 9E, 19E, 21E, 23E, 25E, 27E, 31E, 37P, 41P, 47P, 51E, 53E, 55E, 57E, 59E, 61P, 65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55].


Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h e poi per lo stesso tempo alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocitàmedia.

————————————Soluzione –La velocità media si ottiene dalla definizione :

Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasformare da Km/h a m/s.

./602

2121 hKmvvTT

TvTvTsv

tot

totm =+=

++==

♠


Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h, percorrendo un cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità di80 km/h. Trovare la velocità media.

————————————Soluzione –La velocità media si ottiene dalla definizione :

NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!);2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s.

./3.538040804022

)/()(2

/1/12

//

21

21

2121

2121

hKmvvvv

vvvv

vvvSvSSS

Tsv

tot

totm

=+

⋅⋅=+

⋅=⋅+

=

=+

=++==

♠


————————————Soluzione –La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa nei duecasi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si sottrae dalla velocità della barca, nel secondo si somma :

NB – Non c’è nessun bisogno di trasformare da Km/h a m/s, ma non è vietato.

Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto A al punto B alla velocità costante v1 = 10 Km/h rispetto alla riva. Successivamente torna indietro alla velocità v2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motore della barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi,trovare la velocità della corrente e la velocità della barca rispetto alla corrente.

./32

;/132

;;

12

21

21

hKmvvw

hKmvvu

wuvwuv

=+=

=+=

+=−=

♠

fiume (w)

B Abarca (u)


Esercizio – Stessa situazione del caso precedente. Sono note la velocitàdella corrente (w=2Km/h) e la velocità della barca rispetto alla corrente(u=10Km/h). Calcolare la velocità media della barca.

————————————Soluzione – Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragitto totale 2S. Il tempo totale è facile da calcolare :

./6.910

4100)(2)/(1)/(1

2

)/()/(//

2222

21

hKmu

vuvuvu

vuwuwu

wuSwuSSS

vSvSSS

Tsv

tot

totm

=−=−=++−

−=−++

=

=−++

+=++==

♠

fiume (w)

B Abarca (u)


Esercizio – Un’automobile, durante una frenata uniforme, passa in un minuto dalla velocità di 40 Km/h a quella di 28 Km/h. Trovare il valore della accelerazione e lo spazio percorso.

————————————Soluzione –

v1 = 40 Km/h = 11.11 m/s; v2 = 28 Km/h = 7.78 m/s;

a = (v2 -v1 ) / ∆t = (7.78 - 11.11) / 60 = - 0.055 m/s2;

[quale è il significato del segno “-” ???]

s = 1/2 a ∆t2 + v1 ∆t = - 0.5 · 0.055 · 602 + 7.78 · 60 = - 100 + 666.6 = 566.6 m.

♠

v1

v2

∆t


Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, poste ad 1.5 Km di distanza.Percorre la prima metà del tragitto di moto uniformemente accelerato e laseconda di moto uniformemente ritardato. Data la velocità massima (50Km/h),calcolare il valore dell’accelerazione e il tempo totale di percorrenza.

————————————Soluzione – È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello spazio e della velocità, e poi risolvere per T, a; prima bisogna trasformare la velocità in m/s :

===

=×

==

⇒

=

=

⇒

=

=

=

××=

.37min32172

;/128.0105.1

88.13

;21

2

;2

;2

;22

12

;/88.13106.31050

max

23

22max

2max

max

max

2

3

3

max

ssa

vT

smd

va

va

d

avT

Tav

Tad

smv

♠


Esercizio [S 2.39] – In una gara sui 100 m, due atleti impiegano lo stessotempo di 10.2 s. Il primo impiega 2 s in accelerazione costante, poi mantienela velocità costante fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poimantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente l’accelerazione e la velocità massima.

————————————Soluzione –Primo concorrente : ½ a1 t12 + a1t1 (T - t1) = stot ⇒

a1 = stot / (½ t12 + t1 T - t12) = stot / (t1 T - ½ t12) = = 100 / (2 · 10.2 - 0.5 · 22) = 5.43 m/s2;

v1 = a1t1 = 5.43 · 2 = 10.86 m/s;

Secondo concorrente : ½ a2 t22 + a2t2 (T - t2) = stot ⇒a2 = stot / (½ t22 + t2 T - t22) = stot / (t2 T - ½ t22) =

= 100 / (3 · 10.2 - 0.5 · 32) = 3.83 m/s2;v2 = a2t2 = 3.83 · 3 = 11.5 m/s.

♠


Esercizio [S 2.39 parte 2] – Nella stessa gara dell’es. precedente, quale concorrente si trova in testa dopo un tempo di 6 secondi ?

————————————Soluzione –Primo concorrente : s1 = ½ a1 t12 + a1t1 (t* - t1) =

= 0.5 · 5.43 · 22 + 5.43 · 2 · (6 - 2) = 54.3 m;

Secondo concorrente : s2 = ½ a2 t22 + a2t2 (t* - t2) = = 0.5 · 3.83 · 32 + 3.83 · 3 · (6 - 3) = 51.7 m;

È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54.3 - 51.7 = 2.6 m.

♠


Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Visto un ostacolo, il conducente riesce a fermarsi in 110 m. Quale è l’accelerazione e quantotempo impiega ?

————————————Soluzione –

vo = 120 Km/h = 33.3 m/s;

s = vo T - 1/2 a T2 ; vfin = 0 = vo - aT ⇒⇒⇒⇒

T = vo / a; s = vo2 / a - 1/2 vo

2 / a = 1/2 vo2 / a ⇒⇒⇒⇒

a = vo2 / 2 s = 33.32 / (2 · 110) = 5.040 m / s2 ;

T = vo / a = 33.3 / 5.040 = 6.60 sec.

♠


Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso l’alto con velocità iniziale di 12 m/s. a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto della traiettoria ? b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ? c) Dopo quanto tempo ricade a terra ? d) Con che velocità la palla tocca terra ? e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ?

————————————Soluzione –

a) vf - vi = gt ⇒ t = (vf - vi) / g = (0 - 12) / (-9.8) = 1.24 s;

b) s = - 1/2 g t2 + vi t = -0.5 · 9.8 · 1.242 + 12 · 1.24 = 7.3 m;

c) t2 = t [perché ???];

d) vterra = vi = 12 m/s [perché ???];

e) stot = 2s = 14.6 m.

♠


Esercizio [S 2.27] – Un oggetto viene lanciato da terra ad un’altezza di 4 m. Iltragitto dura 1.5 s. Determinare la velocità dell’oggetto :a) al momento del lancio;b) all’istante di arrivo.

————————————Soluzione –a) h = vo t - ½ g t2 ⇒ vo = (h + ½ g t2) / t = (4 + 0.5 · 9.8 · 1.52) / 1.5 = 10 m/s

b) vfin = vo - g t = 10 - 9.8 · 1.5 = - 4.70 m/s;

che significa “-” 4.70 m/s ? (l’oggetto sta ricadendo).

♠

y

x

h


Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un palazzo verso l’alto, conuna velocità di 12.25 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo 4.25 s. Si calcoli : a) l’altezza del palazzo;b) la massima altezza raggiunta dal sasso;c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo.

————————————Soluzione –

a) y = h + vot - ½ gt2 ;

y = 0 ⇒ h= ½ gt2 - vot = 0.5·9.8·4.252 - 12.25·4.25 =36.4 m;

b) v(t) = vo - gt ;

v(t) = 0 ⇒ t* = vo/g ; y max = y(t*) = h + vo2/g - ½ vo

2/g = h + ½ vo2/g =

= 36.4 + 0.5 · 12.252 · / 9.8 = 44.1 m;

c) vsuolo = vo - gtsuolo = 12.25 - 9.8 · 4.25 = -29.4 m/s [che vuol dire “-” ?].

♠


Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s. Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi :a) barca in favore di corrente;b) barca contro corrente;c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente.

————————————Soluzione -

./23.25)

;/1)

;/3)

223

2

1

smvuvc

smwuvb

smwuva

==+=

=−=

=+=

♠

u

vv3


Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7.2 Km/h, in direzione perpendicolare alla riva. Però la corrente la fa approdare a 150 m più a valle di un fiume largo 500 m. Trovare la velocità della corrente e il tempo totale di attraversamento del fiume.

————————————Soluzione – I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stessotempo totale T. Pertanto :vy = vmotore = 7.2 Km/h = 2 m/s;vy = vmotore = s / T ⇒⇒⇒⇒ T = s / vy = 500 / 2 = 250 s = 4 min 10 s;vx = vcorrente = d/T = 150 / 250 = 0.6 m/s.

♠

x

y

A

Bd

sfiume


Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre, alta 25 m, in direzione orizzontale, con velocità 15 m/s. A che distanza cade, rispetto al bordo della torre ? In quanto tempo ?

————————————Soluzione –

in orizzontale : x = vx t;

in verticale : y = h - ½ g t2;

di conseguenza : y = h - ½ g (x/vx)2

y=0 ⇒ h = ½ g (x1/vx)2 ⇒ x12 = 2 h vx

2 / g ⇒

x1 = vx (2 h / g) ½ = 15 (2 · 25 / 9.8) ½ = 33.9 m;

t = x1 / vx = 33.9 / 15 = 2.26 s.

♠

y

x

h

x1


Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velocità di 100 m/s. Si calcoli l’angolo rispetto al piano orizzontale che causa la gittata massima e il valore della gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario per colpire un bersaglio a 500 m di distanza.

————————————Soluzione –

gittata max per sin(2ϑ) = 1 ⇒ ϑ = 45° ⇒ ymax = v2/g = 1020 m;d = v2sin(2ϑ)/g ⇒ ϑ = asin(gd/v2)/2 = asin(9.8·500/1002)/2 = asin(0.49)/2 =

= 14° 40’ 13” (o 59° 40’ 13”) [perché 2 sol. ???]

;2sincossin2cos2cossinoppure00

;cos

tan

)cos/(

sin

cos

2222

22

2

21

221

gv

gv

gvxxy

vgxxy

vxT

gTvTy

vTx

ϑϑϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑ

ϑ

ϑ

====⇒=

−=

=⇒

−=

=

♠

y

x

vo

ϑ


Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguenti casi :a) la Terra che ruota attorno al Sole (supporre il moto circolare uniforme);b) la Terra che ruota attorno a se stessa;c) la lancetta delle ore;d) la lancetta dei minuti;e) la lancetta dei secondi.

————————————Soluzione –a) ω1 = 2π / T1 = 2π / (365 · 24 · 60 · 60) = 1.99 · 10-7 rad/s;

b) ω2 = 2π / T2 = 2π / (24 · 60 · 60) = 7.27 · 10-5 rad/s;

c) ω3 = 2π / T3 = 2π / (12 · 60 · 60) = 1.45 · 10-4 rad/s;

d) ω4 = 2π / T4 = 2π / (60 · 60) = 1.7 · 10-3 rad/s;

e) ω5 = 2π / T5 = 2π / 60 = 0.104 rad/s.

♠


Esercizio – Determinare la velocità e la velocità angolare che deve mantenere un aeroplano all’equatore affinché il sole appaia fisso all’orizzonte.L’aereo deve volare verso est o verso ovest ?

————————————Soluzione –

ωaereo = - ωTerra = 7.27 · 10-5 rad/sec (vedi esercizio precedente);

il segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso ovest;

vaereo = ω · rTerra = 7.27 · 10-5 · 6.37 · 106 = 463 m/s = 1670 Km/h.

♠


Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggio 150 m, nei 15 s che impiega a percorrere la curva rallenta da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolare l’accelerazione tangenziale e normale nel momento in cui la velocità è 50 Km/h, assumendo che il treno continui a decelerare.

————————————Soluzione –a) trasformiamo da Km/h a m/s :

v1 = 90 Km/h = 25.0 m/s; v2 = 50 Km/h = 13.9 m/s;b) l’accelerazione tangenziale : aT

media = (v2 - v1) / T = -0.74 m/s 2;c) accelerazione radiale : aR

centripeta = v22 / r = 1.29 m/s2;

d) accelerazione totale (modulo), poiché aT e aR sono ortogonali :

NB – se il treno non continuasse a decelerare, aT=0, atot=aR.

./49.129.1)74.0( 22222 smaaa RTtot =+−=+=

♠


Fine

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Esercizi di meccanica del punto e dei sistemi 1♠

Meccanica delpunto

Paolo Bagnaia - CTF - 1b - Esercizi di meccanica del punto e dei sistemi 2


! MECCANICA DEL PUNTO E DEI SISTEMIHRW 5 [5E, 7E, 9E, 11P, 13E, 15E, 17E, 19E, 23E, 25E, 27E, 29E, 31E, 33P, 35P, 41P, 43P, 45P, 47P, 51P, 57P, 63P], HRW 6 [1E, 3E, 7E, 9E, 11E, 15E, 17P, 21P(*), 25P, 33P, 35P, 37P(*), 39P(*), 45E, 49E, 51E, 53E, 57E, 59P, 65P], HRW 7 [1E, 7P, 9E, 11E, 19P, 21E, 25P, 27E, 35E, 37P, 41E, 43E, 45P, 47P, 49P], HRW 8 [1E,3E, 5E, 7P, 11E, 13E, 15P, 17P, 19P, 37P, 41E, 45E, 47P, 49P, 51P], HRW 9 [1E, 3E, 7P, 13E, 17P, 19P, 21E, 23P, 31P, 33P], HRW 10[1E, 3E, 5E, 13P, 21P, 29E, 31E, 33E, 41E, 45E, 49P, 51P, 55P], HRW 14 [1E, 3E, 7E, 19E], HRW 16 [1E, 5E, 7E, 13E, 17P, 19P, 25P, 51E, 53E], S 4 [3, 7, 9, 13, 17, 27, 29, 31, 33, 37, 39], S 5 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 27, 35, 39, 41, 45, 47, 49, 51], S 6 [1, 3, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 39, 43, 49], S 7 [1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 23, 29, 41, 43], S 8 [1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 23, 45, 51], S 11 [1, 3, 5, 11], S 12 [1, 3, 5, 9, 11, 19, 33, 37].


Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione massima di 4400 N.Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere ad un oggetto di 400 Kg ?

————————————Soluzione –Per il corpo : ma = T – mg;pertanto : T = m (a + g) ⇒ Tmax = m (amax + g) ⇒

amax = Tmax /m – g = 4400 / 400 – 9.8 = 1.2 m/s2.

♠

mmg

T


Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connette due masseidentiche, una delle quali è libera di muoversi su un piano inclinato di angolo ϑ(ϑ = 30°), mentre l’altra penzola nel vuoto. Calcolare l’accelerazione su entrambe le masse.

————————————Soluzione –

L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bilancio delle forze dà :

(m1 + m2) a = m2 g – m1 g sin ϑ ⇒ m1 = m2 = m ⇒

a = m g (1 – sin ϑ) / (2m) = g (1 – sin ϑ) / 2 = 9.8 × (1 - 0.5) / 2 = 2.45 m/s2;

l’accelerazione è diretta verso il basso per

la massa libera e verso l’alto del piano per

quella sul piano inclinato.

♠

aaaaaϑϑϑϑ mm


Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano inclinato di angolo 30°, lungo 40 m, partendo da fermo. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale.

————————————Soluzione –

a = g sinϑ;

L = ½ a t2 = ½ g sinϑ t2 ⇒ t = [2 L / (g sinϑ)]½ = 4.04 s;

v = a t = g sinϑ t = 19.8 m/s.

♠


Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un attrito dinamico, di coefficiente kd = 0.5. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale.

————————————Soluzione –

ma = m g sin ϑ - k m g cos ϑ ⇒ a = g sinϑ - kg cos ϑ = g (sinϑ - k cos ϑ);

L = ½ a t2 = ½ (g sinϑ - k cos ϑ) t2 ⇒ t = [2 L / (gsinϑ - kgcos ϑ)]½ = 11.03 s;

v = a t = g (sinϑ - k cos ϑ) t = 7.24 m/s.

♠


Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza attrito] Al terminedel piano inclinato [senza attrito] c’è un tratto piano, con attrito dinamico di coefficiente kd = 0.25. Determinare la distanza percorsa dal corpo sul tratto piano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi.

————————————Soluzione –

ma = F = -k m g ⇒ a = -k g;

v(t) = vo - k g t ⇒ tfin = vo / k g = 8.08 s;

Ltot = vo tfin + ½ a tfin2 = vo tfin - ½ k g tfin2 = 80 m.

♠


Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare un corpo di massa 2 Kg dalla velocità di 2 m/s a quella di 5 m/s.

————————————Soluzione –

L = ½ m vfin2 - ½ m vini

2 = 0.5 × 2 × (52 - 22) = 21 J.

♠


Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un corpo di massa 2 Kg, che procede alla velocità di 8 m/s.

————————————Soluzione –

L = - ½ m vini2 = - 0.5 × 2 × 82 = - 64 J.

[perché “-” ?]

♠


Esercizio – Un carrello di massa 100 Kg compie il percorso indicato in figura, passando dal punto A al punto C. Nota la velocità iniziale (vA=0) e le differenze di quota tra A e B (a=20 m) e tra C e B (c=18m), calcolare il valore dell’energia potenziale in A e della velocità in B e in C. ————————————

Soluzione – Scegliamo la costante dell’energia potenziale in modo che Epot

B=0. In tal caso :

EpotA = m g a = 100 × 9.8 × 20 = 19600 J;

EpotA + ½ m vA

2 = EpotB + ½ m vB

2 = mga = ½ m vB2 ⇒

vB2 = 2 g a ⇒ vB = (2 × 9.8 × 20)½ = 19.8 m/s;

m g a = ½ m vC2 + mgc ⇒

vC2 = 2 g (a - c) ⇒ vC = [2 × 9.8 × (20-18)]½ = 6.26 m/s.

♠

a c

B

A C


Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 m su una molla di costante elastica 200 N/m. Di quanto si abbassa la molla ? Dopo un po’, le oscillazioni si smorzano. Dove è il punto di riposo della molla ?

————————————Soluzione – Si può scrivere : mgh = ½ k d2 ⇒ d2 = 2mgh / k;

♠

mmgkh

kmgd

mgkh

kmg

kkmghgmmgd

73.08.92

2200211200

8.92211

?][perche' ""segnoilscegliere 211222

=

×

××++×=

++=

+

+±=+±=

mg (h + d) = ½ k d2 ⇒ k d2 - 2mgd - 2mgh = 0 ⇒

no ! sbagliato !

Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb ⇒ b = mg/k = 2 ×9.8 / 200 = 9.8 cm.


Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre una salita di pendenza 30°; il motore eroga una potenza di 9800 W. Calcolare la velocità massima disponibile.

————————————Soluzione –In un tempo t :L = W t = m g h=m g s sinϑ ⇒

s / t = v = W / (m g sinϑ) = 9800 / (1200 × 9.8 ×0.5) = 1.67 m/s = 6 Km/h.

♠


Meccanica deisistemi


Esercizio – Una pallina di massa 1 Kg urta alla velocità di 1 cm/s una seconda pallina ferma, di massa 2 Kg. Dopo l’urto, le palline si appiccicano. Trovare la loro velocità e la viariazione di energia cinetica nell’urto.

————————————Soluzione –m1vini = (m1 + m2) vfin ⇒

vfin = vini × m1 / (m1 + m2) = .01 × 1 / (1 + 2) = 0.33 cm/s;

∆T = Tfin - Tini = ½(m1 + m2) vfin2 - ½ m1 vini

2 = = 0.5 ×(1000 + 2000) × 0.332 - 0.5 × 1000 × 12 = -333 erg;

[perché “-” ???]

♠


Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m. Una pallottola di massa 50 g lo urta, restandovi conficcata. Il corpo percorre un angolo di 30°. Trovare la velocità iniziale della pallottola.

————————————Soluzione –

Nel primo urto anelastico vale : mv = (M+m)w ⇒ w = v m / (M+m)

L’energia cinetica dei due corpi si converte poi in energia potenziale :

½(M+m)w2 = ½(M+m) v2 m2 / (M+m)2 = ½ m2 v2 / (M+m) =

= (M+m) g h = (M+m) g R (1 - cos ϑ) ⇒

v2 = 2 (M+m)2 g R (1 - cos ϑ) / m2 ⇒

♠

./1300)30cos1(48.92050.0

050.020)cos1(2 smgRm

mMv =−×××+=−+= !ϑ

R

h

ϑ


Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune lunga 4 m. Una pallottola di massa 50 g, che procede alla velocità di 1000 m/s, lo urta, perforandolo, e proseguendo alla velocità di 300 m/s. Trovare l’angolo di cui si alza il corpo.

————————————Soluzione –

Nel primo urto anelastico vale : mv = MW +mw ⇒

W = m (v - w) / M = 1.75 m/s;

L’energia cinetica del corpo si converte poi in energia potenziale :

½MW2 = M g h = M g R (1 - cos ϑ) ⇒

1 - cos ϑ = ½ W2 / (gR) ⇒

♠

!16961.048.9

75.15.048.9cos22

21

≈⇒=×

×−×=−

= ϑϑgR

WgR

R

h

ϑ


Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 50 cm è attaccata agli estremi con due elastici, di costanti 200 N/m e 300 N/m rispettivamente. In quale punto della sbarra bisogna porre un corpo puntiforme di massa 5 Kg, in modo che la sbarra rimanga orizzontale ? Di quanto si allungano gli elastici ?

————————————Soluzione – Se la sbarra è orizzontale, l’allungamento di entrambi gli elastici è identico (chiamiamolo d); le forze sono k1d e k2d. Affinché la sbarra rimanga ferma, occorre che il momento totale delle forze sia nullo. Calcolando il momento rispetto al punto in cui è posto il corpo, si ha (notare i segni +-) :k1dx - k2d(L-x) + mg·0 = 0 ⇒x = k2dL / (k1d + k2d) = k2L / (k1 + k2) = 30 cm;L’allungamento si ottiene ponendo la somma vettoriale delle forze uguale a zero (asse positivo verso l’alto) :k1d + k2d – mg = 0 ⇒ d = mg / (k1 + k2) = 9.8 cm.

♠

k1k2

m

Lx

d


Esercizio – Una bilancia a statera (vedi figura) di massa trascurabile ha lamassa scorrevole (m) di 500 g, il braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una certa massa M é posta sul piatto, l’equilibrio richiede che la massa m venga posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia ?

————————————Soluzione –Eguagliamo a zero il momento totale delle forze :Mga - mgb = 0 ⇒ M = mb / a = 500 × 20 / 40 = 250 g.

♠

m

M

ab


Esercizio – Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza 2 m è fissata al centro e libera di ruotare. Ha alle estremità due masse, rispettivamente di 80 Kg e 60 Kg. Dove bisogna mettere una terza massa, di 30 Kg, in modo che la sbarra resti orizzontale ?

————————————Soluzione –Eguagliamo a zero il momento totale, calcolato rispetto al punto centrale (fulcro) :m1gL/2 – m2gL/2 – m3gx = 0 ⇒x = (m1L/2 – m2L/2) / m3 = L/2 (m1 – m2) / m3 = 66 cm.

♠

x

m1 m2m3


Esercizio – Trovare il raggio dell’orbita di un corpo che percorre un’orbita circolare geostazionaria [dati raggio terrestre : 6.37 × 106 m].

————————————Soluzione – Si eguaglia la forza di gravità a quella necessaria per un moto circolare uniforme; si impone inoltre che la velocità angolare sia la stessa della rotazione terrestre :

NB - L’orbita non deve necessariamente essere tutta al di sopra dell’equatore; deve però avere come centro il centro della Terra [perché ???].

KmTgRR

TgRRRRg

TR

TRv

TRv

RmRg

RmR

RmG

RmmG

Rmv

T

TT

TT

T

TT

332

263

2

22

2

223

2

2

2222

2

2

2

2

22

2

102.424

)3600241037.6(8.94

442

2;

×=×⋅××==

⇒=⇒==

=

⇒==⋅==

ππ

πππ

π

♠


Esercizio – Determinare la velocità di un corpo che, senza usare alcun motore, gira attorno alla Terra ad una quota di 100 m sul livello del mare.Trascurare la resistenza dell’aria e approssimare la Terra con una sfera perfetta di raggio RT = 6.37 × 106 m.

————————————Soluzione –Si eguaglia la forza peso subita dal corpo con la forza centripeta necessaria acompiere il moto in questione :

smhRgv

hRmv

Rmvmg

T

T

/109.7)101037.6(8.9)( 326

22

⋅=+⋅⋅=+=

⇒+

==

♠


Esercizio – Partendo da fermo, un motociclista compie il percorso indicato in figura, composto da un tratto in discesa e da una circonferenza di raggio 4 m. Trascurando gli attriti, trovare il valore minimo della quota h, affinché il percorso riesca. In tale ipotesi, trovare la velocità del motociclista nei punti più alto e più basso della circonferenza.

————————————Soluzione – Il punto critico è quello chiamato “A” nella figura; in A, per mantenere la traiettoria circolare, l’accelerazione di gravità deve essere al piùuguale a quella richiesta dal moto circolare uniforme (g ≤ vA

2/R). Pertanto :

♠

./14108.922

;/3.6)4210(8.92)2(2

;102/5/2

/22

21

2222

122

1

smghv

smRhgv

mRhRh

RmhvmvmvmghRmgmv

B

A

AAAA

=××==

=×−××=−=

==⇒=+

⇒=+==+

h

R

A

B


Fine

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi 1♠

Meccanica deifluidi

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi 2


! MECCANICA DEI FLUIDI :HRW 15 [1E, 3E, 5P, 13E, 15E, 29E, 31E, 33E, 35E, 37P, 39P, 41P, 43P, 47E, 49P, 51E, 53E, 55P, 57P], S 15 [1, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27, 31, 33, 35, 39, 45].


Esercizio – Un tubo ad “U” contiene due fluidi non miscibili : da un lato c’èmercurio (massa volumica 13.6 g/cm3) fino all’altezza di 30 cm, dall’altro un liquido ignoto, fino all’altezza di 100 cm. Calcolare la massa volumica di tale liquido.

————————————Soluzione –

h1ρ1g = h2ρ2g ⇒ ρ 2 = h1ρ1/ h2 = 30 ×13.6 / 100 = 4.08 g/cm3.

♠


Esercizio – Quale frazione di un iceberg è sott’acqua ? (ρghiaccio=0.9 g/cm3)

————————————Soluzione –

Dal principio di Archimede :Vtotρgg = Vimmersoρag ⇒ Vimmerso / Vtotale= f = ρg/ ρa = 90%.

♠


Esercizio – Una lastra di ghiaccio (ρghiaccio=0.9 g/cm3) spessa 10 cm galleggia su un fiume. Che superficie deve avere per impedire che un uomo di massa 50 Kg si bagni ?

————————————Soluzione –Dal principio di Archimede, nell’ipotesi che la lastra sia completamente immersa :

NB - attenzione !!! ρa = 1 g/cm3 (sistema CGS !!!).

.5)9001000(1.0

50)(

2md

mS

gSdmggSdgVmggV

ga

agag

=−×

=−

=

⇒=+==+

ρρ

ρρρρ

♠


Esercizio – Un recipiente cilindrico di diametro 50 cm ha un buco sul fondo didiametro 1 cm. Il recipiente è pieno d’acqua fino all’altezza di 20 cm. Trovare la velocità di abbassamento del pelo dell’acqua.

————————————Soluzione – Dalla legge di Bernoulli :

NB - Il risultato è quasi uguale se si trascura il termine cinetico v12 nella legge

di Bernoulli :

[ ]

./079.01)005.0/25.0(

2.08.921)/(

2

2

;

4421

1

2

22

21

121

222221

211121

2222

11

212

1

scmrrghv

rrvghv

vrvSvrvSQpp

pvpghv

=−

××=−

=

⇒

=+

=====

⇒+=++

ππ

ρρρ

♠

.2)/( 2121 ghrrv =

r1

v1

r2

v2

h


Esercizio – Una mongolfiera piena di elio (ρe = 0.14 Kg/m3) ha forma sferica, con raggio di 10 m. La strumentazione ha massa di 10 Kg. Nota la massa volumica dell’aria (ρa = 1.3 Kg/m3), trovare la forza ascendente.

————————————Soluzione –

Fasc = Vρag - Vρeg - Mg = 4/3 πR3 g (ρa - ρe) - Mg =

= 4/3 π× 103 × 9.8 × (1.3 - 0.14) - 10 × 9.8 = 4.76 × 104 N.

♠


Esercizio – Un corpo di massa 5 g e volume 11 cm3 è immerso in acqua, trattenuto da una molla di costante elastica 6 × 10-3 N/cm. Calcolare l’allungamento (o accorciamento) della molla.

————————————Soluzione –

All’equilibrio (asse positivo verso l’alto) :

kd + V ρa g - mg = 0 ⇒

d = g (m - V ρa) / k = 980 × (5 - 11 × 1) / 600 = 9.8 cm.

♠


Esercizio – Una pompa di potenza 1 KW solleva acqua all’altezza di 5 m. In quanto tempo svuota una pozza di 4 m3 ?

————————————Soluzione –

L = W t = V ρ g h ⇒

t = V ρ g h / W = 4 × 1000 × 9.8 × 5 / 1000 = 196 s = 3 min 16 s.

♠


Esercizio – Che potenza occorre per sollevare 50 litri d’acqua di un metro ed immetterli in un condotto alla pressione di 2 atmosfere ?

————————————Soluzione –

W = L / t = (mgh + V ∆p) / t = (.050 × 9.8 × 1 + .050 × 1 × 1.01 × 105) = = 5050 W;

(in pratica il sollevamento è trascurabile rispetto alla compressione).

♠

Paolo Bagnaia - CTF - 2 - Esercizi di Meccanica dei Fluidi 11♠

Fine

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica 1♠

Termologia

Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica 2


! CINEMATICA :HRW 2 [1E, 3E, 9P, 11P, 13P, 19P, 29P, 33E, 35E, 37E, 39E, 41E, 43E, 47P, 49P, 51P, 55P, 57P, 61E, 63E, 65E, 67E, 71P, 77P, 79P, 83P, 85P, 89P],HRW 3 [1E, 3E, 5P, 9E, 11E, 15P, 19E, 21E, 27P, 29P, 31P], HRW 4 [5E, 9E, 19E, 21E, 23E, 25E, 27E, 31E, 37P, 41P, 47P, 51E, 53E, 55E, 57E, 59E, 61P, 65P, 67E, 69E, 73E, 75P, 77P, 81P], S 1 [33, 35, 37, 39, 41, 49], S 2 [1, 7,9,11, 13, 17, 21, 23, 25, 29, 33, 35, 37, 43, 47], S 3 [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 55].

! MECCANICA DEL PUNTOHRW


Esercizio – Un cubetto di ghiaccio di 150 g alla temperatura di 0° C è gettato in un recipiente, che contiene 300 g di acqua alla temperatura di 50° C. Dato il calore latente di fusione del ghiaccio di 80 cal/g, trovare la temperatura finale.

————————————Soluzione – Bilancio del calore assorbito e ceduto (m = mghiaccio; M = macqua):

Q ghiaccio = Qacqua = mλ + mc(Tfin - To) = Mc(Tini - Tfin) ⇒

Tfin = (McTini - mλ - mcTo) / (Mc + mc) = (300×1×50 - 150×80) / (300+150) == 6.6 °C.

NB - Abbiamo fatto l’esercizio con unità “pericolose” : calorie, gradi centigradi, grammi; tutto bene, ma attenzione !

♠


Termodinamica


Esercizio – Un recipiente di volume 820 cm3 contiene 2 g di O2 alla pressione di 2 atm. Calcolare la temperatura.

————————————Soluzione –

nmoli = 2 / 32 = 0.0625;

Dalla legge dei gas perfetti :

T = pV / (nR) = 2 × 1.01 × 105 × 820 × 10-6 / (0.0625 × 8.31) = 320 K = 47 °C.

♠


Esercizio – Un recipiente di volume 90 cm3 contiene 3.5 g di O2 alla pressione di 28 atm. Calcolare la temperatura.

————————————Soluzione –

nmoli = 3.5 / 32 = 0.109;

Dalla legge dei gas perfetti :

T = pV / (nR) = 28 × 1.01 × 105 × 90 × 10-6 / (0.109 × 8.31) = 281 K = 8 °C.

♠


Esercizio – Calcolare la velocità quadratica media dell’aria alla temperatura di 17 °C (supporre l’aria una mistura di peso molare effettivo 29 g/mole).

————————————Soluzione –Dalla teoria cinetica :

./5001029

)17273(31.8333

2 smM

nRTv =×

+××==⟩⟨ −

♠


Esercizio – Trovare il rapporto tra la velocità quadratica media tra due quantità di gas alla stessa temperatura, la prima di He, la seconda di N2.

————————————Soluzione – Dalla teoria cinetica :

La velocità quadratica media è maggiore per il gas He.

♠

;65.24

28

3

2

2

2

2

2

===⟩⟨

⟩⟨

⇒=⟩⟨

He

N

N

Hemm

v

v

MnRTv


Esercizio – Un recipiente sigillato di volume 4 litri contiene 5 g di N2 alla temperatura di 20 °C. Se la temperatura viene portata a 40 °C, di quanto aumenta la pressione ?

————————————Soluzione –

nmoli = 5 / 28 = 0.178;

Dalla legge dei gas perfetti, a volume costante :

∆p = p2 - p1 = nRT2 / V - nRT1 / V = nR(T2 - T1) / V == 0.178 × 8.31 × (313 - 293) / .004 = 7396 N/m2 = 7396 Pa;

NB - Per calcolare la differenza di temperatura, non è necessario passare a K.

♠


Esercizio – Un gas compie un’espansione adiabatica, che raddoppia il volume e diminuisce la temperatura di un fattore 1.32. Dire se si tratta di un gas mono- oppure bi-atomico.

————————————Soluzione – Dalla legge delle adiabatiche :

T1V1γ-1 = T2V2

γ-1 ⇒ T1/T2 = (V2 / V1)γ-1 ⇒

γ = 1 + log(T1/T2) / log(V2 / V1) = 1 + log(1/1.32) / log(1/2) = 1.4 = 7/ 5 ⇒

biatomico.

♠


Esercizio – Due quantità di gas, uno mono- e uno bi-atomico, hanno la stessa temperatura e lo stesso volume. Subiscono entrambe una compressione adiabatica, che ne dimezza il volume. Quale dei due gas è più caldo ?

————————————Soluzione – Si applica la legge delle adiabatiche :

È più caldo il gas monoatomico.

;203.122

22

22

22

222

5/7

3/5

1

1

2;

1;

2;

1;

1

2

1

2

1

=====

⇒=⇒==

⇒=

=⇒

==

−

−

−

γ

γ

γ

γ

γ

γγγ

γγ

fin

ini

ini

fin

fin

fin

ini

fin

ini

fin

ini

ini

fin

fin

ini

fin

ini

ini

ini

fininifinfinfininiini

TT

TT

TT

TT

TT

TV

VT

pp

VV

ppVpVpVp

♠


Esercizio – Un gas si trova alla temperatura di 17 C, pressione di 2×105 Pa, volume di 5 litri. Compie un’espansione isobara, il cui lavoro è 200 J. Trovare la temperatura finale.

————————————Soluzione –L = p (Vfin - Vini) ⇒ Vfin = Vini + L / p ⇒ Vfin / Vini = 1 + L / (p Vini);

p Vini / Tini = p Vfin / Tfin ⇒

Tfin = Tini Vfin / Vini = Tini [1 + L / (p Vini)] =

= 290 × [1 + 200 / (2 × 105 × 5 × 10-3 )] = 348 K = 75 ºC.

♠


Fine

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti 1♠

Elettrostatica

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettrostatica e correnti 2





Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, di valore q1=2×10-7 C e q2= -5×10-8 C, poste alla distanza di 10 cm.

————————————Soluzione –

Dalla legge di Coulomb :

nella direzione della carica negativa.

♠

( ) ( )

./1004.9)1.0(1089.84

105102)(1

41

5212

87

2120

22

22

2

1

021

CNqqd

qqEEEddtot

×=××××

×+×=−=

=

−=+=

−

−−

ππε

πε!!!


Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, di valore q1=2×10-7 C e q2= +5×10-8 C, poste alla distanza di 10 cm (identico al caso precedente, a parte il segno della seconda carica).

————————————Soluzione –

Tutto identico al caso precedente, a parte i segni :

nella direzione della carica minore (cioè q2).

♠

( ) ( )

./104.5)1.0(1089.84

105102)(1

41

5212

87

2120

22

22

2

1

021

CNqqd

qqEEEddtot

×=××××

×−×=−=

=

−=+=

−

−−

ππε

πε!!!


Esercizio – Quattro cariche, ciascuna di valore 2 C, sono poste ai vertici di un quadrato di lato 2 m. Calcolare il valore del campo elettrico al centro del quadrato e al centro di ciascun lato.

————————————Soluzione – Nel centro del quadrato, i campi si cancellano due a due e il campo totale è nullo. Per quanto riguarda il campo nel punto centrale tra A e B (gli altri tre casi sono analoghi), i campi delle cariche A e B si cancellano; i campi delle cariche C e D hanno componente orizzontale che si cancella e componente verticale che si somma. Essa vale :

♠

???55

82

1)2/1(1

1)2/1(1

12

1

)2/()2/(21

cos4

22

20

2220

22220

20

==++

=

=++

=

===+=

LQ

LQ

LLL

LLQ

dQEEEE y

CyD

yC

ytot

πεπε

πε

απε

A

D C

B

L


Esercizio – Due cariche elettriche, di valore rispettivamente 1 C e -2 C, si trovano alla distanza di 2 m. Trovare i punti in tutto lo spazio in cui il campo elettrico totale è nullo. ————————————Soluzione – Questi punti, se esistono, possono unicamente trovarsi sulla retta che passa per i due punti. Infatti, nel resto dello spazio, i campi delle due cariche non sono collineari, e pertanto la loro somma vettoriale non può essere nulla.Sulla retta si possono inividuare tre zone : (a) tra infinito e prima carica, (b) tra le due cariche, (c) tra seconda carica e infinito. In (b) i campi sono paralleli e pertanto la somma non può essere nulla; in (c) il campo della seconda carica è sempre maggiore (carica più grande a distanza minore); viceversa in (a) i due campi possonocompensarsi (q1 e q2 sono i moduli delle cariche) :

mmqqqqqL

qqqqqqqLxLqxLqqqx

xqxLqLqxqLx

qxq

Lxq

xqEE

8.4)21(2)()

)()(02)(

020)()(4

14

1

12

211

12

1212

1121112

2

221

21

212

221

22

021

021

→±=−

±=

−−+±

=⇒=−−−

⇒=−++⇒=+

−⇒+

===πεπε

!!

♠

x L+ -(a) (b) (c)


Esercizio – Come nel caso precedente, ma stavolta le cariche sono entrambe positive (+1 C e +2 C).

————————————Soluzione – Identica al caso precedente, ma stavolta la soluzione è nella zona (b) tra le due cariche (q1 e q2 sono i moduli delle cariche) :

mm

qqqqqL

qqqqqqqLx

LqxLqqqxxqxLqLqxq

xLq

xq

xLq

xqEE

8.0)21(2

)()

)()(

02)(02

0)()(4

14

1

12

211

12

1212

11

21112

2221

21

21

22

21

22

021

021

→±−=

=−

±−=

−−+±−

=

⇒=−+−⇒=−−+

⇒=−

−⇒−

===πεπε

!!

♠

xL+ -(a) (b) (c)


Esercizio – Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, l’elettrone orbita attorno al protone alla distanza di 0.5×10-8 cm. Trovare la forza di attrazione elettrostatica tra le due particelle e la velocità dell’elettrone.

————————————Soluzione –Dalla legge di Coulomb :

♠

./1025.21011.9

105.01026.9

1026.9)105.0(1089.84

)106.1(4

1

631

1082

821012

219

2

2

0

smmFrv

rmvF

NreF

×=×

×××==⇒=

×=×××××

×==

−

−−

−−−

−

ππε


Esercizio – Due cariche, di valore q1=7×10-9 C e q2= 14×10-9 C sono poste alla distanza di 40 cm. Trovare il lavoro necessario per avvicinarle alla distanza di 25 cm.

————————————Soluzione –Dalla definizione di energia potenziale elettrostatica :

♠

.103.140.01

25.01

1089.841014107

114

1

612

99

2121

0

J

rrqqL

−−

−−×=

−

××××××=

=

−=

π

πε


Esercizio – Un elettrone (e=1.6×10-19 C, m=9.11×10-31 Kg) è scagliato alla velocità di 106 m/s contro un secondo elettrone, che è mantenuto fermo. Trovare la minima distanza cui arrivano i due elettroni.

————————————Soluzione – La distanza minima corrisponde alla completa trasformazione dell’energia cinetica in energia potenziale elettrostatica :

♠

.1008.5)10(1011.91089.84

)106.1(224

41

10263112

219

20

2

2

0

22

1

mmv

ed

demv

−−−−

−×=

××××××××==

⇒=

ππε

πε


Esercizio – Un condensatore piano ha un campo di 104 V/m e una lunghezza (parallela alle armature) di 5 cm. Un elettrone entra tra le armature con una velocità di 107 m/s ortogonale al campo. Calcolare l’angolo di deflessione all’uscita del condensatore e il modulo della velocità. Trascurare gli effetti di bordo.

————————————Soluzione – La forza elettrostatica (lungo l’asse y) è ortogonale alla velocitàiniziale dell’elettrone (asse x). Pertanto :

♠

./1033.1)10()108.8(

;34110

108.8tanatan

;/108.8101011.9

05.106.110

;//

7272620

2,,

7

6

0

,

6731

194

0,

000

smvvv

vv

a

smvL

mEev

atvvLTvxttvx

xfinyfintot

x

finy

xfiny

yxtotxx

×=+×=+=

=×=

=

×=××

×××==

⇒==⇒=⇒=

−

−

"αm

vo

LE

α vfin


Fine


Correnti continue


Esercizio – Un conduttore di rame (peso atomico 63.5 g/mole, massa volumica 8.9 g/cm3) ha una sezione costante di 1.3 cm2 ed è percorso dalla corrente di 2 A. Calcolare la velocità media degli elettroni.

————————————Soluzione –

Nmoli/m3 : Mrame/(Vmmole) = ρ / mmole = 8.9×103×1/(63.5×10-3) =1.4×105 moli/m3;

Nelettroni di conduzione / mole : NAvogadro = 6.02×1023 ;

Nelettroni / m3 : NAvogadro × ρV / mmole = 6.02×1023 ×1.4×105 = 8.44×1028 m-3;

i=nSev ⇒ v = i / (nSe) = 2 / (8.44×1028×1.3×10-4×1.6×10-19) = 1.14×10-6 m/s.

♠


Esercizio – Una stufa è alimentata da una d.d.p. di 240 V con una corrente da 10 A. Determinare la resistenza della stufa e la potenza dissipata.

————————————Soluzione –V = R i ⇒ R = V / i = 240 / 10 = 24 Ω;

W = V i = 240 × 10 = 2400 W

cioè, a parità di i, ddp → 2 ddp ⇒ R → 2 R, W → 2 W.

♠




W = V i = 120 × 20 = 2400 W

cioè, a parità di d.d.p., i → 2i ⇒ R → R / 2, W → 2 W.

♠




W = V i = 120 × 10 = 1200 W.

♠


Esercizio –Circuito :R1 = 4 Ω; R2 = 2 Ω;R3 = 4 Ω; i1 = 3 A;trovare i2, i3, ∆VAB.

————————————Soluzione –Rtot = R1 + R2 R3 / (R2 + R3) = 4 + 2×4 / (2 + 4) = 16/3 Ω = 5.33 Ω;

∆Vtot = Rtot i1 = 5.33×3 = 16 V;

V2 = ∆Vtot - R1 i1 = 16 - 4×3 = 4 V ⇒ i2 = V2 / R2 = 4 / 2 = 2 A;

V3 = V2 = 4 V ⇒ i3 = V3 / R3 = 4 / 4 = 1 A.

♠

R1R2

R3

A B


Esercizio – Circuito :R1 = R2 = R6 = 4 Ω; R3 = 8 Ω; R4 = R5 = 2 Ω; ∆V = 24V;trovare W6, Rtot.

————————————Soluzione –

♠

R1

R2

R3

R4

R6

R5

∆V

.4

;1;088

;2;)(

;2

;212/24/

;1216

8844)(

6266

6363

63

665433

63

6543

654321

WRiW

Aiiii

iiiRRRiR

ii

ARVi

RRRRRRRRRRR

tottot

tot

==

==⇒

=−=+

⇒++=

=+

==∆=

Ω=×++=+++

++++=


Esercizio – Circuito (ponte di Wheatstone) :R1 = 30 Ω; R2 = 45 Ω; R3 = 200 Ω; ∆V = 2V; ig = 0 (ruotare il potenziometro);trovare R4, i1, i2, i3, i4.

————————————Soluzione –

♠

.300004.0/2.1/

;4200/8.0/;2.1027.045

;8.0027.030;2775/2)/(

;)(;

;;0poiche'

;teanalogamen

;

424

3143222

1112121

2112124123311

4321

4422

33311131

Ω==∆=

==∆===×==∆

=×==∆==+∆==

∆=∆+∆=+⇒==

==⇒=

=

=∆==∆⇒∆=∆

iVR

mARViiViRV

ViRVmARRVii

VVViRRiRiRiRiR

iiiii

iRiR

iRViRVVV

g

g

∆V

R2

R3 R4

R1


Esercizio – Un fornello elettrico di potenza 500 W porta un litro di acqua dalla temperatura ambiente di 16 °C all’ebollizione in 20 minuti. Calcolare la frazione di calore dispersa nell’ambiente.

————————————Soluzione –Qtot = W t = 500 × 20 × 60 = 6×105 J = 1.435×105 cal;

Qacqua = mc(Tfin - Tini) = 1 × 103×(100 – 16) = 8.4×104 cal;

η = (Qtot - Qacqua) / Qtot = 1 – 8.4×104 / (1.435×105) = 41.5 %.

♠


Esercizio – Una teiera elettrica può essere riscaldata con due resistenze elettriche. Utilizzando la prima si prepara il tè in 15 minuti, mentre con la seconda occorrono 30 minuti. Trascurando la dispersione di calore nell’ambiente, calcolare il tempo necessario per fare il tè utilizzando le due reistenze in serie oppure in parallelo.

————————————Soluzione –1° caso : W1 = ∆V2 / R1 ; Q = W1 t1 = ∆V2 t1 / R1 ;

2° caso : W2 = ∆V2 / R2 ; Q = W2 t2 = ∆V2 t2 / R2 ; [Q e ∆V sono gli stessi !!!]

rapporto : t1 / t2 = R1 / R2 = ½ ⇒ R1 = ½ R2 ;

a) serie : Rtot;a = R1+R2 = 1.5 R2 ⇒ ta/ t2 = Rtot;a / R2 ⇒ ta = t2Rtot;a / R2 = 45 min.

b) parallelo : Rtot;b = R1R2 /(R1+R2) = R2/3 ⇒ tb = t2Rtot;b / R2 = 10 min.

♠


Campomagnetico


Esercizio – Due conduttori rettilinei, in cui passa una corrente di 2 A e 3 A rispettivamente, formano una croce, sfiorandosi senza toccarsi. Calcolare il valore del campo magnetico nei quattro punti posti a 2 cm da entrambi i conduttori.

————————————Soluzione – I campi sono tutti ortogonali al piano; chiamiamo “+” il verso uscente :

♠

( )

;105D)

;101C)

;105B)

;101)32(02.0102

22A)

521

521

521

57

210210

21

TBBB

TBBB

TBBB

T

iiLL

iLiBBB

zzztot

zzztot

zzztot

zzztot

−

−

−

−−

×=+=

×=+−=

×−=−−=

×−=−××=

=−=

−=−=

πµ

πµ i2

i1

L

L

AD

C B


Esercizio – Una bobina rettangolare, di lati 5 cm e 3 cm, composta da 100 spire, ruota compiendo 10 giri al secondo all’interno di un campo magnetico di 2 T, ortogonale all’asse di rotazione della spira. Calcolare la f.e.m. indotta.

————————————Soluzione – Calcoliamo il flusso del campo attraverso la spira, in funzione del tempo, poi deriviamo :

♠

[ ]

.8.621022

;8.1803.005.02100102

);2cos(2)2sin(

);2sin()sin(

1

max

−=××==

=××××××=ℑ

==Φ=ℑ

==⋅=Φ

s

V

tNBabtNBabdtd

dtd

tNBabtNBabSBN

B

B

ππνω

π

πνπνπν

πνω!!


Esercizio – Una bobina quadrata, di lato 20 cm, ha un lato che è libero di scorrere rispetto agli altri. La bobina è fatta di materiale conduttore con resistenza 2 Ω, indipendente dalla posizione del lato mobile. La bobina si trova in un campo magnetico di 3 T, ortogonale ad essa, con il lato mobile che si muove alla velocità di 4 m/s verso l’esterno. Calcolare la corrente indotta.

————————————Soluzione – Calcoliamo il flusso in funzione del tempo, poi deriviamo :

♠

[ ] .2.12

42.03)(11

);(

AR

BavvtaBadtd

Rdtd

Ri

vtaBaSB

B

B

=××==+=Φ=

+=⋅=Φ!!


Fine

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy 1♠

Ottica

Paolo Bagnaia - CTF - 1x - Esercizi di yy 2





Esercizio – In quale direzione un subacqueo vede il sole che tramonta ?(nacqua = 1.33)

————————————Soluzione –L’effetto è causato dal cambio di direzione della luce che entra nell’acqua.

Dalla legge di Snell :

sin i / sin r = nr / ni ⇒

sin 90° / sin α = nacqua / naria ⇒

sin α = 1 / 1.33 = 0.752 ⇒

α = 48° 75.

♠

α


Acustica


Esercizio – Un aeroplano emette suoni con la potenza di 5 W. Quale èl’intensità sonora a 1 m, 10 m, 1 Km ? Se la soglia auditiva è a 50 dB, a che distanza è udibile ?

————————————Soluzione – Dalla definizione di intensità sonora :

β = 10 Log10 I/I0 = 10 Log10 [W/(4πR2 I0)] [I0 = 10-12 W/m2];

a) β1(1 m) = 10 Log10 [W/(4πR2 I0)] = 10 Log10 [5 / (4×π×12×10-12)] = 116 dB;

b) β2(10 m) = 10 Log10 [5 / (4×π×102×10-12)] = 96 dB;

c) β3(1 Km) = 10 Log10 [5 / (4×π×10002×10-12)] = 56 dB;

d) β4 = 10 Log10 [W/(4πx2 I0)] ⇒

x = [W / (4π I0 10β/10)]½ = [5 / (4×π×10-12×105)]½ = 1995 m = 1.99 Km.

♠


Fine

Paolo Bagnaia Corso di Fisica CTF (A-L) A.A. 2002-2003 · • Coluzza, Ferrari, Levi - Esercizi di...

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