OTTIMIZZAZIONE TOPOLOGICA EVOLUTIVA: MODELLI STRUT-AND-TIE

Alessandra Festuccia Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

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OTTIMIZZAZIONE

TOPOLOGICA EVOLUTIVA:

MODELLI STRUT-AND-TIE

OTTIMIZZAZIONE TOPOLOGICA EVOLUTIVA:


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INDICE

• Ottimizzazione strutturale;

• Metodologie di ottimizzazione strutturale;

• Ottimizzazione topologica evolutiva;

• Modelli Strut-and-Tie.

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OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE



Per ottimizzazione

strutturale si intende il

problema numerico e

matematico che

permette di

individuare, a partire

da parametri strutturali

noti e condizioni al

contorno date (carichi,

vincoli) della struttura

in esame, la soluzione

progettuale che

fornisce le migliori

prestazioni, in

relazione ad un

determinato obiettivo

da raggiungere e a

vincoli di

progettazione

assegnati.

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CARATTERISTICHE

OTTIMALI DI UNA

STRUTTURA:

• Semplicità

• Simmetria

• Robustezza

• Durabilità

• Ridondanza

• Iperstaticità

• Resilienza

L’OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE DEVE POTER

GARANTIRE DEI MOLTEPLICI OBIETTIVI



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UNA STRUTTURA

COSA È?

INSIEME DI ELEMENTI

SPECIFICI CHE TRAMITE

RELAZIONI

STRUTTURALI

FORMANO UNA

CONFIGURAZIONE

PERSISTENTE NEL

TEMPO



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• Micro Livello: ottimizzazione a livello locale, cioè cambiamenti

dimensionali, di sezione, di spessore, di area, di inerzia (Detailed

Geometry)

• Meso Livello: ottimizzazione a livello morfologico, cioè sulla forma

complessiva degli elementi strutturali, sulla posizione dei nodi, sul profilo o

sulla curvatura (Global Geometry)

• Macro Livello: ottimizzazione a livello topologico, cambiando posto agli

elementi strutturali e le connessioni delle parti strutturale (Load Path)

.

LIVELLI DI OTTIMIZZAZIONE



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METODI DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

Elevato numero di parametri e di variabili

Presenza di vincoli fisici e progettuali

Funzioni da ottimizzare complesse

Ottimizzazione multiobiettivo

Ottimizzazione a più livelli

Incertezza sulla efficienza ed accuratezza del

metodo

PROBLEMATICHE



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METODI DI OTTIMIZZAZIONE EVOLUTIVI

Si esamina il problema della ricerca di schemi strutturali ottimali

mediante l’impiego di procedure evolutive denominate ESO

(Evolutionary Structural Optimisation).

Queste procedure operano in accordo con un principio generale di

natura euristica in base al quale, eliminando gradualmente porzioni

di materiale inefficiente da un assegnata struttura

sovradimensionata, la forma e la topologia della struttura

risultante evolvono verso una configurazione ottimale.



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METODI DI OTTIMIZZAZIONE EVOLUTIVI

Le procedure evolutive ESO

(Evolutionary Structural

Optimisation) operano modificando

la topologia di una assegnata

struttura sovradimensionata

attraverso la graduale rimozione di

porzioni di materiale considerato

inefficiente (Xie & Steven 1993,

1994).

OTTIMIZZAZIONE

TOPOLOGICA

EVOLUTIVA

Il livello di ottimalità della soluzione così ottenuta dipende sia dal criterio di

efficienza, in genere riferito allo stato di sollecitazione del materiale, sia dalla

velocità del processo evolutivo.



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OTTIMIZZAZIONE TOPOLOGICA EVOLUTIVA

• Si divide il dominio iniziale in elementi finiti;

• Si esegue un’analisi strutturale;

• Si considera un parametro rappresentativo della risposta strutturale ad esempio

la tensione di Von Mises sull’elemento;

• Si confrontano le tensioni di Von Mises di elemento con quelle di una regione di

riferimento RR ad ogni step;

• Si stabilisce un criterio di efficienza a seconda del comportamento del materiale;

• Se il criterio di efficienza non è soddisfatto, si considera il materiale inefficiente e

viene rimosso degradando le sue proprietà costitutive;

• Si ripete il processo iterativamente fino al raggiungimento di uno stato di

stazionarietà in cui il criterio di efficienza risulta soddisfatto in tutti gli elementi

attivi.

STEP PRINCIPALI



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PARAMETRO DI CONTROLLO → TENSIONE DI VON MISES

Si confronta, all’interno di una regione associata ad uno o più elementi finiti

(unità minima di eliminazione), il valore della tensione di Von Mises media σVM ,

con un’aliquota RR (Rejection Ratio) di un suo valore di riferimento, per

esempio la tensione massima sulla struttura σVM max .

Se in qualche unità il materiale non soddisfa questo criterio di efficienza:

σVM max ≤ RR σVM max Criterio 1

la regione corrispondente viene eliminata dalla struttura degradando le proprietà

costitutive del materiale, tipicamente il modulo di Young. Il procedimento si

ripete fino al raggiungimento dello stato di stazionarietà (Steady State).



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Per favorire la gradualità del processo evolutivo, il parametro RR che determina

la velocità del processo viene in genere fissato come segue:

RR (SS) = A0 + A1 ⋅ SS

dove:

A0 e A1 sono costanti numeriche;

SS è un contatore intero, inizialmente pari ad uno, che si incrementa di una

unità ogni volta che il processo raggiunge uno stato di stazionarietà.

Spesso il controllo della gradualità del processo richiede anche un limite sulla

percentuale RRM (Rate of Removed Material) di volume rimosso VREM rispetto

al volume corrente V:

RRM = VREM / V ≤ RRMmax



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In natura le strutture tendono a conformarsi in modo da minimizzare il lavoro

compiuto dai carichi applicati.

Si definisce allora un parametro rappresentativo della qualità della soluzione:

Indice PSI (Performance Structural Index)

PSI = V0 W0 / V W

essendo W il lavoro per unità di volume V ed in cui il pedice 0 denota i valori

riferiti alla configurazione iniziale (Zhao et al. 1997).

Attraverso un monitoraggio dell’indice PSI, è così possibile individuare la

soluzione ottimale fra le diverse alternative che emergono dal processo

evolutivo.



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Il criterio di efficienza introdotto (Criterio 1) è appropriato solo per materiali

aventi un comportamento simmetrico in trazione ed in compressione.

Molti materiali esibiscono comunque un comportamento asimmetrico, spesso

associato a bassi valori di resistenza a trazione e/o a compressione.

A questo scopo occorre quindi modificare il criterio di efficienza ed introdurre il

concetto di stato di sforzo prevalente (Guan et al. 1999).



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Un materiale si considera prevalentemente teso (compresso) quando la

tensione principale massima (minima) è di trazione (compressione).

Ad ogni passo evolutivo il dominio Ω definito dalla struttura corrente può così

essere suddiviso in due parti, ΩT e ΩC, costituite da materiale prevalentemente

teso e compresso, rispettivamente.




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Si controlla l’efficienza del materiale all’interno di queste partizioni adottando un

criterio differenziato a seconda dello stato di sforzo che si vuole privilegiare.

Per un materiale poco

resistente a trazione il

criterio diventa:

│σ22│≤ RR│σ22,max│, in ΩT

Criterio 2

mentre, in analogia, per un

materiale poco resistente a

compressione il criterio

risulta essere:

│σ11│≤ RR│σ11,max│, in ΩC

Criterio 3



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Le tecniche di ottimizzazione evolutive sono in genere applicate a continui:

• omogenei,

• isotropi,

• con comportamento elastico lineare.


Si estendono ora le procedure ESO al caso delle strutture non omogenee, in

modo che il processo evolutivo consenta di ottimizzare non solo la distribuzione,

ma anche il tipo di materiale da impiegare nelle diverse parti della struttura,

sfruttando così al meglio anche le caratteristiche dei materiali costituenti.



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Il campo applicativo di interesse in questo lavoro riguarda lo studio di MODELLI

STRUT-AND-TIE (S&T). Nello specifico si analizzano tali modelli per elementi di

cemento armato, pertanto l’estensione proposta fa riferimento al caso di

strutture composte da due materiali.

Nella scelta di uno schema S&T adeguato occorre tenere conto di alcune

condizioni di progetto: la consistenza del modello con il flusso tensionale

effettivo e la natura composita del materiale.

Ai fini della valutazione dei flussi di forza interni alla struttura possono

considerarsi costituiti da schemi a traliccio equilibrati (Schlaich et al. 1987,

Schlaich & Schäfer 1991). Infatti le strutture ottimali tendono in genere a

conformarsi proprio secondo schemi di tipo reticolare.



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• Si assume che ciascuno dei due materiali, calcestruzzo e acciaio, sia

omogeneo, isotropo e a comportamento elastico lineare con moduli di

elasticità rispettivamente Ec ed Es;

• Si parte per semplicità con una struttura iniziale omogenea, ad esempio

caratterizzata da un modulo Ec, e ad ogni passo del processo evolutivo si

aggiorna la distribuzione dei materiali in Ω assegnando i moduli Es al

materiale prevalentemente teso e Ec al materiale prevalentemente

compresso;

• Si adotta quindi un criterio di efficienza differenziato nei due sottodomini ΩT

(Criterio 2) e ΩC (Criterio 3) così individuati, in grado di garantire di per sé

una ripartizione adeguata delle funzioni resistenti fra calcestruzzo ed acciaio.

MODELLI STRUT-AND-TIE → STEP PRINCIPALI



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Prima della fase di aggiornamento si possono presentare delle zone di

calcestruzzo prevalentemente teso e di acciaio prevalentemente compresso.

Per garantire allora la gradualità del processo evolutivo, è preferibile verificare

l’efficienza del solo materiale stabilizzato, ovvero dell’acciaio teso e del

calcestruzzo compresso, mentre il materiale in fase di riconversione non viene

rimosso fino alla sua stabilizzazione.

In particolare, se si indica con ΩT1 e ΩC1 le porzioni dei sottodomini ΩT e ΩC

costituite da materiale stabile, il criterio di efficienza per il caso delle strutture

composte da calcestruzzo ed acciaio diventa il seguente:

│σ22│ ≤ RR │σ22,max│ , in ΩT1 Criterio 2′

│σ11│ ≤ RR │σ11,max│ , in ΩC1 Criterio 3′




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Si pongono a

confronto le soluzioni

ottimali ottenute nei

due casi esaminati

sia con il criterio per

strutture omogenee e

materiale simmetrico,

sia con il criterio per

strutture composite.

MODELLI STRUT-AND-TIE: ESEMPIO



Si mostra per esempio il risultato ottenuto per il nodo trave-colonna soggetto ad una

azione flettente M che tende in un caso le fibre interne (M>0) ed in un caso le fibre

esterne (M<0).

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Si denota che per la

struttura omogenea le

soluzioni che si

ottengono nei due casi

con M>0 e M<0 sono

esattamente duali,

mentre per la struttura

composita gli schemi si

differenziano in modo

evidente, esaltando il

diverso ruolo dei

materiali calcestruzzo

ed acciaio.

MODELLI STRUT-AND-TIE: ESEMPIO



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Tale studio ha mostrato in particolare come la procedura esposta

conduca all’individuazione di schemi S&T che appaiono maggiormente

consistenti con l’effettiva natura del problema rispetto a quelli ottenuti

con riferimento ai criteri introdotti per le strutture omogenee.

In generale questa metodologia di ottimizzazione strutturale permette

la riduzione dei materiali impiegati per la realizzazione di un prodotto

mantenendone intatte le capacità meccaniche.

CONCLUSIONI



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