Ottava Lezione

Magnetismo

Riassunto della lezione precedente Soluzione eq di Poisson per differenze finite La corrente elettrica Legge di Ohm Campo Magnetico e Forza di Lorentz Effetto Hall

Considerazioni Non sono mai stati trovate evidenze di monopoli

magnetici

S NNS

NOS N S N SI

Il campo magnetico non compie lavoro: non può cambiare l’energia cinetica

Linee di Campo Luogo dei punti cui B è tangente Non esistono monopoli: le linee di campo

magnetico sono sempre linee chiuse Il polo magnetico da cui emergono le linee di campo è

detto polo nord, l’altro polo sud. Poli magnetici opposti si attraggono, poli magnetici simili si respingono.

Effetti della forza di Lorentz Immettiamo una particella carica in un campo magnetico

uniforme, ortogonale alla direzione del moto (esce dal foglio)

v BF

La forza prodotta dal campo magnetico non compie lavoro: è una forza centripeta e la particella ruota

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme ortogonale al moto

Utilizzando la legge di Newton per un moto circolare uniforme

qvBR

vm

2

F m)( qB

vmR

qB

m

v

RT

22

Per cui il periodo T

Senza effetti relativistici (v<<c) T non dipende dalla velocità, ma solo dal rapporto massa/carica

Particelle più veloci ovviamente percorrono circonferenze più ampie

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme, non ortogonale al moto

Se la velocità ha componente non nulla nella direzione di B, percorso elicoidale

La componente della velocità parallela all’induzione da il passo dell’elica, quella ortogonale raggio e periodo.

Raggio e periodo si calcolano considerando solo la componente ortogonale

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto

Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio ( e velocità di rotazione) variabile

Se alle estremità B è molto intenso e ha una componente radiale, può riflettere la particella; se questo avviene alle due estremità si ha la “bottiglia magnetica”

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto; Bottiglia magnetica

infatti zzrr vvv uuuv

zzrr BB uuB

)()( zzrrzzrr BBvvv uuuuuBv

uuuu rzzrzrrz BvBvBvBv

rz

rzzr

zr

BqvF

BqvBqvF

BqvF

cioè

Dopo una riflessione, invertendosi il senso del moto, si inverte la direzione di rotazione, e quindi la direzione di Fz

zBz

Br

Aurore Boreali Il campo magnetico terrestre, addensandosi ai poli, agisce da “bottiglia magnetica”

Tale bottiglia cattura elettroni e protoni del vento solare forzandoli ad andare avanti e indietro: fasce di Van Allen o magnetosfera

Il “collo” (anzi i colli) della bottiglia è sopra i poli: le cariche si addensano e penetrano di più nell’atmosfera

Urtandoli, eccitano gli atomi dell’atmosfera: colori diversi prodotti da emissione spontanea degli atomi di diverse sostanze (O, N ecc)

Tempeste magnetiche

11 Gennaio 1997: calcolati 1400 Gigawatt di energia dissipata nelle aurore boreali…..Black-out nei sistemi di comunicazione e guasti reti distribuzione elettrica

Courtesy of

(C) Pittsburgh Supercomputing Center (PSC)

http://www.psc.edu/science/Goodrich/goodrich.html

Camera a bolle

Un raggio gamma urta un atomo di idrogeno che perde un elettrone; il raggio gamma si trasforma in una coppia elettrone positrone; le traiettorie spiraliformi sono dovute alla presenza di un campo magnetico uniforme

Scoperta dell’elettrone

L=lunghezza dei piatti

v=velocità della particella m=massa della particella

E=campo elettrico

q=carica della particella

Un fascio di elettroni viene prodotto da un filamento incandescente. Ed accelerato da un campo elettrico

Attraversa un condensatore a piatti piani dove subisce una deflessione: moto uniformemente accelerato, la deflessione è:

J.J. Thomson, 1897

2

2

1aty 2

2

1t

m

F 2

2

1t

m

qE

2

2

1

v

L

m

qE

Scoperta dell’elettrone

Eliminando la velocità si ha il rapporto massa/carica in funzione della deflessione del fascio

Si sovrappone un campo magnetico e se ne regola l’intensità fino a bilanciare la forza elettrica

Quando ciò avviene q E = q v B. In questo modo si ottiene v = E / B

yE

LB

q

m

2

22

"I can see no escape from the conclusion that [cathode rays] are charges of negative electricity carried by particles of matter[...] What are these particles? are they atoms, or molecules, or matter in a still finer state of subdivision?” [J.J Thomson]

La misura del rapporto, più di 1000 volte più piccolo di atomo di idrogeno carico, comportava o una massa molto più piccola di qualsiasi atomo o una carica molto più grande

La misura di q per di Millikan chiarì che si trattava di una parte dell’atomo

Le Forze su un tratto di filo

Un elemento di corrente in un campo magnetico subisce una forza dovuta alla forza di Lorentz sulle singole cariche

BvF

qndVd

Dati due elementi di corrente, ciascuno subisce l’effetto del campo dell’altro; poniamo A la sezione dell’elemento di corrente e ricordiamo che qnv era la densità di corrente J:

211 Bl

dI 1222 BlF

dId

2

1

11 BlF dIfilo

1

2

22 BlF dIfilo

In generale, se si hanno due fili percorsi da corrente:

dl

A

211 BlF

qnvAdd 21 Bl

JAd

Le Forze su un tratto di filo

Consideriamo il caso di un filo rettilineo immerso in un campo magnetico uniforme

F I lBSe B perpendicolare al filo:

IlBF

Momento di torsione su una spira Consideriamo una spira in un campo magnetico uniforme

Lati 1 e 3 perpendicolari al campo; Lati 2 e 4 no I lati 2 e 4 subiscono forze uguali (F2 ed F4) e contrarie di modulo

ibBsin(90°-)=ibBcos() sulla stessa retta: equilibrio

I lati 1 e 3 subiscono forze uguali e contrarie di modulo iaB su rette diverse: coppia

Momento di torsione su una spira

Il momento meccanico vale

Definiamo momento magnetico della spira e A=ab

Il momento torcente diviene

Fbsin IaBbsin

nμ

IA

Bμτ

Formula di Laplace

A

dl

uP

dB

Una corrente di cariche produce un campo magnetico: calcoliamoloSia n la densità per unità di volume di cariche, dV l’elemento di volume percorso dalle cariche

uvB

2

0

4 r

qndVd

Jv

qn uJB

2

0

4 r

dVd

lJJ

IdAdldV ulB

dr

Id

20

4

ulB

dr

I2

0

4

uvB

2

0

4 r

q

Ricordando che B dovuto ad una carica q in movimento:

Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme

Quindi il contributo di un elemento di corrente che contiene n dV cariche è

Legge di Biot-SavartCaso particolare della formula di Laplace per conduttore rettilineo: in questo caso il campo magnetico giace sul piano

)sin(4 2

0

dl

r

IdB )sin()sin( rrR

)cot()cot( RRl

dsin

Rdl

2)(

1

322

0 )sin()sin(4

R

IRddB

0

0 )sin(4

dR

IB

R

I

2

0

R P

r

dl

I

dB

l

ora

Da cui 2

22

)(sin

Rr Inoltre

Sostituendo dl ed r2

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente Usiamo la legge di BS

per il campo di induzione magnetica dei fili rettilinei

1I

d

z

2I

2/

2/1222

2

2

l

l

dI BlF

yIduB 1

01 2

dove

xy

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente

cioè xlIId

uF 2210

2 2

2/

2/21

2/

2/12

2

2

2

2

l

lyz

l

l

dlBd uuBl xlB u21

xlIId

uF 1210

1 2

Legge di AmpèreCalcoliamo la circuitazione di B lungo un arbitrario percorso chiuso intorno ad una corrente filiforme

lB

d

rd

r

I

20 I0

'2

0 dlr

I

ul

ddl '

rddl '

dl’ proiezione di dl sul versore lungo la circonferenza passante per il punto a distanza r

dr

Id 0 lB

ConsiderazioniB è “solenoidale”: le linee di campo si chiudono sempre su sé stesse (inesistenza monopoli magnetici)

Inesistenza cariche magnetiche+ teorema di Gauss:

0 dsS

nB

Forma integrale

0 B Differenziale

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore

lB

d

x

y

z

dx

-dx

dy-dy

IA B

CD

B1

B2

BB‘

dxBdxBdyBdyB xxyy 12'

dxBBdyBB xxyy 12'

dxdyy

Bdxdy

x

Bxy

I0 dxdyJ z0

Scegliendo sup. elementari parallele ad YZ ed XZ, analogamente:

xyz Jz

B

y

B0

yzx Jx

B

z

B0

Applichiamo il Th di Ampère ad una spira infinitesima, nel piano XY

Diremo che il vettore J è dato dal rotore(B):

zxy

yzx

xyz

y

B

x

B

x

B

z

B

z

B

y

BCurl uuuB

Corrisponde al prodotto vettoriale dell’operatore “del” e del campo B

zyx

zyx

zyx

BBB

Curl

uuu

BB

E’ una sorta di “densità di circuitazione”, ma ha come risultato un vettore, ortogonale alla superficie elementare su cui si calcola la circuitazione!

JB

0 Th di Ampère in forma differenziale

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore