Oltre Fourier: applicazioni ambientali e biomediche …Analisi wavelet Il caso bi-dimensionale:...

Autosimilarità e processi autosimilariAnalisi wavelet

Il caso bi-dimensionale: teoria, esempi e applicazioniLo spettro wavelet multifrattale in 2DLo spettro wavelet multifrattale in 3D

Conclusioni e sviluppi futuri

Oltre Fourier: applicazioni ambientali ebiomediche delle wavelets

Orietta Nicolis

Dipartimento di Ingegneria Informatica e Metodi Quantitativi, Università di Bergamo

Orietta Nicolis Oltre Fourier: applicazioni ambientali e biomediche delle wavelets




Outline

1 Autosimilarità e processi autosimilari

2 Analisi wavelet

3 Il caso bi-dimensionale: teoria, esempi e applicazioni

4 Lo spettro wavelet multifrattale in 2D


6 Conclusioni e sviluppi futuri





Auto-similarità, frattalità, invarianza nella scala, ...

Auto-similarità geometrica/matematica

Auto-similarità statistica





Auto-similarità statistica (o auto-affinità) e motoBrowniano frazionario

Definizione di auto-similarità

Un processo casuale X (t), t > 0 è detto auto-similare se per ognia > 0 esiste un b > 0 tale che

X (at) d= bX (t),

Il moto Browniano frazionario (fBm), {BH(t); t ∈ R}, è unprocesso Gaussiano continuo nel tempo ed è auto-similare diparametro H, (con H > 0) nel senso che

BH(at) d= aHBH(t),





Il moto Browniano frazionario generalizza il motoBrowniano classico

la funzione di covarianza dipende dalparametro di Hurst 0 < H < 1

σ2H2

(‖t‖2H + ‖u‖2H + ‖t − u‖2H

),

lo spettro di potenza è

|ω|−2H−1.

Per H = 0.5 si ha ilmoto Browniano classico

0 500 1000 1500 2000−3

−2

−1

0

1

2

3

fBm

pat

h, H

=1/4

0 500 1000 1500 2000−3

−2

−1

0

1

2

3

fBm

pat

h, H

=1/2

0 500 1000 1500 2000−3

−2

−1

0

1

2

3

fBm

pat

h, H

=3/4





Il Sig. Harold Edwin Hurst

R/S=rescaledadjusted range

R/S ∝ NH

idrologo inglese che, nel 1951 lavorò al progetto di invasiartificiali lungo il fiume Nilo.Effetto di Hurst–> dipendenza di lungo termine tra leosservazioni successive

0 100 200 300 400 5009

10

11

12

13

14

15

years

max

Nile

riv

er le

vel





Outline


2 Analisi wavelet









Dominio temporale o scala/frequenza? L’analisiwavelets ...

Il dominio scala/frequenza rivela le proprietà di scaling eautosimilarità di una serie storica.

0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2 Mother D4 Wavelet

0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

−0.1

0

0.1

0.2 Mother S8 Symmlet

0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Father D4 Wavelet

0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

0

0.05

0.1

0.15 Father S8 Symmlet





Wavelet e FourierFT: F (ω) =

∫∞−∞ X (t)ejωtdt

WT: dj,k =∫∞−∞ X (t)ψj,k (t)dt





Analisi wavelet dei processi auto-similari

Sia {BH(t), t ∈ IR} un processo auto-similare. Fissato j si ha

djkd= 2−j(H+1/2) d0,k .

dove IEd0k = 0 e IEd20k = IEd2

00. Ponendo C = IEd200,

IEd2jk = C 2−j(2H+1),

log2 IEd2jk = −(2H + 1) · j + C′,

–> stima di α = 2H + 1 (or H = 1+α2 ).





Livelli minimi annuali del Nilo: anni 62-1281 d. C.

0 100 200 300 400 5009

10

11

12

13

14

15

years

max

Nile

riv

er le

vel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−3

−2

−1

0

1

2

3

4

slope=−0.82

Dyadic Scale

log2

Sca

le−A

vera

ged

Ene

rgy





Temperatura dell’aria: 12- 16 luglio 1995, a 5.2 m,Durham, North Carolina.

0 1 2 3 4 5 6

x 104

301

301.5

302

302.5

303

303.5

304

time

Tem

per

atu

re

0 1 2 3 4 5 6 7 8−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

slope = −5/3

0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15

20

slope = − 5/3

Dyadic Scales

log2

Sca

le−A

vera

ged

Ene

rgy





Azioni Coca cola

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

10

20

30

40

50

60

days

do

llar

valu

e

0 2 4 6 8 10 12−15

−10

−5

0

5

10

15

20

slope = −1.85

Dyadic Scales

log2

Sca

le−A

vera

ged

Ene

rgy





DNA random walk

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

index

DN

A R

W

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−15

−10

−5

0

5

10

15

20

slope=−2.24





Bellcore Internet Data

0 100 200 300 400 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

packet

inte

rarr

ival

tim

e

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1816

18

20

22

24

26

28

Dyadic Scales

log2

Sca

le−A

vera

ged

Ene

rgy

slope = − 0.64





Casi di morbillo in 7 città inglesi: dal Gennaio 1948 aldicembre 1985 (aumento vaccinazione negli anni 60)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

LondonBristolLiverpoolManchesterNewcastleBirminghamSheffield

0 2 4 6 8 10 12−6

−4

−2

0

2

4

6

8





A cosa serve conoscere il parametro H?

costruzione di modelli temporali di previsione di serie storiche(ARFIMA, FIGARCH, ecc.)classificazione, ecc.





Outline


2 Analisi wavelet









2-D fBm: il caso isotropico e il caso anisotropico

In 2-D il fBm può essere caratterizzato daun’unico parametro di Hurst –>caso isotropicoda diversi parametri di Hurst per le diverse direzioni –>casoanisotropico





Le wavelets in 2D

2D wavelets

φ(x1, x2) = φ (x1) · φ (x2)

ψh(x1, x2) = φ (x1) · ψ (x2)

ψv (x1, x2) = ψ (x1) · φ (x2)

ψd (x1, x2) = ψ (x1) · ψ (x2)

Qualsiasi funzione in f ∈ L2(R2) può essere rappresentata come

f (x) =∑

k

cj0,kφj0,k(x) +∑j≥j0

∑k

∑i

d ij,kψ

ij,k(x)





Alcune wavelets (tipo: Symmlet)

Symmlet; j=2,k=(1,1); FxF

0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Symmlet; j=2,k=(2,2); MxF

0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Symmlet; j=2,k=(2,1); FxM

0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Symmlet; j=2,k=(2,1); MxM

0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1





The 2D dwt: some examples

X Marks the Spot

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

WT2[X Marks the Spot]

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

Fingerprint

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

WT2[Fingerprint]

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500





2D wavelet coefficients

Per i processi 2-D, BH(x), i coeffienti wavelets sono dati da

d ij,k = 2j

∫B H(x)ψi(2jx − k)dx,

il logaritmo dello spettro wavelets è

log2 E[∣∣d i

j,k∣∣2

]= −(2H + 2)j + C2, (1)

dove C2 = log2σ2

H2 Vψi (H).





Alcuni esempi

200 400 600 800 1000

200

400

600

800

10002 4 6 8

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

slope(d)=−2.5989

slope(h)=−2.5906

slope(v)=−2.5969

dyadic level

log

sp

ectr

um

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2 4 6 8

−30

−25

−20

−15

−10

−5 Hd=−3.000Hh=−2.5865Hv=−3.6553

dyadic level

log

sp

ectr

um

Simulazioni conH = 0.3.

Simulazioni conHh = 0.3, Hv = 0.8 eHd = 0.5





Spettro wavelet per il denoising Bayesiano di immaginifrattali

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2signalsig+noise

0 100 200 300 400 500−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2sig.den.

0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

1 Immagine simulatacon H = 1/3;

2 Rumore aggiuntivo(s/n = 2);

3 Ricostruzionedell’immagine;

4 Indipendenza deiresidui.





2D spettro wavelet

1 2 3 4 5 6 7

−5

0

5

10 slope(d)=−2.5141slope(h)=−2.6598slope(v)=−2.6598

dyadic level

log

sp

ectr

um

Spettro wavelet perl’immagine con rumore;

Spettro wavelet perl’immagine senza rumore.





Classificazione nuvole/temperatura

200 400 600 800 1000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

I dati:EUMETSTAT(http://www.eumetsat.int)160 IR with wavelength3.9µPeriodo: dal 11/01/2006 al12/10/2006 (40 giorniconsecutivi).Rilevazioni: mezzanotte(0:12am), mattina(6:12am), mezzogiorno(12:12pm), e sera(6:12pm).





Alcuni risultati

Testing Lin. Quad. Lin. Quad. Poly. RBFProportion SVM SVM SVM SVM

50% 0.072 0.081 0.085 0.088 0.084 0.08630% 0.069 0.077 0.086 0.086 0.079 0.084

Table: Percentuali di errori per il 50% e il 30% dei dati usati nel testing.

Classificatore lineare:92.8% di previsioni corrette!

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

H (horizontal)

V (

vert

ical

)

othersnoon





Outline


2 Analisi wavelet









Lo spettro wavelet multifrattale (Gonçalvès et al.,1998)

Funzione di partizione

T (q) = limj→−∞

log2 E |dj,k |q

Misura di di singolarità (Gonçalvès et al., 1998)

α(t) = limk2j→t

1j

log2 |dj,k |

α(t) basso→ alta irregolaritàα(t) alto→ bassa irregolarità

Trasformata di Legendre

fL(α) = infq{qα− T (q)}.

))(( qf

2.0

0

1 2 )(q





Gli indicatori dello spettro wavelet multifrattale

))(( qf

2.0

0

1 2 )(q





Spettro wavelet 2D multifrattale per l’analisi delleimmagini digitali di mammografie

I dati:University of South Florida’s DigitalDatabase for Screening Mammography(http://marathon.csee.usf.edu/Mammography/Database.html)5 casi normali e 5 casi di tumoremaligno4 mammografie per ogni caso: 2 perseno (CC e MLO)148 sottoimmagini (256 × 256): 74normali + 74 maligni

caso normale caso maligno





Analisi multifrattale





Indicatori multifrattali

Alcuni risultati:HN < HM –> irregolarità neltessuto.LSN < LSM e RSN < RSM–> alte oscillazioni o bassogrado di smoothing.B è simile in entrambi i casi





Alcuni risultati: percentuali di errori di classificazione

Pairs of Measures Lineal Quad. Lineal svm Quad. svm Poly. svm RBF svm

(H, LT) 0.2659 0.2695 0.2756 0.2696 0.2787 0.2505

(H, B) 0.2626 0.2568 0.2705 0.2602 0.2832 0.2802

(LT, LS) 0.2640 0.2760 0.2615 0.2646 0.2497 0.3260

(RT, LS) 0.2869 0.2392 0.2812 0.2007 0.2570 0.2357

(RS, LS) 0.2656 0.2506 0.2572 0.2750 0.3161 0.2829

(B, LS) 0.2670 0.2670 0.2701 0.2588 0.3186 0.3378

(B, RS) 0.2626 0.2657 0.2694 0.2572 0.3193 0.3402





Outline


2 Analisi wavelet









Spettro wavelet 3D multifrattale per l’analisi diimmagini BMRI (Derado et al. 2008)

DATI: scansioni seriali BMRI (ogni 3 mm) di 4 donne: 2 sane e 2malate.





Le trasformate wavelets in 3D

φj,k(x) = 23jφ(2jx1 − k1,2jx2 − k2,2jx3 − k3)

ψij,k(x) = 23jψi(2jx1 − k1,2jx2 − k2,2jx3 − k3)





Spettro wavelet 3D multifrattale

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

α

f(α)





Indicatori multifrattali e classificazione

Indicatori H,LS e classificazione con il metodo SVM (basato sufunzioni a base radiale di parametro 0.1).

I casi sani sono situati nella zona con H e LS bassi –> alta irregolaritàe multifrattalitàLa crescente regolarità e multifrattalità è spesso segno di unapatologia.

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

H

LS

H,LS at the direction of hlv

0,subj1

1,subj1

3,subj15,subj1

7,subj1

0,subj41,subj43,subj45,subj4

7,subj40,subj2

1,subj2

3,subj25,subj2

7,subj20,subj3

1,subj33,subj35,subj37,subj3

Cancerous subjectNoncancerous subject

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0

1

35

7

0135

7 0

1

3 5

7 0

1 3 5 7

H

LS

Decision boundary of SVM at the hlv direction

CancerNoncaner





Outline


2 Analisi wavelet










Lo spettro wavelet è in grado di “identificare” il parametro di Hurst insegnali e immagini autosimilari.

Molte cose restano ancora da fare ...lo studio dei processi autosimilari in n− dimensioni (proprietà,simulazioni,stima, ecc.);lo studio dell’anisotropia in ogni direzione, per esempio mediantel’utilizzo di wavelet direzionali;l’utilizzo delle funzioni wavelets per lo studio di processispazio-temporali e delle funzioni di autocorrelazione (es.approssimazione variogrammi)Altre applicazioni: ambientali (inquinanti dell’aria, ecc.),monitoraggio strutture edili, ecc.





Alcune letture ...

Nicolis, O., Vidakovic, B. (2008)Wavelets, Self-Similarity,LongRange Dependence, and Processes That Scale Wiley. Inpreparazione.

Nicolis, O., Garutti, C. and Vidakovic, B. (2007). 2-DWavelet-Based Spectra with Applications in Analysis ofGeophysical Images. Submitted to Statistica sinica.

Ramirez, P, Vidakovic, B. (2007) Wavelet based 2D MultifractalSpectrum with Applications in analysis of Digital MammographyImages Working Paper, July.

Derado, G., Lee, K., Nicolis, O., Bowman, F. D., Newell,M.Ruggeri F. and Vidakovic, B. (2008) Wavelet-based 3-DMultifractal Spectrum with Applications in Breast MRI Images. Toappear in Bioinformatics Research and Applications, Springer.

Gonçalves P., Riedi, R. and Baraniuk, R. (1998). Simplestatistical analysis of waveletbased multifractal spectrumestimation. In Proceedings 32nd Asilomar Conference onSignals, Systems and Computers, Pacific Grove, CA.


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