“o piccolo” Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per si dice che f è un “o piccolo”...
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“o piccolo” Lim x → c fx () gx () =0 Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per si dice che f è un “o piccolo” di g in un intorno di c se: in f = og () Uc () Lim x →0 x 2 x =0 x 2 = ox () in U 0 () Lim x → +∞ x x 2 =0 x = ox 2 ( ) in U +∞ ( ) Nota bene: essere un “o piccolo” è una proprietà locale
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“o piccolo”
€
Limx → c
f x( )g x( )
= 0
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per
€
x →c
si dice che f è un “o piccolo” di g in un intorno di c se:
in
€
f = o g( )
€
U c( )
€
Limx → 0
x 2
x= 0
€
x 2 = o x( ) in
€
U 0( )
€
Limx → +∞
x
x 2 = 0
€
x = o x 2( ) in
€
U +∞( )
Nota bene: essere un “o piccolo” è una proprietà locale
€
se x →+∞ ⇒ x = o x 2( )
€
se x →0⇒ x 2 = o x( )
€
se x →+∞ ⇒ x + x 2 = x 2 + o x 2( )
€
se x →0⇒ x + x 2 = x + o x( )
€
f x( ) = x 2 − 4 x
€
g x( ) = x 3 + ex + ln x
€
U +∞( )inStabilire se
€
Limx → +∞
x 2 − 4x
x 3 + ex + ln x=
Esercizio
€
⇒
€
f = o g( ) oppure
€
g = o f( )
€
Limx → +∞
x 2
ex = 0
€
f = o g( )
e in
€
U + 0( )
€
Limx → 0+
x 2 − 4 x
x 3 + ex + ln x=
€
0 − 4⋅ 0
0 + e0 + ln0+
€
=0
−∞= 0
in
€
U +∞( )
€
⇒
€
f = o g( ) in
€
U + 0( )
Stabilire quali funzioni sono
€
o 1( ) in
€
U + 0( )
€
Limx → 0
f x( )1
= 0
€
⇒
€
f x( ) deve essere un infinitesimo
€
f x( ) = x; x 2; x ;ln 1+ x( );ex −1;......
Teorema degli Infiniti e degli infinitesimi
€
Limx → c
f x( ) + f1 x( )g x( ) + g1 x( )
=
€
f ; f1;g;g1 Contemporaneamente infiniti o infinitesimi in un intorno di c
Se
Se allora
€
Limx → c
f x( )g x( )
€
Limx → +∞
x 3 + ln x 2
x + x 3 =
€
Limx → +∞
x 3
x 3 =
€
1
€
Limx → 0
x − x 2
x x − x 4=
€
+∞
€
f1 = o f( )
€
g1 = o g( )
€
Limx → 0+
x
x 3\ 2 =
Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso affermativo risolverli
€
Limx → +∞
x 5 + o x 5( )
2x 3 + o x 5( )
=
sono infiniti del tipo
€
o x 5( )
€
x a con
€
0 < a < 5
€
2x 3 = o x 5( )⇒ o x 5
( ) + o x 5( ) = o x 5
( )€
Limx → +∞
x 5
o x 5( )
=
€
+∞
€
Limx → +∞
x 5 + o x 6( )
2x 5 + o x 3( )
=
€
Limx → +∞
?
2x 5 =
potrebbe contenere infiniti del tipo
€
o x 6( )
€
x a con
€
0 < a < 6
€
o x 3( ) = o x 5
( )
ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza >5
Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso affermativo risolverli
€
Limx → 0
x 5 + o x 5( )
2x 3 + o x 5( )
=
sono infinitesimi del tipo
€
o x 5( )
€
x a con
€
a > 5
€
o x 5( ) = o x 3
( )€
Limx → 0
x 5
2x 3 =
€
0
€
Limx → 0
x 5 + o x 6( )
2x 5 + o x 3( )
=
€
Limx → 0
x 5
o x 3( )
=
contiene infinitesimi del tipo
€
o x 6( )
€
x a con
€
a > 6
€
2x 5 = o x 3( )⇒ o x 3
( ) + o x 3( ) = o x 3
( )
€
o x 3( ) contiene infinitesimi del tipo
€
x a con
€
a > 3
ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza <5
€
Limx → 0
x 5
?=
Asintotico “ ”
€
Limx → c
f x( )g x( )
=1
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per
€
x →c
si dice che f è “asintotica” a g in un intorno di c se:
in
€
f ≈ g
€
U c( )
€
Limx → 0
x − x 3
x + x 2 =
€
x − x 3 ≈ x + x 2 in
€
U 0( )
€
Limx → +∞
5x + 3x 2
3x 2 + e−x =
€
5x + 3x 2 ≈ 3x 2 + e−x in
€
U +∞( )
Nota bene: essere “asintotici” è una proprietà locale
€
≈
€
Limx → 0
x
x=1
€
Limx → +∞
3x 2
3x 2 =1
€
f x( ) = x 2 + 3x 3
€
g x( ) = 3x 3 + e−x + ln x 5
€
U +∞( )inStabilire se
€
Limx → +∞
x 2 + 3x 3
3x 3 + e−x + ln x 5 =
Esercizio
€
⇒
€
f ≈ g
€
Limx → +∞
3x 3
3x 3 =1
€
f ≈ g
e in
€
U + 0( )
€
Limx → 0+
x 2 + 3x 3
3x 3 + e−x + ln x 5 =
€
0 + 3⋅ 0
0 + e0 + ln0+
€
=0
−∞= 0
in
€
U +∞( )
€
⇒
€
f non ≈ g in
€
U + 0( )
Stabilire se sono asintotiche in
€
U + 0( )
€
Limx → 0
f x( )g x( )
=1 ?
€
f x( ) = x x + x 3 − x 2
le seguenti funzioni
€
g x( ) = x 2ex −1 + x 4 − 3x x
€
Limx → 0
x x + x 3 − x 2
x 2ex −1 + x 4 − 3x x=
€
Limx → 0
x x + o x 3 / 2( )
−3x x + o x 3 / 2( )
=
€
−1
3NO
Limiti notevoli
€
Limx → 0
sin x
x=1
€
Limx → 0
ln 1+ x( )x
=1
€
Limx → 0
cos x −1
x 2 = −1
2
€
Limx → 0
ex −1
x=1
€
Limx → 0
1+ x[ ]1\ x
= e
€
Limx → c
1+ x[ ]α
−1
x= α
Limiti notevoli: generalizzazioni Sia
€
f x( ) un infinitesimo per
€
x →c
€
Limx → c
sin f x( )f x( )
=1
€
Limx → c
ln 1+ f x( )[ ]
f x( )=1
€
Limx → c
cos f x( ) −1
f x( )[ ]2 = −
1
2
€
Limx → c
e f x( ) −1
f x( )=1
€
Limx → c
1+ f x( )[ ]1\ f x( )
= e
€
Limx → c
1+ f x( )[ ]α
−1
f x( )= α
€
Limx → 0
x 2 sin x
ex −1=
Esercizi
Applico il criterio dell’asintotico
€
0
0
€
Limx → 0
x 2 x + o x( )[ ]
x + o x( )=
€
Limx → 0
x 3 + x 2o x( )x + o x( )
=
€
Limx → 0
x 3 + o x 3( )
x + o x( )=
€
Limx → 0
x 3
x= 0
€
Limx → 0
x 2 ln 1+ x 3( )
e3x −1( ) sin2 x=
€
0
0
€
Limx → 0
x 2
sin2 x⋅
1
e3x −1⋅
ln 1+ x 3( )
1=
€
Limx → 0
x 2
sin2 x⋅
3x
3x e3x −1( )⋅
x 3 ln 1+ x 3( )
x 3 =
€
Limx → 0
1⋅1
3x⋅ x 3 =
€
Limx → 0
⋅x 3
3x= 0
€
Limx → 0
x 3 − x 2 sin x + x 6
x 4 ex −1( )=
Esercizi Errore da non commettere!!!
Applico il criterio dell’asintotico in modo “superficiale”
€
0
0
€
Limx → 0
x 3 − x 2 x[ ] + x 6
x 4 x( )=
€
Limx → 0
x 3 − x 3 + x 6
x 5 =
€
Limx → 0
x 6
x 5 = 0
€
Limx → 0
x 3 − x 2 x + o x( )[ ] + x 6
x 4 x + o x( )[ ]=
€
Limx → 0
x 3 − x 3 − o x 3( ) + x 6
x 5 + o x 5( )
=
€
Limx → 0
o x 3( ) + x 6
x 5 =
Non è possibile applicare il teorema degli infinitesimi!!
€
Limx → 0
?
x 5 =
Risolvere il seguente limite
€
Limx → +∞
x 2⋅ ln 1+1
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
x 3⋅ sin1
x
=
€
ln 1+1
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟≈
1
xse x →+∞
€
sin1
x≈
1
xse x →+∞
€
Limx → +∞
x 2⋅1
x+ o
1
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
x 3⋅1
x+ o
1
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
=
€
Limx → +∞
x + o x( )
x 2 + o x 2( )
=
€
Limx → +∞
x
x 2 = 0+
Risolvere il seguente limite
€
Limx → +∞
x 3⋅ e1
x −1 ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
x⋅ ln 1+ x( )=
€
e1
x −1≈1
xse x →+∞
€
ln 1+ x( ) ≈ ln x se x →+∞
€
Limx → +∞
x 3⋅1
x+ o
1
x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
x⋅ ln x=
€
Limx → +∞
x 2 + o x 2( )
x⋅ ln x=
€
Limx → +∞
x
ln x= +∞
€
+∞⋅ 0( )+∞⋅ ln +∞( )
=
Infatti:
€
Limx → +∞
ln x
ln 1+ x( )=1
Risolvere il seguente limite
€
Limx → 0
sin 2x⋅ e3x −x 2
−1( )
x 2⋅ ln 1+ x 2( )
=
€
e3x −x 2
−1 ≈ 3x − x 2 se x →0
€
sin2x ≈ 2x se x →0
€
ln 1+ x 2( ) ≈ x 2 se x →0
€
Limx → 0
2x⋅ 3x − x 2( )
x 2⋅ x 2( )
=
€
Limx → 0
6x 2 − 2x 3
x 4 =
€
Limx → 0
6x 2
x 4 = +∞
Nel caso in cui sono presenti solo prodotti di funzioni, applicando il criterio dell’asintotico è possibile omettere gli “o piccoli” senza rischiare di commettere un errore.
Risolvere il seguente limite
€
Limx → 0
1 − 3x −1( )⋅ esin 2x −1( )
1+2x
3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
x⋅ ln 1+ x 2
( )
=
€
1 − 3x −1≈ −3
2x se x →0
€
esin 2x −1 ≈ sin 2x ≈ 2x se x →0
€
ln 1+ x 2( ) ≈ x 2 se x →0€
0⋅ 0
1( )∞⋅ 0
=
€
1+2x
3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1
x= 1+
2x
3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
3
2x ⎡
⎣
⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥
2
3
= e2
3 se x →0
€
Limx → 0
−3
2x
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅ 2x( )
e2
3 ⋅ x 2( )
= −3
e2
3
