numeri e geometrie A cura della prof. Lidia Vanzetti

ELEMENTI DI STORIA DELLA MATEMATICA

… “Le cose meravigliose che imparate a conoscere nella scuola sono opera di molte generazioni; sono state create in tutti i paesi della terra a prezzo di infiniti sforzi e dopo un appassionato lavoro”

A. EinsteinVai al

sommario

Guida per la navigazione

numeri e geometrie

terzo - secondo millennio a.C. Gli egizi

3000 a.C.: numeri geroglifici in Egitto (Sistema additivo in base 10. Uso delle frazioni )

Nasce la geometria 1650 a.C.: papiro di Rhind (Rotolo largo circa 30 cm e lungo 5,46 m, contiene

decine di problemi di vario genere. Acquistato nel 1858 in una località balneare sul Nilo da un antiquario scozzese, Henry Rhind, a cui deve il nome, è talvolta indicato come il Papiro di Ahmes, in onore dello scriba che lo aveva trascritto).

Vai al sommario

numeri e geometrie

La matematica in grecia

La civiltà greca raggiunge la massima espansione sotto il regno di Alessandro Magno. Nella storia della matematica greca distinguiamo:

il periodo classico (600– 300 a.C.) (preeuclideo), il periodo ellenistico (300 a.C.– 600 d.C.)

I primi matematici greci testimoniano i contatti con la civiltà egizia e con quella babilonese: usavano un sistema di numerazione additivo e utilizzavano l’abaco (adottato poi dai Romani) per i calcoli più complessi

Vai al sommario

numeri e geometrie

matematicI greci … Il primo ad introdurre l'astrazione nell'insieme di conoscenze

geometriche tramandato da Babilonesi ed Egizi è TALETE di Mileto (624-546 a.C.). Prima di lui "geometria" significava "agrimensura" e gli enti geometrici erano intesi come oggetti materiali. Talete si interessa in particolare delle figure geometriche e delle loro proprietà (similitudine).

PITAGORA di Samo (570- 496 a.C.). Viaggia molto, si occupa di geometria e delle proprietà dei numeri. Fonda a Crotone la “Scuola Pitagorica”. Con Pitagora la matematica diventa una scienza: le scoperte vengono dimostrate. Gli si attribuisce il famoso teorema.

La Scuola dei Pitagorici influenzerà il pensiero greco molto a lungo, lasciando in eredità un modo di pensare "rigoroso" secondo il quale vengono prima definiti i termini, poi formulati i principi ed infine dimostrati i teoremi. Nel V sec a.C., quando ancora la matematica non è una disciplina rigorosa, si sono già dimostrati molti teoremi geometrici

Vai al sommario

numeri e geometrie

la geometria razionale in grecia I risultati raggiunti dalla cultura matematica dell’epoca

nel campo della geometria vengono riuniti e organizzati in un unico

sistema capace di contenere una vasta gamma di conoscenze geometriche: “Gli elementi”Gli elementi” di EUCLIDE (300 a.C.), esposizione sistematica della geometria di quel tempo, che si conclude con le proprietà dei poliedri regolari.

N.B.: Nella geometria euclidea si assume, assecondando l'intuizione, che, data una retta r e un punto P fuori di essa, ci sia una e una sola retta parallela ad r passante per P. Tale assunzione è il V postulato di Euclide.

Vai al sommario

numeri e geometrie

… matematicI greci

ARCHIMEDE di Siracusa (287– 212 a.C.) Si occupa di geometria, aritmetica, fisica (in particolare statica)

ERATOSTENE di Cirene (276 - 194 a.C.) Effettua la prima misurazione della circonferenza terrestre.

Viene ricordato soprattutto per il famoso crivello di Eratostene.

ERONE (100 a.C.) Compie studi di geometria e di fisica

Vai al sommario

numeri e geometrie

Verso il rinascimentoL’algebra, anziché la geometria, viene a trovarsi al centro degli

interessi dei matematici, che si sfidano a risolvere questioni e problemi di vario tipo.

Tra i matematici italiani ricordiamo:Leonardo Pisano detto Fibonacci (1175 - 1240)

E’ nota la sua serie di numeriLuca Pacioli (1445 - 1514) frate matematico che nella sua opera “De Divina Proportione” (1509) indaga

sull’applicazione della sezione aurea in tutti i campi (matematica, arte, biologia, musica). I disegni del suo libro sono opera di Leonardo da Vinci (poliedri regolari)

Nicolò Fontana detto Tartaglia (1506 - 1557) Espone la regola per la risoluzione delle equazioni di terzo

grado, primo atto della matematica moderna. Ricordiamo il noto triangolo di Tartaglia

Vai al sommario

numeri e geometrie

1600 – 1700 - 1800

Renè Descartes (1596 – 1650) – avvio della geometria analitica

(piano cartesiano)

Eulero (1707 – 1783) C. F. Gauss (1777 – 1855) – contributi allo sviluppo delle geometrie

non euclidee – teorema fondamentale dell’algebra

Vai al sommario

numeri e geometrie

Recenti Sviluppi Gauss fu il primo ad avere una chiara visione di una geometria

coerente, in cui il V postulato di Euclide fosse sostituito dalla sua negazione. Si fondarono, in seguito, nuove geometrie, non euclidee, sulla base di formulazioni assiomatiche.

La geometria si interessa alle trasformazioni: isometriche e non isometriche (similitudini, omotetie, affinità, proiettività,

topologie) Si sviluppano, inoltre, altri campi: la logica, la teoria degli insiemi, i frattali di Mandelbrot, 1975, …)

Vai alsommario

numeri e geometrie

L’occhio di horus Presso gli antichi Egizi le frazioni

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 erano indicate con simboli che, composti insieme, danno

l'occhio del dio Horus.

Il mito dell’occhio di Horus: secondo un’antica leggenda Horus, figlio di Iside e di Osiride, volle vendicare la morte del padre, ucciso dal fratello Seth. Nella lotta Horus perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth, a meno di una piccola parte.

L’occhio di Horus fu considerato un potente amuleto; al simbolo vennero attribuiti poteri magici con significati diversi nei vari campi del sapere.

numeri e geometrie

In matematica il simbolo fu scomposto in sei parti e ad esse si fecero corrispondere le sei frazioni unitarie più frequenti, quelle corrispondenti agli inversi delle prime sei potenze di 2:

= 1/2 = 1/4 = 1/8

= 1/16 = 1/32 = 1/64

La somma delle parti differisce dall’unità di 1/64. Ad ogni parte dell’occhio si fece corrispondere un senso; nell’ordine: il tatto (1/64), il gusto (1/32), l’udito (1/16), il pensiero (1/8), la vista (1/4) e l’olfatto (1/2). La costruzione del simbolo segue una precisa regola. I sensi erano ordinati quindisecondo l’importanza loro attribuita, a seconda cioè dell’energia “utilizzata” perricevere una particolare sensazione. Tutti i dati ricevuti erano l’alimento della conoscenza.

Vai al sommario

numeri e geometrie

Sistemi di numerazione

Per rappresentare i numeri gli Egizi utilizzavano sette simboli geroglifici

per 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, combinati tra loro con un

sistema additivo

Es.: 143.825 = 100.000 + 40.000 + 3.000 + 800 + 20 + 5

In Grecia ci sono stati due sistemi principali di numerazione:uno, forse il più antico, detto il sistema attico, l'altro dettosistema ionico (o alfabetico). Entrambi i sistemi erano in base dieci, ma il primo, piùprimitivo, era basato su un semplice schema iterativo come quello dellapiù antica numerazione geroglifica egiziana.

I Romani usavano sette lettere dell’alfabeto

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

combinate tra loro con un sistema additivo/sottrattivo

numeri e geometrie

Il nostro sistema di numerazione

Sistema decimale posizionaleI 10 simboli (da 0 a 9) sono scritti in notazione

posizionale. Tale notazione, che compare presso gli Indiani (500 d.C.), viene ripresa e diffusa dagli Arabi a seguito delle loro guerre di conquista (VIII sec). Viene dunque introdotto lo zero.

In Italia il miglior matematico del XII-XIII sec, Leonardo Pisano detto Fibonacci, diffonde le regole per scrivere i numeri come gli Arabi, ma solo nel XVI secolo le cifre arabe vengono definitivamente accettate dalle autorità.

Vai al sommario

numeri e geometrie

I numeri – proprieta’

Numeri primi:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,

… (1; 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; 10+5=15; …)

Numeri quadrati:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

(12; 22; 32; 42; 52; 62; …)

numeri e geometrie

I numeri triangolari

Un numero triangolare è un numero figurato che rappresenta un triangolo (ad esempio di punti, di fagioli …) Ogni numero si ottiene dal precedente aggiungendo una fila

I numeri triangolari sono:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

numeri e geometrie

I numeri quadrati

Ecco i numeri quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …

Proprietà: Qualunque numero quadrato è la somma di due numeri triangolari consecutivi 1+3=4, 10+15=25, 21+28=49 … Ogni numero quadrato si trova sommando i successivi numeri dispari 1+3=4 1+3+5=9 ……..

Vai al sommario

numeri e geometrie

Teorema di pitagora

Dato un triangolo rettangolo ABC

retto in C, risulta:

AB2 = AC2 + BC2

Vai al sommario

numeri e geometrie

archimede Partecipò alla difesa di Siracusa contro l'assedio romano durante la I e la II Guerra Punica. (Macchinari bellici di sua invenzione, come ad esempio un artiglio meccanico in grado di ribaltare le imbarcazioni nemiche, oppure gli "specchi ustori“). Archimede è probabilmente il primo fisico matematico. Si racconta che abbia scoperto la legge fisica del galleggiamento

dei corpi, nota come Principio di Archimede, mentre faceva un bagno (correndo poi nudo per le strade e gridando "eureka!" - "ho trovato!")

Diede impulso alla statica, enunciò il principio di equilibrio delle leve.

Dimostrò che il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro è uguale al rapporto fra l'area del cerchio e il quadrato del raggio. Oggi indichiamo con π questo rapporto, numero di cui Archimede fornì un valore con un errore di approssimazione molto piccolo

Vai al sommario

numeri e geometrie

Eratostene e la misura della Terra

Convinto che la terra sia rotonda, E. trova ilmodo per misurarne la circonferenza, studiando le ombre che egli osserva in due particolari città: Alessandria d’Egitto e Syene.Alessandria, alla foce del Nilo, e l'attuale Assuan, allora chiamata Syene, si trovano in una posizione geografica che è cruciale : Syene si trova 'quasi' sul Tropico del Cancro e Alessandria si trova a 800 Km a nord di Syene, 'quasi' sullo stesso meridiano terrestreLo strumento di cui si serve Eratostene è Semplicemente un banale bastone piantato verticalmente in un terreno pianeggiante: lo gnomone. Studiando l'ombra che si genera si possono seguire i movimenti del Sole.

numeri e geometrie

Durante il giorno, il momento in cui l'ombra è più corta corrisponde a mezzogiorno. Il giorno in cui a mezzogiorno l'ombra è più corta è il solstizio d'estate; sei mesi dopo, l'ombra a mezzogiorno è la più lunga ed è il solstizio d'inverno. Infine si può stabilire in ogni momento l'altezza del Sole, ossia l'angolo β che i suoi raggi formano con la linea dell'orizzonte, confrontando la lunghezza del bastone AH con la sua ombra BH.Nella città di Syene, il giorno del solstizio d'estate, a mezzogiorno, il bastone non dà ombra, il che significa che i raggi del Sole cadono perpendicolarmente al terreno: il Sole si dice che è allo zenit.

numeri e geometrie

Nello stesso giorno, alla stessa ora, E. misura l'altezza del Sole nella città di Alessandria. Poiché sa che in quel momento il Sole è perfettamente perpendicolare a Syene, ottiene l'angolo tra la verticale ad Alessandria e la verticale a Syene. Questo angolo è esattamente quello formato dal raggio della Terra che ha per estremo Alessandria e dal raggio che ha per estremo Syene. L'angolo risulta essere 1/50 dell'intera circonferenza, in gradi 7° e 12'. Eratostene deduce dunque che la circonferenza della Terra deve essere 50 volte la distanza tra Alessandria e Syene. Poiché la distanza tra le due città è 5.000 stadi (circa 800 km attuali), deduce per la circonferenza terrestre la misura di 250.000 stadi (circa 40.000 km attuali).

Vai al sommario

numeri e geometrie

Il crivello di eratostene

E' uno dei primi esempi di algoritmo, di procedimento applicato alla determinazione dei numeri primi minori di un numero n. Supponiamo, ad esempio, di voler trovare i numeri primi minori di 100. Scriviamo tutti i numeri compresi tra 2 e 100 in una tabella:

2, 3, 4, 5, ………. n, ………… 100

   Ora cancelliamo tutti i multipli di 2, poi tutti i multipli di 3 (nota che alcuni, quelli pari, sono già scomparsi), poi tutti i multipli di 5 (quelli rimasti, almeno), infine tutti i  multipli di 7 rimasti.

numeri e geometrie

Quelli rimasti sono tutti i numeri primi compresi tra 2 e 100. Il primo successivo, cioè 11, non va utilizzato, perché i suoi multipli minori di 100 sono: 22 che è anche multiplo di 2, 33(3), 44(2), 55(5), 66(2), 77(7), 88(2), 99(3). Poiché mi interessa l'intervallo 2 - 100, devo usare il crivello solo con i numeri primi il cui quadrato è minore di 100.

N.B.: Il crivello è un particolare setaccio, il significato del nome

è chiaro: abbiamo setacciato i numeri da 2 a 100 finché non

sono rimasti soltanto i numeri primi.

Vai al sommario

numeri e geometrie

Sfide matematiche … problemiUN PROBLEMA dal “Liber Abaci” di Fibonacci: la scacchiera

Un problema antichissimo è legato al gioco degli scacchi. Si racconta che il suo inventore, Sissa, chiese come ricompensa

un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza, otto per la quarta, e così via sempre raddoppiando fino a giungere all'ultima casella della scacchiera, la sessantaquattresima.

Fibonacci non menziona la leggenda, ma calcola in 18.446.744.073.709.551.615 il numero di tutti i chicchi di grano. Un numero con così tante cifre non dice niente ed è difficile farsi un'idea della sua enormità.

Per farsi un'idea, Leonardo si chiese: “quante navi si possono riempire se ognuna di esse porta 500 moggi pisani, che pesano 24 sestari ognuno, con un sestario composto di 140 libbre, ognuna di 12 once, le quali a loro volta valgono ciascuna 25 denari, che pesano ciascuno 24 grani di frumento”. Il risultato è stupefacente: si caricherebbero 1.525.028.445 navi, cioè più di un miliardo e mezzo.

numeri e geometrie

Conigli e numeri di FibonacciUN PROBLEMA dal “Liber Abaci” di Fibonacci: come

una famiglia di conigli si può sviluppare in circostanze ideali.

Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio efemmina) e supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai

eche la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschioed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il problema posto da Fibonacci fu:

quante coppie ci saranno dopo un anno? Alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 coppia.

Dopo i due mesi la femmina produce una nuova coppia, per cui ci sono 2

coppie di conigli. Dopo un altro mese la femmina iniziale  produce una

seconda coppia, quindi ci sono 3 coppie in tutto. La femmina originale

continua a produrre ogni mese una nuova coppia e la femmina nata due

mesi prima produce la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie. ..……

Il numero delle coppie di conigli all'inizio di ciascun mese sarà

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Vai al

sommario

numeri e geometrie

La serie di fibonacci

La successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,....

si chiama serie di Fibonacci e i numeri che la compongono sono detti numeri di Fibonacci.

Ciascun termine della serie si ottiene sommando i due termini

immediatamente precedenti:1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, …

La serie di Fibonacci ha rivelato molteplici e diversa proprietà ed entra naturalmente in natura e nell'arte.

La sequenza di Fibonacci è senz'altro la serie di numeri più conosciuta, soprattutto per la sua semplicità, per le sue caratteristiche e per le sue proprietà.

Vai al sommario

numeri e geometrie

proprietà della serie di fibonacciEcco alcune proprietà che ha questa sequenza:

Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre uguale al numero (n+2)o di Fibonacci, ovvero al numero che si trova due posizioni dopo l'ultimo addizionato.

Ad esempio sia n=5: sommando i primi 5 numeri di Fibonacci si ottiene 12, aggiungendo 1 ottengo 13, che è uguale al VII (n+2) numero di Fibonacci.Se invece di sommare tutti i numeri se ne sommano uno si ed uno no, il risultato è sempre uguale al numero successivo all'ultimo addizionato.

Ad esempio sommando i numeri di posto dispari tra i primi 9, si ottiene: 1+2+5+13+34 = 55 che è il decimo numero della serie.La somma dei quadrati di due numeri consecutivi della serie, dà ancora un numero di Fibonacci: la sua posizione nella sequenza si ottiene dalla somma delle altre due, essa è proprio la (n + n+1)a.

Ad esempio: il quarto numero è 3, il quinto 5. La somma dei due quadrati è 32 + 52 = 9 + 25 = 34, ovvero il nono ( 4+5=9) numero.

Vai al sommario

numeri e geometrie

Una proprietà inaspettata dei numeri di Fibonacci

è che, via via che si procede nella serie, il rapporto

tra uno di essi e quello che lo precede si avvicina sempre più al numero irrazionale

Φ = 1,618.... detto “numero aureo”

2:1 = 2 3:2 = 1,5 5:3 = 1,66666… 8:5 = 1,6 13:8 = 1,625

21:13 = 1,615384… … 89:55 = 1,6181818… …

numeri e geometrie

I numeri di fibonacci ...Un’altra situazione, stavolta geometrica, che conduce ai numeri di Fibonacci, è connessa con la costruzione di quadrati adiacenti. Partiamo da un quadrato di lato 1, e sul lato di questo costruiamo un secondo quadrato adiacente, anch'esso di lato 1. I due quadrati formeranno un rettangolo 2×1, e quindi il prossimo quadrato adiacente sarà di lato 2. Insieme ai precedenti, questo quadrato formerà un rettangolo 3×2, sul quale poggeràun quadrato di lato 5. Continuando si forma una sequenza di quadrati, i cui lati sono i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Tracciando in ogni quadrato un quarto di cerchio come nella figura, si ottieneuna spirale, forma che si ritrova in certe conchiglie.

numeri e geometrie

In natura ... Osservando la natura si scoprono forme

chesono espressioni di eleganza e armonia e

cheobbediscono a leggi matematiche. I numeri di Fibonacci si ritrovano nellaposizione delle foglie e dei petali dei

fiori,nelle ramificazioni di alcune piante, nelladisposizione dei semi nei girasoli e dellesquame nelle pigne. Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non

coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e passiamo di foglia in foglia in senso orario o antiorario, il numero di foglie che conteremo prima di trovare una foglia sopra quella di partenza corrisponde sempre ad un numero di Fibonacci.Nell'immagine abbiamo due esempi.

numeri e geometrie

... In natura

…“Il libro della natura è scritto coi caratteri della matematica“

Galileo Galilei

La crescita di questa pianta segue lo schema qui disegnato. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare.

Le conchiglie sono un altro esempio della presenza dei numeri di Fibonacci in natura.

Vai al sommario

numeri e geometrie

... Nell’arte

Il rapporto aureo viene assunto come canone di perfezione. Esso riveste un ruolo importante già nell’architettura greca

e nella pittura, soprattutto nel Rinascimento. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) costruisce le proporzioni del corpo umano sulla base della sezione aurea La “Sectio Aurea” acquista così il carismadella bellezza estetica.

Vai al sommario

numeri e geometrie

La sezione aureaDefinizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB, si chiama sezione aurea di AB il segmento

medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste

Risulta: AB : AC = AC : CB

Si può verificare che AB/AC = 1,618…

Questo rapporto, chiamato 'Divina proportione' da Luca PacioliLuca Pacioli, viene detto più tardi ‘rapporto aureo' o 'numero d'oro‘.

Il rapporto aureo era già noto a Pitagora, ma è stato Euclide a darne una prima rigorosa

definizione matematica. Il trionfo del numero d'oro avverrà nel Rinascimento, con un interesse di matematici e artisti che perdura ancora oggi.

numeri e geometrie

Rettangolo aureoSi chiama "rettangolo aureo“ il rettangolo in cui il rapporto tra le sue

dimensioni èuguale al numero aureo (le dimensioni sono cioè in rapporto aureo). Esteticamente risulta essere il rettangolo più armonioso

Osserviamo che partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato,

quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo.L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano

semprerettangoli aurei.

Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi otteniamo una spirale che si ritrova sovente in natura. Essa mantiene la stessa forma, quando continua ad allargarsi. Certe conchiglie di molluschi (nautilus) hanno proprio questa forma (che non cambia quando la conchiglia cresce).

Vai al sommario

numeri e geometrie

Triangolo di tartagliaIl triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal) è un

metodo, omeglio una costruzione, per ottenere i coefficienti dello sviluppo

delbinomio (a+b)n. Le prime righe del triangolo di Tartaglia sono le

seguenti:

numeri e geometrie

… Proprietà

Il triangolo di numeri continua … ed è isoscele, quindi simmetrico

La fila laterale più esterna è costituita da tanti 1 La fila successiva è costituita dalla successione N dei numeri

naturali La fila ancora dopo (1, 3, 6, 10, …) dai numeri triangolari

Se osserviamo le file di numeri orizzontali, troviamo che la somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del numero 2

Vai al sommario

numeri e geometrie

Gauss All'età di sette anni Carl Friedrich Gauss cominciò a frequentare la scuola elementaree le sue potenzialità furono subito notate. Un aneddoto racconta che l'insegnante, per mettere a tacere l'allievo, gli ordinò di calcolare la somma S di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la rispostaesatta, essendosi accorto che sommando i numeri tra di loro oppostisi ottiene sempre la stessa somma:

1, 2, 3, 4, 5, …………………. 96, 97, 98, 99, 1001+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ecc… per 50 volte.Dunque

S = 50 101 = 5050

Vai al sommario

numeri e geometrie

I frattaliIn prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente. Questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. Presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita. Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve (curva di Kock) che contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, ed è di lunghezza infinita.

Un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale.

I frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa, ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne sono alcuni esempi.

numeri e geometrie

La curva di kock

Questa curva è stata 'inventata' dal matematico svedese H. von Kock nel 1906.E' un esempio di curva chiusa di area finita, ma di perimetro infinito. Si ottiene come limite di una serie di curve spezzate, definite in modo ricorsivo. Si comincia con un triangolo con lati di lunghezza 1. A metà di ciascun lato si aggiunge un nuovo triangolo il cui lato misura 1/3 di quello precedente. La sua area è finita, sicuramente minore di quella del cerchio circoscritto alla curva.Il suo perimetro è infinito. Infatti, il perimetro del primo triangolo è 3; quello della seconda figura si ottiene sommando i 12 lati di lunghezza 1/3, quindi 12·1/3, ossia 4; quello della terza 48·1/9; e così via. Il perimetro si ottiene dalla formula 3· 4/3· 4/3· 4/3· ...

Vai al sommario

numeri e geometrie

L’anello di Möbius

L'anello di Möbius (1858) è una superficie che ha una sola faccia.

Ecco come costruire un anello di Möbius :1) ritagliamo una striscia di carta (o di cartoncino morbido) di circa 5 cm x 60 cm2) tenendola per le estremità diamole una torsione di 180°3) pieghiamola in modo da formare un anello, uniamo le estremità e le incolliamo

numeri e geometrie

Per capire la sua singolare proprietà si può mettere a

confronto un anello di Moebius con una solita superficie cilindrica. La superficie cilindrica ha due facce: quella esterna e quella interna. Se tracciamo una linea continua lungo tutta la faccia interna di un cilindro, ci ritroveremo al punto di partenza dopo aver descritto una linea chiusa che giace interamente sulla faccia interna del cilindro.

Sul nastro o anello di Moebius, invece, si può disegnare una linea continua dall'una e dall'altra parte, senza mai staccare la matita dalla carta. Per questa proprietà il nastro di Moebius è stato assunto come simbolo dell'infinito.

Vediamo (di seguito) come un artista del ‘900, ESCHER, ha rappresentato questa strana superficie:

numeri e geometrie

C.M.Escher, Striscia di Moebius II, xilografia, 1963

Vai al sommario

numeri e geometrie

MAURITS CORNELIS ESCHER

Escher (1898 – 1972), artista olandese, si interessò, tra l’altro,della tassellazione del piano e dell’uso delle simmetrie

Vai al sommario

numeri e geometrie

I solidi platonici

Solido platonico è sinonimo di poliedro regolare e si definisce come

poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti. Gli

angoloidi di un poliedro regolare hanno la stessa ampiezza.

Esistono soltanto 5 poliedri regolari:

il tetraedro l‘esaedro l‘ottaedro il dodecaedro l'icosaedro

numeri e geometrie

… I solidi platonici

tetraedro regolare: le sue facce sono 4 triangoli equilateri; 4 sono i vertici e 6 gli spigoli

cubo o esaedro regolare: ha 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli

ottaedro regolare: le sue 8 facce sono triangoli equilateri; ha 6 vertici e 12 spigoli.

dodecaedro regolare: ha 12 facce pentagonali, 20 vertici, 30 spigoli.

icosaedro regolare: ha 20 facce che sono triangoli equilateri, 12 vertici e 30 spigoli.

numeri e geometrie

Una dimostrazionePerché sono solo cinque i poliedri regolari?

Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri

regolari. Infatti in ogni vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo

stesso piano, quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Analizziamo i vari casi, a partire dal poligono regolare con il minor numero di lati, il triangolo equilatero. Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°: è quindi possibile far incontrare in un vertice

3 facce (3 x 60° = 180°) ottenendo un tetraedro regolare, 4 facce (4 x 60° = 240°) ottenendo un ottaedro regolaree 5 facce (5 x 60° = 300°) ottenendo un icosaedro regolare.Non possono convergere più di cinque facce (6 x 60° = 360°, il che non è possibile perchè non è < 360°, così 7 x 60 °= 420°, ecc…)

Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un cubo. Non possono convergere più di tre facce (4 x 90 = 360, il che non è possibile, così 5 x 90 = 450, ecc…) Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare. Non possono convergere più di tre facce (4 x 108 = 432, il che non è possibile, ecc…)

Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano (3 x 120° = 360°). Dunque esistono solo 5 tipi di poliedri regolari.

c.v.d.

numeri e geometrie

… I solidi platonici

Le regolarità dei poliedri regolari sono straordinariamente suggestive: questo ha fatto sì che venissero ampiamente studiati fin dall'antichità. Essi furono oggetto di studio di Pitagora e del filosofo Platone, il quale associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all‘ottaedro l‘aria, all‘icosaedro l‘acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell‘universo.Furono poi studiati con ben maggiore razionalità dai geometri greco-alessandrini. Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli “Elementi” di Euclide. Nel Rinascimento i cinque solidi, simbolo di bellezza e di perfezione, vennero illustrati da Leonardo da Vinci nel “De Divina Proporzione” di Luca Pacioli.

Vai al sommario

numeri e geometrie

SommarioTitolo Link: argomento

1 Home page

Guida all’usoSommario

2 III-II millennio a.C.

L’occhio di Horus

3 Matematica in Grecia

Sistemi di numerazione

4 Matematici greci …

Proprietà dei numeriTeorema di Pitagora

5 La geom. razionale

I poliedri regolari (o solidi platonici)

6 … Matemat. greci

ArchimedeMisura circonf. terra Crivello di Eratostene

Titolo Link: argomento

7 Verso il Rinascimento

Sfide e problemiLa serie di Fibonacci:→proprietà, →in natura, →nell’arte

Sezione aureaTriangolo di Tartaglia

8 1600 - 1800

Gauss

9 Recenti sviluppi

Frattali Topologia: l’anello do Moebius→Escher

48 Sommario

49 Guida

50 Fine

numeri e geometrie

Guida Per la navigazioneDopo la prima diapositiva (home page) ne vengono presentate 8 che ripercorrono alcune delle

tappedella storia della matematica. Con un semplice clic del mouse si passa da ciascuna pagina alla

successiva. Ognuna delle 8 pagina offre documenti di approfondimento a cui si accede cliccando

sulle parolecalde (attive al passaggio del mouse) o direttamente dal sommario.

Per la consultazione è utile tener conto dei comandi seguenti:

= “vai alla diapositiva precedente” = “home” = “vai alla diapositiva successiva” = “fine” = “approfondimento” a conclusione di ciascun documento di approf., c’è sempre

un collegamento per tornare alla pagina di provenienza: = “torna alla diapositiva di provenienza” = “vedi

indice”

Vai al sommario

numeri e geometrie

…“Se lo studio della matematica ha un alto valore formativo, quello della storia della matematica

ha,in più, un orizzonte interdisciplinare”T. Viola

Proporre agli alunni della scuola secondaria di I grado le questioni matematiche nel

loro sviluppo storico, stimola nei ragazzi la motivazione ad avvicinarsi al fascino di

una disciplina, la matematica, troppo spesso poco amata perché poco conosciuta.

A cura di Lidia Vanzetti, docente di matematica presso la S.M.S. “B. Alfieri” di Carignano (TO)

lidiava@tiscali.it

Parte del materiale (soprattutto immagini) è tratto dai siti web consultati. Di questi si dà una ragionata sitografia

fine

numeri e geometrie

sitografia

http://www.matematicamente.it/http://www.korthalsaltes.com/http://utenti.quipo.it/base5/topologia/moebius.htmlhttp://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/giusti.phphttp://www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/sez2.htmlhttp://digilander.libero.it/pnavato/frattalihttp://www.sectioaurea.com/http://www.anticoegitto.net/lezione18.htmlhttp://www.itsosgadda.it/fornovo/Didattica/matematica/mosaico_ITSOS_C/

UD_02/02_02_lez.htmlhttp://www.edscuola.it/archivio/ped/numeri_triangolari.htmlhttp://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale

I siti indicati e i link in essi presenti sono stati consultati entro il 20 agosto 2006