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Note su esperienza con il volano

2

Cosa è un volano?…una massa più o meno "grande" collegata solidalmente all'albero motore di una macchina.A cosa serve un volano nelle macchine?… serve ad accumulare energia cinetica nelle fasi di eccesso di produzione per averla a disposizione nelle fasi di carenza. ... la capacità di accumulo di energia in un volano aumenta, oltre che con l'aumentare della massa, anche con il crescere al quadrato della distanza di questa dall'asse di rotazione(I0: ‘’momento di inerzia’’ intorno all’asse di rotazione).“cambiare la velocità significa anche cambiare la potenza”:

Potenza = Lavoro / Tempo = Forza x Spostamento / Tempo= Forza x Velocità

… tutte le macchine che hanno un regime di velocità variabile hanno necessità del volano.E' quindi un regolatore della velocità e della potenzadella macchina alla quale è applicato.

3

4

Il volano e’ realizzato da un disco in alluminio di raggio 20 cm, libero di ruotare attorno ad un “asse fisso” passante per il suocentro geometrico che coincide altresì con il suo CM.

Su tale asse, attorno ad un cilindretto di raggio 0.5 cm solidalecon il disco d’alluminio, e’ avvolto un filo che passando per unacarrucola è attaccato ad un cilindro sospeso di massa 600g.

In prossimita’ del bordo del disco ci sono 20 fori in cui e’ possibile inserire dei bulloni (55 g) modificando così il suomomento d’inerzia.

Infine, si possono fissare sul disco delle palette, modificandocosì il comportamento dinamico del volano.

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Possibili sistemi di acquisizione per il volano:

1) Si puo’ acquisire su PC la posizione del peso lungo la verticale mano a mano che si sposta, per esempio in due modi:a) Posizionando un encoder rotativo sull’asse della puleggia,

… del tipo di quelli usati nella esperienza del pendolo fisico.b) Posizionando sotto di esso un sensore ad ultrasuoniorientato verso l’alto,

… del tipo di quelli utilizzati nelle esperienze con i carrelli.

2) Alternativamente, sulla vertical, lungo la quale il peso si puo’ muovere, ci sono 15 sensori disposti ad una distanza di 5 cm.… Tirando su il peso e rilasciando il disco d’alluminio, si puo’ misurare il tempo impiegato dal peso nella sua discesa dallaaltezza massima fino al punto in cui e’ presente un sensore.I sensori sono collegati ad un PC che permette la lettura deidati.

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7

‘’LUCE’’‘’LUCE’’

8

Lo sfasamento tra i due segnali A e B deve essere, per costruzione meccanica, pari a¼ del passo tra le fenditure.

n 4n ... si tratta di unnonio elettronico!

UP = (A)·B + (A)·NOT(B) + (B) ·NOT(A) + (B)·A

DOWN = (A)·NOT(B) + (A)·B + (B) ·A + (B)·NOT(A)

9

Descrizione schematica del moto del volano

… si scrivono 2 equazioni accoppiate del moto :

- Punto materiale

- Corpo rigido senza bulloni e senza palette sul disco

x mg

T1

12

2 )( : xasse lungo Tmg

dt

txdm

aMrTdt

tdI 22

2

0

)( :disco rotazione asse lungo

T2Ma : momento delle forze resistenti

I0 : momento di inerzia del disco rispetto adun asse orizzontale passante per il suo CM

10

… si assume che il filo che collega il volano alla massa sia:

- Inestensibile: l’angolo di cui ruota il disco (D) moltiplicato per il raggio r della puleggia fissata sul disco stesso è pari allo spostamento lineare (Dx) del peso.

- Massa trascurabile: la tensione è la stessa in ogni sezione del filo stesso

TTT 21

2

2

2

2

rx

dt

dr

dt

xda

dt

dr

dt

dxv

DD

11

… senza bulloni e senza palette sul disco, il moto di discesa del peso è perciò uniformemente accelerato

0

2

2

2

0

2

2

0

2

0

2

000

)(

1)(

Imr

rMmgra

r

Mmgr

r

Imra

r

Mmg

r

Ima

r

M

r

aImgma

r

M

r

aI

rM

r

aITMrT

r

aI

Tmgma

aa

a

a

aaa

12

Osservazioni sul moto uniformemente accelerato in fase di discesa del peso

senza bulloni e senza palette sul disco

Ma = Momento delle forze resistentiI0 = Momento di inerzia del disco rispetto ad un asse

orizzontale passante per il suo CM

0

&0

0

2

0

2

0

0

2

2

0

2

2

amrIse

gamrIMse

Imr

mgraMse

Imr

rMmgra

a

a

a

a g(1-I0/(mr2))

13

Tensione T nel filo durante la fase di discesa del peso senza bulloni e senza palette montate sul disco

0

2

0

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

2

)(

)(

Imr

mrMmgIT

Imr

rMmgrgImgrm

Imr

rMmgrgmT

Imr

rMmgra

agmTTmgma

a

aa

a

14

Moto del volano aggiungendo n coppie di bulloni (m = massa singolo bullone) sul disco poste in posizioni simmetriche, ma senzapalette montate sul disco, il moto di discesadel peso è ancora uniformemente accelerato

rMmgr

Rn

rMmgr

Imr

a

RnImr

rMmgra

Imr

rMmgra

RnII

aa

aa

2

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

2

00

2][1

2][

2

m

m

m

15

Fit linearecon 5 punti(8 bulloni) I0 e Ma n

(1 / a)

0 4

BxAy

rMmgr

Rn

rMmgr

Imr

a aa

2

2

2

0

2 2][1 m

rB

RmgrM

B

Rmgr

rM

BRrMmgr

rMmgr

mrB

ARmr

A

mrB

ARI

R

Imr

B

A

aa

a

a

222

22

2

222

22

02

0

2

2)

2(

1

12

2

22

mm

mm

mm

16

Moto del volano aggiungendo soltanto palettemontate sul disco, il moto di discesa risente ora anche del momento dovuto a forze viscose … non è più uniformemente accelerato

mgrr

vkMa

r

Imr

r

vkMmgra

r

Imr

Imr

rr

vkMmgr

aImr

rMmgra

r

vkMM

a

a

aa

aa

)()(

)()(

)(

0

0

0

2

2

0

2

2Divido per rsia numeratore sia denominatore

17

Equazione differenziale in v risolvibile con il metodo della separazione delle variabili

)()(

)(

)(

)(

)()(

)()(

0

22

2

0

22

2

0

2

0

0

Imr

dt

kvrMmgr

k

kvrMmgrd

Imr

dt

kvrMmgr

dv

r

kvrMmgr

dt

dv

r

Imr

r

vkMmgr

dt

dv

r

Imr

mgrr

vkMa

r

Imr

a

a

a

a

a

a

18 ))/exp(1()(

0)(

))(

exp()()(

)(

)()ln(

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

0

22

2

0

2

22

0

22

2

0 0

2

0

2

2

0

22

2

tvtvk

Imr

k

rMmgrv

kvrMmgrtper

Imr

ktrMmgrkvrMmgr

Imr

tk

rMmgr

kvrMmgr

dtImr

k

kvrMmgr

kvrMmgrd

Imr

dt

kvrMmgr

k

kvrMmgrd

a

a

aa

a

a

tv

a

a

a

a

19

… la velocità limite v raggiunta dalla massa nella sua caduta

- non dipende dal momento di inerzia del volano I0,

-ma dipende solo dalle “cause dissipative frenanti”sia radenti Ma sia viscose k.

… la costante di tempo al contrario

- non dipende dal momento frenante Ma

- ma dipende da I0 e k

k

rMmgrv a

2

k

Imr 0

2

))/exp(1()( tvtv

20

Sommario della strategia nelle misure da fare con il volano:

1)Senza le palette montate sul disco ma con n coppie di bulloni

n = 0, 1, 2, 3, 4

fit lineare

y: (1/a) verso x: n (1/a) = A + Bn

rB

RmgrMemr

B

ARI a

222

0

22

mm

n

(1 / a)

0 4

21

Sommario della strategia nelle misure da fare con il volano:

2) Con le palette montate sul disco

fit: ))/exp(1()( tvtv

k

rMmgrv a

2

k

Imr 0

2

v

rMmgrk a

2

Coefficiente di attrito viscoso

Numerologia per l’esperienza con il volano

22

231.18

24

25

26

1.1 %

1.7 %

2.2 % 4.0 %

+ 2(∂I0/∂A)(∂I0/∂B)s(A,B)

∂I0/∂B=-2mR2A/B2

27

1.4 %

1.2 %

28

29

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=0 m(1dado) = 15,3gm(1bullone senza dado) = 38,2gm = m(1bullone + 1dado) = 53,5gm + m(1dado) = 68,8g

30

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=1

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=2

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=3

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=4

31

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=5

12

3

4

5

6

7

8

91011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n=10

ecc. . . . ecc . . . .