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Gianluca Occhetta

Note di

TOPOLOGIA GENERALEe primi elementi di topologia algebrica

Dipartimento di Matematica

Universita di Trento

Via Sommarive 14

38050 - Povo (TN)

Nota per la lettura

Queste note raccolgono gli argomenti (alcuni variabili negli anni) svolti nel corsodi Geometria IV unita didattica del Corso di Laurea in Matematica dell’Universitadi Trento dall’a.a. 2002-2003 all’a.a. 2008-2009.In appendice sono invece contenuti approfondimenti sulle nozioni di compattezzaproposti agli studenti del percorso di eccellenza.Per alcune parti di queste note, nonche per suggerimenti e correzioni, sono debitorea Davide Panizzolo, Elisa Tasso, Roberto Pignatelli, Riccardo Ghiloni e ValentinaPaterno. Sono anche grato agli studenti che mi hanno via via segnalato imprecisionie proposto modifiche e mi assumo la responsabilita di tutti gli errori che possonoessere rimasti.

Gianluca Occhetta

iii

Indice

Nota per la lettura iii

Indice iv

I Topologia generale 1

1 Spazi topologici 31.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Confronto tra topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Base di una topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Applicazioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Costruire nuovi spazi topologici 112.1 Sottospazi e topologia indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Prodotti e topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Quozienti e topologia quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Lo spazio proiettivo reale RPn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Proprieta topologiche 333.1 Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Spazi di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Spazi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Spazi connessi per archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Superfici topologiche 494.1 Varieta topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Somma connessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Triangolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Orientabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Teorema di classificazione delle superfici compatte - Prima parte . . 55

iv

Indice

II Topologia algebrica 63

5 Omotopia 655.1 Omotopia di applicazioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Tipo d’omotopia - Retratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 CW-complessi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Il gruppo fondamentale 756.1 Il gruppo fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Omomorfismo indotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Teorema di invarianza per omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4 Il gruppo fondamentale di S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Teorema di Seifert-Van Kampen e applicazioni 857.1 Gruppi con presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Il teorema di Seifert-Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.3 Il teorema di classificazione delle superfici compatte - Seconda parte 937.4 Gruppo fondamentale e retrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A Varie nozioni di compattezza 99A.1 Compattezza per ricoprimenti: origine . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.2 Varie definizioni di compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.3 Compattezza in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.4 Spazi localmente compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

v

Parte I

Topologia generale

1

Capitolo 1

Spazi topologici

1.1 GENERALITA

Definizione 1.1. Sia X un insieme e τ ⊂ P(X) una famiglia di sottoinsiemi di Xcon le seguenti proprieta:

1. ∅ ∈ τ , X ∈ τ .

2. La famiglia τ e chiusa rispetto all’unione: data una collezione {Uj}j∈J taleche Uj ∈ τ ∀j si ha che

⋃Uj ∈ τ .

3. La famiglia τ e chiusa rispetto alle intersezioni finite: se U1, U2 ∈ τ alloraU1

⋂U2 ∈ τ .

La coppia (X, τ) e detta spazio topologico; la famiglia τ e detta topologia, mentregli elementi di τ sono chiamati aperti della topologia.

Esempi 1.2.

a) (X,P(X)): Topologia discreta.

b) (X, {∅, X}): Topologia grossolana (o banale).

c) (X, τc), τc = {∅} ∪ {X} ∪ {U |U c e un insieme finito}: Topologia cofinita.

Se {Uj}j∈J sono elementi non banali di τ allora per ogni j si ha |U cj | <

+∞. Allora (∪Uj)c = ∩U cj , e quindi, per ogni j, (∪Uj)c ⊂ U c

j ; essendo|U c

j | < +∞ allora anche |(∪Uj)c| < +∞ e quindi ∪Uj ∈ τ .

Se U1, U2 sono elementi non banali di τ (e quindi |U c1 | < +∞, |U c

2 | < +∞)allora (U1 ∩ U2)c = U c

1 ∪ U c2 e un insieme finito, in quanto unione finita di

insiemi finiti, e pertanto U1 ∩ U2 ∈ τ .

3

1. Spazi topologici

d) (X = Rn, τε), U ∈ τε se e solo seU e l’insieme vuoto, Rn oppure e un’unionedi sottoinsiemi della forma Br(p) = {x ∈ Rn | d(x,p) < r}, con p ∈ Rn e rnumero reale positivo : Topologia euclidea.

Verificheremo piu avanti che questa e una topologia, utilizzando il concet-to di base.

e) X = Rn, τd = {∅} ∪ {Rn} ∪ {Br(0)}: Topologia dei dischi.⋃Bri(0) = BR(0) con R = sup ri e Br1(0) ∩ Br2(0) = Br(0) con r =

min(r1, r2).

f) X = R, τs = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, a) | a ∈ R}: Topologia delle semirette.⋃(−∞, ai) = (−∞, A) con A = sup ai e (−∞, a1)∩ (−∞, a2) = (−∞, a) con

a = min(a1, a2).

g) X = [−1, 1], τ = {∅} ∪ {[−1, 1]} ∪ {U | 0 6∈ U} ∪ {V | (−1, 1) ⊆ V }

Chiamiamo per comodita insiemi del primo tipo i sottoinsiemi U 63 0 einsiemi del secondo tipo i sottoinsiemi V ⊇ (−1, 1).E’ immediato osservare che l’unione (o l’intersezione) di insiemi del primotipo e ancora un insieme del primo tipo, mentre l’unione (o l’intersezione)di insiemi del secondo tipo e ancora un insieme del secondo tipo, quindibasta verificare che U ∪ V ∈ τ e U ∩ V ∈ τ se U e un insieme del primotipo e V e un insieme del secondo tipo.L’insieme U ∪ V ∈ τ perche contiene (−1, 1), e l’insieme U ∩ V ∈ τ perchenon contiene 0.

h) X = R, τ = {∅} ∪ {R} ∪ {[−a, a] | a ∈ R+} non e una topologia, perche none chiusa rispetto all’unione. Ad esempio

⋃n∈N

[−1 +

1

n, 1− 1

n

]= (−1, 1) 6∈ τ.

Definizione 1.3. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice chiuso nella topologia τ se Cc eun aperto di τ .

Proposizione 1.4. Sia (X, τ) uno spazio topologico.

1. ∅, X sono chiusi.

2. L’intersezione di chiusi e un chiuso.

3. L’unione finita di chiusi e un chiuso.

4

1.2. Confronto tra topologie

Dimostrazione. Esercizio.

Definizione 1.5. Sia x ∈ X ; un intorno di x e un sottoinsieme W ⊂ X che con-tiene un aperto U che contiene x: x ∈ U ⊂ W . Normalmente dicendo intornosottintenderemo intorno aperto.

Definizione 1.6. Sia Y ⊂ X ; un punto y ∈ Y e interno a Y se esiste un intorno Wdi y tale che W ⊂ Y .L’insieme di tutti i punti interni di Y si chiama interno di Y , e si denota con Y .Equivalentemente Y e il piu grande aperto di X contenuto in Y .

Osservazione 1.7. Y e aperto⇐⇒ Y = Y .

Dimostrazione. ⇒) Se Y e aperto costituisce un intorno di ogni suo punto,quindi ogni punto di Y e punto interno.⇐) Per ogni y ∈ Y esiste un aperto Uy tale che y ∈ Uy ⊂ Y , quindi Y =

⋃Uy e

aperto in quanto unione di aperti.

Definizione 1.8. Sia Y ⊂ X ; un punto x ∈ X e di aderenza per Y se per ogniintorno Wx di x si ha Wx ∩ Y 6= ∅.L’insieme di tutti i punti di aderenza di Y in X si chiama chiusura di Y in X , e sidenota con Y . Equivalentemente Y e il piu piccolo chiuso di X che contiene Y .

Osservazione 1.9. Y e chiuso⇐⇒ Y = Y .


Definizione 1.10. La frontiera di Y , denotata con ∂Y , e l’insieme Y \Y .

Esempio 1.11. Se Y = [0, 1) in (R, τε) allora Y = (0, 1), Y = [0, 1] e ∂Y = {0, 1};considerando lo stesso insieme come sottospazio di R con la topologia dellesemirette si ha invece Y = ∅, Y = [0,+∞) e ∂Y = [0,+∞).

Esempio 1.12. Sia X = [−1, 1] con la topologia dell’esempio 1.2 g) e sia Y =[−1/4, 1].Y non contiene aperti del secondo tipo, mentre qualsiasi sottoinsieme di Y chenon contiene lo zero e aperto. Quindi Y = Y \ {0}.I chiusi non banali di X sono i sottoinsiemi che contengono lo zero e quelli chehanno intersezione vuota con (−1, 1), quindi Y e chiuso e Y = Y .La frontiera di Y e quindi costituita dal punto 0, ∂Y = {0}.

1.2 CONFRONTO TRA TOPOLOGIE

Sia X un insieme e τ1 e τ2 due topologie su X .

Definizione 1.13. Si dice che τ1 e piu fine di τ2 (τ1 � τ2) se ogni aperto di τ2 e unaperto di τ1. Si dice che τ1 e strettamente piu fine di τ2 (τ1 � τ2) se τ1 e piu fine diτ2 ed esiste un aperto di τ1 che non e aperto di τ2.

5

1. Spazi topologici

Questa e una relazione d’ordine parziale: due topologie diverse possono nonessere confrontabili.

Esempio 1.14. Sia X = R e siano τ1 la topologia discreta, τ2 la topologia eucli-dea, τ3 la topologia dei dischi, τ4 la topologia delle semirette.Si verifichi che τ1 � τ2, τ3, τ4 e che τ2 � τ3, τ4, mentre τ3 e τ4 non sono confronta-bili.

1.3 BASE DI UNA TOPOLOGIA

Definizione 1.15. Sia (X, τ) uno spazio topologico. Un sottoinsieme B ⊂ τ e unabase per τ se ogni aperto non vuoto di τ e unione di elementi di B.

Proposizione 1.16. (Caratterizzazione delle basi) Se B e una base per una topologia τsu X , allora

1) ∀x ∈ X ∃B ∈ B t.c. x ∈ B.

2) ∀B1, B2 ∈ B t.c. B1 ∩B2 6= ∅ e ∀x ∈ B1 ∩B2 ∃B3 ∈ B t.c. x ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.

Viceversa, dato un insieme X e una famiglia di sottoinsiemi B che ha le proprieta 1) e 2)esiste un’unica topologia su X che ha B come base.

La condizione 2).

2

1

3

B

B

Bx

Dimostrazione. Supponiamo che B sia una base per una topologia.Poiche X e un aperto, esso si puo scrivere come unione di elementi della base:X =

⋃i∈I Bi, quindi ogni punto di X e contenuto in almeno uno dei Bi.

Dati B1 e B2 appartenenti a B, tali insiemi appartengono anche a τ , quindi l’in-sieme B1 ∩ B2 e un aperto e pertanto si puo scrivere come unione di elementidella base: B1 ∩ B2 =

⋃i∈I Bi; ogni elemento dell’intersezione e contenuto in

almeno uno di questi Bi.Viceversa, supponiamo che una famiglia di sottoinsiemi B verifichi 1) e 2) e co-struiamo la topologia in questo modo: un sottoinsieme Y ⊂ X appartiene a τ see solo se si puo scrivere come unione degli elementi di B.L’insieme vuoto appartiene banalmente a τ , e X ∈ τ per la proprieta 1). L’u-nione di elementi di τ e un’unione di elementi della base, quindi ∈ τ per come

6

1.3. Base di una topologia

abbiamo definito τ ; siano infine U1, U2 ∈ τ e verifichiamo che U1 ∩ U2 ∈ τ .Scriviamo U1 =

⋃i∈I Bi, U2 =

⋃j∈J Bj ; allora

U1 ∩ U2 = (⋃i∈I

Bi) ∩ (⋃j∈J

Bj) =⋃

i∈I, j∈J

(Bi ∩Bj).

Per concludere e sufficiente osservare che, per la proprieta 2), Bi ∩ Bj si puoscrivere come unione di elementi di B.L’unicita di τ segue immediatamente dalla definizione di base.

Esempi 1.17.

a) In X = Rn i sottoinsiemi Br(x) = {y ∈ Rn | d(x,y) < r}, al variare dix ∈ Rn e di r ∈ R+, costituiscono una base per una topologia, dettatopologia euclidea di Rn.

b) Analogamente, se (X, d) e uno spazio metrico, su di esso e possibile defi-nire una topologia τd che ha come base i sottoinsiemi della forma Br(x) ={y ∈ X | d(x, y) < r}.

c) X = R, B = {[a, b) | a < b} e la base per una topologia su R.

d) X = R, B = {[−a, a]} e la base per una topologia su R.

e) Sia X = N≥2 l’insieme dei numeri interi maggiori o uguali a due, siaUn = {x ∈ X |x divide n} e sia B = {Un}n∈X . Allora B e la base peruna topologia su X , detta Topologia dei divisori.

Infatti ogni x ∈ X e contenuto in Ux e Ux1 ∩ Ux2 = UMCD(x1,x2).

Esercizio 1.18. Sia X un insieme e U = {Ui}i∈I una collezione di suoi sottoin-siemi; U si dice sottobase per una topologia τ se le intersezioni finite di elementidi U sono una base per la topologia τ .

1. Provare che U e una sottobase se e solo se X ⊂⋃Ui.

2. Trovare una sottobase della topologia euclidea su R.

Definizione 1.19. Due basi B1 e B2 si dicono equivalenti se generano la stessatopologia.

Proposizione 1.20. (Criterio di equivalenza delle basi) Due basi B1 e B2 sono equiva-lenti se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:

1. ∀B1 ∈ B1, ∀x ∈ B1 ∃B2 ∈ B2 t.c. x ∈ B2 ⊂ B1.

2. ∀B2 ∈ B2, ∀x ∈ B2 ∃B1 ∈ B1 t.c. x ∈ B1 ⊂ B2.

7

1. Spazi topologici


Esempio 1.21. In R2 i dischi senza bordo e i rettangoli senza bordo sono basi perla stessa topologia (quella euclidea).

2

2

1B

B

B

B

x

x

1

1.4 APPLICAZIONI CONTINUE

Definizione 1.22. Siano (X, τ) e (Y, σ) due spazi topologici. Un’applicazionef : X → Y si dice continua se la controimmagine via f di ogni insieme aperto diY e un aperto di X , cioe se ∀U ∈ σ si ha che f−1(U) ∈ τ .

Osservazione 1.23. La continuita di una applicazione dipende non solo dagliinsiemi X e Y , ma anche dalle topologie su di essi considerate.

Esempi 1.24.

a) f : R → R definita da f(x) = x2 e continua con la topologia euclidea, nonlo e con la topologia delle semirette.

b) (X, τ1)→ (X, τ2); f = IdX e continua⇐⇒ τ1 � τ2.

c) X ha la topologia discreta⇐⇒ ∀(Y, σ), ∀f : X → (Y, σ) f e continua.

⇒) Ovvio.

⇐) Scegliamo Y = X , come σ la topologia discreta e f = IdX .

d) Y ha la topologia banale⇐⇒ ∀(X, τ),∀f : (X, τ)→ Y f e continua.

⇒) Ovvio.

⇐) Scegliamo X = Y , come σ la topologia banale e f = IdY .

La definizione di continuita si puo dare anche utilizzando i sottoinsiemi chiusi.

Proposizione 1.25. f : X → Y e continua⇐⇒ f−1(C) e chiuso in X per ogni Cchiuso in Y .


8

1.4. Applicazioni continue

Osservazione 1.26. Nel caso in cui (X, τ) = (Y, σ) = (R, τε) la definizione (1.22)e equivalente all’usuale definizione di continuita dell’analisi.

Dimostrazione. Sia f : R → R una funzione tale che, per ogni x0 ∈ R e perogni ε > 0 esiste δ tale che se ||x− x0|| < δ allora ||f(x)− f(x0)|| < ε.Vogliamo mostrare che questa funzione e continua nel senso della Definizione(1.22), cioe vogliamo mostrare che, se U e un aperto del codominio allora f−1(U)e aperto. Sia x0 un punto di f−1(U); mostreremo che tale punto e punto interno.Sia y0 = f(x0); y0 e contenuto in U , che e aperto; pertanto esiste ε > 0 tale che(y0 − ε, y0 + ε) ⊂ U . In corrispondenza di tale ε esiste δ tale che se ||x− x0|| < δallora ||f(x)− f(x0)|| < ε; in particolare se ||x− x0|| < δ allora f(x) ∈ U .Pertanto (x0 − δ, x0 + δ) e un intorno di x0 contenuto in f−1(U).

Supponiamo ora che f soddisfi la Definizione (1.22), e sia x0 un punto del domi-nio. Sia ε > 0 e sia U = f−1((f(x0) − ε, f(x0) + ε)); essendo controimmagine diun aperto, U e aperto. Il punto x0 e interno ad U , quindi esiste un intorno di x0,che possiamo assumere del tipo (x0 − δ, x0 + δ), contenuto in U . L’immagine ditale intorno e contenuta in f(U) ⊂ (f(x0)−ε, f(x0)+ε) e l’asserto e provato.

Se si conosce una base per la topologia di Y e sufficiente verificare la continuitasugli elementi della base:

Proposizione 1.27. Sia f : (X, τ) → (Y, σ) un’applicazione tra spazi topologici, e siaB una base per σ. Allora f e continua se e solo se f−1(B) ∈ τ per ogni B ∈ B.

Dimostrazione. Se f e un’applicazione continua allora f−1(B) ∈ τ per ogniB ∈ B perche gli elementi di B sono particolari elementi di σ.Viceversa, se f−1(B) ∈ τ per ogniB ∈ B, poiche ogni V ∈ σ si puo scrivere comeV =

⋃Bi con Bi ∈ B, si ha f−1(V ) = f−1(

⋃Bi) =

⋃f−1(Bi) e

⋃f−1(Bi) ∈ τ

in quanto unione di elementi di τ .

Esercizio 1.28. Sia (X, τ) l’insieme N≥2 con la topologia dei divisori.Si provi che le applicazioni fk : X → X definite ponendo fk(n) = kn sono continue,mentre l’applicazione g : X → X definita ponendo g(n) = n+ 1 non lo e.

Definizione 1.29. Un’applicazione f : X → Y si dice aperta se f(U) e aperto inY per ogni U aperto in X . Un’applicazione f : X → Y si dice chiusa se f(C) echiuso in Y per ogni C chiuso in X .

Osservazione 1.30. f puo essere aperta, chiusa, aperta e chiusa senza esserecontinua. Verificare che

1. Se (X, τ) = (Y, σ) = (R, τs) e f : X → Y e definita ponendo f(x) = x2

allora l’applicazione f e chiusa, non aperta e non continua.

2. Se (X, τ) = (R2, τε) e (Y, σ) = (R, τε) e f : X → Y e definita ponendof(x, y) = x allora l’applicazione f e aperta, non chiusa e continua (Cf.sezione (2.2)).

9

1. Spazi topologici

3. f : (R, τs) → (R, τε) definita ponendo f(x) = 3x e aperta e chiusa, ma noncontinua.

Proposizione 1.31. Siano (X, τX), (Y, τY ) e (Z, τZ) tre spazi topologici, f : X → Y eg : Y → Z due applicazioni continue. Allora l’applicazione composta h = g ◦ f : X →Z e continua.

Dimostrazione. Bisogna verificare che h−1(V ) ∈ τX per ogni V ∈ τZ .L’insieme g−1(V ) ∈ τY poiche g e continua, e l’insieme f−1(g−1(V )) ∈ τX poichef e continua, e quindi l’asserto segue dal fatto che

h−1(V ) = (g ◦ f)−1(V ) = f−1(g−1(V )).

Quando due spazi topologici sono “uguali”?

Definizione 1.32. Due spazi topologiciX e Y si dicono omeomorfi se esistono dueapplicazioni continue f : X → Y e g : Y → X tali che g ◦ f = IdX e f ◦ g = IdY .f e g prendono il nome di omeomorfismi; un omeomorfismo e cioe un’appli-cazione continua, biunivoca e con inversa continua (biunivoca e bicontinua).Indicheremo l’omeomorfismo tra due spazi topologici con questo simbolo: '.

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Capitolo 2

Costruire nuovi spazi topologici

2.1 SOTTOSPAZI E TOPOLOGIA INDOTTA

Sia (X, τ) uno spazio topologico e S ⊂ X un suo sottoinsieme non vuoto.

Definizione 2.1. τS = {U ∩S | U ∈ τ} e una topologia su S, detta topologia indottada τ su S.

Osservazione 2.2. Consideriamo l’inclusione i : S ↪→ X ; per ogni sottoinsiemeA ⊂ X si ha i−1(A) = A ∩ S. Pertanto la topologia indotta rende continual’inclusione, anzi e la topologia meno fine che rende continua tale applicazione.

Osservazione 2.3. Gli aperti di τS non sono necessariamente aperti di τ : adesempio se (X, τ) = (R, τε) e S = [0, 1] allora [0, 1/2) e un aperto di τS , manon e un aperto di τε.

Esempi 2.4. Alcuni esempi di sottospazi di (Rn, τε) di importanza notevole:

a) X = R, S = I := [0, 1], l’intervallo unitario.

b) X = Rn+1, S = Sn := {x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = 1}, la sfera di dimensione n.

c) X = Rn, S = Dn := {x ∈ Rn | ‖x‖ ≤ 1}, il disco (chiuso) di dimensione n.

Esempi 2.5. Vediamo ora alcuni esempi di omeomorfismi.

a) Due intervalli di R che includono gli estremi, con la topologia indotta dallatopologia euclidea, sono tra loro omeomorfi.

Infatti l’intervallo [a, b] e omeomorfo all’intervallo I mediante l’applicazio-ne f : [a, b] → [0, 1] definita da y = (x − a)/(b − a), che ha come inversag : [0, 1]→ [a, b] definita da x = y(b− a) + a. La tesi segue ora dal fatto chela composizione di omeomorfismi e un omeomorfismo.

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2. Costruire nuovi spazi topologici

b) Allo stesso modo due intervalli di R che non includono gli estremi, con latopologia indotta dalla topologia euclidea, sono tra loro omeomorfi.

c) Due semirette (−∞, a) e (−∞, b) con la topologia indotta da quella eucli-dea sono omeomorfe.

Per mostrare questo fatto e sufficiente considerare l’omeomorfismo f :(−∞, a)→ (−∞, b) definito ponendo f(x) = x+ (b− a).

d) Due semirette (−∞, a) e (b,+∞) con la topologia indotta da quella eucli-dea sono omeomorfe.

In questo caso un possibile omeomorfismo e dato da f : (−∞, a)→ (b,+∞)definita ponendo f(x) = −x+ (b+ a).

e) Gli intervalli di R che non includono gli estremi, con la topologia indottada quella euclidea, sono omeomorfi alle semirette prive dell’estremo conla topologia indotta da quella euclidea.

In virtu degli esempi precedenti basta mostrare che l’intervallo (0, 1) eomeomorfo alla semiretta (1,+∞), e cio si ottiene considerando l’omeo-morfismo f : (0, 1)→ (1,+∞) definito da f(x) = 1/x.

f) Gli intervalli di R che non includono gli estremi, con la topologia indottada quella euclidea, sono omeomorfi a R con la topologia euclidea.

Basta mostrare che l’intervallo (−π/2, π/2) e omeomorfo a R, e cio si ot-tiene considerando l’omeomorfismo f : (−π/2, π/2) → R dato da f(x) =tan(x).

g) Gli intervalli di R che non includono gli estremi, con la topologia indottada quella euclidea, non sono omeomorfi agli intervalli di R che includonogli estremi, con la topologia indotta da quella euclidea. Lo dimostreremopiu avanti, utilizzando la nozione di connessione (Cf. Esempio (3.43)).

h) La sfera n-dimensionale meno un punto con la topologia indotta da quellaeuclidea e omeomorfa a Rn con la topologia euclidea.

Scegliamo come punto il polo nord N = (0, 0, . . . , 0, 1) e definiamo un’ap-plicazione p : Sn \ {N} → Rn, detta proiezione stereografica.Tale applicazione associa a un punto P di Sn \ {N} ⊂ Rn+1 il punto dell’i-perpiano di equazione xn+1 = 0 ottenuto intersecando la retta per N e Pcon tale iperpiano.Le equazioni di p sono le seguenti:

p(x1, . . . , xn+1) =

(x1

1− xn+1

, . . . ,xn

1− xn+1

).

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2.2. Prodotti e topologia prodotto

L’inversa di p, p−1 : Rn → Sn \ {N} e data da

p−1(y1, . . . , yn) =

(2y1

1 +∑y2i

, . . . ,2yn

1 +∑y2i

,

∑y2i − 1

1 +∑y2i

)E’ semplice verificare che p e la sua inversa sono applicazioni continue chedanno quindi l’omeomorfismo cercato.

Esercizio 2.6. Sia X l’insieme [0, 1] ∪ {2} con la topologia che ha come base gliaperti della topologia indotta da quella euclidea su [0, 1] e gli insiemi della forma(a, 1) ∪ {2} con a ∈ [0, 1). Si consideri l’applicazione f : [−1, 1] → X definitaponendo

f(x) =

{|x| x 6= 1

2 x = 1

Si stabilisca se tale applicazione e continua quando [−1, 1] ha rispettivamente latopologia grossolana, la topologia cofinita, la topologia euclidea o la topologia di-screta.

2.2 PRODOTTI E TOPOLOGIA PRODOTTO

Siano (X, τX) e (Y, τY ) due spazi topologici.

Definizione 2.7. La topologia prodotto τX×Y su X × Y e la topologia su X × Y cheha come base BX×Y = {UX ×VY | UX ∈ τX , VY ∈ τY }. Un aperto della base vienedetto aperto elementare della topologia prodotto.

Esempio 2.8. Siano (X, τX) = (Y, τY ) = (R, τε); allora per il criterio di equivalen-za delle basi, la topologia prodotto su R2 e la topologia euclidea.

Dato uno spazio prodotto X × Y , sono naturalmente definite due applicazioni,πX : X × Y → X , tale che πX(x, y) = x e πY : X × Y → Y , tale che πY (x, y) = y,dette proiezioni sui fattori.

X × YπX

{{wwwwwwwwwπY

##GGGGGGGGG

X Y

Le proiezioni sui fattori sono applicazioni continue, anzi, la topologia prodottoe la topologia meno fine che rende continue le proiezioni.

Osservazione 2.9. Le proiezioni sono applicazioni aperte.

Dimostrazione. Sia A un aperto di X × Y ; tale insieme si puo scrivere comeunione di aperti elementari:

A =⋃i∈I

(Ui × Vi),

13


ove gli Ui sono aperti di X e i Vi sono aperti di Y ; si ha pertanto πX(A) = ∪i∈IUie πY (A) = ∪i∈IVi.

Esempio 2.10. In generale le proiezioni non sono applicazioni chiuse: in R2 conla topologia euclidea si consideri l’insieme C costituito dai punti dell’iperboleequilatera di equazione xy = 1; tale insieme e chiuso in quanto immagine in-versa dell’insieme chiuso costituito dal punto 1 tramite l’applicazione continuaf : R2 → R cosı definita: f(x, y) = xy. L’immagine di C tramite la proiezione πXe R \ {0}, che non e un insieme chiuso di (R, τε).

Proposizione 2.11. Siano (X, τX) e (Y, τY ) due spazi topologici e sia (X×Y, τX×Y ) lospazio prodotto. Allora ∀y ∈ Y lo spazio topologico X × {y}, con la topologia indotta,e omeomorfo ad X .

y

X

Y

W

Dimostrazione. Sia i : X ×{y} → X × Yl’inclusione, e sia f : X × {y} → X definitaponendo f(x, y) = x; e immediato verifica-re che f = πX ◦ i e che f e biunivoca.Inoltre f e continua perche composizionedi applicazioni continue; per provarequindi che f e un omeomorfismo resta damostrare che f e aperta.

Un aperto W ′ di X × {y} e intersezione di un aperto W di X × Y con X × {y}quindi, essendo un aperto del prodotto unione di aperti elementari, possiamoscrivere

W ′ = (⋃j∈J

(Uj × Vj)) ∩ (X × {y});

quindi W =⋃j∈J ′(Uj × {y}) dove J ′ = {j ∈ J | y ∈ Vj}. Si ha pertanto che

f(W ′) =⋃j∈J ′ Uj e quindi f e aperta.

La seguente proposizione fornisce un criterio per stabilire se un’applicazione avalori in uno spazio prodotto e continua

Proposizione 2.12. (Proprieta universale dei prodotti) Sia Z uno spazio topologico ef : Z → X, g : Z → Y due applicazioni. Sia h : Z → X × Y l’applicazione definita dah(z) = (f(z), g(z)). Allora h e continua se e solo se f e g sono continue.

Dimostrazione. ⇒) Possiamo rappresentare la situazione col seguente dia-gramma commutativo:

Y

Z

g??~~~~~~~~

f ��@@@

@@@@

@h // X × Y

πY

ccHHHHHHHHH

πX{{vv

vvvv

vvv

X

14

2.2. Prodotti e topologia prodotto

Dal fatto che f = πX ◦ h e g = πY ◦ h segue la tesi, perche le proiezioni sonoapplicazioni continue.

⇐) Poiche gli aperti elementari costituiscono una base per la topologia pro-dotto e sufficiente mostrare che l’immagine inversa di un aperto elementare eun aperto di Z.

h−1(U × V ) = {z ∈ Z | h(z) = (f(z), g(z)) ∈ U × V } =

= {z ∈ Z | f(z) ∈ U, g(z) ∈ V } = f−1(U) ∩ g−1(V ),

e la tesi segue percio dalla continuita di f e g.

Esercizio 2.13. Siano (X, τX) = (R, τε) e (Y, τY ) = (R, τc) e sia X × Y lo spazioprodotto. Si determinino l’interno, la chiusura e la frontiera del sottoinsieme Q =[0, 1]× [0, 1] ⊂ X × Y .

Esercizio 2.14. Sia (X, τX) lo spazio topologico R con la topologia che ha per basei sottoinsiemi del tipo [a, b) con a < b ∈ R e sia Z lo spazio prodotto (X, τX) ×(X, τX). Qual e la topologia indotta dalla topologia prodotto sui sottoinsiemi T1 ={(x, x) |x ∈ R} e T2 = {(x,−x) |x ∈ R}?

Definizione 2.15. Sia f : X → Y un’applicazione; il grafico di f e l’insieme Γf ={(x, y) ∈ X × Y | f(x) = y} = {(x, f(x)) |x ∈ X}.

Esercizio 2.16. Sia f : X → Y un’applicazione continua. Dimostrare che ilgrafico Γf e omeomorfo a X.

15


2.3 QUOZIENTI E TOPOLOGIA QUOZIENTE

Definizione 2.17. Sia f : X → Y un’applicazione suriettiva da uno spazio to-pologico X su un insieme Y . La topologia piu fine su Y che rende f continua edetta topologia quoziente. E’ costituita dai sottoinsiemi

τf = {U ⊂ Y | f−1(U) e aperto inX}

Osservazione 2.18. Avere un’applicazione suriettiva tra insiemi f : X → Y eequivalente ad avere una relazione di equivalenza ∼f nell’insieme X cosı defi-nita: x ∼f x′ se e solo se f(x) = f(x′). L’insieme Y e l’insieme quoziente rispettoa tale relazione, e f e la proiezione sul quoziente.

Definizione 2.19. Sia f : X → Y un’applicazione suriettiva di insiemi. L’insiemef−1(f(A)) e detto saturazione di A. Un sottoinsieme A ⊂ X si dice saturo secoincide con la sua saturazione.

SeX e uno spazio topologico e Y ha la topologia quoziente per trovare gli apertidi Y e sufficiente trovare gli aperti saturi di X :

Proposizione 2.20. Sia (X, τX) uno spazio topologico, f : X → Y un’applicazionesuriettiva e si doti Y della topologia quoziente τf . Allora gli aperti di τf sono tutte e solele immagini degli aperti saturi di X .

Dimostrazione. Sia S l’insieme degli aperti saturi di X . Possiamo definireun’applicazione tra insiemi ϕ : S → τf che ad ogni aperto saturo A di X associaf(A); infatti f−1(f(A)) = A e quindi f(A) e un aperto di Y .Viceversa possiamo definire un’applicazione ψ : τf → S che associa ad un aper-to B di τf la sua controimmagine f−1(B). Tale sottoinsieme e aperto perche B loe ed e saturo perche f(f−1(B)) = B e quindi f−1(f(f−1(B))) = f−1(B).E’ immediato verificare che le due applicazioni sopra definite sono l’inversal’una dell’altra e quindi stabiliscono la corrispondenza biunivoca cercata.

Corollario 2.21. Sia (X, τX) uno spazio topologico, f : X → Y un’applicazione su-riettiva e si doti Y della topologia quoziente τf .L’applicazione f e aperta (rispettivamente chiusa) se e solo se la saturazione di ognisottoinsieme aperto (risp. chiuso) e un sottoinsieme aperto (risp. chiuso).

Dimostrazione. ⇒) Se f e aperta, allora per ogni U ∈ τX si ha che f(U) ∈ τf , equindi f−1(f(U)) ∈ τX per definizione di topologia quoziente.⇐) Per ipotesi per ogni U ∈ τX si ha che f−1(f(U)) ∈ τX . Quindi f(U) ∈ τf perdefinizione di topologia quoziente.

Esempi 2.22. Una particolare tipologia di spazi quoziente si ottiene mediantecontrazione ad un punto di un sottoinsieme: dato un sottoinsieme A ⊂ X sidefinisce la relazione di equivalenza ∼A in questo modo:

x ∼A x′ ⇔

{x = x′

x, x′ ∈ A

16

2.3. Quozienti e topologia quoziente

Denoteremo solitamente lo spazio quoziente X/∼A con X/A.

In questo caso la saturazione di un sottoinsieme U ⊂ X e di due tipi possibili:

f−1(f(U)) =

{U U ∩ A = ∅U ∪ A U ∩ A 6= ∅

In particolare, per il corollario precedente, se A e un insieme aperto allora f eun’applicazione aperta, mentre, se A e un insieme chiuso allora f e un’applica-zione chiusa. I sottoinsiemi saturi sono quelli che non tagliano il sottoinsieme Ae quelli che lo contengono.

Nei due esempi successivi vediamo la contrazione a un punto di un sottoinsie-me chiuso e di un sottoinsieme aperto. Notiamo che nel primo caso il puntof(A) non e un aperto, mentre nel secondo caso lo e.

a) X = R, A = [−1, 1].

b) X = R, A = (−1, 1).

Notiamo anche, perche sara utile in seguito, che, nel secondo caso, ogni aper-to del quoziente che contiene il punto f(−1) - essendo immagine di un apertosaturo che contiene A perche ogni aperto che contiene −1 ha intersezione nonvuota con A - contiene anche f(A).

Esempio 2.23. Sia X = R× [0, 1] lo spazio prodotto tra R con la topologia eucli-dea e [0, 1] con la topologia euclidea. Si consideri su X la relazione di equivalen-za ∼ cosı definita: (x, y) ∼ (x′, y′) se e solo se (x, y) = (x′, y′) oppure y = y′ 6= 0 esia Y lo spazio quoziente X/∼.

X Y

Sia f : X → Y la proiezione naturale, e sia A ⊂ X un sottoinsieme.Per tener conto del diverso comportamento della relazione di equivalenza suR× {0} e su R× (0, 1] scriviamo

f(A) = (f(A) ∩ f(R× {0})) ∪ (f(A) ∩ f(R× (0, 1]));

pertantof−1(f(A)) = (A ∩ (R× {0})) ∪ (R× (π(A) ∩ (0, 1])),

dove π : X → [0, 1] e la proiezione sul secondo fattore.

17


Y

f(A)

X

A

X

f (f(A))−1

I sottoinsiemi saturi sono quindi quelli della forma A = A1 ∪ A2 dove A1 ⊂R× {0} e A2 = R×B2 con B2 ⊂ (0, 1].Se A e un insieme aperto, allora A1 dev’essere un aperto di R× {0}.Se A1 = ∅ allora, poiche π e una mappa aperta, π(A) = B2 dev’essere un apertodi [0, 1].Se invece A1 6= ∅, allora, π(A) = {0} ∪ B2 dev’essere un aperto di [0, 1] e questoimplica che B2 e un aperto di [0, 1] e che {0} ∈ B2.La condizione e anche sufficiente, poiche, seA1 e un aperto non vuoto di R×{0}e {0} ∪B2 e un aperto di [0, 1] allora

A = A1 ∪B2 × R = (A1 × ({0} ∪B2)) ∪ (R×B2)

e aperto perche unione di aperti.Gli aperti di Y sono immagini degli aperti saturi di X , e quindi sono del tipof(A1)∪ f(R×B2), con A1 aperto di R×{0} e B2 aperto di [0, 1] tale che {0} ∈ B2

oppure del tipo f(R×B2), con B2 aperto di (0, 1].

Proposizione 2.24. (Proprieta universale del quoziente) Sia f : X → Y un’applica-zione suriettiva di spazi topologici tale che Y abbia la topologia quoziente rispetto ad f ;sia poi g : Y → Z un’applicazione tra spazi topologici.Allora g ◦ f e continua se e solo se g e continua.

Dimostrazione. Se g e continua allora g ◦ f e continua perche composizione diapplicazioni continue.Viceversa supponiamo che g ◦ f sia continua. Sia V un aperto di Z; dobbiamodimostrare che g−1(V ) e aperto in Y ; sappiamo che f−1(g−1(V )) e aperto in Xper la continuita di g ◦ f ; ricordando che un sottoinsieme di Y e un aperto dellatopologia quoziente se e solo se la sua controimmagine tramite f e un apertootteniamo la tesi.

Proposizione 2.25. (Omeomorfismi di quozienti) Sia f : X → Y un omeomorfismo;siano ∼X e ∼Y relazioni di equivalenza in X e in Y . Se ∀x, x′ ∈ X x ∼X x′ ⇐⇒f(x) ∼Y f(x′) allora X/∼X ' Y/∼Y .

18


Dimostrazione. Consideriamo il seguente diagramma

X

πX

��

f // Y

πY

��X/∼X F // Y/∼Y

e definiamo F : X/∼X → Y/∼Y in questo modo: F ([x]) = [f(x)].L’applicazione F e ben definita: se x′ ∼X x si ha che f(x) ∼Y f(x′) e quindiF ([x′]) = [f(x′)] = [f(x)].L’applicazione F e continua per la proprieta universale del quoziente; infattiF ◦ πX e continua, essendo F ◦ πX = πY ◦ f e quest’ultima applicazione e conti-nua in quanto composizione di applicazioni continue.L’applicazione F e iniettiva; infatti F ([x]) = F ([x′]) ⇔ [f(x)] = [f(x′)] ⇔f(x) ∼Y f(x′)⇔ x ∼X x′ ⇔ [x] = [x′].L’applicazione F e suriettiva perche f lo e: preso [y] ∈ Y/∼Y sappiamo che esistex ∈ X tale che f(x) = y per la suriettivita di f , e abbiamo F ([x]) = [f(x)] = [y].L’applicazione inversa F−1 e continua per la proprieta universale del quoziente(F−1 ◦ πY = πX ◦ f−1 e continua).

Osservazione 2.26. Questa proposizione giustifica il procedimento di “taglia eincolla” che vedremo piu avanti.

Definizione 2.27. Sia X un insieme e ∼ una relazione d’equivalenza su X .Sia poi f : X → Y un’applicazione. Si dice che l’aplicazione f passa al quozientese ∀x, x′ ∈ X x ∼X x′ ⇒ f(x) ∼Y f(x′).

Definizione 2.28. Siano (X, x0) e (Y, y0) due spazi topologici in cui e stato sceltoun punto, detto punto base; l’unione a un punto di questi due spazi e lo spaziotopologico (X, x0)∨ (Y, y0) = (X tY )/∼ dove∼ e la relazione d’equivalenza cheidentifica ogni punto con se stesso e x0 con y0.

Esempi 2.29.

a) X = I, A = {0, 1}; allora I /A ' S1; per provarlo, consideriamo l’applica-zione e : I → S1, che manda t in (cos 2πt, sin 2πt); tale applicazione passaal quoziente, e pertanto risulta definita un’applicazione g : I /A → S1 chefa commutare il diagramma

I

f

��

e // S1

I /A

g

==|||||||||||

E’ immediato verificare che g e biunivoca; g e continua per la proprietauniversale del quoziente; la continuita di g−1 seguira dal Corollario (3.26).

19


b) X = I, A = {0, 1/2, 1}; allora I /A ' S1 ∨ S1.Sia Y ⊂ R2 il sottospazio di R2 omeomorfo a S1 ∨ S1 costituito dallecirconferenze di raggio uno e centro (0, 1) e (0,−1):

Y = {(x, y) ∈ R2 |x2 + (y − 1)2 = 1 oppure x2 + (y + 1)2 = 1}.

Consideriamo l’applicazione e : I→ Y cosı definita:

e(t) =

{(sin(4πt),− cos(4πt) + 1) t ∈ [0, 1/2]

(sin(4πt), cos(4πt)− 1) t ∈ [1/2, 1].

Tale applicazione e ben definita e passa al quoziente perche tutti i punti diA sono mandati nell’ origine di R2 e pertanto risulta definita un’applica-zione g : I /A→ S1 ∨ S1 che fa commutare il diagramma

I

f

��

e // S1 ∨ S1

I /A

g

;;wwwwwwwwwwww


c) X = S1 × I, A = S1 × {1}; X/A ' D2.Consideriamo l’applicazione p : S1 × I→ D2, che manda (x, t) in (1− t)x;tale applicazione passa al quoziente perche tutti i punti di A sono man-dati nello stesso punto di D2 e pertanto risulta definita un’applicazione

20


g : (S1 × I)/A→ D2 che fa commutare il diagramma

S1 × I

f

��

p //D2

(S1 × I)/A

g

::uuuuuuuuuuuuu


d) SiaX = S1×I e consideriamo la relazione di equivalenza∼ tale che (x, 0) ∼(x′, 0) e (x, 1) ∼ (x′, 1). Lo spazio quoziente X/∼ e omeomorfo a S2.La mappa da considerare in questo caso e: p : S1 × I→ S2 cosı definita

p(x, t) =

{(2tx,−

√1− 4t2) t ∈ [0, 1/2]

(2(1− t)x,√

1− 4(1− t)2) t ∈ [1/2, 1].

Si noti che in questo esempio il passaggio al quoziente non e la contrazionea un punto di un sottoinsieme.

Esempi 2.30. Relazioni d’equivalenza in X = I× I ⊂ R2

a) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

{(x, y) = (x′, y′)

{x, x′} = {0, 1} e y = y′;

si puo dimostrare che lo spazio quoziente e omeomorfo a S1 × I ⊂ R3 conla topologia indotta da quella euclidea. Si tratta cioe di un cilindro.

21


b) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

{(x, y) = (x′, y′)

{x, x′} = {0, 1} e y = 1− y′;

lo spazio quoziente rispetto a tale relazione di equivalenza e detto Nastrodi Moebius.

c) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

(x, y) = (x′, y′)

{x, x′} = {0, 1} e y = y′

{y, y′} = {0, 1} e x = x′;

lo spazio quoziente rispetto a tale relazione di equivalenza e detto Toro; sipuo dimostrare che tale spazio e omeomorfo al prodotto S1 × S1.

a

P P

QQ

a a

P P

P P

a a

b

bP

PQ

Q

a

MOEBIUS

CILINDRO TORONASTRO DI

d) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

(x, y) = (x′, y′)

{x, x′} = {0, 1} e y = 1− y′

{y, y′} = {0, 1} e x = x′;

lo spazio quoziente rispetto a tale relazione di equivalenza e detto Bottigliadi Klein.

e) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

(x, y) = (x′, y′)

{x, x′} = {0, 1} e y = 1− y′

{y, y′} = {0, 1} e x = 1− x′;

vedremo che lo spazio quoziente rispetto a tale relazione di equivalenza eomeomorfo al piano proiettivo reale RP2.

22

2.4. Lo spazio proiettivo reale RPn

f) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ in I× I tale che

(x, y) ∼ (x′, y′)⇔

{(x, y) = (x′, y′)

(x, y) = (y′, x′) e (x, y) ∈ ∂(I× I);

si puo dimostrare che lo spazio quoziente e omeomorfo alla sfera S2.

a b

ab

b

Q

Q

b

b PP RQ

Q

b

a

P

a

PP

aa

P

P

SFERA

REALE

BOTTIGLIA

DI KLEIN

PIANO PROIETTIVO

Osservazione 2.31. Gli ultimi due spazi (il piano proiettivo reale e la sfera) pos-sono essere visti anche come quozienti di D2 (anzi, questo e il modo con cuisolitamente vengono rappresentati come quozienti):

a

aa

a

QPP P

2.4 LO SPAZIO PROIETTIVO REALE RPN

Consideriamo lo spazio topologico dato da Rn+1 \ {0} con la topologia indottada quella euclidea e in tale spazio consideriamo la relazione d’equivalenza ∼definita in questo modo: ∀ v,w ∈ Rn+1 \ {0},

v ∼ w ⇔ v = λw, λ ∈ R∗ ⇔

v1

v2

. . .vn+1

=

λw1

λw2

. . .λwn+1

, λ ∈ R∗

23


L’insieme quoziente viene denotato con

RPn :=Rn+1 \ {0}∼

;

denotiamo con π la proiezione naturale

π : Rn+1 \ {0} → RPn.

Definizione 2.32. L’insieme RPn dotato della topologia quoziente rispetto allaproiezione naturale π e detto spazio proiettivo reale n-dimensionale.

Vediamo nel dettaglio alcuni casi particolari di spazio proiettivo reale: la rettaproiettiva reale e il piano proiettivo reale.

Consideriamo il caso n = 1; lo spazio vettoriale da quozientare e R2; in questocaso avremo la retta proiettiva reale.Vogliamo costruire un modello di RP1, ossia uno spazio topologico che sia omeo-morfo a RP1; in pratica costruiremo un insieme che sia in corrispondenza biuni-voca con RP1 e lo doteremo della topologia indotta dalla biiezione (gli aperti delmodello saranno i sottoinsiemi che corrispondono agli aperti di RP1) in modoche la biiezione sia l’omeomorfismo cercato.Ad ogni punto di R2 diverso da 0 associamo la retta che passa per quel puntoe per 0. Tutti i punti di una di queste rette appartengono a un’unica classe diequivalenza della relazione ∼ e viceversa una classe di equivalenza individuaun’unica retta per l’origine di R2.

2

O

R

l

r

C’e una corrispondenza biunivoca tra

{punti di RP1} ←→ {rette di R2 passanti per 0 };

inoltre la proiezione naturale π associa ad ogni punto di R2 \ {0} la retta di R2

che passa per 0 e per quel punto.A cosa corrispondono gli aperti di RP1? Per definizione di topologia quoziente,un aperto di RP1 e un sottoinsieme di RP1 formato da classi di equivalenza di ∼la cui controimmagine tramite π e aperto in R2 rispetto alla topologia euclidea:

U ⊂ RP1 e aperto ⇔ π−1(U) ⊂ R2 \ {0} e aperto.

24


Usando la biiezione sopra citata, abbiamo che un aperto di RP1 e un insieme dirette di R2 per 0 i cui punti formano un aperto di R2 con la topologia euclidea.

O

2R

Consideriamo ora la circonferenza S1. Ogni retta di R2 per 0 taglia la circon-ferenza in due punti diametralmente opposti (antipodali) e viceversa, data unacoppia di punti diametralmente opposti sulla circonferenza, essa individua un’u-nica retta di R2 per 0.

R

B

B

A

A

O

2r

l

C’e dunque una corrispondenza biunivoca

{punti di RP1} ←→ {coppie di punti diametralmente opposti su S1}

e quindi abbiamo un altro modello di RP1.A cosa corrispondono gli aperti di RP1 in questo modello? Essi sono intersezionidi aperti del modello di RP1 dato dal fascio di rette con S1; vediamo in figura unelemento della base degli aperti di questo modello di RP1.

25


O

2R

Consideriamo ora solo la semicirconferenza nel semipiano {y ≥ 0}; tutte le rettedi R2 per 0 tranne la retta orizzontale tagliano la semicirconferenza in un solopunto, mentre la retta orizzontale la taglia nei due punti con ordinata nulla.

A

B l

A

R2

O

Un altro modello di RP1 e dunque dato dalla semicirconferenza con i due estre-mi A identificati.A cosa corrispondono gli aperti di RP1 in questo nuovo modello? Ci sono duetipi diversi di elementi della base della topologia: quelli che contengono il puntoA e quelli che non lo contengono. Entrambi i tipi di aperti sono, come nel casoprecedente, intersezioni di aperti di RP1 con la semicirconferenza; li vediamorappresentati entrambi in figura.

2

11A

R2

O

A

Questo modello di RP1 e dunque omeomorfo allo spazio quoziente dato da Icon gli estremi identificati e quindi e omeomorfo a S1.

26


A

1

11

2

2

A A

=

Torniamo al modello della retta proiettiva dato dal fascio di rette di R2 per 0 econsideriamo la retta y = 1 (omeomorfa a R1)

s

R

l

r2

O

Ogni retta del fascio, tranne quella orizzontale, interseca la retta y = 1 in unpunto; la retta orizzontale invece non ha intersezione con la retta y = 1.Dal punto di vista insiemistico, abbiamo che RP1 si ottiene da R aggiungendoun punto, che e detto punto all’infinito: RP1 = R ∪ {∞}.Inoltre, dal punto di vista topologico RP1 \ {∞} e omeomorfo a R.

Consideriamo ora il caso n = 2; lo spazio vettoriale da quozientare e dunqueR3; in questo caso otterremo il piano proiettivo reale. Anche per RP2 vogliamocostruire un modello.Come nel caso della retta proiettiva, c’e una biiezione

RP2 ←→ {rette di R3 passanti per 0};

inoltre la proiezione naturale π associa ad ogni punto di R3 \ {0} la retta di R3

per 0 che passa per quel punto.

27


r

O

R3

l

Gli aperti di RP2 sono gli insiemi di rette di R3 per 0 i cui punti formano unsottoinsieme aperto di R3 nella topologia euclidea.

O

3R

Scegliamo in R3 la sfera S2 di centro 0 e raggio 1

S2 : x2 + y2 + z2 = 1.

Ogni retta per 0 taglia la sfera in due punti antipodali e viceversa, data unacoppia di punti antipodali sulla sfera, essa individua un’unica retta di R3 per 0.

28


A

A

O

3R

l

Quindi un’altro modello di RP2 e dato dalle coppie di punti antipodali su unasuperficie sferica.Una base per gli aperti in questo modello di RP2 e formata dalle coppie dicalotte sferiche aperte antipodali, che sono intersezioni degli aperti nel modelloprecedente con la sfera S2.

3

O

R

Consideriamo ora solo l’emisfero Nord, equatore compreso: le rette di R3 per 0,tranne quelle che passano per la circonferenza equatoriale, tagliano l’emisferoin un solo punto, mentre quelle che passano per l’equatore lo tagliano in unacoppia di punti diametralmente opposti.

29


A

l

3

B

B

O

R

Proiettando l’emisfero sul piano z = 0, otteniamo il disco centrato nell’originee di raggio uno. Assumendo che i punti diametralmente opposti della circonfe-renza che costituisce il bordo di tale disco individuino lo stesso punto, abbiamoun nuovo modello di RP2, come disco con una opportuna identificazione sulbordo.

A

A

2

2

1

Gli aperti che non intersecano il bordo del disco sono gli stessi della topologiaeuclidea, mentre quelli che intersecano il bordo sono come in figura.

Torniamo al modello di piano proiettivo come stella di rette di R3 per 0, econsideriamo il piano Π di equazione z = 1 (che e omeomorfo a R2).

O

Π

3R

30


Ogni retta della stella, che non giace sul piano z = 0, taglia Π in un punto,mentre le rette sul piano z = 0 non hanno intersezione con Π.Quindi RP2 meno un fascio di rette e in corrispondenza biunivoca con R2 (inrealta questa corrispondenza biunivoca e un omeomorfismo, se su R2 prendia-mo la topologia euclidea).Dunque, insiemisticamente RP2 e un R2 a cui sono stati aggiunti dei punti checorrispondono alle rette di un fascio di rette, e cioe un RP1.

31

Capitolo 3

Proprieta topologiche

Definizione 3.1. Una proprieta P e invariante per omeomorfismi se ogniqual-volta uno spazio topologico X ha la proprieta P , allora ogni spazio topologicoomeomorfo a X ha la proprieta P . Una proprieta invariante per omeomorfismie detta proprieta topologica.

3.1 SPAZI COMPATTI

Definizione 3.2. Sia X uno spazio topologico; un ricoprimento aperto di X e unafamiglia di aperti U = {Ui}i∈I tale che X ⊂

⋃i∈I Ui.

Definizione 3.3. Sia U = {Ui}i∈I un ricoprimento di X ; V = {Uj}j∈J con J ⊆ I eun sottoricoprimento di U se V e ancora un ricoprimento di X .

Definizione 3.4. Uno spazio topologico X si dice compatto se e solo se per ogniricoprimento aperto U e possibile trovare un sottoricoprimento V costituito daun numero finito di elementi.

Esempi 3.5.

a) Uno spazio topologico in cui l’insieme degli aperti e finito e compatto.

L’asserto segue dal fatto che ogni ricoprimento aperto e finito.In particolare un insieme finito e compatto con qualsiasi topologia e uninsieme qualsiasi con la topologia grossolana e compatto.

b) Un insieme infinito con la topologia discreta non e compatto.

Per dimostrarlo e sufficiente prendere come ricoprimento aperto diX quel-lo formato dai suoi punti. Per tale ricoprimento e evidentemente impossi-bile trovare un sottoricoprimento finito.

33

3. Proprieta topologiche

c) X qualsiasi con la topologia cofinita e compatto.

Sia U = {Ui}i∈I un ricoprimento di X , e sia U0 un aperto del ricoprimento.Il complementare di U0 e costituito da un numero finito di punti x1, . . . , xn.Si scelgano ora n aperti del ricoprimento, U1, . . . Un tali che xi ⊂ Ui.Gli aperti U0, U1, . . . , Un cosituiscono un ricoprimento finito di X che e unsottoricoprimento finito di U .

d) Rn con la topologia dei dischi non e compatto.

Sia U = Bn(0)n∈N; se tale ricoprimento possedesse un sottoricoprimen-to finito Bn1(0), . . . Bnk(0), allora, denotato con M il massimo degli ni sidovrebbe avere Rn ⊂ ∪iBni(0) = tBM(0), un’evidente contraddizione.

e) Lo spazio topologico X = [−1, 1], con la topologia dell’esempio (1.2) g) ecompatto.

Sia U un ricoprimento aperto di X . In tale ricoprimento deve esistere unaperto U0 che contiene il punto 0. Gli unici aperti che contengono il punto0 contengono l’intervallo (−1, 1), quindi, denotati con U−1 e U1 due apertidel ricoprimento che contengono il punto −1 e il punto 1 rispettivamente,gli aperti U0, U−1 e U1 costituiscono il sottoricoprimento finito cercato.

Proposizione 3.6. Sia f : X → Y un’applicazione continua, e sia X uno spaziocompatto. Allora f(X) e uno spazio compatto.

Dimostrazione. Sia V = {Vj}j∈J un ricoprimento aperto di f(X); allora U ={Uj := f−1(Vj)}j∈J e un ricoprimento aperto di X , poiche f e continua.Essendo X compatto, esiste un sottoricoprimento finito

{U1 = f−1(V1), . . . , Un = f−1(Vn)};

allora {V1, . . . , Vn} e un sottoricoprimento finito di V ; infatti, preso y ∈ f(X),esiste x tale che y = f(x) e x ∈ Uk per qualche k. Ne segue che y ∈ Vk, poichef(f−1(Vk)) ⊂ Vk.

Corollario 3.7. Siano τ e σ due topologie su X tali che τ � σ.Se (X, τ) e compatto allora (X, σ) e compatto (equivalentemente se (X, σ) non e com-patto allora (X, τ) non e compatto).

Dimostrazione. Basta considerare l’applicazione identica Id : (X, τ)→ (X, σ),che e continua in quanto τ � σ.

Corollario 3.8.

1. Il quoziente di uno spazio compatto e compatto.

34

3.1. Spazi compatti

2. La compattezza e una proprieta invariante per omeomorfismi.

Teorema 3.9. L’intervallo I = [0, 1] con la topologia indotta da quella euclidea e unospazio topologico compatto.

Dimostrazione. Sia U = {Uj}j∈J un ricoprimento aperto di [0, 1]. Denotiamocon S l’insieme dei k ∈ [0, 1] tali che esiste un sottoricoprimento finito di U checopre [0, k]. Tale insieme e non vuoto perche 0 ∈ S.Sia M := supS; sia UM un aperto del ricoprimento che contiene M . Tale apertocontiene un intervallo (M−ε,M+ε), per un opportuno ε > 0. PoicheM = supSsi ha che esiste un elemento kε di S contenuto in (M − ε,M).Lo spazio topologico [0, kε] e coperto da un numero finito di aperti di U . Aggiun-gendoUM a tali aperti, si prova che anche min{1,M+ ε

2} ∈ S. EssendoM = supS

segue necessariamente che M = 1, quindi esiste un sottoricoprimento finito diU che copre [0, 1].

Corollario 3.10.

1. Gli intervalli chiusi [a, b] sono compatti in quanto omeomorfi ad I.

2. S1 e compatto in quanto quoziente di I.

Teorema 3.11. X, Y sono spazi topologici compatti se e solo se X × Y e uno spaziotopologico compatto.

Dimostrazione. ⇐) Segue dal fatto che le proiezioni sui fattori sono applica-zioni continue.⇒) Sia U = {Wj}j∈J un ricoprimento aperto di X × Y ; ricordando che ogni Wj

e unione di aperti elementari Ujk × Vjk; otteniamo cosı un nuovo ricoprimentoaperto di X × Y , V = {Ujk × Vjk}j∈J,k∈K .

x

iV

Ux

Y

X

Per ogni x ∈ X il sottospazio {x} × Y ' Y e compatto, quindi esiste un sottori-coprimento finito di V che copre {x} × Y ; denotiamo gli aperti di tale sottorico-primento con {Ux

i × V xi }i=1,...,n, ricordando che Ux

i , Vxi sono particolari Ujk e Vjk.

35


Sia Ux =⋂ni=1 U

xi ; al variare di x ∈ X gli Ux costituiscono un ricoprimento aperto

diX , dal quale, per la compattezza diX e possibile estrarre un sottoricoprimen-to finito {Uxt}t=1,...,m.

x

xt

xt

iV U x

jk jkV

jWU x

La famiglia {Uxt × V xti }i=1,...,n t=1,...,m e un ricoprimento finito di X × Y ; per

un’opportuna scelta di j e di k si ha che

Uxt × V xti ⊂ Ujk × Vjk ⊂ Wj,

e quindi anche dal ricoprimento iniziale si puo estrarre un sottoricoprimentofinito.

Corollario 3.12. In e compatto, Rn non e compatto.

Proposizione 3.13. (Chiuso di Compatto) Un sottoinsieme chiuso C di uno spaziocompatto X e uno spazio compatto (con la topologia indotta).

Dimostrazione. Sia U = {Ui}i∈I un ricoprimento aperto di C; poiche C ha latopologia indotta, Ui = Vi ∩ C, con Vi aperto di X .V = {{Vi}i∈I , Cc} e un ricoprimento aperto di X ; poiche X e compatto e possibi-le estrarre un sottoricoprimento finito {V1, . . . , Vn, C

c}; allora {U1, . . . , Un} e unsottoricoprimento finito di U .

Corollario 3.14.

1. Sia C chiuso e limitato in Rn con la topologia euclidea. Allora C e compatto.

2. Sn,Dn sono compatti. RPn e compatto.

Dimostrazione. Se C e limitato, allora, per un a ∈ R opportuno C e contenutoin [−a, a]n, che e compatto perche omeomorfo a In, e si puo dunque applicare laProposizione (3.13).Gli spazi Sn e Dn sono quindi compatti perche chiusi e limitati di Rn+1 e di Rn,e RPn e compatto in quanto quoziente di Sn.

36

3.1. Spazi compatti

Esercizio 3.15. Sia R la retta reale con la topologia euclidea, e sia A = {a, b}un insieme formato da due elementi distinti con la topologia banale. Sia infineY = R× A lo spazio prodotto.Si considerino i seguenti sottoinsiemi di Y :

Z = ((−1, 1)× {a}) ∪ ([−2, 2]× {b}),

W = ((−1, 1)× {a}) ∪ ((−2, 2)× {b}),

e si stabilisca se Z e W sono compatti.

Esercizio 3.16. Sia I = [0, 1] l’intervallo unitario e sia X = I∪{∗}; si considerila topologia τ su X una cui base e formata dai sottoinsiemi U ⊂ I tali che U e unaperto della topologia indotta su I dalla topologia euclidea e dai sottoinsiemi V deltipo (a, 1) ∪ {∗}. Si stabilisca se (X, τ) e uno spazio topologico compatto.

Esistono altre nozioni di compattezza, oltre a quella da noi considerata, dettaanche compattezza per ricoprimenti; particolarmente importante e la compattezzaper successioni.

Definizione 3.17. Una successione {xn}n∈N si dice convergente al punto x ∈ X seper ogni intorno U di x esiste n0 ∈ N tale che xn ∈ U per ogni n ≥ n0.

Definizione 3.18. Uno spazio topologicoX si dice compatto per successioni se ognisuccessione ammette una sottosuccessione convergente.

Definizione 3.19. Uno spazio topologico X verifica il Primo assioma di numera-bilita se per ogni punto x ∈ X esiste una famiglia di intorni {Ux

n}n∈N con laproprieta che per ogni intorno V di x esiste n ∈ N tale che Ux

n ⊂ V . Una talefamiglia e detta sistema fondamentale di intorni per il punto x.

Definizione 3.20. Uno spazio topologico X verifica il Secondo assioma di numera-bilita se ammette una base numerabile per la topologia.

Esercizio 3.21. Mostrare che se uno spazio topologico verifica il secondo assiomadi numerabilita, allora verifica anche il primo.

Le due nozioni di compattezza non sono equivalenti: abbiamo che se X e com-patto per ricoprimenti e verifica il primo assioma di numerabilita allora X ecompatto per successioni, mentre il viceversa e vero se X verifica il secondo as-sioma di numerabilita.Un esempio di spazio che verifica i due assiomi e dato da Rn: preso x ∈ Rn unsistema fondamentale di intorni di x e dato dai dischi aperti centrati in x di rag-gio 1/n, mentre una base numerabile e data dai dischi aperti a centro razionalee raggio razionale.Per un approfondimento a riguardo delle diverse nozioni di compattezza siveda l’Appendice.

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3.2 SPAZI DI HAUSDORFF

Definizione 3.22. Uno spazio topologico X si dice di Hausdorff (o T2) se per ognicoppia di punti diversi x, y ∈ X esistono intorni Ux 3 x, Uy 3 y t.c. Ux ∩ Uy = ∅.

Esempi 3.23.

a) Uno spazio topologico con la topologia discreta e di Hausdorff.

Dati x 6= y e sufficiente prendere Ux = x e Uy = y.

b) (Rn, τε) e di Hausdorff.

Dati x 6= y ⊂ Rn, denotata con δ la distanza dei due punti δ = ||x − y||basta prendere Ux = Bδ/3(x) e Uy = Bδ/3(y).

c) Analogamente ogni spazio metrico, con la topologia indotta dalla metrica,e uno spazio di Hausdorff.

d) Uno spazio topologico con almeno due punti in cui non esistono due apertidisgiunti non e evidentemente di Hausdorff.

Di conseguenza uno spazio topologico con almeno due punti e la topo-logia grossolana, uno spazio infinito con la topologia cofinita, Rn con latopologia dei dischi e R con la topologia delle semirette non sono spazi diHausdorff.

e) Un sottospazio di uno spazio di Hausdorff e di Hausdorff.

SiaA ⊂ X il sottospazio; dati x 6= y inA esistono inX due intorni disgiuntiUx 3 x e Uy 3 y tali che Ux ∩ Uy = ∅. Gli insiemi Ux ∩ A e Uy ∩ A sono dueintorni aperti e disgiunti di x e y in A.

Esercizio 3.24. Stabilire se sono o meno di Hausdorff gli spazi topologici g) e h)degli esempi (1.2) e lo spazio topologico dell’esempio (2.23).

Proposizione 3.25. (Compatto di Hausdorff) Un sottoinsieme compatto K di uno spa-zio di Hausdorff X e un sottoinsieme chiuso.

Dimostrazione. Dimostriamo che Kc e aperto. Sia x un punto di Kc; per ognipunto y di K esistono un intorno Uy di x e un intorno Vy di y disgiunti.Al variare di y in K gli aperti Vy costituiscono un ricoprimento aperto di K, chee compatto, quindi esiste un sottoricoprimento finito Vy1 , . . . , Vyn .Sia U =

⋂i=1,...,n Uyi ; U e un aperto e U ∩ K = ∅, quindi x e contenuto in un

aperto contenuto in Kc, ed e quindi un punto interno a Kc.

Corollario 3.26. Sia f : X → Y un’applicazione continua e biunivoca. Se X ecompatto e Y e di Hausdorff allora f e un omeomorfismo.

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3.2. Spazi di Hausdorff

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che f−1 e continua, e cio e equivalentea mostrare che f e un’applicazione chiusa.Sia dunque C un chiuso di X ; C e chiuso in X compatto, e quindi C e compatto,per la proposizione (3.13).L’applicazione f e continua, e quindi f(C) e compatto in Y . Poiche Y e unospazio di Hausdorff, per la proposizione (3.25), f(C) e chiuso.

Corollario 3.27. (Confronta esempi (2.29 ) a), b), c)).

X A X/A

I 0, 1 S1

I 0, 1/2, 1 S1 ∨ S1

S1 × I S1 × {1} D2

Utilizzando la proposizione sui sottospazi compatti di spazi di Hausdorff siamoora in grado di dare la caratterizzazione dei sottospazi compatti di Rn.

Teorema 3.28. Un sottospazio K di Rn con la topologia euclidea e compatto se e solo see chiuso e limitato.

Dimostrazione. Abbiamo gia visto che i sottoinsiemi chiusi e limitati di Rn

sono compatti (Corollario (3.14)).La proposizione (3.25) ci dice che un sottospazio compatto di Rn e chiuso, inquanto Rn e di Hausdorff.Resta dunque da mostrare che un sottospazio K, compatto di Rn e limitato.Consideriamo il ricoprimento U = {Un = B0(n) ∩ K}n∈N di K costituito daidischi aperti di centro l’origine e di raggio naturale.poiche K e compatto, tale ricoprimento ammette un sottoricoprimento finito{Ui1 , . . . , Uim}; sia M il massimo dei raggi di Ui1 , . . . , Uim .Il sottospazio K e quindi contenuto in B0(M), ed e pertanto limitato.

Corollario 3.29. Sia f : X → R una funzione continua definita su uno spazio compat-to X ; allora f ammette massimo e minimo.

Dimostrazione. Poiche f e continua, f(X) e compatto in R, e quindi chiuso elimitato. Essendo f(X) limitato, esistono M = sup(f(X)) e m = inf(f(X)), edessendo f(X) chiuso M ed m sono massimo e minimo.

Osservazione 3.30. Sia f : X → Y un’applicazione continua, con X spazio diHausdorff; f(X) non e necessariamente uno spazio di Hausdorff. Ad esempiosiano (X,A) = (R, τε, (−1, 1)) (esempio (2.22) b)) e sia f : X → X/A la proiezio-ne sul quoziente.Abbiamo gia osservato che ogni aperto del quoziente che contiene il puntof(−1), essendo immagine di un aperto che contiene A, contiene anche f(A).Quindi X/A non e uno spazio di Hausdorff.

39


Diamo ora una condizione sufficiente perche un quoziente di uno spazio diHausdorff sia uno spazio di Hausdorff:

Proposizione 3.31. Sia X uno spazio topologico compatto e di Hausdorff, sia X/ ∼un suo quoziente e p : X → X/∼ la proiezione sul quoziente. Se p e un’applicazionechiusa, allora X/∼ e uno spazio (compatto) di Hausdorff.

Osservazione 3.32. Se X e uno spazio di Hausdorff e f : X → Y e un omeomor-fismo allora Y e uno spazio di Hausdorff.

Dimostrazione. Siano y1 e y2 due punti distinti di Y e siano x1 = f−1(y1), x2 =f−1(y2). Poiche X e uno spazio di Hausdorff esistono intorni aperti disgiuntiU1 3 x1 e U2 3 x2. Siano V1 = f(U1) e V2 = f(U2); V1 e V2 sono aperti e disgiuntiperche f e un omeomorfismo, e sono gli intorni cercati di y1 e y2.

Proposizione 3.33. X, Y sono spazi topologici di Hausdorff se e solo se X × Y e unospazio topologico di Hausdorff.

Dimostrazione. ⇐) Lo spazioX×{y} e di Hausdorff perche sottospazio di unospazio di Hausdorff, e quindi X e di Hausdorff perche omeomorfo a X × {y}.⇒) Siano (x1, y1) e (x2, y2) due punti di X × Y ; se x1 6= x2 allora esistono in Xintorni disgiunti U1 3 x1 e U2 3 x2, quindi U1×Y e U2×Y sono intorni disgiuntidi (x1, y1) e (x2, y2); se x1 = x2 si deve necessariamente avere y1 6= y2, e si ripetelo stesso ragionamento.

3.3 SPAZI CONNESSI

Definizione 3.34. Uno spazio topologico X e connesso se e solo se non esistonodue aperti disgiunti e non vuoti A,B ⊂ X tali che A ∪B = X .

Osservazione 3.35. X e connesso ⇐⇒ i soli sottoinsiemi contemporaneamenteaperti e chiusi di X sono ∅, X .


Esempi 3.36.

a) Uno spazio topologico X con la topologia discreta e connesso⇐⇒ ha unsolo elemento.

Sia x ∈ X ; poiche X ha la topologia discreta, {x} e {x}c sono aperti di-sgiunti la cui unione e X , quindi X e connesso se e solo se {x}c = ∅.Viceversa, se X ha un solo elemento x, allora gli unici aperti sono ∅ e X , equindi X e connesso.

40

3.3. Spazi connessi

b) Uno spazio topologico in cui non esistono due aperti disgiunti e evidente-mente connesso.

Di conseguenza uno spazio topologico con la topologia grossolana, unospazio infinito con la topologia cofinita, Rn con la topologia dei dischi e Rcon la topologia delle semirette sono spazi connessi.

c) Q con la topologia indotta da (R, τε) non e connesso.

Infatti possiamo scrivere Q = (Q ∩ (−∞,√

2)) ∪ (Q ∩ (√

2,∞)).

Esercizio 3.37. Stabilire se sono o meno connessi gli spazi topologici g) e h) degliesempi (1.2).

Proposizione 3.38. Sia f : X → Y un’applicazione continua, con X connesso. Alloraf(X) e connesso.

Dimostrazione.; Sia U ⊂ f(X) un sottoinsieme di f(X) che sia aperto, chiuso enon vuoto; poiche f(X) ha la topologia indotta da quella di Y possiamo scrivereU = A ∩ f(X) e U = C ∩ f(X) per opportuni sottoinsiemi A aperto di Y e Cchiuso di Y .Per tali insiemi si avra f−1(A) = f−1(C) e quindi, essendo f un’applicazionecontinua, W = f−1(A) = f−1(C) e aperto, chiuso e non vuoto in X , e quindi,essendo X connesso W = X e pertanto U = f(X).

Corollario 3.39.

1. La connessione e una proprieta invariante per omeomorfismi.

2. I quozienti di uno spazio topologico connesso sono spazi topologici connessi.

Teorema 3.40. L’intervallo [0, 1] con la topologia indotta da quella euclidea e connesso.

Dimostrazione. Per assurdo, siano A e B aperti non vuoti e disgiunti di I.Supponiamo, senza perdita di generalita, che 0 ∈ A e consideriamo

m = sup {a ∈ A | a < b ∀b ∈ B}.

I sottoinsiemi A e B sono anche chiusi, quindi m ∈ A; ma, per ogni ε > 0, in(m − ε,m + ε) cadono punti di B, altrimenti m non potrebbe essere l’estremosuperiore. Segue che m ∈ B, e quindi m ∈ B, giungendo all’assurdo m ∈A ∩B = ∅.

Corollario 3.41. Un sottospazio X di (R, τε) e connesso se e solo se, comunque presidue punti a, b di X con a < b si ha che [a, b] ⊂ X .

41


Dimostrazione. La condizione e chiaramente necessaria: se esistessero a, b cona < b che non verificano la condizione, basterebbe prendere c ∈ [a, b] ∩ Xc econsiderare A = (−∞, c) ∩ X e B = (c,+∞) ∩ X . Tali sottoinsiemi sarebberoaperti di X non vuoti e disgiunti.

Supponiamo ora che X verifichi la proprieta nell’enunciato e supponiamo, perassurdo, che non sia connesso. Siano A e B due aperti di X che lo sconnettono,e siano a ∈ A, b ∈ B. Allora A∩ [a, b] eB∩ [a, b] sono aperti, disgiunti e non vuotiin [a, b], ma [a, b] e connesso, in quanto omeomorfo a I.

Corollario 3.42. Tutti e soli i connessi di (R, τε) sono i punti, gli intervalli, le semirettee R stesso.

Esempio 3.43. Possiamo ora mostrare che l’intervallo [0, 1], con la topologia in-dotta da quella euclidea, non e omeomorfo all’intervallo (0, 1), con la topologiaindotta da quella euclidea.

Per assurdo, supponiamo che f : [0, 1] → (0, 1) sia un omeomorfismo; allora larestrizione di f a [0, 1] \ {0} sarebbe un omeomorfismo tra (0, 1] e (0, 1) \ {f(0)},ma (0, 1] e connesso, mentre (0, 1) \ {f(0)} non lo e.

L’unione di due insiemi connessi non e necessariamente connessa (si prendanodue intervalli aperti e disgiunti in R con la topologia euclidea); la prossima pro-posizione fornisce delle condizioni sufficienti affinche l’unione di connessi siaconnessa:

Proposizione 3.44. Sia {Yi}i∈I una famiglia di sottoinsiemi di X , con la topologiaindotta, tale che Yi e connesso per ogni i ∈ I .

1. Se⋂

i∈I Yi 6= ∅ allora Y =⋃

i∈I Yi e connesso.

2. Se esiste j ∈ I tale che Yi ∩ Yj 6= ∅ ∀i ∈ I , allora⋃

i∈I Yi e connesso.

��

��

Dimostrazione. Mostriamo la parte 1). Sia U ⊂ Y un sottoinsieme aperto,chiuso e non vuoto; tale sottoinsieme deve avere intersezione non vuota con Ykper qualche k ∈ I , e quindi U ∩ Yk e non vuoto, aperto e chiuso in Yk. Poiche Yke connesso si ha U ∩ Yk = Yk.Essendo l’intersezione degli Yi non vuota, si ha che U ∩ Yk 6= ∅ per ogni k ∈ I , esi ripete la dimostrazione precedente.Per provare la seconda parte dell’asserto consideriamo i sottoinsiemi Zi = Yi ∪

42

3.3. Spazi connessi

Yj , che sono connessi per il punto 1).Possiamo scrivere Y =

⋃i∈I Zi e, poiche

⋂Zi ⊇ Yj 6= ∅ e possibile applicare la

parte 1) e ottenere la tesi.

Corollario 3.45. Dn e connesso ∀n ≥ 0; Sn e Rn+1\{0} sono connessi per n ≥ 1.

Dimostrazione. Il disco puo essere visto come unione dei suoi diametri, omeo-morfi ad intervalli di R e quindi connessi, la sfera Sn come unione di due emi-sferi, omeomorfi a Dn e Rn+1\{0} come unione di Sn e delle rette per l’origine.Si applica quindi la proposizione sull’unione di connessi.

Corollario 3.46. RPn e connesso.

Proposizione 3.47. X, Y sono connessi⇐⇒ X × Y e connesso.

Dimostrazione. ⇐) Segue dal fatto che le proie-zioni sono applicazioni continue.⇒) Sia Ax,y = (X × {y}) ∪ ({x} × Y ). I sottospaziX × {y} e {x} × Y sono connessi in quanto omeo-morfi a X e Y rispettivamente e la loro intersezionenon e vuota. Quindi Ax,y e connesso per la parte 1)della Proposizione (3.44).Possiamo vedere lo spazio prodotto come unionedi sottospazi di questo tipo a intersezione non vuo-ta: fissato y ∈ Y si ha X × Y =

⋃x∈X Ax,y; X × Y

e dunque connesso, ancora per la parte 1) dellaproposizione precedente. X

Y

x,yA

(x,y)

Corollario 3.48. Rn e In sono spazi topologici connessi, i quozienti di I2 sono connessi.

Un utile strumento per stabilire se un sottoinsieme e connesso e dato dallaseguente

Proposizione 3.49. (Chiusura di connessi) Sia X uno spazio topologico, A ⊂ X unsottoinsieme connesso e Y un sottoinsieme di X tale che A ⊂ Y ⊂ A. Allora Y econnesso.

Dimostrazione. Sia U ⊂ Y un sottoinsieme aperto, chiuso e non vuoto e siay ∈ U un suo punto. Tale punto appartiene ad A ed U e un suo intorno, quindiU ∩ A 6= ∅.L’insieme U ∩ A e dunque non vuoto, aperto e chiuso in A; quindi, essendo Aconnesso, U ∩ A = A, cioe A ⊂ U .Il complementare di U in Y e aperto e chiuso; se fosse non vuoto, con ragio-namento analogo al precedente si potrebbe provare che A ⊂ U c, un’evidentecontraddizione. Segue quindi che U c = ∅ e U = Y .

43


Definizione 3.50. Sia X uno spazio topologico e x, y ∈ X ; diciamo che x e con-nesso ad y se esiste un sottospazio connesso D ⊂ X che contiene x e y. Questarelazione e una relazione di equivalenza, e le classi di equivalenza sono dettecomponenti connesse di X .

Esercizio 3.51. Nel piano R2, dotato della topologia euclidea, si considerino iseguenti sottospazi: D1 = {(x, y)|(x+2)2+y2 ≤ 1}, D2 = {(x, y)|(x−2)2+y2 ≤ 1},Γ1 = ∂D1, Γ2 = ∂D2, A = (−1, 0). Siano X = D1 ∪ D2, Y = Γ1 ∪ Γ2 e siaX∗ = X/Y ; si denoti con π : X → X∗ la proiezione sul quoziente. Si stabilisca seX∗ e X∗\π(A) sono spazi connessi.

Esercizio 3.52. Sia X la retta reale con la topologia euclidea, sia Y la retta realecon la topologia dei dischi e sia Z = X × Y con la topologia prodotto. In Z siconsiderino i seguenti sottospazi con la topologia indotta:

D1 = {(x, y) ∈ Z | (x+ 1)2 + y2 < 1}D2 = {(x, y) ∈ Z | x2 + (y − 2)2 < 1}D3 = {(x, y) ∈ Z | (x− 1)2 + y2 < 1}

Si stabilisca se qualcuno dei sottospazi U1 = D1∪D2, U2 = D1∪D3, U3 = D2∪D3

e connesso.

3.4 SPAZI CONNESSI PER ARCHI

Definizione 3.53. Sia X uno spazio topologico. Un arco o cammino in X e un’ap-plicazione continua f : I → X ; x0 = f(0) e detto punto iniziale del cammino,x1 = f(1) e detto punto finale. Se x0 = x1 allora il cammino e detto camminochiuso o cappio.

Definizione 3.54. Il cammino costante di punto base x0 e l’applicazione costanteεx0 : I → x0 ∈ X . Dato un cammino f : I → X il cammino inverso f : I → X e ilcammino f(t) = f(1− t).

Definizione 3.55. Dati due cammini f, g tali che f(1) = g(0), e possibile definireil cammino prodotto:

(f ∗ g)(t) =

{f(2t) t ∈ [0, 1/2]

g(2t− 1) t ∈ [1/2, 1]

l’applicazione f ∗ g e continua per il seguente

Lemma 3.56. (Lemma d’incollamento) Sia X uno spazio topologico e A,B due sottoin-siemi chiusi di X tali che X = A ∪ B; siano f : A → Z e g : B → Z due applicazionicontinue tali che f(x) = g(x) se x ∈ A ∩ B; allora l’applicazione h : X → Z definitaponendo

h(x) =

{f(x) x ∈ Ag(x) x ∈ B

44

3.4. Spazi connessi per archi

e continua.


Definizione 3.57. Uno spazio topologicoX e connesso per archi se ∀x, y ∈ X esisteun cammino che ha x come punto iniziale e y come punto finale.

Esempi 3.58.

a) (Rn, τε) e connesso per archi.

Infatti, se x e y sono due punti di Rn, il cammino α : I → Rn definitoponendo α(t) = (1− t)x + ty congiunge x e y.

b) Un aperto convesso di Rn e connesso per archi. In particolare In e Dn sonoconnessi per archi.

Esercizio 3.59. Stabilire se sono o meno connessi per archi gli spazi topologici g)e h) degli esempi (1.2).

Proposizione 3.60. Sia A un aperto connesso di Rn; allora A e connesso per archi.

Dimostrazione. Sia x0 un punto di A, e consideriamo il sottoinsieme W ={x ∈ A | ∃ arco che congiunge x0 e x}.Vogliamo dimostrare che W e aperto; a tal fine mostreremo che ogni suo puntoe punto interno.Sia x ∈ W e sia α : I → A un cammino che congiunge x0 a x; poiche A e apertox e un punto interno di A, percio A contiene un disco aperto Br(x), centrato inx e di raggio opportuno.

Ogni punto z in Br(x) e contenuto inW , perche puo essere congiunto a x dalcammino β : I→ A definito ponendo

β(t) = (1− t)z + tx,

e quindi puo essere congiunto a x0 permezzo del cammino prodotto β ∗ α. Allostesso modo si mostra che il complementa-re di W in A e aperto.

0x

A x

z

Per concludere basta ora osservare che W 6= ∅ poiche x0 ∈ W .

Corollario 3.61. Rn+1\{0} e connesso per archi.

Proposizione 3.62. Sia f : X → Y un’applicazione continua, e X sia connesso perarchi. Allora f(X) e connesso per archi.

45


Dimostrazione. Siano x, y due punti di f(X), e siano x, y due controimmaginidi x e di y; poicheX e connesso per archi esiste un arco α : I→ X che congiungex e y. L’arco β : I→ Y definito ponendo β(t) = f(α(t)) congiunge x e y.

Corollario 3.63.

1. I quozienti di connessi per archi sono connessi per archi.

2. La connessione per archi e una proprieta invariante per omeomorfismi.

Corollario 3.64. RPn e connesso per archi; i quozienti di I2 sono connessi per archi, Sn

e connesso per archi in quanto immagine di Rn+1\{0} tramite l’applicazione continuaf : Rn+1\{0} → Sn che manda x in x

||x|| .

Corollario 3.65. Siano τ e σ due topologie su X tali che τ � σ. Se (X, τ) e connesso(per archi) allora (X, σ) e connesso (per archi).In particolare Rn con la topologia dei dischi e R con la topologia delle semirette sonoconnessi per archi.

Dimostrazione. Basta osservare che Id : (X, τ)→ (X, σ) e continua.

Proposizione 3.66. X, Y sono connessi per archi⇐⇒ X × Y e connesso per archi.

Dimostrazione. ⇐) Segue dal fatto che le proiezioni sono applicazioni conti-nue e dalla Proposizione (3.62).⇒) Siano (x0, y0) e (x1, y1) due punti di X × Y .Il sottospazio X ×{y0} e connesso per archi perche omeomorfo a X ; consideria-mo un cammino α : I→ X × {y0} che unisce (x0, y0) ad (x1, y0).Il sottospazio {x1} × Y e connesso per archi perche omeomorfo a Y ; consideria-mo un cammino β : I→ {x1} × Y che unisce (x1, y0) ad (x1, y1)Siano i : X × {y0} → X × Y e j : {x1} × Y → X × Y le inclusioni; l’applicazioneγ : I → X × Y definita ponendo γ = (i ◦ α) ∗ (j ◦ β) e il cammino cercato cheunisce (x0, y0) e (x1, y1).

Proposizione 3.67. Se X e connesso per archi, allora e anche connesso.

Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto; per ogni y ∈ X esiste un arco γy : I → Xche congiunge x a y; sia Γy = γy([0, 1]).Lo spazio X si puo scrivere come unione di connessi a intersezione non vuotaX =

⋃y∈X Γy; infatti Γy e connesso in quanto immagine del connesso I tramite

l’applicazione continua γy, e⋂y∈Y Γy 6= ∅ poiche x ∈

⋂y∈Y Γy.

Si applica quindi la proposizione (3.44).

Osservazione 3.68. Non vale il viceversa: in R2 consideriamo il sottoinsiemeA = {(0, 1)} (la pulce) e il sottoinsieme B = {(I×{0})∪

⋃n∈N{

1n}× I} (il pettine).

Si puo dimostare che il sottoinsieme A ∪ B e connesso (si usa la proposizionesulla chiusura di connessi), ma non e connesso per archi.

46

3.4. Spazi connessi per archi

Esercizio 3.69. Sia I l’intervallo [0, 1] con la topologia euclidea, e sia J l’intervallo[0, 1] con la topologia i cui aperti non banali sono gli intervalli [0, k) con 0 < k ≤ 1.Sia X = J × I con la topologia prodotto. Dimostrare che Z = {0, 1}× I e connessoper archi.

47

Capitolo 4

Superfici topologiche

4.1 VARIETA TOPOLOGICHE

Definizione 4.1. Uno spazio topologico X si dice localmente euclideo se ogni suopunto x ha un intorno aperto U omeomorfo a Dn (o, equivalentemente, a Rn).Sia ϕ : U → Dn l’omeomorfismo; la coppia (U,ϕ) e detta carta locale, U e dettodominio della carta locale.

Diamo senza dimostrazione il seguente:

Teorema 4.2. Se x appartiene ai domini di due diverse carte locali, n non cambia.(Teorema di invarianza della dimensione).

Proposizione 4.3. Se X e connesso, allora n e lo stesso per tutti i punti, e viene dettodimensione di X .

Dimostrazione. Sia p0 ∈ X un punto con un intorno aperto omeomorfo a Dn, econsideriamo il sottoinsieme W = {p ∈ X | p ha un intorno omeomorfo a Dn}.Sia q ∈ W e sia U un intorno di q omeomorfo a Dn; ogni punto di U ha U comeintorno, e quindi U ⊂ W e W e aperto.Analogamente, se q 6∈ W , allora q possiede un intorno V omeomorfo ad un discoaperto Dm, con m 6= n, e lo stesso e vero per ogni punto di V , quindi V ⊂ W c eW c e aperto. Poiche W e non vuoto, aperto e chiuso nel connesso X segue cheW = X .

Definizione 4.4. Uno spazio topologico connesso, di Hausdorff, localmente eu-clideo a base numerabile si dice varieta topologica.

Osservazione 4.5. Poiche una varieta topologica e connessa, la sua dimensionee ben definita.

Osservazione 4.6. E’ necessario richiedere che una varieta topologica sia unospazio di Hausdorff, in quanto tale condizione non e conseguenza dell’essere

49

4. Superfici topologiche

localmente euclideo.Si consideri lo spazio X ottenuto come prodotto di R con la topologia euclideae di uno spazio formato da due punti a, b con la topologia discreta, e sia Y ilquoziente di X ottenuto identificando i punti (x, a) e (x, b) se x > 0.Si puo dimostrare (esercizio!) che Y e localmente euclideo, ma non di Hausdorff.

Esempio 4.7. Alcuni esempi di varieta topologiche

a) Rn.

b) Cn (e omeomorfo a R2n).

c) Sn. La sfera di dimensione n e coperta da due aperti omeomorfi a Rn:Uα = Sn \ {N = (0, 0, . . . , 0, 1)} e Uβ = Sn \ {S = (0, 0, . . . , 0,−1)} e xα e xβsono cosı definite

xα : Uα → Rn : (x1, . . . , xn+1)→(

x1

1− xn+1

, . . . ,xn

1− xn+1

)

xβ : Uβ → Rn : (x1, . . . , xn+1)→(

x1

1 + xn+1

, . . . ,xn

1 + xn+1

)d) Un aperto connesso di una varieta topologica e una varieta topologica.

e) Il toro e una varieta topologica.SiaL = {(m,n) ∈ R2 |m,n ∈ Z}, e consideriamo il gruppo quoziente R2/L,con proiezione sul quoziente π : R2 → R2/L. Due punti x e y di R2 hannola stessa immagine se e solo se x− y ∈ L.Dotiamo R2/L della topologia quoziente; allora la proiezione π e un’appli-cazione aperta. Infatti

π−1(π(U)) =⋃ω∈L

(ω + U).

Ogni punto di R2 e equivalente modulo L ad un punto contenuto nel qua-dratoQ := [0, 1]× [0, 1]. Due punti diQ non appartenti al bordo individua-no classi distinte, mentre i punti di ∂Q sono equivalenti se hanno la stessaascissa o la stessa ordinata. Ritroviamo cosı la rappresentazione del torocome quoziente del quadrato.Sia ora ε < 1

2, e, per ogni x in R2 sia

Bx = {y ∈ R2 | |x− y| < ε}.

Per ogni x, in Bx non cadono due punti equivalenti, e percio la restrizioneπ|Bx : Bx → π(Bx) e un omeomorfismo.Consideriamo l’insieme {(Ux, ϕx)}, ove Ux = π(Bx) e ϕx = (π|Bx)−1. Taleinsieme costituisce una famiglia di carte locali i cui domini coprono il toro.

50

4.2. Somma connessa

f) In modo analogo all’esempio precedente si mostra che la bottiglia di Kleine una superficie topologica.

g) RPn. Lo spazio proiettivo reale di dimensione n e coperto da n + 1 apertiUi omeomorfi a Rn.

Ui = {p ∈ RPn |xi(p) 6= 0}

e xi : Ui → Rn e definita ponendo

xi(x0 : · · · : xi : · · · : xn) =

(x0

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xnxi

).

h) Il prodotto di varieta topologiche e una varieta topologica.

Proposizione 4.8. Uno spazio topologico connesso e localmente euclideo e connesso perarchi.

Dimostrazione. Fissiamo un punto p ∈ X e consideriamo il sottoinsieme W ={q ∈ X | esiste un arco congiungente p a q}.Sia U un intorno di q omeomorfo a Dn e sia ϕ : U → Dn l’omeomorfismo;ogni punto r di U puo essere congiunto a q usando il cammino ottenuto comeimmagine inversa via ϕ del segmento che congiunge ϕ(r) a ϕ(q), quindi U ⊂ We W e aperto.Analogamente, se q 6∈ W , allora nessun punto di un intorno V omeomorfo adun disco aperto Dn puo essere congiunto a p; pertanto W c e aperto.Poiche W e non vuoto, aperto e chiuso nel connesso X segue che W = X .

In dimensione 1 la classificazione delle varieta topologiche e molto semplice:

Teorema 4.9. Una varieta topologica di dimensione 1 e omeomorfa a S1 o a R.

La situazione e molto piu complessa gia per n = 2, e questo e il caso che stu-dieremo, aggiungendo l’ipotesi della compattezza. Da ora in poi ci occuperemocioe solo di superfici topologiche compatte, cioe di varieta topologiche compattedi dimensione 2.

4.2 SOMMA CONNESSA

Siano S1 e S2 due superfici compatte; fissiamo due punti x ∈ S1, y ∈ S2 e dueintorni Ux e Uy omeomorfi a D2, e sia h un un omeomorfismo h : ∂Ux → ∂Uy.Sia Y = (S1\Ux)q(S2\Uy) e sia∼ la relazione d’equivalenza le cui identificazioninon banali sono

x′ ∼ y′ ⇐⇒ x′ ∈ ∂Ux, y′ ∈ ∂Uy e y′ = h(x′)

51


Lo spazio topologico quoziente S = Y/∼ e uno spazio topologico connesso, diHausdorff, localmente euclideo di dimensione 2 e compatto; S e una superficiecompatta, detta somma connessa di S1 ed S2:

S = S1#S2.

Osservazione 4.10. Si puo dimostrare che la somma connessa e definita a menodi classi di omeomorfismo, e che non dipende dal punto scelto.

Definizione 4.11. Indichiamo con Tg la superficie che si ottiene facendo la som-ma connessa di g tori, e con T0 la sfera.

Vediamo in figura come rappresentare la somma connessa di due tori comequoziente di un poligono.

T = T # T

c

cdc d −12 11

d

c

−1−1aba b −1

d

d

c

c

b

b

a

a

d

c

γd

γ

cbb

a

a

a

bb

a

d

��

��

��

��

52

4.3. Triangolazioni

Definizione 4.12. Indichiamo con Uh la superficie che si ottiene facendo la som-ma connessa di h piani proiettivi reali.

Vediamo in figura come rappresentare la somma connessa di due piani proiettivireali come quoziente di un poligono.

��

��

��

��

b

12U = U # U

γγ

b

b

a

aa

1

a

a b

b

aabb

4.3 TRIANGOLAZIONI

Definizione 4.13. Un triangolo geometrico in X e un’applicazione τ : T ′ → Xche sia un omeomorfismo sull’immagine, dove T ′ e un triangolo (non dege-nere) di R2. Con abuso di linguaggio chiameremo triangolo geometrico anchel’immagine di τ .

Definizione 4.14. Una triangolazione di una superficie topologica X e una col-lezione di triangoli geometrici tale che ogni punto di X appartiene a un trian-golo geometrico e nella quale le possibili intersezioni di due diversi triangoligeometrici sono

• L’insieme vuoto;

• Un punto, che sia vertice di entrambi;

• L’immagine omeomorfa di un segmento, che sia lato di entrambi.

Le superfici topologiche sono tutte triangolabili. La dimostrazione di questofatto e al di la della portata di queste note.

53


Teorema 4.15. (Teorema di Rado) Ogni superficie e triangolabile e ogni superficie com-patta ammette una triangolazione finita.

Osservazione 4.16. Per la validita del teorema precedente la condizione che unasuperficie sia uno spazio topologico a base numerabile e essenziale.

Esempio 4.17. Consideriamo il toro. Le prime due suddivisioni in figura nonsono triangolazioni (ci sono triangoli con due lati in comune o con due vertici incomune senza il lato corrispondente in comune), la terza sı.

4.4 ORIENTABILITA

Una trattazione rigorosa del concetto di orientabilita per varieta topologichee al di fuori della portata di queste note; utilizzeremo una definizione intui-tiva applicabile solo al caso delle superfici, ed enunceremo diversi fatti senzadimostrarli.

Definizione 4.18. Un’orientazione di un triangolo geometrico τ e uno dei (due)versi di percorrenza dei suoi vertici. Un’orientazione di τ induce un’orientazio-ne dei suoi spigoli.Due triangoli adiacenti di una triangolazione si dicono coerentemente orientati sele loro orientazioni inducono orientazioni opposte sullo spigolo comune.

Definizione 4.19. Una superficie compatta X si dice orientabile se ammette unatriangolazione (finita) coerentemente orientata.

54

4.5. Teorema di classificazione delle superfici compatte - Prima parte

Proposizione 4.20. Sia X una superficie triangolabile. Allora X e orientabile se e solose X non contiene nastri di Moebius.

Esempio 4.21. Il toro e orientabile. La figura mostra una triangolazione coeren-temente orientata.

Esempio 4.22. La bottiglia di Klein non e orientabile. infatti, come mostrato infigura, la bottiglia di Klein contiene un nastro di Moebius.

Osservazione 4.23. Si puo verificare che la somma connessa S di due superficiS1 e S2 e orientabile se e solo se S1 ed S2 sono orientabili.

4.5 TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI COMPATTE -PRIMA PARTE

Siamo ora in grado di enunciare il teorema di classificazione delle superficicompatte:

Teorema 4.24. (Teorema di classificazione) Sia S una superficie compatta.

S orientabile⇒ S ' Tg g ≥ 0.S non orientabile⇒ S ' Uh h ≥ 1.

Inoltre se g 6= g′ allora Tg 6' Tg′ e se h 6= h′ allora Uh 6' Uh′ .

55


Esempio 4.25. La bottiglia di Klein e omeomorfa alla somma connessa di duepiani proiettivi. Per mostrarlo si utilizza il procedimento di “taglia e incolla”come in figura.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

c

a

c

a

c b b c

a

a

c

b

a

cb

a

a

bb

a

��

��

��

��

��

��

Dimostrazione della prima parte.

Passo 1: Ogni superficie compatta e quoziente di un poligono piano:

Lemma 4.26. Sia S una superficie compatta. Allora S e omeomorfa a un poligono di R2

con i lati identificati a coppie.

Dimostrazione. Una superficie compatta ammette una triangolazione finita.Siano T1, . . . , Tn i triangoli di tale triangolazione, ordinati in modo che il triango-lo Ti abbia uno spigolo in comune con uno dei triangoli precedenti T1, T2, . . . , Ti−1.Siano T ′1, . . . , T ′n i triangoli di R2 che vengono mappati su T1, . . . , Tn; senza perdi-ta di generalita supponiamo che T ′1, . . . , T ′n siano a coppie disgiunti, e denotiamocon T ′ =

⋃ni=1 T

′i la loro unione.

’TT

’5

’T

T’

3

2

’T

T’

1

T’

4

6

6

’T

T’

32

’TT

’

1

T’

4

’TT

’

5

56


Introduciamo ora una relazione di equivalenza in T ′ in questo modo: T2 ha unospigolo in comune con T1, per cui incolliamo T ′1 e T ′2 lungo lo spigolo corrispon-dente; T3 ha uno spigolo in comune con T1 ∪ T2, quindi incolliamo T ′3 a T ′1 ∪ T ′2lungo lo spigolo corrispondente,e cosı via.otteniamo cosı un poligono i cui lati al bordo devono essere identificati a coppie.

’TT

’

5

’T

T’

3

2

’T

T’

1

T’

4

6

’TT

’

5

’T

T’

3

2

’T

T’

1

T’

4

6

Passo 2: Eliminazione delle coppie adiacenti del primo tipo.

Abbiamo visto che una superficie compatta e omeomorfa ad un poligono diR2 con i lati identificati a coppie. Diremo che una coppia e del primo tipo se ilati che la compongono compaiono con l’orientazione opposta, del secondo tipoaltrimenti.

P P P PP

a

a

aa

Q

QQ

Q

a

In figura vediamo come sia possibile eliminare coppie adiacenti del primo tipose il poligono ha almeno quattro lati. Se il poligono ha solamente due lati ci sonodue possibilita: o e del tipo aa−1 e quindi la superficie e una sfera, o e del tipoaa e quindi la superficie e un piano proiettivo reale.

Passo 3: Riduzione dei vertici ad un unico nome.

Supponiamo di aver ripetuto il secondo passo finche e stato possibile; i verticidel poligono non sono necessariamente tutti identificati tra di loro, ma possonoappartenere a diverse classi di equivalenza. Mostriamo ora come, con una serie

57


di operazioni successive, sia possibile arrivare ad un nuovo poligono in cui tuttii vertici appartengono ad un’unica classe di equivalenza.

c

��

��

��

��

Q

a

bc

a b

P

P

Q

P

a

Q c

Le operazioni mostrate in figura fanno diminuire i vertici nella classe di equiva-lenza di Q di un’unita e fanno aumentare i vertici nella classe di equivalenza diP di un’unita.Alternando il passo 2 ed il passo 3 (perche e necessario il passo 2?) arriviamoad un poligono in cui tutti i vertici devono essere identificati e in cui non sonopresenti coppie adiacenti del primo tipo.

Passo 4: Rendere adiacenti le coppie del secondo tipo.

Vogliamo mostrare che e possibile rendere adiacenti tutte le coppie del secondotipo. Per far cio, per ogni coppia non adiacente del secondo tipo operiamo untaglio tra gli estremi finali della coppia scelta, come in figura, ed incolliamo incorrispondenza della coppia medesima.

��

��

b

��

��

��

��

��

��

��

��

a

aab

b b

b

Se nel poligono ci sono solo coppie del secondo tipo, dopo un numero finitodi applicazioni del passo 4 otteniamo una superficie il cui poligono e del ti-po a1a1 . . . ahah, cioe una superficie Uh, e abbiamo finito. Nel caso che ci sianocoppie del primo tipo continuiamo con il

Passo 5: Raggruppare le coppie del primo tipo.

Supponiamo quindi che ci sia almeno una coppia del primo tipo. In tal caso nedeve esistere un’altra tale che queste due coppie si separano a vicenda.

58


Infatti, se cosı non fosse, ci troveremmo in una situazione come quella in figura,in cui tutti i lati nella parte rossa si identificano con lati nella parte rossa (in alto)e tutti i lati nella parte blu si identificano con lati nella parte blu (in basso).

a a

Questa situazione non e possibile, perche in tal caso i due estremi di a non ven-gono identificati, in contraddizione con il passo 3.Pertanto esistono due coppie del primo tipo che si separano a vicenda come infigura, e tali coppie possono essere raggruppate tagliando due volte in corri-spondenza degli estremi finali dei lati.

��

��

��

��

��

��

c

c

a a

a a

b

c

c

c

aa

c

c

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

d

a

d

db

b

Se nel poligono compaiono solo coppie del primo tipo, dopo un numero finitodi applicazioni del passo 5 otteniamo una superficie il cui poligono e del tipoa1b1a

−11 b−1

1 . . . agbga−1g b−1

g , cioe una superficie Tg, e abbiamo finito. Resta apertoil caso in cui nel poligono compaiano coppie del primo e del secondo tipo, cioeche il poligono sia del tipo a1b1a

−11 b−1

1 . . . c1c1 . . . .Tale caso viene risolto dal seguente lemma

Lemma 4.27. La somma connessa di un toro e di un piano proiettivo e omeomorfa allasomma connessa di tre piani proiettivi.

Dimostrazione. Abbiamo gia visto che la bottiglia di Klein e omeomorfa allasomma di due piani proiettivi, quindi basta mostrare che la somma connessadi un toro e di un piano proiettivo e omeomorfa alla somma connessa di unabottiglia di Klein e di un piano proiettivo.

59


Mostreremo che entrambe sono omeomorfe alla superficie quoziente del poli-gono

dadbab−1.

La somma connessa di un toro e di un pia-no proiettivo e omeomorfa alla superficiequoziente del poligono in figura:

c

b

a

a

b

c

��

��

Attraverso un taglio e un incollamento otteniamo un nuovo poligono:

��

��

a

b

cb

a

c

d��

��

d

a

b

b

a

c

d

��

��

a

b

b

d

a

d

La somma connessa di di una bottiglia diKlein e di un piano proiettivo e omeomor-fa alla superficie quoziente del poligono infigura:

δ

γ

γ

β

β

δ��

��

Attraverso un taglio e un incollamento otteniamo il poligono cercato:

��

��

��

��

δ γ

γ

δ

β

β

α

��

��

��

��

δγ

δ

β

β

α

α

��

��

��

��

α

δ

δ

β

β

α

60


Esempio 4.28. Concludiamo con un esempio di applicazione dei passi della di-mostrazione del teorema: classificare la superficie il cui poligono rappresentati-vo e il seguente:

abca−1cb.

��

��

P Q

P

P Q

Q Q

QP

P

QP

��

��

P

P

Q

P

P

Q

P

Q

Q

P

P

QP

bb

c

a

b

c

b

c

a

d

b

c

d c

da

c

b

c

b

a

b

c

d

d

��

��

��

��

��

��

P

P

P

P

Q

P

Q

P

P

P

P

PP P

Q

P

P

Q

b

c

d

e e

d

c

b

d

b

e

e

b

d

c

b

d

c

e

b

d

��

��

��

��

P

P P

P

P

P

P

PPP

PP P

P

PP

f

f

d

d

f

d d

efe

d

d

ef

e

d

d

e

La superficie in esame e omeomorfa alla superficie U2.

Esercizio 4.29. Classificare le superfici ottenute come quozienti di poligoni nelmodo seguente:

Q

Q Q

Q

P Q

P

P

QP

P

P

P

PP

P

PP

P

P

P

P

P

a

b

c

d

c

a

a b

c

ba

a

b

c

d d b

c d

c

b

a

61

Parte II

Topologia algebrica

63

Capitolo 5

Omotopia

5.1 OMOTOPIA DI APPLICAZIONI CONTINUE

Il toro e la sfera non sono omeomorfi. Come si puo dimostrare? Intuitivamentela sfera ha la proprieta che ogni cammino chiuso puo essere deformato con con-tinuita al cammino costante, mentre nel toro questo non e vero. Vedremo oracome si puo formalizzare questo concetto.

β

α

P

P

Problema: Date f0, f1 : X → Y applicazioni continue si vuole formalizzarel’idea seguente:

f0 si ottiene per deformazione continua da f1.

1f

f0

Definizione 5.1. Due applicazioni continue f0, f1 : X → Y si dicono omotope seesiste un’applicazione continua F : X × I→ Y , tale che ∀x ∈ X si ha

F (x, 0) = f0(x) e F (x, 1) = f1(x).

65

5. Omotopia

In tal caso scriveremo f0 ∼ f1; poniamo poi ft(x) = F (x, t). Abbiamo cioe unafamiglia di funzioni continue che varia con continuita.

Esempi 5.2.

a) Sia X = Y = Dn; l’applicazione identica f0 = IdDn e l’applicazionecostante che manda ogni elemento di Dn in 0, f1 = 0 sono omotope.Un’omotopia tra di esse e data da F (x, t) = (1− t)x.

b) SiaX = Y = Rn\{0}; l’applicazione identica f0 = IdRn\{0} e l’applicazionef1(x) =

x

||x||sono omotope. Un’omotopia tra di esse e data da F (x, t) =

(1− t)x + tx

||x||.

c) Sia X uno spazio topologico qualsiasi; ogni arco f : I → X di pun-to iniziale x0 e omotopo all’arco costante di base x0 tramite l’omotopiaF (s, t) = f((1− t)s).

Come mostra il terzo esempio l’omotopia non e ancora la nozione adeguata performalizzare l’esempio dei cammini sulla sfera e sul toro. In quel caso, infatti,tutti i cammini intermedi devono avere lo stesso punto iniziale e lo stesso puntofinale. Introduciamo quindi una nuova definizione:

Definizione 5.3. Siano f0, f1 : X → Y applicazioni continue e A ⊂ X un sot-tospazio. Le applicazioni f0 e f1 si dicono omotope relativamente ad A se esisteun’omotopia F : X × I→ Y tra f0 ed f1 tale che

F (a, t) = f0(a) = f1(a) ∀a ∈ A, ∀t ∈ I .

In particolare, nel caso dei cammini, avremo la seguente

Definizione 5.4. Due cammini che abbiano lo stesso punto iniziale e lo stessopunto finale si dicono omotopi se sono omotopi relativamente a {0, 1}.

66

5.2. Tipo d’omotopia - Retratti

Quindi due cammini α : I → X e β : I → X sono omotopi se esiste un’applica-zione F : I× I→ X continua tale che

F (s, 0) = α(s);F (s, 1) = β(s);F (0, t) = α(0) = β(0) = x0;F (1, t) = α(1) = β(1) = x1.

Osservazione 5.5. L’omotopia (relativa) e una relazione d’equivalenza.

5.2 TIPO D’OMOTOPIA - RETRATTI

Sospendiamo momentaneamente il discorso sui cammini e utilizziamo le no-zioni sull’omotopia per introdurre un nuovo concetto di equivalenza per spazitopologici.

Definizione 5.6. Si dice che due spazi topologici X e Y hanno lo stesso tipo d’o-motopia (o che sono omotopicamente equivalenti) se esistono due applicazioni con-tinue f : X → Y e g : Y → X tali che g ◦ f ∼ IdX e f ◦ g ∼ IdY . ScriveremoX ∼ Y per indicare che X e Y hanno lo stesso tipo di omotopia.

Osservazione 5.7. L’equivalenza omotopica e una relazione d’equivalenza traspazi topologici (Esercizio!).

Definizione 5.8. Uno spazio topologico si dice contraibile se ha lo stesso tipo diomotopia di un punto.

Esempi 5.9.

a) Due spazi omeomorfi hanno lo stesso tipo di omotopia.

b) Dn e contraibile.

Siano f : Dn → {0} l’applicazione costante e g : {0} → Dn l’inclusione.Dobbiamo verificare che g ◦ f ∼ IdDn e che f ◦ g ∼ Id0.La prima affermazione segue dall’esempio (5.2) a), mentre la seconda eimmediata, essendo f ◦ g = Id0.

c) Rn\{0} ∼ Sn−1.

Siano f : Rn\{0} → Sn−1 la funzione f(x) =x

||x||e g : Sn−1 → Rn\{0}

l’inclusione.Dobbiamo verificare che g ◦ f ∼ IdRn\{0} e che f ◦ g ∼ IdSn−1 .La prima affermazione segue dall’esempio (5.2) b), mentre la seconda eimmediata, essendo f ◦ g = IdSn−1 .

67

5. Omotopia

Definizione 5.10. Una proprieta omotopica e una proprieta invariante per equiva-lenze omotopiche.

Definizione 5.11. Sia A ⊂ X un sottospazio, e i : A→ X l’inclusione.

1. A si dice retratto di X se esiste un’applicazione continua r : X → A taleche r ◦ i = IdA.

2. A si dice retratto di deformazione se esiste un’applicazione continua r : X →A tale che r ◦ i = IdA e i ◦ r ∼ IdX .

Intuitivamente un sottospazio A e un retratto di deformazione di X se X puoessere deformato con continuita fino a farlo coincidere con A.

Osservazione 5.12. Se A e retratto di deformazione di X , allora A ha lo stessotipo di omotopia di X .

Osservazione 5.13. Sia X un sottospazio di (Rn, τε) e sia A un sottospazio di X .Se esiste una retrazione r : X → A tale che per ogni x ∈ X il segmento cheunisce il punto x al punto r(x) e tutto contenuto in X , allora l’applicazione

F : X × I→ X

(x, t) 7→ (1− t)x + t(i ◦ r(x))

e un’omotopia relativa ad A tra IdX e i ◦ r.Pertanto se esiste r siffatta, A e retratto di deformazione di X .

Esempi 5.14.

a) Un sottospazio stellato di Rn e contraibile.

b) Sia T il toro ottenuto da I × I come quoziente rispetto alla relazione diequivalenza ∼ tale che (x, y) ∼ (x′, y′) ⇔ {x, x′} = {0, 1} e y = y′ oppure{y, y′} = {0, 1} e x = x′, e sia A la circonferenza quoziente del segmento{0}× I rispetto alla relazione indotta da ∼; allora A e retratto di T , ma none retratto di deformazione.

Per mostrare che A e un retratto di T basta considerare l’applicazione R :T → A indotta dall’applicazione r : I × I → {0} × I che manda (x, y) in(0, y).Per mostrare che A non e un retratto di deformazione di X e necessarioutilizzare il gruppo fondamentale (Cf. Proposizione (7.17)).

c) R2\{P1, . . . , Pk} ha ∨1,...,kS1 come retratto di deformazione. La retrazio-

ne e definita diversamente in regioni diverse di R2\{P1, . . . , Pk}, come infigura:

68

5.2. Tipo d’omotopia - Retratti

d) R3\r ha S1 come retratto forte di deformazione. La retrazione e data com-ponendo la proiezione sul piano perpendicolare alla retta con la retrazionedi R2 meno un punto su S1.

e) Se X e un poligono di R2 con 2k lati identificati a coppie, allora X\{P},dove P e un punto interno al poligono, ha un bouquet di k circonferenzecome retratto di deformazione.Infatti il poligono meno il punto ha il bordo come retratto di deformazione,e la retrazione e l’omotopia i ◦ r ∼A IdX passano al quoziente (esercizio!).In particolare RP2\{P} ∼ S1 e T1\{P} ∼ S1 ∨ S1.

Esercizio 5.15. Si consideri X ⊂ (R2, τε) e A ⊂ X come in figura:

A X

Si mostri che A e un retratto di deformazione di X.

Esercizio 5.16. Si consideri il nastro di Moebius X e A ⊂ X come in figura:

A

Si mostri che A e un retratto di deformazione di X.

69

5. Omotopia

5.3 CW-COMPLESSI FINITI

Spesso nelle applicazioni e negli esercizi e utile trovare spazi omotopicamenteequivalenti ad uno spazio dato che siamo piu “semplici”. Un’operazione chepuo essere utile in tal senso e quella di sostituire uno spazio topogico X con ilquoziente rispetto ad un sottospazio contraibile A ⊂ X .Non e pero sempre vero che, dati uno spazio topologico X e un sottospaziocontraibile A gli spazi X e X/A sono omotopicamente equivalenti.Vedremo ora un modo particolare di costruire spazi topologici, che ci dara unacondizione sufficiente per poter contrarre sottospazi contraibili senza alterare iltipo di omotopia dello spazio topologico.

Consideriamo il diagramma seguente

A

i��

f // Y

X

in cui A,X e Y sono spazi topologici, i : A → X e l’inclusione e f e un’applica-zione continua. Vogliamo costruire un nuovo spazio topologico incollando X eY tramite f , identificando cioe i punti di A con le loro immagini.Per far cio consideriamo lo spazio topologicoXqY e in esso consideriamo la re-lazione di equivalenza ∼ generata dall’identificazione x ∼ f(x) per ogni x ∈ A.Si dice spazio di aggiunzione di (X, Y,A, f) lo spazio topologico Z = (X q Y )/∼.

Definizione 5.17. Un CW-complesso finito X di dimensione N e uno spaziotopologico costruito nel modo seguente:

1. X0 e uno spazio finito e discreto;

2. Per 0 < n ≤ N lo spazio topologico Xn e ottenuto da Xn−1 attaccandoun numero finito Jn di coppie (X,A) = (Dn

i ,Sn−1i ) mediante applicazioni

continue ϕni : Sn−1i → Xn−1;

3. X = XN .

Il sottospazio Xn ⊂ X e detto n-scheletro di X . Ogni coppia (Dni ,S

n−1i ) ha una

mappa caratteristica Φni , che e la composizione

Dni ↪→ Xn−1 ti Dn

i → Xn ↪→ X.

L’immagine di Φni (Dn

i \ Sn−1i ) e denotata con eni ed e detta n-cella; si noti che

Φni |Dn

i \Sn−1i

e un omeomorfismo.

Definizione 5.18. Un sottocomplesso di un CW-complesso finito X e un sottoin-sieme chiuso A costituito da un’unione di celle di X .

70

5.3. CW-complessi finiti

Esempi 5.19.

a) La sfera Sn.

Una sua possibile struttura di CW-complesso e data prendendo come X0

un punto, e attaccando una coppia (Dn,Sn−1) mediante l’applicazione co-stante f : Sn−1 → X0.

Alternativamente e possibile prendere come X0 un punto, costruire la sfe-ra Sn−1 mediante l’attaccamento di una n − 1 cella come sopra, ottenen-do Xn−1 e quindi attaccare due n-celle (Dn,Sn−1) mediante l’applicazioneidentica Sn−1 → Xn−1.

b) Il disco Dn.

Una sua possibile struttura di CW-complesso e data prendendo come X0

un punto, attaccando una coppia (Dn−1,Sn−2) mediante l’applicazione co-stante f : Sn−2 → X0 e ottenendo percio Xn−1 = Sn−1 e attaccando quindiuna coppia (Dn,Sn−1) mediante l’applicazione identica f : Sn−1 → Xn−1.

c) L’unione a un punto di k circonferenze.

Sia X0 un punto, e ad esso si attacchino k coppie (D1,S0) mediante leapplicazioni costanti fi : S0 → X0.

d) Il toro.

Sia X0 un punto. Ad esso si attacchino due coppie (D1,S0) mediante leapplicazioni costanti fi : S0 → X0, ottenendo cosı come X1 l’unione ad unpunto di due circonferenze.Si attacchi ora una coppia (D2,S1) mediante l’applicazione f : S1 → S1∨S1

definita ponendo

f(t) =

(1 + cos(π + 8πt), sin(8πt)) t ∈ [0, 1/4]

(−1 + cos(8πt), sin(8πt)) t ∈ [1/4, 1/2]

(1 + cos(π + 8πt),− sin(8πt)) t ∈ [1/2, 3/4]

(−1 + cos(8πt),− sin(8πt)) t ∈ [1/4, 1/2]

Analogamente si puo dare una struttura di CW-complesso finito a tutte lesuperfici compatte.

e) Lo spazio proiettivo reale di dimensione n.

Lo spazio proiettivo di dimensione zero e un punto.Sia f : Sn−1 → RPn−1 il quoziente rispetto all’identificazione dei punti

71

5. Omotopia

antipodali; lo spazio proiettivo di dimensione n e ottenuto dallo spazioproiettivo di dimensione n−1 mediante attaccamento di una n-cella via f .

Diamo senza dimostrazione il seguente importante risultato

Teorema 5.20. Se X e un CW-complesso finito e A ⊂ X e un sottocomplesso contrai-bile, allora X ∼ X/A.

Vediamo ora alcune applicazioni

Esempi 5.21.

a) Sia X il sottospazio di R2 costituito dall’unione di S1 e di [−1, 1] × {0}.Allora X ha lo stesso tipo di omotopia dell’unione a un punto di due cir-conferenze.Possiamo considerare la struttura di CW-complesso di X ottenuta ponen-do X0 = (−1, 0) ∪ (1, 0) e attaccando tre coppie (D1,S0) mediante l’appli-cazione identica IdS0 : S0 → X0.Il sottospazio A = [−1, 1] × {0} e un sottocomplesso contraibile, e quindi,in virtu della proposizione precedente X ∼ X/A ' S1 ∨ S1.

b) Sia X l’unione di S2 ⊂ R3 con il disco D2 × {0}. Allora X e omotopica-mente equivalente all’unione a un punto di due sfere.Possiamo considerare la struttura di CW-complesso di X ottenuta ponen-doX0 = (−1, 0, 0), attaccando una coppia (D1,S0) mediante l’applicazioneidentica IdS0 : S0 → X0 e tre coppie (D2,S1) come in figura.Il sottocomplesso costituito da X1 e da una delle celle due dimensionali eun sottocomplesso contraibile.

��

��

��

��

��

��

72

5.3. CW-complessi finiti

c) Lo spazio topologico costituito da tre circonferenze in (R2, τε) come in figu-ra e omotopicamente equivalente a un bouquet di 3 circonferenze. Vedia-mo in figura la struttura di CW-complesso e il sottocomplesso contraibile.

d) Lo spazio topologico in figura (sottospazio di (R2, τε)) e omotopicamenteequivalente a un bouquet di 4 circonferenze.

Vediamo in figura la struttura di CW-complesso e il sottocomplesso con-traibile.

Esercizio 5.22. Si considerino i seguenti sottospazi di (R3, τε): X = S2 q I/ ∼dove ∼ e cosı definita: N ∼ 0, S ∼ 1, con N,S rispettivamente polo nord e polosud della sfera; Y = S2 ∨ S1.

S

N

XY

Si mostri che X e Y sono omotopicamente equivalenti.

73

Capitolo 6

Il gruppo fondamentale

6.1 IL GRUPPO FONDAMENTALE

Sia X uno spazio topologico e x0 un suo punto.

Definizione 6.1. Un cammino α : I→ X tale che α(0) = α(1) = x0 e detto cappiodi punto base x0.

Consideriamo il seguente insieme

π(X, x0) ={Classi di equivalenza di cappi omotopi con punto base x0}.

Per dimostrare che la sfera non e omeomorfa al toro dovremmo dimostrare che

• A spazi topologici omeomorfi corrisponde lo stesso insieme.

• π(S2, x0) e π(T, y0) sono insiemi diversi.

In realta quello che faremo sara di piu: mostreremo innanzitutto che l’insiemeπ(X, x0) possiede una struttura di gruppo, e dimostreremo quindi che

• A spazi topologici omeomorfi corrispondono gruppi isomorfi.

• π(S2, x0) e π(T, y0) sono gruppi non isomorfi.

Definizione 6.2. SiaX uno spazio topologico e x0 ∈ X un suo punto; sia π(X, x0) =definito come sopra e siano [α], [β] ∈ π(X, x0).Si definisce il prodotto di [α] e [β] nel seguente modo:

[α][β] = [α ∗ β].

Il fatto che tale operazione sia ben definita segue dalla seguente

Proposizione 6.3. Siano α e β due cammini in X tali che sia definito il prodotto α ∗ β,e siano γ e δ altri due cammini tali che α ∼ γ e β ∼ δ; allora α ∗ β ∼ γ ∗ δ.

75

6. Il gruppo fondamentale

Dimostrazione. Siano F eG le omotopie; allora l’omotopia tra i prodotti e datada

H(s, t) =

{F (2s, t) s ∈ [0, 1/2]

G(2s− 1, t) s ∈ [1/2, 1].

Teorema 6.4. π(X, x0) e un gruppo (in generale non abeliano) rispetto al prodotto diclassi di equivalenza di cappi appena definito.

Il risultato discende dai tre lemmi seguenti.

Lemma 6.5. Siano α, β e γ cammini tali che siano definiti i prodotti α∗β e β ∗γ. Allora

(α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ).

Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ) sono omotopi;questi due cammini si scrivono in questo modo

((α∗β)∗γ)(s) =

α(4s) s ∈

[0, 1

4

]β(4s− 1) s ∈

[14, 1

2

]γ(2s− 1) s ∈

[12, 1] (α∗(β∗γ))(s) =

α(2s) s ∈

[0, 1

2

]β(4s− 2) s ∈

[12, 3

4

]γ(4s− 3) s ∈

[34, 1]

La figura mostra un modo di deformare i cammini uno nell’altro

��

��

��

��

��

��

321III

s

t

s = (t+1)/4 s = (t+2)/4

Per scrivere le equazioni consideriamo omeomorfismi fi : Ii → I e componiamocon α, β e γ; come omeomorfismi possiamo considerare quelli della forma

fi(s) =s− aibi − ai

;

quindi

f1(s) =st+1

4

=4s

t+ 1f2(s) =

s− t+14

t+24− t+1

4

=4s−t−1

414

= 4s− t− 1

76

6.1. Il gruppo fondamentale

f3(s) =s− t+2

4

1− t+24

=4s−t−2

44−t−2

4

=4s− t− 2

2− t.

L’omotopia cercata e dunque

F (s, t) =

α

(4s

t+ 1

)s ∈

[0, t+1

4

]β(4s− t− 1) s ∈

[t+1

4, t+2

4

]γ

(4s− t− 2

2− t

)s ∈

[t+2

4, 1]

Lemma 6.6. Sia α un cammino con punto iniziale x0 e punto finale x1 e siano εx0 e εx1

i cammini costanti εx0(s) = x0 e εx1(s) = x1. Allora

εx0 ∗ α ∼ α ∼ α ∗ εx1 .

Dimostrazione. Mostriamo che εx0 ∗ α e α sono omotopi;La figura mostra un modo di deformare i cammini uno nell’altro (il primo inter-vallo e quello del cammino costante, il secondo quello di α):

s=(t−1)/2

��

��

��

��

1I

2

��

��

t

s

I

In modo analogo all’esempio precedente (ma piu semplice) otteniamo la se-guente omotopia:

F (s, t) =

x0 s ∈[0, 1−t

2

]α

(2s+ t− 1

t+ 1

)s ∈

[1−t

2, 1]

Lemma 6.7. Sia α un cammino con punto iniziale x0 e punto finale x1; siano εx0 e εx1

i cammini costanti εx0(s) = x0 e εx1(s) = x1 e sia α il cammino inverso. Allora

α ∗ α ∼ εx0 α ∗ α ∼ εx1 .

77


Dimostrazione. Per mostrare che α ∗ α e εx0 sono omotopi utilizziamo laseguente applicazione:

F (s, t) =

x0 s ∈

[0, t

2

]α (2s− t) s ∈

[t2, 1

2

]α (2s+ t− 1) s ∈

[12, 2−t

2

]x0 s ∈

[2−t

2, 1]

Il procedimento con cui tale applicazione e ottenuta e lievemente differente daquello utilizzato nei lemmi precedenti. Non ne vediamo i dettagli.

Definizione 6.8. Il gruppo π(X, x0) e detto gruppo fondamentale o primo gruppo diomotopia di X con punto base x0.

Esempio 6.9. Se X = {∗}, allora π(X, ∗) = {1}, in quanto esiste un unico cam-mino, quello costante.

Proposizione 6.10. Siano x, y due punti di X ; se esiste un arco f : I → X checongiunge x a y allora π(X, x) ' π(X, y).

Dimostrazione. Definiamo l’applicazione uf : π(X, x) → π(X, y) in questomodo:

uf ([α]) = [f ∗ α ∗ f ].

L’applicazione e ben definita: poiche ovviamente f ∼ f e f ∼ f , applicando duevolte la Proposizione (6.3), otteniamo che, se α ∼ β, allora f ∗ α ∗ f ∼ f ∗ β ∗ f .Mostriamo ora che uf e un omomorfismo di gruppi.

uf ([α][β]) = uf ([α ∗ β]) = [f ∗ α ∗ β ∗ f ] =

= [f ∗ α ∗ f ∗ f ∗ β ∗ f ] = [f ∗ α ∗ f ][f ∗ β ∗ f ] = uf ([α])uf ([β]).

La biunivocita di uf segue dal fatto che uf ◦ uf = Idπ(X,x) e uf ◦ uf = Idπ(X,y).

Corollario 6.11. Se uno spazio X e connesso per archi, allora π(X, x) ' π(X, y)∀x, y ∈ X .

6.2 OMOMORFISMO INDOTTO

Sia ϕ : X → Y un’applicazione continua, e sia α un cappio di punto base x;l’applicazione (ϕ ◦ α) : I→ Y e un cappio in Y con punto base ϕ(x).Si puo verificare che, se α ∼ β allora ϕ ◦ α ∼ ϕ ◦ β; infatti, se F : I × I → X eun’omotopia tra α e β, allora G = ϕ ◦ F e un’omotopia tra ϕ ◦ α e ϕ ◦ β. Risultaquindi ben definita l’applicazione

ϕ∗ : π(X, x)→ π(Y, ϕ(x))

78

6.2. Omomorfismo indotto

che associa ad una classe di equivalenza [α] la classe di equivalenza [ϕ ◦ α];poiche ϕ ◦ (α ∗ β) = (ϕ ◦ α) ∗ (ϕ ◦ β), ϕ∗ e un omomorfismo di gruppi, infatti

ϕ∗([α ∗ β]) = [ϕ ◦ (α ∗ β)]) = [(ϕ ◦α) ∗ (ϕ ◦ β)] = [(ϕ ◦α)][(ϕ ◦ β)] = ϕ∗([α])ϕ∗([β]).

Per come abbiamo definito ϕ∗ e immediato verificare che, se abbiamo tre spazitopologici X, Y, Z e due applicazioni continue ϕ : X → Y e ψ : Y → Z, allora

(ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗;

Inoltre, se consideriamo IdX : X → X , si ha che IdX∗ = Idπ(X,x).

Corollario 6.12. Un omeomorfismo induce un isomorfismo di gruppi.


Possiamo riassumere quello che abbiamo detto dicendo che abbiamo costrui-to un funtore dalla categoria degli spazi topologici e applicazioni continue allacategoria dei gruppi e omomorfismi di gruppi.

Top. Gr

(X, x) π(X, x)ϕ : (X, x)→ (Y, y) ϕ∗ : π(X, x)→ π(Y, y)

ψ ◦ ϕ ψ∗ ◦ ϕ∗IdX Idπ(X,x)

(X, x) ' (Y, y) π(X, x) ' π(Y, y)

Di grande importanza nelle applicazioni e la seguente

Proposizione 6.13. Condizione necessaria affinche un sottospazioA diX sia un retrat-to e che, per ogni a ∈ A, denotati con i∗ : π(A, a)→ π(X, a) e r∗ : π(X, a)→ π(A, a)gli omomorfismi indotti dall’inclusione i : A → X e dalla retrazione r : X → A siabbia

r∗ ◦ i∗ = Idπ(A,a);

in particolare i∗ e iniettivo e r∗ e suriettivo.

Dimostrazione. Sia A ⊂ X un retratto e a ∈ A, e consideriamo il diagramma

Ai // X

r // A

e il diagramma indotto sui gruppi fondamentali

π(A, a0)i∗ // π(X, a0)

r∗ // π(A, a0)

Poiche r ◦ i = IdA, si ha che

r∗ ◦ i∗ = Idπ(A,a0) .

In particolare i∗ e iniettivo e r∗ e suriettivo.

79


6.3 TEOREMA DI INVARIANZA PER OMOTOPIA

Vogliamo ora mostrare che spazi che hanno lo stesso tipo di omotopia hannogruppi fondamentali isomorfi; useremo il seguente lemma, che diamo senzadimostrazione:

Lemma 6.14. Siano Φ,Ψ : X → Y continue e omotope, sia F : X × I → Y un’omoto-pia tra Φ e Ψ e sia f(t) = F (x0, t) (e un cammino che congiunge ϕ(x0) e ψ(x0)). Allorail seguente diagramma

π(X, x0)

Ψ∗ ''NNNNNNNNNNNΦ∗ // π(Y,Φ(x0))

ufwwnnnnnnnnnnnn

π(Y,Ψ(x0))

commuta, cioe Ψ∗ = uf ◦ Φ∗.

Teorema 6.15. (Teorema d’invarianza per omotopia) Siano X e Y spazi topologici, esia ϕ : X → Y un’equivalenza omotopica. Allora ϕ∗ : π(X, x) → π(Y, ϕ(x)) e unisomorfismo.

Dimostrazione. X e Y sono spazi topologici omotopicamente equivalenti,quindi esistono ϕ : X → Y e ψ : Y → X tali che ψ ◦ ϕ ∼ IdX e ϕ ◦ ψ ∼ IdY .Sia F un’omotopia tra ψ ◦ϕ e IdX , e sia f(t) = F (x, t); f e un arco che congiungeψ(ϕ(x)) a x. Applicando il Lemma (6.14) a ψ ◦ ϕ e IdX otteniamo il seguentediagramma commutativo:

π(X, x)

Idπ(X,x) &&MMMMMMMMMM

ϕ∗ // π(Y, ϕ(x))ψ∗ // π(X,ψ(ϕ(x)))

ufvvnnnnnnnnnnnn

π(X, x)

Poiche uf e un isomorfismo, allora ψ∗ ◦ ϕ∗ e un isomorfismo; in particolare cioimplica che ψ∗ e suriettiva.Applicando ora il Lemma (6.14) all’omotopia G tra ϕ ◦ ψ e IdY e otteniamo ilseguente diagramma commutativo

π(Y, ϕ(x))

Idπ(Y,ϕ(x)) ((PPPPPPPPPPPP

ψ∗ // π(X,ψ(ϕ(x)))eϕ∗ // π(Y, ϕ(ψ(ϕ(x))))

uguukkkkkkkkkkkkkk

π(Y, ϕ(x))

Abbiamo indicato con ϕ∗ l’omomorfismo indotto da ϕ tra i gruppi π(X,ψ(ϕ(x)))e π(Y, ϕ(ψ(ϕ(x)))), poiche, essendo i punti base diversi, tale omomorfismo none quello precedentemente indicato con ϕ∗.Poiche ug e un isomorfismo, allora ϕ∗ ◦ ψ∗ e un isomorfismo; in particolare ψ∗ einiettiva. Quindi ψ∗ e ϕ∗ sono isomorfismi.

80

6.4. Il gruppo fondamentale di S1

Corollario 6.16. Se X e contraibile, allora π(X, x) ' {1} per ogni x ∈ X .

Corollario 6.17. SeA ⊂ X e un retratto di deformazione e a ∈ A, allora l’omomorfismoi∗ : π(A, a)→ π(X, a) e un isomorfismo.

6.4 IL GRUPPO FONDAMENTALE DI S1

In questa sezione andremo a calcolare il gruppo fondamentale della circon-ferenza. Per far questo introdurremo alcune nozioni della teoria dei rivesti-menti; per trovare i gruppi fondamentali di altri spazi topologici utilizzeremosuccessivamente un altro metodo, non applicabile in questo caso.

Siano X e X spazi topologici connessi per archi.

Definizione 6.18. Un’applicazione continua p : X → X e un rivestimento seogni punto x ∈ X ha un intorno aperto U uniformemente rivestito da p, cioese esistono aperti disgiunti {Uj}j∈J in X tali che

1. p−1(U) =⋃Uj

2. p|Uj : Uj → U omeomorfismo ∀j

Definizione 6.19. L’applicazione p e detta applicazione di rivestimento mentre l’in-sieme p−1(x) ⊂ X e detto fibra di x.

Osservazione 6.20. Per ogni x ∈ X la topologia indotta dalla topologia di Xsulla fibra p−1(x) e la topologia discreta.

Esempi 6.21.

a) Ogni omeomorfismo e un rivestimento.

b) p : R→ S1 cosı definita: p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))).

c) Ponendo coordinate polari nel piano R2 possiamo definire pn : S1 → S1 inquesto modo: pn(1, θ) = (1, nθ).

d) Sia p : Sn → RPn la proiezione sul quoziente rispetto all’identificazionedei punti antipodali di Sn. Allora p e un rivestimento.

Definizione 6.22. Sia p : X → X un rivestimento e f : Y → X un’applicazionecontinua. Un’applicazione continua f : Y → X che fa commutare il diagrammaseguente, se esiste, e detta sollevamento di f .

X

p

��Y

ef ??��

��

��

f// X

81


Vedremo ora alcuni risultati riguardo l’esistenza e l’unicita di sollevamenti.

Lemma 6.23. Sia p : X → X un rivestimento, Y uno spazio connesso, f : Y → X

un’applicazione continua e f1, f2 : Y → X sollevamenti di f . Allora, se esiste un puntoy0 ∈ Y tale che f1(x0) = f2(x0) si ha f1 = f2.

Dimostrazione. Sia W ⊂ Y l’insieme dei punti su cui f1 e f2 coincidono.Mostreremo che tale insieme e aperto e chiuso in Y ; poiche W 6= ∅, in quantocontiene y0, si avra W = Y .Sia y ∈ Y , e sia U un intorno di f(y) uniformemente rivestito da p. La controim-magine di U si puo quindi scrivere come unione disgiunta di aperti Vj ; siano V1

e V2 i due aperti che contengono rispettivamente f1(y) e f2(y).Per continuita esiste un intorno N di y tale che f1(N) ⊂ V1 e f2(N) ⊂ V2.Se y 6∈ W , allora V1 ∩ V2 = ∅ e N e un intorno di y contenuto in W c, che e quindiaperto. Se y ∈ W , allora necessariamente V1 = V2; dal fatto che pf1(y) = pf2(y) eche p e un omeomorfismo su V1, quindi iniettiva, deduciamo che f1 = f2 su N .Segue che W e aperto.

Lemma 6.24. Sia p : X → X un rivestimento e α : I → X un cammino di puntoiniziale α(0) = x0. Allora, fissato x0 ∈ p−1(x0), esiste un unico sollevamento di α,α : I→ X tale che α(0) = x0.

Dimostrazione. Poiche X e coperto da aperti uniformemente rivestiti da p,esiste una famiglia di aperti {Uj}j∈J uniformemente rivestiti da p tali che la fa-miglia {α−1(Uj)}j∈J costituisce un ricoprimento di I.Esprimendo α−1(Uj) come unione di intervalli: α−1(Uj) = ∪(aij, bij) si ottieneun nuovo ricoprimento aperto di I.Poiche I e compatto e possibile trovare un numero finito di tali intervalli lo co-prono, e quindi una successione di punti 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 con laproprieta che per ogni k esiste jk ∈ J tale che α([tk, tk+1]) e contenuto in Ujk .Costruiamo ora il sollevamento induttivamente su [0, tk].Per k = 0 poniamo α(0) = x0; supponiamo di aver definito αk : [0, tk] → X conα(0) = x0 e che tale sollevamento sia unico.

��

��

��

��

��

��

��

��

82

6.4. Il gruppo fondamentale di S1

Per costruzione α([tk, tk+1]) e contenuto in Ujk , la cui controimmagine p−1(Ujk) ecostituita da un’unione disgiunta di aperti Wj omeomorfi a Ujk mediante p.Sia W l’aperto tra i Wj che contiene αk(tk); possiamo definire αk+1 nel seguentemodo

αk+1(t) =

{αk(t) t ∈ [0, tk]

(p|W )−1α(t) t ∈ [tk, tk+1]

La continuita di αk+1 segue dal Lemma (3.56), e l’unicita dal Lemma (6.23).

Diamo senza dimostrazione il seguente fondamentale

Teorema 6.25. (Teorema di Monodromia) Siano α e β cammini omotopi in X , tali cheα(0) = β(0) = x0; sia x0 ∈ p−1(x0), e siano α e β gli unici sollevamenti di α e β conpunto iniziale x0. Allora α(1) = β(1).

Possiamo ora trovare il gruppo fondamentale della circonferenza

Teorema 6.26. Sia S1 ⊂ R2 la circonferenza unitaria, e sia x0 = (1, 0).Allora π(S1, x0) ' Z, e un generatore e dato dalla classe del cammino α : I → S1 cosıdefinito: α(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).

Dimostrazione. Consideriamo l’applicazione p : R → S1 definita ponendop(t) = (cos(2πt), sin(2πt)). Scegliamo come punto base il punto x0 = (1, 0) e siaα un cappio di punto base x0; per il Lemma (6.24) esiste un unico sollevamentoα tale che α(0) = 0.

p

0

−1

2

3

1

α

α

Chiamiamo grado di α il numero intero α(1); osserviamo che, per il Teorema(6.25), il grado e ben definito sulle classi di omotopia di cammini. Abbiamoquindi un’applicazione (di insiemi)

π(S1, (1, 0))d // Z

[α] // α(1)

83


Vogliamo mostrare che d e un isomorfismo di gruppi.Osserviamo innanzitutto che, se αk(t) e l’unico sollevamento di α con puntoiniziale k, allora, in virtu dell’unicita del sollevamento, αk(t) = α0(t) + k.Possiamo ora osservare che, se α e β sono cappi in S1 con punto base (1, 0) allora

(α ∗ β)0 = α0 ∗ βeα0(1).

Infatti il secondo membro e un sollevamento di α ∗ β con punto iniziale 0 etale sollevamento e unico. Possiamo ora mostrare che d e un omomorfismo digruppi:

d([α][β]) = (α ∗ β)0(1) = α0 ∗ βeα0(1) =

= βeα0(1) = β0(1) + α0(1) = d([α]) + d([β]).

Verifichiamo che d e un omomorfismo suriettivo: sia n ∈ Z; allora il camminoα(t) = (cos(2πnt), sin(2πnt)) e un cammino in S1 tale che α(1) = n.Infine mostriamo che d e iniettivo: se d[α] = 0, allora α(0) = α(1) = 0; poiche Re contraibile, allora α ∼ ε0. Sia F un’omotopia tra α e ε0. La composizione p ◦ Fe un’omotopia tra α e ε(1,0).

Corollario 6.27. Il disco chiuso D2 non e omeomorfo al disco aperto D2.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che tra i due spazi esista un omeo-morfismo f : D2 → D2. Sia x ∈ D2 un punto del bordo, e sia y = f(x).La restrizione di f darebbe un omeomorfismo tra D2 \ x e D2 \ y, ma cio e as-surdo, in quanto D2 \ x e contraibile, e ha quindi gruppo fondamentale banale,mentre D2 \ y ha una circonferenza come retratto di deformazione, e quindi ilsuo gruppo fondamentale e isomorfo a Z.

84

Capitolo 7

Teorema di Seifert-Van Kampen eapplicazioni

7.1 GRUPPI CON PRESENTAZIONE

Gruppi liberi

Sia S un insieme: S = {xi}i∈I .

Definizione 7.1. Chiamiamo alfabeto l’insieme {xi, x−1i }i∈I dove x−1

i e inteso so-lamente come un’espressione formale.

Definizione 7.2. Sia W l’insieme delle espressioni del tipo

xε(i1)i1

xε(i2)i2

. . . xε(in)in

con xi ∈ S e ε(i) = ±1. Tali espressioni sono dette parole. W comprende anchela parola vuota, che non contiene nessun simbolo.

Introduciamo ora una relazione d’equivalenza ∼ in W in questo modo.Diremo che due parole w1 e w2 sono equivalenti se si possono ottenere l’unadall’altra introducendo o cancellando un numero finito di espressioni del tipoxix−1i o x−1

i xi.L’insieme quoziente G = W/∼ risulta essere un gruppo rispetto alla giustappo-sizione; e detto gruppo libero generato da S.L’elemento neutro e dato dalla classe della parola vuota, che indicheremo conil simbolo 1, mentre l’inverso della classe della parola xε(i1)

i1xε(i2)i2

. . . xε(in)in

e datodalla classe della parola x−ε(in)

in. . . x

−ε(i2)i2

x−ε(i1)i1

.

Esempi 7.3.

a) S = ∅ G = {1}.

85

7. Teorema di Seifert-Van Kampen e applicazioni

b) S = {x} G = {1, x, x−1, xx, x−1x−1, . . . } ' Z.

c) S = {a, b} G = {1, a, b, a−1, b−1, ab, ba, . . . } =: Z ∗ Z (Prodotto libero).Non e abeliano.

d) In generale, se card(S) = n, allora G = Z ∗Z ∗ · · · ∗Z e detto gruppo liberoa n generatori. La sua struttura dipende solo dalla cardinalita di S, nondalla natura degli elementi di S.

Relazioni

Nell’insieme W delle parole, oltre alla relazione ∼, definita sopra, possiamo in-trodurre altre relazioni di equivalenza. Fissato un sottoinsieme R ⊂ W , diciamoche due elementi di W sono R−equivalenti

w1 ∼R w2

se si ottengono uno dall’altro mediante un numero finito di operazioni del tipo

i) Inserire o cancellare xx−1 o x−1x con x ∈ S.

ii) Inserire o cancellare r o r−1 con r ∈ R.

L’insieme W/∼R e un gruppo rispetto alla giustapposizione

[w1]R[w2]R = [w1w2]R,

detto gruppo con presentazione 〈S |R〉; l’insieme S e chiamato insieme dei genera-tori, mentre l’insieme R e l’insieme dei relatori (o delle relazioni).

Osservazione 7.4. Il gruppo 〈S |R〉 e il quoziente del gruppo libero 〈S | ∅〉 rispet-to al sottogruppo generato dalle classi di equivalenza degli elementi di R.

Esempi 7.5.

a) 〈∅ | ∅〉 = {1} Gruppo banale.

b) 〈x |xn〉 = {1, x, x2, . . . , xn−1} ' Zn Classi di resti modulo n.

c) 〈x, y |xy = yx〉 ' Z⊕ Z.

d) Ogni gruppo (G, ·) e un gruppo con presentazione. Una presentazione edata da 〈SG |RG〉, con SG = G e RG = {(x · y)y−1x−1}.

Osservazione 7.6. Lo stesso gruppo puo avere diverse presentazioni.

86

7.2. Il teorema di Seifert-Van Kampen

7.2 IL TEOREMA DI SEIFERT-VAN KAMPEN

Sia X uno spazio topologico, U1 e U2 due suoi aperti non vuoti e connessi perarchi tali che X = U1 ∪ U2 e U1 ∩ U2 sia non vuoto e connesso per archi; siainfine x0 un punto di U1∩U2. Le inclusioni danno luogo al seguente diagrammacommutativo

U1

j1

@@@

@@@@

@

U1 ∩ U2

i1

::vvvvvvvvv

i2 $$HHHHHHHHH X

U2

j2

>>~~~~~~~~

che induce un diagramma commutativo sui gruppi fondamentali

π(U1, x0)j1∗

&&MMMMMMMMMM

π(U1 ∩ U2, x0)

i1∗77nnnnnnnnnnnn

i2∗ ''PPPPPPPPPPPPπ(X, x0)

π(U2, x0)

j2∗

88qqqqqqqqqq

Consideriamo delle presentazioni per π(U1, x0), π(U2, x0) e π(U1 ∩ U2, x0)

π(U1, x0) = 〈S1 |R1〉π(U2, x0) = 〈S2 |R2〉π(U1 ∩ U2, x0) = 〈S |R〉

Il Teorema di Seifert-Van Kampen ci permette di trovare il gruppo fondamentaledi X conoscendo quello di U1, quello di U2 e quello di U1 ∩ U2. In particolare

I generatori di π(X, x0) sono l’unione dei generatoridi π(U1, x0) e dei generatori di π(U2, x0).

Le relazioni di π(X, x0) sono l’unione delle relazionidi π(U1, x0), delle relazioni di π(U2, x0) e di un insie-me di relazioni RS costruito a partire dai generatoridi π(U1 ∩ U2, x0).

Vediamo ora come si costruisce l’insieme RS .Preso un elemento s ∈ π(U1 ∩ U2, x0), possiamo considerare le sue immaginii1∗s ∈ π(U1, x0) e i2∗s ∈ π(U2, x0) e denotiamo con “i1∗s” e “i2∗s” le parole corri-spondenti.

87


Cio significa che “i1∗s” e la parola che si ottiene scrivendo i1∗s utilizzando glielementi di S1, cioe i generatori di π(U1, x0) e analogamente “i2∗s” e la parolache si ottiene scrivendo i2∗s utilizzando gli elementi di S2, cioe i generatori diπ(U2, x0).Siamo ora in grado di descrivere l’insieme RS :

RS = {“i1∗s”(“i2∗s”)−1 | s ∈ S}.

Riassumendo quanto detto finora:

Teorema 7.7. (Seifert-Van Kampen) Sia X uno spazio topologico, U1 e U2 due suoiaperti non vuoti e connessi per archi tali che X = U1 ∪ U2 e U1 ∩ U2 sia non vuoto econnesso per archi e x0 ∈ U1 ∩ U2.Siano π(U1, x0) = 〈S1 |R1〉, π(U2, x0) = 〈S2 |R2〉, π(U1 ∩ U2, x0) = 〈S |R〉 e siaRS = {“i1∗s”(“i2∗s”)−1 | s ∈ S}. Allora

π(X, x0) ' 〈S1 ∪ S2 | R1 ∪R2 ∪RS〉.

Esempi 7.8.

a) X = S2 ⊂ R3; sia x0 un punto sull’equatore, sia 0 < ε << 1 e siano

U1 = {(x, y, z) ∈ S2 | z > −ε},

U2 = {(x, y, z) ∈ S2 | z < ε}.

U1 U1 U2

X

U2

Gli insiemi Ui sono omeomorfi a dischi di dimensione due, e percio con-traibili, quindi i loro gruppi fondamentali sono banali:

π(Ui, x0) = 〈∅ | ∅〉.

88


L’intersezione U1 ∩U2 ha l’equatore come retratto di deformazione, quindi

π(U1 ∩ U2, x0) = 〈α | ∅〉,

dove α e un cammino che fa un giro sull’equatore. Applicando il teoremadi Seifert-Van Kampen otteniamo quindi

π(S2, x0) = 〈∅ | ∅〉

Possiamo, piu in generale, osservare che, qualora i gruppi fondamentali π(Ui, X0)siano banali, allora anche il gruppo fondamentale di X e banale.

b) X = S1 ∨ S1 = {(x, y) | (x+ 1)2 + y2 = 1} ∨ {(x, y) | (x− 1)2 + y2 = 1} ⊂ R2;sia x0 = (0, 0) e sia 0 < ε << 1. Siano

U1 = {(x, y) ∈ X |x < ε},

U2 = {(x, y) ∈ X |x > −ε}.

X

U1 U2 U1 U2

Il gruppo fondamentale della circonferenza {(x, y) | (x+1)2+y2 = 1} e cicli-co infinito generato dalla classe del cammino α(t) = (cos(2πt)−1, sin(2πt));l’aperto U1 ha tale circonferenza come retratto di deformazione, quindiabbiamo un isomorfismo

π(S1, x0)i∗ // π(U1, x0)

[α] // [i∗α]

89


Denotando con abuso di linguaggio ancora con α il cammino i◦α possiamoquindi concludere che

π(U1, x0) = 〈α | ∅〉.

Analogamente, denotato con β il cammino β(t) = (cos(2πt) + 1, sin(2πt))avremo che

π(U2, x0) = 〈β | ∅〉.

L’intersezione U1 ∩ U2 e contraibile, quindi

π(U1 ∩ U2, x0) = 〈∅ | ∅〉.

Applicando il teorema di Seifert-Van Kampen otteniamo

π(S1 ∨ S1, x0) = 〈α, β | ∅〉 ' Z ∗ Z.

Possiamo in generale osservare che, dati due spazi topologici (X, x0) e (Y, y0), congruppi fondamentali π(X, x0) = 〈S1 |R1〉 e π(Y, y0) = 〈S2 |R2〉 e tali che x0

e y0 hanno un intorno contraibile in X e in Y rispettivamente, allora il gruppofondamentale dello spazio topologico Z, unione a un punto di (X, x0) e (Y, y0) edato da

π(Z, z0) = 〈S1 ∪ S2 |R1 ∪R2〉.

c) X = K, la bottiglia di Klein; sia x0 un punto interno al poligono e sia δ uncammino che congiunge il punto P , vertice del poligono, con x0.Sia U1 = K\D, ove D e un disco chiuso contenuto in K e che non contienex0, e sia U2 = K\{a, b}.L’aperto U1 ha come retratto di deformazione il bordo di K, S1∨S1; abbia-mo dunque isomorfismi

π(S1 ∨ S1, P )i∗ // π(U1, P )

uδ // π(U1, x0)

[γ] // [i∗γ] // [δi∗γδ]

Ricordando che π(∂K, P ) = 〈a, b | ∅〉, e detti α = δi∗aδ e β = δi∗bδ abbiamoche

π(U1, x0) = 〈α, β | ∅〉.

L’aperto U2 e contraibile, e percio π(U2, x0) = 〈∅ | ∅〉.L’intersezione U1∩U2 ha una circonferenza γ passante per x0 come retrattodi deformazione, e percio, confondendo γ con i∗γ possiamo scrivere

π(U1 ∩ U2) = 〈γ | ∅〉.

90


0

0

γ

γb

bb

a

a

a

b

a

b

a

P P

PP

P

b

a

P

x

δ

aP

b

P

a

b

PP

b

P a

δ

x

P

Vediamo ora di costruire l’insieme RS = {“i1∗γ”(“i2∗γ”)−1}.Dobbiamo considerare la classe dell’immagine di γ in π(U1, x0) e scriverlautilizzando i generatori di tale gruppo. Osserviamo che la retrazione r :U1 → S1 ∨ S1 manda il cammino i1∗γ nel cammino ba−1ba, e quindi

π(S1 ∨ S1, P )i∗ // π(U1, P )

uδ // π(U1, x0)

[ba−1ba] // [i∗bi∗a−1i∗bi∗a] // [δi∗bi∗a

−1i∗bi∗aδ]

Pertanto δi∗bi∗a−1i∗bi∗aδ = δi∗bδδi∗a−1δδi∗bδδi∗aδ = βα−1βα.

Ripetiamo il procedimento con la classe dell’immagine di γ in π(U2, x0).poiche tale gruppo e banale, avremo che anche i2∗γ sara banale: i2∗γ = 1.Possiamo quindi concludere che

π(K, x0) = 〈α, β | βα−1βα = 1〉.

91


Esercizio 7.9. Sia X lo spazio topologico quoziente di un cilindro rispetto alleidentificazioni in figura:

b

b

a

a

Q

PP

Q

Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Esercizio 7.10. Sia D ⊂ R2 il disco chiuso centrato nell’origine e di raggio 4 esiano D1, D2 e D3 i dischi aperti di raggio uno centrati rispettivamente in (−2, 0),(0, 2), (2, 0) di raggio 1.Siano Y = D \ (D1 ∪ D2 ∪ D3), Z il cilindro S1 × [0, 4] e X lo spazio topologicoottenuto dall’unione di Y e Z identificando il bordo inferiore del cilindro con ilbordo di D1 e il bordo superiore con il bordo di D3, come in figura.

Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Esercizio 7.11. Nello spazio euclideo R3 si considerino il toro T ottenuto ruotandointorno all’asse z la circonferenza del piano (x, z) di centro (2, 0) e raggio 1 e ilpiano π di equazione y = 0. Sia X l’unione di T e π.Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Esercizio 7.12. Sia T il toro ottenuto facendo ruotare la circonferenza di centro(2, 0) e raggio uno nel piano y = 0 attorno all’asse z; sia D il disco chiuso dicentro (3, 0) e raggio 2 nel piano y = 0, e sia Q il punto (4, 0) nel piano y = 0. Sicalcoli il gruppo fondamentale di X = (T ∪D) \ {Q}.

��

��

��

92

7.3. Il teorema di classificazione delle superfici compatte - Seconda parte

7.3 IL TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICICOMPATTE - SECONDA PARTE

Definizione 7.13. Dato un gruppo con presentazione G = 〈S |R〉, il suo abelia-nizzato, Ab(G) e il gruppo con presentazione

Ab(G) = 〈S |R ∪ {xyx−1y−1 |x, y ∈ S}〉

Osservazione 7.14. Se G e G′ sono gruppi isomorfi, allora Ab(G) e Ab(G′) sonogruppi isomorfi.

Esempi 7.15.

a) G = 〈S | ∅〉, S = {x1, . . . , xn}. Allora Ab(G) ' Z⊕ Z · · · ⊕ Z = Z⊕n

b) Nel caso GR = 〈S |R〉 con S = {x1, . . . , xn}, allora Ab(GR) e un quozientedi Ab(GS) = Z⊕n, ove GS = 〈S | ∅〉

c) Sia G = 〈a, b | aba−1b〉;

Ab(G) = 〈a, b | b2 = 1〉 ' Z⊕ Z2.

Teorema 7.16. (Teorema di classificazione) Sia S una superficie compatta.

S orientabile⇒ S ' Tg g ≥ 0.S non orientabile⇒ S ' Uh h ≥ 1.

Inoltre se g 6= g′ allora Tg 6' Tg′ e se h 6= h′ allora Uh 6' Uh′ .

Dimostrazione. (Seconda parte) Calcoliamo i gruppi fondamentali delle su-perifici Tg e Uh. Gia sappiamo che π(S2, x) ' {1}; consideriamo dunque lasuperficie Tg con g ≥ 1.

a_1

��

��

��

��

a_1

b_1

b_2a_2

b_2

a_2

b_1

Per applicare il teorema di Seifert-Van Kampen scegliamo un punto x0 internoal poligono e un cammino δ che congiunge il punto P , vertice del poligono, conx0. Scegliamo poi come aperto U1 la superficie Tg privata di un disco, e comeaperto U2 la superficie Tg meno il bordo del poligono.

93


b_2

b_2

a_2b_2

a_1b_1

a_1

b_1

a_2

��

��

��

a_1

b_1 a_2

L’aperto U1 ha il bordo del poligono, che e un bouquet di 2g circonferenze, comeretratto di deformazione; detti αi = δaiδ e βi = δbiδ e procedendo come nel casodella bottiglia di Klein abbiamo che

π(U1, x0) = 〈α1, β1, . . . , αg, βg | ∅〉.

L’aperto U2 e contraibile, quindi

π(U2, x0) = 〈∅ | ∅〉.

L’intersezione U1 ∩ U2 si retrae su una circonferenza γ passante per x0, quindi

π(U1 ∩ U2, x0) = 〈γ | ∅〉.

Vediamo ora di calcolare RS ; γ, in U1, e omotopicamente equivalente aδa1b1a

−11 b−1

1 . . . agbga−1g b−1

g δ e quindi a α1β1α−11 β−1

1 . . . αgβgα−1g β−1

g .Invece, in U2, γ e omotopicamente equivalente al cammino banale, e quindiRS = {α1β1α

−11 β−1

1 . . . αgβgα−1g β−1

g = 1};

b_2

b_1

a_1

b_1

a_2

b_2a_2

��

��

��

��

a_1

94

7.4. Gruppo fondamentale e retrazioni

Pertanto si ha che

π(Tg, x0) = 〈α1, β1, . . . , αg, βg |α1β1α−11 β−1

1 . . . αgβgα−1g β−1

g = 1〉

Del tutto analoga (e lasciata come esercizio) e la procedura per calcolare il grup-po fondamentale delle superfici Uh, che porta alla seguente conclusione:

π(Uh, x0) = 〈α1, . . . , αh |α21 . . . α

2h = 1〉.

Per mostrare che i gruppi fondamentali che abbiamo calcolato non sono traloro isomorfi, calcoliamo i loro abelianizzati; innanzitutto scriviamo il grup-po fondamentale di Uh con una presentazione diversa: ponendo α = α1 . . . αhscriviamo

π(Uh, x0) = 〈α1, . . . , αh−1, α | α2 = 1〉

Quindi si haAb(π(Tg, x0)) = Z⊕2g

Ab(π(Uh, x0)) = Zh−1 ⊕ Z2

Come prima cosa osserviamo che gli abelianizzati dei gruppi delle superficiorientabili non hanno torsione, mentre in quelli delle superfici non orientabilila torsione e presente. Tali gruppi non sono percio isomorfi.Inoltre Ab(π(Tg, x0)) 6' Ab(π(Tg′ , x0)) se g 6= g′, quindi avremo che π(Tg, x0) eπ(Tg′ , x0) sono gruppi non isomorfi se g 6= g′, e quindi Tg e Tg′ sono superficinon omeomorfe se g 6= g′. Analogamente si conclude che Uh e Uh′ sono superficinon omeomorfe se h 6= h′.

7.4 GRUPPO FONDAMENTALE E RETRAZIONI

Sia X uno spazio topologico, A ⊂ X un sottospazio e a ∈ A. Riassumiamole condizioni necessarie sui gruppi fondamentali e sull’omomorfismo indottodall’inclusione tra i gruppi fondamentali perche A possa essere un retratto o unretratto di deformazione di X .

Proposizione 7.17. Condizione necessaria affinche un sottospazioA diX sia un retrat-to e che, per ogni a ∈ A, denotati con i∗ : π(A, a)→ π(X, a) e r∗ : π(X, a)→ π(A, a)gli omomorfismi indotti dall’inclusione i : A → X e dalla retrazione r : X → A siabbia

r∗ ◦ i∗ = Idπ(A,a);

in particolare i∗ e iniettivo e r∗ e suriettivo.Condizione necessaria affinche un sottospazio A di X sia un retratto di deformazione eche, per ogni a ∈ A si abbia π(X, a) ' π(A, a).

Dimostrazione. La prima parte e il contenuto della Proposizione (6.13), mentrela seconda e una conseguenza del Teorema (6.15).

95


Esempi 7.18. a) S1 non e un retratto di D2.

Se S1 fosse un retratto di D2 la mappa

i∗ : π(S1, a)→ π(D2, a)

sarebbe iniettiva, ma cio e impossibile, in quanto il secondo gruppo ebanale, mentre il primo e isomorfo a Z.

b) S1 non e un retratto di R2\{(1, 1)}.

Dobbiamo studiare l’omomorfismo

i∗ : π(S1, a)→ π(R2\{(1, 1)}, a)

Entrambi i gruppi sono isomorfi a Z, ma un generatore del gruppo π(S1, a)e la classe del cammino α(t) = (cos(2πt), sin(2πt)), mentre un generatoredel gruppo π(R2\{(1, 1)}, a) e la classe del cammino γ(t) = (1+cos(2πt), 1+sin(2πt)).L’immagine della classe [α] in π(R2\{(1, 1)}, a) e la classe di un cammi-no che non gira attorno al punto (1, 1), ed e quindi omotopo al camminobanale. Pertanto i∗ non e iniettiva e S1 non e un retratto di R2\{(1, 1)}.

c) Sia X la bottiglia di Klein, ottenuta come quoziente del quadrato, come infigura:

P

b

aP P

P

b

a

e sia A la circonferenza b. Mostriamo che A non e un retratto di X . Consi-deriamo il diagramma

π(A,P )i∗ // π(X,P )

r∗ // π(A,P )

〈b | ∅〉 i∗ // 〈a, b | aba−1b〉 r∗ // 〈b | ∅〉

Poiche i∗(b) = b e r∗ ◦ i∗ = Id si ha r∗(b) = b.Sia r∗(a) = bk; poiche in π(X,P ) si ha aba−1b = 1 allora r∗(aba−1b) = 1.Da cio segue 1 = r∗(a)r∗(b)r∗(a

−1)r∗(b) = bkbb−kb = b2, raggiungendo lacontraddizione che in π(A,P ) = 〈b | ∅〉 si dovrebbe avere b2 = 1.

96

7.4. Gruppo fondamentale e retrazioni

Esercizio 7.19. Siano S la sfera unitaria di R3, Γ l’equatore di S e A,B e C puntidi S come in figura. Si stabilisca se Γ e un retratto e/o un retratto di deformazionedi S\A, S\{A,B}, S\{A,C}.

A

Γ ΓΓ

C

B

AA

Esercizio 7.20. Sia RP2 il disco unitario con i punti antipodali del bordo identi-ficati, e sia γ l’immagine in RP2 di un diametro del disco. γ e un retratto e/o unretratto di deformazione di RP2?

a

a

γ

P P

Esercizio 7.21. Sia T il toro pieno S1 ×D2, α e β cammini come in figura e Dil disco piano chiuso il cui bordo e α.

P

αβ

Si stabilisca se i seguenti sottospazi sono retratti e/o retratti di deformazione di T

a) La circonferenza α.

b) La circonferenza β.

c) Il disco D.

97

Appendice A

Varie nozioni di compattezza

A.1 COMPATTEZZA PER RICOPRIMENTI: ORIGINE

La definizione di compattezza per ricoprimenti nasce dal seguente

Problema: Determinare una classe di spazi topologiciH tale che ogni f : X → Rcon f continua e X ∈ H ammetta massimo e minimo.

Osservazione A.1. Una funzione continua f : X → R e localmente limitata, cioeper ogni punto x0 ∈ X esiste un intorno Ux0 tale che f |Ux0 e limitata.

Dimostrazione. Dalla definizione di continuita, dato ε > 0 esiste un intorno Udi x0 tale che, se x ∈ U allora |f(x)− f(x0)| < ε, cioe

f(x0)− ε < f(x) < f(x0) + ε.

Definizione A.2. X si dice pseudocompatto se ogni f : X → R continua e global-mente limitata.

Osservazione A.3. Se X e pseudocompatto allora ogni f : X → R continuaammette massimo e minimo.

Dimostrazione. L’ipotesi sulla limitatezza globale di f implica l’esistenza di unm ∈ R tale che ∀x ∈ X si ha f(x) ≤ m. In particolare l’insieme {f(x)} e limitatosuperiormente; sia M = sup{f(x)}.Vogliamo mostrare che esiste x ∈ X tale che f(x) = M .Supponiamo per assurdo che cio non accada, cioe che f(x) < M per ogni x ∈ X .Consideriamo la funzione continua

g(x) =1

f(x)−M.

99

A. Varie nozioni di compattezza

Per le nostre ipotesi su X g e una funzione globalmente limitata, quindi esistek ∈ R tale che g(x) ≤ k per ogni x ∈ X , cioe

1

k≤M − f(x),

che porta a f(x) ≤M − 1k, contro l’ipotesi che M fosse il sup di f .

Presa f continua nasce un ricoprimento di X fatto da intorni su cui f e limitata.Perche f sia globalmente limitata un numero finito di tali intorni deve esseresufficiente per coprireX . Questo deve valere per ogni funzione continua. Nascecosı la definizione di compattezza per ricoprimenti.

A.2 VARIE DEFINIZIONI DI COMPATTEZZA

Definizione A.4. Sia S ⊂ X . Un punto di accumulazione per S e un puntox ∈ X tale che in ogni suo intorno esistono infiniti punti di S.

Consideriamo le seguenti proprieta di un sottospazio X di Rn;

(A) X e chiuso e limitato.

(B) Ogni successione di punti diX ammette una sottosuccessione convergentea un punto di X .

(C) Un sottoinsieme infinito S ⊂ X ammette un punto di accumulazione inX .

(D) Da ogni ricoprimento aperto di X si puo estrarre un sottoricoprimentofinito.

Sappiamo gia che la proprieta (A) e la proprieta (D) sono equivalenti. Vedremopiu avanti che anche le altre proprieta sono ad esse equivalenti.Se X e uno spazio topologico qualsiasi la proprieta (A) e priva di senso. Le altreproprieta hanno senso, ma non sono, in generale, equivalenti.

Osservazione A.5. La proprieta (C) e equivalente alla seguente:

(C1) Ogni ricoprimento numerabile di X ammette un sottoricoprimento finito.

Dimostrazione. Dimostriamo che (C) ⇒ (C1). Sia per assurdo {Un}n∈N un ri-coprimento numerabile di X che non ammette un sottoricoprimento finito. Siax1 un punto di X \ U1, x2 6= x1 un punto di X \ (U1 ∪ U2), e, per ogni n siaxn ∈ X \ (U1 ∪ · · · ∪ Un) e xn diverso dai punti precedenti.I punti {xn} costituiscono un sottoinsieme infinito S di X , che ha quindi unpunto di accumulazione x. Tale punto appartiene ad uno degli aperti del rico-primento numerabile: sia UN tale aperto. Per costruzione, i punti xn con n > Nnon appartengono ad UN . Pertanto UN e un intorno di x che non contiene infinitipunti di S, e questo e assurdo.

100

A.2. Varie definizioni di compattezza

Dimostriamo ora che (C1) ⇒ (C). Supponiamo per assurdo che S ⊂ X siaun sottoinsieme infinito che non ammette punti di accumulazione in X . Senzaperdita di generalita possiamo assumere che S sia numerabile.Le ipotesi su S implicano che, per ogni x ∈ X esiste un intorno Ux 3 x tale cheU ∩ S contiene un numero finito di punti di S.Per ogni sottoinsieme finito F ⊂ S sia UF l’unione degli intorni Ux tali che Ux ∩S = F ; gli aperti UF costituiscono un ricoprimento aperto numerabile (vediOsservazione (A.6)) di X , che quindi ammette un sottoricoprimento finito.Ma ogni aperto del sottoricoprimento contiene al piu un numero finito di puntidi S, e giungiamo percio ad una contraddizione.

Osservazione A.6. I sottoinsiemi di N di cardinalita finita fissata sono numera-bili, in quanto possono essere visti come sottoinsiemi del prodotto cartesiano diun numero finito di copie di N.Quindi i sottoinsiemi di cardinalita finita sono unione numerabile dei sottoin-siemi di cardinalita finita fissata.

Definizione A.7. Diciamo che X e compatto per ricoprimenti se vale (D), compattoper successioni se vale (B), numerabilmente compatto se vale (C).

Proposizione A.8. X compatto per ricoprimenti⇒ X numerabilmente compatto.

Dimostrazione. Immediata.

Proposizione A.9. X compatto per successioni⇒ X numerabilmente compatto.

Dimostrazione. Sia S un sottoinsieme infinito di X ; da S estraiamo un sottoin-sieme numerabile S ′: scegliamo un punto x1 ∈ S, un punto x2 ∈ S \ x1, e cosıvia. Per ipotesi esiste una sottosuccessione {xnj} convergente a x ∈ X .Il punto x e un punto di accumulazione per S; infatti ogni suo intorno contienedefinitivamente la sottosuccessione, e quindi infiniti punti di S.

Proposizione A.10. X numerabilmente compatto⇒ X pseudocompatto.

Dimostrazione. Sia f : X → R continua e sia Un ⊂ X il sottoinsieme cosı defi-nito: Un = {x ∈ X | |f(x)| ≤ n}. I sottoinsiemi Un costituiscono un ricoprimen-to numerabile di X , dal quale e quindi possibile estrarre un sottoricoprimentofinito.

Esempio A.11. Sia X l’intervallo [0, 1] con la topologia τ i cui aperti non vuotisono i sottoinsiemi il cui complementare e numerabile.Tale spazio non e numerabilmente compatto: per mostrarlo si consideri il rico-primento costruito nel seguente modo: sia xn = 1

n, sia U = X \ {xn}n∈N e siano

Un = U ∪ {x1, . . . , xn}. Da tale ricoprimento aperto (numerabile) non e possibileestrarre un sotto ricoprimento finito.X e pseudocompatto perche e iperconnesso (cioe non esistono due aperti a in-tersezione vuota). Infatti ogni funzione continua su uno spazio iperconnesso

101


e costante (infatti se l’immagine di f contenesse due punti a, b con a 6= b sa-rebbe possibile prendere aperti disgiunti in R che contengono a e b, e le lorocontroimmagini darebbero aperti disgiunti in X , contro l’ipotesi).

Riassumiamo quanto visto fino ad ora col seguente diagramma

Compatto perricoprimenti

�'GGGGGGGGGGG

GGGGGGGGGGG

Numerabilmentecompatto

+3 Pseudocompatto

Compatto persuccessioni

7?vvvvvvvvvvvv

vvvvvvvvvvvv

Definizione A.12. Uno spazio topologico si dice di Lindelof se ogni ricoprimen-to aperto ammette un sottoricoprimento numerabile.

Proposizione A.13. Se X e di Lindelof e numerabilmente compatto⇒X compatto perricoprimenti.

Dimostrazione. Immediata.

Definizione A.14. Si dice che X verifica il Secondo assioma di numerabilita se lasua topologia ammette una base numerabile.

Teorema A.15. (Lindelof) Se (X, τ) ammette una base numerabile allora (X, τ) e diLindelof.

Dimostrazione. Sia {Uα}α∈A un ricoprimento aperto di X . Ogni elemento Uαdel ricoprimento si scrive come unione di elementi della base.E’ possibile percio costruire un nuovo ricoprimento costituito da elementi del-la base (e quindi numerabile). Per ogni aperto di questo nuovo ricoprimentosi scelga un aperto del ricoprimento iniziale che lo contiene; si trova cosı unsottoricoprimento numerabile.

Esempio A.16. SiaX un insieme non numerabile, p un suo punto e τ la topologiai cui aperti non banali sono i sottoinsiemi che non contengono p. Allora X e diLindelof, ma non ammette una base numerabile.

Definizione A.17. Un sistema fondamentale di intorni per un punto x ∈ X euna famiglia di intorni {Ux

i }i∈I con la proprieta che per ogni intorno V di xesiste i ∈ I tale che Ux

i ⊂ V .

Definizione A.18. Uno spazio topologico X verifica il Primo assioma di numera-bilita se ogni punto x ∈ X possiede un sistema fondamentale di intorni numera-bile.

102

A.3. Compattezza in spazi metrici

Proposizione A.19. Se X verifica il primo assioma di numerabilita e X e numerabil-mente compatto⇒ X compatto per successioni.

Dimostrazione. Sia S = {xn}n∈N una successione di punti di X . Se l’insiemeS e costituito da un numero finito di punti, allora almeno uno si ripete infinitevolte e troviamo la sottosuccessione convergente.Possiamo dunque assumere S sia un insieme infinito. Tale insieme ammettequindi un punto di accumulazione x ∈ S.Sia {Ux

n} un sistema fondamentale numerabile di intorni di x; per ogni m si con-sideri ∩m1 Ux

i e si prenda un punto della successione appartenente a Uxm.

Ogni intorno V di x contiene Uxn per qualche n, e quindi contiene definitivamen-

te la sottosuccessione cosı costruita.

A.3 COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI

Definizione A.20. Uno spazio topologico X si dice separabile se contiene un sot-toinsieme Y denso e numerabile.

Osservazione A.21. Uno spazio metrico e separabile se e solo se verifica il se-condo assioma di numerabilita.

Dimostrazione. Se Y e denso e numerabile possiamo considerare le bolle dicentro nei punti di Y e raggio razionale. Tali aperti costituiscono una base nu-merabile per la topologia indotta dalla metrica.Viceversa, denotata con B = {Bi}i∈N la base numerabile, per ogni elemento Bn

della base si scelga un punto xn ∈ Bn, e sia Y = ∪xn. Tale insieme e chiaramentenumerabile; mostriamo ora che e denso.Sia x ∈ X qualsiasi, e sia U un suo intorno aperto. L’aperto U contiene almenoun elemento della base, e quindi U ∩ Y 6= ∅; pertanto Y e denso in X .

Corollario A.22. Per uno spazio metrico separabile la compattezza per ricoprimenti, lacompattezza per successioni e la numerabile compattezza sono proprieta equivalenti.

Osservazione A.23. Uno spazio topologico che verifica il secondo assioma dinumerabilita e separabile. Infatti la seconda parte della dimostrazione prece-dente non fa uso della metrica.

Esempio A.24. Sia X un insieme non numerabile con la topologia i cui apertinon vuoti sono i sottoinsiemi che contengono un punto p fissato. Con tale to-pologia X e separabile, in quanto il sottoinsieme {p} e denso, ma non verifica ilsecondo assioma di numerabilita.Quindi, per spazi topologici non metrici la separabilita e il II assioma di nume-rabilita non sono equivalenti.

Il risultato principale di questa sezione e mostrare che, per spazi metrici, varienozioni di compattezza sono equivalenti:

103


Teorema A.25. Se X e uno spazio metrico sono equivalenti

• X e compatto per ricoprimenti;

• X e compatto per successioni;

• X e numerabilmente compatto.

Dimostrazione. Il Teorema segue dal Corollario (A.22), una volta provato cheuno spazio metrico (X, d) numerabilmente compatto e separabile.Osserviamo innanzitutto che in uno spazio metrico ogni sottoinsieme chiuso eintersezione numerabile di aperti. Infatti, se C e chiuso sia Un = ∪Bc(1/n) alvariare di c ∈ C; allora C = ∩Un. Dualmente ogni insieme aperto e unionenumerabile di chiusi.

Se X e numerabilmente compatto, allora ogni suo chiuso discreto C e finito;infatti se fosse infinito avrebbe un punto di accumulazione, che sarebbe anchepunto limite, e quindi contenuto in C. Sia ora A un sottoinsieme discreto qual-siasi. Tale sottoinsieme e aperto nella sua chiusuraA (perche e discreto), e quindie unione numerabile di chiusi (discreti) di A che sono anche chiusi (discreti) diX . Essendo i chiusi dicreti di X insieme finiti segue che A e numerabile.

Da cio segue che ogni famiglia di aperti disgiunti di X e al piu numerabile (al-trimenti, scegliendo un punto per ogni aperto costruiremmo un sottoinsiemediscreto piu che numerabile).Ora consideriamo, per ogni n ∈ N, l’insiemeDn come un insieme massimale taleche ogni coppia di suoi punti abbia distanza ≥ 1

n. L’insieme Dn e numerabile,

perche le bolle di raggio 12n

centrate nei suo punti sono disgiunte.Sia D l’unione dei Dn. D e numerabile. Mostriamo che e anche denso.Se cosı non fosse, esiterebbe un m tale che un punto x non contenuto nellachiusura di D avrebbe distanza > 1

mda tutti i punti di D, contraddicendo la

massimalita di Dm.

A.4 SPAZI LOCALMENTE COMPATTI

Definizione A.26. Uno spazio topologico (X, τ) si dice localmente compatto seogni suo punto ha un intorno compatto.

Esempio A.27.

a) Uno spazio topologico compatto e localmente compatto.

b) Uno spazio topologico con la topologia discreta e localmente compatto.

c) Q non e localmente compatto.

Sia x ∈ Q, sia U ∩ Q un suo intorno, con U aperto di R e sia r ∈ U unirrazionale. Dal ricoprimento aperto di U costituito dagli aperti ((−∞, r −

104

A.4. Spazi localmente compatti

1/n) ∪ (r + 1/n,+∞)) ∩ U non e possibile estrarre un sottoricoprimentofinito.

d) In uno spazio localmente compatto non e vero che ogni punto ha un intor-no a chiusura compatta. Per mostrarlo consideriamo un insieme infinitoX e p ∈ X un suo punto; poniamo su X la topologia τp, i cui aperti nonbanali sono i sottoinsiemi che contengono p.Sia x un punto di X ; il sottoinsieme Ux = {x, p} e un aperto che contiene xed e compatto, quindi ogni punto di X ha un intorno compatto.L’unico chiuso diX che contiene p e tutto lo spazio, pertanto la chiusura diqualsiasi intorno di x e X , che non e compatto: per mostrarlo si considericome ricoprimento quello formato dagli aperti Ux = {x, p}.

Osservazione A.28. SeX e uno spazio topologico di Hausdorff localmente com-patto allora ogni punto ha un intorno a chiusura compatta. Infatti un sottoinsie-me compatto di uno spazio di Hausdorff e chiuso.

Proposizione A.29. Sia f : X → Y un’applicazione continua e aperta, e sia X unospazio localmente compatto. Allora f(X) e uno spazio localmente compatto.

Dimostrazione. Sia y ∈ f(X) e sia x tale che f(x) = y; sia x ∈ A ⊂ K, con Aaperto e K compatto. Allora y ∈ f(A) ⊂ f(K), dove f(A) e aperto perche f eaperta e f(K) e compatto perche f e continua.

Esempio A.30. L’immagine per un’applicazione continua di uno spazio local-mente compatto non e localmente compatta: sia (X, τ) uno spazio non local-mente compatto, e sia (X, τd) lo stesso spazio con la topologia discreta. L’appli-cazione identica Id : (X, τd)→ (X, τ) e continua.

Proposizione A.31. Un sottospazio chiuso C di uno spazio localmente compatto X elocalmente compatto.

Dimostrazione. Sia x ∈ C, sia Ux un intorno compatto di x in X e sia Vx =C ∩ Ux. L’insieme Vx e chiuso nel compatto Ux; e quindi e compatto.

Definizione A.32. Sia X uno spazio topologico e sia X∗ l’insieme ottenuto ag-giungendo aX un punto ∗; su tale insieme definiamo una topologia τ ∗ in questomodo: U e un aperto non banale di τ ∗ se e solo se

i) U 63 ∗ e U ∈ τ .

ii) U 3 ∗ e U c e chiuso e compatto in τ .

Lo spazio X∗ si dice compattificazione ad un punto di X .

Proposizione A.33. (X∗, τ ∗) e uno spazio topologico compatto; la topologia indotta suX da τ ∗ e la topologia τ .

105


Dimostrazione. Poiche τ e una topologia, unioni e intersezioni finite di insiemidel primo tipo sono ancora insiemi del primo tipo.Sia {Ui}i∈I una collezione di insiemi del secondo tipo. Il complementare del-l’unione (∪Ui)c e un chiuso in quanto intersezione di chiusi, ed e compatto inquanto

(∪Ui)c ⊂ U c1 ⊂ X

e U c1 e compatto.

Il complementare dell’intersezione finita di insiemi del secondo tipo (∩Ui)c =(∪Ui)c e unione finita di chiusi e compatti di τ , e quindi e chiuso e compatto.Siano ora V un insieme di tipo i) e U un insieme di tipo ii). L’insieme V ∩ U eun insieme del primo tipo, in quanto V ∩ U = V ∩ (U \ ∗), mentre V ∪ U e uninsieme del secondo tipo, in quanto (V ∪ U)c = V c ∩ U c = (V c \ ∗) ∩ U c e chiusodi τ come intersezione finita di elementi di τ e compatto perche contenuto in U c

che e compatto.

Ogni aperto di τ si ottiene evidentemente come un aperto di τ ∗ intersecato conX ; inoltre ogni aperto di τ ∗ intersecato con X e un aperto di X (per gli aperti ditipo ii) prendere il complementare in X o in X∗ e lo stesso).

Sia U = {Ui}i∈I un ricoprimento aperto diX∗; uno degli aperti del ricoprimento,sia esso U0, contiene ∗, quindi il suo complementare e compatto in X .L’insieme U \ U0 costituisce un ricoprimento aperto del compatto U c

0 , pertantoesistono U1, . . . , Un aperti di U che coprono U c

0 ; gli aperti U0, U1, . . . , Un costitui-scono il sottoricoprimento cercato.

Proposizione A.34. X e uno spazio di Hausdorff e localmente compatto⇔ X∗ e unospazio di Hausdorff.

Dimostrazione. ⇒) Siano x, y due punti diversi di X∗; se x, y ∈ X esistono Uxe Uy disgiunti in τ ; sono intorni aperti anche in τ ∗. Sia ora x ∈ X e y = ∗; poicheX e localmente compatto, esiste Ux tale che Ux e compatto; percio Uy = X∗ \ Ux

e aperto in τ∗, ed e disgiunto da Ux.

⇐) X e di Hausdorff perche sottospazio di X∗; sia x ∈ X ; siano Ux e U∗ intornidisgiunti di x e ∗ in X∗; la chiusura di Ux e contenuta nel compatto (U∗)

c, ed equindi compatta.

Esempio A.35. (R2)∗ ' S2.

Sappiamo che esiste un omeomorfismo f : R2 → S2 \N , dato dall’inverso dellaproiezione stereografica. Estendiamolo a f : (R2)∗ → S2 definendo f(∗) = N , ef = f su S2 \N .L’applicazione f e chiaramente biunivoca; essendo (R2)∗ compatto e S2 di Hau-sdorff, per mostrare che f e un omeomorfismo, in virtu del Corollario (3.26)basta mostrare che f e continua.Sia U ⊂ S2 un aperto; se U 63 N allora f−1(U) = f−1(U) e aperto di R2; sia

106

A.4. Spazi localmente compatti

ora U 3 N ; U c e compatto in S2, e quindi anche in S2 \ N , pertanto f−1(U c) =(f−1(U))c e compatto in R2, quindi f−1(U) e aperto.

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Ultima revisione: marzo 2010

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