Normalizzazione dei dati 2008 2009 - unirc.it · SEZIONE COSTRUZIONI RURALI E TERRITORIO...

Supporto didattico 4 – AA 2008-2009 Docente dott. G. Modica

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TECNICHE TECNICHE DIDI NORMALIZZAZIONE DEI DATINORMALIZZAZIONE DEI DATIPER IL LORO UTILIZZO NELL’AMBITO DEI METODI PER IL LORO UTILIZZO NELL’AMBITO DEI METODI

MULTICRITERIALI IN AMBIENTE GISMULTICRITERIALI IN AMBIENTE GIS

Giuseppe Modica [email protected]

D S Ai TAf Dipartimento di Scienze e TecnologieAgroforestali e Ambientali

SEZIONE COSTRUZIONI RURALI E TERRITORIO AGROFORESTALE

Corso di Laurea SpecialisticaScienze Forestali ed Ambientali



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Concetti di baseConcetti di baseLaLa normalizzazionenormalizzazione èè un’operazioneun’operazione statisticastatistica cheche permettepermette didi metteremettere aaconfrontoconfronto distribuzionidistribuzioni diversediverse..

LeLe procedureprocedure didi normalizzazionenormalizzazione sonosono effettuateeffettuate alloallo scoposcopo didi ricondurrericondurre datidatiriferitiriferiti aa scalescale didi valorivalori differenti,differenti, siasia numerichenumeriche siasia linguistiche,linguistiche, entroentro ununintervallointervallo didi valorivalori comunecomune..

La Normalizzazione dei datiLa Normalizzazione dei dati

ÈÈ unauna operazioneoperazione che,che, adad esempio,esempio, consenteconsente didi trasformaretrasformare ii punteggipunteggi deideicritericriteri didi valutazione,valutazione, espressiespressi nellenelle rispettiverispettive scalescale didi misura,misura, inin unauna scalascalaunicaunica compresacompresa tipicamentetipicamente tratra zerozero eded unouno.. SiSi parlaparla inin questoquesto casocaso didiintervallointervallo chiusochiuso [[00,, 11]]..

InIn teoria,teoria, unauna proceduraprocedura didi normalizzazionenormalizzazione nonnon dovrebbedovrebbe alterarealterare ililcontenutocontenuto informativoinformativo deidei datidati didi partenzapartenza..

NellaNella realtàrealtà operativa,operativa, vengonovengono impiegateimpiegate diversediverse tecnichetecniche cheche consentonoconsentonoquestaquesta trasformazionetrasformazione eded ii risultatirisultati cuicui consentonoconsentono didi pervenirepervenire sonosono diversidiversi


2



22

Criterio del valore massimoCriterio del valore massimoTasformazioniTasformazioni linearilineari

maxxxy i

i =Trasformazioni che mantengono la direzione delle preferenze (ad esempio il valore massimo resta massimo ed il minimo resta minimo anche dopo latrasformazione)

Criterio del valore minimo e massimoCriterio del valore minimo e massimo

)

minmax

min

xxxxy i

i −−

=



33

TasformazioniTasformazioni linearilineari

∑=

2i

ii

x

xy

Trasformazione vettoriale o EuclideaTrasformazione vettoriale o Euclidea

Trasformazioni che mantengono la direzione delle preferenze (ad esempio il valore massimo resta massimo ed il minimo resta minimo anche dopo latrasformazione)

Criterio del totale di rigaCriterio del totale di riga

)

∑=

i

ii x

xy


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44

TasformazioniTasformazioni linearilineari

Trasformazioni che mantengono la direzione delle preferenze (ad esempio il valore massimo resta massimo ed il minimo resta minimo anche dopo latrasformazione))



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Le analisi gerarchiche sono sempre più di largo utilizzo per

L’analisi gerarchicaL’analisi gerarchicaDefinizione di una gerarchia Definizione di una gerarchia Scomposizione di un problema decisionale in un insieme di sottoproblemi più semplici

Procedura dell’AHPProcedura dell’AHPAnalyticAnalytic HierarchyHierarchy ProcessProcess

((SaatySaaty , 1977), 1977)

affrontare problemi decisionali.

Spesso, il decisore sceglie tra più alternative sulla base di procedure basate su giudizi linguistici, più congeniali al ragionamento umano.

Successivamente, i giudizi linguistici sono tradotti in valori numerici e trattati secondo precisi algoritmi di calcolo.


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66

L’analisi gerarchica di L’analisi gerarchica di SaatySaatyLaLa proceduraprocedura delladella ValutazioneValutazione GerarchicaGerarchica delledelle AlternativeAlternative (AHP,(AHP, AnalyticAnalytic HierarchyHierarchyProcessProcess)) sisi basabasa susu unauna matricematrice didi giudizigiudizi espressiespressi nelnel confrontoconfronto aa coppiacoppia frafra ii varivari fattorifattori..GliGli elementielementi didi ciascunaciascuna coppiacoppia vengonovengono comparaticomparati alal finefine didi stabilirestabilire qualequale didi essiessi èè piùpiùimportanteimportante inin rapportorapporto all'elementoall'elemento sovraordinato,sovraordinato, ee inin qualequale misuramisura..IlIl risultatorisultato deldel confrontoconfronto èè ilil coefficientecoefficiente didi dominanzadominanza ((mmijij)) cheche rappresentarappresenta unauna stimastimadelladella dominanzadominanza deldel primoprimo elementoelemento ((ii)) rispettorispetto alal secondosecondo ((jj))..

Procedura della Procedura della Valutazione Valutazione Gerarchica delle Gerarchica delle AlternativeAlternative (AHP,(AHP,

AnalyticAnalytic HierarchyHierarchy ProcessProcess((SaatySaaty , 1977), 1977)

I giudizi previsti nella scala fondamentale dei rapporti (Saaty, 2000) sono di tipo qualitativo, sfruttando l’abilità e le caratteristiche del ragionamento umano nell’esprimere giudizi di preferenza.

Il metodo prevede cinque cinque indicatori linguisticiindicatori linguistici che corrispondono ad altrettanti

Confrontando a coppia gli n elementi, si ottengono nConfrontando a coppia gli n elementi, si ottengono n2 2 giudizi; in considerazione della giudizi; in considerazione della proprietà di reciprocità, la risoluzione della matrice richiede la definizione di un proprietà di reciprocità, la risoluzione della matrice richiede la definizione di un numero di giudizi pari anumero di giudizi pari a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333131

112221

111211

3

2

1

321

mmmmmmmmm

AAA

AAA

2)1( −⋅ nn

corrispondono ad altrettanti valori numerici e, qualora necessario, possono essere convenientemente utilizzati anche dei giudizi intermedi. La necessità di aumentare l’utilizzo di giudizi intermedi aumenta all’aumentare del numero dei fattori considerati

Matrice dei confronti a Matrice dei confronti a coppie coppie proprietàproprietà

La consistenza della matrice dei confronti dipende dal sistema di preferenze del decisore La consistenza della matrice dei confronti dipende dal sistema di preferenze del decisore e dalla scala di preferenze adottatae dalla scala di preferenze adottata



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Concetti di baseConcetti di base

Definizione (Indicatore linguistico) Intensità dell’importanza relativa

Uguale importanza 1 Debole importanza di un fattore rispetto ad un altro 3

Scala dei giudizi di Saaty e corrispondenti valori numerici utilizzati nei confronti a coppia tra i fattori inseriti nella valutazione multicriteriale.


((SaatySaaty , 1977), 1977)

Importanza forte 5Importanza dimostrata 7 Importanza assoluta 9 Valori intermedi tra due giudizi adiacenti 2, 4, 6, 8

Reciproci Se v è il giudizio espresso quando i è confrontato con j, 1/v è giudizio reciproco di j confrontato con i

1/9 1/7 1/5 1/3 1 3 5 7 9

assoluta molto forte forte moderata uguale moderata forte molto forte assoluta

meno importante più importante

I giudizi previsti nella scala fondamentale dei rapporti (Saaty, 2000) sono di tipo qualitativo, sfruttando l’abilità e le caratteristiche del ragionamento umano nell’esprimere giudizi di preferenza.

Il metodo prevede cinque cinque indicatori linguisticiindicatori linguistici che corrispondono ad altrettanticorrispondono ad altrettanti valori numerici e, qualora necessario, possono essere convenientemente utilizzati anche dei giudizi intermedi. La necessità di aumentare l’utilizzo di giudizi intermedi aumenta all’aumentare del numero dei fattori considerati.

Esempio di matrice dei confronti a coppia. Nel caso specifico, le alternative, o criteri, posti a confronto sono 3.Da notare come, per quanto visto in precedenza, basta esprimere un numero di giudizi pari a:n·(n-1)/2 3· (3-1)/2 = 3.


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Il Rapporto di Consistenza (CR, Consistency Ratio) è stato

ICIC = Indice di Coerenza= Indice di CoerenzaIRIR = Indice = Indice RandomRandomL’indice di Coerenza misura la deviazione dalla coerenza nell’espressione dei giudizi e si calcola L’indice di Coerenza misura la deviazione dalla coerenza nell’espressione dei giudizi e si calcola attraverso la seguente formula:attraverso la seguente formula:


((SaatySaaty , 1977), 1977)

Procedura di valutazione dell’AHP Procedura di valutazione dell’AHP Il rapporto di ConsistenzaIl rapporto di Consistenza

− nλ

IRICCR =

introdotto da Saaty (1977) ai fini della valutazione della congruenza nell’espressione dei giudizi

λλmaxmax è l’è l’autovaloreautovalore principale della matrice;principale della matrice;nn è il numero dei fattori inseriti nella matriceè il numero dei fattori inseriti nella matrice..

L’L’autovaloreautovalore principale della matriceprincipale della matrice ((λλmaxmax) ) si ricava attraverso il prodotto della si ricava attraverso il prodotto della matrice delle matrice delle prioritàpriorità xx per la per la matricematrice deidei confronticonfronti AA (Matrice prodotto)(Matrice prodotto), , ottenendo il vettoreottenendo il vettore yy, , di di componenticomponenti yyii

[ ]n

n

yy

xx

aaaaaaaa

A...

...

2

1

2

1

2232221

1131211

1max

−=

nnIC λ

[ ]

nnnnnnn

n

y

y

x

x

aaaa

aaaaaijA

....

...

..........

... 33

321

3333231=×==

dove:dove:

nnnnnnn

nn

nn

nn

xaxaxaxay

xaxaxaxayxaxaxaxay

xaxaxaxay

++++=

++++=++++=++++=

..................................................................................

.....3

..........

332211

3333232131

23232221212

13132121111∑==

n

kkjjkij cba

1

La matrice La matrice aa, prodotto delle , prodotto delle

due matrici due matrici bb e e cc, è, è

Gli elementi xxii della matrice dellepriorità sono ottenuti attraverso la media delle righe della matrice deiconfronti AA.



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DivedendoDivedendo lele componenticomponenti yi deldel vettorevettore y cosìcosì ottenutoottenuto perper lele omologheomologhe deldel vettorevettore x (xi) si si ottengono le componentiottengono le componenti zi di un nuovo vettoredi un nuovo vettore z, la cui media è l’la cui media è l’autovaloreautovalore principaleprincipale λmax.

xyz

xyz

xyz

/

/

/

333

222

111

=

=

=

C i t t d S t


((SaatySaaty , 1977), 1977)

zzzz n )......(max 321 ++++=λ

QuantoQuanto piùpiù ilil valorevalore didi λλmaxmax sisi avvicinaavvicina al numero degli elementi della matriceal numero degli elementi della matrice ((nn) ) tanto più è tanto più è coerente il risultato.coerente il risultato.

L’L’Indice Random (IR) èè stato calcolato sperimentalmente e nella tabella seguente si stato calcolato sperimentalmente e nella tabella seguente si riportano i valori che esso assume al variare del rango della matrice, per n compreso tra 1 riportano i valori che esso assume al variare del rango della matrice, per n compreso tra 1 e 12.e 12.

nnnxyz /

........................

333

=

Come riportato da Saaty(1977) e ormai largamente accettato, valori del CR superiori a 0,10 stanno ad indicare un’incongruenza dei giudizi espressi nel confronto a coppie. In tal caso è opportuno riformulare i confronti coppie.

naλ

Rango matrice (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Indice Random (IR) 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48


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1010

UNA BREVE INTRODUZIONEUNA BREVE INTRODUZIONE

La La LOGICALOGICA FUZZYFUZZY (“sfumato”, “sfuocato” ) è stata (“sfumato”, “sfuocato” ) è stata introdotta per formalizzare concetti del linguaggio naturale che introdotta per formalizzare concetti del linguaggio naturale che non possono essere categoricamente riconosciuti come veri o non possono essere categoricamente riconosciuti come veri o

Insieme “persone alte”Insieme “persone alte”

ELEMENTI ELEMENTI DIDI LOGICA FUZZYLOGICA FUZZY

falsi, ma che possono avere un certo grado di verità. falsi, ma che possono avere un certo grado di verità.

Si contrappone alla logica booleana o cosiddetta “Si contrappone alla logica booleana o cosiddetta “CrispCrisp” ” (“chiaro”, “preciso”);(“chiaro”, “preciso”);

“La “La LogicaLogica FuzzyFuzzy può essere definita in contrapposizione alla può essere definita in contrapposizione alla logica tradizionale. La logica bivalente (logica tradizionale. La logica bivalente (CrispCrisp) vede il mondo in ) vede il mondo in bianco o in nero, pieno o vuoto ecc. La bianco o in nero, pieno o vuoto ecc. La LogicaLogica fuzzyfuzzy invece è invece è polivalente e vede il mondo a colori, in uno spettro di tonalità polivalente e vede il mondo a colori, in uno spettro di tonalità diverse, che variano in modo continuo tra i vari estremi sopra diverse, che variano in modo continuo tra i vari estremi sopra esemplificati” (esemplificati” (KoskoKosko, 1993);, 1993);

La generalizzazione dalla logica booleana a quella La generalizzazione dalla logica booleana a quella FuzzyFuzzy passa passa

Logica classica

La generalizzazione dalla logica booleana a quella La generalizzazione dalla logica booleana a quella FuzzyFuzzy passa passa per la generalizzazione del concetto di appartenenza di un per la generalizzazione del concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme. elemento ad un insieme. Logica fuzzy

Nella teoria degli insiemi classica, un “oggetto”, può Nella teoria degli insiemi classica, un “oggetto”, può appartenereappartenere a questo insieme, oppure no; non esistono vie di a questo insieme, oppure no; non esistono vie di mezzo; mezzo; Nella logica Nella logica fuzzyfuzzy il concetto di appartenenza è ridefinito in il concetto di appartenenza è ridefinito in maniera quantitativa, associando ad ogni elemento il maniera quantitativa, associando ad ogni elemento il grado di grado di appartenenzaappartenenza a quella classe;a quella classe;

Alcune precisazioni formaliAlcune precisazioni formali



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LOGICA FUZZYLOGICA FUZZY(L. (L. ZadehZadeh , 1965), 1965)

M lti f i t li t

Dato un elemento ed un insieme Dato un elemento ed un insieme fuzzyfuzzy, non si può parlare di una sua proprietà di , non si può parlare di una sua proprietà di appartenenza/nonappartenenza/non--appartenenzaappartenenza all’insieme come di un predicato a valori binari veroall’insieme come di un predicato a valori binari vero--falso (0/1); la proprietà di appartenenza è invece definita come un falso (0/1); la proprietà di appartenenza è invece definita come un gradogrado didi appartenenzaappartenenzache può assumere qualsiasi valore nell’intervallo di valori continui (reali) compreso tra 0 e che può assumere qualsiasi valore nell’intervallo di valori continui (reali) compreso tra 0 e 1. Tale grado esprime una “qualità” di appartenenza ad un certo insieme.1. Tale grado esprime una “qualità” di appartenenza ad un certo insieme.

È il caso di sottolineare che la teoria degli insiemi È il caso di sottolineare che la teoria degli insiemi fuzzyfuzzy è uno strumento per descrivere, è uno strumento per descrivere,

Alcuni concetti di baseAlcuni concetti di base

Molti fenomeni naturali mostranoun certo grado di incertezza o di“sfumatura”, difficilmentefromalizzabili secondo limiti benprecisi (crisp).

Ed è il caso di alcune grandezzeterritoriali che spesso vengonoanche prsentate secondo classiben definiti ma che nella realtàsono fenomeni “continui”.

Si pensi ad esempio ad alcune

FUZZINESSFUZZINESS versus versus PROBABILITYPROBABILITYIl grado di appartenenza ad una funzione varia normalmente tra 0 e 1 e questo non fa Il grado di appartenenza ad una funzione varia normalmente tra 0 e 1 e questo non fa che aumentare la possibilità di confondere il concetto di che aumentare la possibilità di confondere il concetto di fuzzyfuzzy ((fuzzinessfuzziness) con quello di ) con quello di probabilità (probabilità (probabilityprobability), considerandoli di fatto equivalenti.), considerandoli di fatto equivalenti.

Tra i due termini esiste, invece, una sottile ma significativa differenza.Tra i due termini esiste, invece, una sottile ma significativa differenza.

gg yy p ,p ,con rigoroso formalismo matematico, la nozione di incertezza nelle situazioni in cui essa con rigoroso formalismo matematico, la nozione di incertezza nelle situazioni in cui essa non sia di natura stocastica. non sia di natura stocastica.

Si pensi ad esempio ad alcunegrandezze come la pendenzadei versanti, il grado sisuscettività di un’area per un uso specifico.

Tra i due termini esiste, invece, una sottile ma significativa differenza.Tra i due termini esiste, invece, una sottile ma significativa differenza.

ProbabilitàProbabilità fornisce un’indicazione sulla possibilità che un evento si fornisce un’indicazione sulla possibilità che un evento si verifichi. Non sappiamo però quando ciò possa accadere.verifichi. Non sappiamo però quando ciò possa accadere.

FuzzinessFuzziness si riferisce invece al grado di appartenenza di un oggetto ad si riferisce invece al grado di appartenenza di un oggetto ad una classe o ad un fenomeno. Il fenomeno quindi esiste, non conosciamo una classe o ad un fenomeno. Il fenomeno quindi esiste, non conosciamo solo il grado di appartenenza all’insieme di riferimento.solo il grado di appartenenza all’insieme di riferimento.


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1212

ELEMENTI ELEMENTI DIDI LOGICA FUZZYLOGICA FUZZYDefinizioni di base Definizioni di base –– I I fuzzyfuzzy setset

⎩⎨⎧

∉∈

=AxsseAxsse

xA 01

)(μ

Nella generalizzazione secondo logica booleana (cosiddetta Nella generalizzazione secondo logica booleana (cosiddetta logicalogica crispcrisp) il concetto di appartenenza di un elemento ad un ) il concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme è formalizzato nel seguente modo:insieme è formalizzato nel seguente modo:

⎩

Il valore assunto dalla funzione viene detto grado di appartenenza e nella logica booleana i valori sono ristretti a 0 ed 1 cIl valore assunto dalla funzione viene detto grado di appartenenza e nella logica booleana i valori sono ristretti a 0 ed 1 che he equivalgono semplicemente alle diciture: “x appartiene ad A”, “x non appartiene ad A”.equivalgono semplicemente alle diciture: “x appartiene ad A”, “x non appartiene ad A”.Ne consegue che gli elementi che appartengono all’insieme A sono indicati comeNe consegue che gli elementi che appartengono all’insieme A sono indicati comementre quelli che non vi appartengono comementre quelli che non vi appartengono come

1)( =xAμ0)( =xAμ

Sia X un insieme non vuoto. Nella logica Sia X un insieme non vuoto. Nella logica fuzzyfuzzy la funzione di appartenenza può assumere un qualsiasi valore nell’intervallo la funzione di appartenenza può assumere un qualsiasi valore nell’intervallo [0,1]. La [0,1]. La Funzione di AppartenenzaFunzione di Appartenenza μA(x)μA(x) dell'insieme dell'insieme fuzzyfuzzy A (A (membershipmembership functionfunction) o funzione caratteristica, associa ) o funzione caratteristica, associa ad ogni punto in ad ogni punto in XX un numero reale nell’intervallo [0,1].un numero reale nell’intervallo [0,1].Il valore di Il valore di μμA(x)A(x) rappresenta il grado di appartenenza di rappresenta il grado di appartenenza di xx in in AA, tanto più elevato quanto più vicino ad 1. L’appartenenza di , tanto più elevato quanto più vicino ad 1. L’appartenenza di un generico elemento un generico elemento xx con un insieme con un insieme fuzzyfuzzy AA in in XX può quindi essere così formalizzatapuò quindi essere così formalizzata

}{ XxxxA A ∈= :))(,( μ

]1,0[:)( →XxAμ

Un Un fuzzyfuzzy set set AA in in XX è quindi caratterizzato dalla sua funzione caratteristica e dal grado di appartenenza è quindi caratterizzato dalla sua funzione caratteristica e dal grado di appartenenza µA(x)µA(x) dell’elemento dell’elemento x nell’insieme x nell’insieme fuzzyfuzzy A per ogni A per ogni x x ∈∈ XX..Si perviene così alla definizione di un insieme Si perviene così alla definizione di un insieme fuzzyfuzzy: data una collezione di oggetti : data una collezione di oggetti x,x, l’insieme l’insieme fuzzyfuzzy AA in in XX è l’insieme di è l’insieme di coppie ordinate:coppie ordinate:

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ELEMENTI ELEMENTI DIDI LOGICA FUZZYLOGICA FUZZYEsempi di Esempi di fuzzyfuzzy setset

Nella logica tradizionale una persona è considerata adulta, Nella logica tradizionale una persona è considerata adulta, ovvero fa parte del set "adulti" al 100%, quando supera il ovvero fa parte del set "adulti" al 100%, quando supera il diciottesimo anno d'età, altrimenti rientra nel set “giovani" al diciottesimo anno d'età, altrimenti rientra nel set “giovani" al 100%100%100%100%

In logica In logica fuzzyfuzzy, invece, il , invece, il fuzzyfuzzy set ha una sfumatura sul set ha una sfumatura sul confine adulti/giovani. Ciascuno dei due insiemi, “giovani” ed confine adulti/giovani. Ciascuno dei due insiemi, “giovani” ed “adulti”, è definito da una funzione di appartenenza.“adulti”, è definito da una funzione di appartenenza.

La teoria La teoria fuzzyfuzzy traccia una curva fra gli opposti, fra A e traccia una curva fra gli opposti, fra A e nonnon--AA


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1414

LOGICA FUZZYLOGICA FUZZY Esempi sui Esempi sui fuzzyfuzzy setsetSe Se cici riferiamoriferiamo ad ad unauna classificazioneclassificazione didi tipotipo crispcrisp avremoavremo la la situazionesituazione prospettataprospettata in in tabellatabella::

Come Come appareappare evidenteevidente le le altezzealtezze didi A e C A e C sonosono assai assai similisimili ma ma datodato ilil tipotipo didi classificazioneclassificazioneadottataadottata, , questiquesti ricadonoricadono in in classiclassi diverse: media e diverse: media e altaalta, , rispettivamenterispettivamente..

Si prendano in considerazine trepersone (AA, BB e CC), cui corrispondono le seguenti altezze: 185185 cm, 165165 cm e 186186 cm. Si prendano in considerazione 3 classi di altezza con gli intervalli di

l i di it i di ti BASSABASSA

ConsideriamoConsideriamo oraora unauna classificazioneclassificazione secondosecondo ii fuzzy set. fuzzy set. All’uopoAll’uopo è è necessarionecessario definiredefinire tretrefunzionifunzioni didi appartenzaappartenza, , tantetante quantequante sonosono le le classiclassi didi altezzaaltezza previstepreviste. Ad . Ad esempioesempio::

•• Short Short funzionefunzione linearelineare con con valorevalore 1 1 finofino a 150 cm; a 150 cm; valorivalori decrescentidecrescenti dada 150 150 finofino a 180 cm.a 180 cm.•• Average Average valorevalore 0 per 0 per altezzealtezze < 150 cm; < 150 cm; funzionefunzione linearelineare crescentecrescente finofino a 175 cm dove assume a 175 cm dove assume ilil

valorevalore 1; 1; valorivalori decrescentidecrescenti dada 175 175 finofino a 200 cm, a 200 cm, sogliasoglia in cui la in cui la funzinefunzine vale 0.vale 0.•• Tall Tall valorevalore 0 0 finofino a 170 cm; a 170 cm; valorivalori crescenticrescenti dada 170 170 finofino a 200 cm, in cui la a 200 cm, in cui la funzionefunzione vale 1.vale 1.

valori di seguito indicati: BASSABASSA(short) [0, 165]MEDIAMEDIA (average) [165.1, 185] ALTAALTA (tall) [185.1, 250].

6,0150175150165)( =

−−

=−−

=abaxBaverageμ

0)( =Btallμ

5,0150180165180)( =

−−

=−−

=abxbBshortμ

Una proprietà importante delle membership functions relative ad uno stesso parametro è la loro reciproca sovrapposizione, sicché alcuni valori della variabile possono appartenere parzialmente a più insiemi fuzzy. Tanto più estesa è la zona di sovrapposizione, tanta più incertezza viene compresa nel sistema.



1515

LOGICA FUZZYLOGICA FUZZY MEMBERSHIP FUNCTIONSMEMBERSHIP FUNCTIONS

In figura sono indicati i 3 passaggi fondamentali di un procedimento fuzzy.La fase di fuzzificazione consiste nel passare dal valore numerico della variabile considerata al suo corrispondente valore di appartenenza all’insieme fuzzy corrispondente valore di appartenenza all insieme fuzzy, tramite la funzione di appartenenza, normalizzando tutti i valori nell’intervallo [0, 1]. L’inferenza è il momento in cui vengono applicate le regole di combinazione tra gli insiemi fuzzy. Generalmente si tratta di semplici espressioni linguistiche che vengono convertite in formalismo matematico con il linguaggio “if…then” della Logica.L’output fuzzy è anch’esso un valore di appartenenza sia può essere usato sia “puro”, come proprietà qualitativa, che “defuzzificato”, come numero reale. La defuzzificazione è il processo di restituzione del risultato sotto forma di numero.


9



1616

LOGICA FUZZYLOGICA FUZZY

Consideriamo ad esempio ilcaso di studio in cui vieneformali ato il problema relati o

All the conditions mentioned above (except the one for the restricted area) arevague, but correspond to the way we express these conditions in our languages andthinking. Using the conventional approach the above mentioned conditions would

be translated into crisp classes, such as• slope less than 10 degrees

• aspect between 135 degrees and 225 degrees, or the terrain is flat• elevation between 1,500 meters and 2,000 meters

• within 1 kilometer from a lake• not within 300 meters from a major roadformalizzato il problema relativo

all’individuazione delle aree piùsuscettive per uno specificoscopo.

In termini linguistici la formalizzazione del problemapuò essere in questi termini:

• Pendenza moderata• Esposizione favorevole• Altitudine moderata

• not within 300 meters from a major road

• Vicinanza ad elementinaturali

• Vicinanza agli assi viariprincipali

• Assenza di vincoli o restrizioni di alcun tipo



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Consideriamo il terrenopianeggiante quando la pendenza è inferiore a 10°. L’esposizione dei versanti è favorevole quando è orientata a S d t S d S d tSud-est, Sud e Sud-ovest.

In this part of the country, any elevation above

1,350 meters and below 2,150 meters is moderate with an “ideal” elevation between 1,700 and 1,800

meters. Every location within 1 ykilometer from a water body (lake or reservoir) is near that feature.

Close to a major road means within a buffer of 300 meters. In this example, we consider a major roadto be US 36, SR 7, SR 93, or SR 119.


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Consideriamo il terrenopianeggiante quando la pendenza è inferiore a 10°. L’esposizione dei versanti è favorevole quando è orientata a S d t S d S d tSud-est, Sud e Sud-ovest.

In this part of the country, any elevation above

1,350 meters and below 2,150 meters is moderate with an “ideal” elevation between 1,700 and 1,800

meters. Every location within 1 ykilometer from a water body (lake or reservoir) is near that feature.

Close to a major road means within a buffer of 300 meters. In this example, we consider a major roadto be US 36, SR 7, SR 93, or SR 119.

Membership function for “high elevation” (sinusoidal membership function)

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