C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO

(C.J. M. El )

..L. D E VITO

SUI FONDAMENTI D E L L A MECCANICA DEI

SISTEMI CONTINUI (11)

Corso tenuto a Bressanone da13 lmaggio a1 9 giugno 1 9 6 5

SUI FONDAMENTI DELLA MECCANICA DEI

SISTEMI CONTINUI (11)

d i

Luciano De Vito

Universitb- Roma

In un recente lavoro, in collaborazione t r a il dott,Innocente

Mazzaroli e lo scrivente, ( I ) 81 6 cominciato a sviluppare un

ordine di idee, proposto dal Prof. Gaetano Fichera giB alcuni anni

fa - in uno dei Suoi cors i alllIstituto Nazionale di Alta Matems-

tica -relative all~introduzione di un punto di vista "globaleIt nella teo-

r i a della "Meccanica dei s i s temi c o n t i n ~ i ' ~ . in luogo del punto di

vista "puntualen che pih spesso viene adottato . Secondo tale punto di

vista "globaleU, le forze di volume e di superf icie non aaranno pih

rappresentate da integrali (in senso ordinario) di funzioni continue,

benst da funzioni di insieme affatto a rb i t ra r ie purchb numerabil-

mente additive. Nel sucitato lavoro s i B pervenuti allt impostazione

ed a110 studio delle equazioni cardinali della I1Statica dei s i s t - m i

continuiu , per il caso dei corpi indefinitamente estesi . VerrA ora qui

esposto il caso dei corpi limitati (includendovi anche il caso dei cor-

pi "fluidit1 ) . Strumento essenziale pe r tale studio B l a nozione di "vet-

tore dotato di divergenza in senso debole (o in senso integrale) " , che r ientra , come caso particolarissimo, nella pih generale nozione

d i k-misura dotata di differenziale in senso debole1$ introdotta

L. De Vito e I. Mazzar01i:~Sui fondamenti della Meccanica dei s i - s temi coritinuiw , Memorie Acc. Naz. Lincei , v. VII , 1965 .

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da G. Fichera (2) . Alla considerazione delle equazioni cardinali della

"Staticatl per corpi limitati - second0 llattuale punto di vista - convie-

ne quindi premettere lo studio dei vettori a divergenza debole e

quello (strettamente connesso) delle funzioni a gradiente debole. A ta-

l e studio sono, appunto, dedicati i pr imi paragrafi . 1. Notazioni

In tutto quel che segue, ci r i fer i remo sempre a110 spazio

euclideo c3 nel quale penseremo introdotto un arb i t ra r io sisterna di

riferimento cartesiano ortogonale. Se . con x (con ) ) indichere-

mo il punto generic0 di E 3 , con x'. X I . x'. (conj:?? j3) denoteremo le coordinate del detto punto, nel riferimento car te -

siano introdotto. Denoteremo poi con ] gli intervalli (superior-

mente apert i ) di E~ in relazione a1 fissato s is tema cartesiano 1 2 3

2 , x , x , con 1%; la proiezione 'ortogonale di I su1 piano

xi= 0 (avendo indicato con %' la coppia ove gli

indici s i intendono definiti a meno delltaggiunzione di un mult'i-

plo di 3) , con (a,& ) l l intervallo a <t< 6 del l tasse reale .

Con il termine funzione , intenderemo sempre una funzione scala-.

r e , reale , di x , oppure, sottintendendo %ettorialett, un vettore

a t r e componenti rea l i pensato come funzione del punto x ; invece

di tlfunzione vettorialetl useremo spesso semplicemente il t e rmine

tlvettoren . Se con U, indichiamo un vettore , con u., , u., , l,bj indi-

cheremo sempl-e l e sue componenti rispetto a1 s is tema cartesiano in-

trodotto in . Con i simboli ,& z ~ ( B ) , @ = ~(B)deno te remo

sempre una misura (cio6 una funzione definita sui boreliani B

( 2 ) G. F i ~ h e r a : ~ S p a z i di k -misure e di forme diffe, n,.ialitl. Proc . Intern. Symp. on Linear Spaces, Jerusalem 1960, Israel Ac.of Sciences &~urnani t i&, Pergamon P re s s , 1961.

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numerabilmente additiva) sca la re o vettoriale ; in questo second0 ca-

s o sottintenderemo sempre che e s sa s ia a t r e componenti ( le compo-

nenti car tesiane d i p , , rispetto a1 s is tema ~:~-x~ saranno indicate

con /CC, ,pa, p3 ) . Con il termine dominio - che denoteremo con il

simbolo D - intenderemo sempre un dominio "propriamente r e -

golaren (nel senso di ~ i c h e r a ' ~ ) ) ; con cib intendiamo che D &

un dominio regolare, avente la frontiera g/) composta di una u-

nica superficie regolare semplice e chiusa, ta le inoltre che s ia possi-

bile definire un versore J(X) pe r ogni 3D, sempre "penetrante" '

nellfinterno di p , continuo a1 var ia re di X su I f D , di classe

1 su ciascuna delle porzioni di superficie regolare delle quali s i

compone 3 D (4) ; inoltre deve es i s te re un numero p o s i t i v ~ ~ ~ < I

tale che , pe r ogni fissato~t(0,'$,), l f ins ieme descritto dal punto

~ , 3 + ~ J ( f ) a1 var ia re di f su )3D s ia una superficie rego-

l a r e semplice e chiusa, che costituisce la completa frontiera di un

dominio regolare. che indichiamo con Dq ; infine, la trasformazio- /

ne che ad ogni f c PD e ad ogni )" c(O.fg) associa il punto Z=]+Y~@~

deve e s s e r e invertibile. Si potrh al lora r icoprire con un numero

finito di dominii T in guisa tale che ciascun punto di YD sia K

interno ad uno almeno .di e s s i ed inoltre, pe r ogni r( , l f insieme

( 3 ) ~ f r . . G. Fichera: "Premesse ad una teoria generale dei problemi a1 con- torno per le equazioni differenzialiH , Corsi 1st. Naz. Alta Mat . , 1958, pag. 52.

(4) Le nozioni di "dominio regolare", "porzione di superficie regolare" etc. sono qui intese nel senso precisato in : Picone-Fichera , "Trattato di Analisi Matematica , Tumminelli editore , 1956 , Roma .

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TK s i a rappresentabile, con una trasformazione continua e "di claSse 3 1 a pezziw, sul rettangolo RK dello spazio cartesiano ,

definito da O< t $4; i; 1.2 ; - 6 6 1% 2; possiamo supporre anche che,

nella detta trasformazione, l l immagine di T, f) s i a il G 5 (o<~;<I ; i= 4,2 ; 0< t3< 2) e ll immagine di flgD s i a 5 S-

I ( 0< t '<4 ; 1=42 ; t 0 ) . P e r ogni &. tale che o < R ( ~ e pe r

ogni ti, 4 ,2 , denoteremo con la porzione di 5 defi-

nit. da' : P<~'( I ; 0(tiSl-&;t!0; i ( i ; i J i z l J 2 . Se b 6 una funzione defini-

ta sui punti di r )D , e quindi , in particolare, in punti di & . con kK (ti, b2) indicheremo la t& pensata come funzione del punto

( t4, b 2 j variabile in 5 . Se poi u K 0 : t 2 ) 6 IBi c lasse 1 a pezzil'

s u 5 , in corrispondenza ad ongi I( , il vettore che, nella rap-

presentazione detta, pe r ogni y , coincide con il vettore di com-

~ U K ponenti - , ~ L ( K , s a r a indicato con il simbolo $ n d g D ~ . '3 tt 3t2

Con 3 indicheremo sempre la normale interna a yyj t a lora useremo anche il simbolo Y . Diremo poi che il dominio

3 D propriamente regolare D & di c lasse s e l a sua frontiera 6 una

superficie di c lassc /l)l . Con Cm(~])si indichera l l ins ieme delle funzioni di c lasse ,r In D ;

O m - con C (\ ' )quello delle fudrioni di 2m(p) che hanno supporto conteauto in

D- gD ;con g ( ~ ) l ' i n s i e r n e delle funzioni di modulo di potenza p-esima

somrnabile in v seeondo ~ e b e s g G e , 16 f - ~ ( + r n ( ~ ) , con 9* (0 ) l1 in s i emc delle

funzioni di g T ( ~ D ) c h e posseggopo der iva tepr i rne (in senso generalizzato) in

(5) Se e s e i kJpuna funzione lebseguiana in un insieme L lebesgu- iano, dicendo cne & sommabile in L , intendiamo che & quasi ovunque V I l imitata in L o, come anche s i dice, pseudolimitata in L . Converre-

mo poi che, pe r ?=+a , ' ii simbolo (lflpdx)*/l) significhi .p&&~.uyiB. i

- 25 - L. De Vito

D , di modulo di potenza /P -esima sommabile in D , con ~9''(0)l'insieme

delle funzioni d i &"I(D) che posseggono derivate parzial i p r ime (in senso

generalizzato) in D , di modulo di potenza T- es ima sommabile in D , S + m , l c q $+mi con f l ' t i 39 ) l t ins ieme delle funzioni & definite s u 9 0 , a-

venti modulo d i potenza ?' -es ima sommabile su gD e, s e ?> d , tal;

che, pe r ogni , risultino l e funzioni d i 6 : ~~(t:&,t')- MK c t : t x l t 2 ) /gtyt2

.k /P s+ a;

con V(8) ll insieme delle mi su re rea l i ( sca la r i o vettoriali) definite

sulla famiglia d i tutti i boreliani contenuti nel boreliano B di L 3 ;

analogamente, s e B & un boreliano di $p . con V(R) intendere-

mo la totalita delle misure rea l i ( sca la r i o vettoriali) definite su i bo-

rel iani di I)D contendti in . Por remo inoltre :

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Se !A & una m i s u r a appar tenente a V(B) , p o r r e m o : J

ove V (g)& l a var iazione totale d i p P

s u . L e norme tes t& definite introducono, come e noto, una s t r u t -

t u r a di spazio normato r ispet t ivamente negli ins iemi g'(D), Jf(>t) e t c . Segui teremo a indicare i det t i spaz i normat i con i medes imi

s imbol i &'(D) , Z'(~D) etc . (7 ) . L o spazio duale d i uno spazio ;k

normato 3 s a r i denotato con 2 e l a norma in S~ con I( IL* . Conver remo poi s e m p r e di indicare con 9 , q' , 7" e tc .

i l duale r ispet t ivamente di l), f.l: T" etc . (cioe L!- + : 4, i++. 4 p 4 p' 9 '++ +{,,=d ) con l a convenzione che il duale di 1 & t m e v iceversa .

2 . Divergenza debole di un ve t to re

Sia u. un vertore di L'(D). Si dice .he 14. & dotato di

d ivergenza debole s u D - ~ D ( rappresen ta ta da una m i s u r a ) s e e s i s t e

A E-(D-YD) ta le che :

p e r ogni p@), e l a m i s u r a /U. , univocamente determinata da

questa condizione , ch iamas i d ivergenza debole di s u .- ?-I)/).

Si diche che U. & dotato d i divergenza debole su- 9 ( rappresen ta ta da una m i s u r a ) s e e s i s t e / l t ~ V ( ~ ) t a le che :

( 6 ) Cfr . loc. c i t . in(') p. 214 . ('I) Gli spaziIi9:~l)p)sono s t a t i introdotti da E.Gagl iardo c f r . E. Gagliardo, "Carat ter izzazioni del le t r a c c e su l l a f ron t i e ra r e - la t ive a d . alc.une c l a s s i di funzioni in n v a r i a b i l i n , Rend. S e p . Mat. Univ. d i Padova , 1957 .

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pe r ogni Y E t4(p). E t ovvio che :

I. - Se W C ~ ( D ) B dotato di divergenza d e b o l e r c ~ j ~ v , e di divergenza debole FEV(U-JJ@U - I)- I f D , r i s u l t a / i i ( ~ ) y ( 5 )

p e r ogni boreliano @C D-yD.

11. 2 (L l(D) B dotato di divergenza debole ,.t(~ 1 / ( ~ ) - su D al lora & B anche dotato di divergenza debolepe -V(~.I@ D.49 e r iesce :P(B)=)./L((~) pe r ogni boreliano RC 1)-lfD

In generale, invece, non B vero che, da l l tessere ME&'(^) dotato di divergenza debole s u D-gD, segua che ~4, B dota-,

to di divergenza debole s u . Si ha perb che ;

111. - Se Uc&~p dotato di divergenza d e b o l e / ~ ~ I I ( D - $ ~ )

D-rfD , es is te un vettore 1.(~&9) dotato di divergenza debole s u

D-&) identicamente nulla, ta le che u+u0 s i a dotato di divergenza

debole 6 V(D) D . Sia infatti q ~ v & ~ ) t a l e che c((')D) = -pt (D-40) s i consideri

l a / e V ( D ) cosi definita ~ ~ B > / M [ ~ ~ D - & D ) ] D > ~ . ~ ( F o ' ) D ) , Si ha : /u" (~)= 0 . Esiste al lora ;( &'(D) che ha per diver-

genza debole su D l a 7 (come segue da un principio esi-

stenziale di G. ~ i c h e r a ' ~ ) e dalla diseguaglianza d i Poincare :

( 8 ) ~ f r . G. Fichera: "Alcuni recent i sviluppi della teoria dei problemi a l con- torno pe r I t equazioni al le derivate parziqlin, Atti Convegno Internaz. sulle equazioni a deriv. parziali , Tries te , 1954 .

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w ll vet tore l4, ha p e r divergenza debole s u P-gD l a b e quindi

d i f fer isce da p e r un ve t to re i h o C - & 4 ( ~ h e ha divergenza de-

bole s u I) -3D nulla.

Se I/t & dotato d i d ivergenza debole s u D 0 s u V - 3V . e s e l a m i s u r a /tC & assolutamente continua s u i bo-

re l i an i contenuti in D-i)D, con "densitaft f 46 ;1 (~ ) l a q!-; dices i l a

d ~ v e r g e n z a general izzata (locale) d i (A, e si i n d i c h e k ~ con & u ;

s i d i r a anche, in t a l caso, che & ha divergenza debole

rappresen ta ta , ne i puwi di D-,)p, dalla funzione f 5 duv- LhDican-

do the LCE ,<,"(I!) ha come divergenza debole s u 1)-40 ( s u V ) l a

funzione e ~ L ~ ' ( ~ ) i n t e n d i a r n o che ha come divergenza debole suD-,i)

( su D ) una m i s u r a asso lu tamente continua con d e n s i t a / f ~ ' ? o )

3. Gradiente debole

J ' - Sia b u n a funzione d i . . Si dice che M/ 2- do-

ta ta di gradiente debole - s u D-3y ( rappresen ta to da una mi-

s u r a vet tor ia le) s e e s i s ! e . ~ ~ ~ ~ / ( l j - 3 y ) a l e che :

p e r ogni fie @"(D) e ,U e il gradiente debole - s u D- >D$ % . Si d ice che 1.b dotata p rad ien te debole s u j3 r a p -

p resen ta ta d a una m i s u r a ) s e e s i s t e p e V ( ~ ) t a l e che :

p e r ogni C4(0) ; & i l gradiente debole - di a % D . E l ovvio che :

4 ~ v . % dotata di- gradiente debole V (D)% D

L. De Vito

e di gradiente debole p;;c D- ap - s u 1)- .'$n risultap(~)$(b,er ogni

boreliano 6 c D- &D . V. - Se usg(J)) & dotata di gradiente debole,& cv(l)) I) ,

allora U & dotata anche di gradiente d e b o l e p e ~ ( ~ 9 & ~ - 9 ~ e r iesce:

2 ~ 3 ) : ~ (6) pe r ogni boreliano 5 c Q - l f D . Sussiste anche il seguente teorema :

VI . - Se %EL'(!?) 6 dotata di gradiente d e b o l e p e ~ @ - $ ~ D - 3 ~ ,

allora h M, anche dotata di gradiente debole ,p t V ( I ) ) e

riesce: f i ( f j ) z P ( ( j ) per ogni boreliano B C ~ - q D . La dimostrazione di questo teorema seguirj. dai risultati dei

successivi paragrafi 7 e 8

4. Gradiente debole su P-9Y. Si ha intacto, come & noto, che

Vl i . Condizione necessaria e sufficiente perch6 ,&c 1 / ( ~ - 3 ~ ? il gradiente debole su 1) -)+D di una funzione y c f & 4 ( ~ ) & che r ie -

sea: - ctht = 0 per ogni vettore q-c 6'~~) che abbia diver- 1P-+,9)

genza nulla

Se k 6 dotata di gradiente debolef ie vQ-/f1>).u D-qI) e se ,

,u(~)=$,+ d~ , alIora, come & noto. 4/ & assolutakente continua

second0 Tonelli in D e le componenti di 4 sono le derivate

parziali pr ime , in senso generalizzato, di a ' lo) . con le nutazio-

ni del paragrafo 1 , s i avrii allora : Li, t t ~ ) . Srriveremo anche

,f!= C$?adk (intendendo il gradiente in senso generalizzato). Se inoltre

( 9 ) ~ f r . L. S. S c h r a r t z "Theorie des distributions", Act. Sci. Industr. Parigi , 1957, t . I. p. 59 . . ( l o ) Cfr. G. Fichera, loc. cit . in") , cap. 111 .

L. De Vito

s i ha : LLE 8': D), t &'(L?) s a r h L L ~ w " t ~ k o m e 6 noto, dallo

e s s e r e y t v4'P(D) segue I( ( $P:F(p) e risulta : '

* II + &lIgto) 6 r<,p:p (0) (1 AL-yfto) , '5+:.p

&. 1 &.pi<* J f 6 ~ c 3 ; I * ? ' < + W , . ~ ~ J ; ,rstkt~, 34,(+2

pe r ogni ut MQ:"~?) 9 inoltre, s e j < + < r ~ , s i ha, di pis, ycCO(D).

Se poi u. lyb~' ' '(D), allora U, risulta dotata di gradiente debole s u

\)- 31) rappresentato dalla misura assolutamente continua p ( 3 ) - = 5,@u dr( lO) .

1 VIII. - Se ke & (D) & dotata di gradiente debole ,u c V ( ; ; ,,I.?

~ a : : ~ e ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ , , , < r ~ + . e r i e s c e :

Dato che U, ha p e r gradiente debole s u D-$1) una misura

,U e Y ( D - ~ ) , r isul ta K G g T t ~ ) pe r ogni ,pl(+ ( I 2 ) . ~ i a ~ ~ ( " f )

un nucleo regolarizzatore nel senso di Fr iedr ichs ( I3 ) e poniama

Se 6 un dorninio propriamente regolare C I) - '9 9 r iuscirP :

P e r ongi x c D' , non appena r(l 6 abbastanza grande, s i avrh :

" ~ f r . S. L. Sobolev: ItSu un teorema di analisi funzionalett, Math. Sbornik , 1938 e E. Gag1iardo:"Proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabiliv,

Ricerche di Mat., 1958 (e bibliografia qui citata). Le limitazioni pe r p, p t , come & noto , sono le migliori possibili.

(12)cf r . loc. cit. in (9) . (13)cf r . lo&. cit . in (10) .

- 31 - L. De Vito

& I A ~ C X ) = jD ex ~ k - f j I.( ( J ) ~ J =

donde, con un facile calcolo :

(14) (9) I < V < D - 4 0 ) , m > m . lIObad"*I18q(D) r Detta K(D~) la varieta l ineare dei vettori di g*<~') che hanno divergen-

I - '

za debole su I)' contenuta in d Q i ~ ) , per ogni VC%(D>~ ha:

{ D l ~ x y = u d u . d ~ = - {Dl u, Avv dx Da qui e da (8) s i t r a e che esis te finito il l i m i t e :

9 .Qlm a >co lo, r4 d r =-IDl a c~wr dx t 5' (Y) pe r ogni N E q,(D'), \,& funzionale lineare e continuo sulla varieta

q, CQ') ove pensiamo di aver introdotto la norma : 11 1k7,jJ che, in forza di (9), r iesce :

Allora F,l

pub e s s e r e prolungato in un funzionale l ineare e con-

tinuo ru tutto ,&?D') (che seguiteremo a denotare con il medesimo

imbolo FD' ) tale che :

(11) 11 'D I\AacDIJ* VCD - N)

e, pe r ogni q, (D'), r iesce : 5,. K d;v-v d x = - FDI(v), ta lchb FD, risulta ortogonale alla varieta ?JDI di tutti i vettori

di Lm<~) che hanno divergenza debole su D t identicamente

( 1 4 ) ~ u e s t a proprieta dellebt, & stata osservata da .I. Serr in: "On the Diffe- rentiability of functions of se;eral variables", Arch. Rat. Mech. Analysis", 1961 .

L. De Vito

nulla. Consideriamo ora I'equazione :

nelltincognita ;( L3"(9. Dato che F , 1 fl , pe r il citato principio es i - 0 0'

stenzale di G. Fichera, la (12) avr8 soluzione, in forza della seguente

formula di maggiorazione :

(13)

la quale 6 duale, nel

razione ( 5 ) 3 ove s i assuma /((I)')= K4 Tale soluzione s a r 8 , P )

ovviamente, unica a meno delltaggiunzione dl una costante. P e r il b

principio d i dualit& di G. Fichera e per (11) s i avra :

. Se ora , confe "funzione di proval1 , in (12) , assumiamo una CE EY 0, avremo :

b Ne viene che bf, differisce da % in 1) ' per una costante'

e quindi r iesce : 4 6 inoltre, per (14) , s i ha :

Possiamo o ra assumere, come D' 9 uno qualsiasi dei dom,-

dei quali alla definizione di dominio propriamente rego-

lare . supponendo O < J <:yo. Sia W E C1(9) . P e r ogni punto , l i Pr ;-*I> .;>

J ~ o n i a m o : \ - ( ~ ) ~ Y ~ + ~ x ( ~ > I = Q [ ~ + ~ ~ ~ ~ Y ~ ) ] . La v, cosi prolungata a tutto 17) ,

risulta ivi uniformemente lipschitziana; inoltre esistono due costanti

( I 5 ) Cfr. G. Fichera, loc. cit. in (3) , p. 38 .

L . De Vito

o,,, A L , dipendenti so lo da D , ta l i che

R I " 6 - " d v ~ x ~ . j , o f l l < l p ~ ~ ( x ~ x = p + ~ - t ) ~ f ) l - 4 RI +y:ifithO I- E s i s t e a l lo ra una costante L (dipe dente so lo da p ) t a l e che :

fo.

4 11 corl.*ll&3/2 ( Dl) < Kh, ( D) (L+.I ) 11 @ vkCD9 4.. p e r ogni 'vcC'(~1). Se ne deduce che, come costante K(D)SK,~>,~ ( D ~ J ogni volta che Dli Dy ,0<3< , si pub a s s u m e r e i l numero

(dipendente so lo da D ) K~,,,(D)([~$ Da (15) s i t r a e a l lo ra :

II u t ~ l l g ~ ~ ( D l ) I<Jh,r(U(~t$ / I / u . I I ~ ( ~ - ~ ~ > ~2

e da qui scende subito 31, U),La maggiorazione (6 ) P poi imme- 4c-8 (

diata conseguenza - in vi r th del citato pr incipio di G. E'ichera - del O 4

fa t to che, p e r o g n i h GV(~-lj*rtogonale a c iascuna v ~ C (0) con

&VV= 0 . e s i s t e c( E &T~D) , 1d.fk 312 ,che ha / 1 ~ come gradien-

t e debole s u 0- 90 .

4. Gradiente debole s u D

IX . Condizione n e c e s s a r i a e suff ic iente p E V(Q:) s i a il gradiente debole s u D di una funzione 4 ~ & A ( ~ ) I? che

r i e sca :

p e r ogni N E e4(0) che abbia divergenza nulla . L a necessit t i P ovvia. Mos t r i amo la sufficienza. Se indichiamo con

- I un interval lo chiuso, contenente [) nel propr io interno, e s e

prolunghiamo /U in una,$~v-(r)ponendo, p e r ogni SJCT :

L. De Vito

NB)=/GC(B~~) , l a condizione (16) implica, pe r il teor . VII, l tesis ten-

za di $ €g4( 1) che ha p e r gradiente debole su 7-47 l a /KI Sia ora /\r un qualsiasi vettore di eA ( 7 ) identicamente -

nu110 in D ; dall tessere, per ogni s i f f a t t o l : ~ b ~ d ~ s 0 s i - deduce = C ( C costante) in 1' D . Allora (A:~-c soddisfa

(4) pe r ogni ~eC'( i ))e quindi ha per gradiente debole su D l a p .

X. S e r e V(D) verifica la (16) pe r ogni - ~c~f '@avente diver-

genza nulla, es i s te una ed una sola soluzione )( i4(~) della equazione

(4). Tale soluzione appartiene a gJAcD)e verifica la diseguaglianza:

( I 7 ) 11 Il,g~~(~) K 11 / I/ vcD)

con - K costante indipendente da & . Dalla dimostrazione precedente appare che ogni soluzione -

% E E(D) di (4) differ isce pe r una costante da una I* che ha per

gradiente debole su 0- '3D la /u. . P e r il t eor . VIII s i ha : Z E 23'2fi)) e quindi & ME i3''(~). L'unici t l di UI B evidente . I1 suss i s te re

di (17) B conseguenza del principio esistenziale, gih ricordato, d i G .

Fichera.

Supponiamo ora che l a p V(D), verificante (1 6),sia assolu-

tamente continua con densith #EgT(~). Allora. poiche la soluzione

(h di (4) (unica) ha per gradiente debole s u D-&) la /CC , per

i gig citati r isul tat i di Sobolev s i h a : L ( ~ ~ ' " c D ) o v e r f f e t

verificano le limitazioni giP indicate per la maggiorazione ( 5 b ; +

Si ha pertanto il teorema :

XI . Esis te una costante H ( D) , dipendente solo dai

numeri T'J?

e da D . ta le che, pe r ogni U E ~ f t D ) a v e n t e p e r T'J ? -

L. De Vito

gradiente dehole s u D la misurap(B) = JB 4 dx , / .g$q(~ ) , r iesce :

( I 8)q\T 11 "'I$PkD)' H,:p(@ I(&lI&'pcD) 4 , f < + < 3 ; 16T1<*W, 9-3 ; 1<~'<+00 ,3<q24t00 .

In particolare, dalla ( 18 ) segue : ?:.p

G?'< $?@ ,, ir .pc3 ; 4 $*'<+a, +=3 ; * ~ , D ~ ~ + c Q , ~ < T ~ + c o . 6. Teoremi dlesistenza e formule di maggiorazione p e r l1opera-

tore divergenza debole su D. XII. Condizione necessaria e sufficiente perchi! la misura /u'V(u)

s ia la divergenra debole su D di un vettore b(eJ4(L?)e che r iesca

p [D)=O E ' immediata conseguenza delllapplicazione del principio esisten-

ziale di G. Fichera, gi5 citato, alla equazione ( 2 ) e della formula di

maggioraz ione

che P inclusa nella 4 0 3 ) V E C1<D) , XI11 . S ~ / C I ~ V(D)& tale che / I A ( D ~ = o , esistono infiniti vettori -

U E & l ( ~ ) c h e hanno per divergenla debole su D la misura P - Fissato comunque q <3/2 t r a di e s s i ve nl& sempre alrneno uno

appartenente a $ q ( ~ ) . In generale non ve nl& alcuno che appartenga

&'(D) - con q b 3 / 2 . Esis te una costante K q < ~ ) , d ( q < h , t a l e che, . -

in corrispondenza ad un qualsiasi vettore u ( - g ~ ~ ) a v e n t e /LC per divergenza debole su D , risulta :

L. De Vito

0% c o n s i intende l ' insieme & ve t to r i M o E 19CD)&.e a n - - 4 no divergenza debole a D identicamente nulla. -

Dall'applicazione del citato principio esis tenziale di G. F ichera e

dalla (20) s i t r a e l 'esistenza d i una soluzione Lh dell'equazione 4J

(2) ( termine noto ,& verificante la condizione di compatibilit5

/K(D)=o ) appartenente a $'(D) con 9 duale di pj 3<79 . La (21lq su s s i s t e in quanto duale (nel senso di Fichera) della

(20)# . L'esistenza di infinite autosoluzioni P evidente . Se, per

un fissato 3'2 , in corrispondenza ad ongi~€V&)conp(b)=~esistes-

s e una soluzione I* di (2 ) contenuta in $'(D) , in virth del citato

principio esis tenziale di G. Fichera dovrebbe sus s i s t e r e la iormu-

la di maggiorazione (necessar ia) (20) con ?< 3 . Ma & noto che -

, con f&3 , non P Vera. +

XIV . - S e p E V(Q& tale che p ~ ~ ) = 3 e s e /IC e assoluta-

mente continua con densit5 t6 &+cD) ,,rr q2+e) , esistono infiniti

vettori E & 4 ~ ~ ) che hanno pe r divergenza debole su D e r iesce :

I , ( 4 ( 3'2 , 1s q'stoo; q=3h , 44 ql(+@ ; ~ / l < ~ < t m , ~ ~ . d & tms ove s i convenga che, per q= +m , s ia ?$/"+q=3. U ha il s~gni f ica to -

9. . . specificato nell'enunciato del t eorema precedente. Le limitazioni p e r Li e sono l e migliori possibili .

La tes i segue facilmente dall'applicazione del principio di es is ten-

za e di dualit5 d i G. Fichera alla equazione (2) e dalle diseguaglianze

(5 )+I delle quali l e (22) S,S ' sono l e duali. Se la l imitazione )Q

fosse migliorabile ( r ispet to a q' ) , pe r il citato

di G. 14'ichera dovrebbe suss i s te re la formula

L. De Vito

di m a g g i o r a z i o n e & l ~ ~ + d ~ ~ , vd\rV p e r I ( ? < 3 e pe r qualche @(DJ +WD) > , il ch'e invece non e possibi e (come fu esplicitamente no-

tat0 da ~ b b o l e v nel luogo c i ta to j . Resta quindi solo da esaminare il

. Supponiamo allora, per assurdo, che, pe r ogni

e tale che SD{ dx= 0, esis ta v ~ & ~ ~ < ~ ) avente per

divergenza debole su D l a .f! . Detta la totalita dei vetto-

r i di &*(D) aventi divergenza debole su D contenuta ind('&),

dovrebbe al lora avers i :

In vir ta del citato principio esistenziale di G. Fichera. l leauazione

U k v d ~ =-I ' V x / d ~ , VEX con termine noto / ~ i y ~ ) e d inco- 0

gnita E&*(D) ammette soluzione in corrispondenza ad ogni orto- v

gonale ad My2 e r iesce :

+ I I U + ~ I ~ ~ & KII{II.J~~ d* in particolare, questa diseguaglianza dovrebbe suss i s te re p e r U E C ~ i)) e cib , come & noto , 6 assurdo.

Teoremi dtesistenza e formule di maggiorazione per l loperatc~-

r e divergenza debole su D-4-Do Assegnato c o m u n q u e / ( ~ t = v ( ~ - 8 ~ ) esistono infiniti vettori

che hanno divergenza debole su coincidente con /Ic. Fissa to comunque q<3/2 t r a di e s s i ve n l e sempre almeno uno

appartenente a &yD) . In generale. non ve n'e alcuno che appartenga

& PCD) - con '1)3/2 . Esis te una costante H ( D ) ta le che,

in eorrispondenza ad un qualsiasi vettore @($yD) divergenza debole su D-GD, risulta :

/U -

L. De Vito

ove c o n B a s i intende l i insieme dei vettori di &yD)che h::nno \ -D-+D la misura identicamente nulla. pe r divergenza debole su

Segue immediatamente dalltapplicazione del principio esis ten-

ziale di G. Fichera alla equazione (1) e dalla formula di maggio-

razione : . .

(D) Jlw d.pcO) , p > 3 ,

the 6 inclusa nella wet2 "Cu 9

XVI . /LI~V(()-J)~~) una misura assolutamente continua con densitj. / ,

,/e k91(0) esistono infiniti vettori K F & t ~ ) c h e hanno pe r divergenza

ddbol; /U - su D-)JD e r i e s c e :

(24)9,1t

,I(?< ; 4 < 3 ' < ~ . 2 , 3 : 4 d i ( ? & + a ; P 2 ( i ( < t @ , 3 r b i . < t j+ I-c9 (ove s i convenga che, per q, , =a& , j ) ; 2 ha il s igni-

* q 9 ficato specificato nel teorema precedente. Le limitazioni pe r

e pe r 71 sono l e migliori possibili . Segue dal teor . XVI, in base alla seguente osservazione. Posto -

/v

C=/?-(WDJ~~+ d x . s i ha ?I 49;u)e 5 f! d r = . Allora, per i i N D

teor . XIV esis te un vettore ye A ~ D ) 'he ha p e r divergenza d ~ b o -

i e s u D la m i s u r a p ( ~ ) = {B a dx . Sia r('~~*~~‘$i;ile c I ~ r

IAl=[wD7" { d r Allora, il vettore U = l i t U 1 ~ & y D ) ha per d i r r r - D

genza debole su D-&D la misura /1L . L1impossibilitB di rniglio-

r a r e le limitazioni pe r i( e p e r q' segue da quella - nota - d i migliorare l e limitazioni pe r e /r' in relazione alla (19), r+ con un ragionamento perfettamente analog0 ad un fatto nella dimo-

s trazione del teor . XIV .

L. De Vito

8. T r a c c i a su l contorno p e r funzioni dotate di gradiente debole

su I>-$D. - Suss i s t e il seguente t e o r e m a :

XVII . - Se M ~ & ' ( ~ ) ha gradiente debole s u I)-PD rappresen-

t a t0 dalla m i s u r a r- e s i s t e una ed una so la funzione

ode delle seeuent i ~ r o ~ r i e t a :

1) r i e s c e :

ove i l imi t i devono p e n s a r s i fztt i prescindendo da un ins ieme di misu-

r a nulla p e r 7 ; 2) s u s s i s t e l a formula di maggiorazione

.- 1

'26' 11 ' 1144()fD ) ' 1 'I .'x'1i4G3D) + 'p 'I v(D- aD) O V ~ K e una coBante dipendente so lo da D ed ove

J P in

( O,fo privato d i un conveniente ins ieme di m i s u r a nulla ;

3) s i ha : - (27) / 1 @ l j d _ l ~ 4 D ~ < H ~ 1 1 ~ l ~ ~ D ~ + J J p I I v - ~ D - R D ~ ove t( P una costante dioendente solo d a D . -

3 4) p e r ogni v c c4(L)) r i su l t a :

Dimos t r i amo la (25) . B a s t e r a f a r vedere che, p e r ogni porzio-

n e d i super f i c ie r e g o l a r e r contenuta in qD , r i e s c e :

u[r+yztrg-u?r)ldm o L u[x+paJ= u 4 ( y ) h\r. 9 g->o

l i m i t a r s i a cons ide ra re il c a s o in cui r s i a

contenuta in un piano. P o s s i a m o quindi suppor re che s i a con-

- 40 - L. De Vito

tenuta nel piano ~ 1 ~ 0 e s ia costituita dalla chiusura delltin-

tervallo 1 O - di tale piano (definito dalle limitazioni ~''2 . (, x l + ~ < p 'kitkl;t24 &;+a

J ) . Supporremo anche che con-

0 D tenga llintervallo 1 '= ~ i i x J ; con ~;;%(~kl ' tO) . Assurneremo

come versore Y ( X ) per-)"r il versore normale interno . Con le

notazioni introdotte in 1 , s i t ra t ta allora di most ra re che es i s te - una 14X(2;)s M X ( X ' + $ i * ~ ~ g4( 1;;) tale che :

L((T$)- M*($)J djL=o, L 4(f ,2+j=u*($d. j C->o- S. P. ~111i.i

fatti prescindendo da un conveniente insie-

me di misura nulla pe r . Indicate con le variazioni

positiva e negativa di /U ; e con la derivata parziale di

4 rispetto a %; ( n e l senso per ogni interval-

10 la: del piano 1 '= 0 contenuto in I o 2; e per ogni inter-

vallo I, i del l tasse rea le contenuto, con la sua chiusura, in ( Q;O ),

r iesce :

4 , u i ( ~ - ~ ; % i ~ : ) = $ 2 $ ! ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ l ) ~ ~ i a: 'd .

Post0 ~(9. E) , con 4i(f<0, s i ha: X '

(1) (16)cf r . loc. cit. in pp. 215 e segg. . ( I 7 ) Cfr . loc. cit. in (1) teor . IX. 5 e teor . 111. 2 .

L. De Vito

Dal teorema di Beppo Levi s i t r a e allora che la funzione di 9' : ' ~ ( j $ ; $) @ sommabile in

u

1: uniformemente rispetto ad g ,

:i?: es is te q. o. il limite in $; : & '& che tale li- ,,f +Cr 3! ;a ')'

V mite B sommabile in 1 y; e r iesce :

0 34"~. e;c. 'S&; .$')d7i

k-5 C+O ia: - ( J , o { ; ~ ~ ) ~ ~ ' = 91 6 . z->o - -- 721 2 ' ' Analog0 ragionamento s i . fa re p r q p i . Se ne conclude

che es i s te q. o. il l imite

a1 var ia re di

Ma s i ha:

mentare di un opportuno insieme d i misura nulla(18) . Ne viene che.

scelto fuori di un cer to insieme di misura nulla, es i s te

finito il l imite (q . o. in 1 ;) 9

L I* ($,a') = k(a \?3+ .U (I&),. ;%;I= u*cgy 6+ 0- <+o- G#i Jf

ove, nel calcolo del limite, s i prescinda da u conveniente insieme di 0

misura nulla p e r 2 . I1 limite N'(;li) risulta sommabile su 5 ; e, - 0

uniformemente rispetto a 1 ; c l ; r iesce 8

3 3

(18)cfr.. Loc. cit. in (1) , teor . V. 5

- 42 - L. De Vito

ove i i imi t i s i intendano fatt i prescinden80 da un conveniente ins ieme di

m i s u r a nulla p e r . Dalla uniformita di t a l e re lazione di l imi te

r i spe t to a 1: , s i t r a e immediatamente l a dimostrazione di (25) . 3 E.

Dimostrazione di (26) . B a s t e r a l i m i t a r s i a p r o v a r e che :

prescindendo, p e r 2 , da un cgnveniente ins ieme d i m i s u r a nulla.

Dalla precedente dimostrazione s i deduce, t r a l l a l t r o , c h e , p u r di

p r e s c i n d e r e da un conveniente ins ieme di m i s u r a nulla, r i e s c e :

Dimostrazione di (27) . B a s t e r a f a r vedere che r isul ta :

(301 5 1 i * " i g ~ l d ~ w(( I~ ( r i$ . l l dx+Yi (~ f I:; xla: 9'

con costante indipendente da ,,. . Dalla d imos t ra i ione p rece -

( I 9 ) Cfr . 1oc.cit. in(') , t eo r . 111.2 e t eo r . IX. 5 .

L. De Vito

dente s i t r a e :

, I i l u ~ l , ~ ' ) l d ~ i + L ~ ( J , . q. o.,donde , pass I k do a1 limite, pe r f+ 0 :

La proprietk 4) s i ottiene subito , passando a1 limite, pe r f ->0$

nella relazione

7 s*P' ~@,?oo) L'indipendenza di &* dalla par t icolare scel ta del ve r so re >

di cui alla definizione di dominio propriamente regolare, & di verific?

immediata.

La funzione k* , d i cui si & provata l les is tenza e ltunicitA, chia- (20) m a s i t racc ia d i K s u C)r) .

P e r la funzione t racc ia sussis tono anche i seguenti teoremi.

XVIII. - Se K E d A ( ~ ) ha pe r gradiente debole s u D-&D l a a i s u r a

& , appartiene a g p 2 ( ~ ) e, indicata con 4 4k

&a sua t raccia s u @p , r i e sce :

ove /'( 2 una costante dipendente solo da D . - ( 2 0 ) ~ a l e nozione d i t raccia 6 stata data da G. Fichera nel 1949(cfr. G. Fiche- r a , llSulllesistenza e sul calcolo delle soluzioni dei problemi a1 contorno rel.ativi alltequilibrio di un coppo elastico", Ann. Sc. Norm. Sup. P isa , 1950, Pubblicazione dell1INAC n. 248, 1949) e r ip resa , pih tardi , da Stampacchia (c f r . G. Stampacchia, l lProblemi a1 contorno pe r equazioni di tip0 ellettico a derivate parzial i e questioni di calcolo delle variazioni connesse", Ann, di Mat. pura e appl. , 1952)

L. De Vito

La (31) si deduce immediatamente applicando il gia citato princi-

pi0 esistenziale e di dualith di G. Fichera alltequazione

ove il termine noto ePGV(b,qD) e ltincognita e 4 E$~'~(D)o&'(QJ)) 60 spazio L3Y~))nr(J3j)) e normalizzato mediante la norma )I 11 s

I1 flgq,, +I lkqo) XIX . L( E ha per gradiente debole su D- .;'D

Irz_p€Y(D-T)D),e Se /Cc 6 assolutamente continua con densith

QE. &?(D) , la t raccia u* - di U - s u appartiene a

e r iesce :

u+eaA.ll (33kl\+4 &(I) & ~ ~ ~ f n ~ ' ~ ~ t ~ ~ ~ ~ = r p l ~ ' , ? ~

soddisfano l e seguenti limitazioni:

?48d+c0 4 .I<f''$+@, Tali limitazioni non possono e s s e r e migliorate.

Si consideri, anche questa volta, l tequazione (32) ove, perb,

o r a , il termine noto ,& @ una misura assolutamente continua

con densith f . &T[D) ; Itincognita (4, @ una funzione dello

spazio $(b)(~&f'(&~)nOrmalioeato con la norrna:

Se ora si tiene presente che una l4 E a ) e l f S P ( ~ ) tenente a g" ('3D ) con + ) , .pl, q~~ verificanti l e limitazioni sopra

dette. , come segue dai noti r isul ta t i di Sobolev (21) ( e ta l i l imitazioni

(21) Cf r. L. S. Sobolev ed E. Gagliardo loc. cit . in ( 1 1 )

L. De Vito

non sono migliorabili, come osservato da Sobolev), llapplicazione del ci-

tat0 principio di dualit& di G. Fichera alltequazione (32). consente di

dimostrare subito il teorema .

0. -cia, el contorno &r funzioni dotate di ~ r a d i e a debole su D

P e r il teor, V e per quanto detto nel n.precedente, ri ha che

ogni hm~ione dotata di gradiente debole ru D porriede traccia ((*

ru r ) D no1 renro prooirato .I numero precedente e guindi rurrir to-

no, per tale tracciaj tutte 1e propriot8 inciteate nei teorr , XVII r XVIII,

Si ha inoltro :

XX. - 80 y ~ d * ( ~ ) ha come gradimte debole ru D la mirura

/(( E V(D) , i. u appartiene a e, indicata con K* - la rua, traccia ru &D , - rierce:

%CB)= JB(uu + osA)p &-p CS) con indipendente da U. . -

Si consideri llequazione

ove il termine noto appartiene a VCD) , e ltincognita .B

contenuta nello spazio delle coppie (u,/*) con U ekU?l)),&$ V@o) normalizzato con la norma 1) (1; 11 ~ k ~ ~ y " * / b ~ ~ L1applicazione del

principio di dualitl di G. Fichera alltequazione (35) (tenendo presente

la proprieth 4) delle tracce ) consente di provare immediatamente

l lasserto.

] M I . & U E g(o) u e r gradiente debole su D la misur.

L. De Vito

/t 4 V(V) r iesce :

( 1 i r I* do- =( Y X dp '3k JiD

ove rr\* @ una porzlone di superficie regolare contenuta in 40 4 ' 12 la porzione di GD che corrisponde a 1 nella

5' D - posta t r a i punti di r&D e quelli di GDp - dalla

equazione x=?tf&~) 3 3~34, ye+D . Tale relazione di l iAite @

uniforme a1 var ia re di r( su 130 ; inoltre il limite deve in- F)D - -

tendersi eseguito prescindendo da un insieme di misura nulla pe r l a

variabile C . J

Se c i poniamo nel caso particolare considerato nella dimostra-

zione del teor . XVII ( il che, d'altra parte, non & restr i t t ivo rispetto

a1 caso generale) , facendo uso delle notazioni la introdotte, s i vede

subito che, per quasi tutti gli E negativi e abbastanza vicini a zero.

r iesce : - ~ ( 5 3i)d8i =-p:( J:{ rat), J:'; '(rg x i 9) 'z2 i

donde, passando a1 limite, pe r f-+ 0 , s i t r ae :

L1uniformitB, rispetto a IUi, di questa relazione di l imitej segue

dai risultati del teor . XVII. d

Da qui, in particolare , s i t r ae che

XXII . - Se q Fa4(~)ha pe r gradiente debole s u P la rnisura

,t,( E V(D) indicata con U* l a t raccia di , r isul ta :

pe r ogni boreliano D , e si ha quindi che. l a misura cos i definita

sui boreliani di T)D :,u*($~)= JR Y X ~ / K @ super- LD - .30

L. De Vito

ficialmente assolutamente continua. Risulta inoltre :

avendo indieata con & l a de r iva t i bidimensionale (nel senso di

Vitali) della misura dG

f i c 6 4 ~ ) , definita su i boreliani di $b , 849 -

rispetto all 'ordinaria misura di Lebesgue sulla superficie PD, - Nel

calcolo del l imite (37) s i intende di prescindere da un insieme oppor-

tun? d i misura nulla per la variabile . 9 XXIII. 2 L( 6d4(~) ha gradiente debole su D rappre-

sentato da una misura /Lc 6 V(D) e sep(6) = &d du pe r ogni

boreliano EC D , l a t racc ia d i - u /;CD & n lla.

XXIV . Condizione necessaria e sufficiente perch&

abbia gradiente debole su D rappresentato da una misura

asso1utamente continua con densit& {G B+(D) , & che wP:qD) e che la t racc ia di 2 s ia nulla.

- XXV. - Se M6@t?(D) ha t racc ia nulla s u /jD , r i e sce :

. .

A<?''<%+ , 44?(3 ; 44pk+co, ?=3;4d+~k-nx, , 3 4 ~ s + m e tal i limitazioni E r 9 5 91 migliori w- w .

10. Propriet& delle t racce delle funzioni dotate di gradiente debole.

X x v I . & ~*b)6~~"(3~)~ rc ?~+CO, i 4 TS+ m , es is te una u evj.rrD,, h a come t r a c c h &L &D h g* e r iesce :

una costante dipendente solo da

ed ove l l insieme delle u 6 Q(YlfaThe f a n n o traccia "

I . I nulla su @D (cioe in forza del teor . XXIV, & 1:insie-

I T I

me delle 1( &?'(D) che hanno gradiente debole su D rappresen-

tat0 da una misura assolu-arnente continua con densita E &Ty - Se

u * E C O ( ~ ~ D ) O A ~ ~ ( ~ ~ D ) , I ~ ~ ~ + ~ , esis te ~ F C O ( D ) ~ Q ~ . P ( D ) che ha come traccia /rD e r iesce

(39jT itrt kk, (11 u t ~ O I & ~ ! J 1 1 Y ~ c ' ~ ~ ~ ~ ~ J ~ P ( ~ ) ) I? (n) // * ~ ~ 1 * ( , , , 1 1

ove e l ' insieme delle funzionl dl C"(ij))rl x"':ijche hanno traccia nulla su ?n - ? ' - Q: 1' X

XXVIl. Se IC.: 54 (i;)con 4 1 1.". j? < t c f . i a sua t raccia U/ . appartiene a - - A"~(& ~j e risulta:

(40k14 ) / ~ * l ~ ~ ~ : p (eb) Ri:, 0) Jl IIMr: P( o) con R',,,, (D) cOs?.actb dipendente solo da rp;?, D . -

I Teoremi XXVI e XXVII, nel caso 7 ) ' = ~ , sono stat i dati

da E. Gagliardo (c i r . lac. cit . in (''1 ; 1;estensione qui indicata

s i consegue, sostanzialmente, con l e s t e s se dimostrazioni di Gagliar .

d 0 (22)

11 teor . W(VI; non s i ~ s t e n d e a1 caso ql>,p . Se infatti suss i -

s t e s se la ( per , sarebbe a-che 11 U * l l r r/3DjG li"%t~ AN e questa diseguaglianza & assurd,a; per constatarlo basta far r icorso ,

nel caso del piano alla successione !u,,,(~))

( 2 2 ) ~ u e s t i teoremi di Gagliardo sono s!ati successivamente generaliz- zati da vari i Autori (cfr . S. V. Uspenskii Iloklady Akad. Kauk. 1960) .

P 4 L. De Vito = m-P@-r"..)"(r4+ 4/m)-"11' 0<rt4 ,O$k<h

dopo ave r scel to e in guisa ta le che : T < ~ 3 , 2 p ' P4+ 7'

11. Traccia per i vettori dotati di divergenza debole s u /)-4D XXVIII. e L Q ( ~ ) , 44 s <+oo , possiede divergenza

debole s u - 9 rappresentata da una m i s u r a P C ~ ( ~ - g ~ , s i s t e 9

n o ed un solo e l e m e n t o r p E ~ c 0 ( ~ D ) ~ A ~ ~ ( ~ D ) ~ ~ 2 3 ) tale che :

s<y,v) indica il valore del funzionale (P (lineare e continuo s u

n A*J?(~) calcolato s u ; r iesce : - (42) " 'lrc r ~ ~ j f i ~ ~ j + ( g D)J* RpCD),!~/u Ib yDj+ IJY lr(D-8Dl I - .

Si congideri l a (41) come untequazione ove ltincognita 6 -

l lelemento F [ P T ~ D ) ~ A ~ . F ( ~ D ) J ed il t e rmine noto 6 costituito p' dalla C O P P ~ ~ /LL) con u ~&~J ) ,~<~<M, 6 V(D-))D, (lo spazio ove va-

r i a i l termine noto s i pensanormalizzato con la norma)) JI=lI 'k vD) ~ ( 0 -&Ij ). Applicando il principio esistenziale e di dualit5 di G. F ichera alla

detta equazione, s i ottiene la t es i .

XXIX . % yet(@ . con d(q<+a, , & dotato di divergenza

debole s u D-I)D. contenuta in &9rD), 14 9 1 ( + 4 , es i s te uno ed

( 2 3 ) ~ t i n s i e m e C . ( n ~ ) r ) ~ ~ % ~ ) e qui pensato come spazio normato con la nor- "" di / ~ ' / P ( & D ) '

L. De Vito

un solo elemento [i\'P"(,3D)~* tale che :

e r iesce : - - \

(44) )I Q N /$'J'(QDJ" < ' Rp\? CD) (11 " I I k L D ) + II f i ~ l k q t D j ) *

I1 simbolo <y 2 / - > ha significato analog0 a quello precisato nel )

teorema precedente. Ida dimostrazione P analoga a quella del teorema pre-

cendente.

Naturalmente, s e es i s te una funzione ~'(GD) (oppore una

misura cpf v(4~) ) pe r cui r iesca :

(oppure 5 u X@Y d x + {,, qDYdp= - fRDvdp)veC'(~) . v> = 0 , ( py dr (oppure <~,y-> , 5 vL((P ) e quindi, in ta l case , il funriona-

'3D 9D l e , = [ f l : ~ ( + ~ ~ % i potra identificare con la fum ione y6$4(r)~j (o

con la misura Cp,g 1/-(~3y) ) che, d ta l t ra parte, @ univocamente I

determinata dalla (45) (24) . Questa circostanra giustifica la deno-

norninazione di t raccia di w s u / 3 ~ (pih precisamente sa rebbe la -- t racc ia di H x )I ) che s i dA al. funzionale . E t per6 da nota-

r e che esistono dei vettori - e s i possono facilmente cos t ru i re - che

hanno divergenza debole s u D-!>D anche molto regolare (ad e s .

identicamente nulla) e per i quali l a t raccia (P non t? nP una fun-

zione n& una misura . Caso part icolare della (44) e la seguente :

( 2 4 ) ~ a t u r a l m e n t e , la rappresentazione(q,V> = Y Y ~ V , anche nel suddet- t o caso, suss i s te solo per W C C ~ C D ) mentre, in g n e r a l e , e s sa non potra su s s i s t e r e per una qualsiasi ~6 basta pensare a1 c a s o 4 2 ~ . Saran- no indicate, in seguito, a l t re rappresentazioni pe r il funzionale f' .

- 5 1 - L. De Vito

jotx. Se il vettore ~4,c Lq(p) con 4 c g (+ m - , & dotato di

divergenza debole s u D-gp contenuta in g4tD) , q < q k + N , indicata con 1 ~ 4 ' : 1 * ( ~ ~ ) ] * l a sua t raccia su gp , r iesce :

I' '

ove - 2 . $ I & l ' insieme dei vettori di che hanno divergenra ., -

debole s u 9 contenuta in f-q(/)) . I1 teorerna non & vero per ,. .I(.i'<? .

Se s i considera l 'equazione ;

(42) ~ 1 . irai ,- ,$ 1, { d , , .,-t i',,,, '0 i/

ove il t e rmine noto appartiene a [ A r ' p ~ ~ ~ ) l ? ) i ~ Itincognita B i s

C O P P ~ ~ ( M , 1 ) ; con D ) , la tes i segue dall 'app1ic;izione

del principio, gig citato, di es is tenza e di dualits di G. Fichcra

alla (48), tenendo conto della (40) T'lP .

In part icolare , pe r ogni V E ~ ' < D ) r iesce :

ed anche :

(50).11q0 ( I I N + W O ~ ~ ~ Q ~ ~ ~ + ~ C J + % ) ~ I ~ ~ . ( ~ < R ~ ; ~ ( D ) I ~ X ~ I J ~ Q ~ ~ ~ ) , *o Wq,ql

4 s q\< qsta3, I< q ' . Riguardo quest'ultima, basta o s se rva re che, ovviamente, r iesce:

jlZTx311 p ' s p(.3!?)]r ( \I"Xvlli.'i7D)iSi - pub inoltre a s sumere anche < - 1 dato

L. De Vito

che la (50),,q, segue da (50 )q ,q l con r ( q . Se poi il vettore bt&Q p) ha divergenza debole su D- 3J)

contenuta in gQ1O)) , e d ha t raccia su YD rappresentata da

una funzione di x9'r1)~) con Q) q' , con lo s tesso ragiona-

mento test& fatto s i vede che r iesce :

Una rappresentazione dei funzionali appartenenti a ~ : * ( ~ ~ ) 1 :

che suss i s te quali s i siano r, r' , & fornita dal seguente teorema:

XXXI. Sia D di c lasse 1. ~ ~ [ ~ : f ' ( r ) ~ ) _ 7 * - con l<p< t 03 a q l & + c O , esistono due misure O( 5 q' appar-

tenenti a V(&V) la pr ima vettoriale a due componenti e la seconda 9

sca lare , tali che :

<cp,v>=JDD~da'+j yUd,,,/~'..doc 4 9

pe r ogni AI c C4(/3-D) . & ip<+m ( pl<+ ) s i pub assu-

mere ( s i pub assumere C( ' ) assolutamente continua con densit&

in g(l)y) (in kq'(lfv) ) . & P= 1 , qualunque s ia pub assu- - - 1

m e r s i d =_ 0 , ed il caso = j e llunico che goda di detta proprieta

El conseguenza di teoremi noti sulla rappresentazione dei funzionali

l inear i e continui negli spazi w4', ma pub e s s e r e ridimostrato subito facen-

do r icorso a1 principio esistenziale di G . Fichera. Bastainfatti applicare tale

principio alllequazione

( 2 5 ) ~ n tutte l e formule (47) (49) (50) (51) l l insieme W .pub e s s e r e sostitui- to con E ~ ( ~ ) c o m e apparirti dai teoremi del n. 16. -1 ;I

I,. De Vito

ove (PE/&~n):+(8D)]* e il terrnine noto,e l'incognita & costituita dalla

coppia@ ', 01) di misure di il(9.D) . tenendo conto drl la formu-

la di maggiorazione

e . pe r f = l ricordando che I( Ihb8,,(r)~ 12!74,9 Da qui s i deduce il seguente teorema.

XXXII . I1 vettore &. 7 ~ ) . 4 ( 9 (+ co , ,possegga diuerpenza

debole p p V(D./)D) D.~D . un insieme aperto

di lJ-D contenuto in un piano che, per semplicitg , supponiamo - coincidente con il piano x l , 0 . Ammettiamo che la normale in1.ere-

na spiccata nei punti di abbia ltorien?azione de l l tasse y' . Esistono al lora una famiglia f Ia: 1 , elementare ovunque decsa in 7 ,

di intervalli del piano (27) . 9 , contenuti in Z , una misura o('

nel caso T<+m

I +< r(+d

dovuta a C. B. Morrey; cfr . ttFunctions of severai variables and absolute continuityu Duke Math. J. v. 6, pp. 187-215, 1940.

27)~eguendo G. Fichera, diremo che una famiglia di insiemi B "elementa- r e " s e & chiusa rispetto a1 prodotto e s e inoltre la dlfferenza t r a due suoi qualsiansi insiemi pub pors i come unione di un numero finito di insiemi della famiglia s t e s sa a due a due disgiunti. I>icer.do che una famiglia di insiemi di & tlovunque densat t , intendiamo che la famiglia totalmente additiva minima che la contiene B quclla dei borslia- ni di .

L. De Vito

definita sui boreliani di ed un vettore 'j'- (a due componenti)

Ec9(r) tali che :

5 y i u f .yA ))*Ar 12,E[12,( r+o* I,. !? J

ove 3Cx) B l a normale interna a n e punti x' di ed - - - ove - indica l a normale interna a 9 1%: su l piano 0 . Se c(=,a, i pub a s sumere . ,& % assolutamente continua - con densit5 in Q' ( D) , O(' @ pure assolutamente continua

con densit5 in &'~z),4(qlg+m . I1 limite, nella precedente relar ione,

si intende fatto rescinde en do da un conveniente insieme d i misura nulla

Pe r L . - Sia 1,; un intervallo d i definito dalle limitazioni q"3

a < Xic4<&"4 q ; t2<y i t2 < 8 .'' . Sia 2 > 12 . Si consideri l a fun- 9 .

z o n e N v s ( i ) ( * , 4 4 . I f ) eve s i e post0 :

Se o r a s i tiene presente che, in base a1 teorema precedente , r iesce:

e s i passa a1 l imite , in questa relazione, pe r E -7 (3 , prescin-

L. De Vito

dendo da un conveniente insieme di misura nulla per & , pur di

scegl iere l ' intervallo in una conveniente famiglia elementare

ovunque densa in , s i ottiene la tesi.

12. Traccia per i vettori dotati di divergenza debole su D

Poiche i vettori di $*(D) che hanno divergenza debole suD

hanno anche divergenza debole su D-qD , la nozione di t raccia e le

proprieta di tale t raccia considerate nel numero precedente, seguitano

a suss i s te re anche pe r i vettori dotati di divergenza debole su . Di pih , questa volta s i pub d i re che :

XXXIII. Se il vettore K. 6 &''(D) ha divergenra d e b o l e p e V(@ s u 9 , l a sua t raccia su $D i? rappresentata da una misura - e precisamente dalla p s t e s sa , pensata come elemento di V@D) .

I1 teorema & ovvio

Da teor . XXXII segue subito che :

XXXIV. I1 vettore U. E g ( ~ ) possegga divergenza debole su D rappresentata dalla misura p V(D) . ga- 2 un insierne aper-

t o di &D , contenuto in un. piano, che, per semplicit5 , sup-

poniamo coincidere con il piano d i , 0 . Ammettiarno che la nor-

male interna spiccata nei punti di ! 2 abbia l 'orientazione dell 'asse

X i . . Esistono allora una famiglia elementare, ovunque

densa su , di intervalli del piano x ( = 0 , contenuti in

.- , tali che :

L. De Vito

ove il l imite s i intende fatto prescindendo da un opportuno insieme di

misura nulla p e r t . Naturalmente, la relazione d i l imite (52) , in generale, non

& uniforme r ispet to a 1%; ; s e lo fosse, la p <i8) dovrebbe

e s s e r e assolutamente continua s u {la:] , laddove /U ( I $ ; )

anche e s s e r e totalmente singolare. El da notare che, anche s e P 9 fosse assolutamente continua s u 1 , non s i potrebbe, in genera-

le , concludere che la (52) 6 uniforme r ispet to a . In effetti, s e

i l suddetto limite fosse uniforme, a l lora la funzione y(q2')x U (5 2 ') r isul terebbe convergente in $*(I) , per 130, laddove s i puh

mos t ra re , con esempi, che, in generale, cib non s i verifica. Rife-

r iamoci , per semplicitg, a1 caso del piano.1'oniamo :

essendo Q il quadrat0 : 0<7'< $ , 0 ( x 2 ( 1. . Sia o r a /L'

una qualsiasi funzione di C '( Q) . P e r (1/2 , con integrazione

pe r par t i s i ha :

- 57 - L. De Vito

Con un calcolo, s i verifica che, quale s i s ia 4)- 6 C4(a) , risulta: 1

8, + J Y - ( x : I ) J ~ ( x ~ z ) ~ Y ~ = o . N e v i e n e : Iq u g & v dy = 0. I - > D 0 Pertanto il vettore ha divergenza debole su Q identicamente

nulla (6 chiaro come le definizioni qui date di divergenza debole sj

trasportino a1 caso del piano). Ne viene che la t raccia di M, sul lato

X' = 0 di Q e identieamente nulla. El perb evidente che

y(X4,0) ~ ( r : f ) = q(~$) non ammette limite p e r f-> 0 , neppure s e

s i prescinde da un conveniente insieme di misura nulla . Inoltre,

p e r ogni intervallo IX1 c ~ , d ) s i ha :

Con questo esempio s i & visto, dunque, che pe r la t racc ia di

un vettore dotato di divergenza debole non sussistono, in generale, l e

analoghe della (25) e della (26) (relative al la t raccia di una funzione do-

tata di gradiente). El facile vedere che non suss i s te neppure l a analoga

della (27) . Basta, pe r questo, nel caso bidimensionale, considerare

l a successione di vettori : ~ ( ~ ' 2 ( M ~ ) , * ) ~ ) ) con ~ ' ~ ) = ~ ) l y ~ l ~ 4 @ ? 1 ( / * Lto= 1 1 2

;i'/x'l"-'~?),si ha wNC CYQ) ove Qz(o<rk,, ~<123 . Inoltre

r iesce & = (7 quale s i s ia q , 4 4 q < + d .

s e suss i s tesse la analoga di (27) e cioe : j 4 9 1 ~ x ~ l ~ r 4 ~ ( l l ~ 4 y a + ~ ( 9 - I ~ $ nel caso attuale s i avrebbe : 5; 1 U Y ( ~ , ~ ~ ) J d X a a )I U@") l(e9(Q) don-

de & 5 4 l m ( ~ ' l x ) ( d x ' = ~ , il che t? falso. I-)oo 0

XXXV. % p V(D) & ta le che (D) = 0 e s e r iesce :

- 58 - L. De Vito

esistono infiniti vettori 4 e$qcl~) che hanno pe r divergenza debole

f i e per t raccia gD (F , e r iesce :

ove 11% @ l l insieme dei vettori - di i Q c D ) che hanno diver-

genza debole su D identicamente nulla. Le limitazioni 4, gl, ? I f

sono le migliori possibili.

I1 teorema dfesistenza e la formula di maggiorazione s i dedu-

con0 rispettivamente dal principio esistenziale e di dualit5 di G.

Fichera, facendo r icorso a1 teor . XIX ed alla formula di maggiora-

zione (33) della quale la (53Iq, q', Q , ~ l a duale +' J TI, ?'I

(nel senso di Fichera) . El poi facile vedere, in virtb della gi5 os-

se rva ta non migliorabilit5 delle limitazioni pe r -~J,T', ?I1 relative alla

(33)TjTl,4,, , che l'unico caso da esaminare, a i fini di una eventuale

migliorabilita delle limitazioni p e r q , ql, q l l , + il seguente : q=-$ 7 1<

' qk+&, ql l= 1 . Consideriamo dapprima la situazione: Q = 2 2 , 4 < q1<+w, q1: 4 . Se la (53 )q lq l , q l l suss i s tesse in riferimento a questa scel-

t a di , q , qil , indicata con ?j- l a totalit5 dei vettori

[ : " (D) dotati di divergenza debole s u D della forma

L. De Vito

,U(B)-f { dx + p- con { z &N c &'?u), ) in v i r t ~ B W?

del citato principio esistenziale di G. Fichera s i potrebbe enunciare la

seguente proposizione : llequazione

j & ~ d , t + 1 4 D * t K r ~ y d r = - j D ~ ~ d l 9 g e u, D

con termine noto $6g3(~) ed incognita (u,u*), u ~ $ ~ ? D , ) u),u"c&~(+B) ammette soluzione in corrispondenza ad ogni gcgyo) che s i a ortogo-

nale ad e r iesce , per ogni soluzione : Y ( J U + ~ . % ~ $ +)I U ~ + ~ I ~ ~ ) ~ ( D ) I I ~ / / J ~ ~ I ~ part icolare, quindi, pe r ogni u ,&(D) s i ha :

D1altra parte , questa disegueglianza & falsa' perch6 implica che ogni

~ ( e & f ? ~ ) avente gradiente in '(D) & continua su gP . Nel

caso q = 2 ql= +a, ql'= 1 , con un ragionamento analog0 a quello ora 2 1

esposto, - s i perviene alla d i s e g u a g l i a n z a $ l u + C d A ~ L ~ o + ~ ~ * d ~ / B m ~ ) 6 ~ ~ ; ~ ~ ~ I .

l a quale & falsa, come subito s i vede.

Dal teor . XXXV s i deduce subito che :

XXXVI. - Se U E ~ ( V ) ha divergenza debole s u D rappresen-

ta ta da una misura assolutamente continua s u D-4- , di d e n s i t ~ f i ~ ~ ~ ) ,

modificando U, con ltaggiunzione di un conveniente vettore di

LqcD) a divergenza debole s u 0- qD identicamente nulla, s i \r,

pub f a r e in mod0 cheyabbia su ) 3 ~ una traccia F-l-$4?;7~) comun-

que pref issata p u r o h e r isul t i i D - & dx ed inoltre D

11 ,ql, (?I1 soddisfino l e limitazioni di cui a l k (53) 4 , 9',9"

Se r e &Q(D) , . 3 . ha divergenza d e b o l e / ~ c V ( ~ ) = - , modificando lk, con ltaggiunzione di un vettore di ~ Y D )

a divergenza debole su D-l ) l ) identicamente nulla, s i pub sempre fare

L. De Vito

in mod0 che IA, abbia su >J) una traccia (P comunque prefis-

sata. contenuta in L''[>D) con ,cqlld+g e purche s ia

13. Altri teoremi d'esistenza e formule di maggiorazione pe r

l 'operatore di divergenza debole

XXXVII. Es is te una costante

y e e i ( ~ ) (per ogni y~ CYD) ) r iesce :

tale che, p e r ogni

e l l insieme dei vettori di ( ( & ey~))he hanno - divergenza nulla. Le limitazioni pe r 4 e pe r q ' non sono

migliorabili.

E t conseguenza della parte necessaria del principio esistenziale di

G. Fichera , in relazione a i teoremi di esistenza XI11 , XIV, XV, .XVI . XXXVIII. @ /!6 g Q ' ( 0 ) , ?< 9' 6rm , es is te u vettore ye

c'(D) c& ha E r diver~fenza debole 3 I)--@ la funzione - 2 yiesce

6

ove con k, s i @ indicato l ' insieme dei vettori di C'?'Z)) che - hanno divergenza debole su D-$D identicamente nulla. Se i i l ; j l in generale non es i s te alcun vettore (A E e '(D) che abbia pe r diver-

genza debole su D-@D & / . Sia 3 < ql<+OO . Sia f{.n f una successione di polinomi

L. De Vito

convergente ad [ in $Q?D) e s i a K, un vettore di C ~ D ) che abbia divergenza eguale ad (, nei punti di D . In forza di

(54ITj4 , l a successione f&,,,] risulta convergente in C ?))I%

ove & l a chiusura, in Co(p) , della variet3 /LTO dei vettori 0

di ( p) che hanno divergenza nulla (tale spazio quoziente s i inten-

de normalizzato con la norma l J ~ l ( = I f l ~ V ~ X ) / ) . Esiste -A, D N o al lora un elemento ~ I C C ~ ( D ) a1 quale {U ,,,I converge in eyD)q Paseando a1 limite, per 01 a3 , nella relazionel u, r~pdwhrdx~-&(,vdr,

D s i ottiene

La (55) C conseguenza del principio di dualit& di G. Fichera. I1

caso qtstao s i riduce immediatamente a1 caso di pr ima. Se il teo-

r e m a fosse vero per ql < 3 , in virth del principio esistenziale di

G. Fichera (parte necessaria) , dovrebbe sus s i s t e r e la (54) f ; 4

con

~ ' > 3 / ~ e cib & assurdo.

Analogamente s i vede che :

XXXIX . - ~e 1, (D) con 3 t - . 95+@, JD & d*= 9 un vettore u eOc D) che ha pe r divergenza debole su 1) lcio& la misura a s s . cont. di densit3 , e quindi avente t raccia nul- 8, L l a su gD , e suss i s te la (55) ove perb 1/1 e , questa volta, l ' insie-

0

me dei vettori di e0(D) che hanno divergenza debole, su D , identicamente nulla.

XL. P e r ogni vettore /y-( C'CD) riesce:

L. De Vito

ove - e l ' insieme dei vettori e & '0)) che hanno divergenza nulla.

Le limitazioni pe r q,qi, q u sono l e migliori possibile.

Segue dalla par te necessaria del principio esistenziale di G.

Fichera e dal teor . XIX.

XLI. Siano 9 (propriamente regoiare) di c lasse 2,

con 36 q l < + O o , 5 (pe c Tw), ID +. d ~ t J ~ ~ y d w = . Esiste un - ugC0(~) che ha per divergenea debole su D- 91) la 4

e tale che uxY= if GD . Riesce :

ove /( @ una costante dipendente solo che da D e q l ed ove - No 6 l ' insieme dei vettori di Po@) che hanno divergenza

s u D identicamente nulla. La limitazione per - ql non pub esse-

r e migliorata.

Sia 3-c g l ( + d . Sia {{, f cna successione di funzioni di

C*(V) che converge verso # i n k q t o ) e t a l e c h e

JD #&dl = JD # d x . s i a { A ] una successione di f~nz ion i di

C2( 9I)) che converge a in fTl3-D) e taie C ~ P

{ 4 $ h d ~ = YgDCf d~ . Esis te , p e r ogni , un vettore W,CCI(D) ta le che hrv,= & in p , L V , X V ? = ~ ~ , su @p . In f o r z a di

(56)m,gl,a s i ha che - l~ , , ] converge, in em/flo , verso una

la E e2@) (eve 4fo B la chiusura, in C '(p) , dello insieme @ dei vettori di &'(D) c e hanno divergenza

0 nulla ) . Se ora s i passa a1 limite, per /M+w , nella identiti

- 63 - L. De Vito

~ ~ ~ x @ u d r = - ~ ~ ~ ~ d r - $ 4 D 4 ~ d ~ , s i ottiene la tesi , nel caso in esame

36 ql<+ fl . La ( 5 7 ) B conseguenza del principio di dualit5 di G.

Fichera . I1 caso q'=+o~, s i riduce immediatamente a1 caso di

pr ima. La non migliorabilitg delle imitazioni pe r q ' segue da

quella , giP osservata, relativa a1 teor . XXXVIII.

Sia ora p3 un dominio propriamente regolare c D - G ~ ) tale -

the Dtz V - ( a - % ~ , ) s i a , e s so pure, un dominio propriamente r e -

golare. Sussiste allora il seguente teorema.

XLII. - Se /(CG i / ( y ) e una misura assolutamente continua sui

boreliani contenuti in D,-gDI , con densit3 ,4( q & + ~

e s e ,U ( I > ) = 0 , esis te un vettore i* t ae(~,)I)$q~q& 4<q,tQ2,

'<qht*; 4,'; ,1(Q<+m; 3 / 2 < q , ( - t f l , % ~ q ~ + r r l ; 4 d p 1 <?/L, ?+ 9.r

che ha pe r divergenza debole la mlsura P riesce;

2 s U g B l l insieme dei vettori di $ q 4 ( h ) 0 ~ Z ~ 4 ) h e hanno di-

vergenza debole s u p identicamente nulla.

Sia /v- lo spazio delle N- E C4(D) in cui s i s i a

introdotta l a norma : HVI/~= Il vll ,,, , + ~ I Y / / ~ ~ ~ ~ ~ ) 11 duale v* di /V , s e

3L (A) + , sa rP l ' insieme delle

misure O( V(D) assolutamente continue sui boreliani contenuti

in DL-gb1 e con densit3 in d Q ( ~ , ) , ove la norma B cosi

definita :

Sia poi 54,) Tz lo spazio delle funzioni ,/- di . l W n ) PC. \ ove la norma B ll 111 = h )I t o d3 ~ 2 4 L Y 2 1

11 6 bh(D,i 11 # ~ l $ ) ~ (b) 99 ,$I

11 duale $T,,+t s e ++w, p 2 < t d , s a r 2 lo spazio delle

funzioni py di &Y&)~)&PJ(D,) ove l a norma 6 :

)/ull ' I I L ~ J * ( I J ~ ~ ~ ~ Q ~ ( ~ ~ ) 9 I ~ ~ I I ~ ~ ~ ( D ~ ) ) . La t e s i del t eorema segue facilmente dalla applicazione del principio

esistenziale e di dualit2 d i G. Fiche ra al la equazione:

TDu xcpxdv dr = - l D v d a , y e C 4 ( ~ )

* * con termine noto Q E e incognita r e 8

TqT411)l Da qui segue, in par t icolare , che sussis tono le seguenti formu-

l e d i maggiorazione

. 4 7, < 3/*; , 1, 2 C91(?/2 ; 4 < S 4 < + ~ , ?<Q<+& ; d , O q / j - i ; 1 d 9 4 3 , Queste limitazioni per , q , 4 l , q 2 "On sono migliorabili.

14. Gradiente "forte"

Si dice che u t&fl(~) l dotatodi gradiente "forte8$€ d P ( ~ ) s u D-4) s e es i s te una successione - u di funzioni d i

<?,4 ( D) tale che

L. De Vito

E' noto iT seguente teorema: : I

XLIII. La funzione L( C L ~ ' ( U ) 6 dotata di gradiente for te

SJ J) -)$p s e e solo s e & ha come gradiente &- bole su D- &D i l vet tore , . I < f & t ~ , AC~) ' (+CJ , eve s i con-

viene di a s sumere come RmcD) 10 spazio fO(l)) (28).

Si dice che a 6 l ? " ~ ~ ) 6 dotato d i eradiente "forte "tE ~ V D ) S D s e es i s te una succession e { u ,,f di funzioni di

ta le che I I U ~ - ~ N [ ~ ~ ~ ) =kW / / " ~ ~ a - & / ~ . p L D ) - o . m->w

XLIV. La funzione i( t&pt~) 6 dotata di gradiente for te /4 6 L?(D) D s e e solo s e u. ha come gradiente d e b k e su

p il vet tore , 1 4 t@ , .lc q g + ove si conviene di

a s rumere come lo spazio c O ( ~ ) . . La dimostrazione pub condursi in mod0 analog0 a quello s e -

guito da Gagliardo nella c i ta ta dimostrazione del t eorema precedente

(si veda anche l a dimostrazione del teor. L ) . Diremo che U &&?)I)) h ~ p r a d i e n t e " fo r t e l ' e rappresentat2

dalla misura

( 2 8 ) ~ f r . ~ . G a g l i a r d o loc. cit . in (11) ove i l t eorema 6 dimostrato in ipo- t e s i molto generali e per dominii l imitati ed a front iera "localmente lipschitziana" t r a i quali r ientrano i dominii propriamente regolar i che qui vengono considerati. Cfr. anche V. M. Babich: " ~ u l proble- ma del prolungamento delle funzioni" Uspekhi Matematicheskikh Nauk, v. 54, 1953, relativamente a dominii di c lasse 1 .

L. De Vito

s e esis te una successione [kc f di funzioni di C'(1)) ta le che:

4 T W , 14.)ktd, 4 3 p g 60 . XLV. SKO I < PC +m, p l g + q ,g PC+& 2 supponiamo the D

s i a di c lasse 2 . La funzione u E $ P ' ( D ) & dotata di gradiente

for te su D rappresentato dalla misurar(fj"={ By+ RP Lmn~ac P V f r ru

c&Q(D),(pcg't4~)je e solo s e (C ha come g r a z e n t e 'debole su J , ,

1" r- qui 'si intende lo spazio e O . Se U, 6 dotato di gradiente forte nel senso detto soprgM6.

anche dotato di gradiente debole, rappresentato dalla medesima misu-

r a che ne rappresenta i l gradiente forte. Mostriamo i l viceversa. Con-

s ideriamo dapprima i l caso !~Q<+N, 44 q ~ + a 3 , 4 q 3 Q ~ ~ ~ . Sia fy* f una successione di funzioni di ~y+1>) ta le che :

Alla costruzione di una tale successione s i pub provvedere,

ad esempio, con i l metodo degli operatori regolar izzatori second0

FriedriChs . Sia E eyp) tale che % = yfi su gp . P e r

(38) r iesce: f, + 4 , R u - ~ ~ + ~ I ~ ~ : T ( ~ ) < RTy (D) B I P ~ - s ~ ? I : Y ~ ~ ~ I (63) " ' u ,I,-+

IJ'..p ) & l ' i n ~ i e m e delle funzioni di (D che hanno t r ac -

cia nulla nu hD; da (62) (63) segue :

L. De Vito

Dato che 6 una base per i4(~) con l a metr ica di

(cfr. teor . XLIV) es i s te W, 6 ta le che ]I M -T&+w, I ->a3

Posto u,= <- (W, , da qui e da (62) viene che {d,! verifica l e (61).

Se poi 6 /Il= +eO , dovrP necessar iamente e s s e r e y &(D)

e in t a l caso l ' a sser to & banale.

Diveruenza "forte" su

Diremo che il vettore U E & ~ D ) , l < Q ( + , S-

divergenza "forte" D -&) l a funzione

s e es i s te una successione I u .,,

E' evidente che :

XLVI. S_e I,t6&yD) ha per divergenza for te su D-OD l a fun-

zione { Lq'(u) , al lora & ha per divergenza debole s u J)-/)n

5 / ' a 4 4 q h + @ , 4 & q 1 < + d

Mostriamo che suss i s te il teorema inverso :

XLVII. @ 4 <q,(+m, 4Lq1<+&. " u 6AQ(U) ha per diver-

genza debole su - )$D l a funzione "~),a110ra LC. & per divergenza for te su D-&D { , ove s i assuma,come dm , lo spazio t o .

Consideriamo dapprima i l caso 1 6 ql( q (+a . La dimostrazio-

ne , in t a l caso, C del tutto analoga a quella, citata, d i Gagliardo r e -

lativa a l teor . XLIII, cioC a l gradiente.

Siano 3, ,St , . . . ,z, s f e r e aperte che ricoprano D . Se

L. De Vito

- 5 C D - &p, 6 facile c0s:ruir.e una successione iL(:)(l) di

K vet tor i di c4 (D) tale C ~ E :

Si p ~ b , ad esempio, r l c o r r e r e a1 metodo degli operator i regolar izza-

t o r i di Fr iedr ichs . Sia o r 3 r; t s le che SK ()&M # : porremo

al lora 1 = S OD. P e r l e ipotesi fatte su QD, & sempre possi- k K

bile pensare d i ave r eseg i i to i l ricoprirnento di in mod0 tale C

the es i s ta un nhmero pcsitivo , , verifica.nte la seguente condizio- - ne: per ogni nymrro posilivo & s2 es i s te un vettore w di modu-

d lo eguale a siffatto vile l * in i i ems x, , ottenuto tsaslando -

dei vet tore c3 , s ia interno a. D ( 2 9 ) K . pe,r X E & e

3 per ogni funzione W dcfinita in , poniamc 2l;( (X)=V(M+O), In

' ta le che: corrispondenza ad ogni i 7 0 s i prib costruire En of( c o

. . come segue scbitn dal t eor . d i Vitali sr.1 passaggio e i l imife sotto

segno di intrgrzie . Poich6 J - c D-gD, es i s te , come s '6 osservato,

2 CC? 0)) tale che:

Ma si ha:

-5 S = 11 u K-'K lbyTe) j

donde:

5 d- II '!-".SI~(~) + 11 r w - f R I I?'cl,) C L . (29)

Si pub, anzi, vedere che D gode di tale proprieta anche s e non & propriamente regolare , purch6 abbia l a f ront iera "localmente lipschitzia- na".

L. De Vito

i e da (65) viene :

11 ; ,5 -~ I lk~( jK l '1 c- f / I & ~ ' ( ~ ~ ) <2z @ c p E ~ y T ) , r e s t a provato che, in corrispondenza ad ogni , esi-

2a successione irc$'(x)] di funzioni di ~'(90c ) ta le che :

P e r completare l a dimostrazione, nellfattuale ipotesi, bastera 4m

onsiderare una .partizione dellfunithtf : $ , Q(")(I~)

( k ) ( K ) va al le s f e r e aperte xy e porre ~? , , ( jC)= tK HCY) U,,, (2). Riesce 1

nente : I1 ub-Mlkq(D) 5 0 . r ->a

inoltre :

1

Icum 11 indi, in ta l caso

I1 caso 1 < q '< q ,<fa? s i t ra t ta in mod0 del tutto analogo.

P r i m a di passare a considerare gli a l t r i casi, dobbiamo da re un

n a di completezza.

XLVIII. - Sia 4 6 q(+@ (s ia - q=+@ ). Lfinsieme dei vettori v E c l ~ anno divergenza nulla in 9 , & denso, con l a metr ica di &'(D)(* ), nelllinsieme dei vettori ekyo) (dei vettori E C*(D) ) che hanno

:enza debole su D-&D identicamente nulla.

Consideriamo dapprima il caso 1< q<+m . sia{ cg4@)e supponia-

s ia ortogonale a . Esiste al lora una funzione l(6Ae(~)

come gradiente d e b ~ l e su D . Ne viene l fesis tenza di una suc-

me$,/ di funzioni di ti(D) tali che k m a 11 UiUH&fpcDl = 0 (teor.

. Allora, s e L q ( ~ ) ha divergenza debole su J).,>D identicamen-

la, pe r ogni s i avra : \,, ,&* y d u , 0 e quindi,

- 70 - L. De Vito

passando a1 limite pe r n->a : Spu#dx;l. Da qui mi t r ae subito l l a s se r tone l

caso 4< q<+m. Consideriamo o ra il caso q = d . Sia supponiamo che

f s i a ortogonale a q. Esis te allora. come e noto, v E gw@) (anzi€CC)(D)) che ha pe r gradiente debole su D il vettore 8 , e quindi r iesce:

f Sia o r a p!/ un vettore d i i (1))avente divergenza debole su 9-40 identi-

camente nulla. P e r l a pr ima parte del teor . XLVII gig dimostrata (cioe I

quella relativa a1 caso l ( q \ ( q $ + m ) , es is te una successione

C '(p) tale che:

Dalla (66) s i t rae , pe r ogni *, :

a u h4 .7 ; 4 : -6 o:; { d x

e passando a1 limite pe r m-) , in questa relazionr , s i ha : LYV4& = ,? Resta , dunque , anche in tal caso, provato l tasser to .

Esaminiamo , da ultimo il caso q, +cc, . Sia data una misura

r V(D) la quale a ortogonale a /fig . Esis te una funzione

bt. E ,&'(D) tale che :

Sia * t CC D) un vettore dotato di divergenza debole su D - ~ B identicamente nulla. P e r la pr ima parte del teor . XLVII gi2 dimo-

s t r a t a (caso q ~ 9 ' z - t ~ ), es is te una successione f ~ ] di vettori

di L4 (Dl ta le che :

L. De Vito

[la (67) s i t r ae ,pe r ogni &L : ID I+ divg- d~ =- $wWd4 ~assando a1 limite per 41-loo :

~ d e , anche in tal caso, l'asserto.

Possiamo ora riprendere e completare la dimostrazione del

r. XLVII. - Consideriamo il caso 2 < q ( . Dato che / aqtD), esi-

un vettore d S ' ( ~ ) che ha 4 come divergenza debole su yv ) -gD . 11 vettore 4 j l ( - M , per l'ipotesi ?< q 1 , appartiene a

YD) ed ha divergenza debole su D-YD identicamente nulla.

ttanto, in forza del teor. XLVIII, esiste una successione f &!,, ] di

tori di c 4 (Dl che converge a U,, in ,&'(D) . ~ o n i l

cedimento indicato nella prima parte della dimostrazione del teor.

VII si pub costruire una successione ) Ka ] di vettori di C'(0'

2 che:

m ora, posto (A, = k,, + s i ha :

.de viene l'asserto. I1 caso ,j < q<q '=too si trat ta in mod0 perfetta-

nte analog0 a questo.

16. Divergenza "forte" su D . Diremo che il vettore ~68,"(@ 14 <+ 00 , ha per divergenza

rte" su D la funzione ge LqN 4 6 ~ ' < + O O se esiste una succes-

L. De Vito

O 1 sione >I,&,{ di vet tor i di C (D) ta le dhe : - .

E' evidente dhe :

XLIX. U. C (s)) ha pe r divergenza for te su D funzione { E & q ' ( ~ ) , a l lora & ha per divergenza debole su

D k 6. Mostriamo o r a il teorema inverso.

L . E + < q ( t a ) . I ( q l ( + W . z ~ ~ $ y ~ ) h a p r d i v e r -

genza debole s u D l a funzione 4 e ~ q ' ( ~ , al lora U, ha per

divergenza for te su D la { , ove s i assuma come

lo spazio a!D:

C°CD) Consideriamo dapprima i l caso .( g Q:( q (+ tO . Siano 5 5

2 )

, , , ,S dei campi a forma di " cilindro c i rco la re re t to definito" che hu -

ricoprano 5) . Se Sk C D - , & facile cos t ru i re una succes-

sione i l*r di vettori d i p c D ) tale che:

&- N ->a0 (/jutL u l l B ~ ( Z ; ) +//&U$)-$ / & s r c ) ) = ~ , ricorrendo, per esempio, agl i operator i regolar izzator i di Fr iedr ichs . - Sia o r a K t a le c h e T f ) g ~ # k ~ o r r e m o J i S4 fl . P e r l 'ipotesi

che 1) s ia propriarnente regolare , si pub s empre a s sumere il

ricoprimento d i v in guisa ta le che, s e f)o~+f , siano sod- K

disfatte l e seguenti condizioni: - 1) es i s te un punto xoc s$&D siffatto che, introdotto un opportuno s i s te -

ma d i coordinate car tesiane ortogonali 7: 3 : 33 con origine in

Xo , l 'in s i eme TK r i su l t i definito dalle seguenti limitazioni:

L. De Vito

ove: R K 6 i l raggio del cilindro S ; (J:?J) e una funzione

definita nel cerchib (chiuso) di centro l 'origine e raggio R, , ivi . \

continua e d i c lasse 1 a pezzi, ta le che j3= ( j : ~ ; , / jv 2 + 1 3 '1 .c< 1 RK I s ia l a rappresentazione parametr ica di TflGD

(paramet ri 7 1, 7 2 ) ; 6 n n m e r o positivo maggiore di

2 ) es i s te un numero positivo 5, tale che:

e ta le inoltre che l ' insieme definito da

& contenuto nel complementare di D pe r ogni JC (0, $,) . Denotiamo con -' % l ' insieme definito da :

J K

)3'1~+15~1' G ( ~ ~ 5 1 ~ , x(f:pj, ? 3 ~ ek-e,-6 , con 1; quello definito da :

e con -S 1, quello definito da:

Pensiamo o r a di prolungare. k ed # fuori di D con il va-

lo re zero. E' chiaro che l a K. , cos i prolungata , 6 d'otata di di- S vergenza debole su 1:- rflM e tale divergenza debole coincide con l a

a- prolungata nel mod0 detto. Poniamo U ( X ) - M k (?) e

ove 3 2 ( f : 3: P ) rappresenta

L. De Vito

5 . il punto )( nel nuovo r i fer imento . Poniamo inoltre, per J E & .

F i s s a t o S>,J . es i s te 61)o(.f < S o ) ta le che, pe r $<4 r iesce:

(come si & sopra osservato). I1 vet tore &A<) ha per divergenza debo- S J l e , su - TfJk , l a funzione d . Poiche e . si

5 Y

pub costruire un vettore N> e C<(I , ) ta le che :

Si pub anzi supporre che y-b possa prolungarsi a tuttolo spazio

in mod0 da ave re supporto contenuto in D-4D . Se, infatti, ad esem-

pio, si assume d d

N* J 6 x4, (1-3) uUk(p)dif- 1,

ove X h ( * - I+) e un nucleo regolar izzatore nel senso di Fr iedr ichs 1 "

) , B noto che. per 7 abbastanza piccolo, r isul ta- C

no soddisfatte l e (70) ; s e poi si osserva che il supporto d i U$

6 contenuto in "5 1, , si vede che r isul ta :

e quindi il supporto di

a tutto lo C

spazio in mod0 che ' s i a soddisfatta l a condizione : supporto di r ~ - , ~

contenuto in D-TfD . Da (69) (70) segue, d 'a l t ra par te ,

L. De Vito

P e r completare l a dimostrazione bas te ra o r a r i c o r r e r e ad una "partizio-

ne dell'unita "esattamente come s i B fatto nella dimostrazione della pr i -

ma parte del teor.XLV11 sfruttando l ' ipotesi Q'< . I1 caso 4 <qkqdfm si t r a t t a in mod0 perfettamente analogo.

P e r includere gli a l t r i c a s i (cioB 4 ,( Q < 4 ' , < + ~ ) non c'B

che da r ipe te re l a dimostrazione fatta in relazione a1 teor . XLVI:

sfruttando il seguente teorema d i completezza , analogo a1 teor .

XLVIII :

LI. Sia /I ,(q <td (+ = + w ). L'insieme dei vet-

t o r i di ['(,) che hanno divergenza identicamente nulla in

y B denso, con l a met r ica d i & yo) (dl C '(D)) nell ' insieme

dei vet tor i di Lq( D) (& C '(b) ) che hanno divergenza debole

El D identicamente nulla.

La dimostrazione d i questo teorema B perfettamente analoga a

quella 'de l teor. XLVIII.

Diremo che e JP&) ha divergenza "forte" s u D rappresen-

ta ta dalla mi su ra

s e es i s te una successione M ] di vettori di C4(D) ta le che:

4< 4<+@, * <?'<+a; r d q i f ~ + ~ G E' evidente che:

LII. u e k S [ ~ ) ha divergenza for te s u rappresentata

al lora & ha come divergenza debole su D dalla misura (71)

L. De Vito

l a misura P o Mostriamo, viceversa, che:

LIII. * & di c lasse 2 e s e ha divernenza

debole su D rappresentata dalla misura (71) al lora LC ha co- y - me divergenza forte su l a misura P

ove si convenga di assumere come LU(~) lo spazio '())) 2

analogamente, come is(+!)) lo spazio C " (PO) . Esamineremo, intanto, i pr imi t r e ca s i . Facciamo, dapprima,

l 'ipotesi :

(73)

Es is te al lora kt( gQ(D) che ha per divergenza debole su D l a

misura p (~)rI y d ~ (teor. XXXV) e r i e s c e . pe r (53)p,t:q,, B n w

(7') u o t 4 hq II .'+ ' o I I n D j < Up,,,,, 0;' /I ylk?ltRDl

ove & l ' insieme dei vettori di & Q ( D ) che hanno divergenza

debole su D identicamente nulla. Sia {Y* una successione di

funzioni di C2(&D) ta l i che :

=o . , J I ~ ~ - f I l ~ q l ~ , ~ ~ ~ Esis te u,,,, t C4(v)tale che: & u,= 0 in D , = su 3:: ;

dalla precedente diseguaglianza si t r a e al lora :

- 77 - L. De Vito

1 P e r il teor . L1 es is te quindi un vettore Wn E C (0) . con DL Y/,=O

ta le che

11 d - M , + w-11 - +I ->w k.'(~) -0 , 4 4-N /IT- ( ~ . - & * ) A * ~ J I ~ ~ U O ~ ~ ) = ~ .

Post0 k.= - u~ , s i ha $q(D)j inoltre bll avra divergenza de-

bole s u D data dalla misura p ( b ) = # dz . N e viene (teor. 0 4

L) l 'esistenza di W,, e (D) ta le che:

Dunque , { ~ , r - w , ) P l a successione di cui alla tesi , nelle attuali

ipotesi.

Se l a (73) non P soddisfatta, poniamo C= ---

ove X 6 il vettore di componenti x :x2> x . Si ha:

4r

e jD Tax,0 donde (f d ~ = 0 . In ta l mod0 c i si P ricondot-

t i a1 caso precedente.

Esaminiamo ora il caso q=+&, ./& q'_c+co,<dl~@, Si pub r ipe te re l a

dimostrazione o ra esposta, con l a sola avvertenza di f a r uso del teor.

XLI (in luogo del teor. XXXV) pe r riguardo all 'esistenza di &' , e del-

l a formula di maggiorazione (57) (in luogo della (53) IP.f';?" ) p e r

conseguire l a (74) , nella quale, naturalmente, l ' insieme u andra

sostituito con quello dei vettori di C 3 ( ~ ) che hanno divergenza

su D identicamente nulla.

Esaminiamo, da ultimo, il caso : q - 2 4 ' ~ ?''= . Possiamo 2 '

N

sempre supporre, a me pr ima si B visto : 0 a LI

un vettore di '( I)) t a le che ;X Y= 0 ?8u $D (cfr. teor. I

- 78 - L. De Vito

N XXVI) ; ed anzi s a r g U, &?I2 ( D) . I1 vettore 4- appartiene qyindi

a L 3 ' ' ( ~ ) , ed h dotato di divergenza debole su D rappresentata

dalla misura p ( 5 ) = f $ - ~ ; ) d x . Esis te quindi uiE C'CU) t a le che:

- . (teor. L). Siano zL l e componenti di . Si ha zit &"(@.sia - P') u C*) - u ; 6 e l ( ~ ) e ta le che km 1) I* ; - u O. ~ i s u l t a (per (38IAJj

e pe r il teor. L ) - 4 3 ) 4r, ~ ~ ; i - ~ ~ ) - u o ~ i w , , f ~ o ~ ~ ~ 4 , , ( ~ ) 11 vML lkq(,wj, No€ c 0)

Esis te quindi (7) ( l ( ~ ) ta le che: W'

rccW)f ta le che

Dalla (40) si t rae: <,A 11 ;:- Z ~ * - U V ~ - C ; ~ ) H ~ , ~ ~ ~ = O .

Indicato con U\ i l vettore che ha per i -es ima componente

~ C ~ & w ~ ) i ~ ~ ' , s i ha al lora che 6 l a successione di cui al la

I t e s i nel caso q=$, q = qll= 1 . Altre caratterizzazioni di tip0 "forte" pe r i vet tor i dotati d i diver-

genza debole su D (con divergenza rappresentata da una misura del-

l a forma (71) ) sono date dai seguenti teoremi.

LIV. Sia y di classe 2. Condizione necessar ia e sufficiente

perch6 u t kq(J) abbia divergenza debole su D rappresentata da -

una misura della forma (71) , h che es i s ta una successione

L. De Vito

u , E C'(D) tale che:

.I,( Q < tm, ?< qf<+m, <dgo/ +a convenendo d i assumere come ,&,* lo spazio C 3 Jsia in relazio-

e a D c h e a YD) - - La condizione C ovviamente sufficiente. Mostriamone l a necessits.

Come s i & visto nella dimostrazione precedente, possiamo supporre che

s i a j$dx=( . , r f ~ ~ d l i = ~ . s i a ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ) tale che: (jr,D$Cdlr;~ , & y'l l$~"(~~) = 0 , Esis te & \ ( C 4 ( ~ ) tale che: ham & ul, = 0 h D, L ~ x ~ = ~ ~ ?U BD . Esiste U' $"'(I)) che

ha pe r divergenza debole s u D la r n i s u r a p ((j) = R n m ' (teor. XXXV s e qi1<+- e teor . XLI s e ql!=+oo ) e s a r a (cfr . ( 53 ) r'' s e q''(+o~ e (57) s e q11=+a) .

It ~ ' - U ~ + ~ ~ I I & ~ ~ ~ ) C I(IIy-q*ll&9U(I)> N o E 1c s" I

ove U q. & l t ins ieme dei vettori di &(?ItD) che hanno diver-

genza debole s u identicamente nulla. Dal teor. LI segue che

s i pub modificare ~ ' 4 in guisa tale che r iesca u:~C'C~,) , I @A M ->a I U ' - ~ " ~ I & ~ ~ ~ ~ . , = O

0 Sia UY = u - . Riesce: U116 g1"C91~*)( D). Esiste u:t e ' (~ ) ta le

che (teor. L) :

La successione C quella di cui alla tes i del teore-

ma.

LV . Sia D d i c lasse 2. Condizione necessaria e suffi-

L. De Vito

ciente perch& ~~,GP(D) . /<?<+a3 , abbia divergenza debole

su rappresentata dalla m i s u r a P ( ~ , b m c p d r yq - E ~ ~ Y 9 0 ) f D ) r 6 q l ~ + c m & che es i s ta una successione

I con u,eC TD), ju.3 * -

ta le che :

& U*= \3 1 ~ * x " - y I l ~ ~ t ~ ~ ~ ~ , = 0. ' M+@ convenendo d i a s sumere come 10 spazio e 0

La sufficienza & ovvia. Proviamo la necessita.

Siano ( 4 % ~ Cyl)~) e 4% C C" ( 0 ) ' tali che:

9

donde la tesi.

17. Alcuni teoremi & c a r a t t e r i z z a z i o n e ~ e r l e funzioni d _ ~ j a gradiente debole.

I I ' LVI. Condizione necessar ia e sufficiente perch@ (v ) abbia

pe r gradiente debole nu D- 9~ ((au 5> i l vettore /?E&+/J rdpk9 ,? 4fg7L14 b che s i a soddisfatta l a seguente condizione :

a ) pe r ogni & '(D) ed avente divergenza debole D w 0-09 contenuta in 4 st( D) , riescaa; &VV dr= - { T ' ~ x ,

L. De Vito

La condizione a ) e ovviamente sufficiente. Proviamone l a necessi-

t i . Nel caso f<~(+60, 4gT1<+03 , l a tes i C immediata conseguenza del

teor . XLIII (teor. XLIV) . Nei ca s i I < 9<t03,~1=+0~ l)=tcw,4<f".(+@ l a necess i t i segue dal teor . L

(teor. XLVII). Sia Ora'PzQO,f l l ; c i s i riduce subito a1 caso

precedente l)=tm, 4 ricordando che deve e s s e r e U t e ? ~ ) . Rimane da considerare solo il caso: 1)s 4 , + . El facile con-

s ta ta re che l a successione f~ di cui a1 teor . XLIII (teor. XLIV)

e costruita con i l procedimento indicato da Gagliardo, nel caso at-

tuale /P= 4 , ?; +@ , gode delle seguenti proprieta :

ed inoltre l e funzioni U,,, risultano equipseudolimitate cio& esis te

una costante L ta le che, q.0. r i su l t i /u,),( L (30) . Si ha al-

lora, in corrispondenza ad ogni ( D) avente diver-

genza debole s u D (su D-$D ) contenuta J 4 ( D ) . in vir tb del

teorema di Lebesgue sul passaggio a1 limite sotto segno di inte-

grale:

donde s i t r ae facilmente l 'asser to.

LVII. Condizione necessaria e sufficiente perch& U 6 $' iD) .I( + , abbia pe r gradiente debole su D-&D (z D )

una misura /cc C che es i s ta F €[&*(D~* tale che

( 3 0 ) ~ r r . E. ~ a ~ l i a r d o , loc cit. in (I1) ; per controllare questa proposizio- ne, basta tener presente che l e successioni costruite con gli opera- t o r i regolarizzatori di Fr iedr ichs godono delle suddette propr ie t i .

L. De Vito

~r mi w C ~ ~ C D ) avente divergenB3 debole BY D (u D-$D )

contenuta & q1(P) . La condizione & ovviamente sufficiente. Proviamone la necessi t l ,

~ o n s i d e i i a m o I1 caso in cui 1* 6L4'(~) s i a dotato di gradiente

debole s u D - gl) , rappresentato da una misuraA EV(D-~D). La

dimostrazione B analoga a quella del teor . VIII. Si costruisce, con lo

s t e s so procedimento 13 indicato, una successione f ~ 4 3 di funzioni

di C (D) l a quale gode delle seguenti p ropr ie t l : comunque s i

consideri un dominio p'< D- gp, r i e sce

I1 ,- I1 ,,,,, =O /3e .p'<+a; 'R+m s e /P'=+co s i ha & 1 1 "- lld41D50, e le funzioni di {U 9 so-

" - 9 1 , no equipseudolimitate . Ne viene , p e r ogni W e &Oi)Cp) avente divergenza debole su D' appartenente a &q1(j3')

(76) L jDlu,d*v~dr- 5 u d l ~ ~ d * . nr-?@=' D'

Inoltre riesce:

P e r ogni m e pe r ogni w E&*(~') avente divergenza debole s u

0' appartenente a &ql( D') , risulta :

Da qui, tenento conto di (76) , viene l tesis tenza del l imite (finito) :

-- -

( 3 1 ) ~ e l caso ?&+&, le ,propriet& di ,) seguono subito dalla definizione di operatore regolarizzatore second0 riedrichs.

L. De Vito

P e r la (77) s i ha che [=,,I risulta e s s e r e una funzionale l ineare 7

e continuo su LO3(l)') e quindi, passando a1 l imite per M 3 m in (78)

(e ricordando (76) ) , s i ottiene l 'asser to, relativamente ad un qualsiasi

dominio D'C D-ifD . L s condizione D'c D-gD non @ , perb,restr i t r i -

va, a i fini del conseguimento della nostra tesi , dal momento che &

pub sempre e s s e r e prolungato in un dominio contenente nel

suo interno, in mod0 che la bb cost prolungata appartenga a - + klkb ) ed abbia gradiente debole su D-59 rappresentato

da una misura v (6 -i)b). Esaminiamo ora il caso in cui (/C s ia dotata di gradiente

debole su rappresentato da u n a r e V(D> . Sia 3 (3(5(y0 il dominio di cui alla definizione di dominio propr9ia-

mente regolare. La U, C , ovviamente, dotata di gradiente debole

su D7 , pe r quasi tutti i l c (G,?,) , rappresentato dalla mi-

sura:

Fp (DS) h 5 (4-4%) + &q'JC I Poniamo:

Conveniamo poi di prolungare l a misura P f su tutti i bore-

liani contenuti in v definendola eguale a zero sui boreliani

pr ivi di punti in comune con . Si ha dunque, pe r quasi

tutti i 'j'c (0, f ,) abbastanza piccoli :

V (D) g V(D-.I.D)+ s9D d r + d "5

avendo indicato con uY: l a t raccia di M, su $D e r icor -

dando che:

(il l imite & fatto prescindendo da un conveniente insieme di misura nulla

pe r ). La funzione ( Y ) , pe r quasi tutti i f f @ ~ ~ ) , ha pe r f gradiente debole su D (e quindi anche su D-@D ) la m i s u r a r END), Se o ra poniamo :

f

> ( s a r a u Y E elCD) per 4 > di un certo ), ripetendo, in 9 relazione a1 dominio D ed alla funzione yy , un ragionamento

fatto nella dimostrazione del teor . VIII, s i vede che esis te finito il

l imite

pe r ogni q e &"<D) ed avente divergenza debole s u D contenuta

in kDO(~) ; inoltre : F [& (~)_1*e risulta:

p e r tytti i y ~ ( 0 ~ yo) abbastanza piccoli. D'altra parte s i ha

L. De Vito

cU) equipseudolimitate (a1 var ia re ~ 4 ~ ~ ~ , ) ~ ' e' 'I

i e di ) , A r '= + 00 •

Ne viene: d l = IDwfhvvdx 5 JDrr (LYY d x

p e r ogni y del tip0 detto, e quindi : . 5 L( &vwhz= -$(y),

PoichC , pe r ogni /V del tip0 sudetto, r iesce: 'k.5 & . ~ & d ~ = k & w d ~ 590 D,

si ha al lora che esis te finito il limite .f&)i f(@;risulta 5 - i 5' con /V appartenente alla predetta classe. D'altra parte s i ha

If9(")l 4~ 11 ~ l ~ ~ ( ~ ~ : IF(v)/ d Pl iv// k q ) ) . Ne v i e n e ~ ~ k ( ~ ) J ) . :

L1asserto C cosi completamente provato.

LVIII. Sia D di c lasse 2 . Condizione necessar ia e suf- - ficiente perch& l(c&fil)) abbia p e r gradiente debole su D l a mi-

~ p ( b ) = ( {&+( ~p d~ % {d ' (~)~ ~ E , J ! ? ' ( ~ D ) e che, pe r 8 Bnso vc O.C D) , avente p e r divergenza debole su la mi- -

La t e s i segue subito dal teor . XLV.

I1 teor . LVIII 6 vero anche nei seguenti casi: 7<qgt013 4(?2 3

<+m,4 (q'ktca ; f=3,?'=+4fU= tm; ~=3,4yk toq i cp t? t@;up<3 , r~q~~ ,~+*6$ come segue subito dal teor . LIIboppure !<,P<+~, I < +',(+rn , .I < Cf"'t@ ) +"'/r~ 9 come segue dal teor . LIV ; ed C vero anche

senza alcuna limitazione pe r T ) Q;!', s e &* si identifica

con t o .

L. De Vito

18. Alcuni teoremi di caratterizzazione pe r l e funzioni dotate

di divergenza debole

LIX . Condizione necessaria e sufficiente perch& (LC&q(D)abbia

pe r divergenza debole s u D- PD (E ) l a funzione /-c R q b ) - &

the s i a soddisfatta l a seguente condizione, p e r 44 qg~0.7, +g ql<+oc ; b) p e r ogni ~ ~ & ' f ' ( ~ ) ed avente gradiente debole E!! D

j ) - 3~ ) contenuto in Ld(p), r iesce : ~ ~ % x @ v d ~ = - { ~ / d ~ . -

La condizione b) & ovviamente sufficiente. Proviamone l a necessi-

tP. Nel case {<q<+&, q1<+a3 l a t e s i & immediata conseguenza del

teor . XLVII (teor. L ) . Nei ca s i 4 < q < + . 9 q1=+co; L ? = + O ~ ) ~ I ( Q ~ + C D , l a necessi-

tP segue dal teor . XLIV (teor. XLIII) . Sia o ra q = l , q l = tm . Esi- , .

ate una successione ~ 1 % 5 costituita di fum ioni di c'(D) (di ( )

ta le che -&k 11 hr ih -)00 ' D , / dlvak-/? o . pe r i l

teor . XLII (teor. L) . Passando a1 limite, per q->a , nella identit&:

{;,X@Y dx= -1 n ~ d l v 4 , d x D , ove g€&'(l))ha gradiente de-

bole s u v (SU D-8D ) contenuto in km(L')- e quindi &

U ~ C O C D ) - s i ha l tasser to .

Sia , da ultimo I , p + m , q = I . Esis te una successione

di funzioni di C'(D) (di ['(v) ) tale che:&u llujujt,(D) c 0 4460 ? . (&u,,-/lL;;ed inoltre l e funzioni U sono equipseudolimitate in D,

3(0 9 pe r ottenere LC, 3 basta prendere in considerazione la s u c c e s s i o ~

ne introdotta nella dimostrazione del teorema XLVIII (teor. L) ; & faci-

l e vedere che e s sa gode delle proprietP o ra dette nella ipotesi u&,?l)),

Alloia, passando a1 limite , p e r 4 , nella identita jDK,* @ u d r- =-IF divu,dr , che suss i s te p e r ogni 4-6 ~ T v ) avente gradiente

debole s u D (SU D-(Y) ) contenuto in $'(D) , s i ottiene l a

L. De Vito

tesi .

LX. Condizione necessaria e sufficiente perch& & ~ ~ ~ D ) ~ , 4 q ~ + m

abbia per divergenza debole s u p-$9 (E ) una misura

b che es i s ta F c [ ~ ~ ( 0 ) J* tale che: P

p e r ogni v t LW@) avente gradiente debole s u D (E D.3D ) contenu-

to in PCD) . - La condizione B ovviamente sufficiente. Mostriamone l a necessi-

th . Consideriamo dapprima il caso in cui l.c abbia divergenza

debole s u /)-3p . Si costruisca una successione { ~ , j di vettori di

c' (1)) che goda di proprieth analoghe a quelle della successione

IU,] indicata nella pr ima par te della dimostrazione del teor .

LVII ; naturalmente l a (76) deve e s s e r e o ra sostituita con l a seguen-

te:

(76') L' *->& )Dl che suss i s te ra per ogni funzione N.G&*(~~) avente gradiente debole su

p' appartenente a k q ( ~ ' ) ; l a (77) andra sostituita con la

Si perviene cosi all 'rsistenza di un FD, rk*(D') J* tale che, in

corrispondenza ad ogni del tip0 detto, r isul ta :

e tale che:

L. De Vito

Supponiamo o ra q >d e guindi <+& . Sia v ~ f l I ) ) a v e n t e gradiente

su j) appartenenete a &'f)(~) . Poniamo:

Pe r X E -05 9 porremo:

~ $ C r + l - ~ ( / ) ] = ~ ~ q + ( 2 t - f ~ ~ ( j ) ~ , geJD, ~ ~ ~ , c k c p . Dato che ,V ha t raccia nulla s u )~LD subito visto che

fly ( x ) e assolutamente continua second0 Tonelli in D .Inol-

t r e zr c &&(D) ed anzi : f

(82) 11 wy 1 1 ~ ~ ~ /)) = 11 l lL~cDl . Si ha poi W ~ E &,?(D) ed anzi es i s te una costante f l tale

che, pe r ogni ycC0So) r isul ta :

11 llA'cD.q, 6 M 11 ~ ' k + ~ ~ - ~ ) Se ne deduce:

Da (80) s i trae:

Da (83) viene:

k x + ~ ~ d* s D k x w v d r .

Es i s t e quindi finito il l imite : & Fp (v) , ~ ( 4 , b (81) 0 y/2 f

(82) s i t rae:

L. De Vito

Se ne deduce F f ~k*(~)]* . Passando a1 limite, pe r f+ C , in (84).

e tenendo presente (85) , s i ha l lasserto, pe r Q > d . Se poi B

4- d , al lora l e "funzioni di provan risultano appartenere a

MCo(D) /) e '( D) ; in ta l caso, servendosi del metodo indicato da

Gagliardo (32) B possibile cos t ru i re una successione di funzioni di i- ['(D) ta le che

ove L una costante opportuna, indipendente da m . Se al-

lo ra si passa a1 limite ,per M->& , nella relazione

s i ottiene l l a s se r to per q = j . Consideriamo ora i l caso in cui I& abbia divergenza debole

s u D . Sia 6 un dominio propriamente regolare tale che

D c a- . Prolungando 6 e fuoii di D a tutto CI D , con il valore zero, s i vede che l a Li, , cosi' prolunga-

h,

ta, ha p e r divergenza debole su D l a ,U , prolungata nel mod0

detto. Con i l procedimento indicato sopra s i viene a cos t ru i re una suc-

cessione {kr l di funzioni di C' (D) l e quali, t r a l l a l t ro , godono

della seguente proprietA : s e D' e tale che DC D 1 - ' f ~ ; D1cc-9E definitivamente s i ha +$a,,, c 0'- ' 3 ~ ' e quindi ;

in corrispondenza ad ogni ~ ~ r ( ( ~ ) a v e n t e gradiente debole s u

V-&I) contenuto in (R?(D) , preventivamente prolungato a tutto

6 in mod0 che risulti: Yf?lm(G), $'(6). Si ha inoltre,

p e r le proprieta della successione I&( :

(87 & d $ D ~ I x @ ~ d x = ~ ~ s Z a g ~ d ~ - ~ & t . i ~ y u d v h x . (32) Cfr. loc. cit. in (11) .

- 90 - L. De Vito

Da (86) viene al lora che es i s te i l l imite & 5 dlr = F(N) M+a7 Q

Sia il supporto di U; . Si ha, pe r ogni Y del tip0 ora detto :

Poichg il prolungamento di da D a pub e s s e r e fatto in mod0 che

s i avra :

Ne viene F ,$ [ & w c ~ * e quindi, passando a1 limite, nella (86), p e r

LXI . Sia D di classe 2. Condizione necessaria e sufficiente per- - chg U Eg(i)) abbia pe r divergenza debole su la m i s u r a r (8)- -

' 5 3 C dx +JRn4 f d p c o n { ~2 ' CD) , & q1Yv-Lp) , @ che, in c o r -

rispondenza ad)ogni vekPt~) avente per gradiente debole su D k .

La tes i segue subito dal t e o r r XLV. I1 teor LXl& vero anche nei se -

guenti cas i r i (~<g , 1 ( 9 ' < + ~ , :(qY<+rn; g.! , . ( < q l ~ + a J ~ < q ~ < S l j ; 9:i , Z

<=4,9':4; f <qc+w , l d q'c.ar, i-q $ 9 ' 1 < + ~ come segue subito dal teor. LI11, e

nel caso 1 G~(+Q, 4 ~ ~ 1 c-, ~ s & m , P ' ~ o m e segue dal teor . LIV ed b vero *

anche senza alcuna limitazione pe r :i'' s e s i idkntifica ,{ con C '. . .

19. Alcune definizioni relative a i poliedri ed al le famiglie quasi totali

di poliedri.

L. De Vito

P e r poliedro di E~ qui s i intendera sempre un dominio l i -

mitato di i3 , che indicheremo con f , avente pe r frontiera una

unica superficie regolare semplice e chiusa contenuta nelllunione di

un numero finito di piani; l t intersezione di &f con ciascuno di tali

piani b costituito da un numero finito di dominii bidimensionali connes-

s i , a due a due disgiunti; ognuno di tali dominii (bidimensionali connes-

s i ) b una faccia di f e s a r a indicata con 9- ! (tt=d. ,,,',L

s e M sono le facce d i ? nel senso o r a detto) ; il piano con- - tenente $K P s a r h denotato con z,(j!) (naturalmente non e escluso che r iesca x,(P) :_ &(P), &+& ) ; ogni faccia pK 1 di

& un poligono del piano t, ( f ) ciob e un dominio limitato del pia-

no x K < f ) , avente pe r frontiera unlunica curva regolare sempli-

ce chiusa contenuta nelltunione di un numero finito di rette; l a frontie-

r a del dominio piano pfi P s a r a chiamata bordo della faccia % 1 e indicata con $$P ; i punti di $)K f , nei quali l a curva Bk f b sprovvista di tangente, s i chiamano i vert ici d i o vert ici del-

l a faccia p ; diconsi vert ici di i punti che sono vert ici di

almeno una faccia bk f d i p ; l a curva f b costituita

da un numero finito di segmenti; ogni segment0 appartenente a

8, f e congiungente due vert ici distinti di %f dicesi

del bordo 3,, E od anche la to della faccia : l t intersezione - di due facce distinte di f , s e non e vuota,e costituita da

un insieme finito (eventualmente vuoto) di punti isolati (che sono

vert ici per una almeno delle due facce ) e da un insieme finito

(eventualmente vuoto) di segmenti; ognuno di questi segmenti che s i a con-

tenuto nelllinterserione di due facce distinte $ f e & e che non

s i a contenuto propriamente in alcunsegmento appartenente

L. De Vito

dicesi spigolo del poliedro p ; i due e s t r emi di uno spigolo d i f' - sono due vertici di 1 e ciascuno di e s s i C vert ice di almeno una

delle due facce d i 2 che s i intersecano nel dettospigolo (ma non

necessariamente di entrambe l e facce) . Ogni poliedro e ovviamente

un dominio propriamente regolare nel senso di Fichera ( c f r . 10~ . cit.

in (3)) . Con %,(P) indicheremo sempre la ret ta passante pe r l o

ze ro di E~ e ortogonale a1 piano zk ( f ) . Parlando di porzione

di s ~ i g o l o del poliedro intenderemo sempre , nel seguito, un qua-

lunque segment0 (di lunghezza positiva ) contenuto in uno spigolo di f . Sia p un fissato poliedro di E . Sia ,hL una misura

(vettoriale, a t r e componenti) definita s u tutti i boreliani di E T , identicamente nulla su 'ogni boreliano che non abbia punti in comune

- con J~ . Sia wK una misura (vettoriale a t r e componenti)

definita sui boreliani del piano ~ ~ ( 9 ) e identicamente nulla s u ogni

boreliano che non abbia punti in comune con l a faccia gMa . Con

{'??I indicheremo l a famiglia delle misure V teste introdotte K

( s i t ra t ta di una famiglia costituita da un numero finito di elementi)

Sia inoltre . f . ~~ ] r {af una famiglia di misure (vettoriali a t r e

componenti ) ta le che:

la) indicato con il generic0 piano orientato di E~ , Tz

e ina misura definita sui boreliani di , identicamente nulla

s u tutti quei boreliani che non hanno alcun punto in comune con

0

2) indicato con -1 il piano che ha orientazione opposta a quella di

s i ha T _ ~ - - 7 i Z j

3O) s e rt denota il piano dttenuto traslando del vettore

y t (ove / Y I = I , Y 1% t e un numero rea le ) e s e 8, & il bore- )

L. De Vito

liano di Z ottenuto traslando il boreliano 8 di

del vettore ~t , l a funzione di t ; vi ( q t ) & localmente som- =t

mabile . Diremo che un poliedro 1 C & "asportabile internott in

relazione a Z ] s e :

I) nessun vertice, nessuno spigolo e nessuna porzione di spigolo di

p giace su gp e nessun piano xK (f ) pub coincidere con - qualcuno dei piani ( p) :

11) per nessun K il piano 2 (f ) & di discontinuit& p e r f i ; I%

111) nessuna delle ret te di ,TI( ( f') che contenga almeno un lato di

gK & di discontinuita pe r fi r,(p) Diremo che i l poliedro PC 9 & "asportabile di frontiera" in

relazione a 8, ,t4, i ~ ] ) 1 % f se :

1) la frontiera di 1 & composta di /)2 facce delle

quali l e pr ime Mt (con W >Mn& 1 ) sono contenute in 9 mentre le rimanenti 41- non hanno alcuno dei propri punti in-

te rn i in comune con 0 $) ;

2) es is te un poliedro di E che gode delle seguenti pro-

pr ieta :

- - 4) nessuna delle facce qK di p appartiene a piani del tipo -

z4 (8 , nessuno dei vert ici nessuno degli spigoli e neasunn del-

l e porzioni di spigolo di giace s u gy ; 5) nessuno degli spigoli e nessuno dei vertici di appartiene

a piani del tip0 ze ( ) ; 6) nessun pian o xK ( F ) & d i discontinuita per f i ;

7) nessuna ret ta di x k ( y ) che contenga qualche lato di gk(j')

L. De Vito

6 di discontinuita per l a misura

8) nessuno dei piani di qualcuna del-

l e misure /;ir, (33)

. R E ' evidente che , 6 un poliedro "asportabile di frontiera"

in relazione a p, &, &),{z] . Una famiglia PI, d i poliedri di /53 contenuti in

dicesi quasi totale in relazione a 7 {z? se: 0

I ' ' 1 su ogni re t ta R passante pe r lo zero di , 5 3 es i s te un insie-

/v

me N/L . di misura l ineare lebesguiana nulla siffatto che J

3 f- fp contenga tutti e sol i i poliedri di E per i quali s i verifica che:

2' p 6 un poliedro "asportabile internb" relativamente a $A,P{ opphre "asportabile d i frontiera" in relazione a ;

I

3' b e P B " asportabile interno", zK(f) in te rseca l a re t ta - 4, ( 3 ) in pun-ti che non appartengono a '

) w 4 O s e 1 B "asportabile di frontiera" es i s te un poliedro ? di fi* -

verificante, r ispet to a p 7 p,pj,{q le 3) . . 8) , tale che - ) ) r"

non interseca Q~ (F) in punti d i

20 . Equilibrio di un corpo limitato.

Prenderemo in considerazione soltanto "corpi limitati" che s i a -

no schematizzabili con poliedri (del tipo precisato nel paragrafo

precedente). In accord0 con l e considerazioni svolte e con l e definizioni

(33)Con cib intendiamo che i l piano &(I) non contiene alcun boreliano bidimensionale , di misura lebesguiana bidimensionale nulla, che s i a contenuto anche in qualche piano del tip0 (9) e ta le che

R v (13)+0. 'TL

L. De Vito

date in relazione a i corpi "indefinitamente estesi" nel lavoro citato in

, si supporrh d i schematizzare l a forza d i m a s s a agente su l corpo

C rappresentato dal poliedro , con una misura#vettoriale

a t r e cornponenti) definita su tutti i boreliani B contenuti i n 9 e che penseremo, poi,definita s u tutti i boreliani di E? prolungando-

l a 'con il valore zero fuori d i J ; supporremo inoltre che l e "forze

es te rne di superficie" agenti su r)p possano chema t i i t a r s i con

delle miaure vet tor ial i FK l a y. es ima delle quali 6 definita su i

boreliani di (9) ed 6 'identicamente nulla sui boreliani che non

hanno punti in comune con hR 3 ; da ultimo ammetteremo che gli

"sforzi interni" a t t raverso porzioni piane contenute in si pos-

sano schematizzare rnediante una famiglia di misure [ ~ f verificante l e

1 ) 2 ' ) 3 ) del paragrafo prec . , nel senso che s e %P 6 l a faccia

di un poliedro "asportabile interno" relativamente a 9, p, (O "di f ront ierat ' in relazione a bJ{%\15] ) 10 'Isforzo" a t t raverso

l e porzioni d i !3& P s i a rappresentabile con l a misura ' l ~ k ( P )

I1 corpo f), limitato, schernatizzato da 9 , s a r i detto

"in equilibrio sotto l 'azione della forza di m a s s a e , delle forze di

superficie (%\ , e degli s forz i 1'7.1 ", s e es i s te una famiglia

quasi totale di poliedri relativa a 7A,jx],{$] tale che per o@i

p {P)S risulti :

(89)

s e 6 "asportabile interno" in relazione a P /U,{Z] . e

- 96 - L. De Vito

I \

s e 2 6 "asportabile di f ront ierat ' in relazione a 3 ,q ) ) J )

Ove Z4 ( 5 rk(P) ed ove s i @ convenuto di sc.eglier@ llorientamento dei K

piani zi(Y) I 0)Yer su l ' interno rispettivamente di e di . I P,

Questa definizione di equilibrio per un "corpo limitato "pub

r icondursi a quella relativa ad un "corpo indefinitamente esteso"

(cfr. lavoro citato in ( 'I ) mediante il seguente teorerna :

LXII . Condizione necessar ia e sufficiente perch6 es i s ta una

famiglia l y j P quasi totale di poliedri in relazione a pp@-?~f , J J

su ogni poliedro della quale siano soddisfatte l e (88) (89) oppure (90)

(91) (second0 che il poliedro s i a "asportabile interno" o "di frontie-

ra" ) 6 che, posto

e s i s t a una famiglia quasi totale d i poliedri {_PI relativa a - P 2 (34) ta le che , pe r ogni poliedro . i l quale non

abbia n6 vert ic i nC spigoli nC porzioni di spigolo contenute in ?# 9, r isul t i :

(92) /"(P)= zx RzR(p) (gk?)

-

Mostriamo l a necessitA. Sia {Ifp l a farniglia quasi totale re la -

t iva a qp,[fif,{@] , di cui all 'ipotesi. Come famiglia{ff quasi

(34) Cfr. definizione d i famiglia quasi totale r ispet to a in 1oc.cit. in (1) p. 212 .

L. Dc Vito

totale relativa a /U ,{.r:i di cui alla tes i assumiamo l a famiglia quasi ' ,

totale determinata da $Z , da e dagli insiemi i 1 /Vk d i misura nul-

l a sulla re t ta passante per llorigine (di cui alla definizione di famiglia

quasi t otale {f] rispetto a ) ottenuti aggiungendo a ciascun

(relativo alla famiglia if)p ) l l insieme pL costituito dalle

intersezioni con di ciascuno dei piani ortogonali ad e conte-

nenti almeno una faccia /J di 9 oppure almeno uno spigolo K

di $ oppure almeno un vert ice di , nonche dalle intersezioni

con a di ciascuno dei piani ortogonali ad & e di discontinuit&

p e r l a misura ,u ,Q che contenga llconcentrazionill di qualcuna del-

. - Sia ed inoltre supponiamo che 1 non abbia ne

spigoli ne porzioni di spigolo ne vert ici contenuti in 4 9 . Se

f < 9 , allora, il poliedro dovr& e s s e r e contenuto in 2-4d: ( infatti , nessun piano Zn(f t?) pub coincidere con qualcuno

dei ZL(3)) - pe r l a definizione di Nk - nessun vert ice , nessun )

spigolo e nessuna porzione di spigolo di $ pub g iacere su

/3p - ancora pef la definizione d i pk -,nessuh vert ice , nessun spi-

golo e nessuna porzione di sp igolodi P pub giacere s u (t $ I- per

ll ipotesi fatta s u p- - ) ; inoltre nessun piano zk (2) sarA di discon-.

t inui t l pe r - in.forza delllipotesi fatta su & - ; infine, nessuna

ret ta di z,,(e) contenente qualche lato di $K , s a r & di discontinuitl

per ' k ( k ) - come segue dal fatto che {P) & una famiglia quasi

totale h l a t i v a a {rn] ' ol t re che a - . Pertanto 1 . s a r a

"asportabile internon in relazione a f, p, (v

Inoltre , nessun piano z&) interseca F\., @) in punti di n/ "w!)

L. De Vito

Cv

dato che & C )JL per costruzione. Allora s a r l p c i ~ ) ~ , e

quindi, in corrispondenza ad esso, saranno verificate l e (88) (89) che

coincidono , in ta l caso, rispettivamente con le (92) (93) dato che

F C P-gP e p ( ~ ) : p ( S ) p e r ogni S C 53-4.3P . s e ~ ( t ? ? ) ~ @ a ,

l e (92) (93) sono verificate per& 6 , in corrispondenza a ciascuna

di e s se , ambo i membr i della eguaglianza sono nulli; infatti, i n ba-

s e a1 ragionamento fatto poco sopra, dovrP e s s e r e PC (ep . Conside-

r iamo , da ultimo, il caso in cui s i a - P(\(T-49)#*, oqp# # e

aupponiamo dapprima che s i a connesso . Facciamo vedere che

6 un poliedro "asportabile di frontiera" in relazione a

9, ,f~, [r],{~j assumendo come il poliedro f stesso. Sia ha

intanto che 10 a 6 un poliedro verificante l a proprieta 1) del para- - grafo prec. in conseguenza del fatto che: nessuna faccia T), di

appartiene a piani del tip0 zA(p> - in forza della definizione di

l"Jk - , nessuno spigolo o porzione di spigolo, e nessun vert ice

di pub giacere su 3-P - ancora in forza della definizione di

1% - , nessuno spigolo o porzione di spigolo e nessun vert ice

di 1 pub giacere su 0 - in forza dell'ipotesi fatta su 1. Le 4) 5) 6) 7 ) del paragrafo prec. sono soddisfatte in mod0 evidente.

N

L a 8) d d paragr. prec. segue dal fatto che z, ( f ) -. 1, ( P ) non - - contiene "concentrazioni" di (per l a definizione di pT ) p e r alcun valore di & . Inoltre, nessun p i a n o z

N H

*CP). ze'(P 1 interseca / H K ( P) in punti d i hl,cp) dato che VM. (PI C p e r costruzione e dato chb, 'essendo If] . nessun z4 (1) interseca ' M K (2 ) in.' punti di

'nr (PI , . i ha quindi 909 {PI

Saranno a l l om soddisfatte in corrispondenza ad e s so l e (90) (91) 9'

L. De Vito

e quindi , in particolare,

ove ZK(p) =_ zq(Pn7). Si noti o r a che (per l a propr. 5) )

e quindi :

Poiehe ogni x z h x ha il suppor toc dr) , r isul ta ;

Da qui , da . (90)' e da (90)" segue (92) . In mod0 analog0 s i ottie-

ne (93) . Se P/) 9 non & connesso s i ragionera sulle sue singole corn-

ponenti connesse come si & o r a ragionato su pop . L a necessit, - 6 cos i provata.

Mostriamo, adesso, l a sufficienza.

S a l a famiglia d i poliedri quasi totale r ispet to

a ed a { (jr7 di cui all 'ipotesi. Come famiglia

quasi totale relat iva a , , d i cui a l la t es i , assurniamo

l a famiglia quasi totale determinata da , e dagli insie-

mi fit di misura l ineare lebesguiana nulla sulle re t te

passan t i p e r l 'origine (di acuialla definizione d i famiglia quasi totale

L. De Vito

) ottenuti aggiungendo a ciascun /& ( relativo . alla famiglia

) l ' insieme costituito dalle intersezioni con Z di ciascuno

dei piani ortogonali ad R- che sono di discontinuita per 7 nonch6 dalle intersezioni con h dei piani ortogonali ad e con-

tenenti almeno una faccia di 9 o almeno uno spigolo di o

almeno un vert ice d i . Sia o ra 1 ( (PJd? e supponiamo che

p s ia "asportabile interno" ; al lora dov r l e s s e r e PC?- 39' (come si vede con un ragionamento gia fatto nella dimostrazione della

necessi ta) . P e r l a definizione di f l s i ha che nessun piano

rX ( t ) 6 di discontinuit& per / ~ c - ; inoltre, dato che 6 anche

p {!la nessuna ret ta di zK(P) contenente lat i A; ! +

6 di discontinuita X r , ~ ~ ) ; infine , dato che NR< h/n , nes-

sun piano z;(P ) interseca m,(~) in punti di )/ . Allora %cr, si ha P E { P ] e inoltre 5 non ha n6 vert ici n6 spigoli n6

porzioni di spigolo sontenute in (essendo 2 "asportabile in-

t e r n ~ " ) . Saranno quindi verificate, in corrispondenza a1 detto P , l e - (92) (93) le quali coincidono, rispettivamente, con (88) (89) dato che

/Cc e possono d i f f e r i r e t r a loro solo su boreliani di 99 rnentre o ra s i ha C 9- 3 3 . Sia adesso f€{pfp e supponia- - mo che p s i a llasportabile di frontiera". E s i s t e r l a l lora

verificante 4 ) . . . 8 ) . Facciamo vedere che s i pub imporre a

l 'u l ter iore condizione di appartenere a {PI . Intanto s i ha che il H

piano xK( 7) interseca M K ( F ) fuori di /V,, @)e quindi anche Cv C

fuori di NntKt~ ) d a t o c h e vwk(p)</\',cg-) . I n o l t r e zk(P) non

6 di discontinuit5 pe r (p rop r .6 ) ) e non contiene " concentrazioni"

di alcuna delle F4 (propr. 8)) e quindi non 12 di discontinuita per/- . Inoltre, per l a 7 ) , nessuna re t ta di rK ( F ) che contenga qualche

L. De Vito

lato di 3,.(7) , 6 di discontinuit5 pe r (p) . Pertant o si N 4zK

ha pe{f] . Inoltre, per l a 4), non ha n6 vert ici n6 spigo-

li n6 porzioni di spigolo giacenti su . Allora, in corrispon- N

denza a p sono verificate l e (92) (93) . In particolare si ha: -

'M

i n f o r z a d e l l a 5). Si h a p o i ,7L&q(p)<~&r)=~Ksr (7rp) n l t d X,(P)

come 6 ben evidente, e quindi r isul ta soddisfatta l a (90) in relazio-

n e a P . Analogamente s i controlla che sussis te l a (91) in relazione a 1

detto p . I1 teorema LXII 6 c o d dimostrato.

Dal teor. LXII test6 dimostrato, e dai ' t eo r r . I. 6 , I I , 6 , 1.10;

11.10 di loc. cit. h si deduce subito il seguente teorema che for-

nisce l a traduzione in "equazioni deboli" delle equazioni dell'equilibrio

LXIII, Condizione necessar ia e sufficiente perch6 , in cor r i -

spondenza a 2 , , es i s t a { ta le che siano soddisfatte

(88) . . . (91) su ogni poliedro - P di una opportuna famiglia quasi

totale di poliedri relativa a 9) ,{GI, i ~ f , e che esis tano t r e

misura vettoriali (di componenti &;- ) tali che: b

essendo &!. ( r j ) = o s ~ oeni 5 che non in comune con b

L. De Vito

/u. e f ~ ) sono ta l i che, in corrispondenza ad e s s i '

es is te {go; 3 verificante (94) (95) . un s i s tema {&j soddi-

sfacente le (88) . . . (91) ( i n riferimento ad una opportuna famiglia

quasi totale relativa a Tp,@],@) si ottiene assumendo

come & - egima componente di 3iz sui boreliani !3, dir la misura :

(35)

4 Se /CL e sono tal i che, in corrispondenza ad e s s i -

es is te [ ~ f verificate ' (88) . . . (91) (per ogni p o l i d r o di una opportuna

famiglia quasi tot ale {!fa relativa a , ), u n s i s t e m a

10(;61 verificante (94) (95) si ottiene assumendo : A

Da qui e dai teoremi sull 'operatore di divergenza debole (dei

paragrafi precedenti ) si t rae , in particolare, che, assegnati ad arbi-

t r i o l a forza di massa /GC e l a forza esterna di superficie ,

c o n , U ( a ) = x l ( Ek i&( a))], es is te un s i s t e m a di pressioni interne

{ c k verifica, in relazione a p ed a l a pr ima

equazione d i equilibrio (88) o (90) , e tale inoltre che, ' in corrispon-

denza ad ogni piano Z ' l a misura $Yz s i a assolutamente conti-

nua con den'sitP 1 q , 4 4 4 3k . E' o r a evidente che tutti i

teoremi di regolarizzazione e di t racc ia per le funzioni dotate di

divergenza debole, dati nei paragrafi precedenti , si traducono in al t ret-

tanti teoremi di regolarizzazione all'interno e su l contorno pe r l e so- . . - - -

(35) Per l e notazioni qui usate cfr. loc'. ~ i t . in ( I )

L. De Vito

luzioni della pr ima equazione dell'equilibrio (88) (90) . Inoltre, dai risultati del paragrafo 14 del loc. cit. in (1)

dal teor . LXII si deduce che :

LXIV . Condizione necessar ia e sufficiente perch6 in 'corr ispon-

denza a , es is ta {R] verificante (88) . . (91) su ogni

poliedro d i una opportuna famiglia quasi totale di poliedri

, e tale inoltre che r iesca

ove - "r 6 il versore normale a > , P che es i s ta una

funzione , p ( x p ~ &'(p) che abbia per gradiente debole su -

l a misura p % p c ~ ) = p t ~ ) - ~ , ~ ~ [ 5 n ~ ~ ( ~ ) ~ { sono tal i che, in corrispondenza ad ess i ,

es i s te qmt$'(7) avente pe r gradiente debole su 3 - l a

misura p , es is te uno ed un solo s is tema soddisfacente le

(88) . . . (91) ( in riferimento ad una opportuna farhiglia quasi tota-

2 fefp relat iva a ?,~,m, ) e l a (96 ) , ed e s so /

6 determinato dalla relazione ~ ~ ( 6 ~ ) ~ sBr ~ ~ ) d ) d ~ (eve si pensi

di prolungare /P(*) fuori d i 8 con i l valore zero ). - z/iL % % sono tal i che, in corrispondenza ad ess i ,

es i s te - Fir3 verificante 1 e 8 8 . . . (91) ( in r'iferimento ad una

opportuna famiglia quasi totale f f f 9 r e lat iva a ?/,F],{4]) e la (96) , esis te una ed una sola funzione d*)t e4(9> che ha per gradiente debole su l a misura 7 ed e s s a 6

determinata dalla relazione dlri. /p(y,= =*

LXVP Condizione necessar ia e sufficiente perch6, in corrispon-

il s i s tema (88) . . (91) (96) ammetta

L. De Vito

soluzione (nell'incognita [ ~ f ) 6 c h e $py$iisO per ogni v~c'?$.) avente divergenza nulla.

I due teoremi o r a dati possono in te rpre ta rs i come teoremi

relativi all 'equilibrio d i un corpo "fluido" ideale (schematizzato

dal poliedro p ) ove, in accord0 con l e definizioni date nel

n. 14 del loc. cit. in (1) . s i intenda per corpo "fluido" (ideale) un

corpo per il quale l e "pressioni interne" sono schematizzabili con m i -

s u r e soddisfacenti (96) , cio6 con misure vettoriali che sono *z

sempre normali a l la superficie a t t raverso l a quale l e dette "pressjo-

ni" agiscono. Allora, i t eoremi di regolarizzazione e di t racc ia per l e

funzioni dotate di gradiente debole (dati nei paragraf i precedenti) non

sono a l t ro che teoremi d i regolarizzazione all ' interno e sulla frontie-

r a per l a soluzione del s i s tema (88) .. . (91) (96) .