Nodi concettuali fondamentali nell’apprendimento

della geometria

Maria Piccione *

Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche “R.Magari”

Università degli Studi di Siena

* piccione@unisi.it

PremessaLa ricerca svolta nell’ambito di progetti e attività di laboratorio ha permesso di analizzare le principali difficoltà nell’apprendimento della matematica e di metterle in relazione con

• la didattica generale• la didattica disciplinare

ne è scaturita una rivisitazione dei temi di matematica trattati ai vari livelli scolastici

una focalizzazione dello studio sui nodi concettuali della disciplina

funzionali alla costruzione di pensiero matematico

Nodi concettuali nello sviluppo di pensiero geometrico

Interpretazione dei nodi da noi individuati:tratti comuni con

i ‘nuclei fondanti’ i ‘nodi concettuali’

Come i ‘nuclei fondanti’, i nodi sono concetti che • delineano la struttura della disciplina dal punto di vista cognitivo • caratterizzano la disciplina epistemologicamente• supportano le competenze attraverso le quali la mente si organizza

Come i ‘nodi concettuali’, i nodi sono concetti • centrali del percorso didattico• possono rappresentare ostacoli cognitivi

I nodi da noi scelti si intrecciano con

le ‘attività fondamentali’ del pensiero umano

attività universali che hanno contribuito alla costruzione dei concetti fondamentali della matematica

(che si ritrovano nei programmi scolastici e universitari)

contare localizzare misurare disegnare giocare descrivere

dipendenti da facoltà della mente che fanno parte della dotazione genetica degli esseri umani o si sviluppano fin dai primi mesi di vita:

isolamento distinzione confronto

con conseguenti ordinamento classificazione

Condizione nella scelta dei nodi è stata la

essenzialità

ovvero la riduzione estrema del loro numero

In rapporto alla costruzione della mappa concettuale degli allievi (individuale o condivisa)

ne consegue

un aumento del numero dei concetti correlati a uno stesso nodo

sul piano cognitivo: dimostrazione della ‘forza attrattiva’ del nodo considerato

Modalità didattica nell’uso dei nodi è stata la

esplicitazione

agli allievi finalizzata a

• recupero del senso nello studio della matematica• conquista di consapevolezza

con questa stessa finalità vengono sollecitate

osservazione e riconoscimento

delle facoltà e delle attività fondamentali della mente che entrano in gioco nella costruzione di un dato concetto

I nodi presi in considerazione per la costruzione di pensiero geometrico sono

estensionedimensione

posizione misura forma

Nell’organizzazione didattica: l’esistenza teorica di ciascun nodo è messa in rapporto con l’esigenza di risolvere un problema dell’esperienza comune

Esperienza senso-motoria e immagini mentali

Il lavoro geometrico inizia con la formulazione della domanda

che cosa è per voi la geometria?

le risposte fornite dai ragazzi vengono confrontate con una frase di F. Speranza che viene enfaticamente dichiarata e che contiene implicitamente un’indicazione (peraltro classica!) da noi acquisita come criterio metodologico:

La geometria è una schematizzazione estrema delle nostre esperienze sensoriali e di movimento

Tale frase viene richiamata nella prosecuzione del lavoro per sottolineare il ruolo fondamentale che l’esperienza senso-motoria svolge nella formazione delle idee

Modalità di lavoro adottata

L’azione didattica è ispirata a principi di educazione sensoriale (anche di impostazione montessoriana)

E’ dato spazio ad attività di

esecuzione e osservazione

di predisposte esperienze sensoriali (tattili - visive) e di movimento

efficaci in situazioni di

apprendimento usuale recupero cognitivo recupero affettivo

Osservazioni:Tali attività sono risultate valide anche nel biennio della scuola secondaria (seppure in contrasto con le teorie che tendono a porre limiti di età per simili esperienze).Il superamento delle difficoltà dipende da determinati passaggi del processo di apprendimento non eliminabili e da recuperare in tempi ridotti e con atteggiamento metacognitivo di controllo/valutazione.

E’ condotta una sistematica attività sulle

immagini mentali

indirizzata a

ricerca descrizione condivisione

di ciò che il soggetto ‘vede’ nella propria mente in relazione a un concetto che va elaborandosi a un procedimento che si sta sviluppando

Osservazioni:La condivisione delle immagini mentali è risultata utile per il confronto e l’arricchimento della ‘collezione’ individuale alla base del processo di astrazione. L’attività sottolinea il ruolo che la costruzione delle immagini mentali svolge nella fase di passaggio verso l’astrazione. Nei casi di difficoltà, il controllo delle immagini si è dimostrato uno strumento vantaggioso per evidenziare lacune o distorsioni nella costruzione concettuale (insegnante/allievo).

Il lavoro sulle immagini mentali evidenzia che

la geometria è un sistema di concetti

strutturato sulla base di

un sistema di percezioni

Un esperimento convincente

finalità: evidenziare l’effettiva produzione di immagini

attuazione: preliminare all’uso del metodo del feed-back delle immagini individuali

esecuzione: accurata esplorazione tattile, ad occhi bendati, di un oggetto non comune (non riconducibile ad immagini mentali pregresse) disegno o descrizione verbale dell’oggetto sottratto alla vista.

Le rappresentazioni sono sorprendenti!

Estensione

Inizio del lavoroanalisi dell’idea di ‘spazio occupato’

Operativamente

i ragazzi vengono invitati a:compiere movimenti liberi in molti modi diversiosservare lo spazio occupato dagli oggetti

DimensioneInizio del lavoro

analisi dell’idea di ‘puntamento’

Operativamentei ragazzi vengono invitati a puntare (con un braccio teso o con una bacchetta) in modi diversi

La riflessione viene avviata con le seguenti domande

quanti modi di puntare esistono nello spazio fisico?

quanti su una superficie piatta?

quanti su un filo teso?

Deve emergere il concetto di direzione al quale riferire quello di dimensionenei casi di retta, piano e spazio in senso astratto

Operativamenteragazzi diversi puntano, ad esempio, verso il nord (ciascuno con una bussola) e rilevano il ‘parallelismo’ degli aghisi riempie idealmente l’aula di fili tesi, tutti ugualmente indirizzati, ovvero ‘fasci di rette parallele’, si rigano analogamente i piani dei banchi… Si raccolgono le osservazioni e si commentano

Prosecuzione del lavoro

primo approccio ai concetti di lunghezza, larghezza, altezza in termini di proprietà possedute da rette situate in posizione reciproca particolare

La riflessione si incentra sulle seguenti domande

quali possibilità di movimento possiede un essere puntiforme

nello spazio fisico? su una superficie piatta? su un filo teso o, più in generale, non teso?

OperativamenteI ragazzi sono invitati ad utilizzare materiale concreto ed eseguire movimenti effettivi

Si sperimenta l’esistenza di tre principali possibilità di movimento

‘in lungo’ ‘in largo’ ‘in alto’

idea di dimensione di un determinato ambito fisico (poi geometrico euclideo) come numero massimo di direzioni mutuamente ortogonali in esso contenute

retta, piano, spazio hanno dimensione uno, due, tre e un punto…zero

Il lavoro conduce

• all’intuizione dei concetti di composizione di movimenti movimento risultante dalla composizione dipendenza/indipendenza di movimenti

• alla precisazione della nozione di verso con la duplice possibilità di orientazione di una retta (o linea)

• alla contrapposizione dei concetti di dimensione e di estensione

l’estensione di una figura indica lo spazio occupato

la dimensione indica come lo spazio viene occupato

• alla classificazione delle figure in lineari superficiali solide

secondo che occupino lo spazio alla maniera

di una linea: solo in lungodi un piano: in lungo e in largodello spazio: in lungo in largo e in alto

Sviluppo del lavoro

Studio di figure bidimensionali non piane (superficie sferica, cilindrica…)

dal punto di vista delle possibilità di movimento permesse

con

individuazione di linee di spostamento (in generale non tutte rette)

‘indipendenti’ e ‘generanti’ ogni altro spostamento considerato

Osservazioni:Il lavoro intorno al nodo dimensione ha dimostrato di favorire la comprensione di caratteristiche radicali dei diversi ambienti geometrici/figure

Ha contestualizzato approfondimenti tematici (molto suggestivi) come lo studio di semplici figure frattali

L’idea di posizione risponde

al problema della individuazione di un punto nello spazio

salto epistemologico:dalla

soluzione “in grande” della suddivisione non assoluta dello spazio fisico in zone (in particolare quella legata alla struttura del corpo umano)

alla soluzione raffinata fornita dal concetto di coordinata

Il concetto forte che compenetra il nodo posizione è quello di riferimento

che ne sottolinea la relatività

Osservazioni:La difficoltà concettuale è sottovalutata (frequentissime situazioni di errore e difficoltà che si riscontrano negli sviluppi successivi dello studio matematico)La costruzione di tale concetto richiede che vengano attentamente individuate e giustificate le condizioni e i procedimenti che consentono l’introduzione delle coordinate cartesiane (orientazione della retta, scelta del punto ‘origine’, misura di lunghezze, unità ) e il confronto con coordinate di tipo diverso (polari, sferiche, cilindriche…)

Posizione

Misura

La convergenza concettuale del nodo misura è con il concetto di grandezza

Osservazioni:L’esperienza ha mostrato una debolezza/mancanza del senso della misurabilità molto diffusa tra gli studentiE’ fondamentale dominare l’idea di grandezza, distinguendone i tipi, comprendere il ruolo della possibilità di confrontare e sommare due grandezze (omogenee)

FormaLa costruzione del concetto di forma si avvale ampiamente dei principi metodologici adottati:

percezione degli oggetti della realtà fisica al riconoscimento di proprietà comuni formazione di immagini mentali rappresentazioni grafiche regolarizzazione di alcune ‘forme’ in figure

Osservazioni:E’ proficuo lavorare sulla distinzione tra forma in senso ‘genere’ e in senso ‘specie’ in funzione del collegamento dei concetti di forma e di similitudine