Il ruolo del linguaggio nell’apprendimento della matematica

Pier Luigi Ferrari Università del Piemonte Orientale

ad Alessandria http://www.mfn.unipmn.it/pferrari

Schema

Sistemi semioticiLingue

Linguaggio della matematica

Linguaggio e apprendimento

Quale educazione linguistica?

Qualche idea per l’insegnamento

Autoriferimenti

Ferrari, P.L.: 2004, Matematica ed Educazione: il ruolo fondamentale dei linguaggi, Sem.Naz. di Ricerca in Didattica della Matematica, sessione XXI, http://www.dm.unito.it/semdidattica/

Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Bologna: Pitagora Editrice.

Ferrari, P.L.: 2003, 'Costruzione di competenze linguistiche appropriate per la matematica a partire dalla media inferiore', L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.26A, N.4, 469-496.

Ferrari, P.L. & L.Lunardi: 2005, ‘Inventare notazioni per risolvere problemi’, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.28°, N.5, 451-474.

Sistemi semiotici

Linguaggio verbale Scritto, orale

Notazioni simboliche Aritmetica, algebra

Rappresentazioni figurali Figure geometriche, grafici, immagini

Da un libro di testo

L'intersezione dei due insiemi A e B, e si scrive AB, è l'insieme {x | xA e xB}.

L'intersezione di A e B è così l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Vediamo quali sono le intersezioni degli insiemi visti sopra per illustrare l'unione. Per un qualunque insieme A, è AA=A, e anzi se B è un sottoinsieme di A, è AB=B.

La distanza di un punto generico (x,y) dall'origine (0,0) è data da:

La condizione che la distanza sia uguale a 1 (cioè il raggio) è data da:

2 2x y+

2 2 1x y+ =

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1

1

x

y

Lingua

Sistema semiotico umano, storicamente determinato

Creatività possibilità di creare insiemi infiniti di

segniDoppia articolazione

Frasi morfemi fonemiRiflessività discorsiva

Testi che analizzano altre rappresentazioni

Comprensione dei testi

Teorie del codice L’interpretazione dei testi avviene per

mezzo della grammatica e del dizionario.

Teorie dell’inferenza L’interpretazione dei testi richiede

attività creativa del soggetto, quindi anche un’enciclopedia.

Matematica e rappresentazioni

Non esistono accessi alle idee matematiche se non attraverso rappresentazioni.

Sono necessarie rappresentazioni non iconiche

Ad esempio: Insiemi infiniti Retta

Stat rosa pristina nomine,

nomina nuda tenemus

Rappresentazioni multiple

Problema cognitivo: distinguere un concetto matematico dalle sue rappresentazioni

Esigenza di disporre di almeno due rappresentazioni distinte dello stesso concetto: Conversioni da un sistema all’altro

Coordinamento di più rappresentazioni

Esempi

Numeri Dita della mano Costellazioni Insiemi di oggetti Scrittura in base dieci Regoli Abaco Linea dei numeri …

Esempi

Funzioni Descrizione verbale Equazione y = f(x) Grafico Tavola valori

Punti di vista su apprendimento e

linguaggi

Ipotesi denotazionale

I concetti si costruiscono indipendentemente e i sistemi di segni servono solo per rappresentarli. Piagetiani ortodossi, cognitivisti,

Lakoff & Nuñez, …

Ipotesi strumentale

La costruzione dei concetti richiede la disponibilità di sistemi di segni. Vygotskij, Bruner, Duval, Sfard,

approcci discorsivi, socioculturali, … Il pensiero è una forma di

comunicazione (A.Sfard) Apprendimento matematico come

partecipazione a un discorsoNon c’è noesis senza semiosis

(R.Duval)

Per l’ipotesi denotazionale la povertà linguistica è un grave ostacolo alla comunicazione dei concetti in corso di apprendimento ma non al loro sviluppo.

Per l’ipotesi strumentale la povertà linguistica è un grave ostacolo allo sviluppo del pensiero:Povertà di linguaggio povertà di pensiero

Funzioni cognitive

Reificazione

Fissare pensieri, processi, ipotesi, relazioni in oggetti che possono essere studiati e trasformati. Testi scritti Espressioni simboliche Rappresentazioni figurali

Trattamento

Testi scritti parafrasi, riassunto, …

Espressioni simboliche Prodotti notevoli, sostituzioni,

derivate, …

Rappresentazioni figurali Trasformazioni geometriche,

operazioni su grafici, …

Esempi

Esecuzione di algoritmi Operazioni in colonna Equazioni Costruzioni con riga e compasso Trasformazioni geometriche Operazioni sui grafici delle funzioni

reali

Calcoli

Algoritmi di calcolo in colonna

2643 554=

10572#

13215##

13215###

1464222#

Quanto vale il prodotto di MMDCXLIII per DLIV?

Notazione algebrica

Trouame 1.n° che gioto al suo qdrat° facia.12(Luca Pacioli, 1445 - 1514)

Qdratu aeqtur 4 rebus p:32(Girolamo Cardano, 1501 - 1576)

x+x2 = 12

x2 = 4x+32

Riflessività discorsiva

Con le lingue si esprimono giudizi su rappresentazioni di ogni tipo.

Lingua come guida del pensiero

Caratteristiche del linguaggio

matematico

Scarsa dipendenza dal contestoSignificato come prodottoTesti pianificati e gerarchizzatiEsplicitazione nessi con la sintassiDistanza, mancanza di feedback

Testi scritti, espressioni simboliche, rappresentazioni visuali

Caratteristiche del linguaggio colloquiale

Forte dipendenza dal contestoSignificato come processoTesti poco pianificatiRuolo minore della sintassiInterazioni, feedback, negoziazione

significati

Testi orali, testi informali, schizzi

" Il nostro edificio si compone di 3 rettangoli 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.

Testi orali e testi scritti(Duval, 2000)

Accessibilità Memoria a breve

Autonomia del ricevente Il lettore ha più ‘potere’ dell’ascoltatore Interpretazione globale

Attività metalinguistica La riflessione sull’adeguatezza di un testo

è più agevole se questo è in forma scritta. Testi matematici

Testi orali, testi scritti provvisori, testi scritti stabili I testi scritti provvisori hanno

caratteristiche intermedieFunzioni linguistiche profondamente

diverseOrganizzazioni testuali

profondamente diverseFunzioni cognitive profondamente

diverseAppartenenza riconoscibile a una

stessa lingua

Modi espressivi tipici della forma orale o delle scritture informali possono essere più adatti per trattare idee provvisorie o in formazione.

Il punto di vista della pragmatica

Testi per rappresentare e descrivere ma anche per raggiungere scopi

Registri linguistici come varietà d’uso dei linguaggi in relazione a contesto e scopi

Registri: orali – scritti colloquiali – evoluti

Usi linguistici in matematica come registri Non come insiemi di convenzioni

La mia tesi fondamentale è:

I registri matematici sono casi estremi di registri evoluti.

Le caratteristiche linguistiche che distinguono i registri evoluti da quelli

colloquiali sono presenti in forma massiccia ed estrema nei registri

matematici.

In classe

Durante le attività di matematica devono essere realizzate funzioni di: Comunicazione Relazione interpersonale Organizzazione delle conoscenze Esecuzione di algoritmi

In altre parole devono essere usati sia modalità tipiche dei registri colloquiali sia modalità tipiche dei registri matematici.

Un esempio

Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ corrisponde a scopi di organizzazione della conoscenza.Ma scopi di comunicazione interpersonale sono meglio realizzati da ‘quadrato’

Un altro esempio

1 1 5 3...

3 5 15 15

Le trasformazioni1 5 1 33 15 5 15

non corrispondono a finalità comunicative riconoscibili ma soprattutto a esigenze computazionali.

Tutto questo richiede:

Capacità di gestire il rapporto fra testo, contesto e scopi

Capacità di usare i registri evoluti

Flessibilità per passare da un registro all’altro in funzione degli scopi

La notazione simbolica dell’algebra

Il simbolismo algebrico - 1

Regole di trasformazione che non dipendono dai significati

Regole decidibili (è automatico stabilire se sono applicabili o no)

Proprietà testuali diverse dai linguaggi verbali

Il simbolismo algebrico - 2

2 tipi di espressioni

Termini: corrispondono ai nomi 2 x 2+x

Formule: corrispondono alle frasi 2+x =1 2=3-1 2 >3

Senso e riferimento -1

Le espressioni 5 6-1 15:3 min{7, 6, 5} 10log5

1+1+1+1+1 4.999999…

rappresentano lo stesso numero (hanno lo stesso riferimento) ma hanno sensi diversi.

Senso e riferimento -2Le proprietà matematiche hanno prevalentemente a che fare con i riferimenti.

P(5) se e solo se P(1+1+1+1+1)

1 5 1 33 15 5 15

Problema In una città si è calcolato che in media ogni tre gatti (G) ci sono quattro cani (C).

Quali fra le seguenti formule rappresentano tale relazione?

3 4 3 4

3 4 73 4

G C C G

G CG C

Risposta frequente: 3G = 4C

ogni tre gatti ci sono quattro cani

Congruenza semantica

“sette è maggiore di cinque”, 7>5 sono congruenti fra loro

“cinque è minore di sette”, 7<5 sono congruenti fra loro

Le espressioni del primo gruppo sono logicamente equivalenti ma non congruenti a quelle del secondo gruppo.

Se C rappresenta il numero dei cani e G quello dei gatti“Ogni tre gatti ci sono quattro cani”

3 G = 4 C non è equivalente alla frase data.

4 G = 3 Cnon è congruente ma è equivalente alla frase data.

Sintassi

Notazioni simboliche: sintassi rigida

‘=’ è un predicato a due argomenti

Per affermare che i numeri x, y, z sono uguali fra loro servono tre equazioni

x=y, y=z, x=z

Linguaggio verbale: sintassi rilassata

Numero di argomenti variabile

“Gli uomini sono tutti uguali”

Organizzazione dei testi

Nei registri quotidiani l’organizzazione del testo è finalizzata a scopi comunicativi.

Nella notazione algebrica è condizionata dalla sintassi e dall’esecuzione di algoritmi.

È ieri che Carlo è andato a giocare a tennis con Mara al circolo.

È Carlo che è andato ieri a giocare a tennis con Mara al circolo.

È a tennis che Carlo ha giocato ieri con Mara al circolo.

È Mara la persona con cui Carlo ha giocato a tennis ieri al circolo.

È al circolo che Carlo è andato ieri a giocare a tennis con Mara.

In 5<7 il tema è ‘5’.

In 7>5 il tema è ‘7’.

Le due formule sono matematicamente equivalenti.

La scelta fra le due spesso dipende da esigenze non comunicative ma tecniche, in relazione al formato dei dati disponibili.

ProblemaBill e Tom giocano a dadiAll’inizio Bill ha il doppio dei dollari di TomBill perde 100$ (e Tom ne vince altrettanti)Alla fine del gioco Tom ha una volta e mezza i dollari di BillScrivete due equazioni colle lettere B, T per esprimere le relazioni iniziale e finale fra i dollari posseduti da Bill e Tom

Risposta frequente:

2

1,5

B T

T B

B e T sono interpretati come indicali

IndicaliGli indicali (riferimenti deittici) sono quelle espressioni la cui interpretazione richiede informazioni sul contesto in cui sono state prodotte e che si aggiornano automaticamente.Oggi, quello, qui, lui, la mia età, i tuoi soldiLa notazione algebrica non ha indicaliQuest’anno: La mia età xFra un anno: La mia età x +1

Dizionario

Linguaggio verbale

Possibilità di costruire termini composti buona ma non illimitata

Ampia scelta di predicati (verbi)

Notazione algebrica

Possibilità di costruire termini composti illimitata

Pochissimi predicati (=, …, <, >, …)

Nominalizzazione

n è parin è disparix è il doppio di yx supera y di 50m è maggiore o

uguale di nm è maggiore di n

k(n=2k)k(n=2k+1)x = 2yx = y+50k(m=n+k)

k(m=n+k+1)

Aspetti percettiviLa regola

(x+y)2 = x2+2xy+y2

ha minore salienza visuale rispetto a(xy)2 = x2y2

Questo può indurre gli studenti a conformare la prima alla seconda.

Esempi di regole salienti

w y wyx z xz

w y wz xyx z xz

Esempi di regole non salienti

nn nxy x y

2 2 ( )( )x y x y x y- -

Esempi di ‘maleregole’

w y w yx z x z

nn nx y x y

Implicazioni didattiche

Le difficoltà di comunicazione possono rendere vano ogni altro intervento.

In certi casi è futile ragionare solo sui contenuti disciplinari.

È inutile spiegare più volte un concetto se l’interlocutore non capisce quello che diciamo.

Rapido mutamento dei comportamenti linguistici, delle competenze e delle difficoltà

All’insegnante non basta più l’esperienza: ogni 2-3 anni può trovarsi davanti situazioni completamente diverse.

Classi multilingue

In molti paesi occidentali ormai è il problema principale.Quanta e quale competenza linguistica serve a uno studente non madrelingua per affrontare le discipline?

La tecnologia spesso contribuisce al degrado della competenza linguistica (cellulari, televisione, videogiochi, …)

Tuttavia mette a disposizione opportunità enormi, che vanno sfruttate:

comunicazione interazione sistemi semiotici

elaborazione testinotazioni simbolichevisualizzazione, figure, grafici, …

e-learning

ComunicareLe modalità di comunicazione sono

fondamentali. Aspetti usualmente trascurati influenzano

gli atteggiamenti degli studenti. Tempo di esposizione adeguato per

svolgere inferenze.Conoscenze contestuali indispensabili

per svolgere inferenze (‘enciclopedia’) Le definizioni astratte non sono a costo

zero.

Evoluzione competenze linguistiche

Nuove tecnologie

Rappresentazioni visuali

Forme di comunicazione che penalizzano L’esplicitazione dei significatiLa riflessione sui testiLa possibilità di inferenze consapevoli

Educazione linguistica

Metodi tradizionali inefficaci Modelli grammaticali Scarsa attenzione a usi, contesti e

scopi Separazione fra educazione

linguistica e scientificaConvinzioni, atteggiamenti

Obiettivi

Consapevolezza metalinguistica Relazione testi – contesti (scopi, …) Controllo sui testi Uso flessibile dei registri

Registri matematici registri colloquiali

Uso registri evolutiCoordinamento di sistemi semiotici

Consapevolezza metalinguisticaUso registri evolutiCoordinamento di sistemi semiotici

non sono risorse naturali per tutti.Devono essere costruite attraverso attività specifiche.

In altre parole: non esiste il ‘linguaggio

naturale’