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Le trasformazioni del pianoLe trasformazioni del piano

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Le Trasformazioni Le Trasformazioni GeometricheGeometriche

Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni

Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano

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TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII

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La trasformazione identica o identità è quella che associa ad ogni punto se stesso

Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica

Si chiamano invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate

Varianti le caratteristiche che si modificano

Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi

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Invarianti

Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono:

La Lunghezza dei segmentiL’ampiezza degli angoliIl parallelismoLe direzioniIl rapporto tra i segmentiL’orientamento dei punti del piano

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Trasformazioni geometricheTrasformazioni geometricheSi possono suddividere in tre categorie:

Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (esempio: disegno su tela elastica)

Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (esempio: ombra di un oggetto)

Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (esempio: immagine riflessa)

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La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher (1898-1972).

Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova l’artista sono diventate linee curve.

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Classificazione delle Classificazione delle trasformazioni basata trasformazioni basata

sugli invariantisugli invarianti

Nigro GerardinaLe classificazioni rappresentate nello schema sono via via più restrittive. Vengono identificate in base a numero e tipo di proprietà mantenute dalle figure dopo una trasformazione.

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TOPOLOGIA

Esistono altre trasformazioni che non portano rette in rette: deformazioni continue che conservano le “intersezioni”.

I ponti di Königsberg

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OMEOMORFISMIOMEOMORFISMI

Gli omeomorfismi, detti anche trasformazioni topologiche, Gli omeomorfismi, detti anche trasformazioni topologiche, conservano la continuitàconservano la continuità

A curve chiuse corrispondono curve A curve chiuse corrispondono curve chiusechiuse

A curve aperte corrispondono curve A curve aperte corrispondono curve aperteaperte

A curve intrecciate corrispondono A curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero curve intrecciate con lo stesso numero di nodi( i punti in cui le curve di nodi( i punti in cui le curve intersecano se stesse )intersecano se stesse )

Se un punto è intersezione di due Se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve risulta intersezione delle curve corrispondenti corrispondenti

Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in

figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

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La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione".

Un esempio noto di proiettività è l’ombra di un

oggetto sottoposto a una lampadina, fonte

di luce relativamente vicina a noi.

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Un esempio noto di proiettività è l’ombra di un

oggetto sottoposto a una lampadina, fonte

di luce relativamente vicina a noi.

Notiamo che l’ombra del tavolo provocata dalla

lampadina è deformata rispetto alla figura di

partenza: mantiene solo l’allineamento dei punti

delle rette e la convessità (o la concavità) della figura

La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di

proiezione".

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Le trasformazioni affini sono particolari proiettività che mantengono anche il parallelismo

tra rette.

Se consideriamo ancora l’esempio comune dell’ombra, un’affinità è una trasformazione che può derivare da una

fonte di luce molto lontana, tendente all’infinito, come il sole, i cui raggi sembrano essere paralleli tra loro.

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OMBRE:AFFINITA’ e PROIETTIVITA’

Le ombre generate dal sole sono trasformazioni affini (conservano il parallelismo).

Quelle generate da una sorgente di luce sono proiettive (conservano l’allineamento).

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L’omotetia è una particolare affinità che conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli; inoltre fra i

segmenti esiste un rapporto costante, detto rapporto di similitudine.

Il triangolo rosso è stato trasformato con l’omotetia in quello blu, un triangolo simile.

Si può applicare lo stesso procedimento anche a figure

più complesse.

A

C

B

A’

B’

C’

Detto k il rapporto di similitudine:• se k > 0 l'omotetia si dice direttadiretta. • se k < 0 l'omotetia si dice inversainversa. • se k =1 si ha l'identitàidentità;• se k = −1 si ha la simmetriasimmetria rispetto all'origine.

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O

A

BC

D

A'

B'C'

D'

Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure.

Sono suoi invarianti :

• L’ampiezza degli angoli

• Il parallelismo

• Il rapporto tra segmenti

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Le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra i punti, perciò le figure trasformate risultano congruenti a

quelle di partenza.

Sono isometrie le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.

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L' identità è la trasformazione di ogni punto del piano associato a se stesso. In

un' identità tutti i punti sono unitiuniti.

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Trasformazioni geometriche: LE LE ISOMETRIEISOMETRIESono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la forma e sia la dimensione.

Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.

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ISOMETRIEISOMETRIE

Una trasformazione geometrica si chiama Una trasformazione geometrica si chiama isometriaisometria o o congruenzacongruenza quando, comunque si quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’ scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’ sono i loro corrispondenti , il segmento A’B’ sono i loro corrispondenti , il segmento A’B’

risulta congruente al segmento ABrisulta congruente al segmento AB

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CONGRUENZACONGRUENZA

Una particolare famiglia di Una particolare famiglia di trasformazioni del pianotrasformazioni del piano

Le congruenze sono le Le congruenze sono le trasformazioni del piano che trasformazioni del piano che

conservano le distanze tra i punticonservano le distanze tra i punti

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LE ISOMETRIELE ISOMETRIE

In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli).

A

B

C

A'

B'

C'

F F‘

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Le isometrieLe isometrie

Le principali isometrie sono:Le principali isometrie sono:

TraslazioniTraslazioni RotazioniRotazioni Simmetria assialeSimmetria assiale Simmetria centraleSimmetria centrale

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Proprietà delle isometrieProprietà delle isometrie

In una isometria:

•a una retta corrisponde una retta

•a rette incidenti corrispondono rette incidenti

•a retta parallele corrispondono rette parallele

•a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente

•ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente

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Identita’Identita’L’identità è una trasformazione L’identità è una trasformazione

geometrica che fa corrispondere a ogni geometrica che fa corrispondere a ogni punto il punto stesso e quindi a ogni punto il punto stesso e quindi a ogni

figura la figura stessafigura la figura stessa

Poiché a un segmento corrisponde lo stesso segmento, l’identità è una ISOMETRIA.

Inoltre un’ identità è una trasformazione involutoria in cui tutti gli elementi sono uniti

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La traslazioneLa traslazioneLa figura F con un lato La figura F con un lato

appoggiato sulla retta r è stata appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento spostata con un movimento rigido ottenendo F’.rigido ottenendo F’.

Il movimento che ha portato F in F’ è unaIl movimento che ha portato F in F’ è una traslazionetraslazione: : ogni punto di F si è spostato della ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezzastessa lunghezza (6 cm), nella (6 cm), nella stessa direzionestessa direzione (parallelo ad r) e nello (parallelo ad r) e nello stesso versostesso verso ( a destra) dando origine ad F’. ( a destra) dando origine ad F’.

FF’

r

Destro destro

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Gli elementi che caratterizzano la Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre:traslazione sono quindi tre:

1.1. La sua La sua lunghezzalunghezza (6 cm) (6 cm)

2.2. La sua La sua direzione direzione (parallela ad r)(parallela ad r)

3.3. Il suo Il suo versoverso (da sinistra a destra) (da sinistra a destra)

Queste Queste tretre caratteristiche definiscono un caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato segmento orientato, chiamato vettorevettore, , indicato con v o con ABindicato con v o con AB

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TRASLAZIONETRASLAZIONEFissato nel piano un vettore v, se a un punto Fissato nel piano un vettore v, se a un punto P del piano si fa corrispondere un punto P’ P del piano si fa corrispondere un punto P’ tale che PP’ = v si ha una corrispondenza tale che PP’ = v si ha una corrispondenza

biunivoca tra i punti del piano , che si chiama biunivoca tra i punti del piano , che si chiama TraslazioneTraslazione di vettore v. di vettore v.

v

P

P’

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Per Per individuare un vettoreindividuare un vettore occorre indicare: occorre indicare:

La sua La sua direzione,direzione, cioè la retta a cui appartiene cioè la retta a cui appartiene

Il suo Il suo versoverso, che indica il senso di percorrenza, che indica il senso di percorrenza

La sua La sua intensità o intensità o modulomodulo, che rappresenta la , che rappresenta la lunghezza del segmento ABlunghezza del segmento AB

TeoremaTeorema: la traslazione è un’isometria: la traslazione è un’isometria

Con questo teorema affermiamo che Con questo teorema affermiamo che due figuredue figure che si corrispondono che si corrispondono in una in una

traslazione sono congruenti.traslazione sono congruenti.

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Inoltre la traslazione ha come caratteristiche Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti:invarianti:L’allineamento dei punti L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmentiLa lunghezza dei segmentiL’ampiezza degli angoliL’ampiezza degli angoliIl parallelismoIl parallelismoLe direzioniLe direzioniIl rapporto tra segmentiIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del pianoL’orientamento dei punti del piano

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La rotazioneLa rotazioneUn’altraUn’altra trasformazionetrasformazione che mantiene che mantiene

invariateinvariate tutte le misure lineari e tutte le misure lineari e angolariangolari è la rotazione attorno ad un è la rotazione attorno ad un punto.punto.

Per definire una rotazione è necessario Per definire una rotazione è necessario che siano dati:che siano dati:

1.1. Un punto, detto Un punto, detto centrocentro di rotazione di rotazione

2.2. L’ampiezza dell’L’ampiezza dell’angolo angolo di rotazionedi rotazione

3.3. Il Il versoverso di rotazione (orario o antiorario di rotazione (orario o antiorario))

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ROTAZIONEROTAZIONESiano dati in un piano un punto O e un angolo Siano dati in un piano un punto O e un angolo αα di di

dato verso; dato verso;

per ogni punto del piano, si consideri la trasformazione per ogni punto del piano, si consideri la trasformazione che associa a un punto P il punto P’ tale che sia OP che associa a un punto P il punto P’ tale che sia OP congruente a O’P’ e l’angolo POP’ congruente ad congruente a O’P’ e l’angolo POP’ congruente ad αα

Si ottiene una corrispondenza biunivoca che si diceSi ottiene una corrispondenza biunivoca che si dice

RotazioneRotazione

di ampiezza di ampiezza αα intorno al centro O . intorno al centro O .

Pαα

O

P’.

.

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Teorema: la rotazione è un’isometria

La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente. Valgono le seguenti Valgono le seguenti proprietà:proprietà:

Il Il solo punto unitosolo punto unito è il è il centro centro di rotazionedi rotazione

Non esistonoNon esistono rette uniterette unite se non se non quellequelle che si che si corrispondono in una corrispondono in una rotazionerotazione pari ad pari ad un angolo un angolo piattopiatto

La rotazione di ampiezza pari ad un La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giroangolo giro

coincide con la trasformazione coincide con la trasformazione identitàidentità

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La rotazione ha come caratteristiche invarianti:

L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmentiIl parallelismoL’ampiezza degli angoliIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del piano

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Una Rotazione Particolare:Una Rotazione Particolare:

La Simmetria CentraleLa Simmetria CentraleUna Una rotazione di 180°rotazione di 180° attorno ad un punto C è attorno ad un punto C è una una simmetria centralesimmetria centrale..

Il centro di simmetria è il centro della rotazioneIl centro di simmetria è il centro della rotazione

TeoremaTeorema: la simmetria centrale è un’isometria: la simmetria centrale è un’isometria

Questo teorema garantisce che due figure Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto simmetriche rispetto ad un punto sono congruentisono congruenti

Destro va in destro

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SIMMETRIA SIMMETRIA CENTRALECENTRALE

Si dice simmetria centrale la trasformazione Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un dato punto 0, suo simmetrico rispetto a un dato punto 0,

detto centro della simmetriadetto centro della simmetria

P

P’.0

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Simmetria centraleSimmetria centrale

Fissato il punto O Fissato il punto O come come centro di centro di simmetriasimmetria, il punto A’ , il punto A’ è è simmetricosimmetrico di A di A rispetto al centro Orispetto al centro O se O è se O è punto mediopunto medio del segmento AA’del segmento AA’

O

A

A’

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Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti

Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro

Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli

La simmetria centrale è involutoria

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Il Ribaltamento:Il Ribaltamento:

La Simmetria AssialeLa Simmetria AssialeEsistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse.

DefinizioneDefinizione:: si dice simmetria assiale la trasformazione si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico P’ rispetto ad r.simmetrico P’ rispetto ad r.

La retta r prende il nome di La retta r prende il nome di asse di simmetriaasse di simmetria..

r

P

P'

M

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Simmetria assialeSimmetria assiale

Fissata una retta r Fissata una retta r come come asse di asse di simmetriasimmetria, il punto A’ , il punto A’ è è simmetricosimmetrico di A di A rispetto alla retta rrispetto alla retta r se r è se r è l’assel’asse del del segmento AA’segmento AA’

A

r

A’

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TeoremaTeorema:: la simmetria assiale è un’isometria la simmetria assiale è un’isometria

Questo teorema ci permette di dire che due figure che si Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.congruenti.

Segmenti corrispondenti sono ugualiSi conservano gli angoliTriangoli corrispondenti sono congruenti

Sinistro destro

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Una Una rettaretta a a perpendicolare all’asseperpendicolare all’asse di di simmetria ha per simmetria ha per trasformata se stessa ed è trasformata se stessa ed è quindi una retta unitaquindi una retta unita;;Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come

trasformato se stesso. Una retta a // all’asse di simmetria ha per Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a a stessa.quindi a a stessa.Ogni punto dell’asse di simmetria è unito Ogni punto dell’asse di simmetria è unito perché gli corrisponde se stessoperché gli corrisponde se stesso

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Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione ètrasformazione è involutoria;involutoria; Se Se i i vertici del triangolo ABCvertici del triangolo ABC si susseguono in si susseguono in senso orariosenso orario, i loro corrispondenti , i loro corrispondenti A’B’C’A’B’C’ si si susseguono in susseguono in senso antiorariosenso antiorario e quindi e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante (è l’ordinamento dei punti non è un’invariante (è un’isometria invertente)un’isometria invertente)

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Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettriceUn triangolo ha un asse di simmetria solo se è isosceleIl rombo ha due assi di simmetria (diagonali)Il cerchio infiniti assi di simmetria

Gli Gli invarianti della simmetria assialeinvarianti della simmetria assiale sono: sono:L’allineamento dei punti L’allineamento dei punti La lunghezza dei segmentiLa lunghezza dei segmentiIl parallelismoIl parallelismoIl rapporto tra segmentiIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del pianoL’orientamento dei punti del piano

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ISOMETRIE IN NATURA E NELL’ARTE

In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche.

Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi.

Nell’arte sin dall’antichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

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La simmetria centrale La simmetria centrale e la simmetria e la simmetria assialeassiale sono involutorie sono involutorie

La rotazioneLa rotazione, in generale, non è , in generale, non è involutoria a meno che l’angolo di involutoria a meno che l’angolo di rotazione non sia un angolo piatto o rotazione non sia un angolo piatto o nullo. Se è piatto la rotazione è una nullo. Se è piatto la rotazione è una simmetria centrale, se è nullo la simmetria centrale, se è nullo la rotazione coincide con l’identitàrotazione coincide con l’identità

La traslazione La traslazione non è involutorianon è involutoria

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fiocchi di neve

medusa

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rosoni

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porta dei leoni (XV sec a.C.) Micene

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fregio disegno di tessuto