Teorema della divergenza

sii v un dominio regolare limitato

definito da una o più designazionicon funzioni c'CRIRsia su il suo bordo che è

una superficie regolare a tuttisia F c C A Pi dove 1 è

un aperto che contiene T

dvfdxdg.dz Finds

Wit

auf s'È TÈ TÈmentre Aft è il bordo di Torrentellocon il versore normale uscente da V

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione segue dalle

seguenti formule sia f c C'CYR

È axdsdzi fbnndsn.fise

IÌ dxdg.de fnidssi

dxdydtsf.fm ds

su

III minoreÈ

treponema

a.sisu

SIFjdxdydz.SE I ds putasu

sexy su

dxdydzs.IE n'sods pals

sommo e viene il te della tv

Le formule dimostriamo solo

nel caso di un dominio normale

rispetto a tutte le variabili

F g c kaqjszspcx.si

K un dominio in Pil siailDimostro

Ns c

I dxayd't.ffn.isÌ

su la sua

paid

È dxdydzsfgdxdyfsfq.dzdi D

dxdyfflxisipcx.si flx.y.acx.siad

ora calcoliamo

finil terzo addendo so dato che rissoil versore normale è ORIZZONTALE su µ

parametrissa IV

I

jinick

2 piu r

a i vi D

Eds I fini piu.hn dudrk il 1

fists fini ahh diediilµ

fsisduSsffflumpcyvIfcqr.d4fdudihfyIjdxdydz

se.V è normale rispetto alla

né t Csp e K i 44,7 ex apriscambiando z e seguendo

il ragionamento di prima dimostro

anche

stjdxdg.dz GF mindssu

e lo stesso vale se v è normale rispettoalla y Quindi se v è normale

rispetto a tutte e tre le variabili

ho dimostrato l µ e quindiil teorema della Divergenza

Formule di Gauss Ostrogsteri

Le formule 3 si possonoScrivere anche in ITL2se E un dominio di IpiE è definito da un numero

finito di designazioni con funzionic'CRIB sia se ne suo

bordo che è una CURVA regolarea tratti operano

ti E

se g ehi t.c.acx.ua9 è una curva regolare a tratta localmenteesperatabile

Ren se ca b R è una

parometrisserrane che ha come

sostegno se qua D D

ri vettore tangente è È

e

Definiscoil vettore normale È

Proposizione Gauss Green

e fa g una funzione c'µ Rdove A è un aperto di 112

jjjga.y.gj.am

qq.y.yj.mn

Qui 8Gt è una curva regolarea tratti parometrissate in modo

che il versore normale puntoverso l'esterno di E

si è il versore normale

dl è l'elemento di lunghess

Ren ca DI R qlcqbD.tt

ii vettore tangente è È

e

il vettore normale È

quindi m

rete

de 141 di È dt

e in definitiva

fcx.D.in de flxltl.gl gilt at

Cort a riconosce la parossatrizzazioniche de l'orientamento della

normale esternaii

su una curva chiusa Izun orientamentoè un verso di

percorrenza della curva in senso

orario o antiorariose in p vuol dire che mentali

secondo la figurasopra

nella regola ÌfÉ

della moda desta

p o

quindi nel disegno sopra l'overtones

SE è quello ANTIORARIO

È i

Ja

in blu I

ora su Jen l'orientamento uscente

è ANTIORARIO

su se è ormai

Le formule Si dimostrano

ESATTAMENTE come in dimensione 3

è più facile

f dxdysffcxidn.dey7Gt

Supponiamo che E zia normale

E Ex ska Nx by spa

ffcxidn.de7Gt

2 3 4

ma mi il vettore normale

è orizzontale quindi 0

Parametri siamot x sx

94 dit

I Di 1

Xp I

tmall.ffcxlh.gl a diXo

flt.dk totseParametrissiamo

t x sx

94 pit

1n L

questo mi da la parometrizzazionedella NORMALE ENTRANTE

tmall.ae flx y nadestai

f fit panda

quindi sommando

m'des fltpaddt f4aa.dk

Ma per il teorema fond del calcolointegrale

lady Ìn Ètax fcxpcxt fcx.am g fn.de

Due conseguenze interessanti

Teorema della dive in Raisia Fe c A Pi A chi

un aperto E c A

I TÈ axdy.ff.si dese t

Teorema del motore nn È

e ride È SÉ ahy

Dimostra e

RICORDO che

f dxdg sffcx.hn dl

7Gt

tidy hn de

uso con f Fa

TÈ as baidu.de

ricordo che è quindi

is e si Ia

G LÌ LÌquindi

TÈdxdy.IE E de

ora uso con f s Fa

dxdy.GE Idestop

ma in vedi sopra

quando

feritequindi facendo la differenza

Keith des È H

Teorema del Rotore in ITL32

Sia k un dominio regolare LIRcome prima definito tramite drag

di funzioni Cna an ii suo bordo

Insia 4 una parametrissazione

regolare µ µT Hain modo che y ok SEsia a sua volta una curva regolarea tratti in 112

sia F C'È acariCA

definiamo rot E 0 n F

I b

aySi hai

rotfrnds.fi vdl

7Gt