Operazioni differenziali sui campi

G. Pugliese 1  

•  Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi. –  Gradiente –  Divergenza –  Rotore –  Laplaciano

•  Siccome le componenti sono funzioni di più variabili, avremo derivate parziali

Gradiente di un campo

G. Pugliese 2  

zk

yj

xi

∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂=Φ∇ ˆˆˆ Il gradiente di un campo scalare

e` un campo vettoriale

E = −

∇V

ESEMPIO  

E(x, y, z) = − ∂V

∂x

i + ∂V

∂y

j + ∂V

∂z

k

#

$%

&

'(= −∇V

In coordinate cartesiane:

In coordinate POLARI:  

E(r,ϑ ) = − ∂V

∂rur +−

1r∂V∂ϑuϑ

Divergenza di un campo vettoriale

G. Pugliese 3  

•  In coordinate cartesiane:

•  Formalmente si può considerare come il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

•  E` un campo scalare

zA

yA

xAA zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

( )kAjAiAz

ky

jx

iA zyxˆˆˆˆˆˆ ++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

Rotazione di un campo vettoriale

G. Pugliese 4  

•  In coordinate cartesiane:

•  Formalmente si può considerare come il prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale:

•  è un campo vettoriale

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂=×∇

yA

xA

kxA

zAj

zA

yAiA xyzxyz ˆˆˆ

( )zyx

zyx

AAAzyx

kji

kAjAiAz

ky

jx

iA∂

∂

∂

∂

∂

∂=++×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=×∇

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

Laplaciano di un campo

G. Pugliese 5  

•  In coordinate cartesiane: •  Il laplaciano di un campo scalare è un campo scalare •  È la divergenza del gradiente: •  Formalmente:

•  Può agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

2

2

2

2

2

2

zyx ∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂=ΔΦ

2

2

2

2

2

2

zA

yA

xAA kkk

k ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Δ

2

2

2

2

2

2ˆˆˆˆˆˆ

zyxzk

yj

xi

zk

yj

xi

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇⋅∇=Δ

Operazioni integrali sui campi

G. Pugliese 6  

•  Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim)

•  Flusso: integrale su una superficie (2-dim)

•  Integrale nello spazio (di volume): 3-dim

∫∫∫ΦV

dV

∫ ⋅C

ldA

A ⋅ n̂ dS

S∫∫ =

A ⋅dS

S∫

V  

Φ

S  

A

C  A

Teoremi integrali

G. Pugliese 7  

•  Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differenziali: –  Teorema della divergenza –  Teorema di Stokes

Teorema della divergenza

G. Pugliese 8  

•  Lega il flusso di un campo vettorale all’integrale di volume della divergenza del campo stesso

•  (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie)

A ⋅dS

S∫ =

∇⋅AdV

V∫

A⋅∇

A

S  

V  

Teorema di Stokes

G. Pugliese 9  

•  Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso

•  (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie che poggia su tale linea)

∫∫∫ ⋅×∇=⋅SC

adAldA

A

A

×∇

C  

S  

Teorema di Gauss in forma Locale Il teorema di Gauss : in forma integrale lega il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa alle sorgenti del campo interne. In forma differenziale costituisce una relazione locale che lega le derivate del campo in un punto con le densità di carica ρ in quel punto.

DCBA attraverso ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′=⋅ʹ′ dydzEdydzuE xx

ABCD attraverso dydzEdydzuE xx −=−⋅

dxdydzx

dydzEE xx ∂

∂=−ʹ′ xE )(

Sviluppo in serie al primo termine essendo dx piccolo

G. Pugliese 10  

Teorema di Gauss in forma Locale

τdzE

yE

xE

dxdydzzE

yE

xESdEd

zyx

zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅=Φ )(

00

ετρ

εddqd ==Φ

0ερ

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zE

yE

xE zyx

∇⋅E = ρ

ε0Formulazione locale della L. di Gauss

G. Pugliese

Teorema della divergenza

τdEd⋅∇=Φ

τddE Φ

=⋅∇

La divergenza del campo in P è pari al rapporto tra il flusso attraverso la superficie di un parallelepipedo infinitesimo centrato in P ed il suo volume (vale per qualunque campo vettoriale)

τdEd⋅∇=Φ ∫ ∫ ⋅∇=⋅=Φ

τ

τdESdE

Il flusso del campo attraverso una superficie chiusa S è pari alla divergenza del campo stesso esteso al volume racchiuso da S (T. della divergenza)

(1)  

(2)  

G. Pugliese 12  

Campi solenoidali

G. Pugliese 13  

Se ρ = 0 Il campo si dice solenoidale. Le linee di forza del campo non originano da alcun punto. Se Le linee di forza di E si originano da un punto, ossia dalla sorgente del campo.

∇⋅E = 0

∇⋅E ≠ 0

La legge di Gauss in forma locale stabilisce quali sono i punti dello spazio dove E è o meno solenoidale e, quindi, l’assenza o meno di sorgenti del campo elettrico in quei punti.

∇⋅E = ρ

ε0

Il rotore del campo elettrostatico

G. Pugliese 14  

il campo elettrostatico è irrotazionale

E ⋅dl = 0 ∫

∇×E = 0

Teorema di Stokes:

∫ ∫ •×∇=•C S

SdEldE

zyx

zyx

EEEzyx

uuu

E

∂

∂

∂

∂

∂

∂=×∇

Componenti cartesiane: Il rotore è un operatore vettoriale che associa a un vettore un altro vettore le cui componenti sono date dalle differenze tra le derivate parziali delle componenti del vettore rispetto ai tre assi, combinate a due a due

Il rotore del campo elettrostatico

G. Pugliese 15  

Questa proprietà del campo elettrostatico può essere dedotta considerando che il campo è conservativo pertanto esiste una funzione scalare V che soddisfa la relazione:

∇×E = ∂Ez

∂y−∂Ey

∂z%

&'

(

)*ux +

∂Ex

∂z−∂Ez

∂x%

&'

(

)*uy +

∂Ey

∂x−∂Ex

∂y%

&'

(

)*uz

E = −

∇V

∇×∇V =

∂2V∂y∂z

−∂2V∂z∂y

%

&'

(

)*ux +

∂2V∂z∂x

−∂2V∂x∂z

%

&'

(

)*uy +

∂2V∂x∂y

−∂2V∂y∂x

%

&'

(

)*uz = 0

∇×E = 0

Divergenza-rotore-gradiente

G. Pugliese 16

E ⋅dS =

∇⋅Edτ

τ

∫S∫

E ⋅dl =

∇×E ⋅dS

S∫

C∫ Teorema di Stokes

Teorema della divergenza

GAUSS

SUPERFICIE

Superficie S che delimita il volume τ

SUPERFICIE

Linea C che delimita la superficie S

Punti che limitano una inea

∇V =

∂V∂x

i + ∂V

∂y

j + ∂V

∂z

k

∇×E = ∂Ez

∂y−∂Ey

∂z%

&'

(

)*ux +

∂Ex

∂z−∂Ez

∂x%

&'

(

)*uy +

∂Ey

∂x−∂Ex

∂y%

&'

(

)*uz

∇⋅E = ∂Ex

∂xux +

∂Ey

∂yuy +

∂Ez

∂zuz

ΔV = −E

i

f

∫ ⋅dl

IL campo elettrostatico

E ⋅dl = 0 ∫

IL CAMPO ELETTROSTATICO È CONSERVATIVO

“Elettrostatico”: è un campo in cui le cariche che lo generano sono fisse e costanti e che un eventuale carica di prova è fissa o si muove senza perturbare la distribuzione delle cariche sorgenti.

0

int

εqdSnE =•∫

Teorema di Gauss

G. Pugliese 17  

∇⋅E = ρ(x, y, z)

ε0

∇×E = 0

F = q

E Forza elettrostatica

E = −

∇VΔV = −

E

i

f

∫ ⋅dl Potenziale

ELETTROSTATICO