Nella lezione precedente: n Abbiamo definito e caratterizzato unantenna corta n Calcolato il campo...

Nella lezione precedente: Abbiamo definito e caratterizzato un’antenna “corta” Calcolato il campo lontano di un dipolo a mezz’onda Antenna Marconiana Monopolo in quarto d’onda su piano di massa Altezza efficace di un’antenna verticale/Orizzontale su piano di massa Altezza efficace di una spira elementare Caratteristiche di un’antenna filiforme rettilinea di lunghezza arbitraria Calcolo della sua impedenza di ingresso: i metodi variazionali Il dipolo ripiegato

Nella lezione precedente:

Antenne a banda larga: a onda progressiva Antenne a banda larga: a elica

Dipolo Ripiegato

Abbiamo detto che si analizza considerando la sovrapposizione degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari)

V/2+

+V/2

IT IT

+ +V/2 V/2

IA IA

V

IA+ IT IA- IT+

Riprendiamo un attimo il dipolo ripiegato

Per il modo antenna: per l’ipotesi sulla spaziatura, vi sarà una differenza di fase trascurabile tra i campi radiati dai singoli conduttori: campo tot. In zona lontana doppio rispetto al singolo conduttorePer il modo linea: per la stessa ipotesi, i campi irradiati si cancellano

Dipolo Ripiegato

V

IA+ IT IA- ITL’impedenza di ingresso sarà:

Ora, nel caso linea, i punti A e B sono allo stesso potenziale per questioni di simmetria.

TAin II

VZ

V/2+

+V/2

IT IT

A

B

Del resto, nel caso antisimmetrico, come sappiamo, potremmo inserire un muro elettrico nel mezzo.Quindi è come se A e B fossero cortocircuitati.

Se indichiamo con ZT l’impedenza di ingresso di un tratto di linea di lunghezza L chiuso su corto circuito, avremo

TT Z

VI

2/

Dipolo Ripiegatoessendo quindi:

)tan(0 ljZZT

Dove ZD non differisce di molto dall’impedenza di ingresso di un dipolo ordinario

DA Z

VI

2/2

+ +V/2 V/2

IA IA

Per il modo di antenna invece questi due punti sono allo stesso potenziale V/2, quindi li possiamo mettere in contatto

+V/2

IA IA

Dipolo RipiegatoQuindi l’impedenza complessiva di ingresso:

TAi

II

VZ

Nel caso particolare di dipolo ripiegato di lunghezza 2L=/2 abbiamo che L=/2

TD Z

V

Z

VV

24

DT

TD

ZZ

ZZ

2

4

Il corto della linea è diventato un aperto e ZT=per cui

Di ZZ 4Quindi ricordando che un dipolo a mezz’onda in risonanza ha una impedenza reale di 70 , il dipolo ripiegato presenterà un’impedenza di ingresso di circa 280

Dipolo RipiegatoIl dipolo ripiegato ha inoltre una banda intrinsecamente più larga: infatti l’ammettenza di ingresso in condizioni di risonanza è

La parte immaginaria ha un effetto compensativo quando si è fuori risonanza, mentre è nulla alla risonanza.

)2/(1)4/(1/1 TDii ZZZY

)2/()cot()4/(1 0ZljZ D

Schiere o “Array” di antenneAll’aumentare della lunghezza, un’antenna filiforme presenta crescenti caratteristiche direttive del lobo principale

Tuttavia aumenta il numero di lobi secondari vanificando gran parte del vantaggio

Per avere caratteristiche direttive occorre usare molteplici antenne e dimensionarle per sfruttare fenomeni di interferenza in aria: le schiere

Il campo a grande distanza sarà quindi la somma vettoriale dei campi a grande distanza di ciascun elemento

Schiere o “Array” di antenne: parametri di progetto

Disposizione (lineare, circolare, rettangolare ecc.) Distanza relativa tra gli elementi radianti Ampiezza delle eccitazioni su ciascun elemento Fase delle eccitazioni su ciascun elemento Diagramma di radiazione di ciascun elemento

Schiera di due dipoli elementari

x

y

z

I0

I0’

z'

'

r'

r

'

'

d

dl

Due dipoli a distanza d e con correnti diverse

Il campo nel punto di osservazione sarà

'

''00 '

'22

uuE

r

edlsinIj

r

edlsinIj

jkrjkr

Al solito faremo le approssimazioni (per il modulo)'// rr 'rr ' uu


x

y

z

I0

I0

’

z'

'

r'

r

'

'd

dl

mentre per la fase

222 zyxr

222' zydxr

2222 2 dxdzyx 22 2 dxdr

2

2

21r

d

r

d

r

xr

2

2

cos21r

d

r

dsinr

2

2

cos22

11

r

d

r

dsinr

sinr

x

r

xcos

r

ddsinr

2cos

2

cosdsinr


x

y

z

I0

I0

’

z'

'

r'

r

'

'd

dl

Se poi poniamo

jkeaII 0'0

cioè una sorgente in relazione ad ampiezza e sfasamento dell’altra, avremo

cos

0 12

jkdsinjjkr

eaesinr

edlIjE

Campo di un singolo elemento in un punto di riferimento (solitamente l’origine)

Fattore di schiera (array factor)

Schiere Allora abbiamo ottenuto che il campo lontano è il prodotto del campo del

singolo elemento della schiera per un fattore che dipende solo dalla schiera (posizione relativa d, sfasamento , rapporto tra le ampiezze a) [purché la schiera coinvolga un solo tipo di radiatori]

Il diagramma di radiazione si può quindi ottenere con la “moltiplicazione dei diagrammi”

A tal fine occorre valutare il fattore di schiera: poiché non dipende dalle caratteristiche direttive degli elementi della schiera, si può valutare usando una schiera di antenne isotrope con la stessa distribuzione delle sorgenti e spaziatura (e topologia)

Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari con uguale eccitazione distanti /2

Campo lontano

Diagramma di radiazione

I0=I0’ (a=1, =0); d=/2

cos

0 12

sinjjkr

esinr

edlIjE

u

E

Ef cos

maxmax

12

1

),(

),(),( sinjesin

Grafichiamolo sui vari piani: XZ (=0)y

z

sinj

sinjsinjsinj

sinj

esinsin

eeesin

esinf

2

222

2cos

2

1

12

1)0,(

x

z

Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari con uguale eccitazione distanti /2

Grafichiamolo sul piano YZ (=/2)

x

y

z

sinf )2

,(

y

z

sin

Grafichiamolo sul piano XY (=/2)

x

y

cos2

cos

cos2

cos

12

1),

2(

j

j

e

ef

Impedenza mutua

Per avere il diagramma desiderato, dovremo imporre una certa distribuzione di corrente

Il modo corretto di trattare un problema in generale è usando una matrice di impedenza che tenga conto di tutto

A tal fine occorre conoscere con precisione l’impedenza di ingresso

Tuttavia l’impedenza di ingresso di un’antenna è alterata dalla presenza dell’altra: occorre tener conto dei “mutui accoppiamenti”

La valutazione di tale matrice è un problema complesso (si è per esempio risolto di nuovo con tecniche variazionali per due antenne filiformi)Per schiere lunghe e con elementi uguali l’effetto del mutuo accoppiamento può talvolta essere ignorato

Impedenza mutua

Schiere Lineari Uniformi n elementi lungo una linea retta equispaziati Correnti ugual ampiezza Sfasamento progressivo

x

dcos

0 1 2 n-1d d d

j

m

m eI

I

1

Schiere Lineari Uniformi La differenza di cammino dell’onda prodotta da due

elementi successivi è

x

dcos

0 1 2 n-1d d d

cosd Cui corrisponde uno sfasamento per differenza di cammino

coskdk E a cui si sovrappone lo sfasamento della corrente, per cui i

campi generati da due elementi successivi arrivano sfasati all’osservatore di coskd

Schiere Lineari Uniformi Quindi il campo totale sarà

)1(320 .......1 Njjjj

T eeeeEE

Fattore di Schiera

Notate che il fattore di schiera è di fatto una serie geometrica del tipo nxxx ...1 2

Che ha come somma

x

xn

1

1

Quindi il fattore di schiera diventa

2

21

1

22

22

2

2

sin

sinN

ee

ee

e

e

e

eAF

jj

jNjN

j

jN

j

jN

Simile al Sinc ma periodico (di 2)

Schiere Lineari : Polinomio associato Se avessimo considerato un array lineare ad elementi

equispaziati, ma non necessariamente con la stessa ampiezza di corrente, avremmo più in generale ottenuto

)1(1

33

22100 .......

NjN

jjjT eaeaeaeaaEE

Notate che il fattore di schiera è di fatto un polinommio complesso del tipo

nn xaxaxaa ...2

210 Tale polinomio si definisce polinomio associato della

schiera, introdotto da Schelkunoff nel 1943 Vale quindi il teorema: il fattore di schiera di una schiera ad N elementi è un

polinomio di grado N-1; viceversa ogni polinomio di grado N-1 può essere interpretato come fattore di schiera di una schiera ad N elementi equispaziati

Schiere Lineari: Polinomio associato Dato poi che il prodotto di due polinomi è ancora un

polinomio, si ha il corollario:

Date due schiere lineari, esiste sempre una schiera il cui fattore di schiera è il prodotto dei rispettivi fattori

Schiere Lineari UniformiTornando al caso uniforme:

Il fattore graficato in 2

2

sin

sinNAF

Notate che

Al crescere del numero di elementi il lobo principale ( =0) si stringe

Il numero di lobi secondari aumenta Ma la loro ampiezza diminuisce La larghezza del lobo principale è doppia

rispetto a quella dei lobi secondari

Visto che il fattore di schiera è calcolato considerando antenne isotrope, esso è simmetrico rispetto all’asse della schiera stessa

Schiere Lineari Uniformi

Quindi basta considerare il solo intervallo 0<<. Il che, ricordando

Implica

coskd

kdkd Spazio visibile della schiera

AF

kdkd Spazio visibile

Può capitare che nello spazio visibile cada più di un lobo principale: tali lobi vengono definiti “Grating Lobes”

Schiere Lineari UniformiPer esempio: il fattore di schiera è periodico

Per cui il lobo principale (=0) si ripete

Implica

m2'

E’ chiaro che più lobi principali cadono nello spazio visibile se tale equazione ha soluzione reale, ovvero se

mm 2

mkdkd m 2coscos 0

Essendo 0 l’angolo del primo lobo 00 Quindi

kd

mm

2coscos 0

12

kd

m

Per m=1 diventa1

222

dkd

d

Schiere Lineari UniformiIl massimo principale è chiaramente

Per avere una schiera Broadside (lobo principale ortogonale all’asse della schiera)

Quindi

0cos0 kd

kd

0cos

x

20 20

0

Schiera lungo z

Schiere Lineari UniformiPer avere una schiera Endfire (lobo principale lungo l’asse della schiera)

00

kdx

oppure 0

Schiere Lineari UniformiAvremo punti in cui il fattore di array si annulla: questi si dicono zeri di radiazione.

Nel caso di schiere uniformi avremo quindi

0

2

2

sin

sinNAF

quindi gli zeri sono

qN

2

q=1,2..

Ma diverso dai multipli di N

ovvero, ricordando il valore di

N

qkd

2cos

dN

q

dNkd

q

kd

2

2cos

chiaramente, all’aumentare del numero di elementi N, anche il numero di zeri aumenta

Schiere Lineari UniformiTra due zeri (approssimativamente a metà per N grandi) avremo un massimo.

Avremo quindi massimi secondari in corrispondenza dei massimi del numeratore del fattore di schiera

12max

sinN

ovvero

Il primo massimo è per m=1; infatti se mettessimo m=0, avremmo come massimo /N; ma sappiamo che il primo massimo è a =0, il primo nullo è a 2/N, quindi non può esserci un massimo tra il primo nullo ed il primo zero (massimi e zeri devono alternarsi).

2)12(

2max

mN

Nm

)12(max

Schiere Lineari UniformiQuindi il primo lobo secondario si ha per

L’ampiezza del primo lobo secondario è allora pari ase N grande (così l’argomento del seno è piccolo ed approssimiamo il seno con il suo argomento

N

3max

2

2max

max

sin

sinN

Nsin

2

3

1

3

2N

L’ampiezza del lobo principale era per =0, ovvero larghezza NQuindi in un array lineare uniforme, il primo lobo secondario ha ampiezza 2/3 il lobo principale, ovvero circa -13.5dB sotto al lobo principale indipendentemente dal numero degli elementi

Schiere Lineari Uniformi

Tale quantità (rapporto tra l’ampiezza del primo lobo secondario e l’ampiezza del lobo principale, espresso in dB (20Log) si definisce SSL (Side Lobe Level)

Quanto trovato dimostra che al crescere di N si arriva ad un punto in cui non si riesce a migliorare tale rapporto che vale al piu’ -13.5 dB per questo genere di schiere

Schiere Lineari Uniformi: Direttività

Il calcolo della direttività è, almeno in linea di principio, semplice

2

maxmaxmaxmax

4

),,(),,(

r

WrP

P

rPD

ris

…anche se vengono fuori espressioni da incubo….

2max

maxmax 2

1),,(

ErP

con

Per il fattore di schiera consideriamo N sorgenti puntiformi, che generano quindi un campo lontano

2

2

sin

Nsin

r

AAF

r

AE

Dove A è una costante che dipenderà dalla potenza irradiata dalla schiera

Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Broadside

Il risultato per una schiera broadside, che viene fuori riesprimendo in una sommatoria il fattore di schiera, è

che se rappresentata al variare del numero di elementi e della spaziatura, graficamente restituisce

1

12)(1

N

q

dqsin

q

qN

Nd

ND

M

02

46

810

0

10

20

30

40

0

5

10

15

Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Endfire

Invece per una schiera endfire

1

14

)(

21

N

q

dqsin

q

qN

Nd

ND

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata

Consideriamo: Array lungo Trascuriamo radiazione lobi secondari Assumiamo che tutta la potenza sia irradiata in un angolo solido

corrispondente alla larghezza del fascio a metà potenza

HP

Quindi: angolo solido a metà potenza

Cui corrisponde una superficie

HPHPrA 2

Quindi la densità di potenza della direzione di massima radiazione

HPHP

radrad

r

W

A

WP

2max


Quindi:HPHPr

r

WrP

D

4

4

),,(

2

maxmax

Occorre ora valutare gli angoli nei diversi tipi di schiere

Broadside HP

N

2

NIl campo nella direzione di max vale N

Quindi occorre trovare il valore angolare dove esso si riduce di radice di 2: cerchiamo

22

2 N

sin

NsinE

HP

coskd


Ora vale: HP

N

2

NQuindi

vera per un’antenna molto direttiva (lobo stretto)

22HP

cos

22

cos HP2HPsin

2HP

2HPkd

22

22

HP

HP

HPkd

sin

kdNsin

E

2

22

22

N

kd

kdNsin

HP

HP


In definitiva dobbiamo risolvere l’equazione:

2

1

22

22

HP

HP

Nkd

kdNsin

cui corrisponde la soluzione approssimata

dNHP

4.12

Rispetto alla variabile invece la schiera è perfettamente simmetrica (simmetria cilindrica rispetto all’asse), quindi

2 HPQuindi la direttività diventa

HPHP

D

4

dN

4.122

4

dN

4.1

dN

2.2


Nel grafico della direttività rappresenta la tangente alla curva di direttività (nel caso del disegno la tangente è per N=10)

D 2 dOnLambda( )

D 3 dOnLambda( )

D 4 dOnLambda( )

D 10 dOnLambda( )

dOnLambda 2.2 10

dOnLambda0 0.5 1 1.5 2

0

20

40

60

N 10


Endfire

HPricordate? occorre kdkdkd cos

ora però2HP

quindi

81cos

2HP

8

2HPkd

e l’equazione da risolvere diventa2

16

16

16

162

2

2

2

N

kd

Nkdsin

kdsin

Nkdsin

EHP

HP

HP

HP

HP

/2

4.14

NdHP con soluzione approssimata

Schiere Lineari Uniformi: Direttività ApprossimataIn questo caso, però, la simmetria cilindrica intorno all’asse produce (considerando che irradia in direzione dell’asse)

E la direttività diventa

HPHP

/5.3/

8.2/2

4.116

44 2

NdNd

Nd

DHPHP

Schiere Lineari non UniformiPoniamo di avere N elementi equispaziati: il fattore di array è chiaramente

1

0

)cos()(N

n

nkdjn

neaf

evidenziamo nello sfasamento n la parte di sfasamento progressivo scrivendo

nnn '

Sfasamento progressivo

Deviazione

1

0

)cos(')(N

n

kdjnjn eeaf n

1

0

N

n

jnneA

An

zn

1

0

N

n

nn zA

La porzione di cerchio unitario descritta da z quando varia tra 0 è è l’intervallo di visibilità

Schiere Lineari non UniformiNotate che l’intervallo di visibilità è esattamente un giro per d=/2, meno per d< /2 e più di un giro per d> /2 (grating lobes….)

Notate poi che per un polinomio di grado N-1 ci sono N-1 zeri (alcuni possono essere multipli), ed il polinomio può essere riscritto come

1211 ...)( NN zzzzzzAzfe il modulo quadrato semplicemente

21

22

21

21

2...)( NN zzzzzzAzf

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomialeHa l’obiettivo di NON avere lobi secondari

consideriamo due elementi, a distanza d ed alimentati da correnti di ugual ampiezza; il fattore di schiera sarà

zzf 1)(Sappiamo ora che è possibile costruire un secondo array che ha fattore di schiera pari al quadrato di quello dato, ovvero

21)( zzf 221 zz non rappresenta una schiera uniforme, poiché la ampiezze delle correnti sono nel rapporto 1:2:1, sebbene si tratti di una schiera di elementi equispaziati con fattore di fase progressivo

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomialeLa stessa procedura si può eseguire elevando il polinomio alla m-esima potenza, ottenendo la “schiera binomiale”, con fattore

mzzf 1)(

essendo

)!(!

!

nmn

m

n

m

ora tale funzione ha un unico zero di molteplicità m in z=-1

nm

nz

n

m

0

Quindi un unico lobo (purché la spaziatura sia meno di mezza lunghezza d’onda!)

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomialeFacciamo un grafico al variare dell’ordine

Quindi: non ci sono lobi laterali il lobo principale diviene via via più

stretto

però: Il lobo principale è molto più largo

(a parità di elementi) rispetto ad una schiera uniforme

Notiamo: la schiera a 3 elementi binomiale ha correnti con ampiezza 1:2:1 (triangolare), ovvero rastremata ai bordi

1

0

f 1( )

f 0 1( )

f 2( )

f 0 2( )

f 3( )

f 0 3( )

3.1384073.141593 4 2 0 2 4

0

0.5

1

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale

Una proprietà che deriviamo (e che risulta poi del tutto generale) è

Addolcire la distribuzione spaziale di corrente, in modo che essa diminuisca verso gli estremi della schiera, riduce l’entità dei lobi laterali, ma allarga il lobo principale

E’ possibile generalizzare il progetto delle antenne binomiali, considerando potenze m-esime di distribuzioni con più di due elementi. Il numero di zeri ovviamente aumenta (non più solo -1) e quindi ci sono lobi laterali, ma possono essere molto più bassi di una schiera uniforme

Nella lezione precedente: n Abbiamo definito e caratterizzato unantenna corta n Calcolato il campo...

Documents

Transcript of Nella lezione precedente: n Abbiamo definito e caratterizzato unantenna corta n Calcolato il campo...