TESTO AD ALTA COMPRENSIBILITÀ

MATERIALI DI STUDIO INTEGRATIVI AD USO ESCLUSIVAMENTE INTERNO

DISCIPLINA : SISTEMI ELETTRICI AUTOMATICI ad uso del triennio ITIS (indirizzo elettrotecnica e automazione)

MODULO : MOTORE IN CORRENTE CONTINUA

PREREQUISITI Trasformata di Laplace, funzione di trasferimento di un sistema, equazioni differenziali lineari, struttura di base della macchina in corrente continua.

INDICE PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO PAG. 1 SCHEMA GENERALE DI UN MOTORE C.C. PAG. 2 A MAGNETI PERMANENTI FUNZIONAMENTO A VUOTO DEL MOTORE C.C. PAG. 6 VARIAZIONE DA VUOTO A CARICO DELLA PAG. 10 VELOCITA’ ANGOLARE

, t i

:*-i"

MOTORE IN CORRENTE CONTINUA

PREMESSA

ln questi appunti si tratterà la descrizione matematica, in base alla teorioa dei sistemi , diun motore in corrente continua a magneti permanenti, che e il caso di motori c.c di piccolapotenza.Si considera inoltre che lo studente abbia già acquisito le nozionifondamentali circal'aspetto costruttivo della macchina in c.c e sul funzionamento di questa macchina comedinamo.

PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO

Si consideri la macchina in corrente continua e si applichi ai morsetti esterni una tensionecontinua V.Negli awolgimenti circolerà una corrente I che produrrà su ciascun conduttore situatonelle cave di rotore una forza F in base alla legge dell 'elettromagnetismo

-> --) ---ì

(1) F= L lxB

La scrittura (1) indica il prodotto vettoriale tra i vettori ie í "f,"

rappresentano lacorrente circolante in ciascun conduttore di lunghezza L e il campo magnetico generatodai magneti permanenti di statore e che investe i conduttori di rotore.Laforza agente su ciascun conduttore dà luogo ad una coppia di modulo Fr con r raggiodel rotore.La somma delle coppie agenti su ciascun conduttore di rotore è la coppia complessiva

(2) C = Krl

(dove Ke è , come noto dallo studio della dinamo, una costante che dipende dai parametricostruttivi della macchina).Questa coppia C mette in rotazione il rotore che ruoterà quindi con una velocità angolare(r.In base ad un'altra legge fondamentale dell 'elettromagnetismo, dato che ciascunconduttore di rotore si muove con una velocità tangenziale v= or , in ciascun conduttore sigenererà una tensione indotta data dalla legge vettoriale:

--+ -> --)

(3) e=Lv xB

La tensione indotta complessiva,cioè di tutti iconduttori di rotore, come già visto nellostudio della dinamo è data da

(4) e = Ketrl

e, per la legge di Lenz si oppone al la causa che I 'ha generata , cioè al la tensione V.

l l circuito elettrico del motore c.c. è quindi quello rappresentato nella figura 1 , dove R edL sono rispettivamente la resistenza e I' induttanza degli avvolgimenti di rotore.

Fig . 1

îr'ùftsLL)=GarLt)

SCHEMA GENERALE DI UN MOTORE C.C. A MAGNETIPERMANENTI

Si puo considerare i l motore c.c a magneti permanenti come un sistema avente comeingresso la tensione continua V fornitagli dall 'esterno e come uscita la velocità angolaretrt(t) (vedi fig. 2)

Fí9.2

Tale sistema (che come vedremo e di per sé retroazionato) può essere dal punto di vistalogico-matematico scomposto in due sottosistemi, uno elettrico e l'altro meccanico.ll sottosistema elettrico e il circuito rappresentato nella fig.1 ed ha come ingresso V- e(t) ecome uscita i(t) (vedi fig.3).

F ig .3

L'equazione differenziale che descrive i l circuito e data da:

(5) Ri(t) + L(di/d$ + e(t) = V con la condizione iniziale i(0) =9.

JDividendo per L tutto quanto si ha:

(5,1) di/dt + (R/L) i(t) + (1/L)e(t) = V/L

applicando la trasformata di Laplace si ottiene:

(5 2) sl(s) + (R/L)l(s) + (1/L)E(s; = (V/L)/s

Quindi:

(5 3) ( s + R/L)l(s) = (1/L)(V/s - E(s))

La funzione di trasferimento G" (s) del sottosistema elettrico è data da:

1tL

s+R/L

Quindi il sottosistema elettrico è dato dalla fig.4

Fig.4

La corrente i(t), uscita del sottosistema elettrico , moltiplicata per la costante KE dà lacoppia motrice C' (t) (dove il pedice m indica che è una coppia motrice, cioè una coppiache mette in moto il rotore).Si ha quindi

(6) C, (t) = Ke i(t)

Come rappresentato nello schema difig. 5

Fig.5

411' l \ -w

. l

!:,j- ii

La coppia motrice Cr(t) mette in rotazione il rotore che acquisisce una velocità angolare

.u(t) , ma ad essa si oppone una coppia frenante Cr che rappresenta il carico meccanico

"ióri."to all 'albero 1noiotu e che può , in prima approssimazione considerarsi costante'

fltto ciò , è rappresentato da un nodo sommatore in cui Ct(t) e Cr si sommano

algebricamente secondo i segni indicati (vedi fig'6)

Quindi cr(t) - cr è I'ingresso del sottosistema meccanico che ha per uscita la velocità

angotare ul(t).pei determinare la funzione di trasferimento del sottosistema meccanico G*(s) bisogna

considerare anche I'attrito meccanico e per ventilazione che in prima approssimazione può

essere rappresentato come una coppia, anch'essa frenante proporzionale alla velocità

angolare.Quindi si ha:

(7) C.tt = Btrt(t)

Con B coefficiente di attrito.li secondo principio fondamentale della dinamica per i moti rotatori è dato dalla seguente

legge matematica:

(8) Ctot = Jq

Dove Ctot è la coppia totale applicata all 'oggetto, cioe la somma algebrica ditutte le coppie

applicat,e, q e I'accelerazione angolare icióè ta variazione della velocità angolare nell 'unità

di iempol e J è una quantità chiamata rnomento d'inerzia dell 'oggetto'll momento d' inerzia è una grandezza matematica che dipende dalla massa dell 'oggetto

ma anche dalla sua distribuzione geometrica'Ad

"r"*pio (vedi fig.7) un disco pìeno ed un anello di uguale massa M hanno diversi

momenti di inerzia, perché diversa e la distribuzione geometrica della massa.

Fig.7

C" [L) ./JID

:

Quindi in base al la (B) si ha:

(9) C'(t) - Cr- Ft t(t) = J (dto/dt) dato che q = dtrt/dt

e quindi , dividendo tutto per J

(9.1) do/dt + (B/J)o(t) = (1iJ)[ Cm(t) - CF]

passando alla trasformata di Laplace e considerando la condizione iniziale ul(O) =6 tiottiene

(9.2) so(s) + (B/J)O(s) = (1/J) [C'" (s) - Cris]

e quindi

(e.3) o(sXs+B/J) = (1/J) [C'" (s)- c/s]

Dato che il sottosistema meccanico ha come ingresso C'n(t) - Cr e coffie uscita cr,r(t) allorala funzione di trasferimento di questo sottosistema è data da:

o(s) (1 tJ)(9.4) G'"(s) =

lC'" (s) - Cr/sl (s+B/J)

ll sottosistema meccanico è quindi rappresentato dalla fig.B

Fig .8

(10) e(t) = KE6(t)

si ottiene che il motore c.c. a magneti permanenti puo essere rappresentato dallo schemaa blocchi di f ig.9

wc*fr) !"1 )A+ l3b

Considerando infíne la refazione

Da questo schema a blocchi si deduce che il motore c.c. è un sistema retroazionato diper sé (Puo essere ulteriormente retroazionato inserendo , ad esempio, una dinamotachimetrica sulla linea di ritorno) .Ciò garantisce circa la stabilità del sistema.Si osserva inoltre che si tratta di un sistema con due ingressi e un'uscita .Infatti gli ingressi del sistema sono la tensione V dell 'alimentatore e la coppia frenante Crche rappresenta il carico meccanico applicato all 'albero motore.L'uscita è ovviamente la velocità angolare del rotore crl(t).Per determinare quindi I 'uscita o(t) bisogna considerare separatamente ciascuno dei dueingressi ed applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, cosa possibile datoche si tratta di un sistema lineare.

FUNZIONAMENTO A VUOTO DEL MOTORE C.C.

Se si considera Cr = 0 , significa che all 'albero motore non e applicato alcun caricomeccanico, owero il motore è a vuoto.ln tal caso lo schema a blocchi di fig I diventa quello di fig.10 , dato che in tal caso nonesiste più il nodo sommatore di Cr(t) e Cr e i blocchi che rappresentano il sottosistemaelettrico, la costante Kg e il sottosistema meccanico risultano in serie.

F ig . 10

C*[L) w&)

Essendo poi i suddetti blocchi in serie la funzione di trasferimento sulla linea di andatasarà data dal prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi e quindi si ottiene

(11 ) G(s ) =RB

( s + - - - - ) ( s+ - - - - )LJ

Ke

LJ

Quindi lo schema a blocchi d i f ig.10 si puo sempl i f icare in quel lo di f ig.11

Fig .1 1À

wlL)$+Rlà$tiq$

Essendo il sistema retroazionato si ottiene che la funzione di trasferimento del sistema e

G(s)(12) Fo (s) = ----------- (dove il pedice o indica ilfunzionamento a vuoto).

1 + KeG(s)

e quindi la velocità angolare a vuoto è data da:

(13) Oo (s) = Fs(s) (V/s)

Dato che l'ingresso costante V ha per trasformata di Laplace V/s.

Sostituendo nella (12) I'espressione (11) della G(s) e sostituendo poi I 'espressione di Fo(s)nella (13) si ottiene:

Ke

R(s + - - -

L

B) ( s+ - - - - )

J(14) Os(s) =

K=2

LJ1 + ---------

R(s + - - - - - ) ( s+ - : - - )

B

JL

Quind i

(14.1) Qo(s) =

R(s + - - - -

L

B) ( s+ - - - )

J

i )? 7

l.-)

V

R( s + -----

L

B Kr2) (s+- - - - )+- - - - - - - - - -

Rp(s + - - - - ) (s+- - - - )

LJ

E semplificando si ottiene

KeV

(14.2) Oo(s) =

L'espressione (14.2) della trasformata della velocità angolare a vuoto del motore c.c. ha aldenominatore un polo nello zero e altri due poli soluzioÀi dell 'equazione algebrica disecondo grado tra parentesi quadre.La situazione è del tutto analoga a quella del circuito RLC e quindi anche le conclusionisono fe medesíme.Quindi a seconda dei valori dei parametri potrò avere o due poli reali, e in tal casol'andamento della trls(t) sarà quello di f ig.12ta oppure due poli complessi coniugati conandamento della ule(t) ad oscillazioni smorzate come in fig.12lb.

Fig.12la

Fig.12lbtuLt)

trt\) o*

l l valore della velocità angolare di regime k)or si puo calcolare applicando il teorema dell imite all 'espressione (14.2) di Q{s), considerando che , in base a quanto visto per i lcircuito RLC il limite esiste senz"altro ed è finito.S i ha qu ind i la (15)

v ' it

lim t.rls (t) = lim sQ6(s) = 1;rnt---+€ S---+0 S-+0

KeV KeV

p Kr' BR + K62s[(s + ---Xs + -----) + ----------]

LJLJ

KEV= O]or

BR + KE'

Nell'ipotesi di attrito trascurabile , cioè F=0 si ottiene

V(15.1) 0)or= ------- -

KE

Si noti che la formula (15.1) dà la velocità angolare a vuoto nell ' ipotesi di attritotrascurabile.

,ttt our:ì

VARIAZIONE DA VUOTO A CARICO DELLA VELOCITA'ANGOLARE

Se all 'albero motore è applicato un carico meccanico rappresentato da una coppiafrenante Cr allora si avrà ovviamente una diminuzione della velocità angolare.Per determinare questa variazione della velocità angolare con riferimento allo schema ablocchí difig.10 si deve annullare I' ingresso V e considerare l' ingresso Cp.Si ottiene così lo schema a blocchi di fig.13/a

ln questo schema a blocchi I' ingresso Cr è considerato positivo, ciò è lecito a condizioneche owiamente la variazione di velocità angolare in uscita, indicata con Aul(t) sia poisottratta alla velocità angolare a vuoto r^lo(t).Da questo schema si deduce che sulla linea di andata si ha il blocco che rappresenta ilsottosistema meccanico, difunzione di trasferimento G'.n(s) data dalla (9.4), mentre sullalinea di ritorno si hanno il blocco di costante Ke che dà la relazione di proporzionalità travelocità angolare co(t) e tensione indotta e(t), il blocco che rappresenta il sottosistemaelettrico la cuifunzione di trasferimento G"(s) è data dalla (5.4) e il blocco anch'esso dicostante Ke che dà la relazione di proporzionalità tra la corrente i(t) e la coppia motricec.(t).Quindi essendo questi tre blocchi in serie risultano equivalenti ad un unico blocco confunzione di trasferimento data dal prodotto delle loro funzioni di trasferimento.Si ottiene cosi lo schema a blocchi difig.13/b

Fig. 13/b

cr+ twL'à

rlLJ t flt-

j+ F/r

Kt'l LÒt fli_

A,ilndicando con G' (s) la funzione di trasferimento sulla linea di andata e con H(s) la

' |

' I

funzione ditrasferimento sulla linea di ritorno si ottiene che la funzione di trasferimento delsistema , indicata con F1(s) è data da:

G'"(s)(16) Fr (s ) =

1 + G'"(s)H(s)

e quindi

(16.1) AO(s) = Fr(sXCr/s)

Dal la (16) si ha

1tJ 1tJ

(s + B/J)(16.2) Fr(s) = ------:--- ---------- =

(Ke' lLJ )

(s + B/J)

(Ke' /LJ ) + (s + B/J)(s + RiL)+1

(s+B/J) (s+R/L)

quindi semplificando si ottiene

(s+B/J) (s+R/L)

(1/J)(s + R/L)(16.3) F1(s) = ------

(Ke2 /LJ ) + (s + B/J)(s + R/L)

e dal la (16.1) s i ot t iene

(Cr/JXs + R/L)

s[(Kr' /LJ ) + (s + B/J)(s + R/L)]

Per determinare la variazione di velocità angolare a regime Aol,si applica ilteorema dellimite (si può fare perché sappiamo, come già prima dimostrato che il l imite esiste ed èfinito).Si ottiene

4z^(Cr/JXs + R/L)

(16.5)Atrt'.= lim Aor(t) = lim sAO(s) = l;6 s------------ ------------ =t__+€ s_,0 s_-0 s[(KE2 /LJ ) + (s + B/J)(s + R/L)]

CFR/LJ CrR

KezlLJ + BR/LJ KEz + BR

Quindi la velocità angolare a regime con carico meccanico è , per i l principio disovrapposizione degli effetti data dalla differenza tra la velocità angolare a regime a vuotoo)0r e la variazione Ao, dovuta alla coppia frenante che rappresenta matematicamente i lcarico meccanico.Si ha quindi in base al le relazioni (15) e (16.5)

KeV CrR KeV - CrR

Kg2 + BR KE2 + BR Ks2 + BR

Nell'ipotesi di attrito trascurabile , cioè F=0 si ottiene

KeV-CrR V CrR(16.7) o)r= -------;----- = --*--- - -----:--- = o)0r- HCr

Ke' Ke Ket

Con H = R/Kr2 detta costante del motore che dipende dai parametri costruttivi dellamacchina.Si noti che essendo

(16.8) Au), = 0)or- 0)r = HCr

Si deduce che Aur,è tapto più piccola quanto più piccola e H.Siccome è un indice {i ' [ la bontà di un motore i l fatto che la sua velocità angolare non siasoggetta ad eccessivdvariazioni al variare del carico meccanico applicato all 'albero sideduce che bisogna, in fase di progetto, fare in modo da avere un H basso.