modulo Q Statistica e Project Management

m.• Tecniche reticolari I progetti complessi, per esempio nel settore aeronau­tico, nelle costruzioni civili, nella realizzazione di im­pianti industriali, automobilistici, o di grandi manu­tenzioni, sono generalmente costituiti da un numero abbastanza elevato di attività. Un esempio semplice è rappresentato dalla costruzione di un edificio, nel quale si ha la realizzazione delle strutture, i muri pe­rimetrali, gli intonaCi, i pavimenti, gli impianti elet­trici, idraulici, di condizionamento, gli infissi e altro ancora. Tutte queste attività vanno realizzate in successio­ni logiche e alcune di esse possono essere compiute anche in contemporanea, cioè indipendentemente le une dalle altre, tuttavia è chiaro che il progetto sarà realizzato completamente quando tutte le attività sa­ranno ultimate. Per la gestione di questi progetti, che comprendono il coordinamento dell'esecuzione delle varie attività, il controllo dei tempi e dei costi di esecuzione (che ge­neralmente hanno grande importanza economica e a volte anche strategica), sono state sviluppate alcune tecniche di programmazione, tra cui il PERT (Pro­gramm Evaluation and Review Technique) .

- PERT ~ Il PERT è una tecnica nata agli inizi degli anni Ses­~ santa negli Stati Uniti d'America, per rispondere a ~ esigenze militari (pianificazione del progetto per la § costruzione dei missili della serie Polaris).

Di questa tecnica vi sono diverse versioni fra cui:

• la versione tradizionale (ormai diffusa solo nel mondo anglosassone), nella quale le attività (opera­zioni) sono rappresentate da frecce, mentre i cerchi indicano la fine delle operazioni che in essi conver­gono e l'inizio di quelle che si dipartono [fig. Q2.9];

• la versione illustrata qui di seguito con un esempio, in cui le frecce rappresentano le connessioni logico­temporali, mentre i cerchi indicano le operazioni.

Per l'introduzione di questa tecnica si consideri un progetto costituito da una serie di attività. Per la pia­nificazione del progetto è necessario distribuire le attività nel tempo, con la corretta successione delle operazioni stesse, tenendo conto dell'interdipendenza delle attività e della loro durata. Per le singole operazioni si ipotizza una durata dedot­ta da esperienze analoghe. La precedenza delle ope­razioni viene individuata mediante l'analisi delle ope­razioni stesse. Se, per esempio, a causa di uno o più guasti si deve riparare un'autovettura, la prima cosa

da fare è cercare di capire quali sono i danni, poi veri­ficare la disponibilità dei ricambi e, infine, procedere con la riparazione. Se i danni riguardano parti diverse dell'autovettura, due meccanici possono lavorare contemporaneamen­te su parti diverse riducendo cosi i tempi di consegna. Per l'applicazione di questa metodologia è perciò ne­cessario:

a. suddividere il progetto in operazioni elementari; b. prevedere la durata di ogni singola operazione; c. determinare per ogni operazione quella che la pre­

cede e che ne condiziona l'attuazione.

I dati vanno raccolti in una tabella, nella quale si ri­assumono le operazioni, la loro durata e le eventuali precedenze tra le operazioni stesse. N ella tabella Q2.12 si considera un progetto generico costituito da 12 operazioni contraddistinte con le prime dodici lettere dell'alfabeto. Come si può osservare, per ogni opera­zione viene indicata la durata e la precedenza. Se un'o­perazione non è preceduta da altre, in corrispondenza della precedenza non viene riportato niente.

TABELLA Q2.12 - Dati relativi all'esempio

N.

2

3

4

5

6

7

8

Operazioni

A

B

c D

E

G

H

Durata [h]

30

10

40

9

10

2

14

5

9 10

10 11

11

12

M

N

14

Precedenze (delle operazioni)

3

1-4

2-5

6-7

10

8-9-11

Una volta compilata la tabella, si procede con la co­struzione del diagramma di PERT, che consiste nella rappresentazione grafica delle operazioni. In questa trattazione si indica ogni operazione con un cerchietto che contiene il numero dell'operazione cor­rispondente [fig. Q2.9].

Si inizia disponendo, in verticale a partire da sinistra, le operazioni che non sono precedute da altre. Succes­sivamente si dispongono le altre rispettando le prece­denze definite. Ogni cerchietto viene congiunto, me-

Simbolo

(30) [30] {49}

(40) [40] {40}

3

(14) [14] {61}

7

(1 O) [1 O] {67}

(11) [11] {52}

Operazione

Collaudo impianto

2

8

9

11

10

(b)

(1 O) [40] {59}

9

10

Ricerca operativa e Project Management unità Q2

diante un segmento orientato, con le operazioni che le precedono e seguono [fig. Q2.9]. Si associa, quindi, a ogni operazione la rispettiva durata, riportandola tra parentesi tonda [fig. Q2.1 O] .

(a)

(14) [25] {66}

r!.m Metodi diversi di rappresentazione dei diagrammi reticolari: a) metodo utilizzato in questa trattazione; b) metodo alternativo.

m Rappresentazione reticolare delle operazioni con le rispettive durate.

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Si definisce tempo al più presto, il minor tempo nel quale l'evento si verifica se le attività precedenti so­no state iniziate il più presto possibile.

Per determinare il tempo al più presto, è necessario calcolare il tempo entro il quale può terminare cia­scuna operazione. A titolo di esempio si osservino le operazioni l e 5. :Loperazione l non può concludersi prima del trentesimo giorno, per cui il suo tempo al più presto è pari a 30 ore. :Loperazione 5 può essere ultimata solo a conclusione dei lavori delle operazioni l, 3 e 4, per cui bisogna determinare quando saranno ultimate le operazioni 3 e 4.

La durata dell'operazione 3 è di 40 ore perciò, se non vi saranno problemi, il tempo di ultimazione dei lavo­ri sarà a 40 ore dall'inizio delle attività. :Loperazione 4

inizia al termine della 3, perciò potrà essere ultimata a 49 ore ( 40 + 9) dall'inizio dei lavori. Poiché l'operazione 4 termina alla fine del quaran­tanovesimo giorno dalla data di inizio dei lavori, l'o­perazione 5 potrà iniziare il cinquantesimo giorno e finire il cinquantanovesimo; pertanto il suo tempo al più presto sarà di 59 ore (49 + 10). n tempo al più presto delle altre operazioni è calcolato in modo analogo, e di volta in volta lo si riporta a fianco del tempo operazione tra parentesi quadre [fig. Q2.1 0] .

Noto il tempo al più presto, si può procedere al calco­lo del tempo massimo entro il quale ogni operazione deve essere effettuata. Partendo dal presupposto che il tempo da impiegare per l'avvio del progetto debba essere il minore possi­bile, ne consegue che il tempo massimo concesso per la realizzazione del progetto debba coincidere con il minor tempo possibile. In questo caso, l'ultima operazione, la 12, deve essere compiuta entro 67 ore dall'inizio dei lavori. Poiché non ci sono ragioni logiche per le quali la durata della realizzazione del progetto debba avvenire do­po 67 ore, si ha che tempo al più presto e tempo al più tardi coincidono; ciò equivale a dire che l'ope­razione non può finire prima, _ma non deve neppure finire dopo. Analizzando il percorso a ritroso, cioè a partire dall'o­perazione 12, si vede che il tempo massimo entro il quale devono essere compiute le operazioni 11 e 8 è di 66 ore (67 - 1) . Per la 10 è di 52 ore (66 - 14). Il tempo al piu tardi dell'operazione 6 è dato dal tem­po al più tardi dell'operazione 8 meno il tempo ope­razione della 8 stessa, cioè 61 ore (66- 5). Analoga­mente si ottengono i tempi al più tardi per tutte le altre operazioni. I tempi al più tardi vengono scrit­ti tra parentesi graffe accanto a quelli al più presto [fig. Q2.1 0].

I dati riassunti nella figura Q2.1 O sono riportati nel­la tabella Q2.13, dove è indicata, oltre alla data di fine operazione anche quella d'inizio, cioè i tempi (al più presto e al più tardi) .

TABELLA Q2.13 - Dati relativi all'esempio

Inizio Fine l

N. Operazioni Durata

Commenti [h] più più più più

i__ presto tardi presto tardi

1 A 30 1 11 30 49

2 B 10 31 50 40 59 1

3 c 40 1 1 40 40 critica ........... .....

4 D 9 41 41 49 49 criti ca """ "' " ' "" ' ..................

5 E lO 50 50 59 59 critica

6 F 2 60 60 61 61 critica ... ......... .................. ...... ... .. ............ ······· ........ .............. ................ ............... ···················· ········

7 G 14 l 48 14 61 ......... ............................. ................. ................ ............ ····--· ......

8 H 5 62 62 66 66 critica

9 l lO l 47 10 66

10 L 11 1 11 53

11 M 14 12 53 25 66 ...... ......... ........ .... ........ .. .... ......... ...... .. ... .. ... ... ... .... ..... .. ... . . . . . . . ... . .... .... .. ...... .

12 N l 67 67 67 67 criti ca

Per l'operazione l, ad esempio, nella figura Q2.1 O si evidenzia che il tempo massimo entro il quale l'opera­zione deve finire (tempo al più tardi) deve essere a 49 ore dall'inizio delle operazioni, mentre il tempo mini­mo entro il quale può essere finita è di 30 ore. Poiché questa operazione non è preceduta da altre, il tempo al più presto in cui essa può incominciare coin­cide con l'origine delle operazioni, cioè la prima ora. Se l'operazione l dura 30 ore e deve essere completata al massimo entro la quarantesima ora, deve iniziare obbligatoriamente al piu tardi all'inizio dell'undicesi­maora. Nel caso dell'operazione 8 il tempo al più presto e al più tardi, di fine operazione, coincidono cosi come coincidono i tempi di inizio operazione. Ciò vuol dire che il tempo assegnato deve essere assolutamente ri­spettato, altrimenti slittano i tempi finali. Infatti, se l'operazione 6, che precede la 8 dovesse fi­nire, per un motivo qualsiasi un'ora dopo (cioè 62 ore), la 8 che doveva iniziare alla 62esima ora e finire alla 66esima, inizia alla 63esima ora e finisce alla 6?esima,

ritardando, inevitabilmente, di un'ora la conclusione dei lavori.

Le operazioni per le quali una modifica di durata provoca la variazione della durata dell'intero pro­getto sono definite operazioni critiche e sono da tenere sotto controllo.

Concludendo questa prima parte, si possono riassu­mere i passaggi effettuati per determinare il tempo necessario alla realizzazione del progetto e la scansia­ne temporale delle operazioni.

l. Suddivisione del progetto in operazioni elementari. 2. Determinazione della durata di ogni singola ope­

razione. 3. Individuazione, per ogni operazione, delle opera­

zioni che la precedono. 4. Rappresentazione grafica mediante reticoli del

progetto. 5. Determinazione dei tempi al più presto. 6. Determinazione dei tempi al più tardi. 7. Realizzazione dello schema che visualizza l'inizio e

la fine di ogni operazione. 8. Determinazione di eventuali operazioni o percorsi

critici.

PERT statistico ~ Il PERT statistico considera che possa esserci una i variazione dei tempi delle operazioni e si basa sui da­~ ti storici di operazioni simili, considerando un tem­~ po minimo, un tempo medio e un tempo massimo.

Il tempo minimo considera la durata minima a dell'o­perazione (previsione ottimistica); la durata media corrisponde a quella più probabile m (prossima alla reale) e la durata massima b rappresenta la previsione pessimistica. Con queste ipotesi, si suppone che la durata effettiva sia una variabile casuale detta distribuzione ~, con media )l e varianza cr, i cui valori si calcolano con le formule seguenti:

(a+4m+b) )l=-'-------'-

6

2 (b - a)2 cr = ...:....____:._

36

Per l'applicazione di questo metodo all'esempio stu­diato sarà necessario:

• ipotizzare i tre valori della durata [tab. 02.14]; • calcolare i valori di )li e o/ per ogni operazione,

utilizzando i dati della tabella 02.14, e completare la tabella;

Ricerca operativa e Project Management unità Q2

• raccogliere i dati come in una tabella associandoli alle precedenze [tab. 02.15];

• tracciare il diagramma reticolare [fig. 02.15] ; nelle parentesi tonde sono ora riportate la durata media )l e la varianza cr2

;

• determinare, come nel caso precedente, i tempi al più presto e al più tardi, utilizzando la durata me­dia )l;

• individuare il percorso critico; • determinare il tempo totale come somma dei tempi

medi delle singole operazioni del percorso critico:

• determinare la varianza come somma delle va­rianze di ogni operazione appartenente al percor­so critico:

N ella tabella 02.14 sono raccolti i dati delle opera­zioni necessari alla realizzazione del diagramma reti­colare statistico del progetto. Come si può osservare, per ogni operazione sono indicati tre dati necessari al calcolo di )l e cr2.

TABELLA Q2.14 - Calcolo durate utili nel PERT statistico

Durata [h] l N. Operazioni

a m b )l cr2

1 A 28,00 30,00 32,00 30,00 0,44

2 B 9,00 10,00 11 ,00 10,00 0,11 ............ . ......................... . . .................... ....................... ...................... .................... .......

3 c 38,00 40,00 42,00 40,00 0,44

4 D 7,00 r·· 9,00 10,00 8,83 0,25

5 E 9,00 10,00 11,00 10,00 0,11

6 F 1,50 2,00 2,50 :r: :- 2,00 0,03 ............ ............... ............. ........................ ······················· .. ........

7 G 13,00 14,00 15,00 14,00 0,11 .. .......... .... ........................ ........................ ...................... ................... .......................

8 H 4,00 5,00 6,00 5,00 0,11 ............ .....

9 L 8,00 10,00 11,00 9,83 0,25 ............ ...

10 L 8,00 11 ,00 12,00 10,67 0,44

11 M 13,00 14,00 15,00 14,00 0,11 ........... .......

12 N 1,00 1,00 2,00 30,00 0,03

modulo Q Statistica e Project Management

Con i dati della tabella Q2.14 se ne costruisce una semplificata [tab. Q2.15] che facilita la rappresentazio­ne grafica [fig. Q2.11 ].

TABELLA Q2.15 - Dati utili per la costruzione del diagramma

N.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Operazioni

A

B

c D

G

H

M

N

(30) [30] {48,83} (0,44)

(40) [40] {40} (0,44)

. .

Durata [h]

~

30,00

10,00

40,00

8,83

10,00

2,00

14,00

5,00

9,83

10,67

14,00 .........................

30,00

d

0,67

0,33

0,67 ..........

0,50

0,33

0,17

0,33

0,33

0,50

0,67

0,33 ...........................

0,67

0==-

Precedenze (delle operazioni)

.............................. ... .... ....... .....

3

1,4

2,5

6,7

.................... .... ..

......... .. .............

10 .............................................

8-9 - 11

(10) [40] {58,83} (O, 11)

(8,83) [48,83] {48,83} (0,25)

(14) [14] {60,83} (O, 11)

7

(9,83) [9,83] {65,83} (0,25)

(10,67) [10,67] {51,83} {0,44)

Dalla figura Q2.4 si può calcolare il tempo medio tota­le necessario alla realizzazione del progetto:

!lt= 50+ 8,16+8+ 1,17 + 5 + 1,3 =67 ore

cr/ = 0,44 + 0,25 + 0,11 + 0,03 + 0,11 + 0,03 = 0,97

crt = 0,99 ore

Noti llt e crt e con la variabile causale standardizzata y, si può calcolare la durata probabile del progetto:

X -jl y=--t

(J

in cui x rappresenta la durata del progetto . Conoscendo il valore di y, si determina la probabilità mediante la tabella della distribuzione normale stan­dardizzata [tab. Q2.16] . Nella tabella Q2.17 si riportano le probabilità e le ore relative, necessarie a finire il progetto. I dati ottenuti dovranno essere tenuti in opportu­na considerazione, soprattutto nella formulazione di eventuali offerte; in questa fase è importante prevede­re i tempi di consegna e le eventuali penali da pagare per la mancanza del loro rispetto . Durante la realizzazione del progetto, occorre verifi­care la sua scansi o ne temporale, controllando la rea­lizzazione delle singole fasi e il tempo impiegato; per ogni fase bisogna indicare se è stata eseguita o se è an­cara in corso.

(14) [24,67] {65,83} (0, 11)

m Diagramma reticolare in cui si presenta il PERT statistico.

Ri cerca operativa e Project Management unità Q2

y2:0

TABELLA Q2.16 - Distribuzione normale standardizzata. Valori della funzione L f ( y) dy con y = x -llt -oo (j'

l y 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 !

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TABELLA Q2.17 -Tempo necessario alla conclusione del progetto e relativa probabilità

Tempox[h] X-Il y=--t

(j' Probabilità [%]

70 OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO•OOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOHO 0 OOOOOOOOOOOOOOOOO OO),.Q1..3. OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOo 0 0•00000000 0o00000000000000000000000000000000000000000000000009.09.&S. OOO

69 OO OO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOO OOHOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOo00002.t.9.2.8. 000000000000000000oOOoOoooo OHOOOOOOOOO OO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOO O 00000000000009.?~~?. 68 0000000000000000000 00 H O HO O O O O OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOHO O HOOOOOOOO HO O O 00 O 00 H1!Q_14 OOOOOoOoooooooooo 000000000o•••OOOOO HO 000 00 o HO o OOOH o OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOoOOOoos.0~§1. 0

67 0 H 00 OO OO OOOO OOOooO 0 00 0 00 OOOO O o 0 0 00 O 0 0 00 0 0.!0.99. 50

0 OoO 0 •ooOOOOOO 00 OOOO HO ??.OOOOOOOOOOOOOOOOOO OOO 0 OOO OOO OOOOO OOOO OOOOOOOOOO 0 0 OoOOO OOOOOO - 1,014 0 0 0 0 OOOO 0 HOO 0 0 OOOO O 0 15,39._ 0 0 OOOO 0 OoOOOOOoO

65 - 2,028 2,17