Modulo de Logica Favian Arenas

8/18/2019 Modulo de Logica Favian Arenas

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Módulo de Lógica matemática

Favián Arenas A. y Amaury Camargo .

Índice1. Generalidades. 5

1.1. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Introducción a la lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 10

1.6. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 131.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y q . . . . . . . . 16

1.8.4. Proposiciones condicionales, p

!q . . . . . . . . . . . 16

1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 171.8.6. Proposiciones negativas: p . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.7. Validación de leyes lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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ÍNDICE Lógica Matemática

1.9. Cuanti…cadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Introducción a los Conjuntos 33

2.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34



2.5. Teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6. Clases de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7. Determinación de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8. Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9. Propiedades de los Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Introducción al Álgebra de Boole 48

3.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49



3.5. Clases de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8. Funciones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.8.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . . . . . . . 58

Favián Arenas. 2 Camargo Benítez.


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3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad . . . . . . . . . 61

3.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Introducción al método de Karnaugh 65

4.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66



4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos . . . . 684.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas 87

4.6. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.7. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


4.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 103

4.9.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 1044.9.3. Proposiciones condicionales, p ! q . . . . . . . . . . . 1054.9.4. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 1064.9.5. Negación de Proposiciones : p . . . . . . . . . . . . . 106

4.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.11. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


4.13. Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.14. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.15. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115




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4.17. Clases de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.18. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.18.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . . . . . . . 120

4.19. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.20. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


4.22. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134



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Lógica Matemática

1. Generalidades.

Nombre del curso:

Programa:

Area:

Semestre:

Créditos:

Prerrequisitos:



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1.1 Objetivos generales Lógica Matemática

1.1. Objetivos generales

Proporcionar una formación sólida en los fundamentos de la lógica de

proposiciones.

Desarrollar las habilidades y destrezas para la representación formal

del conocimiento y para la transcripción de frases del lenguaje natural

en lenguaje formal.

Introducir el manejo simbólico de sistemas formales y la demostración

de teoremas

Describir qué es una interpretación, cómo se calcula el valor de una

fórmula en una interpretación y los tipos de fórmulas en función de las

diferentes interpretaciones.

Fomentar al alumno para que se enfrente a la resolución de problemas

de forma lógica, analítica y estructurada.

Comprender los mecanismos computacionales asociados a las prob-

lemáticas de la demostración automática de teoremas y la Progra-

mación Lógica.

Mostrar el contexto de la lógica en la Informática y captar su relación

con ramas especí…cas como: Programación, Ingeniería del Software,

Bases de Datos, Diseño de Circuitos, etc.



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1.2 Introducción a la lógica matemática Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE I

1.2. Introducción a la lógica matemática

La verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomar

decisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero es

razonable que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien se

atrevería a contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, y

aunque a usted no le guste algún color ¿signi…ca que por ello a nadie mas le

gustará?.¡Claro que no! En este caso podemos decir que es una situación sub-

jetiva o dependiente del individuo que lo exprese. También hay expresiones

que para la mayoría de las personas tiene un valor único, por ejemplo .la rosa

es una ‡or, en algunas tendremos que ser bien explícitos para evitar malos

entendidos, por ejemplo: “Jesús tiene cinco letras”. ¿a quien nos referimos al

hombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?. Por lo tanto una proposición es

una a…rmación de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa. Para

expresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras con sentido “lógi-

co”, sin embargo, ¿qué es en realidad lógica? Cuando escuchamos expresiones

como:

“Su respuesta fue lógica”

“Es ilógico pensar que no lo notará”

“Lógicamente...”

En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las personas haría

o escogería como correcto, o dicho de otra forma, el sentido común.

¿será cierto que el sentido común es el menos común de los sentidos?



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1.3 Objetivos Lógica Matemática

1.3. Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes

elementos básicos para la solución de un problema:

Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.

Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción,

disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposi-

ciones simples.

Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidir

si es una ley.



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1.4 Competencias Lógica Matemática

1.4. Competencias

Sustenta una proposición compuesta como una tautología a partir de

su tabla de verdad.

Identi…ca en un teorema el antecedente y el consecuente.

Desarrolla el proceso de síntesis a partir de la construcción de proposi-

ciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.



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1.5 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática

1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de apren-

dizaje

Mesa redonda.

Presentación de trabajos.

Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres

Encuentro presencial

1.6. Recursos de aprendizaje

Aula de clases,

Laboratorios

Auditorios.

Videobeam

Retroproyector.



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1.7 Proposiciones Lógica Matemática

1.7. Proposiciones

La lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamien-

to son fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nos

referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el

que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.

De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido com-

pleto de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa.

Ejemplo 1.

1. “La sal es un compuesto químico”

2. 10


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1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática

Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está

de…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita.

A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposi-

ciones abiertas)

1. x + 12 = 20

2. “Alguien es un ingeniero famoso”

3. Mi nombre es "fulano de tal"

4. “Tengo x dinero en el banco”

1.8. Clases de proposiciones

1. Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que no se pueden frag-

mentar en proposiciones menores.

a ) “La luna es un satélite natural”

“Los dígitos son nueve”

“4 es un número par”

“Todos los números impares son primos”

“Los pingüinos son aves”

2. Proposiciones compuestas o moleculares: Las proposiciones simples se

pueden conectar, y construir proposiciones llamadas compuestas. Ésta

operación puede hacer que cambie su valor de verdad.



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"Las rosas son rojas y las violetas azules"es un enunciado com-

puesto por los subenunciados "las rosas son rojas 2"las violetas

son azules".

"El es inteligente o estudia todas las noches"es, implícitamente,

un enunciado compuesto por los subenunciados "El es inteligente 2

"estudia todas las noches".

La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor

de verdad está completamente determinado por los valores de verdadde sus subenunciados junto con la manera como están conectados para

formar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunas

de estos conectivos.

Utilizaremos las letras p; q; r(en minúsculas) para denotar proposiciones.

Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera,

0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposiciones

compuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidad

de veri…car todas las posibles combinaciones, la llamaremos Tablas de

verdad

1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra 2"para

formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados

originales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p yq, que se lee "p y q".



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el valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposi-

ciones que la conforman sean verdaderas

1. p : El dos es un número par (V)

2. q : Siete es un número primo (V)

3. r : El ocho es un número primo (F)

así que :

p ^

q : El dos es un número par y siete es un número primo (V)

En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjun-

tiva lo será.

r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (F)

La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por la sigu-iente tabla:

p q p ^ q 1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Para ilustrarlo: en una tubería de acueducto se han colocado 2 grifos

numerados p y q respectivamente si se abre p escribimos 1, si la cerramos

escribimos 0. la única forma en que salga agua es p = 1 y q = 1 en cualquier

otro caso no saldrá agua.



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1.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q

Dos enunciados se combinan con la palabra .o"para formar un enunciado

compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólica-

mente, p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p oq".

El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposi-

ciones que la conforman sean no sean falsas.

La tabla de verdad del enunciado compuesto p_

q está dada por la sigu-

iente tabla:

p q p _ q 1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

En este caso la única manera en que no salga agua es que ambos grifos

estén cerrados

q

p



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1.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y q

Dos enunciados se pueden combinar con la palabra .o"para formar un

enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales.

Simbólicamente, p Y q denota la disyunción de los enunciados p y q, que

se lee "p o q".

La tabla de verdad del enunciado compuesto p Y q está dada por la sigu-

iente tabla:

p q p Y q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1.8.4. Proposiciones condicionales, p ! q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces” , se formauna proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es

falsa (solo en este orden).

Ejemplo 2.

Sea p : El canguro es marsupial ( 1 )

q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )

El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsu-

piales.

en forma simbólica



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p q p

!q

1 0 0

En las proposiciones condicionales llamamos a la primera proposición

que la compone “antecedente” y a la segunda “consecuente”. Cuando el an-

tecedente tiene una relación directa con el consecuente podemos utilizar el

símbolo de la implicación “=)”La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que

2+3 es número naturalLa tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por la

siguiente tabla:

p q p ! q 1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguien

la abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la única

forma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierre

q

1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ q Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si” , se forma

una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.



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q

p

Ejemplo 3.

Sea p : todo número impar es primo ( 0 )

q : 9 es menor que 6 ( 0 )

Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir:

Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6

Como ambas proposiciones son falsas se cumple la a…rmación compuesta

La tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por lasiguiente tabla:

p q p $ q 1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

La proposición bicondicional p $ q es equivalente por su tabla de verdad a

( p ! q ) ^ (q ! p)



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q

p

q

p

Compruebe la tabla de verdad para este circuito de acueducto:

p q ( p ! q ) ^ (q ! p)1 1

1 0

0 1

0 0

1.8.6. Proposiciones negativas: p

Aunque no es un conectivo lógico (como _; ^;Y ,=); ,) genera nuevasproposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponien-

do “” a la letra de la proposición:Ejemplos:

p : todo número impar es primo

p : no todo número impar es primoq : 9 es menor que 6

q : 9 no es menor que 6

La tabla de verdad de la negación de p : p está dada por la siguiente tabla:



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Problema 1.

p

p p1 0

0 1

Problema 2. Supóngase que en este circuito de acueducto llamamos abrir

con el 1 y cerrar con el 0. Si sale agua 1 y si no sale 0. Completa la

siguiente tabla de acuerdo a la grá…ca.

p

r

q



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grifo p grifo q grifo r ¿Sale?

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1.8.7. Validación de leyes lógicas

A partir de las tablas de verdad anteriores se pueden calcular la tabla de

verdad de proposiciones mas complejas.

Ejemplo 4. Hallar La tabla de verdad de la proposición: ( p

!q )

^(q

_ p)

para esto se determinan inicialmente las tablas de: p; q; p; p ! q; q _ py por último ( p ! q ) ^ (q _ p)

p q p p ! q q _ p ( p ! q ) ^ (q _ p)1 1 0 1 1

1 0 0 0 00 1 1 1 1

0 0 1 1 1



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El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables

de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2n

Donde n = número de variables distintas.

El propósito de estas tablas de verdad consiste en probar si dos proposi-

ciones son equivalentes o no, o tal vez si una implica a la otra.

Ejemplo 5. Veamos, se desea probar que ( p ! q ) es equivalente a ( p _ q )para eso validamos la proposición ( p ! q ) , ( p _ q ) mediante su tabla de verdad

Ejemplo 6.

p q p p ! q p _ q ( p ! q ) , ( p _ q )1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

Nótese que el valor de verdad es en todo caso verdadero, cuando esto

ocurre le llamamos TAUTOLOGÍA, cuando tenemos una tautología ten-

emos una ley lógica.

Veamos otro ejemplo: ( p ! q ) ^ ( p ! r) ) p ! (q ^ r)



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p q r ( p

!q ) ( p

!r) (q

^r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 1 1 0

0 0 0 1 1 0

( p ! q ) ^ ( p ! r) p ! (q ^ r) ( p ! q ) ^ ( p ! r) ) p ! (q ^ r)1 1 1

0 0 1

0 0 1

0 0 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Un ejemplo de las leyes lógicas son :

Leyes de Idempotencia

p ^ p , p

p _ p , p



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Leyes conmutativas

p ^ q , q ^ p

p _ q , q _ p

p Y q , q Y p

p $ q , q $ p

Leyes asociativas

p ^ (q ^ r) , ( p ^ q ) ^ r

p _ (q _ r) , ( p _ q ) _ r

p$

(q $

r),

( p$

q )$

r

Leyes distributivas

p ^ (q _ r) , ( p ^ q ) _ ( p ^ r)

p _ (q ^ r) , ( p _ q ) ^ ( p _ r)

Leyes de absorción

p ^ ( p _ q ) , p

p _ ( p ^ q ) , p

Leyes de Morgan



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( p ^ q ) , p_ q

( p _ q ) , p^ q

Leyes de Involución

( p) , p

Problema 3. aplica la validación de tablas para probar las anteriores leyes.

Tambien hay ocasiones en que lo que se desea probar es que dos proposi-

ciones no pueden ser simultáneamente verdaderas. veamos

Ejemplo 7. pruebe que las proposiciones p es excluyente con pse debe validar ( p^ q )

p q q ( p^ q )1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Ejemplo 8. pruebe que las proposiciones ( p^ q ) es excluyente con ( p ! q )se debe validar ( p^ q ) ^ ( p ! q )



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1.9 Cuanti…cadores Lógica Matemática

p q

q p

!q ( p

^ q ) ( p

^ q )

^( p

!q )

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

A casos como estos donde la tabla termina solo con ceros se le llama

CONTRADICCIÓN

1.9. Cuanti…cadores

Si, en una condición dada p(x), atribuimos a la variable x los valores

de su dominio, obtendremos, como vimos, una proposición. Otra forma, ex-

tremadamente importante en Matemática, de obtener proposiciones a partir

de una condición p(x), es anteponerle a esta los símbolos

8x;

9x y

9!x que

se llaman cuanti…cadores (cuanti…cador universal , cuanti…cador existencial

y cuanti…cador existencial de unicidad respectivamente).

La proposición 8x : p(x) se lee “para todo x, tal que p(x)” y signi…caque p(x) es verdadera, atribuyendo a x cualquier valor de su dominio.

La proposición 9x : p(x) se lee “existe un x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera, para algún x de su dominio, ün"no signi…ca "único". por

ejemplo "María Teresa tiene una amiga que la quiere mucho"es posible que

tenga más de una, es por esto que la proposición 9!x : p(x) se lee “existe unúnico x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera si y solo si x toma

un único valor de su dominio.



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1.9 Cuanti…cadores Lógica Matemática

Por ejemplo, siendo x una variable real, son verdaderas las proposiciones:

1) 8x : x2 + 1 > 02) 9x : x2 4 = 03) 9!x : 8x 4 = 0

Justi…cación:

1) Como ningún número al cuadrado es negativo

8x : x2 08x : x2 + 1 0 + 18x : x2 + 1 1 y como 1 > 08x : x2 + 1 > 0

2) Mostremos los valores de x en los cuales:x2 4 = 0 ;

x2 = 4

x = p 4x = 2

solo con lo valores 2 y 2 la proposición es verdadera

3) Se pide 8x 4 = 0 así que el valor de x es:

8x 4 = 08x = 4

x = 48

x = 2

y este es el único valor de x que lo hace verdadero



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1.10 Actividades Lógica Matemática

1.10. Actividades

Ejercicio 1. 1. ¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarse

como proposiciones

a) Si llueve es porque estamos en invierno.

b) Un triángulo es una …gura plana con tres lados.

c) Un triángulo es un polígono de tres ángulos.

d) La …losofía es triangular

e) 52 = 21

f ) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados.

g) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectos

h) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos.

i) Medellín es ciudad de eterna primavera.

j) Un rectángulo es una …gura verde.

k) x2 + 3x 4 = 0

l) Todas las naranjas son amarillas.

m) Algunas manzanas son rojas.

2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso,

x debe reemplazarse por:

a) 2

b) 3



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c) 4

d) 5

3. En la proposición: “ Sí respetamos la vida entonces Colombia será un

país feliz”. Podemos escoger:

p : Respetamos la vida

q :Colombia será un país feliz

Se construyó la tabla de verdad para esta proposición compuesta, pero

tiene un error. Localízalo, marcando con x el renglón correcto

p q p ! q 1 0 1

0 0 1

1 1 1

0 1 1

4. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llama

pentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono” En el enunciado anterior

identi…ca todas las proposiciones cerradas.

(Represéntalas con las letras p, q, r).

5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe en

palabras las proposiciones compuestas siguientes:

a ) p ! q

b) ( p $ q )



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c ) ( p ! q ) ! ( p ! r)

6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor de

verdad de las siguientes proposiciones

a ) p^ q

b) ( p ! q )

c ) ( p _ q ) Y ( p ! r)

7. Completa las siguientes tablas de verdad

a )

p q q p p^ q p Y q ( p Y q ) _ ( p^ q )1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

b)

p q q p $ q p^ q ( p $ q ) ! ( p^ q )1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1



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c )

p q r (( p

!r)

^(q

!r))

!r

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

8. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luego

niega las tres proposiciones.

9. Ana y José apostaron al marcador entre sus equipos favoritos de fútbol.

Al iniciarse el partido José le dice a Ana: “si mi equipo gana entonces

yo pago el almuerzo” La situación puede tener los resultados que se

muestran en la tabla. ¿En cual de todos José habrá mentido? Escríbelo

en la tabla.

p q ¿José cumplió?

Ganó el equipo de José v José pagó el almuerzo v

Ganó el equipo de José v José no pagó el almuerzo f

Perdió el equipo de José f José pagó el almuerzo v

Perdió el equipo de José f José no pagó el almuerzo f

10. Encuentre una expresión que solo contenga ^; _ y la negación ;pararepresentar:



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a ) p ! q

b) p $ q

c ) p Y q:

11. En el siguiente circuito eléctrico cada interruptor está representado por

una letra , encuentra la tabla de verdad que representa este circuito y

diseña otro circuito que tenga la misma tabla de verdad.



33/136


34/136


2.1. Objetivos

El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos

para la solución de un problema:

Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases.

Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas.

Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..

2.2. Competencias

Determina conjuntos por extensión y comprensión.

Mani…esta habilidad en la representación grá…ca de conjuntos y sus

operaciones.

Muestra interés participando en la construcción de proposiciones com-

puestas y nuevos conjuntos.

Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente.

Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos.



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2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren-

dizaje

Mesa redonda.


Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres


2.4. Recursos de aprendizajeAula de clases,

Laboratorios

Auditorios.

Videobeam

Retroproyector.



36/136

2.5 Teoría de conjuntos Lógica Matemática

2.5. Teoría de conjuntos

Elementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son

elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana,

son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas

de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está

muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO.

Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjun-

to, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no

tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el direc-

torio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de

mamíferos que ponen huevos.

Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B;C;...

Los elementos con letras minúsculas: a;b;c;:::

Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, tam-

bién podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debesutilizar las dos formas.

Ejemplo:

Representa el conjunto de los números dígitos

D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9go también

Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a

y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se

escribe a 2 A (a es un elemento de A).Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribe



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2.6 Clases de conjuntos Lógica Matemática

c =

2A (c no es un elemento de A).

2.6. Clases de conjuntos

Los conjuntos se clasi…can según el número de elementos que posean,

veamos:

Conjunto vacío:

Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se sim-

boliza con El conjunto de los números pares que terminan en 3

Representémoslo así:

P = flos números pares que terminan en 3 g =

Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.

B = { la capital de Colombia}

M = {Lucy}

C = f0g

Conjunto …nito: es aquel que tiene un número …nito de elementos .

También es …nito el conjunto unitario.



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2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática

S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

N = f3; 13; 23; 33; 34; 35gT = {Miguel, José}

A = fa;b;c;d;:::;x;y;zg

Conjunto in…nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos

se le llama conjunto in…nito.

N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21;:::g

¿Conoces otro conjunto que sea in…nito? ¿Cuantos?¿Que signi…ca los puntos suspensivos?

2.7. Determinación de un conjunto

Para determinar o identi…car un conjunto existen dos maneras:

Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos

que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto.

Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y

común que tienen los elementos de un conjunto.

Ejemplo 9.

por extensión:

V =f

a;e;i;o;ug

F = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111;::::gY =

Por comprensión:



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2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática

V ={las vocales}F ={los números naturales que terminan en 1}

Y ={los números impares que terminan en 0}

Subconjunto:

Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los

elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que

no estén en B .

Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir “ B está

contenido en A”. Se representa con los símbolos: B AAsí que:

(B A) () (x 2 B =) x 2 A)



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2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática

2.8. Algebra de conjuntosUnión de Conjuntos Los conjuntos A = fa;b;c;d;eg y B = fa;e;i;o;ugse combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede

estar repetido fa;b;c;d;e;i;o;ug, a este conjunto lo llamaremos unión de Ay B.

M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesM

[J =

f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9

gEn forma grá…ca la unión es la región resaltada

Simbólicamente la unión de A y B es:

AUB = fx : x 2 A _ x 2 Bg

Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata deencontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos,

veamos:

M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces



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La intersección la representamos por:M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá…ca la inter-

sección es la región resaltada

Simbólicamente la intercepción de A y B es:

A

\B =

fx : x

2A

^x

2B

gDiferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa;e;i;o;ug y A =fa;e;og

La diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de V que no están en A así:

V A = fi; ogM = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces

La diferencia la representamos por:M J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J .También se puede calcular J M J M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M .



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En forma grá…ca la diferencia es la región sombreada

Simbólicamente es:

M J = fx : x 2 M ^ x =2 J gJ M = fx : x 2 J ^ x =2 M g

Complemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjunto

que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará

universal o referencial.

Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3gLlamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los el-

ementos de U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lodenotaremos con A0

Notese que A0 = U AU = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29gSi B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g

Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C 0 = f1; 11; 13; 19; 29gSi D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = Simbólicamente es:

A0 = fx : x 2 U ^ x =2 Ag



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2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática

2.9. Propiedades de los Conjuntos

Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las

operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores

de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones

y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los

conectivos 2"(^), .o"(_) y la negación ().

La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones \ ^

La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones [ _

El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones A0

La contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A

B

p!

La diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesA B = A \ B0 p ! q , p _ q

Por lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones:

Leyes de Idempotencia

A \ A = A

A [ A = A

Leyes conmutativas



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2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática

A \ B = B \ A

A [ B = B [ A

Leyes asociativas

p ^ (q ^ r) , ( p ^ q ) ^ r

p_

(q _

r),

( p_

q )_

r

p $ (q $ r) , ( p $ q ) $ r

Leyes distributivas

A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C )

A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C )

Leyes de absorción

A \ (A [ B) = A

A [ (A \ B) = A

Leyes de Morgan

(A [ B)0 = A0 \ B0

(A \ B)0 = A0 [ B0

Leyes de Involución

(A0)0 = A



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Veamos grá…camente la ley de Morgan (A [ B)0

= A0 \ B0

2.10. Actividades

1. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección

de la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d

36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin

embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exacta



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de personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguientediagrama de Venn.

21 personas fueron a Francia

17 personas fueron a España

16 personas fueron a Inglaterra

9 personas fueron a Francia y a España

8 personas fueron a España y a Inglaterra

6 personas fueron a Francia y a Inglaterra

1. a ) El número de personas que fue a Francia y España pero no a

Inglaterra es:_______

b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______

c ) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia

es:________

d ) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a

Francia es:______

2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientes

resultados:



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Andrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que Gabriela

Esteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que Gabriela

Pedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que Miguel

Jorge es más liviano que Gabriela

Ordena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado.

(Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y los

hombres del pueblo, por lo que se re…ere a la rasurada, se dividen en

dos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos.

¿A cual de los dos grupos pertenece el barbero?

Explica.



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Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE III

3. Introducción al Álgebra de Boole

En las dos unidades anteriores se vió que las leyes para las proposiciones

y para los conjuntos son semejantes. Podemos ahora demostrar que cada uno

de estos sistemas es un álgebra de Boole. Esta estructura algebraica mas

general es una de las partes del Algebra abstracta, que a pesar del nombre seaplica podríamos decir que "demasiado.a la computación y a la inteligencia

Arti…cial. Esta unidad es fundamental, sobre todo para la simpli…cación de

circuitos (Unidad 4 ).



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3.1. ObjetivosEl alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos


Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba.

Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones.

Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.

3.2. Competencias

Interpretará las demostraciones de las leyes del álgebra de Boole.

Compruebará si el conjunto en cuestión veri…ca las leyes del álgebra de

Boole.

Aplicará las leyes del álgebra de Boole para simpli…car funciones booleanas.

Armonizará los conocimientos de Tablas de verdad con las funciones

booleanas.



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3.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren-dizaje

Mesa redonda.


Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres



Aula de clases,

Laboratorios

Auditorios.

Videobeam

Retroproyector.



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3.5 Clases de operaciones Lógica Matemática

3.5. Clases de operacionesHasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones y

entre conjuntos

Vale la pena clasi…car en general las operaciones

El primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos,

sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece al

conjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA

es una .operación tal que:

si a; b 2 X ,entonces también la es a b

Ejemplo 10. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación bi-

naria

pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N:

Ejemplo 11. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operación

binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 712 =5 =2 N:

Ejemplo 12. la división en el conjunto de los naturales no es una operación

binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 9 y 2 tal que 9 2 =9

2 =2 N:

Ejemplo 13. La operación > en el conjuntofa;b;cg se de…ne como sigue en la siguiente tabla:

> a b c

a a b a

b b a c

c a c a



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3.5 Clases de operaciones Lógica Matemática

El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en reali-

dad transforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNI-

TARIA ' sobre un conjunto B es una .operación tal que:

Si a 2 B, entonces '(a) 2 B

Ejemplo 14. el operador menos (

) el conjunto de los enteros es una op-

eración binaria

pues si m 2 Z;entonces m 2 Z:

Ejemplo 15. la Radicación en el conjunto de los números reales es una

operación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1p es

una operación binaria con n 2 Npero el operador 2n

p no es una operación binaria con n 2 N

nótese que 1 2 R pero 2n

p 1 =2 R:1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitarias

a ) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números

reales.

b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números

enteros.

c ) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"sea

una operación unitaria.

2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias:



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3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemática

a ) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema.

b) En el sistema de los números complejos.

3.6. Álgebra de Boole

Un conjunto B, junto con las operaciones binarias ; de…nidas sobre él

es un álgebra de Boole,

si se veri…can las siguientes Propiedades:

Ley conmutativa

1. a ) 1) 8a; b 2 B; a b 2 B2) 8a; b 2 B; a b 2 B

Ley distributiva

1. a ) 1)

8a;b;c

2B; a (b c) = (a b) (a c)

2) 8a;b;c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)

Elementos neutros

1. a ) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a e = a (Neutro Aditivo o cero)2) 8a 2 B; 9i 2 B; a i = a (Neutro Multiplicativo o

unidad)

Complementación

1. a ) 1) 8a 2 B; 9ac 2 B; a ac = i (complemento a la unidad)



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3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemática

2) 8a 2 B; 9ac 2 B; a ac = e (complemento al cero)

mas adelante se probará que ac es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 16. Sea D26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivos del 26; de…namos las operaciones binarias así:

a b = M CM (a; b) ( M ínimo Común múltiplo)

a b = mcd(a; b) ( Máximo Común divisor)

observe que para que a b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo ocero)

y para que a b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo o

unidad)

por otra parte:

para que ab = 26; tiene que ser b = 26

a (complemento de la unidad)

y para que a b = 1; depende de quien sea a así:

si a = 1 entonces b = 26si a = 2 entonces b = 13

si a = 13 entonces b = 2

si a = 26 entonces b = 1

Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a las

de la escuela.

1 2 13 26

1 1 2 13 26

2 2 2 26 26

13 13 26 13 26

26 26 26 26 13

1 2 13 26

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

13 1 1 13 13

26 1 2 13 26



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3.7 Principio de dualidad Lógica Matemática

3.7. Principio de dualidad

Si en un teorema válido intercambiamos por y e por i, obtenemos

otro teorema válido.

La demostración de que esto es cierto se obtiene haciendo este intercambio

en todos los pasos de la demostración del teorema original.

Solo por comodidad cambiaremos los signos de las operaciones a b por

a + b; a b por ab; aclaramos que estos signos representarán las dos op-

eraciones del álgebra de Boole las cuales pueden ser cualesquier operación

binaria. Ademas cambiaremos los elementos neutros e por 0; i por 1; sin

querer con esto confundirlos.

A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole,

se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra la

realizará el estudiante con el principio de dualidad.

Ley de idempotencia

1. a ) 1) 8a 2 B; a + a = a2) 8a 2 B; aa = a

Prueba (i): Sea a 2

B a = a + 0 = a + (aac) = (a + a) (a + ac) =

(a + a)(1) = a + a

Ley de acotamiento

1. a ) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1



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2) 8a 2 B; a0 = 0

Prueba (i): Sea a 2 B a+1 = (a + 1) 1 = (a + 1) (a+ac) = a+(1ac) =a + ac = 1

Ley de absorción

1. a ) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a2)

8a; b

2B; a(a + b) = a

Prueba (i): Sea a; b 2 B a + ab = a1 + ab = a(1 + b) = a(1) = a Ley asociativa

1. a ) 1) 8a;b;c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c2) 8a;b;c 2 B; a(bc) = (ab)c

Prueba (i): Sea a; b; c 2 B

a + (b + c) = 1 [a + (b + c)]

= aca [a + (b + c)]

= ac [aa + a (b + c)]

= ac [a + a (b + c)]

= aca

= ac [a + ac]

= ac [a (a + b) + ac]

= aca [(a + b) + c]

= 1 [(a + b) + c]

= (a + b) + c



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Unicidad del complemento

1. a ) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = ac

Prueba (i): Sea a 2 B supóngase a + x = 1 y ax = 0ac = ac1 = ac (a + x) = aca + acx = 0 + acx = acx = ac(x + 0) =

acx + ax = (ac + a)x = 1x = x

Ley de involución

1. a ) 1) 8a 2 B; (ac)c = a

Prueba (i): Sea a 2 B a + ac = 1; esto signi…ca que a es elcomplemento de ac; es decir a = (ac)c

Ley de Morgan

a ) 1) 8a; b 2 B; (a + b)c

= ac

bc

2) 8a; b 2 B; (ab)c = ac + bc

Prueba (i): Sea a; b 2 B (a + b) + acbc = a + (b + acbc) = a +(b + ac)(b + bc)

= a + (b + ac)1 =

a + b + ac = a + ac + b = 1 + b = 1

con esto por la unicidad del complemento (a + b)c

= acbc



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3.8 Funciones booleanas Lógica Matemática

3.8. Funciones booleanas

3.8.1. Funciones reales y funciones booleanas

Hasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra de

Boole y algunas de sus

propiedades.

Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas,

que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acos-

tumbrados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y

que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una

función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ ó ’1’.

Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función

matemática de las

que todos conocemos. Por ejemplo esta:

f (x) = 2x + 1

Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir el

dominio de f es R



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52.50-2.5-5

10

5

0

-5

x

y

x

y

hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene una

in…nidad de puntos en forma de una recta.

También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como por

ejemplo:

f (x; y) = 2x + y2

f (x;y;z) = z2 sen(x + y)f (x1; x2; x3;:::;xn) = 3

p x1 + x2 + x3 + ::: + xn

Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos

resultan claras. Ahora

vamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente quetrabajaremos con

variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y delAlgebra de Boole.



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Ejemplo 17. sea la siguiente función booleana de una variable:f (x) = xc

El valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable.

Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’ 0’ y ’ 1’.

Los que la función F toma son:

f (0) = 0c = 1

f (1) = 1c = 0

Ejemplo 18.

Ejemplo 19. Sea la siguiente función booleana se dos variables:

f (x; y) = xc (x + y)obtenemos:

f (0; 0) = 0c (0 + 0) = 1 0 = 0f (0; 1) = 0c

(0 + 1) = 1

1 = 1

f (1; 0) = 1c (1 + 0) = 0 1 = 0f (1; 1) = 1c (1 + 1) = 0 0 = 0

Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algu-

nas propiedades para obtener una función más simpli…cada:

del ejemplo anterior

f (x; y) = xc (x + y)= xcx + xcy (ley distributiva)

= 0 + xcy (complemento al cero)

= x0y



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en el cual también obtenemos:f (0; 0) = 00 0 = 1 0 = 0f (0; 1) = 00 1 = 1 1 = 1f (1; 0) = 10 0 = 0 1 = 0f (1; 1) = 10 1 = 0 0 = 0

3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad

Existe otra manera de representar una función booleana. es mediante las

tablas de verdad, pero cambiando las proposiciones por expresiones booleanas:

utilizaremos nuevamente el ejemplo anterior:

f (x; y) = xc (x + y)su tabla es:

x y f (x; y)

1 1 0

1 0 0

0 1 1

0 0 0

El número de …las de la tabla de verdad depende del número de variables

que usemos.consideremos h(x;y;z) = x + yz



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x y z yz x + yx

1 1 1 1 1

1 1 0 0 1

1 0 1 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0



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3.9. ActividadesEjercicio 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los méto-

dos de:

1. a) Tablas de verdad.

b) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)

abc

+ ac

b + ac

bc

= ac

+ bc

acbc + ac + bcc = accc + bcc + ab

acbc + bd + abc = d + dcbc

(a + bc + ab)(ac + b)abc = 0

(a + bc + abc)(ab + bcc + acc) = ab + acbcc

(ab + c + d)(cc + d)(cc + d + e) = abcc + d

Ejercicio 3. 1. Demostrar las siguientes propiedades de la función lógica

O-exclusiva:

f ( p; q ) = p Y q

a) Asociativa

b) Conmutativa

c) Existencia de elemento neutro e tal que x Ye = x

d) Existencia de Inverso (A todo elemento x se le puede hacer corre-

sponder un elemento x tal que x Y y = e



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e) Distributiva del Producto respecto a la O-exclusiva

f) que mediante la O-exclusiva y la función y : f ( p; q ) = p^q se pueden realizar las otras dos operaciones fundamentales del álgebra de Boole:

negación y suma(disyunción)

Nota: Calcular el valor de 1 Yx y de 1 Y ((1 Y x)(1 Y y))

Una función de tres variables f(a,b,c) debe tomar el valor cero cuando lavariable b esté a uno y la variable a no está en estado uno. En los demás

casos posibles debe estar en estado uno.

a) Realizar la tabla de verdad de la función.

Discurso sobre los estudios de Informática en clase de Lógica:

Señoras y señores, buenas tardes:

Es hora de que recapacitemos sobre los estudios de informática en vísperasdel asentamiento de la titulación en nuestra Universidad. Se sabe que si los

ordenadores hablasen los informáticos no existirían. Por otra parte, en la últi-

ma reunión del Consejo de Universidades, éste a…rmó que: "...la Universidad

titulará informáticos mientras los ordenadores no hablen ..."; a…rmación que

nos parece muy correcta, si bien lo cierto es que los ordenadores no hablan

pero los informáticos existen.

A la vista de todo ello nos preguntamos: ¿Es, por tanto, coherente que laUniversidad expida títulos de informática en la actualidad?.

Demuestre las leyes del algebra de Boole que no se probaron aplicando el

principio de dualidad.



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Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

4. Introducción al método de Karnaugh

El método de Karnaugh convierte una expresión booleana a otra más simpli-

…cada. En nuestro caso, convierte una suma de productos en otra minimal .

Tiene como características:

Un mínimo número de términos en la expresión.

Un mínimo número de variables en cada término de dicha expresión.

Inicialmente se tiene una expresión booleana constituida por una suma

de productos de variables, que pueden tomar únicamente los valores de cero

[0] o uno [1]. El resultado de esta expresión es un valor booleano para cada

uno de los valores que tomen dichas variables.



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4.1. ObjetivosEl alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos


Entradas y salidas de las compuertas lógicas.

tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas.

Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh

4.2. Competencias

Deduce la relación existente entre las entradas y salidas de las com-

puertas lógicas.

Construye tablas de verdad a partir de mediciones en compuestos lógi-

cos.

Representa funciones lógicas mediante simbología electrónica normal-

izada y de uso tradicional.

Reconoce por su símbolo, forma o nomenclatura las diferentes funciones

lógicas.



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4.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren-dizaje

Mesa redonda.


Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres



Aula de clases

Laboratorios

Auditorios.

Videobeam

Retroproyector.



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4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática

4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de cir-cuitos

Las señales de tensión alta ( mas de 1 voltio) o bajas (menos de 1 voltio)

han dado lugar a su vez a representaciones electrónicas que se utilizan en el

diseño de los circuitos integrados. Estos circuitos se conocen como çircuitos

lógicos"pues basan su función en condiciones presenciales o no de los pulsos

altos o bajos.

En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de las fuentes de

alimentación, se agrupan en dos posibles categorías: voltaje altos y voltajes

bajos. Entre estos dos rangos de voltajes existen existe una denominada zona

prohibida o de incertidumbre que los separa. Una tensión alta signi…ca un 1

binario y una tensión baja signi…ca un 0 binario. Todos los sistemas digitales

se construyen utilizando básicamente tres puertas lógicas básicas. Estas son

las puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT; o la combinación de estas.

El recurso a las tablas para la simpli…cación de ecuaciones booleanas

es, como ya se ha dicho, fruto de su mayor simplicidad. Aunque existen

otros métodos (como las tablas de Quine- McCluskey), nos limitaremos a

explicar someramente el método conocido como “mapas de Karnaugh”. Éstos

se pueden utilizar para simpli…car funciones de dos a seis variables, aunque

habitualmente sólo se los emplee para funciones de dos a cinco variables.

El método grá…co de Karnaugh, desarrollado en The Map Method for

Synthesis of Combinatorial Logic Circuits (AIEE, vol. 72, 1953), se basa en

otro de E. W. Veitch publicado en A Chart Method for Simplifying Truth

Functions (ACM, 1952). Esta técnica se convirtió rápidamente en la her-

ramienta más potente entre los diseñadores de computadores y expertos en



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lógica digital durante la década de los 50.

LA COMPUERTA AND

BA

El esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuerta

AND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderá

solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno

de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no se

enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se

muestran en la tabla de verdad.

A B Lampara

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0



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La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dosinterruptores en serie se representan con la compuerta AND

Para representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguiente

Esta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B y

una salida A B.El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra como

operan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método de

mostrar que ocurre en un circuito lógico.

A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee .A ANDB igual a la salida Y"

El punto () signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no laoperación de multiplicar como en el álgebra corriente.

En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.

la expresión A B C se lee " A AND B AND C " y se representa con la…gura:



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La tabla de verdad de esta última coincide con el conjuntivo múltiple p ^ q ^ r

es decir:

p q r p ^ q ^ r1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

LA COMPUERTA OR El grá…co de este circuito ilustra el fun-

cionamiento de la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conec-

tados en paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierra



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cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combina-

ciones de los interruptores se muestran en la tabla siguiente.

A B Lampara1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dos

interruptores en serie se representan con la compuerta ORPara representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente:

Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B y

una salida A + B.



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A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee .A OR

B igual a la salida Y"El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y no

la operación de sumar como en el álgebra corriente.

En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.

la expresión A + B + C se lee A OR B OR C y se representa con la …gura:

COMPUERTA INVERSORA En este circuito cuando se cierra el inter-



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ruptor A, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombilla

se enciende.

La tabla es:

A lámpara

1 0

0 1

Es la misma tabla de la negación p; a este esquema se le llama Lacompuerta inversora,

esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su fun-

ción es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir

unos a ceros y ceros a unos.

El círculo inversor puede estar en la parte de entrada o de salida del

símbolo triangular.



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este tiene el mismo sentido de el complemento a la unidad del álgebra de

Boole.

con solo estas tres compuertas se pueden conformar otras como las sigu-

ientes:

LA PUERTA NAND Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que

opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando

una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras

exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas:

En forma proposicional

( p^

q ).

En forma de expresión booleana (AB)0.

Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculo

a la salida.



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LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puerta

OR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo OR

para formar el símbolo NOR.

Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y con

la lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores están

abiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos estén

cerrados.

Símbolo lógico de una compuerta NOR es:

Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamente

opuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas sus

entradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto en



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cualquiera de ellas.

En forma proposicional

( p

_q ).

En forma de expresión booleana (A + B)c.

LA COMPUERTA OR EXCLUSIVA O XOR La OR exclusiva, se

denomina la puerta comparadora OR, La tabla de verdad para la función

XOR se muestra en la tabla

A B A XOR B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

la cual es equivalente a la disyunción exclusiva



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p q p Y q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Note que XOR es combinación de los anteriores:

apliquemos el calculo proposicional: p Y q = ( p , q )

= [( p ! q ) ^ (q ! p)] aplicando la ley de Morga= ( p ! q )_ (q ! p) negación del condicional= ( p^ q ) _ (q ̂ p) ley distributiva= ( p _ q ) ^ ( p_ p) ^ ( q _ q ) ^ ( p_ q ) siempre ( p_ p) = 1= ( p _ q ) ^ 1 ^ 1 ^ ( p_ q ) simplificando

= ( p _ q ) ^ ( p_ q ) Ley de Morgan= ( p _ q )^ ( p ^ q ) c ley distributiva= ( p^ p) _ ( p^ q ) _ (q ̂ p) _ (q ̂ q ) complemento a cero= 0 _ ( p^ q ) _ (q ̂ p) _ 0 suma del modulo= ( p^ q ) _ (q ̂ p) Listo!

Con c probamos que p Y q equivale a tres compuertas una de ( p _ q );otra de ( p ^ q ) y otra que las relacione con la conjunción ^; así pues: A

XOR B equivale a: (A OR B) AND (A NAND B) es decir:(A + B)(AB)0

con la parte …nal del cálculo proposicional anterior A XOR B = A0B+AB0

VERIFICACIÓN:



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A=1 y B=1

A=1 y B=0

A=0 y B=1

A=0 y B=0



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Ejemplo 20. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese la siguiente función booleana de dos variables:

Ejemplo 21. f (x; y) = x0 + xy + xy0

se comienza con cada sumando

x0

X

Y

X’

Y

xy

X

Y

XY

xy0



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X

Y

XY’

X

Y

X’+XY+XY’



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La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas:

El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana es

una tautología:

Observación: debido a que xyz = (xy)z = x(yz) y que

x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)

una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos com-puertas OR de dos entradas

así:

es equivalente a:

De manera semejante ocurre para la compuerta AND.

Ejemplo 22. Encuentre un circuito de compuertas lógicas para: F (x;y;z) =

xyz + x0z0

Ejemplo 24. Encontrar una representación booleana del siguiente circuito

de compuertas lógicas.



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(X+Y)+Z

Ejemplo 23.

x

y

zxyz+x’y’



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x

y

z

x

y

z

xyz

yc

zc

(xyz)NOR(yz c+yc z)

=[(xyz)+(yz c+yc z)]c

yc XOR z

c=

(yc )c(z c )+(yc )(z c )c

=yz c

+yc

z



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solución : en cada parte del circuito hay un mensaje:

en conclusión F (x;y;z) = [xyz + (yzc + ycz)]c

Es posible que la expresión F (x;y;z) = [xyz + (yzc + ycz)]c se pueda

simpli…car mas para lo cual se aplicarán todas las propiedades del álgebra de

Boole veamos:

[xyz + (yzc + ycz)]c = (xyz)c(yzc + ycz)c ley de Morgan

= (xc + yc + zc)((yzc)c(ycz)c) ley de Morgan

= (xc + yc + zc)((yc + (zc)c)((yc)c + zc) ley de involución

= (xc + yc + zc)(yc + z)(y + zc) ley distributiva

= (xc + yc + zc)(yz + yyc + zzc + yczc) Complemento al c

= (xc + yc + zc)(yz + 0 + 0 + yczc) ley de Morgan

= (xc + yc + zc)(yz + yczc) ley de Morgan

= yzxc + yzyc + yzzc + xcyczc + yczczc + zcycyc ley distributiva

= yzxc + 0 + 0 + xcyczc + yczczc + zcycyc Complemento al c

= yzxc + xcyczc + zcyc ley de idempotenc

= yzxc + zcyc ley de absorción

Existen métodos más prácticos y rápidos para simpli…car expresionesbooleanas:



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4.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas

Entrando en materia, los mapas están constituidos por una cuadrícula en

forma de encasillado cuyo número de casillas depende del número de variables

que tenga la función a simpli…car.

Caso de dos variables

Se utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en la

primera …la, la otra variable y su complemento va en la primera columna

x xc

y

yc

Ejemplo 25. : Simpli…ca la función de dos variables f (x; y) = xcy +xyc+xy

Lo primero que se debe hacer es representarlo en un mapa de dos variables.

Se representa como una tabla. Para llenar la tabla, se coloca un uno ( 1) donde

la intersección forme un producto de la función, así:

para el primer término de la función: xcy, se marca con el uno (1) en la

tabla.

para el segundo término de la función: xyc, se marca con el uno (1) en

la tabla.

por ultimo el tercer término de la función: xy, se marca con el uno (1)

en la tabla. y lo demás con ceros



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formando grupos con los unos se observa que: se ocupa todo el renglón de lax y toda la columna de la y; no mas.

la función f (x; y) = xcy + xyc + xy; se simpli…ca f (x; y) = x + y

Reglas de simpli…cación (1)Las agrupaciones son exclusivamente de

unos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.

Correcta Incorrecta

(2) Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical.

Las diagonales están prohibidas.



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Correcta Incorrecta

(3) Los grupos deben contener 1; 2; 4; 8; 9;:::; 2n número de unos.

Correcta Incorrecta

(4) Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible.

Correcta Incorrecta



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(6) Pueden existir traslapamiento de grupos.

Correcta Incorrecta

(7) La formación de grupos también se puede producir con las celdas

extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar

con la superior y la izquierda con la derecha.

Correcta

(8) Tiene que resultar el menor número de grupos posibles (ser minimal

) siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores.

Caso de tres variables



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Se utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en laprimera columna, las otras dos variables y sus complementos se acomodan

como productos de ellas en la primera …la

yz ycz yzc yczc

x

xc

F (x;y;z) = xcyczc + xcycz + xcyzc + xyczc + xyzc

Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son:

1. Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario.

en este caso no lo es.

2. se construye un mapa de karnaugh

3. Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2n elemen-

tos, donde n = 1; 2:::número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe

contener ningún cero

Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo

número posible de rectángulos que cubran todos los unos.



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Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grandecomo sea posible.

Para encontrar la suma de productos minimal preguntese lo siguiente:

¿Cada rectángulo pertenece a un término producto?

¿que variables hay en común en tal rectángulo? a estos se llamarán im-

plicantes primos.

En el cubrimiento mas grande predomina zc

En el cubrimiento mas pequeño no predomina , pero contiene a xc

yc

z:

entonces los implicantes primos son:

zc y xcycz:,sin embargo como zc contiene a xcyczc;no es necesario incluir en

los implicantes primos a xcycz:; pues será su…ciente con xcyc; : en conclusión

f (x;y;z) se simpli…ca en:

f (x;y;z) = zc + xcyc

Caso de cuatro variablesSe utiliza una tabla en donde dos variables se acomodan como productos

de ellas y sus complementos en la primera columna, las otras dos variables y

sus complementos se acomodan como productos de ellas en la primera …la



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zw zcw zwc zcwc

xy

xcy

xyc

xcyc

Ejemplo 26. sea f (x;y;z;w) = xyzw + xyzwc

+ xyzc

w + xc

yzwc

+

xcyzcw+xcyzcwc+xyczwc+xcyczw +xcyczwc+xcyczcw

primero se marcan con unos las reguiones de la función

ahora se agrupan los unos con tal que tengan 2n unos

entonces los implicantes primos son:

a) xyz

b) zwc



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c) yzcw

d) xcycz

e) xcyzc

f) xcyczw

Por lo tanto f (x;y;z ;w) se simpli…ca en:

f (x;y;z;w) = xyz + zwc

+ yzc

w + xc

yc

z + xc

yzc

+ xc

yc

zw



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4.6. ActividadesEjercicio 4. . Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizando

mapas de K

Modulo de Logica Favian Arenas

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