MODELLIZZAZIONE MATEMATICA?��

Alcuni esempi e controesempi

�Cos’è la modellizzazione? 1/2�

Occorre distinguere tra attività di modellizzazione e altre attività tratte dal mondo reale in genere ( e definibili di ‘pseudocontesto’).

Compiti di modellazione: �segmento della realtà (autentico) che vogliamo esplorare. Il risolutore deve saper semplificare, strutturare la situazione e costruire un modello matematico. Questo modello deve essere provatocome mezzo per affrontare la situazione (per risolvere i problemi, per saperne di più, per creare nuove domande, ...). La possibilità offerta dal modello di produrre nuova conoscenza deve essere testata. Talvolta, è necessario costruire un nuovo modello più adatto alla situazione.  

�Cos’è la modellizzazione? 2/2�

Compito in contesto: �vi è un segmento della realtà (non necessariamente autentico) in cui la conoscenza matematica coinvolta è definita in anticipo per risolvere alcune questioni ad essa collegate. Il risolutore deve usare questa conoscenza matematica per risolvere i problemi indicati.

Reale: �quando questo "segmento di realtà" è reale nel senso che si può trovare nella vostra vita quotidiana, nel dominio di alcune professioni o è necessario per qualcuno come cittadino.

Fittizio (o “pseudocontesto”): �quando questo "segmento della realtà" è solo una riproduzione più o meno distorta di un contesto reale, preso solo con scopi didattici.  

�Partiamo da esempi di attività�Quali degli esercizi presentati nelle prossime diapositive corrispondono a problemi di modellizzazione e quali no?

Quali sono le caratteristiche di questi esercizi?

Le soluzioni agli esercizi si trovano nelle pagine finali insieme alla classificazione delle loro caratteristiche

Attività 1 “La petizione”�

     

Recentemente,  il  25  aprile  del  2006,  il  par3to  spagnolo  dell’opposizione  ha  presentato  al  congresso    4.000.000  firme    contro  una  nuova  legge  promossa  dal  governo.    

Tu@  i  giornali  spagnoli  hanno  pubblicato  le  foto  dei  grandi  contenitori  e  dei  10  furgoni  che  si  sono  resi  necessari  per  il  trasporto  dei  fogli  di  carta  al  congresso.  Pensi  che  ci  sia  stato  un  intento  poli3co  dietro  a  questa  ‘esibizione’  o  che  tu@  i  contenitori  e  i  furgoni  fossero  davvero  necessari  per  trasportare  le  4000000  firme?    

Attività 2 – “Battito cardiaco”�Per  mo3vi  di  salute  le  persone  dovrebbero  limitare  i  loro  sforzi  ,  per  esempio  durante  le  a@vità  spor3ve  ,  in  modo  da  non  superare  una  certa  frequenza  del  ba@to  cardiaco  .  Per  anni  il  rapporto  tra  la  frequenza  cardiaca  massima  raccomandata  e  l'età  della  persona  è  stato  descriKo  dalla  seguente  formula  

 Frequenza  cardiaca  massima  raccomandata  =  220  –  età    Una  recente  ricerca  ha  dimostrato  che  questa  formula  dovrebbe  essere  leggermente  modificata  con  la  seguente:  

 Frequenza  cardiaca  massima  raccomandata  =  208  –  (0.7  x  età)    Un  ar3colo  di  giornale  ha  dichiarato:  "  Il  risultato  nell’usare  la  nuova  formula,  invece  di  quella  vecchia  è  che  il  numero  massimo  di  ba@3  cardiaci  al  minuto  consigliato  per  i  giovani  diminuisce  leggermente  mentre  per  le  persone  anziane  aumenta  un  po'.  "  Da  quale  età  si  ha  l’aumento  della  frequenza  cardiaca  massima  consigliata  a  seguito  dell'introduzione  della  nuova  formula?  Mostra  il  tuo  lavoro.  

         TraKo  da  www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf  

Attività 3: Il festival di musica

Il Festival di Glastonbury di spettacolo e arti contemporanei è il più grande festival al mondo di musica e dello spettacolo e si tiene a Greenfield. Per il 2005, l'area racchiusa dal festival era di più di 900 acri (3,6 km²), e ha visto più di 385 esibizioni dal vivo. Molti dei frequentatori del festival portano le proprie tende per dormire all'interno dell'area festival.

Gli organizzatori devono limitare il numero di biglietti ed il numero di tende consentito al fine di garantire la sicurezza. Quale consiglio ritieni di offrire?

Logan1138,  published  at  Wikimedia  Commons  

Attività 4: Gas Naturale

Nel  1993  le  riserve  mondiali  di  gas  naturale  sono  state  s3mate  in  141,8  miliardi  di  metri  cubi.  Da  allora  sono  sta3  u3lizza3  ogni  anno  in  media  2,5  miliardi  di  metri  cubi.      Calcola  quando  le  riserve  di  gas  naturale  si  esauriranno.    U3lizza  diverse  ipotesi  e  modelli.  Spiega  tu@  i  tuoi  passi  

Picture:  Thanks  to  Stan  Shebs,  published  at  Wikimedia  Commons  Tasks:  ©  2007  Cornelsen  Verlag  Scriptor  –  MathemaFsches  Modellieren  

Attività 5: Uova di Pasqua

Danielle ha trovato 23 uova.

Sorride perché ha trovato nove uova più di Chris.

Jennie sorride ancora di più. Ha trovato esattamente tante uova quante Chris e Danielle messi insieme.  Quante uova ha trovato Jennie?    

Attività 6: Il vicinato  Secondo te, quante persone vivono in questo palazzo di appartamenti?  

Ecco  i  nomi  sui  citofoni  di  ingresso  

©  Cornelsen  Verlag  Scriptor  -­‐  Mathema3sches  Modellieren  

Attività 1 “La petizione “ - soluzione

Proviamo a calcolare , approssimativamente, il volume occupato dai fogli che contengono le firme. Devono essere formulate ipotesi sul numero di firme per foglio e immaginare se entrambi i lati di ogni foglio vengano utilizzati o meno. Per esempio : 10 firme per foglio su un solo lato richiederebbero 4.000.000 ÷ 10 = 400.000 fogli . Qual è il volume occupato da questo numero di fogli di carta ? Può essere utilizzata la tipica scatola contenente 2500 fogli di carta ( le misure sono approssimative) :    31 cm x 23 cm x 25 cm = 25000 cm^3 = 0,025 m^3 Ciò significa che sarebbero necessarie 400.000 ÷ 2500 = 160 scatole che occupano circa : 160 x 0,025 = 4 m^3 Infine , abbiamo bisogno di conoscere la capacità di ogni furgone . Questa informazione può essere trovata in una pagina web di noleggio furgoni Risulta di fatto che un solo furgone è sufficiente per trasportare le firme al Congresso . Considerando che è stata fatta una bassa stima del numero di firme per foglio di carta, sembra possibile concludere che non fossero necessari ben 10 furgoni per il trasporto

..  

Attività 2 – “Battito cardiaco” – soluzione

Sono date due funzioni che descrivono il rapporto tra età (age) , x , e massima frequenza cardiaca raccomandata ( MRHR )

Deve essere trovata l’età dopo la quale la nuova formula dà una più alta ‘Maximum Recommended Heart Rate’. Ecco sotto na soluzione algebrica e accanto la soluzione aritmetica alternative che utilizza un foglio di calcolo  

Dai 40 anni in poi la nuova formula raccomanda una frequenza massima del battito cardiaco più elevata di quella data dalla formula vecchia.

AGE MRHR new MRHR old10 201 21011 200,3 20912 199,6 20813 198,9 20714 198,2 20615 197,5 20516 196,8 20417 196,1 20318 195,4 20219 194,7 20120 194 20021 193,3 19922 192,6 19823 191,9 19724 191,2 19625 190,5 19526 189,8 19427 189,1 19328 188,4 19229 187,7 19130 187 19031 186,3 18932 185,6 18833 184,9 18734 184,2 18635 183,5 18536 182,8 18437 182,1 18338 181,4 18239 180,7 18140 180 18041 179,3 17942 178,6 17843 177,9 17744 177,2 17645 176,5 17546 175,8 17447 175,1 17348 174,4 17249 173,7 171

Attività 3: Il festival di musica - Soluzione

Questo  è  un  compito  molto  aperto  .  Devo  essere  formulate  diverse  ipotesi  per  rendere  il  problema  semplice  abbastanza  per  essere  risolto  .  Una  possibile  semplificazione  potrebbe  essere  quella  di  dis3nguere  tra  l'uso  delle  diverse  aree  del  fes3val  :  -­‐  zona  per  aKrezzature  generali  (  ingresso,  stadi  ,  camion  ,  servizi  medici,  bar  all'aperto  ,  servizi  di  sicurezza  ,  WC  ,  ...)    -­‐  zona  per  il  pubblico  che  ascolta  i  concer3    -­‐  area  in  cui  verranno  collocate  le  tende  da  campeggio    -­‐  altre  aree  :  sen3eri,  alberi  ...  

Deve  essere  assegnata  una  percentuale  d’uso  per  ogni  seKore  :  ad  esempio  si  può  supporre  che  il  50  %  potrebbe  essere  u3lizzato  per  le  persone  in  piedi  e  le  loro  tende  e  l'altro  50  %  per  aKrezzature  generali,  percorsi,  alberi  ...  Ciò  significa  che  sarebbero  disponibili  per  le  persone.1800000  metri  quadra3.  

Lavorando  con  ques3  da3    si  rendono  ora  necessarie  nuove  decisioni  circa  lo  spazio  necessario  per  le  tende  e  lo  spazio  necessario  per  assistere  ai  concer3  .  Per  esempio  ,  potrebbe  essere  ragionevole  assegnare  1  metro  quadrato  a  persona  per  un  concerto  ,  anche  se  le  regole  di  sicurezza  potrebbero  suggerire  una  zona  più  ampia.  È  inoltre  necessario  calcolare  l'area  occupata  da  una  tenda  (pagine  web  dei  costruKori  tenda  suggeriscono  che  una  tenda  per  due  persone  può  occupare  tra  5  e  6  metri  quadra3  ma  deve  essere  considerato  anche  lo  spazio  tra  le  tende.  Una  buona  s3ma  perciò  potrebbe  essere  di  dieci  metri  quadra3  per  tenda  .  Infine  ,  si  può  supporre  che  tuKe  le  persone  presen3  al  fes3val  u3lizzeranno  le    tende  per  dormire  (  questo  non  sarà  probabilmente  il  caso  ,  ma  gli  organizzatori  devono  essere  prepara3  per  ogni  evenienza).  

 Con  queste  approssimazioni  e  semplificazioni  della  situazione,  un  modo  di  procedere  è  quello  di  impostare  un  numero  ipote3co  di  biglie@  (ad  esempio  150.000  -­‐  il  numero  venduto  nel  2005)  e  calcolare  la  superficie  necessaria  :    

per  i  concer3  :    

 Per  le  tende  :    se  uso  singolo:            se  doppio  uso  :    

Ciò  suggerisce  che  le  ipotesi  che  abbiamo  faKo  devono  essere  riviste  al  fine  di  confermare  questa  s3ma  se  il  numero  di  biglie@  vendu3  aumentasse  

2000.150 m

22 000.500.1000.150*10 mm = 2000.750 m

Attività 4: Gas Naturale - Soluzione

Per  risolvere  questo  compito    è  necessario  formulare  ipotesi  sul  consumo  di  gas  .  L'  approccio  più  semplice  è  supporre  che  il  consumo  sia  costante  per  un  lungo  periodo  ma  è  anche  possibile    considerare  diversi  tassi  di  consumo  per  diversi  periodi. Un  risolutore  più  sofis3cato  potrebbe  u3lizzare  dee  parametri  per  controllare  e  modificare  il  consumo  di  gas  in  funzione  dei  risulta3  forni3  dal  modello.    Caso  1.  Ipotesi  consumi  costan3  (  per  es  2,5  miliardi  di  metri  cubi  )  ogni  anno  :  modello  aritme>co  :  141,8  ÷  2,5  =  56,72    à  ci  sarà  gas  per  i  prossimi  56  anni  à  nel  2050  le  riserve  di  gas  naturale  saranno  vuote  (  a  meno  che  non  si  trovino  nuove  riserve  )    modello  algebrico  :  sia  x  un  anno  generico  successivo  al  1993  e    sia  G  (x)  il  gas  residuo  nelle  riserve  all’anno  x  .Quindi  G(x)  =  141,8  –  2,5x  .  Le  riserve  saranno  vuo3  quando  G(x)=0  à  x=  141,8/2,5à  x=56,72    Quindi  57  anni  dopo  il  1993  ,  le  riserve  di  gas  naturale  saranno  vuote  (  a  meno  che  non  si  trovano  nuove  riserve).  

Increasing (+10%) consumption

-20

0

20

40

60

80

100

120

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

Years

Bill

ions

of c

ubic

met

res

Gas consumptionGas reserves

Caso  2.  Ipotesi  consumi  crescente  (  +  10  %  )  di  ogni  anno*:    modello  aritme>co  (  u3lizzando  un  foglio  di  calcolo  ):      modello  algebrico  :  sia  x    il  numero  di  anni  passa3  dal  2006  e  G  (  x  )  il  gas  residuo  nelle  riserve  .  Allora  :    

*A  par3re  dal  2007  e  considerando  che  il  consumo  di  gas  1993-­‐2006  è  stato  di  2,5  miliardi  di  metri  cubi  ogni  anno  in  media.  Questo  significa  che  ci  saranno  109,3  miliardi  di  metri  cubi  alla  fine  del  2006

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016Consumption 2,5 2,75 3,025 3,3275 3,66025 4,02628 4,4289 4,87179 5,35897 5,89487 6,48436Reserv es 109,3 106,55 103,525 100,198 96,5373 92,511 88,0821 83,2103 77,8513 71,9564 65,4721

11,111,15,23,109)(

1

−−

⋅−=+x

xG

modello  grafico:  

Attività 5: Uova di Pasqua - Soluzione

• Danielle  trova  23  uova.  Ne  trova  9  more  più  di  Chris  à  Chris  trova  23  +  9  =  14  uova.  

•  Jennie  trova  tante  uova  quante  Chris  e  Danielle  messi  insieme  à  Jennie  trova:  23+14  =  37  uova.  

 

Attività 6: Il vicinato - SoluzioneGli  unici  da3  disponibili  è  che  ci  sono  8  piani  nel  palazzo.  Perciò  devono  essere  faKe  delle  ipotesi  in  modo  da  semplificare  e  struKurare  la  situazione.    Trovare  un  intervallo  di  valori  entro  cui  si  trova  il  numero  di  persone  nel  palazzo  è  forse  un  approccio  migliore  rispeKo  a  quello  di  cercare  una    soluzione  unica.  •  L'immagine  mostra  una  struKura  regolare  geometrica  per  il  palazzo.  Sarebbe  ragionevole  supporre  che  ci  siano  4  appartamen3  su  ogni  

piano.  Ciò  significa  che  32  appartamen3  in  tuKo.  •  Inoltre,  informazioni  aggiun3ve  sulla  zona  in  cui  si  trova  il  palazzo  potrebbero  essere  molto  u3li.  Per  esempio,  se  è  in  una  zona  dove  

normalmente  gli  appartamen3  sono  completamente  occupa3  o  se  è  in  una  zona  dove  ci  sono  mol3  appartamen3  vuo3.  Anche  la  struKura  sociale  della  zona  potrebbe  essere  importante:  per  esempio,  se  ci  sono  giovani,  anziani,  giovani  famiglie,  immigra3  ...  Altre  informazioni  sociali,  come  il  probabile  numero  di  membri  di  una  famiglia  o  la  percentuale  di  persone  che  vivono  da  sole,  potrebbe  essere  u3le  e  può  essere  trovato  su  Internet.  

•  La  s3ma  più  bassa  potrebbe  essere  0.  Il  valore  più  alto  è  difficile  da  s3mare,  ma  non  è  usuale  che  più  di  6-­‐8  persone  vivano  nello  stesso  appartamento  e  questo  porta  a  trovare  un  intervallo  di  valori  tra  192-­‐256  persone.  

 Una  s3ma  realis3ca  dovrebbe  includere  le  persone  che  vivono  da  sole  (  1  persona  ),  le  giovani  famiglie  (senza  figli  )  o  famiglie  anziane  (figli  e  /o  figlie  non  vivono  più  con  loro  )  (  2  persone  )  e  le  famiglie  medie  (4-­‐6  persone)  .  Per  esempio  ,  se  metà  degli  appartamen3  sono  occupa3  da  famiglie  medie,  un  quarto  famiglie  membri  e  un  quarto  da  parte  di  persone  che  vivono  da  sole  ,  ci  sarà  tra  88  e  120  .  Uso  dei  parametri  ,  se  f  sono  le  famiglie  medie  (  4  membri  ),  una  delle  persone  che  vivono  sole  e  T  le  due  famiglie  aderen3,  la  quan3tà  totale  di  persone  che  vivono  in  appartamento  può  essere  rappresentato  dalla  espressione  algebrica  

( ) taftafT 24,, ++=

Criteri di classificazione di un problema

Classificazione - Contesto dell’attività

Classificazione - Conoscenza disciplinare

Classificazione - Soluzioni attese

Classificazione - Le caratteristiche �della soluzione