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li

Modelli

Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali

a.a. 2007-2008Laurea in Ingegneria Gestionale

Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica

Prof.ssa: Chiara Mocennihttp://www.dii.unisi.it/~mocenni/mgsa-teach-07-

08.html

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Modelli e sistemi

Sistema: è un complesso normalmente costituito di più

elementi interconnessi, in cui si possono distinguere

grandezze soggette a variare nel tempo (variabili).

Solitamente l’evoluzione di alcune variabili dipende da

altre variabili, per cui parleremo di ingressi (cause) ed

uscite (effetti).

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li Modello matematico (di un sistema): è un insieme di

equazioni e di parametri che permettono di determinare

(in modo approssimato) gli andamenti nel tempo delle

uscite noti quelli degli ingressi.

E’ di fondamentale importanza trovare il giusto

compromesso tra precisione e semplicità del modello.

S M

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Motivazioni

Definire un problemaOrganizzarne lo studioComprendere dati che si sono raccoltiFare previsioni sul problema basandosi sul

modello

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classificazione

conoscenze

dat

i d

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ili

AnalisiStatistica

ModelliDeterministicisemplificati

ModelliStocastici

ModelliDeterministici

complessi

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li Modelli Statistici. Dati disponibili ma raccolti in modo non finalizzato. Scarsa conoscenza sul sistema. Classificazione.

Modelli Stocastici. Serie storiche di dati disponibili. Strumento operativo che riproduca al meglio l’andamento osservato dell’uscita, utilizzando dati di ingresso misurati. Causa-effetto. Separare la parte predicibile da quella stocastica. Previsioni.

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li Modello deterministico semplificato. Buona conoscenza sui meccanismi che stanno alla base del fenomeno. Mancanza della convenienza a procedere verso un modello più complesso.

Modello deterministico complesso. Stadio più avanzato della modellistica. Conoscenza profonda sulla fisica del sistema.

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Scatola Nera Scatola Grigia Fisici

Classi di Modelli

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Obiettivi

ControlloAnalisiPredizione

Scelta della classe di modelliScelta dei segnali di ingressoScelta dei segnali di uscita

Scelte fondamentali

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Statici / Dinamici

Lineari / Non Lineari

Tempo Continuo / Discreto

Parametri Concentrati / Distribuiti

Tipologia dei modelli

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Modelli statici

La dipendenza tra ingressi e uscite è istantanea, cioè gli ingressi presenti hanno influenza solo sulle uscite presenti. La storia passata del sistema non influenza lo stato presente (relazione algebrica ingressi-uscite).

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liEsempio.Confluenza fra due canali

Q1, C1

Q2, C2

Qv, Cv

Bilancio di portate

Qv = Q1 + Q2 Bilancio delle

sostanze disciolte

Qv Cv = Q1 C1 + Q2 C2

Segue

Cv = (Q1 C1 + Q2 C2) / (Q1 + Q2 )

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Modelli dinamici

Si introduce il concetto di stato del sistema: variabili interne che tengono conto della storia passata del sistema. Il legame tra ingresso e uscita non è istantaneo, ma è mediato dalle variabili di stato.

Un sistema dinamico è composto da una relazione ingresso-uscita (senza memoria) e da un termine di aggiornamento dello stato (con memoria).

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I sistemi lineari

Definizione interna (ingresso-stato-uscita)

u(t) = [u1(t),…um(t)]T = ingresso all’istante t

x(t) = [x1(t),…xn(t)]T = stato all’istante t

y(t) = [y1(t),…yp(t)]T = uscita all’istante t

Sistema a tempo continuo: t numero reale

Sistema a tempo discreto: t numero intero

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Sistema continuo (scrittura matriciale)

Sistema discreto (scrittura matriciale)

A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm) matrici reali.

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Osservazioni

La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente l’uscita y(t). (trasformazione di uscita)

La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente la derivata dx/dt e x(t+1). (equazioni di stato)

La conoscenza dello stato all’istante t = 0 permette di determinare univocamente lo stato e l’uscita del sistema nel futuro. Infatti, noti x(0) e u(t) per t 0, le equazioni di stato permettono di calcolare univocamente x(t) per t 0.

Conoscere lo stato del sistema ad un istante di tempo significa, quindi, poter dimenticare tutta la storia passata del sistema senza per questo inficiare la possibilità di determinare l’evoluzione futura del sistema. Lo stato è una variabile interna del sistema.

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Il n. di equazioni è l’ordine del sistema;

Se non c’è ingresso il sistema si dice autonomo

Sistema continuo (scrittura estesa)

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li Particolarmente studiati sono i sistemi propri (D=0) ad un ingesso ed una uscita, cioè descritti da una terna (A,b,cT), o, analogamente, dalle equazioni:

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li

MODELLI ARMA

Possiamo definire un sistema dinamico lineare a tempo continuo come un ente le cui coppie ingresso-uscita (u(¦),y(¦)) sono tra loro legate da un’equazione differenziale lineare di ordine n, del tipo

(u(i) e u(i) denotano la derivata i-esima).

definizione esterna

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Sistemi discreti

che, risolta rispetto a y, dice che in ogni istante di tempo t l’uscita y di un sistema lineare è la somma di una combinazione lineare delle ultime n uscite (termine autoregressivo - AR) e di una combinazione lineare degli ultimi n+1 ingressi (media mobile - MA).

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Sinteticamente:Un modello ARMA può essere descritto dalla relazione:

dove i polinomi

rappresentano operatori applicati alle funzioni u e y. L’operazione che rappresenta la loro applicazione è una differenziazione (tempo continuo, p=s) o una anticipazione (tempo discreto, p=z).

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Modelli ridotti

In generale un modello ARMA non ridotto è della forma (N(s),D(s)) con

N(s)=q(s)r(s)n(s) D(s)=q(s)r(s)d(s)dove i polinomi n(s) e d(s) sono coprimi e il modello ARMA ridotto è individuato dalla coppia di polinomi (r(s)n(s),r(s)d(s)).Modello ARMA di trasferimento (n,d) è definito dalla funzione di trasferimento

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liMovimento, traiettoria, cicli ed equilibri

Fissato lo stato iniziale x(0) e l’ingresso u(t) per t¸0 le equazioni di stato ammettono un’unica soluzione x(t) per t¸0 (il fatto è evidente per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo è conseguenza di risultati classici sull’esistenza e unicità della soluzione delle equazioni differenziali ordinarie).

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li

La funzione x(¦) si chiama movimento, mentre l’insieme {x(t), t¸0} nello spazio di stato Rn si chiama traiettoria o orbita.

x1

x2

x(0)

tx

0 x1

x2

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

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li Una traiettoria puo’ passare piu’ volte dallo stesso punto x in istanti di tempo diversi. Nel caso in cui anche i vettori tangenti siano diversi in quel punto, allora

Ax+Bu(t1) Ax+Bu(t2)

che implica

Bu(t1) Bu(t2)

Ne consegue che tale condizione non può essere verificata se l’ingresso è costante.

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li

Può anche capitare che il movimento x(¦) corrispondente ad un particolare stato iniziale x(0) e ad una particolare funzione di ingresso u(¦) sia periodico di periodo T, cioè

x(t) = x(t+T) 8tIn questo caso la traiettoria risulta essere una linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa ogni unità T di tempo.

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li Poiché se x è periodico anche lo è, segue che Ax(t)+Bu(t) = Ax(t+T)+Bu(t+T) 8t, e quindi Bu(t) = Bu(t+T) 8t. Ciò significa che un ciclo può ottenersi soltanto con funzioni di ingresso particolari.Un sistema si dice in regime periodico se ingresso e stato, e quindi anche uscita, sono funzioni periodiche di periodo T. La traiettoria chiusa nello spazio di stato si chiama ciclo. I cicli ottenuti da ingressi periodici si dicono forzati, quelli ottenuti da ingressi costanti si dicono autonomi.

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Un sistema lineare si dice in regime stazionario (o all’equilibrio) se ingresso e stato e, quindi anche uscita, sono costanti.

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Linearizzazione

Lo studio di un fenomeno descritto da una funzione non lineare y=f(x) viene spesso effettuata facendo variare x nell’intorno di un punto di equilibrio , e approssimando f con la funzione lineare

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Da un punto di vista analitico, ciò equivale ad aver sviluppato f(x) in serie di Taylor nell’intorno del punto e nell’aver poi trascurato i termini dello sviluppo in serie a partire da quello quadratico.

La metodologia può essere estesa allo studio dei sistemi dinamici non lineari a tempo continuo e discreto.

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Sia una soluzione di equilibrio del sistema

Si possono allora sviluppare in serie di Taylor le funzioni f e g nell’intorno del punto di equilibrio.

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Ponendo

e tenendo conto che all’equilibrio

le equazioni di stato diventano

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Mentre la trasformazione di uscita diventa

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li Se si trascurano i termini di ordine superiore al primo nello sviluppo in serie si ottiene un sistema lineare detto sistema linearizzato.

La matrice

che contiene tutte le derivate delle funzioni f rispetto alle variabili di stato, viene detta Jacobiano del sistema. Essa riveste un ruolo fondamentale nell’analisi di stabilità.

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Stabilità

Un sistema lineare è asintoticamente stabile se e solo se per ogni suo ingresso esiste uno stato di equilibrio verso cui lo stato x(t) tende qualsiasi sia lo stato iniziale x(0).

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Classificazione dei sistemi lineari

Consideriamo, per semplicità un sistema disaccoppiato

ad esempio del tipo

NB. In questo caso x e y sono entrambi stati del sistema e y non è l‘uscita.

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La soluzione di questo sistema radicata in x(0)=x0 e y(0)=y0 è

x(t)=x0eat

y(t)=y0e-t

Cioè y decade esponenzialmente. Che cosa succede a x?

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a<0 anche x decade esponenzialmente e tutte le traiettorie convergono verso l’origine. La velocità e la direzione con cui converge dipendono da a paragonato a -1. a<-1 x decade più velocemente di y. (nodo stabile) a=-1 x e y decadono con la stessa velocità (stella, nodo

simmetrico) -1<a<0 y decade più velocemente di x (nodo stabile)

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a=0 x(t)=x0. (linea di punti fissi).

a>0 l’equilibrio diventa instabile perché x(t) diverge. Abbiamo una direzione stabile ed una instabile. (sella).

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In generale

Consideriamo gli autovalori 1 2 della matrice A in un sistema lineare autonomo. Si possono presentare i casi seguenti:

2< 1< 0 autovalori reali

Le traiettorie tendono asintoticamente verso il punto di equilibrio.

Sono tangenti alla direzione lenta quando tendono all’origine (t! 1) e parallele alla direzione veloce quando t! – 1

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li 1 2 complessi coniugati Immaginari puri (Re()=0) Centro. Soluzione neutralmente stabile in quanto le traiettorie non vengono né attratte, né respinte.Immaginari (Re()0) Spirale. La soluzione del sistema è

ed, essendo gli autovalori complessi, è una combinazione lineare di etcos(t), etsin(t). A seconda del valore di le oscillazioni crescono o decrescono.

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1 = 2 autovalori coincidentiAutovettori linearmente indipendenti cioè generano lo spazio. Se 0 si ha una stella Se invece = 0 lo spazio è riempito di punti fissi.Autovettori linearmente dipendenti c’è un unico autovettore, l’autospazio associato è monodimensionale. Si ha un nodo degenere.

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SELLE

PUNTI FISSI NON ISOLATI

NODISTABILI

SPIRALISTABILI

SPIRALIINSTABILI

NODIINSTABILI

STELLE,NODI DEGENERI

CENTRI