Modelli matematici della eccitabilit`a...

Alma Mater StudiorumUniversita degli Studi di Bologna

Facolta di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Tesi di Laurea in Bioingegneria III

Modelli matematici della

eccitabilita cellulare

Candidato: Relatore:

Antonio Guidotti Chiar.mo Prof. Silvio Cavalcanti

Anno Accademico 2004/2005 - Sessione III

.

a Luca e Claudia

Indice

Indice 5

Introduzione 11

1 Fisiologia della membrana cellulare 13

1 Genesi ed evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Nascita della cellula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Evoluzione del modello strutturale . . . . . . . . . . . 15

2 Modello a mosaico di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Il doppio strato lipidico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Proteine di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Struttura delle proteine transmembrana . . . . . . . . 22

3 Il trasporto di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Trasporto senza attraversamento della membrana . . . 24

3.2 Trasporto attraverso la membrana . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Osmosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Filtrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Trasporto mediato da proteine . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Proteine trasportatrici e trasporto attivo di

membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 La pompa di membrana Na+-K+ . . . . . . . 31

3.3.3 La pompa di membrana Ca2+ . . . . . . . . . 33

3.3.4 Trasporto mediante gradienti ionici . . . . . . 33

3.4 Canali ionici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Proprieta elettriche di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Indice

4.1 Potenziale di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Equazione di Nernst ed equilibrio di Gibbs-Donnan . . 36

2 Le cellule nervose e muscolari 39

1 Struttura dei neuroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Potenziale d’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2 Generazione degli impulsi nervosi . . . . . . . . . . . . 40

1.2.1 Canali ionici regolati dal voltaggio . . . . . . 44

1.2.2 Canali ionici regolati da trasmettitori . . . . . 47

1.2.3 Giunzioni gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Propagazione dei segnali nervosi . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1 Velocita di conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 Risposta agli stimoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Potenziale di recettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Le cellule muscolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Struttura dei motoneuroni . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Struttura della cellula muscolare del muscolo scheletrico 63

3.3 La trasmissione neuromuscolare . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 La contrazione muscolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Il muscolo liscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Il muscolo cardiaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.7 Le basi ioniche della depolarizzazione rapida . . . . . . 87

3.7.1 Fase 0: genesi della depolarizzazione rapida . 87

3.7.2 Fase 1: genesi della ripolarizzazione precoce . 90

3.7.3 Fase 2: genesi del plateau . . . . . . . . . . . 90

3.7.4 Fase 3: genesi della ripolarizzazione finale . . 93

3.7.5 Fase 4: ripristino delle concentrazioni ioniche . 93

3.8 Basi ioniche delle risposte lente . . . . . . . . . . . . . 94

3.9 Conduzione nelle fibre cardiache . . . . . . . . . . . . . 94

3.10 Eccitabilita cardiaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.11 Effetti della lunghezza del ciclo . . . . . . . . . . . . . 98

3.12 Eccitazione naturale del cuore . . . . . . . . . . . . . . 98

Indice 7

3 Modelli matematici della eccitabilita cellulare 111

1 Modelli di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.1 Modello a condensatore elettrico . . . . . . . . . . . . . 111

1.2 Termodinamica della membrana . . . . . . . . . . . . . 112

1.3 Energia libera di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.4 Potenziale di Nernst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.5 Equazione di Nernst-Plank . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2 Il modello di Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1 La conduttanza del potassio . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.2 La conduttanza del sodio . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.3 Riassunto delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.4 Analisi qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.4.1 Il piano delle fasi veloce . . . . . . . . . . . . 131

2.4.2 Il piano delle fasi veloce-lento . . . . . . . . . 133

3 Il modello di FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.1 Andamento nel piano delle fasi . . . . . . . . . . . . . 140

4 Modelli delle cellule cardiache . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.1 Le fibre di Purkinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1.1 Il modello di Noble . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.1.2 Il modello McAllister-Noble-Tsien . . . . . . . 147

4.2 Il nodo seno atriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2.1 Il modello di Yanagihara . . . . . . . . . . . . 150

4.3 Le cellule ventricolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.3.1 Il modello di Beeler-Reuter . . . . . . . . . . 152

4.3.2 Il modello di Ebihara-Johnson . . . . . . . . . 155

4.3.3 Il primo modello di Luo-Rudy . . . . . . . . . 156

4.3.4 Il secondo modello di Luo-Rudy . . . . . . . . 162

4.3.5 Il modello di Zeng . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.3.6 Il modello di Viswanathan . . . . . . . . . . . 173

4.3.7 Il modello di Faber . . . . . . . . . . . . . . . 174

5 I modelli Markoviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Discussioni conclusive 183

8 Indice

A Esempio di codice MATLAB 185

1 Il modello di Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

2 Il modello di FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3 Il modello di Luo-Rudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Bibliografia 207

Rigraziamenti

In primo luogo e per me doveroso ringraziare il professor Silvio Cavalcanti

per l’attenzione, la pazienza e la disponibilita che mi ha sempre dimostrato

durante la preparazione del presente lavoro.

Un grosso ringraziamento va anche ai miei genitori e a mia sorella che mi

hanno sostenuto durante tutta la durata degli studi, ed un grazie altrettanto

sentito alla mia famiglia attuale, Claudia ed il piccolo Luca, probabilmente

il mio piu grande supporter.

Impossibile dimenticare tutti coloro, amici universitari e non, che in qualsiasi

modo mi hanno aiutato in tutti questi anni, ma altrettanto impossibile risulta

per me elencarli tutti: anche a loro va tutta la mia gratitudine.

Introduzione

La cellula (dal latino cella, cioe stanza) e l’elemento base del materiale vivente

ed e sempre stata oggetto di importanti studi scientifici: come il nome stesso

suggerisce, essa e dotata di “pareti” che ne fanno una entita a parte, ma ha

anche la capacita di interagire con altre cellule, cosı come le stanze hanno

porte per essere collegate ad altri ambienti. In particolare le cellule eccitabili

della maggior parte degli esseri viventi possiedono meccanismi caratteristici

per interagire tra di loro, in special modo per scambiarsi delle informazioni:

spesso questi metodi sono complessi e molti di essi sono tuttora sconosciuti.

Nonostante tali difficolta molteplici sono stati gli sforzi per produrre model-

li matematici, necessariamente semplificati, in grado di riprodurre in modo

quantitativo le osservazioni sperimentali ed in grado di dare una spiegazione

qualitativa di alcuni fenomeni, tra cui la trasmissione intracellulare: questi

modelli sfruttano l’analogia elettrica e rappresentano con tensioni e correnti

le proprieta della cellula, fanno riferimento ad elementi elettrici discreti ed

hanno lo scopo di comprendere le cause di alcune disfunzioni a carico delle

cellule e di studiare eventuali terapie. Questo lavoro vuole essere una de-

scrizione dello “stato dell’arte” di questi modelli matematici, esaminando i

principali risultati ottenuti in piu di mezzo secolo di studi di questo tipo.

Nel primo capitolo viene affrontato lo studio della membrana cellulare, li-

nea di confine tra la cellula ed il mondo esterno ad essa, analizzando le sue

caratteristiche prevalentemente da un punto di vista fisiologico e mostrando

quindi la sua struttura generale.

Nel secondo capitolo vengono trattati, sempre da un punto di vista prevalen-

temente fisiologico, i vari meccanismi con i quali la cellula scambia informa-

zioni con l’esterno attraverso la membrana cellulare, differenziando i diversi

scopi e comportamenti che assumono le cellule neuronali, le cellule sensoriali

12 Introduzione

e le cellule muscolari, in particolare quelle del muscolo cardiaco.

Infine il terzo capitolo descrive da un punto di vista matematico le proprieta

della membrana cellulare e delle cellule eccitabili in generale, fornendo tal-

volta anche un modello elettrico rappresentativo del comportamento delle

tensioni e correnti in gioco.

L’appendice contiene alcuni esempi di come questi modelli possano essere

implementati tramite un linguaggio di programmazione ed essere riprodot-

ti su un elaboratore elettronico: in questo caso sono stati realizzati alcuni

programmi tramite l’uso del software MATLAB1.

1MATLAB e un prodotto MathWorks, Inc.

Capitolo 1

Fisiologia della membrana

cellulare

Ogni essere vivente e costituito da cellule, piccoli compartimenti delimitati da

una membrana e costituiti da una soluzione acquosa nella quale sono disciolti

elementi chimici. Si pensa che tutte le cellule siano derivate da una unica

progenitrice comune in seguito ad un processo di evoluzione per selezione

naturale, che prevede il verificarsi di una variazione casuale dell’informazione

genetica passata da un individuo ai suoi discendenti e di una selezione che

favorisca la sopravvivenza di quelli piu forti.

In questo capitolo si analizzera la struttura della membrana cellulare.

1 Genesi ed evoluzioneIn questa prima sezione verranno analizzate le teorie relative alla nascita delle

prime cellule viventi a partire da molecole semplici e l’evoluzione dei modelli

di membrana dalla fine del 1800 ai tempi piu recenti.

1.1 Nascita della cellulaLe condizioni esistenti sulla Terra nei primi miliardi di anni della sua esisten-

za sono ancora oggetto di disputa, tuttavia la maggior parte degli studiosi

sembra essere d’accordo sul fatto che il nostro pianeta fosse soggetto ad eventi

piuttosto violenti quali eruzioni vulcaniche, lampi e piogge torrenziali; inoltre

probabilmente l’ossigeno libero era molto raro e lo strato d’ozono inesistente,

per cui le radiazioni solari non erano schermate. Si ritiene che tali radiazioni,

con il loro effetto fotochimico, possano aver contribuito a mantenere l’atmo-

sfera ricca di molecole reattive e lontana dall’equilibrio chimico.

14 Fisiologia della membrana cellulare

E probabile che in tali condizioni si siano prodotte semplici molecole organi-

che, cioe contenenti carbonio, e tale ipotesi e suffragata da esperimenti fatti

in laboratorio. Se si scaldano miscele di gas come CO2, CH4, NH3 e H2 in-

sieme ad acqua e si fornisce energia tramite scariche elettriche o radiazioni

ultraviolette, si puo notare la formazione di poche specie di piccole molecole

organiche, alcune delle quali fanno parte di quasi tutte le classi principali

costituenti la cellula, come ad esempio gli zuccheri e gli amminoacidi. Questi

ultimi in particolare si possono associare per formare polimeri chiamati poli-

peptidi che aggregandosi a loro volta formano le proteine. Non e chiaro come

si possano essere formati i primi polimeri, se in seguito a riscaldamento di

composti organici privi di acqua o per l’attivita catalitica di polifosfati inor-

ganici o minerali grezzi, ma in laboratorio si ottengono polimeri di lunghezza

variabile in cui la presenza di un particolare amminoacido e casuale.

L’origine della vita richiede che in tale vasto assortimento di molecole ce

ne siano state alcune con la capacita di favorire reazioni che portassero al-

la produzione di altre molecole dello stesso catalizzatore, creando cosı un

processo di autopromozione che per potersi sostenere ha dovuto sottrarre

materiale grezzo dall’ambiente circostante competendo con altre molecole.

Probabilmente questo processo ha portato alla formazione di una membrana

che delimita un compartimento atto a contenere le proteine prodotte dalla

stessa cellula.

Le funzioni della membrana cellulare possono essere cosı sintetizzate:

• isolamento fisico: la membrana e una barriera fisica che separa l’interno

della cellula dal fluido extracellulare;

• regolazione degli scambi con l’ambiente esterno: la membrana controlla

l’entrata di ioni e di sostanze nutrienti, l’eliminazione dei rifiuti e la

liberazione di prodotti secretori;

• sensibilita: la membrana e a contatto con il fluido extracellulare e

tramite i recettori consente alla cellula di riconoscere e reagire con

determinate molecole presenti in esso;

• supporto strutturale: connessioni specializzate tra le membrane cellulari

o tra la membrana ed i materiali extracellulari conferiscono ai tessuti

una struttura stabile.

1.1.2 Evoluzione del modello strutturale 15

1.2 Evoluzione del modello strutturaleAnche i modelli di struttura della membrana cellulare hanno avuto una loro

evoluzione, grazie soprattutto all’introduzione di strumenti tecnologici quali

i microscopi elettronici a trasmissione e a scansione, che hanno migliorato la

qualita delle osservazioni che fino agli anni ’50 venivano realizzate unicamen-

te con il microscopio ottico.

Gia nel 1895 Overton1 scoprı quasi accidentalmente alcune proprieta della

membrana. Infatti, per completare i suoi studi di botanica ha avuto necessita

di trovare sostanze prontamente assorbibili da cellule vegetali, scoprendo che

la capacita di una sostanza di passare attraverso la membrana era legata alla

sua natura chimica. In particolare osservo che le sostanze non polari passa-

vano piu velocemente all’interno della cellula, contro la credenza del tempo

secondo la quale solo l’acqua poteva attraversare la membrana. In base ai

suoi studi sulle proprieta di varie molecole di passare la membrana, pubblico

un’ipotesi preliminare secondo la quale ci dovevano essere alcune somiglian-

ze tra la membrana cellulare e i lipidi, come ad esempio l’olio di oliva, e che

certe molecole come i lipidi stessi entrassero nella cellula per una sorta di

“dissoluzione” nei lipidi della membrana stessa.

Successivamente Langmuir2 dimostro che gli acidi grassi dissolti in benzene e

posti in piccole quantita in soluzioni acquose molto vaste tendono dapprima

a disporsi in un piano monomolecolare e non esercitano alcuna pressione nella

direzione parallela alla loro superficie finche non arrivano a formare una pelli-

cola monodimensionale nella quale si sistemano in posizione verticale. In tale

posizione gli acidi grassi si dispongono con il gruppo carbossilico in contatto

con la superficie dell’acqua e con la catena idrocarburica in direzione opposta.

Nel 1925 Gorter e Grendel3, studiando i cromociti prelevati da arterie o vene,

in seguito separati dal plasma mediante diversi lavaggi con soluzione salina,

e successivamente trattati con grandi quantita di acetone puro, ottennero

1E.Overton (1895) Uber die osmotischen Eigenschaften der lebenden Pflanzen undThierzelle Vierteljahrsschr.Naturforsch.Ges.Zurich 40:159-201

2I.Langmuir (1917) The constitution and fundamental properties of solids and liquids.II. Liquids J.Am.Chem.Soc. 39:1848-1906

3E.Gorter, F.Grendel (1925) On bimolecular layers of lipoids on the chromocytes of theblood J.Exp.Med. 41:439-443


un numero di lipidi che e esattamente quello necessario per ricoprire la su-

perficie totale delle cellule del sangue originarie con uno spessore pari a due

molecole. Inoltre un successivo trattamento con etere o benzene e in grado di

estrarre solamente piccole tracce di sostanza lipoide. Essi giunsero quindi alla

conclusione che il numero dei lipidi era sufficiente a formare un doppio strato.

Una decina di anni dopo Danielli e Davson4 proposero un modello di super-

ficie cellulare che consisteva in una sottile pellicola lipidica, con uno strato

proteico adsorbito su di essa, che e in grado di distinguere tra molecole di

misura, solubilita e valenza ionica differente. Alla base di questo modello

proposero un comportamento a sali antagonisti, in cui gli ioni con maggio-

re solubilita tendono a crescere la permeabilita all’acqua e la loro azione

e contrastata da ioni aventi minore solubilita; questo grado di solubilita e

proporzionale alla valenza degli ioni stessi, in generale maggiore e la valenza

dello ione e maggiore sara il suo effetto di riduzione di permeabilita all’acqua.

Inoltre dedussero che un alto coefficiente di temperatura del tasso di pene-

trazione di sostanze a lenta velocita di ingresso nella cellula non coinvolge

alcuna reazione chimica.

Nel 1972 Singer e Nicolson5 studiarono diversi modelli di organizzazione

strutturale di membrana in termini di termodinamica dei sistemi macro-

molecolari, e conclusero che una struttura a mosaico che alterna proteine

globulari e doppio strato lipidico e l’unico modello di membrana tra quelli

da loro analizzati che e contemporaneamente consistente con le restrizioni

termodinamiche e con tutti i dati sperimentali a loro disposizione. In parti-

colare il mosaico sembra essere un fluido dinamico che per molti scopi puo

essere pensato come una soluzione viscosa orientata ed a due dimensioni.

Tuttora questo modello e quello maggiormente utilizzato, e verra spiegato

nei paragrafi seguenti.

4J.F.Danielli, H.Davson (1935) A contribution to the theory of permeability of thin filmsJ.Cell.Comp.Physiol. 5:495-508

5S.J.Singer, G.L.Nicolson (1972) The fluid mosaic model of the structure of cellmembranes Science 175:720-731

1.2 Modello a mosaico di membrana 17

2 Modello a mosaico di membranaNonostante le cellule biologiche abbiano funzioni diverse, le loro membrane

hanno una struttura generale comune: ciascuna di esse e una pellicola molto

sottile di molecole lipidiche e proteiche, unite prevalentemente da interazioni

non covalenti. La membrana cellulare e una struttura dinamica e fluida, e la

maggior parte delle molecole che la costituiscono sono in grado di muoversi

nel piano della membrana. Le molecole lipidiche sono disposte in un doppio

strato continuo spesso circa 5 nm, che prende il nome di doppio strato lipi-

dico. Le molecole proteiche sono “sciolte” in questo doppio strato e mediano

la maggior parte delle altre funzioni della membrana, per esempio traspor-

tando molecole specifiche attraverso di essa, catalizzando reazioni associate

alla membrana, fungendo da struttura di connessione con il citoscheletro o

cellule adiacenti o anche da recettori per individuare o trasdurre segnali chi-

mici all’interno della cellula. Nella figura 1.16 e rappresentato tale modello

a mosaico. La struttura della membrana cellulare e asimmetrica, in quanto

Figura 1.1: Modello a mosaico della membrana cellulare

la composizione in lipidi e proteine della faccia interna e di quella esterna

differiscono in base alle diverse funzioni svolte.

2.1 Il doppio strato lipidicoLe molecole lipidiche sono insolubili in acqua ma si sciolgono facilmente in

solventi organici, e costituiscono il 50% circa della massa di quasi tutte le

membrane cellulari animali, mentre il resto e costituito quasi esclusivamente

6B.Alberts et al., Molecular Biology of the Cell, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books


da proteine. Tutte le molecole lipidiche della membrana cellulare sono an-

fipatiche, ovvero hanno una estremita idrofilica ed una idrofobica, come si

vede in figura 1.27; inoltre la maggior parte di esse e costituita da fosfolipidi,

formati da una testa polare e due code idrofobiche. Le code sono in generale

acidi grassi che contengono di solito 12 o 24 atomi di carbonio: normalmente

una coda ha uno o piu legami cis (cioe e insatura), mentre l’altra non ne ha

(cioe e satura), inoltre possono essere di lunghezza diversa. Queste differenze

di saturazione e di lunghezza sono importanti perche influenzano la capacita

delle molecole fosfolipidiche di compattarsi, e di conseguenza la fluidita della

membrana. La forma e la natura anfipatica delle molecole lipidiche favorisce

Figura 1.2: Struttura della molecola fosfolipidica

la loro disposizione in doppi strati in soluzioni acquose: quando esse sono

circondate da acqua tendono infatti ad aggregarsi in modo da racchiudere le

code idrofobiche all’interno e le teste idrofiliche vengono esposte all’acqua.

Questo processo puo portare alla formazione di micelle sferiche con le code

rivolte verso l’interno, o doppi strati con le code idrofobiche racchiuse tra i

gruppi di teste idrofiliche. A motivo della loro forma cilindrica, i fosfolipidi

di membrana in ambienti acquosi formano spontaneamente doppi strati che

tendono a chiudersi su loro stessi per formare compartimenti sigillati, elimi-

nando cosı bordi liberi nei quali le code idrofobiche sarebbero a contatto con

l’acqua.

In aggiunta a questa proprieta di autosigillamento, la membrana possiede an-


1.2.1 Il doppio strato lipidico 19

che quella della fluidita, cruciale per molte delle sue funzioni. Studi su doppi

strati lipidici sintetici hanno dimostrato che i fosfolipidi migrano molto rara-

mente da uno strato all’altro (processo denominato “flip-flop”), mentre cam-

biano facilmente posizione con i loro vicini all’interno di ogni singolo strato

e ruotano molto rapidamente attorno al loro asse maggiore; inoltre e stato

dimostrato che le catene idrocarburiche sono flessibili. I risultati ottenuti su

molecole lipidiche marcate in membrane biologiche isolate ed in cellule in-

tere semplici sono stati in genere gli stessi, dimostrando che la componente

lipidica e un liquido nel quale le molecole costituenti sono libere di muoversi

lateralmente. La fluidita del doppio strato lipidico dipende oltre che dalla

composizione anche dalla temperatura, in quanto la membrana abbassa il

suo punto di congelamento se le catene idrocarburiche sono brevi o hanno

doppi legami.

Quattro fosfolipidi principali predominano nella membrana plasmatica di

molte cellule di mammifero: fosfatidilcolina, sfingomielina, fosfatidilserina e

fosfatidiletanolammina, che insieme costituiscono in genere piu della meta

della massa dei lipidi; altri fosfolipidi, come gli inositol fosfolipidi, sono pre-

senti in quantita minori ma sono funzionalmente molto importanti, avendo

un ruolo cruciale nel processo di segnalamento cellulare.

Il doppio strato lipidico di molte membrane cellulari non e pero composto

soltanto da fosfolipidi, ma molto spesso anche da colesterolo e glicolipidi. In

particolare le molecole di colesterolo sono presenti in grandi quantita ed au-

mentano la proprieta di barriera permeabile del doppio strato lipidico, orien-

tandosi con i propri gruppi ossidrilici vicino alle teste polari delle molecole

fosfolipidiche: i loro anelli steroidi rigidi e piatti immobilizzano parzialmente

quelle regioni delle catene idrocarburiche piu vicine alle teste polari, facendo

diminuire la mobilita dei primi gruppi CH2, rendendo lo strato lipidico meno

deformabile in queste regioni e diminuendo la permeabilita a piccole molecole

solubili in acqua. L’alta concentrazione di colesterolo nella membrana rende

il doppio strato meno fluido, ma impedisce anche alle catene idrocarburiche

di avvicinarsi e cristallizzare, inibendo possibili transizioni di fase.

La composizione lipidica delle due parti del doppio strato lipidico e sorpren-

dentemente diversa, in quanto i fosfolipidi carichi negativamente si trovano


solitamente nel monostrato interno: questa asimmetria e funzionalmente im-

portante, in quanto particolari enzimi agenti all’interno della cellula necessi-

tano di queste molecole per attivarsi ed il processo di trasmissione di segnali

extracellulari all’interno e mediato da fosfolipidi presenti anch’essi nella fac-

cia citoplasmatica della membrana.

Le molecole lipidiche che mostrano l’asimmetria di distribuzione piu sor-

prendente sono quelle contenenti zuccheri, cioe i glicolipidi, che si trovano

esclusivamente nella parte esterna della membrana dove si pensa che si as-

socino in microaggregati formando fra loro legami idrogeno; rappresentano

circa il 5% dei lipidi del monostrato esterno, mentre i glicolipidi piu comples-

si, i gangliosidi, possono arrivare a costituire nelle cellule nervose fino al 10%

della massa lipidica totale e possiedono una carica netta negativa.

Sulle loro possibili funzioni esistono soltanto ipotesi: la loro posizione api-

cale fa supporre una finalita di protezione della membrana da condizioni

estreme, mentre la carica dei gangliosidi puo alterare il campo elettrico at-

traverso la membrana e la concentrazione degli ioni, in particolare Ca2+, sulla

superficie esterna; inoltre i glicolipidi possono avere anche un ruolo nell’iso-

lamento elettrico, poiche si e constatato che nella membrana mielinica che

isola elettricamente gli assoni dalle cellule nervose la parte esterna del doppio

strato contiene un’elevata quantita di questi lipidi. Altre osservazioni sugge-

riscono che i gangliosidi funzionano anche da recettori per normali molecole

extracellulari, e i glicolipidi possono aiutare le cellule a legarsi alla matrice

extracellulare e ad altre cellule.

2.2 Proteine di membrana

Sebbene la struttura base delle membrane biologiche sia costituita dal dop-

pio strato lipidico, la maggior parte delle funzioni specifiche e svolta dalle

proteine, che costituiscono circa il 50% in massa della membrana tipica ma

che per le loro dimensioni sono in rapporto di una ogni cinquanta molecole

lipidiche.

Proteine di membrana diverse sono associate con le membrane in modi diver-

si. Molte di esse si estendono attraverso il doppio strato lipidico, con parte

della loro massa su entrambi i lati; queste proteine transmembrana, come i

lipidi circostanti, sono di natura anfipatica, con le loro regioni idrofobiche che

1.2.2 Proteine di membrana 21

attraversano la membrana ed interagiscono con le code idrofobiche dei lipidi

del doppio strato, mentre le loro regioni idrofiliche sono esposte all’acqua su

uno dei due lati della membrana. L’idrofobicita di alcune di queste protei-

ne di membrana e accresciuta dal legame covalente con una catena di acido

grasso che e inserita nel foglietto citoplasmatico del doppio strato lipidico.

Altre proteine di membrana sono localizzate interamente nel liquido cellulare

Figura 1.3: Modi di associazione tra proteine di membrana e doppio strato lipidico

e sono associate al doppio strato soltanto per mezzo di una o piu catene di

acido grasso legate covalentemente o di altri tipi di catene lipidiche chiamate

gruppi prenici (esempio 5 della figura 1.38).

Esistono poi proteine di membrana esposte interamente alla superficie esterna

e unite al doppio strato solamente da legame covalente al fosfatidilinositolo

nel monostrato esterno della membrana (esempio 6 della figura 1.3).

Alcune proteine che non si estendono nell’interno idrofobico del doppio strato

lipidico sono legate ad una delle due facce della membrana mediante intera-

zioni non covalenti con altre proteine di membrana, e possono essere rilasciate

utilizzando procedimenti di estrazione relativamente blandi senza intaccare

il doppio strato (esempi 7 e 8 della figura 1.3).

In genere il modo in cui la proteina di membrana e associata al doppio strato

riflette la sua funzione, cosı solo le proteine transmembrana possono funzio-

nare su entrambe le facce del doppio strato, trasportare molecole attraverso

di esso o fungere da recettori, mentre proteine che funzionano su un solo lato



sono spesso associate esclusivamente al monostrato lipidico o al dominio pro-

teico posto sullo stesso lato, come alcune di esse legate alla parte citosolica

che sono coinvolte nella trasmissione di segnali intracellulari.

2.3 Struttura delle proteine transmembrana

Una proteina transmembrana ha in generale un orientamento unico nella

membrana, riflettendo l’asimmetria con cui e sintetizzata e inserita nel dop-

pio strato lipidico e le diverse funzioni dei suoi domini citoplasmatico e non

citoplasmatico, separati tra loro da segmenti della catena polipeptidica che

attraversano la membrana. Questa catena e composta in gran parte da ammi-

noacidi con catene laterali non polari e che contattano l’ambiente idrofobico

del doppio stato lipidico, inoltre tutti i legami peptidici nel doppio strato sono

spinti a formare legami idrogeno fra di loro. Questa formazione e massimiz-

zata se la catena polipeptidica forma una α-elica regolare mentre attraversa

il doppio strato, e questo si pensa sia il modo con il quale la maggior parte

dei segmenti di catena polipeptidica attraversano il doppio strato lipidico:

nelle proteine a passaggio singolo la catena lo attraversa una volta (esempio

1 della figura 1.3), mentre nelle proteine a passaggi multipli lo attraversa

molte volte (esempio 2 della figura 1.3).

Un modo alternativo con il quale i legami peptidici possono soddisfare la loro

necessita di formare legami idrogeno nel doppio strato lipidico consiste nel

disporre filamenti transmembrana multipli come un foglietto β a forma di

barile chiuso, detto anche barile β (esempio 3 della figura 1.3).

La forte spinta a massimizzare la formazione di legami idrogeno in assenza

di acqua implica che una catena polipeptidica che entra nel doppio strato

probabilmente passera completamente attraverso di esso prima di cambiare

direzione, poiche il ripiegamento della catena richiede una perdita di intera-

zioni ad idrogeno regolari.

Lo studio delle proteine transmembrana risulta difficoltoso in quanto sono

difficili da cristallizzare e le tecniche di cristallografia ai raggi X hanno con-

sentito di analizzarne soltanto alcune, comunque tecniche di sequenziamento

e di clonaggio del DNA hanno permesso di rilevare le sequenze amminoacidi-

che di molte proteine, dalle quali e possibile predire quali parti della catena si

estendono attraverso il doppio strato come α-elica. Segmenti che contengono

1.3 Il trasporto di membrana 23

20-30 residui amminoacidi con un alto grado di idrofobicita sono sufficiente-

mente lunghi da attraversare una membrana come α-elica, e possono essere

identificati per mezzo di determinate tecniche quali il grafico di idropatia,

mentre un numero di residui inferiore a dieci possono tranquillamente attra-

versare il doppio strato lipidico sotto forma di foglietto β esteso, per cui e

improbabile che la stessa strategia possa identificare i segmenti che attraver-

sano la membrana nella configurazione di barile β.

Come i lipidi di membrana anche le proteine non migrano attraverso il dop-

pio strato, ma possono ruotare attorno ad un asse perpendicolare al piano

del doppio strato stesso (diffusione rotazionale) e molte di esse sono capaci

di muoversi lateralmente nella membrana (diffusione laterale). E stato anche

dimostrato che molte cellule sono in grado di immobilizzare specifiche pro-

teine di membrana e di confinare sia proteine che lipidi entro domini specifici

del doppio strato lipidico continuo, probabilmente per motivi funzionali.

Le proteine di membrana, di regola, non sporgono nude all’esterno della cel-

lula ma sono rivestite da carboidrati, che sono presenti sia come catene oligo-

saccaridiche legate covalentemente alle proteine di membrana (glicoproteine)

ed ai lipidi (glicolipidi) che come catene polisaccaridiche di molecole di proteo-

glicani integrali di membrana. Questi ultimi sono costituiti da lunghe catene

polisaccaridiche legate covalentemente ad un nucleo proteico che si estende

attraverso il doppio strato lipidico oppure e attaccato ad esso tramite un’an-

cora di glicosilfosfatidilinositolo. Il ruolo principale di questo rivestimento

cellulare sembra essere quello di protezione contro il danneggiamento mec-

canico e chimico e di mantenimento a distanza di oggetti estranei ed altre

cellule, anche se studi piu recenti hanno evidenziato funzioni di riconosci-

mento e mediazione di processi temporanei tra cellule.

3 Il trasporto di membranaLe membrane biologiche fungono da barriere di permeabilita: la maggior par-

te delle molecole presenti nei sistemi viventi possiede un’alta solubilita in

acqua ed una bassa solubilita nei solventi non polari, per cui risulta poco

solubile nel mezzo non polare presente all’interno del doppio strato lipidico.

Questa barriera di permeabilita consente a molte sostanze di mantenere la


concentrazione citoplasmatica molto diversa da quella extracellulare, tutta-

via la membrana cellulare e anche permeabile a molte sostanze, in quanto il

passaggio di molecole importanti ha un ruolo fondamentale per la vita della

cellula. Alcuni esempi sono rappresentati dall’assunzione di molecole nutri-

tive, dall’eliminazione dei prodotti di rifiuto, dalla liberazione di molecole

secrete dalla cellula stessa. In alcuni casi le molecole si muovono da un lato

all’altro della membrana senza che si verifichi un vero e proprio passaggio at-

traverso di essa, in altri casi le molecole attraversano la membrana passando

attraverso di essa o tra le molecole che la costituiscono, tramite meccanismi

che si andranno ad analizzare nei paragrafi seguenti.

3.1 Trasporto senza attraversamento della membrana

Lo scambio tra l’ambiente interno della cellula ed il liquido extracellulare

senza trasporto transmembranario puo avvenire principalmente tramite en-

docitosi ed esocitosi. L’endocitosi e il meccanismo che permette l’ingresso

di materiale nella cellula ed include la fagocitosi (assunzione di materiale

particolato) e la pinocitosi (assunzione di molecole solubili). Talvolta sono

interessate dall’endocitosi particolari regioni della membrana cellulare, la cui

superficie interna e rivestita da strutture filamentose costituite prevalente-

mente da una proteina chiamata clatrina.

La clatrina e formata da tre catene polipeptidiche grandi e tre piccole che

insieme formano composti a tre braccia chiamati trischelio, che si assemblano

in una struttura convessa a canestro di esagoni e pentagoni formando fosset-

te rivestite sulla superficie citoplasmatica della membrana. Le macromolecole

che devono essere assunte vengono riconosciute e legate a specifici recettori di

superficie complementari (proteine transmembrana), si accumulano nelle fos-

se rivestite ed entrano nella cellula come complessi recettori-macromolecole

in vescicole rivestite di clatrina, che si distaccano dal loro compartimento

originale con un processo chiamato gemmazione, formando le vescicole di

membrana come indicato nella figura 1.49. Si pensa che la formazione di una

gemma rivestita di clatrina sia determinata da forze generate dall’assemblag-

gio delle proteine di rivestimento sulla superficie citosolica della membrana,

anche se non si conosce che cosa dia inizio al processo di assemblaggio in una


1.3.2 Trasporto attraverso la membrana 25

Figura 1.4: Processo di endocitosi

zona della membrana o come la gemma rivestita si distacchi per formare una

vescicola rivestita. Una volta che la vescicola si e distaccata, il rivestimento

viene rimosso molto rapidamente con un meccanismo non chiaro, probabil-

mente tramite un processo controllato dal Ca2+.

Una seconda proteina principale di rivestimento delle vescicole, un comples-

so multisubunita chiamato adattina, ha un ruolo importante sia per unire

il rivestimento di clatrina alla membrana sia per intrappolare vari recettori

proteici transmembrana, che a loro volta catturano specifiche molecole in-

ternamente alla vescicola. In questo modo una serie di molecole selezionate,

legate ai loro recettori di carico specifici, vengono incorporate nel lume di

ciascuna vescicola di trasporto rivestita di clatrina appena formata.

Le molecole possono essere trasferite all’esterno della cellula mediante eso-

citosi, un processo inverso rispetto all’endocitosi, tramite un accumulo in

vescicole secretorie che successivamente, in seguito ad un determinato stimo-

lo, si fondono con la membrana cellulare e si svuotano.

E importante segnalare che questi processi sono meccanismi attivi e richie-

dono pertanto un consumo di energia metabolica.

3.2 Trasporto attraverso la membrana

Il passaggio di molecole attraverso le membrane biologiche e di importanza

vitale per molti processi cellulari ma, mentre alcune molecole diffondono

attraverso le molecole che costituiscono la membrana stessa, per il passaggio


di altre e richiesto l’intervento di specifiche proteine di trasporto presenti

nella membrana.

3.2.1 Diffusione

La diffusione e il processo mediante il quale si mescolano atomi o molecole

dotati di moto casuale sostenuto dall’agitazione termica. Il moto della singola

particella e descritto anche come un moto browniano.

Si supponga di avere due compartimenti aventi una diversa concentrazione

molecolare e separati da un divisorio mobile: ogni molecola si trova in moto

casuale, e togliendo il divisorio esiste la stessa probabilita che in un cer-

to periodo di tempo una molecola si sposti da un compartimento all’altro.

A causa della differenza iniziale di concentrazione si avra pero uno sposta-

mento di molecole dal compartimento a concentrazione maggiore a quello a

concentrazione minore superiore rispetto allo spostamento opposto, per cui

si otterra un flusso netto di molecole che continuera fino a quando la concen-

trazione non sara uniforme, per cui si sara raggiunto un equilibrio dinamico.

La diffusione e un processo rapido quando la distanza su cui avviene e pic-

cola, ed il tempo richiesto aumenta in modo proporzionale al quadrato della

distanza, percio e estremamente veloce per distanze di valore microscopico

ma diventa lenta per distanze macroscopiche, come per esempio quelle che

riguardano alcune cellule muscolari scheletriche.

Quando questo fenomeno interessa la membrana cellulare, le concentrazioni

ai due lati della membrana tendono ad essere le stesse, e la velocita con cui

avviene e proporzionale all’area della membrana ed alla differenza di concen-

trazione della sostanza diffusibile nei due compartimenti secondo una legge

nota come prima legge di Fick:

Jc = −DA ∇C (1.1)

dove si e indicato con Jc la velocita netta di diffusione, con D il coefficiente

di diffusione del soluto che diffonde, con A l’area della membrana e con C

la concentrazione puntuale. Dall’equazione 1.1 si ricava la seconda legge di

Fick, che e un’equazione di continuita:

∂C

∂t= D

(∂2C

∂x2+

∂2C

∂y2+

∂2C

∂z2

)(1.2)

1.3.2 Trasporto attraverso la membrana 27

Il coefficiente di diffusione D puo essere dipendente dalla concentrazione

(mezzi non omogenei), dalla posizione (mezzi anisotropi), dal tempo (con-

dizioni di non stazionarieta), inoltre ha una proporzionalita diretta con la

velocita delle molecole in diffusione ed inversa con la loro dimensione e la

viscosita del mezzo.

In particolare per le grosse molecole sferiche il coefficiente di diffusione e

stabilito dall’equazione di Stokes-Einstein:

D =kT

6prh(1.3)

dove k e la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta, r il raggio

della macromolecola ed h la viscosita del mezzo.

Da questa equazione si puo notare che il numeratore, kT , e direttamente

proporzionale all’energia cinetica della molecola che diffonde, mentre il deno-

minatore e proporzionale alla velocita del mezzo in cui la molecola diffonde;

inoltre il rapporto inverso tra D ed il raggio della molecola implica che D sia

inversamente proporzionale alla radice cubica del peso molecolare.

3.2.2 Osmosi

L’osmosi e un flusso esclusivamente di acqua da una soluzione meno concen-

trata ad una a concentrazione maggiore separate tra loro da una membrana

semipermeabile, ovvero permeabile all’acqua ma non ai soluti. Questo pro-

cesso si verifica in quanto la presenza del soluto comporta una riduzione del

potenziale chimico dell’acqua, per cui essa tende a spostarsi da una regione

in cui il suo potenziale chimico e maggiore ad una in cui questo potenziale e

minore.

Si definisce pressione osmotica π la pressione che deve essere esercitata per

impedire il passaggio delle molecole del solvente: essa puo essere espressa con

l’equazione di Van’t Hoff

π = RT (φic) (1.4)

dove R e la costante dei gas ideali, T la temperatura assoluta, φ il coefficien-

te osmotico, i il numero di ioni formati dalla dissociazione di una molecola

di soluto e c la concentrazione in moli del soluto. Il coefficiente osmotico φ


serve per correggere le deviazioni delle soluzioni reali dalle situazioni ideali e

dipende dalle proprieta chimiche del soluto, dalla sua concentrazione e dalla

temperatura: e inferiore all’unita per gli elettroliti di importanza fisiologica

mentre si avvicina a tale valore per tutti i soluti man mano che la soluzione

diventa piu diluita.

Dall’equazione di Van’t Hoff, molto simile a quella dei gas perfetti, appare

chiaramente che la pressione osmotica dipende dalla temperatura e dal nume-

ro di particelle di soluto, mentre non dipende dalla natura e dalle dimensioni

delle stesse.

Le membrane plasmatiche di gran parte delle cellule dell’organismo umano

sono relativamente impermeabili a molti soluti presenti nel liquido intersti-

ziale, ma molto permeabili all’acqua; di conseguenza se la pressione osmotica

del liquido extracellulare aumenta, l’acqua esce dalle cellule per osmosi e le

cellule si raggrinzano, finche le pressioni osmotiche intra ed extracellulari non

si equivarranno. Viceversa se la pressione osmotica del liquido extracellulare

diminuisce, l’acqua entra nelle cellule ed esse si rigonfiano, finche le pressione

osmotiche dei due compartimenti saranno uguali.

Oltre ai soluti non diffusibili, esistono anche soluti diffusibili in grado di at-

traversare la membrana plasmatica, che si dispongono in equilibrio attraverso

di essa ed esercitano pertanto solo effetti transitori sul volume cellulare, quin-

di in situazione stazionaria il volume della cellula sara determinato solo dai

soluti non diffusibili presenti nella soluzione extracellulare.

Puo essere importante determinare il flusso osmotico provocato da una deter-

minata sostanza diffusibile: in particolare la velocita di tale flusso puo essere

definita come

Va = L (pe − pi) (1.5)

dove L e una costante di proporzionalita chiamata coefficiente idraulico e

(pe − pi) la differenza di pressione tra i due compartimenti separati dalla

membrana. Il flusso osmotico di acqua attraverso una membrana e quindi di-

rettamente proporzionale alla differenza di pressione osmotica esistente tra le

soluzioni poste ai due lati della membrana, pertanto per i soluti non diffusibili

1.3.3 Trasporto mediato da proteine 29

e possibile scrivere

Va = L (πe − πi) (1.6)

I soluti diffusibili provocano un flusso osmotico minore che e inversamente

proporzionale alla loro diffusibilita.

L’equazione 1.6 puo essere riformulata tenendo conto della permeabilita del

soluto

Va = σL (πe − πi) (1.7)

dove σ e detto coefficiente di riflessione ed e un numero adimensionale che

tende a 0 per i soluti molto diffusibili ed a 1 per quelli completamente indif-

fusibili, e descrive una proprieta per un particolare soluto ed una particolare

membrana esprimendo il flusso osmotico indotto dal soluto come frazione del

massimo flusso osmotico teorico.

3.2.3 Filtrazione

Nel processo di filtrazione la pressione idrostatica filtra l’acqua attraverso la

membrana e le molecole di soluto sono selezionate sulla base delle dimensioni;

se infatti i pori di membrana sono sufficientemente grandi, le molecole di

soluto saranno trasportate con l’acqua.

3.3 Trasporto mediato da proteineLe membrane cellulari devono permettere il passaggio anche alle molecole

polari, come ioni, zuccheri, amminoacidi, nucleotidi e metaboliti cellulari che

attraversano il doppio strato soltanto molto lentamente: per questo esistono

particolari proteine, dette di trasporto di membrana, che sono responsabili

del trasferimento di questi soluti attraverso la membrana. Ciascuna proteina

trasporta una classe particolare di molecole, come ioni, zuccheri o amminoa-

cidi e, spesso, solamente certe specie molecolari della classe.

Tutte le proteine di trasporto di membrana studiate finora sono risultate

essere proteine transmembrana a passaggio multiplo, cioe le loro catene poli-

peptidiche attraversano il doppio strato lipidico molte volte e, formando una

via proteica continua attraverso la membrana, si pensa che queste proteine

permettano a soluti idrofilici specifici di attraversarla senza entrare in diretto

contatto con l’interno del doppio strato lipidico.


3.3.1 Proteine trasportatrici e trasporto attivo di membrana

Le proteine trasportatrici hanno la proprieta di legarsi al soluto specifico che

deve essere trasportato e subiscono una serie di cambiamenti conformazionali

per trasferire tale sostanza attraverso la membrana. Molte di queste protei-

ne permettono ai soluti di attraversare il doppio strato nella direzione del

suo gradiente di concentrazione o del suo gradiente elettrochimico, in modo

quindi passivo, altre invece sono in grado di pompare attivamente certi soluti

attraverso la membrana contro il loro gradiente elettrochimico, realizzando

un trasporto attivo che richiede energia; di seguito si analizzeranno queste

ultime.

Il processo per cui una proteina trasportatrice trasferisce una molecola di

soluto attraverso il doppio strato lipidico assomiglia ad una reazione enzima-

substrato, ed i trasportatori coinvolti si comportano come enzimi specializzati

legati alla membrana. Ciascun tipo di proteina trasportatrice ha uno o piu

siti specifici di legame per il suo soluto, e quando tutti sono occupati il

trasportatore e saturo e la velocita di trasporto e massima. La saturazione

della velocita J del trasporto mediato e rappresentata da un’equazione tipo

quella di Michaelis-Menten:

J =Jmax[S]

Km + [S](1.8)

dove Jmax e la massima velocita di trasporto, [S] e la concentrazione della so-

stanza trasportata nel compartimento dal quale deve essere rimossa, Km e la

costante di Michaelis del trasportatore. Si puo notare che quando [S] = Km

la velocita J vale la meta di Jmax, per cui Km puo essere definito come la

concentrazione del composto trasportato necessaria per una velocita di tra-

sporto che sia meta di quella massima.

Alcune proteine trasportatrici spostano semplicemente un singolo soluto da

un lato all’altro della membrana, e sono chiamate uniporti, mentre altre con

cinetiche piu complesse funzionano da trasportatori accoppiati, in cui il tra-

sferimento di un soluto dipende dal trasporto simultaneo o sequenziale di

un secondo soluto, sia nella stessa direzione che in direzione opposta,: questi

meccanismi sono detti rispettivamente simporto ed antiporto.

Sebbene i dettagli molecolari non siano noti, si pensa che le proteine tra-


sportatrici trasferiscano il soluto attraverso il doppio strato lipidico subendo

cambiamenti conformazionali reversibili che espongono alternativamente il

sito di legame per il soluto prima su di un lato della membrana e poi sull’al-

tro, mentre e molto improbabile che si capovolgano nella membrana o che

l’attraversino avanti e indietro, come si pensava un tempo.

3.3.2 La pompa di membrana Na+-K+

La concentrazione di K+ e in genere da 10 a 20 volte piu alta all’interno

della cellula rispetto al suo esterno, mentre per il Na+ e il contrario; queste

differenze di concentrazione sono mantenute da una pompa Na+-K+ che si

trova nella membrana di quasi tutte le cellule animali e che opera come anti-

porto, pompando attivamente Na+ fuori dalla cellula contro il corrispondente

ripido gradiente elettrochimico, e pompando K+ dentro la cellula. Quasi un

terzo delle necessita energetiche di una tipica cellula animale viene consu-

mato per rifornire questa pompa, mentre nelle cellule nervose elettricamente

attive questo valore si avvicina ai due terzi.

Un notevole passo avanti nella comprensione della pompa Na+-K+ e stato

fatto nel 195710 con la scoperta di un enzima che idrolizza ATP ad ADP e

fosfato, richiedendo Na+ e K+ per l’attivita massima; si trovo infatti che il

trasporto di Na+ e K+ e strettamente accoppiato all’idrolisi di ATP e che

per ciascuna molecola di ATP idrolizzata tre ioni di Na+ sono pompati fuori

dalla cellula e due ioni K+ sono pompati dentro. Sebbene questi esperimenti

abbiano fornito prove del fatto che e l’ATP a fornire l’energia alla pompa

Na+-K+ per il suo funzionamento, non spiegavano come questa idrolisi di

ATP fosse legata al trasporto degli ioni. Una spiegazione parziale e fornita

dalla scoperta che, durante il ciclo di pompaggio, il gruppo fosfato terminale

dell’ATP e trasferito ad un residuo di acido aspartico dell’ATPasi ed e suc-

cessivamente rimosso, come evidenziato nella figura 1.511. Il legame di Na+

(1) e la successiva fosforilazione da parte dell’ATP della faccia citoplasmati-

ca dell’ATPasi (2) inducono un cambiamento conformazionale nella proteina

che trasferisce Na+ attraverso la membrana e lo rilascia all’esterno (3). Il le-

game di K+ sulla superficie extracellulare (4) e la successiva defosforilazione

10J.C.Skou (1957) The influence of some cations on an adenosine triphosphatase fromperipheral nerves Biochim.Biophys.Acta 2:394-401



Figura 1.5: Ciclo schematico del pompaggio dell’ATPasi Na+-K+

(5) riportano la proteina alla sua conformazione originale, che trasferisce il

K+ attraverso la membrana e le rilascia nel citosol (6). Questi cambiamenti

di conformazione avvengono in modo ordinato, facendo svolgere alla protei-

na un lavoro utile. In questo modello sono rappresentati soltanto un sito di

legame per Na+ ed uno per K+, inoltre ci sono prove che il sistema passi

attraverso una serie piu complessa di cambiamenti di conformazione durante

il ciclo reale di pompaggio.

L’ATPasi Na+-K+ e stata purificata e si e visto che consiste di una subunita

catalitica di circa un migliaio di amminoacidi che attraversa ripetutamente

la membrana, e di una glicoproteina associata piu piccola ed a passaggio sin-

golo. La prima possiede siti di legame per Na+ e ATP sulla sua superficie

citoplasmatica ed un sito di legame per K+ sulla sua superficie esterna, ed e

fosforilata e defosforilata reversibilmente durante il ciclo di pompaggio, men-

tre la funzione della glicoproteina non e chiara, ma pare essere necessaria per

il trasporto intracellulare della subunita catalitica alla membrana cellulare.

Poiche l’ATPasi Na+-K+ porta tre ioni carichi positivamente fuori dalla cel-

lula per ogni due che pompa all’interno, e definita elettrogenica, cioe forma

una corrente netta attraverso la membrana, tendendo a creare un potenzia-

le elettrico con l’interno negativo rispetto all’esterno, che contribuisce pero

solo al 10% del potenziale di membrana. Questo processo ha pero un ruo-

lo fondamentale nella regolazione del volume cellulare, in quanto controlla

la concentrazione dei soluti all’interno della cellula, regolando cosı le forze


osmotiche che possono fare rigonfiare o raggrinzire una cellula.

Le cellule contengono un’alta concentrazione di soluti, comprese numerose

molecole organiche cariche negativamente che sono confinate all’interno del-

la cellula, detti anioni fissi, ed i cationi che le accompagnano, necessari per

l’equilibrio elettrico: cio crea un grosso gradiente osmotico che tende a fare

entrare acqua all’interno della cellula. Nelle cellule animali questo effetto e

controbilanciato da un gradiente osmotico opposto dovuto ad un’alta concen-

trazione di ioni inorganici, soprattutto Na+ e Cl−, nel fluido extracellulare, e

l’ATPasi Na+-K+ mantiene un equilibrio osmotico pompando esternamente

alla cellula Na+ che filtra all’interno lungo il suo ripido gradiente elettrochi-

mico, mentre il Cl− e tenuto fuori dal potenziale di membrana.

3.3.3 La pompa di membrana Ca2+

Le cellule eucariotiche mantengono concentrazioni molto basse di Ca2+ libero

nel citosol di fronte a concentrazioni extracellulari molto piu alte ed anche

un piccolo flusso di Ca2+ aumenta in modo significativo la sua concentrazio-

ne all’interno della cellula. Il mantenimento di un ripido gradiente di Ca2+ e

importante per la cellula, in quanto il flusso di questi ioni e un mezzo per tra-

smettere segnali extracellulari all’interno attraverso la membrana cellulare,

ed e garantito in parte da pompe Ca2+ presenti nella membrana stessa che

effettuano un trasporto attivo: una di queste e una ATPasi, mentre l’altra e

un antiporto che e spinto dal gradiente elettrochimico del Na+.

La pompa Ca2+ meglio conosciuta e una ATPasi di membrana presente nel

reticolo sarcoplasmatico delle cellule muscolari, il quale forma una rete di

sacchi tubulari nel citoplasma e serve da deposito interno di Ca2+ necessario

al processo di contrazione muscolare, ed e responsabile del pompaggio dello

ione dal citosol nel reticolo sarcoplasmatico. La proteina ATPasi Ca2+ e mol-

to simile a quella Na+-K+ e la grossa subunita catalitica esiste in isoforme

multiple, possiede probabilmente 10 α-eliche putative transmembrana ed e

fosforilata e defosforilata durante il ciclo di pompaggio.

3.3.4 Trasporto mediante gradienti ionici

Molti sistemi di trasporto attivo sono spinti dall’energia conservata in gra-

dienti ionici invece che dall’idrolisi di ATP, e l’energia libera rilasciata durante

il movimento di uno ione inorganico lungo un gradiente elettrochimico e usata


come forza per pompare altri ioni contro il loro gradiente elettrochimico. Cosı

tutte queste proteine funzionano come trasportatori accoppiati, alcuni come

simporti ed altre come antiporti, e normalmente nella membrana delle cellule

animali Na+ e il tipico ione cotrasportato, il cui gradiente elettrochimico for-

nisce la forza necessaria per il trasporto attivo di una seconda molecola; gli

ioni Na+ che entrano nella cellula durante il trasporto sono successivamente

pompati all’esterno tramite la ATPasi Na+-K+, che mantenendo il gradiente

di Na+ spinge direttamente il trasporto. I trasportatori spinti da ioni sono

chiamati trasporti attivi secondari, mentre si dice che le ATPasi di trasporto

mediano un trasporto attivo primario.

3.4 Canali ioniciA differenza delle proteine trasportatrici, le proteine canale formano attraver-

so la membrana pori idrofilici, che devono essere stretti ed altamente selettivi

per essere definiti canali ionici; essi, pur essendo un migliaio di volte piu ve-

loci del trasporto mediato da proteine, non sono in grado di accoppiarsi ad

una fonte di energia per dare vita ad un trasporto attivo. La funzione di que-

sti canali e quella di permettere a ioni inorganici specifici, soprattutto Na+,

K+, Ca2+ e Cl− di diffondere rapidamente lungo i loro gradienti elettrochi-

mici attraverso il doppio strato lipidico, anche se cio non significa che questo

processo non possa essere regolato; le cellule nervose, in particolare, si sono

specializzate nell’uso di questi canali per ricevere, condurre e trasmettere se-

gnali.

Una prima proprieta che distingue i canali ionici da semplici pori acquosi

e che mostrano una selettivita ionica, ovvero permettono il passaggio solo

a determinati ioni inorganici, lasciando capire che in qualche punto devono

essere abbastanza stretti da forzare gli ioni ad entrare in stretto contatto con

le pareti del canale abbandonando la maggior parte delle molecole d’acqua a

loro associate, limitando cosı la velocita del loro passaggio.

Un’altra proprieta dei canali ionici e che, a differenza di normali pori ac-

quosi, non sono continuamente aperti, ma hanno particolari meccanismi (ga-

ting) che aprono brevemente il canale per poi richiuderlo in risposta a sti-

moli specifici, che possono essere un cambiamento del voltaggio attraverso

la membrana, uno stress meccanico, l’attacco di un ligando, per esempio un

1.4 Proprieta elettriche di membrana 35

neurotrasmettitore, o ancora la fosforilazione e la defosforilazione.

La fosforilazione e un processo che consente la formazione di un legame cova-

lente altamente energetico e consiste nell’unione di un gruppo fosforico (PO4)

con un’altra molecola; il piu importante composto ad alta energia e il nucleo-

side di adenina, l’adenosina, che comprende tre gruppi fosforici e prende il

nome di adenosina trifosfato o ATP. Si puo osservare che per unire il primo

gruppo fosfato e creare il nucleotide adenosin monofosfato (AMP) occorre

pochissima energia, mentre gia per aggiungere il secondo gruppo fosfato ed

ottenere adenosin difosfato (ADP) e richiesta una quantita di energia molto

maggiore; l’aggiunta di un’ulteriore gruppo fosfato per ottenere ATP e chia-

mata fosforilazione e richiede un’energia ancora maggiore dei casi precedenti.

Quando le cellule hanno a disposizione fonti di energia formano l’ATP a par-

tire da ADP, mentre quando devono consumare energia avviene la reazione

inversa; il processo si puo schematizzare in questo modo:

ATP + H2O ADP + gruppofosforico + energia

I meccanismi con i quali all’interno delle cellule si realizza questo processo

sono principalmente due: nella fosforilazione a livello di substrato un en-

zima utilizza l’energia rilasciata da una reazione chimica per trasferire un

gruppo fosfato all’ADP, come per esempio nel processo di glicolisi, mentre

nella fosforilazione ossidativa si ha produzione di ATP attraverso reazioni

che consumano ossigeno e che avvengono all’interno dei mitocondri.

4 Proprieta elettriche di membranaVerranno ora analizzate alcune proprieta che caratterizzano le membrane

cellulari dal punto di vista elettrico, tra cui gli equilibri ionici ed i potenziali

transmembranari di riposo.

4.1 Potenziale di membranaUn potenziale di membrana si forma quando c’e una differenza di carica

elettrica sui due lati della stessa: esso e dovuto ad un leggero eccesso di ioni

positivi su di un lato rispetto all’altro, e puo essere causato sia dal pompaggio

elettrogenico attivo che da diffusione ionica passiva. Come gia visto in prece-

denza, l’ATPasi Na+-K+ aiuta a conservare l’equilibrio osmotico attraverso


la membrana cellulare animale mantenendo bassa la concentrazione intracel-

lulare di Na+, per cui c’e necessita di altri cationi per equilibrare la carica

portata dagli anioni fissi della cellula. Questo ruolo equilibratore e svolto

in gran parte da K+, che e pompato attivamente nella cellula dalla ATPasi

Na+-K+, ma si puo anche muovere liberamente dentro e fuori dalla cellula

attraverso i cosiddetti canali che perdono K+ della membrana. A causa della

presenza di questi canali, il K+ raggiunge quasi un equilibrio in cui una forza

elettrica esercitata da un eccesso di cariche negative che attraggono K+ den-

tro alla cellula equilibra la tendenza dello stesso ione a filtrare esternamente

lungo il suo gradiente di concentrazione; la manifestazione di questa forza

elettrica e il potenziale di membrana ed il suo valore di equilibrio puo essere

calcolato dalla pendenza del gradiente di concentrazione di K+.

La condizione di equilibrio in cui non c’e flusso netto di ioni attraverso la

membrana plasmatica, ovvero quando il potenziale di membrana raggiunge

un valore al quale la forza elettrica che agisce su K+ bilancia il suo gradiente

di concentrazione, definisce il potenziale di membrana a riposo per questa

cellula. Sebbene anche gli ioni Cl− si equilibrino attraverso la membrana, a

causa della loro carica negativa la maggior parte di essi e tenuta fuori dalla

cellula dal potenziale di membrana stesso. Inoltre la membrana plasmatica

di una cellula reale non e permeabile esclusivamente al K+ ed al Cl−, quindi

il potenziale di membrana a riposo non dipende esclusivamente da questi due

ioni.

4.2 Equazione di Nernst ed equilibrio di Gibbs-DonnanLa grandezza che permette di confrontare i contributi relativi della concentra-

zione ionica e del potenziale elettrico viene definita potenziale elettrochimico

dello ione i-esimo ed e esprimibile come

µi = RT ln Ci + ziFV (1.9)

dove R e la costante dei gas, T la temperatura assoluta, Ci la concentrazione,

zi la valenza dello ione, F la costante di Faraday e V il potenziale elettrico

di membrana.

1.4.2 Equazione di Nernst ed equilibrio di Gibbs-Donnan 37

All’equilibrio la differenza di potenziale elettrochimico ai due estremi della

membrana e nullo, quindi µiint= µiest e con alcuni passaggi si ottiene

Vint − Vest = ∆V =RT

ziFln

Ciest

Ciint

(1.10)

che prende il nome di equazione di Nernst.

Tenendo conto che la membrana e permeabile a diversi tipi di ioni, si puo

ricavare il potenziale di membrana a riposo tramite l’equazione di Goldman:

Vint − Vest =RT

ziFln

PK [K+]est + PNa[Na+]est + PCl[Cl−]int

PK [K+]int + PNa[Na+]int + PCl[Cl−]est(1.11)

dove Pi e la permeabilita dello ione i-esimo e tra parentesi quadre si e indicata

la sua concentrazione. Quando la permeabilita di uno ione e molto maggio-

re di quella degli altri, il potenziale di membrana dedotto dall’equazione di

Goldman e molto simile al potenziale di Nernst per quello ione.

Il citoplasma contiene proteine, polifosfati organici ed altre sostanze ionizzate

che non possono attraversare la membrana e a pH fisiologico quasi tutti gli

ioni intracellulari non diffusibili sono negativi. Le caratteristiche in situazione

stazionaria di questo sistema di ioni diffusibili e non diffusibili sono descritte

dall’equilibrio di Gibbs-Donnan.

Si supponga di avere due compartimenti separati da una membrana conte-

nenti il primo una soluzione di KCl e l’altro KY, con Y− anione per il quale

la membrana e impermeabile. Siccome la membrana e permeabile all’acqua,

agli ioni K+ e Cl−, se le due soluzioni inizialmente hanno una concentrazione

diversa, ci sara una variazione del potenziale elettrochimico sia per il K+

sia per il Cl−, ed all’equilibrio entrambe le variazioni varranno zero. In tale

situazione entrambi gli ioni sono in equilibrio e vale la relazione

[K+]int[Cl−]int = [K+]est[Cl−]est (1.12)

che si chiama equazione di Gibbs-Donnan ed e valida per ogni coppia di anio-

ni e cationi monovalenti in equilibrio tra due compartimenti.

Nell’equilibrio di Gibbs-Donnan K+ e Cl− sono in equilibrio elettrochimico,

per cui devono soddisfare l’equazione di Nernst e si puo calcolare la diffe-

renza di potenziale transmembranario all’equilibrio. Cio non vale per lo ione


indiffusibile Y−, che determina un potenziale elettrico negativo nel compar-

timento che lo contiene, e cio e valido anche per le cellule.

Inoltre anche l’acqua non raggiunge un equilibrio, per cui si spostera fino a

creare un equilibrio osmotico tra i due compartimenti, in seguito gli ioni si

muoveranno per creare un nuovo equilibrio di Gibbs-Donnan. Nelle cellule

animali la regolazione della pressione osmotica citoplasmatica e svolta, come

si e gia visto, dalla pompa Na+-K+.

Capitolo 2

Le cellule nervose e muscolari

Come tutte le altre cellule, i neuroni devono adempiere a compiti metaboli-

ci, utilizzare ossigeno e possedere una sufficiente stabilita meccanica; inoltre

dispongono degli stessi geni, dello stesso apparato biochimico e degli stessi

organuli delle altre cellule. Cio che li differenzia e il compito che assolvono,

cioe quello di elaborare una informazione, e dal punto di vista anatomico

tale caratteristica funzionale e sostenuta da una particolare struttura cellu-

lare provvista di prolungamenti ramificati. L’informazione e generata dalla

membrana cellulare tramite segnali elettrici trasmessi ad altri neuroni in

particolari punti di contatto, chiamati sinapsi.

1 Struttura dei neuroniIl funzionamento del sistema nervoso dipende dal flusso delle informazioni

in complessi circuiti costituiti da neuroni, ciascuno dei quali riceve segna-

li da altri neuroni, li trasforma in attivita elettrica e trasmette a sua volta

l’informazione ad altri neuroni. Questo e reso possibile dalle caratteristiche

strutturali delle cellule nervose, la cui varieta e notevole: ci sono neuroni

costituiti solo da una cellula arrotondata, altri hanno prolungamenti citopla-

smatici che possono essere qualche migliaia di volte piu lunghi del diametro

del corpo cellulare.

Nonostante questa molteplicita anatomica, ci sono alcune caratteristiche strut-

turali comuni alla maggior parte dei neuroni, quali il corpo cellulare in cui

si trovano il nucleo ed importanti organuli come l’apparato del Golgi, il reti-

colo endoplasmatico, i polisomi, i mitocondri e gli elementi fibrillari. Diversi

prolungamenti nervosi si staccano dal corpo cellulare o da un solo prolunga-

mento che collega il corpo cellulare con una serie di diramazioni, ed il generico

40 Le cellule nervose e muscolari

prolungamento e chiamato neurite: i prolungamenti piu lunghi vengono chia-

mati assoni, ed altri piu corti sono chiamati dendriti.

In passato sembrava molto importante poter differenziare i dendriti dagli as-

soni, perche in base alla “dottrina della polarizzazione dinamica” di Cajal

si ammetteva che i dendriti ed il corpo cellulare rappresentassero il punto

di entrata del neurone, mentre le terminazioni assonali ne fossero il punto

di uscita. Oggi si sa che i segnali possono essere trasmessi dagli assoni ai

dendriti, dagli assoni agli assoni, dagli assoni ai corpi cellulari, dai dentriti

ai dendriti, dai dendriti agli assoni, dai dendriti ai corpi cellulari e dai cor-

pi cellulari ai corpi cellulari; inoltre possono intervenire punti di contatto a

disposizione reciproca o seriata tra diversi distretti assonici e dendritici.

1.1 Potenziale d’azioneNonostante il diverso significato dei segnali trasportati da classi diverse di

neuroni, la forma del segnale e sempre la stessa, e consiste di cambiamen-

ti del potenziale elettrico attraverso la membrana cellulare del neurone. La

comunicazione avviene perche una perturbazione elettrica prodotta in un

punto della cellula diffonde agli altri punti, e diventa piu debole con l’au-

mentare della distanza dalla fonte a meno che non venga spesa energia per

amplificarla durante il percorso. Su brevi distanze questa attenuazione non e

importante, mentre per le comunicazioni a lunga distanza la diffusione passi-

va e inadeguata, per cui i grossi neuroni impiegano un meccanismo attivo di

segnalazione: uno stimolo elettrico che supera un certo valore di soglia sca-

tena un’esplosione di attivita elettrica che si propaga rapidamente lungo la

membrana plasmatica del neurone, ed e sostenuta da una amplificazione au-

tomatica lungo il percorso. Questa onda in movimento di eccitazione elettrica

prende il nome di potenziale d’azione o impulso nervoso, e puo raggiungere

la velocita di un centinaio di metri al secondo.

1.2 Generazione degli impulsi nervosiLa membrana plasmatica di tutte le cellule eccitabili elettricamente contie-

ne canali cationici regolati dal voltaggio, responsabili della generazione del

potenziale d’azione. Un potenziale d’azione viene scatenato da una depo-

larizzazione della membrana cellulare, cioe dal passaggio del potenziale di

membrana ad un valore meno negativo ad opera per esempio di un neuro-

2.1.2 Generazione degli impulsi nervosi 41

trasmettitore, come si vedra in seguito. Nelle cellule nervose e nei muscoli

scheletrici uno stimolo che provoca una depolarizzazione sufficiente causa

immediatamente l’apertura dei canali del Na+ regolati dal voltaggio, per-

mettendo ad una piccola quantita dello ione stesso di entrare nella cellula

lungo il suo gradiente elettrochimico. Tale flusso di cariche positive depo-

larizza ulteriormente la membrana, facendo cosı aprire altri canali del Na+

che fanno entrare ulteriori ioni Na+, causando una ulteriore depolarizzazio-

ne. Questo processo continua ad autoamplificarsi finche il potenziale elettrico

in quella regione di membrana non si e spostato dal suo valore di riposo di

circa -70 mV quasi al potenziale di equilibrio per il Na+, che e di circa +50

mV; a questo punto la forza elettrochimica netta che spinge il flusso di Na+

e quasi zero, e se la conformazione aperta del canale fosse stabile la cellula

raggiungerebbe un nuovo stato di riposo con tutti i suoi canali del Na+ aperti

permanentemente.

Questi canali possiedono pero un meccanismo inattivatore automatico che fa

richiudere rapidamente i canali anche se la membrana e ancora depolarizza-

ta, e rimangono in questo stato inattivato incapace di riaprirsi finche, dopo

pochi millisecondi, il potenziale di membrana ritorna al suo valore negativo

iniziale. L’immagine 2.11 mostra in modo qualitativo il modo in cui i canali

del Na+ contribuiscono all’ascesa e alla caduta del potenziale d’azione. Tale

Figura 2.1: Esempio di potenziale d’azione

potenziale d’azione e scatenato da un breve impulso di corrente, mostrato



nella parte superiore dell’immagine, che depolarizza parzialmente la mem-

brana, come mostrato nel grafico del potenziale di membrana in funzione

del tempo della figura centrale. La curva verde mostra come il potenziale di

membrana si sarebbe semplicemente rilassato di nuovo al valore di riposo do-

po l’iniziale stimolo depolarizzante se non ci fossero stati canali regolati dal

voltaggio nella membrana. Questo ritorno relativamente lento del potenziale

di membrana al suo valore iniziale di -70 mV, in assenza di canali del Na+

aperti, e automatico a causa dell’efflusso di K+ attraverso i canali del K+, che

spinge il potenziale di membrana di nuovo verso il potenziale di equilibrio del

K+. La curva rossa mostra la modificazione del potenziale d’azione dovuta

all’apertura ed alla successiva inattivazione dei canali del Na+ regolati dal

voltaggio, il cui stato e rappresentato sotto il grafico stesso; la membrana

non puo scaricare un secondo potenziale d’azione finche i canali del Na+ non

sono tornati alla loro conformazione chiusa, e fino a quel momento essa e

refrattaria alla stimolazione.

La descrizione appena data di potenziale d’azione riguarda soltanto una pic-

cola area della membrana, ma la depolarizzazione di quest’area che si au-

toamplifica e sufficiente a depolarizzare regioni confinanti di membrana che

subiscono lo stesso ciclo. Il potenziale d’azione si propaga come un’onda dal

sito iniziale di depolarizzazione coinvolgendo l’intera membrana cellulare,

come indicato in figura 2.22. Nella parte (A) della figura sono mostrati i vol-

taggi che si registrerebbero da una serie di elettrodi intracellulari posti lungo

l’assone, mentre nella parte (B) sono indicati i cambiamenti nei canali del

Na+ ed i flussi di corrente (in arancione) che danno origine al disturbo in

movimento del potenziale d’azione, mentre in blu e indicata la regione del-

l’assone con una membrana depolarizzata. Si noti che un potenziale d’azione

puo viaggiare soltanto in allontanamento dal sito di depolarizzazione perche

l’inattivazione dei canali del Na+ impedisce alla depolarizzazione stessa di

diffondersi in modo retrogrado.

Oltre all’inattivazione dei canali del Na+, in molte cellule nervose opera un

secondo meccanismo che aiuta a riportare piu rapidamente la membrana atti-

vata al suo potenziale negativo originale; i canali del K+ regolati dal voltaggio



Figura 2.2: Propagazione di un potenziale d’azione lungo un assone

si aprono, facendo in modo che il flusso temporaneo di Na+ verso l’interno

sia rapidamente superato da un efflusso di K+ che spinge rapidamente la

membrana di nuovo verso il potenziale di equilibrio del K+, anche prima che

l’inattivazione del Na+ sia completa. Questi canali del K+ rispondono a cam-

biamenti nel potenziale di membrana in modo molto simile ai canali del Na+,

ma con una cinetica leggermente piu lenta.

Le membrane plasmatiche dei neuroni contengono molte migliaia di canali

del Na+ regolati dal voltaggio, e la corrente che le attraversa e la somma delle

correnti che scorrono attraverso di essi. Questa corrente aggregata puo esse-

re registrata con un microelettrodo intracellulare, ma e possibile registrare

anche la corrente che passa attraverso un singolo canale per mezzo di una

registrazione a patch-clamp: una micropipetta di circa 1 µm viene fatta aderi-

re ermeticamente alla membrana cellulare tramite una operazione di suzione

blanda, in modo che la corrente possa entrare od uscire dalla micropipetta

soltanto passando attraverso i canali nella zona di membrana che ne copre la

punta. Un dispositivo elettronico mantiene il potenziale di membrana ad un

valore stabilito mentre si registra la corrente ionica attraverso canali singoli.


Si possono eseguire registrazioni della corrente attraverso questi canali con la

porzione di membrana oggetto di studio ancora attaccata alla cellula, oppure

staccata.

Queste registrazioni a patch-clamp indicano che i singoli canali del Na+ re-

golati dal voltaggio si aprono in modo tutto o niente, con la particolarita

che i tempi di apertura e di chiusura sono casuali, ma quando sono aperti i

canali hanno sempre la stessa grande conduttanza, permettendo il passaggio

di una grande quantita di ioni; si deduce quindi che la corrente aggregata che

attraversa la membrana dell’intera cellula non indica il grado di apertura di

ogni singolo canale, ma il numero totale di canali di membrana aperti in un

determinato momento.

Il fenomeno della regolazione da voltaggio puo essere compreso in termini

di semplici principi fisici: l’interno del neurone e della cellula muscolare a

riposo e ad un potenziale elettrico di circa 50-100 mV piu negativo del mez-

zo esterno, e tale differenza di potenziale si verifica attraverso la membrana

cellulare che e spessa 5 nm, cosı il gradiente di voltaggio che ne deriva e di

circa 100000 V/cm. Le proteine di membrana sono quindi soggette ad un

campo elettrico molto forte che esercita forze sulla loro struttura molecolare

in virtu del fatto che hanno numerosi gruppi carichi sulla loro superficie, oltre

a legami polarizzati fra i loro atomi. In particolare i canali ionici regolati dal

voltaggio possono adottare un numero di conformazioni alternative la cui sta-

bilita dipende dalla forza del campo, e ciascuna conformazione puo cambiare

in un’altra se subisce una scossa sufficiente dai movimenti termici casuali di

cio che la circonda. E proprio la stabilita relativa delle conformazioni aper-

ta, chiusa ed inattivata che viene alterata dai cambiamenti del potenziale di

membrana.

1.2.1 Canali ionici regolati dal voltaggio

Ciascun tipo di canale cationico regolato da voltaggio e composto o da quat-

tro domini proteici omologhi, come nel caso dei canali del Na+, o da quattro

subunita identiche, come nel caso dei canali del K+. In figura 2.33 (A) e rap-

presentata la struttura di un canale del K+ di un batterio4, in particolare

3B.Alberts et al., Molecular Biology of the Cell, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books4D.A. Doyle et al. (1998) The structure of the potassium channel: molecular basis of

K+ conduction and selectivity Science 280:69-77


sono indicate solo due delle quattro subunita identiche. Dal lato intracellula-

Figura 2.3: Struttura di un canale del K+ di un batterio

re il poro si apre in un vestibolo nel centro della membrana che ha il compito

di facilitare il trasporto, permettendo agli ioni K+ di rimanere idratati anche

se si trovano a meta strada nella membrana. Lo stretto filtro selettivo ha il

compito di collegare il vestibolo con l’esterno della cellula, mentre l’ossigeno

carbonato delinea il limite del filtro selettivo e forma un sito di legame tran-

siente per ioni K+ deidratati.

La posizione degli ioni K+ nei pori e determinata tramite l’immersione della

proteina di canale in soluzione contenente ioni di rubidio, che sono piu carichi

elettricamente degli ioni K+ ma solo leggermente piu larghi: dalla differenza

nel tracciato di diffrazione tra i due ioni nel canale si riesce a calcolare la loro

posizione. In particolare si riscontra che mentre due ioni K+ sono situati nel

filtro selettivo, un terzo e localizzato nel mezzo del vestibolo dove e stabi-

lizzato da interazioni elettriche con la carica maggiormente negativa situata

alle estremita delle eliche del poro. Le parti terminali delle quattro eliche dei

pori puntano verso il centro del vestibolo, guidando gli ioni K+ dentro al

filtro selettivo. Nella parte (B) della stessa figura si puo vedere che a causa

della polarizzazione dei legami idrogeno (in rosso) che collegano parti adia-

centi di un’elica, ognuna di esse ha un dipolo elettrico lungo il proprio asse,

con un terminale C maggiormente negativo ed un terminale N maggiormente

positivo.

La sequenza degli amminoacidi suggerisce che ciascuna subunita di un canale


del K+ contenga sei α-eliche che attraversano la membrana, ma nessuna di

esse sembra rivestire il poro che conduce gli ioni. Studi delle proteine del

canale del K+ modificate mediante l’uso di tecniche del DNA ricombinan-

te indicano che un segmento di 20 amminoacidi di catena polipeptidica si

estende attraverso la membrana come foglietto β antiparallelo per rivestire il

poro, e quando questo segmento viene scambiato fra due canali del K+ con

permeabilita diverse, si nota che le caratteristiche di permeabilita dipendono

esclusivamente da questo segmento.

Un approccio simile e stato usato per identificare altre due regioni funzionali

importanti delle proteine del canale del K+ regolato dal voltaggio: i 19 am-

minoacidi amminoterminali di almeno una di queste proteine sono coinvolti

in una rapida inattivazione del canale, e se questa regione viene alterata la

cinetica di questa inattivazione cambia, mentre se la regione e rimossa l’inat-

tivazione e abolita. Tale inattivazione pero puo essere ripristinata esponendo

la faccia citoplasmatica della membrana ad un piccolo peptide sintetico cor-

rispondente al terminale amminico mancante.

Queste scoperte suggeriscono che il terminale amminico di ciascuna subunita

del canale del K+ agisca come una palla attaccata ad un braccio flessibile che

occlude l’estremita citoplasmatica del poro poco dopo la sua apertura, come

indicato nella parte (C) della figura 2.3. Quando la membrana e depolariz-

zata, il canale si apre e inizia a condurre ioni, ma una volta aperto diventa

suscettibile di occlusione da parte della palla formata dai 19 amminoacidi

amminoterminali, che e legata al canale vero e proprio da un segmento di

catena polipeptidica non ripiegata che serve da catena. Per semplicita sono

mostrate due sole palle, in realta esse sono quattro, una per ogni subunita.

Si pensa che un meccanismo simile operi nell’inattivazione rapida dei canali

regolati dal voltaggio del Na+, sebbene sembri coinvolto un segmento diverso

della catena polipeptidica. Inoltre una delle α-eliche transmembrana che e

altamente conservata in tutti i canali cationici regolati dal voltaggio cono-

sciuti contiene amminoacidi carichi positivamente e spaziati regolarmente, ed

e implicata come sensore del voltaggio di questi canali: se si cambia uno qua-

lunque di questi residui carichi, infatti, la risposta del canale a spostamenti

del potenziale di membrana viene alterata.

Lo stesso tipo di analisi, che combina la tecnologia del DNA ricombinante e


le tecniche elettrofisiologiche e stato usato per caratterizzare un’altra classe

di canali ionici che si aprono in risposta ad un neurotrasmettitore specifico.

1.2.2 Canali ionici regolati da trasmettitori

Segnali neuronali sono trasmessi da cellula a cellula a livello di siti specializ-

zati di contatto noti come sinapsi, il cui meccanismo tipico di trasmissione e

indiretto. Le cellule sono isolate elettricamente l’una dall’altra , in quanto la

cellula presinaptica e separata da quella postsinaptica da una stretta fessura

sinaptica, ed un cambiamento di potenziale elettrico nella cellula presinaptica

provoca il rilascio di una piccola molecola segnale nota come neurotrasmet-

titore. Tale molecola e immagazzinata in vescicole sinaptiche circondate da

una membrana e rilasciata per esocitosi, ed in seguito diffonde rapidamente

attraverso la fessura sinaptica e provoca un cambiamento elettrico nella cel-

lula postsinaptica legandosi a canali ionici regolati da neurotrasmettitore.

Dopo che il neurotrasmettitore e stato secreto, viene rapidamente rimosso

da enzimi specifici nella fessura sinaptica o tramite riassorbimento ad opera

del terminale nervoso che lo ha rilasciato o delle cellule gliali circostanti, e

tale riassorbimento e mediato da una varieta di proteine che trasportano il

neurotrasmettitore dipendenti dal Na+. Una rapida rimozione assicura una

precisione sia spaziale che temporale della trasmissione del segnale a livello

di una sinapsi, impedendo che il neurotrasmettitore influenzi le cellule circo-

stanti e pulendo la fessura sinaptica prima che venga rilasciato il successivo

impulso di neurotrasmettitore, cosı da permettere una comunicazione accu-

rata.

I canali ionici regolati da trasmettitori sono specializzati nel convertire rapi-

damente segnali chimici extracellulari in segnali elettrici a livello delle sinapsi

chimiche, e sono concentrati nella membrana della cellula postsinaptica nella

regione della sinapsi; essi si aprono temporaneamente in risposta al legame

di molecole di neurotrasmettitori, producendo cosı un breve cambiamento di

permeabilita nella membrana. A differenza dei canali regolati dal voltaggio

responsabili dei potenziali d’azione, i canali regolati da trasmettitori sono

relativamente insensibili al potenziale di membrana, percio non possono pro-

durre un’eccitazione che si autoamplifica, ma producono cambiamenti locali

di permeabilita e quindi cambiamenti del potenziale di membrana, che sono


graduati secondo la quantita di neurotrasmettitore rilasciata a livello del-

la sinapsi e dal tempo di persistenza del neurotrasmettitore. Un potenziale

d’azione puo essere scatenato da questo sito soltanto se il potenziale locale

di membrana aumenta abbastanza da aprire un numero sufficiente di canali

cationici regolati dal voltaggio situati in un’area circostante della membrana

della stessa cellula bersaglio.

I canali ionici regolati da trasmettitore differiscono l’uno dall’altro per mol-

ti aspetti importanti: primo fra tutti possiedono, come recettori, un sito di

legame altamente selettivo per il neurotrasmettitore che e rilasciato dalla ter-

minazione nervosa presinaptica; inoltre, come canali, sono selettivi riguardo

al tipo di ioni che lasciano passare attraverso la membrana cellulare, deter-

minando la natura della risposta postsinaptica. I neurotrasmettitori eccita-

tori, come acetilcolina, glutammato e serotonina, aprono i canali cationici

provocando un flusso verso l’interno di Na+ che depolarizza la membrana

postsinaptica fino a raggiungere il potenziale di soglia che innesca un poten-

ziale d’azione; i neurotrasmettitori inibitori, come l’acido γ-amminobutirrico

(noto anche come GABA) e la glicina, invece, aprono i canali del Cl− e cio

mantiene la membrana postsinaptica polarizzata, sopprimendo l’eccitabilita.

Infatti la concentrazione di Cl− e molto piu alta all’esterno della cellula, per

cui l’apertura dei canali del cloro tendera ad iperpolarizzare la membrana

facendo entrare piu ioni cloruro carichi negativamente nella cellula, a meno

che il potenziale di membrana non sia gia cosı negativo da controbilanciare il

ripido gradiente del Cl−: in effetti, per molti neuroni il potenziale di equilibrio

del Cl− e vicino al potenziale a riposo, o anche piu negativo. L’apertura dei

canali del Cl− rende piu difficile depolarizzare la membrana e quindi eccitare

la cellula.

Non tutte le segnalazioni del sistema nervoso operano pero tramite canali

ionici regolati da ligando: molte delle molecole segnale che sono secrete dai

terminali nervosi, compresa una grande varieta di neuropeptidi, si legano a

recettori che regolano canali ionici solo indirettamente.

I canali ionici che si aprono direttamente in risposta ai neurotrasmettito-

ri acetilcolina, serotonina, GABA e glicina contengono subunita che sono

strutturalmente simili, suggerendo che sono correlati evolutivamente e che


probabilmente formano pori transmembrana nello stesso modo, anche se la

loro specificita per il neurotrasmettitore e la selettivita ionica sono diverse;

i canali ionici regolati da glutammato sono invece costituiti da una famiglia

distinta di subunita, ma sembrano avere una struttura generale simile. In

ogni caso il canale e formato da subunita polipeptidiche omologhe, che pro-

babilmente formano un pentamero, e forse e per questo che hanno pori piu

larghi e meno selettivi dei canali cationici regolati dal voltaggio.

Per ciascuna classe di canali ionici regolati da trasmettitori esistono forme

alternative di ciascun tipo di subunita, sia codificate da geni distinti che

generate da splicing alternativo dell’RNA prodotto dallo stesso gene, che si

combinano in modi diversi per formare una serie estremamente diversa di sot-

totipi distinti di canali, con affinita diverse per il ligando, diversa conduttanza

del canale, diverse velocita di apertura e di chiusura.

1.2.3 Giunzioni gap

I neuroni utilizzano un meccanismo di accoppiamento elettrico diretto trami-

te giunzioni gap a livello delle sinapsi elettriche in scarsa misura, nonostante

questo tipo di giunzione sia una delle piu diffuse, trovandosi nella maggior

parte dei tessuti di quasi tutte le specie animali. Al microscopio elettroni-

co tale giunzione si presenta come una macchia in cui le membrane di due

cellule adiacenti sono separate da un sottile interstizio di spessore uniforme

largo circa 2-4 nm attraversato da molecole proteiche che formano canali e

che consentono agli ioni inorganici e ad altre piccole molecole idrosolubili di

passare direttamente dal citoplasma di una cellula a quello di un’altra, rea-

lizzando un accoppiamento sia elettrico che metabolico.

La prova iniziale di tale accoppiamento cellulare derivo dagli studi elettrofisio-

logici effettuati su specifiche coppie di cellule nervose interagenti nel cordone

neurale del gambero; quando fu creato, mediante elettrodi inseriti in entram-

be le cellule interagenti, un gradiente di voltaggio attraverso la membrana

di giunzione, si osservo un ampio flusso di corrente. Tale risultato sugge-

risce che gli ioni inorganici, che trasportano la corrente nei tessuti viventi,

possono liberamente passare dall’interno di una cellula all’altra, ed esperi-

menti successivi hanno dimostrato che piccole molecole fluorescenti iniettate

all’interno di una cellula possono allo stesso modo passare rapidamente alle


cellule adiacenti senza versarsi nello spazio intercellulare, a condizione che

non siano troppo pesanti. Questo limite giustifica l’esistenza di una dimen-

sione funzionale massima del poro nei canali di connessione di circa 1,5 nm,

ed implica che cellule accoppiate condividano le molecole piccole, come gli

ioni inorganici, gli zuccheri, gli amminoacidi, i nucleotidi e le vitamine, ma

non le macromolecole quali le proteine, gli acidi nucleici ed i polisaccaridi.

La prova che le giunzioni gap mediano l’accoppiamento elettrico e chimico tra

cellule in contatto reciproco deriva da numerosi dati sperimentali, e le loro

strutture si possono quasi sempre mettere in evidenza dove possono essere

dimostrate mediante criteri elettrici e chimici, mentre non esiste accoppia-

mento funzionale tra cellule di vertebrati dove non ci sono giunzioni gap.

Le giunzioni gap sono composte strutturalmente da proteine transmembra-

na che formano strutture dette connessoni, ed i connessoni presenti nella

membrana plasmatica di due cellule in contatto formano un canale non con-

tinuo che collega l’interno di due cellule, come si puo vedere in figura 2.45, e

sporgono da ciascuna superficie cellulare tenendo le membrane plasmatiche

interagenti ad una distanza fissa l’una dall’altra. Nelle fotografie al microsco-

pio elettronico eseguite con la tecnica del congelamento-frattura i connessoni

appaiono come particelle collocate all’interno della membrana cellulare, e cia-

scuna giunzione gap puo contenere un gruppo composto da varie centinaia

di connessoni.

Ciascun connessone e composto da un anello costituito da sei subunita protei-

che identiche dette connessine, ognuna delle quali contiene presumibilmente

quattro α-eliche che attraversano la membrana; si pensa che le sei subunita

si uniscano a formare un connessone con un poro centrale delimitato da una

α-elica transmembrana appartenente a ciascuna subunita. Le sei connessine

costituiscono un canale piu grosso e piu permeabile rispetto a quello costi-

tuito dalle cinque subunita dei canali ionici attivati da neurotrasmettitori o

rispetto a quello formato dalle quattro subunita dei canali cationici attivati

dal voltaggio.

Le giunzioni gap dei diversi tessuti possono avere proprieta differenti, ad

esempio puo variare la permeabilita dei loro canali, e queste variazioni riflet-


2.2 Propagazione dei segnali nervosi 51

Figura 2.4: Modello di giunzione gap

tono differenze nelle connessine che formano le giunzioni. Alcuni tipi cellulari

esprimono piu di un tipo di connessina, ma non e chiaro se differenti con-

nessine si aggreghino sempre a formare lo stesso connessone. Nonostante le

differenze esistenti tra le varie connessine, la loro struttura e la loro funzione

di base sono state notevolmente conservate nel corso dell’evoluzione e, almeno

in coltura, una cellula che esprime un tipo di connessina puo spesso formare

una giunzione gap con una cellula che esprime una diversa connessina, anche

se le due cellule provengono da vertebrati differenti.

Analogamente a quanto avviene per i canali ionici, i singoli canali delle giun-

zioni gap non rimangono continuamente aperti, ma oscillano tra una posi-

zione di apertura ed una di chiusura; inoltre la permeabilita decresce rapi-

damente (nel giro di secondi) e reversibilmente per effetto di manipolazioni

sperimentali che diminuiscono il pH citosolico o diminuiscono la concentra-

zione citosolica di Ca2+ libero. Queste osservazioni indicano che i canali delle

giunzioni gap, analogamente a quelli ionici, sono strutture dinamiche sotto-

poste a regolazione, in quanto possono andare incontro ad un cambiamento

conformazionale reversibile che chiude il canale in risposta a cambiamenti

intracellulari.

2 Propagazione dei segnali nervosiNel sistema nervoso centrale un singolo neurone puo ricevere segnali da mi-

gliaia di altri neuroni, deve combinare tutte queste informazioni e reagire

scaricando potenziali d’azione lungo il suo assone o restando a riposo. Di


tutte le sinapsi di un neurone, alcune tenderanno ad eccitarlo ed altre ad

inibirlo: il neurotrasmettitore rilasciato a livello di sinapsi eccitatoria pro-

voca una piccola depolarizzazione della membrana postsinaptica, chiamata

potenziale eccitatorio postsinaptico, mentre un neurotrasmettitore rilasciato

ad una sinapsi inibitoria provoca in genere una piccola iperpolarizzazione

chiamata potenziale inibitorio postsinaptico.

Poiche la membrana dei dendriti e del corpo cellulare della maggior parte dei

neuroni contiene pochi canali del Na+ regolati dal voltaggio, un potenziale ec-

citatorio postsinaptico singolo in genere non scatena un potenziale d’azione,

ma ciascun segnale in arrivo si riflette in un potenziale postsinaptico locale di

grandezza graduata che diminuisce con la distanza dal sito della sinapsi. Se

arrivano simultaneamente segnali a parecchie sinapsi nella stessa regione del-

l’albero dendritico, il potenziale postsinaptico totale nelle vicinanze sara piu

o meno la somma dei singoli potenziali postsinaptici, con quelli inibitori che

contribuiscono negativamente. Da ciascuna regione i potenziali postsinaptici

diffondono passivamente convergendo sul corpo cellulare, che essendo piccolo

rispetto all’albero dendritico avra un potenziale di membrana pressoche uni-

forme, e sara il risultato degli effetti di tutti i segnali che arrivano alla cellula,

pesati secondo le distanze delle sinapsi dal corpo cellulare. Il grande poten-

ziale postsinaptico del corpo cellulare rappresenta quindi la somma spaziale

di tutti gli stimoli ricevuti, che sara una depolarizzazione se predominano i

segnali eccitatori, ma sara in genere una iperpolarizzazione se a predominare

sono i segnali inibitori.

Se un potenziale d’azione arriva ad una sinapsi e scatena il rilascio del neu-

rotrasmettitore prima del decadimento totale di un potenziale postsinaptico

precedente alla stessa sinapsi, esso si aggiunge alla coda del primo; se arrivano

molti potenziali d’azione in rapida successione, ciascun potenziale postsinap-

tico si aggiunge alla coda del precedente costituendo un grande e sostenuto

potenziale postsinaptico medio la cui grandezza riflette il ritmo di scarica

del neurone presinaptico, realizzando una somma temporale che traduce la

frequenza dei segnali in arrivo nell’ampiezza di un potenziale postsinaptico

netto.

La somma spaziale e la somma temporale forniscono i mezzi mediante i quali

i ritmi di scarica di molti neuroni presinaptici controllano congiuntamente il


potenziale di membrana nel corpo di una singola cellula postsinaptica, ov-

vero il suo grande potenziale postsinaptico. Il passaggio finale nel computo

neuronale della cellula postsinaptica e la generazione di un segnale di usci-

ta, in genere sotto forma di potenziali d’azione, che riflette la grandezza del

grande potenziale postsinaptico del corpo cellulare; quest’ultimo e infatti una

variabile continua, mentre i potenziali d’azione sono del tipo “tutto o niente”

ed hanno dimensioni uniformi. L’unica variabile nella segnalazione median-

te potenziali d’azione e l’intervallo di tempo fra due potenziali consecutivi:

si assiste percio ad una codifica in frequenza dell’ampiezza del grande po-

tenziale postsinaptico, che ne permette una trasmissione a lunga distanza.

Questa codifica viene ottenuta mediante una serie speciale di canali ionici

regolati che sono presenti ad alta densita alla base dell’assone ed adiacenti

al corpo cellulare, in una regione nota come collinetta assonica (figura 2.56).

Tale regione e ricca di canali del Na+ regolati dal voltaggio, ma contiene an-

Figura 2.5: Corpo cellulare di un motoneurone del midollo spinale

che almeno quattro altre classi di canali ionici, tre selettivi per il K+ ed uno

selettivo per il Ca2+; le tre varieta di canali del K+ hanno proprieta diverse,

e sono chiamati rispettivamente ritardati, precoci ed attivati dal Ca2+.

Per comprendere la necessita di tipi multipli di canali, si consideri per prima

cosa cio che succederebbe se gli unici canali regolati dal voltaggio presenti

nella cellula nervosa fossero quelli del Na+: sotto un certo livello di soglia di

stimolazione sinaptica, la depolarizzazione della membrana della collinetta



assonica sarebbe infatti insufficiente a scatenare un potenziale d’azione. Con

una stimolazione gradualmente crescente, si supererebbe il livello di soglia, i

canali del Na+ si aprirebbero e verrebbe inviato un potenziale d’azione, che

verrebbe terminato mediante inattivazione degli stessi canali. Questo pro-

cesso richiederebbe pero un ritorno del voltaggio di membrana ad un valore

molto negativo, cosa che non potrebbe succedere finche viene mantenuto il

forte stimolo depolarizzante da parte dei potenziali postsinaptici: e quindi

necessario un altro tipo di canale per ripolarizzare la membrana dopo ogni

potenziale d’azione , allo scopo di preparare la cellula ad inviare un nuovo

impulso.

Questo compito e svolto dai canali ritardati del K+, che sono regolati dal

voltaggio ma che a causa della loro cinetica lenta si aprono soltanto durante

la fase di caduta del potenziale d’azione, quando i canali del Na+ sono inatti-

vi. La loro apertura permette un efflusso di ioni K+ che spinge la membrana

verso il potenziale di equilibrio del K+, che e cosı negativo che i canali del

Na+ recuperano rapidamente dal loro stato di inattivazione, e la ripolarizza-

zione causa anche la chiusura degli stessi canali ritardati del K+. La collinetta

assonica e cosı riportata in una condizione in cui lo stimolo depolarizzante

dovuto a segnali sinaptici in entrata puo produrre un nuovo potenziale d’a-

zione, ed una stimolazione sostenuta dei dendriti e del corpo cellulare porta

l’assone a generare ripetuti potenziali d’azione.

La ripetizione del fenomeno non e di per se sufficiente, in quanto la frequenza

delle scariche deve riflettere l’intensita dello stimolo, ed un sistema semplice

composto da canali del Na+ e da canali ritardati del K+ non e adeguato a

questo scopo. Sotto un certo livello di soglia di stimolazione stabile, la cellu-

la non invia alcun potenziale d’azione, mentre sopra quella soglia comincera

improvvisamente ad inviare i propri potenziali d’azione con una frequenza

relativamente alta.

I canali precoci del K+ sono anch’essi regolati dal voltaggio e si aprono quan-

do la membrana e depolarizzata, ma la loro sensibilita al voltaggio e la loro

cinetica di inattivazione sono tali da farli agire in modo da ridurre la frequen-

za di invio dei potenziali a livelli di stimolazione appena superiori alla soglia.

In questo modo essi rimuovono la discontinuita nella relazione tra frequen-

za di produzione e intensita di stimolazione, realizzando una frequenza di


scarica proporzionale all’intensita dello stimolo depolarizzante in un ambito

piuttosto ampio.

Il processo di codifica e in genere modulato ulteriormente dagli altri due tipi

di canali ionici nella collinetta assonica prima menzionati, ovvero i canali del

Ca2+ regolati dal voltaggio ed i canali del K+ regolati dal Ca2+, che agisco-

no insieme facendo diminuire la risposta della cellula ad una stimolazione

prolungata che non cambia nel tempo, creando un processo di adattamento.

I canali del Ca2+ di questa regione del neurone sono simili ai loro omoni-

mi che mediano il rilascio di neurotrasmettitori dalle terminazioni assoniche

presinaptiche e si aprono quando viene inviato un potenziale d’azione, per-

mettendo un ingresso temporaneo di Ca2+ nella collinetta assonica. Il canale

del K+ attivato dal Ca2+ e diverso sia strutturalmente che funzionalmente

da tutti i tipi di canali descritti finora, aprendosi in risposta ad un aumento

della concentrazione di Ca2+ sulla faccia citoplasmatica della membrana della

cellula nervosa. Quando si ha un forte stimolo depolarizzante applicato per

un periodo di tempo lungo che scatena un lungo treno di potenziali d’azione,

ciascuno di questi potenziali permette un breve afflusso di Ca2+ attraverso

i canali del Ca2+ regolati dal voltaggio, cosı che la concentrazione di questo

ione all’interno della cellula cresce gradualmente fino ad un livello sufficiente

da aprire i canali del K+ attivati dal Ca2+. Poiche l’aumentata permeabilita

della membrana al K+ che risulta da questo processo rende la membrana piu

difficile da depolarizzare, aumenta il ritardo fra la generazione di un poten-

ziale d’azione ed il successivo, cosı un neurone che e stimolato continuamente

per un periodo prolungato risponde gradualmente sempre meno allo stimolo

costante. Questo adattamento permette ad un neurone di reagire in modo

sensibile al cambiamento, anche contro un alto livello di fondo di stimolazio-

ne stabile.

Altri neuroni fanno calcoli diversi, reagendo ai segnali sinaptici di ingresso in

vari modi, riflettendo le diverse combinazioni di membri delle varie famiglie di

canali ionici che hanno nella loro membrana: esistono infatti almeno cinque

tipi noti di canali del Ca2+ regolati dal voltaggio nel sistema nervoso dei

vertebrati, ed almeno quattro tipi noti di canali del K+ regolati dal voltaggio.


2.1 Velocita di conduzione

La velocita di conduzione lungo una fibra nervosa e determinata dalle pro-

prieta elettriche del citoplasma e della membrana che circonda la fibra, ed

anche dal diametro della fibra stessa. Infatti le fibre che hanno diametro mag-

giore hanno velocita di conduzione piu elevata, e cio e dovuto principalmente

al fatto che la resistenza del citoplasma alla conduzione lungo la fibra si ri-

duce quando il diametro della fibra stessa (e quindi la sua area di sezione

trasversa) aumenta.

Alcune fibre nervose dei vertebrati sono rivestite da mielina, che e formata da

avvolgimenti multipli delle membrane plasmatiche delle cellule di Schwann

che si arrotolano a spirale attorno alla fibra nervosa; la guaina mielinica e

costituita da piu di un centinaio di avvolgimenti della membrana plasmatica

di queste cellule. Le interruzioni presenti nella guaina ogni 1 o 2 mm sono

note come nodi di Ranvier, che sono larghi circa 1 µm e sono gli spazi late-

rali tra due cellule di Schwann poste in successione lungo l’assone. La guaina

mielinica e in grado di modificare le proprieta elettriche delle fibre nervose e

provocare un notevole incremento della velocita di conduzione della fibra.

Un assone gigante di calamaro con un diametro di 500 µm conduce gli impulsi

alla velocita di 25 m/s ed e privo di guaina mielinica; se la velocita di con-

duzione fosse direttamente proporzionale al diametro di una fibra, nell’uomo

una fibra con un diametro di 10 µm condurrebbe gli impulsi alla velocita di

0,5 m/s. Anche se le fibre nervose umane hanno un diametro molto minore

di quello dell’assone gigante di calamaro, la trasmissione dei segnali e piu

rapida in quanto la guaina mielinica che avvolge alcune fibre nervose dei ver-

tebrati incrementa la costante di spazio dell’assone, riduce la capacita della

membrana e rende possibile l’insorgere dei potenziali solo a livello dei nodi

di Ranvier, dove la costante di spazio e definita come la radice quadrata di

rm/rin, con rm resistenza di membrana e rin resistenza del citoplasma.

I molteplici avvolgimenti della guaina attorno all’assone rendono la resistenza

effettiva della membrana molto piu elevata, pertanto il rapporto rm/rin au-

menta, cosı come la costante di spazio; inoltre grazie all’isolamento elettrico

della guaina mielinica, viene persa una quantita minore del segnale condotto.

La membrana rivestita da questa guaina, possedendo una capacita elettrica

inferiore a quella delle membrane che ne sono prive, si puo depolarizzare piu

2.2.2 Risposta agli stimoli 57

rapidamente e quindi la velocita di conduzione e maggiore.

La resistenza al flusso degli ioni attraverso i numerosi strati della membrana

delle cellule di Schwann che formano la guaina mielinica e cosı elevata che le

correnti ioniche sono di fatto localizzate solo nel breve tratto di membrana

priva di questa guaina, cioe nei nodi di Ranvier. Per questa ragione il po-

tenziale d’azione si genera solo a livello dei nodi di Ranvier, che distano 1-2

mm l’uno dall’altro, e non in ogni singolo tratto di membrana come avviene

nelle fibre amieliniche; il potenziale d’azione viene condotto velocemente da

un nodo di Ranvier al successivo, dove si rigenera. Inoltre per il fatto che solo

una piccola porzione di membrana e interessata da corrente, e implicato un

numero inferiore di ioni Na+ e K+, quindi e necessario un minor lavoro della

pompa Na+-K+ per mantenere i normali livelli di concentrazione, rendendo

il metabolismo piu efficiente.

2.2 Risposta agli stimoli

Alcune cellule sono in grado di trasformare le forme di energia dei diversi sti-

moli provenienti dall’esterno in variazioni di potenziale elettrico che possono

in seguito essere trasmesse: esse sono chiamate cellule recettrici ed ognuna di

esse e orientata in modo altamente selettivo per la ricezione di una determi-

nata forma di stimolo. E possibile classificare i recettori a seconda del tipo di

stimolo per il quale mostrano la massima sensibilita, anche se la specificita

dello stimolo di una cellula recettrice non e pero sempre assoluta: quasi tutti

i recettori sono eccitati, per esempio, dalla corrente elettrica.

In relazione alle loro diversita funzionali, le varie cellule recettrici mostrano

una grande molteplicita di struttura. All’interno dei recettori la maggior par-

te dello spazio e dedicato alla trasformazione del segnale, per esempio ciglia o

microvilli modificati, ma anche l’intera cellula puo partecipare al processo di

trasformazione del segnale. Inoltre le cellule sensoriali sono spesso associate

con particolari strutture accessorie che conducono gli stimoli, hanno funzioni

sensoriali di filtro e agiscono sulla selettivita insieme alle cellule recettrici a

loro associate. La struttura delle cellule recettrici e delle strutture associate

e improntata sulla registrazione di un tipo di stimolo ben preciso, tuttavia

l’origine primaria della specificita dello stimolo di queste cellule non si basa

ne sulla struttura fine ne sulle proprieta delle strutture accessorie, ma e fon-


data sulle proprieta del processo di trasduzione.

I processi di trasduzione sensoriale conducono alla formazione di variazioni

di potenziale sulla membrana della cellula tramite meccanismi molecolari che

influiscono in modo diretto o indiretto sui canali ionici, per variare i flussi

ionici e produrre segnali elettrici. I distretti di trasduzione delle cellule re-

cettrici sono per lo piu molto piccoli e gli speciali canali ionici che giocano

un ruolo fondamentale nella trasformazione dello stimolo sono difficilmente

accessibili per la sperimentazione, per cui nella maggior parte dei casi non

e ancora conosciuta una completa catena molecolare di azione per una tra-

sformazione dello stimolo; e pero chiaro che non esiste alcun meccanismo

unitario per tale trasformazione e che tra le variazioni dello stimolo e quelle

del potenziale si possono costruire passaggi intermedi di diversa complessita.

La trasduzione in elettrorecettori e la piu semplice ed avviene apparentemen-

te senza il coinvolgimento di canali ionici che trasformano il segnale; in queste

cellule non si ha una vera trasformazione di energia, poiche un segnale elet-

trico viene tradotto in un altro segnale elettrico a causa della disposizione

asimmetrica della membrana cellulare di queste cellule. La parte esterna del-

la cellula ha una resistenza elettrica molto limitata, mentre la parte basale

opposta ne ha una molto alta, per cui correnti elettriche che attraversano la

cellula portano alla formazione di un potenziale oltre l’alta resistenza della

membrana cellulare basale.

I processi di trasduzione che si svolgono nei meccanorecettori sono piu compli-

cati, in quanto speciali canali ionici producono variazioni di energia trasfor-

mando stimoli meccanici in segnali elettrici. Alcuni tipi di queste cellule sono

caratterizzate dalle cosiddette stereociglia, che sono in realta estroflessioni

della membrana stabilizzate da attinofilamenti e che sono legate all’apice

della cellula cigliata, nelle cui vicinanze si trovano i canali ionici. Sebbene

il meccanismo molecolare di attivazione di questi canali non sia ancora co-

nosciuto, una deformazione meccanica delle stereociglia potrebbe influenzare

direttamente il processo di attivazione; il tempo di latenza tra lo stimolo e la

variazione di conduttivita nella membrana del recettore e dell’ordine di pochi

microsecondi ed e quindi troppo breve per permettere il decorso di processi

biologici intermedi, si tratta quindi evidentemente di canali ionici attivabili

2.2.2 Risposta agli stimoli 59

per mezzo di sollecitazioni meccaniche e non elettriche. I canali ionici han-

no nella loro forma aperta una conduttivita di circa 20 pS, per cui lasciano

passare in modo relativamente poco selettivo la maggior parte degli cationi

piu piccoli; sembra che questi canali passino ad una forma aperta per la de-

formazione delle stereociglia in una direzione, mentre passino ad una forma

chiusa per la deformazione delle stesse nella direzione opposta.

Per la trasformazione dello stimolo chemiosensoriale si aggiungono ulteriori

complessita, dal momento che non c’e ancora piena chiarezza sui processi

molecolari; per i chemiosensori si devono comunque distinguere almeno due

fasi di reazione nel processo di trasduzione:

• le molecole dello stimolo devono innanzitutto legarsi nella membrana

delle cellule sensoriali con le idonee molecole recettrici, e si deve ac-

cettare che ci sia una molteplicita di diverse molecole recettrici, o loro

sottounita, per diversi tipi di molecole stimolanti;

• i canali ionici, per l’avvenuto legame, devono passare nella membrana

cellulare dalla forma chiusa a quella aperta.

Non e chiaro se le molecole recettrici ed i canali ionici siano molecole diverse

o se le molecole recettrici abbiano anche la funzione di canali ionici; non e

chiaro nemmeno se esistano anche delle reazioni biochimiche tra l’attivazione

delle molecole e l’apertura dei canali ionici: eventualmente potrebbe formar-

si, come anello di congiunzione, un sistema in cascata di enzimi dipendente

da un secondo messaggero. Sembra pero probabile che si svolgano proces-

si molecolari paragonabili ad una sinapsi chimica sia nella trasduzione nelle

cellule recettrici chemiosensoriali che nella trasformazione del segnale sulla

membrana postsinaptica.

Nella fototrasduzione si evidenzia chiaramente che nei processi di trasduzio-

ne delle cellule sensoriali possono svolgersi processi simili a quelli della tra-

smissione sinaptica dei neuroni; nelle cellule fotosensibili vengono assorbiti

singoli quanti di luce dalle molecole del pigmento, le rodospine, e contem-

poraneamente avvengono variazioni nella conformazione di queste cellule che

scatenano quelle reazioni biochimiche che mutano la risposta dei canali ionici

nella membrana cellulare. Mentre nei fotorecettori della maggior parte degli

invertebrati si perviene ad un aumento della conduttivita degli ioni Na+ e le

cellule si depolarizzano in risposta alla luce, nei fotorecettori dei vertebrati


si giunge ad una diminuzione della conduttivita degli ioni Na+, per cui le

cellule si iperpolarizzano in risposta alla luce. In entrambi i casi le rispettive

molecole di rodospina mostrano nella loro struttura primaria un elevato gra-

do di omologia di sequenza con determinate molecole recettrici sinaptiche;

inoltre per i fotorecettori dei vertebrati si e accertato che la catena di reazione

suscitata si svolge con un sistema di secondo messaggero, mentre nelle stes-

se cellule degli invertebrati si innestano cascate di reazioni biochimiche tra

l’attivazione della rodospina e la variazione di conduttivita della membrana

con meccanismi non ancora completamente chiari.

2.3 Potenziale di recettore

La caratteristica comune di tutti i processi di trasduzione e l’influenza che

esercitano sulle correnti ioniche che attraversano la membrana e che si basa

sull’apertura o chiusura dei canali ionici della membrana stessa; come risulta-

to della trasformazione dello stimolo si giunge ad una variazione di potenziale

nella membrana che viene definito come potenziale di recettore, il cui mecca-

nismo di generazione e molto simile a quello del potenziale sinaptico.

Il decorso temporale del potenziale di recettore puo essere complesso, se so-

no interessati alla formazione del potenziale altri canali ionici dipendenti

dal voltaggio oltre agli eventi di transmembrana che trasformano il segna-

le. Semplificando si puo dire che per la maggior parte delle cellule recettrici

l’ampiezza del potenziale di recettore e proporzionale al logaritmo dell’inten-

sita dello stimolo: cio si ricava dall’equazione di Goldman, la quale mostra

la dipendenza del potenziale di membrana dal logaritmo della permeabilita

ionica. Da questo tipo di andamento deriva il fatto che l’aumento di potenza

della cellula recettrice in seguito all’aumento di energia dello stimolo viene

sempre piu indebolito; per potenze dello stimolo molto alte si raggiungono

valori di saturazione del potenziale di recettore, poiche tale potenziale si di-

rige verso il suo limitante potenziale di inversione oppure tutti i canali ionici

disponibili sono impiegati nella trasformazione del segnale. Sotto il livello di

saturazione una cellula recettrice, nel suo campo di lavoro dinamico, e nella

condizione di codificare, nel tempo ed in ampiezza, il decorso di uno stimolo

nel decorso del potenziale di recettore.

Un’altra caratteristica di questo tipo di potenziale e che varia continuamen-

2.2.3 Potenziale di recettore 61

te in ampiezza e si espande in modo passivo dalla sua origine nella cellula

recettrice; in molte cellule sensoriali, soprattutto in quelle piccole e prive

di assone, il potenziale di recettore influenza in modo diretto la liberazione

del mediatore sinaptico emesso da queste cellule, per cui un potenziale di

recettore depolarizzante porta ad un aumento della liberazione di mediato-

ri, mentre un potenziale di recettore iperpolarizzante ad una sua riduzione.

Il meccanismo molecolare e, come in altre sinapsi chimiche, la modulazione

legata al potenziale dell’esocitosi dipendente dal Ca2+ di vescicole presinap-

tiche contenenti mediatori. Alcune cellule recettrici hanno un potenziale di

riposo che e piu negativo del valore di soglia per la liberazione del media-

tore, per cui il recettore deve raggiungere il valore di soglia prima che un

messaggio sensoriale possa essere trasmesso, mentre altre liberano mediatori

anche in assenza di stimoli, con il vantaggio che per variazioni limitate del

potenziale di recettore si puo influenzare il rilascio dei mediatori, rendendo

la trasmissione sensoriale piu sensibile: in questo modo e possibile realizzare

una modulazione bidirezionale della liberazione dei mediatori per mezzo del

potenziale di recettore, per cui si possono seganalare aumenti o diminuzioni

dello stimolo rispetto al valore di riferimento dello stato di riposo in modo

ugualmente sensibile.

Nelle cellule recettrici che presentano un lungo assone e necessaria una con-

versione di un potenziale di recettore in potenziale d’azione allo scopo di

trasmettere correttamente il segnale: questo processo e simile alla conver-

sione dei potenziali postsinaptici sommati per produrre potenziali d’azione.

Sono stati studiati i recettori di tensione di alcuni animali, che possono essere

suddivisi dal punto di vista funzionale in una zona di trasduzione dell’impul-

so, in una zona di origine dell’impulso ed in una regione di derivazione, come

si vede nella figura 2.67. Il potenziale di recettore deve innanzitutto esse-

re condotto elettrotonicamente nella zona di inizio dell’impulso prima che si

possa formare un potenziale d’azione: nel passaggio da potenziali di recettore

continuamente variabili in eccitazioni del tipo “tutto o niente” del potenzia-

le d’azione, l’ampiezza del potenziale di recettore viene rappresentata dalla

lunghezza dell’intervallo tra i potenziali d’azione, e poiche questi ultimi pos-

7H.Reichert, Neurobiologia, Zanichelli


Figura 2.6: Conversione di un potenziale di recettore in potenziale d’azione

sono variare quasi di continuo, nella decodificazione si perde solamente una

piccola parte dell’informazione. I potenziali d’azione vengono condotti sen-

za decremento fino alle terminazioni presinaptiche di altre cellule recettrici,

dove influenzano il rilascio di mediatori.

3 Le cellule muscolariLa trasmissione dei segnali neuronali ai fasci muscolari viene condotta da

speciali cellule nervose, i motoneuroni, che hanno il compito di tradurre l’at-

tivita neuronale in energia meccanica, controllando in modo preciso l’attiva-

zione dei muscoli. Nei successivi paragrafi verranno analizzate le principali

caratteristiche di queste cellule.

3.1 Struttura dei motoneuroniI motoneuroni somatici dei vertebrati hanno un corpo cellulare multipolare

che si trova nel corno ventrale del midollo spinale, e ricevono entrate sinap-

tiche soprattutto dai dendriti e dai corpi cellulari, integrandole e formando

potenziali d’azione sugli assoni vicini al corpo cellulare. Negli invertebrati i

motoneuroni somatici sono invece per lo piu unipolari, hanno un corpo cel-

lulare che spesso non e eccitabile elettricamente ed e isolato dalle entrate

sinaptiche al di fuori della zona di integrazione del neuropilo, che e la zona

che identifica l’intreccio di fibre nervose, assoni e dendriti non mielinizzati

che partono dai neuroni. Un sottile neurite unisce questo corpo cellulare alla

zona di integrazione dendritica, nella quale sono rappresentate la maggior

2.3.2 Struttura della cellula muscolare del muscolo scheletrico 63

parte delle sinapsi; le superfici di membrana in questa zona del neurone pos-

sono essere molto eterogenee: in parte eccitabili, in parte non eccitabili, in

parte specializzate per la trasmissione sinaptica dendrodendritica. Anche la

trasmissione del segnale neuromuscolare puo avvenire in modi molto vari: i

motoneuroni che innervano i fasci muscolari striati formano sinapsi diretta-

mente con le cellule muscolari, mentre quelli che innervano la muscolatura

liscia non formano sinapsi dirette, ma terminano in rigonfiamenti assonici,

detti varicosita, dai quali viene liberato il mediatore in modo incontrollato.

In molti fasci muscolari striati dei vertebrati viene costituita per ogni fibra

muscolare solo una zona di contatto sinaptica che viene descritta come si-

napsi neuromuscolare o placca motrice terminale, mentre altri fasci muscolari

dello stesso tipo sono innervati con piu terminali, cioe ricevono contatti da

piu sinapsi ripartite su tutta la fibra; negli invertebrati una fibra muscolare

puo essere innervata anche in modo polineuronale da diversi motoneuroni.

Un singolo motoneurone innerva in genere parecchi fasci muscolari, mentre

costituisce con le sue fibre muscolari postsinaptiche una unita motoria, la

quale puo contare fino ad un migliaio di fibre muscolari.

3.2 Struttura della cellula muscolare del muscolo sche-

letrico

Le lunghe e sottili fibre muscolari del muscolo scheletrico sono enormi cellule

formate durante lo sviluppo dalla fusione di molte cellule separate; i nuclei

delle cellule che si sono fuse sono conservati in questa grande cellula e si

trovano appena sotto la membrana plasmatica, mentre la massa del citopla-

sma, circa due terzi della massa secca, e composta da miofibrille, gli elementi

contrattili della cellula muscolare. Esse sono strutture cilindriche con un dia-

metro di 1-2 µm e sono spesso lunghe quanto la stessa cellula muscolare.

Ciascuna miofibrilla consiste di una catena di minuscole unita contrattili, i

sarcomeri, ognuno lungo 2,2 µm, che danno alla miofibrilla dei vertebrati

il tipico effetto striato; ad alto ingrandimento in ciascun sarcomero si puo

vedere una serie di larghe bande chiare e scure, mentre una linea densa al

centro di ciascuna banda chiara separa un sarcomero dal successivo ed e nota

come disco Z. Ciascun sarcomero comprende un complesso disposto in mo-

do preciso di filamenti paralleli e parzialmente sovrapposti: filamenti sottili


composti da actina (linea rossa della figura 2.7 (A)8) con le proteine asso-

ciate sono attaccati ai dischi Z ad entrambe le estremita del sarcomero e si

estendono verso il centro del sarcomero stesso, dove si sovrappongono con fi-

lamenti spessi, polimeri di isoforme specifiche del muscolo di miosina II (linea

verde della figura 2.7 (A)). Esaminando questa regione di sovrapposizione in

Figura 2.7: Disegno schematico di un sarcomero e modello di scivolamento del

filamento della contrazione muscolare

sezioni trasversali al microscopio elettronico, i filamenti di miosina si vedono

disposti in un reticolo esagonale regolare, con i filamenti di actina posti in

modo regolare tra di essi.

3.3 La trasmissione neuromuscolareNei muscoli scheletrici dei vertebrati un potenziale d’azione nel motoneuro-

ne presinaptico porta alla formazione di un potenziale d’azione nelle fibre

muscolari postsinaptiche, il quale si diffonde rigenerativamente lungo tutta

la fibra muscolare: questa trasmissione sinaptica e, come la conduzione del

segnale in un assone, un fenomeno del tipo “tutto o niente”. In altre sinapsi

neuromuscolari, come nei muscoli tonici innervati da piu terminali dei verte-

brati, in seguito ad un potenziale d’azione presinaptico si forma nella fibra

muscolare soltanto una depolarizzazione postsinaptica in molti punti di con-

tatto che si diffonde elettrotonicamente su tutta la fibra. Negli invertebrati

si formano, su un potenziale d’azione presinaptico, potenziali postsinaptici

graduati, potenziali d’azione rigenerativi del tipo “tutto o niente”, oppure

ancora risposte postsinaptiche rigenerative graduate, a seconda del tipo di

fibre muscolari interessate.


2.3.3 La trasmissione neuromuscolare 65

Il processo che porta alla contrazione di una cellula muscolare in seguito ad

un impulso nervoso richiede l’attivazione sequenziale di cinque serie diverse

di canali ionici nel giro di pochi millisecondi, come indicato schematicamente

in figura 2.89. Il processo inizia quando l’impulso raggiunge la terminazio-

Figura 2.8: Sistema di canali ionici di una giunzione neuromuscolare

ne nervosa e depolarizza la membrana plasmatica della terminazione stessa:

tale depolarizzazione apre temporaneamente i canali del Ca2+ regolati dal

voltaggio di questa membrana, permettendo allo ione Ca2+ di entrare nella

terminazione nervosa a causa della sua differenza di concentrazione. L’au-

mento della concentrazione del Ca2+ nel citosol della terminazione nervosa

scatena il rilascio localizzato di acetilcolina nella fessura sinaptica.

L’acetilcolina rilasciata si lega ai recettori dell’acetilcolina nella membrana

plasmatica della cellula muscolare, aprendo temporaneamente i canali catio-

nici associati ai recettori; il flusso verso l’interno di ioni Na+ che ne deriva

provoca una depolarizzazione localizzata della membrana.

La depolarizzazione locale della membrana plasmatica della cellula muscola-

re apre i canali del Na+ regolati dal voltaggio di questa membrana, facendo

entrare altro Na+ che depolarizza ulteriormente la membrana; cio provoca

l’apertura di altri canali del Na+ che si trovano nelle vicinanze, propagando

una depolarizzazione, ovvero generando un potenziale d’azione autopropa-



gante che diffonde fino a coinvolgere l’intera membrana plasmatica.

La depolarizzazione generalizzata della membrana plasmatica della cellula

muscolare attiva i canali del Ca2+ regolati dal voltaggio in regioni specializ-

zate di questa membrana, cioe nei tubuli trasversi T, che verranno discussi

in seguito: questo processo provoca l’apertura temporanea dei canali che ri-

lasciano Ca2+ in una regione adiacente della membrana del reticolo sarcopla-

smatico, con successivo passaggio di questo ione dal reticolo sarcoplasmatico

stesso al citosol. L’improvviso aumento della concentrazione di Ca2+ citopla-

smatico fa contrarre le miofibrille del muscolo; non e certo come l’attivazione

dei canali del Ca2+ nella membrana del tubulo T porti all’apertura dei canali

di rilascio del Ca2+ nella membrana del reticolo sarcoplasmatico, ma le due

membrane sono comunque molto vicine, con i due tipi di canale uniti in una

struttura specializzata, quindi e possibile che un cambiamento indotto dal

voltaggio nella conformazione del canale del Ca2+ della membrana plasmati-

ca apra direttamente i canali di rilascio del Ca2+ del reticolo sarcoplasmatico

mediante un accoppiamento meccanico.

3.4 La contrazione muscolare

L’accorciamento del sarcomero e dovuto allo scivolamento dei filamenti di

miosina sui filamenti di actina senza cambiamento nella lunghezza dei due

tipi di filamenti, come indicato nella figura 2.7 (B)10; questo modello dello

scivolamento dei filamenti, proposto per la prima volta nel 195411, e stato

cruciale per la comprensione del meccanismo di contrazione.

Le basi ultrastrutturali per le interazioni che generano la forza sono visibili

ad altissimo ingrandimento nelle fotografie al microscopio elettronico, dove si

vede che i filamenti di miosina possiedono numerosi minuscoli bracci laterali,

detti ponti trasversali, che si estendono per circa 13 nm per prendere contatto

con filamenti adiacenti di actina. Questi ponti trasversali sono teste di mio-

sina e, quando un muscolo si contrae, i filamenti di actina e di miosina sono

tirati l’uno sull’altro dai ponti trasversali che agiscono ciclicamente come file

di minuscoli remi.

10B.Alberts et al., Molecular Biology of the Cell, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/books11H.E.Huxley, J.Hanson (1954) Changes in the cross-striations of muscle during

contraction and stretch and their structural interpretation Nature 173:973-976

2.3.4 La contrazione muscolare 67

La testa globulare, o dominio motore, della molecola di miosina II lega i

filamenti di actina ed idrolizza ATP; teste isolate di miosina II preparate

opportunamente in laboratorio mantengono sia l’attivita ATPasica che le

proprieta di legare i filamenti di actina della molecola intatta di miosina II e

possono essere usate per analizzare le interazioni fra actina e miosina.

Ciascuna molecola di un filamento di actina e capace di legare una testa di

miosina II formando un complesso che rivela la polarita strutturale del fila-

mento, per cui con una colorazione negativa e possibile vedere al microscopio

elettronico che questi complessi mostrano una forma regolare e caratteristica:

ciascuna testa di miosina forma una proiezione laterale e l’immagine sovrap-

posta di molte di queste proiezioni appare come un insieme di punte di freccia

che si susseguono lungo il filamento di actina. La punta creata da queste frec-

ce di miosina corrisponde all’estremita meno, o a crescita lenta, del filamento

di actina, mentre la coda corrisponde all’estremita piu, o a crescita rapida.

Le teste di miosina guardano in direzioni opposte su ciascun lato della re-

gione centrale nuda di un filamento di miosina II, e poiche le teste devono

interagire con i filamenti di actina nelle regioni in cui si sovrappongono, i

filamenti di actina su ciascun lato del sarcomero dovrebbero avere polarita

opposta. Cio e stato dimostrato usando teste di miosina II per decorare i

filamenti di actina attaccati a dischi Z isolati e verificando che tutte le punte

di freccia di miosina hanno direzione opposta al disco Z; l’estremita piu di

ciascun filamento di actina e immersa nel disco Z, mentre l’estremita meno

punta verso i filamenti di miosina, come si puo notare dalla figura 2.912. La

Figura 2.9: Schema in dettaglio di un sarcomero



contrazione muscolare e dovuta alle interazioni fra le teste di miosina II ed i fi-

lamenti adiacenti di actina durante le quali la testa di miosina idrolizza ATP:

tale processo porta alla formazione di due prodotti legati saldamente, ADP

e Pi, producendo anche una serie ordinata di cambiamenti allosterici nella

conformazione della miosina, ottenendo come risultato che parte dell’energia

rilasciata e accoppiata alla produzione di movimento. Il termine allosterico si

riferisce al fatto che proteine regolate da questo meccanismo esistono almeno

in due stati differenti controllati da sostanze regolatrici. Studi della struttura

tridimensionale della testa della miosina mediante analisi della diffrazione ai

raggi X, insieme a molti altri dati, hanno portato alla comprensione del modo

in cui l’idrolisi di ATP e accoppiata al movimento della miosina. Il ciclo per

mezzo del quale una molecola di miosina “cammina” lungo un filamento di

actina, portando anche all’idrolisi ed al rilascio di una molecola di ATP, puo

essere sintetizzato in alcuni punti:

attacco all’inizio del ciclo una testa di miosina priva di un nucleotide legato

si attacca saldamente su un filamento di actina in una configurazione

di rigor, ovvero di rigidita, per un periodo molto breve;

rilascio una molecola di ATP si lega alla larga fessura sul retro della testa,

cioe sul lato piu lontano del filamento di actina, provocando immedia-

tamente un cambiamento nella conformazione dei domini che compon-

gono il sito di legame dell’actina: cio riduce l’affinita della testa per

l’actina e le permette di muoversi lungo il filamento;

trazione la fessura si chiude come una conchiglia intorno alla molecola di

ATP provocando un grosso cambiamento di conformazione che fa spo-

stare la testa lungo il filamento di circa 5 nm, ottendendo l’idrolisi

dell’ATP ma mantenendo l’ADP ed il Pi prodotti saldamente legati

alla molecola;

generazione della forza il debole legame della testa della miosina con un

nuovo sito sul filamento di actina provoca il rilascio del fosfato inor-

ganico prodotto dall’idrolisi dell’ATP, rinforzando il legame della testa

dell’actina e scatenando il colpo di potenza, cioe il cambiamento di

conformazione durante il quale la testa riacquista la sua conformazione

originale e perde l’ADP, ritornando all’inizio di un nuovo ciclo;

attacco alla fine del ciclo la testa della miosina e di nuovo legata saldamente


al filamento di actina in una configurazione rigor, ma in una nuova

posizione sul filamento di actina.

La serie di cambiamenti di conformazione appena descritti e dovuta ad una

forte variazione favorevole di energia libera che la rende unidirezionale; cia-

scuna singola testa di miosina, percio, “cammina” in una sola direzione lungo

un filamento adiacente di actina, muovendosi sempre verso l’estremita piu.

Appena subisce il suo cambiamento ciclico di conformazione, la testa della

miosina esercita una trazione sul filamento di actina facendolo scivolare sul

filamento di miosina: una volta che una singola testa di miosina si e staccata

dal filamento di actina, viene spostata dall’azione di altre teste di miosina

dello stesso filamento, cosı che un’istantanea di un filamento intero di miosi-

na in un muscolo che si sta contraendo mostrerebbe una parte delle teste di

miosina attaccata ai filamenti di actina ed un’altra parte staccata. Ciascun

filamento di miosina ha circa 300 teste di miosina, e ciascuna testa percorre

un ciclo circa 5 volte al secondo durante una contrazione rapida, facendo

scivolare i filamenti di miosina e di actina uno sull’altro con una velocita di

circa 15 µm al secondo.

Le interazioni molecolari che generano la forza appena descritta avvengono

soltanto quando un segnale viene trasmesso al muscolo scheletrico dal suo

nervo motore: infatti il segnale proveniente dal nervo scatena un potenziale

d’azione nella membrana plasmatica della cellula muscolare, e questa ecci-

tazione elettrica diffonde rapidamente in una serie di pieghe di membrana,

i tubuli trasversi o tubuli T, che si estendono verso l’interno della membra-

na plasmatica che circonda la miofibrilla. Il segnale viene poi ritrasmesso,

attraverso una piccola interruzione, al reticolo sarcoplasmatico, una guaina

adiacente di vescicole appiattite collegate fra loro che circonda ciascuna mio-

fibrilla come una calza di rete. Nella regione giunzionale, grossi canali che

rilasciano Ca2+ si estendono come pilastri dalla membrana del reticolo sar-

coplasmatico per prendere contatto con la membrana dei tubuli T sull’altro

lato, come indicato in figura 2.1013. Quando proteine sensibili al voltaggio

nella membrana del tubulo T sono attivate dal potenziale d’azione in arrivo,

scatenano l’apertura di una parte dei canali del Ca2+, probabilmente median-

te accoppiamento meccanico diretto; gli ioni Ca2+ escono allora dal reticolo



Figura 2.10: Schema funzionale di un canale che rilascia Ca2+

sarcoplasmatico, dove sono immagazzinati in alta concentrazione, riversan-

dosi nella fessura della giunzione e provocando l’apertura di altri canali che

rilasciano Ca2+ amplificando cosı la risposta. Si noti che il flusso di ioni Ca2+

nel citosol da inizio alla contrazione di ciascuna miofibrilla.

Poiche il segnale passa dalla membrana plasmatica della cellula muscolare a

ciascun sarcomero della cellula in pochi millisecondi tramite i tubuli T ed

il reticolo sarcoplasmatico, tutte le miofibrille nella cellula si contraggono

contemporaneamente; l’aumento della concentrazione del Ca2+ nel citosol e

temporanea perche il Ca2+ e pompato rapidamente di nuovo nel reticolo sar-

coplasmatico da una abbondante ATPasi Ca2+ presente nella sua membrana.

La dipendenza dal Ca2+ della contrazione dei muscoli scheletrici dei verte-

brati, quindi la sua dipendenza da comandi motori trasmessi tramite i nervi,

e dovuta interamente ad una serie di proteine accessorie specializzate asso-

ciate strettamente ai filamenti di actina: infatti se miosina viene mescolata a

filamenti puri di actina in provetta, l’attivita ATPasica della miosina viene

stimolata indipendentemente dalla presenza di Ca2+, mentre in una miofibril-

la normale, in cui i filamenti di actina sono associati con proteine accessorie,

la stimolazione dell’attivita ATPasica della miosina dipende dal Ca2+.

Una di queste proteine accessorie e una forma muscolare di tropomiosina,

una molecola a forma di bacchetta che si lega nella scanalatura dell’elica

dell’actina: ciascuna molecola di tropomiosina ha sette regioni spaziate uni-

formemente di sequenza omologa, ciascuna delle quali si pensa che leghi un


monomero di actina. L’altra proteina principale coinvolta nella regolazione

del Ca2+ nel muscolo scheletrico dei vertebrati e la troponina, un complesso

di tre polipeptidi, detti troponina T, I e C, chiamate cosı per la loro attivita

rispettivamente di legare la tropomiosina, di inibire e di legare il calcio. Il

complesso della troponina ha forma allungata, con le subunita C ed I che

formano una regione di testa globulare e la subunita T che forma una lunga

coda che si lega alla tropomiosina e probabilmente e responsabile del posi-

zionamento del complesso sul filamento sottile; inoltre la troponina I si lega

ad actina e quando viene aggiunta a troponina T ed a tropomiosina, il com-

plesso inibisce le interazioni di actina e miosina anche in presenza di Ca2+.

L’ulteriore aggiunta della subunita C completa il complesso della troponina

e rende i suoi effetti sensibili al Ca2+, in quanto lega fino a quattro molecole

di questo ione, e quando il calcio e legato toglie l’inibizione dell’attacco della

miosina all’actina prodotto dalle altre due subunita della troponina. Inoltre

la troponina C e strettamente correlata alla calmodulina, che media le rispo-

ste segnalate dal Ca2+ in tutte le cellule, compresa l’attivazione della miosina

nella muscolatura liscia: la troponina C puo quindi essere considerata come

una forma specializzata di calmodulina che ha evoluto siti di attacco perma-

nenti per la troponina I e la troponina T, assicurando cosı che la miofibrilla

risponda con estrema rapidita ad un aumento della concentrazione di Ca2+.

Esiste una sola molecola del complesso delle troponine per ogni sette mono-

meri di actina in un filamento di quest’ultima, e studi strutturali suggerisco-

no che in un muscolo a riposo il legame della troponina I all’actina muove le

molecole di tropomiosina in una posizione sui filamenti di actina che in un

muscolo che si sta contraendo e occupata dalle teste di miosina e che inibisca

cosı le interazioni fra actina e miosina. Quando il livello di Ca2+ aumenta,

la troponina C fa rilasciare alla troponina I l’actina, permettendo cosı alle

molecole di tropomiosina di cambiare leggermente di posizione in modo che

le teste della miosina possano attaccarsi al filamento di actina.

La notevole velocita e la potenza della contrazione muscolare dipendono dal

fatto che i filamenti di actina e di miosina di ciascuna miofibrilla sono tenuti

a distanza ottimale e nel corretto allineamento per mezzo di alcune proteine

strutturali, le quali contribuiscono alla precisa architettura della miofibrilla,

ma sono tuttora oggetto di studio. I filamenti di actina sono ancorati, alle


loro estremita piu, al disco Z, dove sono tenuti in una disposizione a reticolo

quadrato da altre proteine; una delle proteine strutturali piu importanti in

questa regione e la α-actinina, che forma legami trasversali con l’actina, e

abbondante nella maggior parte delle cellule animali ed e concentrata nella

regione del disco Z della miofibrilla. Anche i filamenti di miosina sono tenuti

in un reticolo regolare, in questo caso esagonale, tramite proteine associate

che si legano a meta strada lungo i filamenti spessi bipolari.

Le cellule di muscolo scheletrico contengono due proteine particolarmente

grandi, chiamate titina e nebulina, che formano una rete di fibre associate

con i filamenti di actina e di miosina: le molecole di titina a forma di molla

si estendono dai filamenti spessi fino al disco Z, e si pensa che agiscano come

molle che mantengono i filamenti spessi di miosina centrati nel sarcomero,

mentre la nebulina e strettamente associata con i filamenti sottili di actina

e consiste quasi interamente di un motivo ripetuto di 35 amminoacidi che

lega actina. Il numero di questi motivi, e di conseguenza la lunghezza totale

della molecola di nebulina, e quello necessario all’estensione da una estremita

all’altra del filamento di actina, per cui questa proteina puo agire da “regolo

molecolare” per controllare l’assemblaggio dell’actina e la lunghezza dei fila-

menti di actina durante lo sviluppo del muscolo.

Le miofibrille sono attaccate le une alle altre fianco a fianco da un sistema di

filamenti intermedi di desmina, e l’intera struttura e poi ancorata alla mem-

brana plasmatica della cellula muscolare da varie proteine, compresa una

proteina flessibile ed allungata che lega actina ed e chiamata distrofina, che

ha una stretta somiglianza strutturale con la spettrina.

3.5 Il muscolo liscioIl muscolo piu “primitivo”, nel senso che assomiglia di piu alle cellule non

muscolari, non ha striature ed e percio chiamato muscolo liscio: esso forma la

porzione contrattile dello stomaco, dell’intestino e dell’utero, le pareti delle

atrerie e molte altre strutture in cui sono necessarie contrazioni lente e soste-

nute. E composto da foglietti di cellule molto allungate e fusiformi, ciascuna

con un solo nucleo, e le cellule contengono sia filamenti di actina che di miosi-

na, ma questi non sono disposti secondo lo schema strettamente ordinato che

si trova negli altri tipi di muscoli e non formano miofibrille distinte. Infatti

i filamenti formano un apparato contrattile disposto in modo meno regolare,

2.3.5 Il muscolo liscio 73

grosso modo allineato con l’asse maggiore della cellula, ma e attaccato obli-

quamente alla membrana plasmatica a livello di giunzioni simili a dischi che

connettono cellule adiacenti.

Le cellule muscolari lisce embrionali non si fondono e ciascuna di esse possie-

de un singolo nucleo centrale, si assottiglia in modo particolare alle estremita

ma in sezione trasversa il profilo puo apparire molto irregolare; inoltre duran-

te la contrazione la loro morfologia puo essere alterata dalla forza esercitata

dalle connessioni con le altre cellule o la matrice extracellulare.

Le cellule muscolari lisce sono prive di tubuli T, tuttavia il loro sarcolemma

presenta file longitudinali di piccole invaginazioni a sacco, dette caveole, che

provvedono ad aumentare ulteriormente il rapporto tra superficie e volume

cellulare, anche se il loro ruolo esatto non e ancora noto. Il muscolo liscio e

inoltre dotato di un reticolo sarcoplasmatico, connesso con la superficie, che

contiene un pool intracellulare di Ca2+ che puo essere mobilitato quando i

neurotrasmettitori, gli ormoni o le sostanze stimolanti si legano ai recettori

del sarcolemma. Il volume del reticolo sarcoplasmatico e variabile, anche se

in genere e circa uguale a quello del muscolo scheletrico, e comunica con il

sarcolemma mediante segnali chimici. Le cellule muscolari lisce contengono

un reticolo endoplasmatico ruvido ed un apparato del Golgi ben sviluppati,

disposti centralmente ai lati del nucleo, che denotano una significativa atti-

vita di sintesi e di secrezione proteica. In questi tipi di cellule il citoscheletro

serve per l’ancoraggio dei filamenti sottili e per trasmettere la forza ai due

capi della cellula, inoltre l’apparato contrattile non e organizzato in mio-

fibrille ed i dischi Z sono assenti. L’equivalente funzionale di questi dischi

e rappresentato dai corpi densi, di forma elissoidale e situati nella regione

centrale della cellula, e da aree dense disposte lungo il sarcolemma; queste

strutture, che fungono da punti di attacco per i filamenti sottili, contengono

α-actinina, una proteina presente anche nei dischi Z del muscolo striato. Nel

muscolo liscio sono presenti in abbondanza filamenti intermedi, di diametro

compreso tra quello dei filamenti sottili e dei filamenti spessi, che hanno la

funzione di connettere tra loro i corpi e le aree dense, formando cosı la rete del

citoscheletro. Tutti i muscoli lisci contengono filamenti intermedi costituiti

da polimeri di desmina, ed in alcuni tessuti sono anche presenti filamenti di

vimentina.


L’organizzazione dell’apparato contrattile del muscolo liscio in unita contrat-

tili, funzionalmente equivalenti ai sarcomeri, e tuttora poco nota; la figura

2.1114 riassume alcuni dati relativi alla disposizione dei miofilamenti e del

citoscheletro (in colore marrone), dove e possibile notare che piccoli elementi

contrattili, equivalenti al sarcomero, funzionano meccanicamente come nel

muscolo scheletrico e connessioni costituite da giunzioni specializzate o da

materiale fibrillare interstiziale accoppiano dal punto di vista funzionale gli

apparati di cellule contigue, mentre mancano importanti informazioni sulla

lunghezza dei filamenti e sui rapporti della loro interdigitazione da mettere

in relazione con i diversi punti del diagramma lunghezza-tensione. I filamenti

Figura 2.11: Organizzazione della cellula muscolare liscia

sottili del muscolo liscio possiedono actina e tropomiosina con la medesima

struttura e composizione presente nel muscolo striato, invece non possiedono

la troponina e la nebulina, ma contengono due proteine che non sono presen-

ti nel muscolo striato, chiamate caldesmone e calponina, il cui ruolo preciso

non e noto, anche se sembra che non siano fondamentali per i cicli dei ponti

trasversali. Il contenuto cellulare di actina e tropomiosina del muscolo liscio

e circa doppio di quello del muscolo striato, e gran parte del mioplasma e

occupato dai filamenti sottili, piu o meno orientati secondo l’asse maggiore

della cellula, che hanno anche lo stesso tipo di polarizzazione, relativa ai loro

punti di ancoraggio, presente nel muscolo striato; il contenuto di miosina del

muscolo liscio e invece solo un quarto circa di quello del muscolo striato. Pic-

14R.M Berne, M.N.Levy et al., Fisiologia, Ambrosiana


coli gruppi di 3-5 filamenti spessi allineati tra loro sono circondati da diversi

filamenti sottili, che interdigitati con quelli spessi ed ancorati ai corpi o aree

dense potrebbero rappresentare l’equivalente del sarcomero.

L’apparato contrattile di cellule contigue e meccanicamente accoppiato me-

diante connessioni tra aree dense delle membrane che costituiscono il correla-

to morfologico del comportamento di queste cellule che non possono funziona-

re come unita contrattili indipendenti. Il controllo nervoso della contrazione

e infatti molto piu complesso nel muscolo involontario che nel muscolo sche-

letrico, in quanto devono essere considerati alcuni fattori, tra i quali il tipo

di innervazione ed i neurotrasmettitori, la vicinanza delle fibre nervose alle

cellule muscolari ed il tipo e la distribuzione dei recettori per i neurotrasmet-

titori sulla membrana delle cellule muscolari stesse.

I tipi di innervazione presenti nel muscolo liscio possono essere divisi in tre

categorie: l’innervazione estrinseca che ha origine negli assoni del sistema

nervoso autonomo, i nervi intrinseci contenuti nei plessi ed i neuroni affe-

renti sensoriali che mediano alcuni riflessi e che possono essere presenti nei

plessi. L’innervazione del tratto gastro-intestinale e piu estesa dell’intero si-

stema motorio di tutti i muscoli scheletrici, mentre esistono pochi tessuti

muscolari lisci che sono privi di innervazione.

Le giunzioni neuromuscolari nel muscolo involontario sono paragonabili fun-

zionalmente a quelle del muscolo scheletrico, in quanto per entrambi i tipi

di muscolo si ha liberazione presinaptica di mediatore con successiva diffu-

sione attraverso la giunzione e combinazione con il recettore postsinaptico.

Tuttavia nel muscolo liscio non sono presenti contatti neuromuscolari parti-

colarmente elaborati nei terminali assonici: i nervi autonomi che innervano

i muscoli lisci presentano una serie di aree rigonfie o varicosita intervallate

lungo l’assone, nelle quali si trovano alcune vescicole che contengono i neuro-

trasmettitori. Ciascuna varicosita funziona come giunzione neuromuscolare,

anche se la sottostante membrana della cellula muscolare presenta scarse mo-

dificazioni strutturali, ed in tessuti con un ampio grado di regolazione nervosa

esse sono giustapposte alle membrane delle cellule muscolari dalle quali sono

separate da uno spazio di 6-20 nm, mentre nei tessuti il cui controllo nervoso

e minore tale spazio e in media di 80-120 nm. I neurotrasmettitori liberati a

livello del muscolo liscio ed i loro effetti presinaptici e postsinaptici possono


essere molto diversi, e la forte individualita delle risposte dei diversi tessuti

che contengono muscoli involontari puo dipendere dalle differenze della loro

innervazione, dai tipi di mediatori liberati e dalla natura dei recettori per

ciascun mediatore.

La funzione contrattile del muscolo liscio puo essere modulata da cellule di-

verse da quelle nervose: si osservano infatti regioni giunzionali specializzate

tra le membrane di cellule muscolari lisce e di cellule endoteliali che rive-

stono il lume di vasi sanguigni. L’azione di alcuni ormoni circolanti, o di

farmaci, potrebbe essere mediata dalle cellule endoteliali: l’acetilcolina, ad

esempio, agendo sui recettori delle cellule endoteliali stesse determina il rila-

sciamento della muscolatura liscia delle arterie e provoca contrazione quando

si combina con i recettori colinergici posti sulla membrana delle loro cellule

muscolari lisce, mentre il monossido di azoto e stato identificato quale segna-

le liberato dalle cellule endoteliali che mediano la vasodilatazione. Un altro

esempio di meccanismo di regolazione locale per la contrazione del muscolo

liscio vascolare e la formazione di adenosina quale conseguenza dell’aumen-

tato metabolismo durante la contrazione del muscolo scheletrico: l’adenosina

diffonde dalle cellule muscolari scheletriche ai recettori delle cellule muscolari

lisce delle arterie, inducendo vasodilatazione per rilasciamento del muscolo

liscio vascolare, ottenendo aumento del flusso sanguigno nel muscolo schele-

trico che si contrae.

Tradizionalmente i muscoli involontari sono suddivisi in tessuti multiunitari

e tessuti unitari : nei tessuti multiunitari ciascuna cellula non comunica at-

traverso le giunzioni gap con le altre cellule muscolari, mentre nel muscolo

liscio unitario la contrazione e controllata prevalentemente dall’innervazione

estrinseca o si attua per diffusione di ormoni. Tale tipo di controllo, carat-

teristico del muscolo scheletrico, e presente in alcuni tessuti muscolari lisci,

come quelli dei vasi deferenti dell’iride, ma in ogni caso tutte le cellule mu-

scolari lisce che sono anatomicamente disposte in serie devono far parte della

stessa unita motrice funzionale, anche se l’innervazione e attuata da molte

fibre nervose. I tessuti di tipo unitario conservano un’attivita contrattile qua-

si normale anche in assenza di innervazione estrinseca; nel muscolo unitario

denervato l’attivita e provocata da cellule con funzioni di pacemaker e da

riflessi intrinseci.


La distinzione fra tessuti unitari e multiunitari e eccessivamente schematica:

in realta gran parte dei muscoli lisci e controllata e coordinata da una com-

binazione tra l’azione nervosa, un certo grado di accoppiamento e attivatori

od inibitori prodotti localmente. In genere i muscoli tonici come quelli delle

arterie e degli sfinteri, che mantengono livelli quasi continui di tono, han-

no caratteristiche di tipo multiunitario e non generano potenziali d’azione

quando vengono stimolati. I tessuti che hanno invece attivita fasica, come la

peristalsi, di norma producono potenziali d’azione che vengono propagati da

cellula a cellula, e rispondono meglio ai criteri che caratterizzano i muscoli

di tipo unitario.

Le prove che la contrazione sia dovuta al meccanismo di scorrimento dei

filamenti-ponti trasversali sono basate, per gran parte, sulle analogie tra la

meccanica del muscolo liscio e quella del muscolo striato. Il tessuto muscolare

liscio contiene una quantita notevole di tessuto connettivo composto da fi-

brille estensibili di elastina e fibrille inestensibili di collageno: questa matrice

rende conto della curva della tensione passiva misurata nel tessuto rilasciato.

Forze distendenti o carichi imposti elevati vengono contrastati da questa ma-

trice extracellulare che limita cosı l’aumento di volume dell’organo, e la forza

attiva indotta dalla stimolazione dipende dalla lunghezza del tessuto; quando

le lunghezze sono normalizzate a L0, la lunghezza ottimale per lo sviluppo di

forza, le curve tensione-lunghezza per il muscolo liscio e striato sono molto

simili. Questa somiglianza rinforza l’opinione che anche nel muscolo liscio

sia operante il meccanismo dello scorrimento dei filamenti, anche se le cur-

ve tensione-lunghezza sono quantitativamente diverse. Le cellule muscolari

lisce spesso si accorciano in vivo piu di quelle striate, ma non perche i loro

meccanismi contrattili sono diversi: i muscoli lisci, tipicamente, sono attivati

solo parzialmente e la massima forza isometrica sviluppata puo variare con lo

stimolo. Inoltre i muscoli lisci possono generare tensioni attive paragonabili

a quelle prodotte dal muscolo striato pur possedendo solo un quarto di mio-

sina: questa discrepanza non implica che nel muscolo liscio i ponti trasversali

abbiano una maggiore capacita di generare forza, in quanto i ponti trasversali

attivi si mantengono piu a lungo nella configurazione attaccata, che genera

forza, a causa della bassa cinetica dei loro cicli.


I muscoli lisci e striati mostrano le stesse curve iperboliche della velocita di

accorciamento in funzione del carico, la stessa potenza ottimale per deter-

minati carichi e la stessa capacita di sostenere, per breve tempo, un carico

applicato maggiore della forza attiva sviluppata, tuttavia le velocita di con-

trazione sono molto piu elevate nel muscolo scheletrico che nel muscolo liscio:

queste basse velocita sono spiegabili con la presenza nel muscolo liscio di un

tipo di isoforma della miosina che possiede bassa attivita ATPasica. Diver-

samente da quanto avviene nelle cellule muscolari scheletriche, nelle cellule

muscolari lisce sia le forze sia le velocita di accorciamento, che riflettono il

numero dei ponti trasversali attivi e le velocita dei loro cicli, sono tra lo-

ro diverse, e queste variazioni possono essere osservate sperimentalmente.

Quando la contrazione del muscolo liscio viene alterata, per esempio, da di-

verse frequenze di stimolazione nervosa o modificando la concentrazione degli

ormoni, e possibile derivare una famiglia di curve di carico, e cio fa suppor-

re che nel muscolo liscio siano regolati in qualche modo sia il numero dei

ponti trasversali attivati sia la velocita dei loro cicli di attivazione. Questa

differenza dipende da un sistema regolatore basato sulla fosforilazione dei

ponti trasversali, che a sua volta dipende dalla quantita di Ca2+ presente nel

mioplasma; tuttavia i muscoli lisci sono privi di troponina ed il Ca2+ regola

indirettamente l’attacco ed i cicli dei ponti trasversali.

In questa regolazione il primo aspetto riguarda il meccanismo con il quale

il Ca2+ regola le interazioni tra i ponti trasversali ed i filamenti sottili: la

miosina purificata di muscolo liscio non puo interagire con i filamenti sottili

anche in presenza di Ca2+, mentre l’attacco dei ponti trasversali dello stes-

so muscolo dipende dalla fosforilazione in cui un gruppo fosfato inorganico

derivato dall’idrolisi dell’ATP viene attaccato, con legame covalente, ad uno

specifico sito posto lungo le catene leggere regolatrici della miosina facenti

parte del ponte trasversale. La fosforilazione e una reazione enzimatica che

inizia quando una specifica chinasi, la miosina chinasi, e attivata da un incre-

mento della concentrazione mioplasmatica del Ca2+ e dall’associazione con

una proteina citoplasmatica fissante Ca2+, la calmodulina. Nel muscolo liscio

l’attivazione coinvolge segnali ai sistemi di membrane cellulari per incremen-

tare il Ca2+, l’occupazione di quattro siti di legame ad alta affinita posti

sulla molecola di calmodulina, il legame tra il complesso 4Ca2+-calmodulina


con la miosina chinasi ed il trasferimento di un fosfato dall’ATP al ponte

trasversale; il ponte trasversale fosforilato puo quindi attaccarsi al filamento

sottile ed iniziare i suoi cicli.

Le cinetiche dei cicli dei ponti trasversali sono comparativamente lente nel

muscolo liscio, tuttavia coinvolgono le stesse reazioni che avvengono nel mu-

scolo striato, producendo la stessa forza e gli stessi accorciamenti per ciclo;

tali cicli procedono con l’idrolisi di una molecola di ATP per ciclo fino a

quando la concentrazione mioplasmatica di Ca2+ si riduce, la chinasi si inat-

tiva ed i ponti trasversali vengono defosforilati dalla miosina fosfatasi.

Nel muscolo liscio la fosforilazione dei ponti trasversali e la forza dovrebbero

variare in modo proporzionale alle variazioni della concentrazione miopla-

smatica del Ca2+: tale proporzionalita e stata osservata nel muscolo liscio

sottoposto ad un breve periodo di stimolazione, ma quando questo e tonica-

mente contratto per lunghi periodi la concentrazione di Ca2+ e la fosforila-

zione dei ponti trasversali, dopo un picco iniziale, decadono a valori relati-

vamente bassi. Nonostante cio, la forza sviluppata incrementa e si mantiene

elevata per tutto il periodo della stimolazione, ed il muscolo liscio puo svi-

luppare lentamente la forza quasi massimale quando solo il 20-30% dei ponti

trasversali sono fosforilati; tuttavia livelli piu elevati di fosforilazione aumen-

tano la velocita dei cicli dei ponti trasversali, come e suggerito dalla velocita

di accorciamento e dal consumo di ATP. Questa capacita del muscolo liscio

di produrre forze elevate con velocita ridotte dei cicli dei ponti trasversali

consente, durante le contrazioni toniche, di preservare in modo economico le

dimensioni degli organi, e cio contribuisce alla velocita notevolmente bassa

del consumo di ATP da parte del muscolo liscio: tuttavia una frazione mi-

surabile dei ponti trasversali che contribuiscono alla forza e defosforilato, e

cio puo essere spiegato dal fatto che sia i ponti trasversali liberi sia quelli

attaccati siano sostrati per la miosina chinasi e per la miosina fosfatasi. Per-

tanto la regolazione covalente raddoppia il numero dei potenziali stati dei

ponti trasversali, inoltre la fosforilazione risulta essere un prerequisito per

l’attacco dei ponti trasversali stessi, anche se durante il ciclo che ne risulta

possono essere eseguite diverse vie.

La via piu rapida per il ponte trasversale e quella in cui rimane fosforila-


to, anche se un ponte trasversale attaccato puo essere defosforilato: se cio

accade si avra come risultato un abbassamento della velocita media dei ci-

cli perche il distaccamento del ponte trasversale e piu lento, inoltre il ponte

trasversale stesso deve essere rifosforilato prima di poter iniziare un nuovo

ciclo. Quando le concentrazioni intracellulari di Ca2+ sono elevate, gran parte

dei ponti trasversali saranno fosforilati, con un elevato rapporto dell’attivita

miosina chinasi-miosina fosfatasi, e le velocita di accorciamento e di produ-

zione di forza saranno relativamente elevate; quando durante le contrazioni

prolungate la concentrazione di Ca2+ decade, aumenta la probabilita che un

ponte trasversale sia defosforilato e trascorra piu tempo nella conformazione

attaccata che produce forza. In ogni caso una bassa velocita di fosforilazione

Ca2+-dipendente e essenziale per la contrazione, ed il muscolo si rilascera

se il Ca2+ decade al di sotto della concentrazione necessaria per il legame

con la calmodulina e l’attivazione della miosina chinasi a catena leggera. In

alcune condizioni sperimentali la sensibilita al Ca2+ della fosforilazione dei

ponti trasversali puo essere alterata, anche se solo ulteriori ricerche potranno

identificare altri meccanismi che modulano la risposta del muscolo liscio ai

diversi stimoli.

Come nel muscolo scheletrico, anche nel muscolo liscio i cicli dei ponti tra-

sversali comportano consumo di ATP, per cui la spesa energetica e minima

durante gli stiramenti imposti e durante il lavoro negativo, moderata durante

le contrazioni isometriche ed elevata durante le contrazioni isotoniche. Da un

punto di vista quantitativo l’energetica del muscolo liscio e diversa da quella

del muscolo striato perche la miosina del muscolo liscio ha una velocita di

stacco molto bassa anche quando e fosforilata e perche la velocita dei cicli

e ulteriormente rallentata a causa della riduzione della velocita della fosfo-

rilazione Ca2+-dipendente. Poiche la fase di stacco e il fattore che limita la

velocita dei cicli dei ponti trasversali, nel muscolo liscio quasi tutti i ponti tra-

sversali attivi sono in grado di generare forza, mentre nel muscolo scheletrico

molti di loro si trovano nella fase staccata del ciclo; grazie alle caratteristiche

dei cicli dei ponti trasversali, i muscoli lisci sono in grado di sviluppare forze

elevate con un basso consumo di ATP.

Sia il muscolo liscio sia quello striato richiedono energia per il pompaggio


ionico associato al mantenimento del potenziale di membrana ed al sequestro

di Ca2+, ma il muscolo liscio ha un costo aggiuntivo dovuto alla regolazione:

il consumo di ATP per la fosforilazione dei ponti trasversali puo uguagliare

quello consumato per i cicli dei ponti trasversali in condizioni isometriche, e

questo spiega il basso rendimento del muscolo liscio in termini di rapporto

lavoro meccanico-ATP idrolizzato. Le contrazioni isometriche prolungate so-

no importanti per i muscoli degli organi cavi: in questi casi il rendimento e

nullo in quanto non viene eseguito lavoro, anche se alcuni muscoli lisci posso-

no sviluppare la stessa forza dei muscoli scheletrici utilizzando trecento volte

meno ATP. In un muscolo che non ha necessita fisiologiche di accorciamenti

rapidi il risparmio del consumo di ATP da parte dei cicli dei ponti trasver-

sali supera ampiamente il costo aggiuntivo dovuto alla regolazione covalente.

Le necessita metaboliche del muscolo liscio durante la contrazione sono fa-

cilmente soddisfatte dalla fosforilazione ossidativa in quanto le velocita di

consumo sono basse, e la fatica non si verifica a meno che la circolazione non

sia bloccata.

Il meccanismo dell’accoppiamento attivazione-contrazione coinvolge nel mu-

scolo liscio due pool del Ca2+, uno nel sarcolemma ed uno nel reticolo sar-

coplasmatico: il sarcolemma regola gli scambi di Ca2+ tra il mioplasma ed

il liquido extracellulare, mentre le membrane del reticolo sarcoplasmatico

regolano il movimento dello stesso ione tra il mioplasma ed il liquido intra-

cellulare. Diversi fattori spiegano la presenza di numerosi meccanismi che

interagiscono per determinare la concentrazione mioplasmatica di Ca2+: i

muscoli lisci sono funzionalmente diversi e devono essere quindi in grado di

produrre vari tipi di attivita meccanica, l’attivita di cellule accoppiate mec-

canicamente deve essere coordinata per rendere possibili discrete risposte

dei singoli tessuti, la regolazione covalente richiede un controllo preciso della

concentrazione mioplasmatica di Ca2+ che consenta una continua regolazione

della fosforilazione della miosina. Nel muscolo scheletrico la concentrazione

mioplasmatica di Ca2+ non e sottoposta a regolazione in quanto la concen-

trazione di questo ione viene ripetitivamente incrementata dalla liberazione

di Ca2+ dal reticolo sarcoplasmatico indotta dai potenziali d’azione.

Il ruolo del reticolo sarcoplasmatico, con il suo pool di Ca2+, e paragonabile a


quello svolto nel muscolo scheletrico, in quanto l’attivazione apre i canali del

Ca2+ e la concentrazione mioplasmatica di questo ione sale rapidamente; il

rilascio di Ca2+ non dipende pero dalle variazioni del potenziale di membrana

e dai sensori di voltaggio, ma dal legame di un secondo messaggero, l’inositolo

1,4,5-trifosfato (IP3), con i suoi recettori posti nel reticolo sarcoplasmatico.

L’IP3 viene prodotto da uno stimolo che agisce su specifici recettori del sar-

colemma che attraverso un accoppiamento con le proteine fissanti guanina

nucleotide (proteine G) attivano la fosfolipasi C, la quale idrolizza il fosfatidi-

linositolo difosfato (PIP2) e produce l’IP3. Questo processo apparentemente

complesso consente una fine regolazione del rilascio di Ca2+ da parte del re-

ticolo sarcoplasmatico e permette a molti neurotrasmettitori ed ormoni di

mobilizzare il Ca2+ dal reticolo sarcoplasmatico; il rifornimento di Ca2+ al

reticolo sarcoplasmatico dipende dalla concentrazione extracellulare dello io-

ne stesso, ma i dettagli di questo processo non sono ancora stati chiariti.

I muscoli lisci sono dotati di metodi molto efficaci per ridurre la concen-

trazione mioplasmatica di Ca2+ dopo il picco iniziale raggiunto durante la

contrazione, per esempio trasferendo questi ioni attraverso il sarcolemma tra-

mite trasporto attivo o mediante uno scambio passivo accoppiato all’ingresso

di tre ioni Na+. La contrazione prolungata del muscolo liscio e totalmente di-

pendente dal pool extracellulare del Ca2+, e la concentrazione mioplasmatica

dello stesso ione, da cui dipende la fosforilazione dei ponti trasversali, e rego-

lata dalla somma di processi stimolo-dipendenti che governano lo scambio del

Ca2+ con il pool extracellulare. Si noti che i segnali alla membrana cellulare

possono anche essere inibitori e ridurre quindi la concentrazione mioplasma-

tica di Ca2+, provocando rilasciamento o riduzione del tono.

Nel sarcolemma esistono due diverse categorie di canali per il Ca2+: i ca-

nali voltaggio-dipendenti ed i canali attivati dai recettori; la conduttanza

dei canali del Ca2+ attivati dai recettori e legata all’occupazione del recet-

tore, mentre i neurotrasmettitori o gli ormoni possono indurre contrazioni

senza che si verifichi un’apprezzabile variazione del potenziale di membrana:

quest’ultimo processo e chiamato accoppiamento farmaco-meccanico. Questi

canali possono essere anche collegati, mediante proteine G, ai recettori per i

neurotrasmettitori o per gli ormoni inibitori.

2.3.6 Il muscolo cardiaco 83

Nelle cellule muscolari lisce una componente importante del potenziale di

membrana e dovuta ad un potenziale di Donnan, basato sulla diversa per-

meabilita agli ioni Na+ e K+ come nel muscolo scheletrico, e la pompa che

trasferisce questi ioni attraverso la membrana del muscolo liscio e elettroge-

nica ed espelle tre ioni Na+ in cambio di due ioni K+: in ciascun ciclo di

pompaggio viene quindi rimossa dalla cellula una carica positiva, ed il po-

tenziale di membrana diventa piu negativo.

La conduttanza dei canali del sarcolemma del K+ e anch’essa regolata da

meccanismi mediati dai recettori, cosı che le sostanze che riducono la per-

meabilita della membrana al K+ provocano una riduzione del potenziale di

membrana che diventa meno negativo, la quale a sua volta puo aumenta-

re la forza in quanto il sarcolemma contiene canali del Ca2+ dipendenti dal

voltaggio la cui conduttanza cresce con la depolarizzazione. Quindi i po-

tenziali d’azione, le depolarizzazioni graduali provocate da un rallentamento

dello scambio Na+-K+ o una ridotta permeabilita dei canali del K+, o le

depolarizzazioni trasmesse dalle cellule contigue attraverso le giunzioni gap,

incrementano l’ingresso di Ca2+ e lo sviluppo di forza.

Varie sostanze ed ormoni provocano il rilasciamento dei muscoli lisci incre-

mentando la concentrazione intracellulare di adenosina monofosfato ciclico

(AMPc) o di guanosina monofosfato ciclico (GMPc); il monossido di azoto

e un segnale inibitorio prodotto dai nervi e dalle cellule endoteliali vascola-

ri che rilascia il muscolo liscio incrementando il GMPc. Le proteine chinasi

attivate da questi secondi messaggeri possono fosforilare una grande varieta

di enzimi modificandone l’attivita; il rilasciamento puo essere prodotto da

incrementi dell’espulsione o dal sequestro di Ca2+ ottenuti, presumibilmente,

per fosforilazione delle pompe del Ca2+, oppure l’iperpolarizzazione riduce

l’ingresso dello stesso ione e la fosforilazione dei ponti trasversali, provocan-

do una riduzione della forza ed un rallentamento della velocita dei cicli dei

ponti trasversali.

3.6 Il muscolo cardiaco

Il muscolo cardiaco, cosı come quello scheletrico, e un muscolo striato che

riflette un’organizzazione analoga di filamenti di actina e di miosina, ed ha

un meccanismo di attivazione della contrazione molto simile: un potenziale


d’azione attiva il reticolo sarcoplasmatico a rilasciare Ca2+, il quale attiva

la contrazione per mezzo di un complesso troponina-tropomiosina. Le cellule

di muscolo cardiaco, pero, non sono sinciziali ma sono cellule con un solo

nucleo, unite testa a testa da strutture speciali chiamate dischi intercalati.

La figura 2.1215 e un disegno schematico in cui sono rappresentate due cellule

Figura 2.12: Struttura di muscolo cardiaco

unite testa a testa da dischi intercalari; i filamenti di actina dei sarcomeri di

cellule adiacenti si inseriscono nel materiale denso associato alla membrana

plasmatica nella regione di ciascun disco intercalato come se fosse un disco Z,

cosı le miofibrille continuano attraverso il muscolo, ignorando i confini delle

cellule.

I dischi intercalati assolvono almeno tre funzioni:

• uniscono una cellula alla successiva per mezzo dei desmosomi;

• connettono i filamenti di actina alle miofibrille di cellule adiacenti,

svolgendo una funzione analoga a quella dei dischi Z all’interno della

cellula;

• contengono giunzioni gap che permettono al potenziale d’azione di dif-

fondere rapidamente da una cellula all’altra, sincronizzando le contra-

zioni del muscolo cardiaco.

I desmosomi sono punti di contatto intercellulari, simili ad un bottone, che

uniscono le cellule tra di loro: all’interno della cellula servono come siti di

15B.Alberts et al., Biologia Molecolare della Cellula, Zanichelli

2.3.6 Il muscolo cardiaco 85

ancoraggio per i filamenti intermedi che, simili a corde, formano una impal-

catura strutturale per il citoplasma che assicura la resistenza alla trazione. I

filamenti intermedi di cellule adiacenti sono quindi indirettamente connessi

mediante i desmosomi e formano un reticolo senza soluzione di continuita che

si dirama attraverso il tessuto, in particolare il tipo particolare di filamenti

intermedi congiunti con i desmosomi nelle cellule muscolari cardiache sono i

filamenti di desmina.

La struttura generale di un desmosoma e costituita da una densa placca cito-

plasmatica composta da un complesso di proteine di congiunzione intracellu-

lare, responsabile della congiunzione del citoscheletro a proteine transmem-

brana di collegamento che interagiscono tramite i loro domini extracellulari

tenendo insieme le membrane citoplasmatiche adiacenti. Come nelle fasce di

adesione le proteine transmembrana di collegamento appartengono alla fa-

miglia delle caderine, molecole di adesione tra cellula e cellula dipendenti dal

Ca2+.

Dal muscolo cardiaco possono essere registrati due principali tipi di poten-

ziale d’azione: un tipo, la risposta rapida, si registra dalle fibre del miocardio

atriale e ventricolare e dalle fibre specializzate di conduzione, le fibre di Pur-

kinje, mentre l’altro tipo, la risposta lenta, si registra nel nodo seno atriale,

il pacemaker naturale del cuore, e nel nodo atrio ventricolare, il tessuto spe-

cializzato per la conduzione dell’impulso cardiaco dagli atri ai ventricoli.

Le varie fasi del potenziale d’azione cardiaco sono associate a variazioni della

conduttanza della membrana cellulare agli ioni Na+, K+ e Ca2+, e di conse-

guenza e modificato il movimento di questi ioni attraverso la membrana; la

quantita netta di uno ione che diffonde attraverso una membrana dipende,

oltre che dalla permeabilita della membrana a quello ione, anche dalla sua

differenza di concentrazione e dalla differenza del potenziale elettrico attra-

verso la membrana, in particolare le variazioni di permeabilita dipendono

dalla chiusura e apertura di canali ionici specifici per i singoli ioni.

Come in tutte le altre cellule dell’organismo, la concentrazione di K+ al-

l’interno della cellula muscolare cardiaca e notevolmente superiore alla con-

centrazione extracellulare, mentre gli ioni Na+ e Ca2+ hanno un gradiente

di concentrazione opposto; la membrana cellulare a riposo e molto piu per-


meabile al K+ che al Na+ ed al Ca2+, quindi tende a diffondere dall’interno

all’esterno della cellula nella direzione del gradiente di concentrazione del

K+. Ogni flusso di K+ avviene attraverso specifici canali per il K+, e le mem-

brane delle cellule cardiache contengono diversi tipi di canali del K+: alcuni

di essi sono regolati dal potenziale di membrana, mentre altri sono regolati

da segnali chimici, come per esempio la concentrazione extracellulare di ace-

tilcolina. Lo specifico canale del K+ attraverso cui questo ione passa durante

una fase importante del ciclo cardiaco e un canale regolato dal voltaggio che

conduce la corrente al K+, denominata iK1 , detta anche corrente al K+ retti-

ficante in ingresso. Molti degli anioni contenuti all’interno della cellula, come

le proteine, non sono liberi di diffondere all’esterno insieme al K+, per cui

l’interno della cellula perde cationi e diventa elettronegativo: il risultato e

che gli ioni K+ carichi positivamente sono attratti all’interno della cellula dal

potenziale negativo che qui si stabilisce, cosı da avere due forze opposte che

agiscono sul movimento degli ioni K+ attraverso la membrana cellulare, una

chimica, dovuta al gradiente di concentrazione, ed una elettrostatica. Se il

sistema raggiunge l’equilibrio, le due forze descritte saranno uguali e dall’e-

quazione di Nernst si ricava il potenziale di equilibrio del K+, che e di circa

-95 mV, prossimo anche al potenziale di riposo delle cellule cardiache, quindi

il potenziale che tende a spingere il K+ all’esterno della cellula a riposo e pic-

colo; il reale potenziale di riposo e leggermente meno negativo del potenziale

previsto in quanto la membrana cellulare e leggermente permeabile anche ad

altri ioni, in particolare al Na+.

Nella cellula cardiaca a riposo, il bilancio delle forze che agiscono sul Na+ e

invece opposto al bilancio delle forze che agiscono sul K+, e la concentrazione

intracellulare del Na+ e notevolmente piu bassa della concentrazione extra-

cellulare dello stesso ione, per cui il potenziale di equilibrio del Na+, espresso

dall’equazione di Nernst, e di circa 70 mV.

All’equilibrio, quindi, per controbilanciare il potenziale chimico del Na+ oc-

corre una forza elettrostatica di circa 70 mV, con l’interno della cellula posi-

tivo rispetto all’esterno, mentre il potenziale di riposo dei miociti e di circa

-90 mV, cosı che sia la forza elettrostatica sia quella chimica agiscono di con-

certo per spingere il Na+ extracellulare all’interno della cellula. L’ingresso di

Na+ attraverso la membrana cellulare e pero moderato, in quanto la mem-

2.3.7 Le basi ioniche della depolarizzazione rapida 87

brana a riposo e poco permeabile a questo ione, ma questa piccola corrente e

sufficiente a rendere il potenziale Vm all’interno della membrana leggermente

meno negativo del potenziale di equilibrio del K+.

La dipendenza di Vm dalla conduttanza e dalla concentrazione intracellulare

ed extracellulare di K+, Na+ e di altri ioni e descritta dall’equazione della

conduttanza di membrana, che dimostra come la conduttanza relativa della

membrana al Na+ ed al K+ determina il potenziale di riposo, come si vedra

in seguito.

3.7 Le basi ioniche della depolarizzazione rapidaIn questa sezione verranno analizzate le varie fasi del ciclo della cellula car-

diaca, come indicato nella figura 2.1316, dove sono indicati i principali canali

e le correnti ioniche che generano il potenziale d’azione.

Figura 2.13: Canali e correnti ioniche di un potenziale d’azione di una cellula

cardiaca

3.7.1 Fase 0: genesi della depolarizzazione rapida

Ogni processo che faccia bruscamente variare il potenziale di riposo della

membrana portandolo ad un valore critico, definito soglia, provochera un po-

tenziale d’azione propagato. La depolarizzazione rapida che ha luogo durante

la fase 0 e dovuta quasi esclusivamente all’ingresso rapido di Na+ dovuto ad

un veloce aumento della conduttanza dello ione stesso, e l’ampiezza della

variazione di potenziale durante questa fase varia con il logaritmo della con-

centrazione extracellulare del Na+.



Quando il potenziale di riposo della membrana Vm viene rapidamente portato

al suo valore soglia di circa -65 mV, si verificano profondi cambiamenti delle

proprieta della membrana, in quanto lo ione Na+ entra nel miocita attraverso

specifici canali rapidi per il Na+. Il modo con cui questo ione si muove attra-

verso questi canali rapidi suggerisce che il flusso e controllato in ogni canale

da due tipi di barriere: la barriera m, che rende pervio il canale quando Vm

diventa meno negativo e quindi e chiamata anche barriera di attivazione e la

barriera h, che tende a chiudere il canale quando Vm diventa negativo ed e

chiamata barriera di inattivazione. Nelle cellule a riposo, con un valore di Vm

di circa -90 mV, le barriere m sono chiuse e le barriere h aperte, e poiche la

concentrazione del Na+ e maggiore nel liquido extracellulare che all’interno

della cellula, l’interno e elettronegativo rispetto all’esterno e sia la forza chi-

mica sia quella elettrostatica agiscono di concerto per spingere il Na+ dentro

la cellula.

La forza elettrostatica e nello specifico una differenza di potenziale di 90

mV entrante nella cellula mentre la forza chimica, dovuta alla differenza di

concentrazione di Na+ tra esterno ed interno della cellula, per l’equazione di

Nernst relativa allo stesso ione puo essere rappresentata come equivalente ad

un potenziale di 60 mV, anch’esso entrante nella cellula: da cio consegue che

in una cellula a riposo la forza elettrochimica totale che favorisce l’ingresso

di Na+ e di 150 mV, ma le barriere m sono chiuse e la permeabilita della

membrana callulare a riposo per lo stesso ione e molto bassa, ottenendo come

risultato un movimento di Na+ pressoche nullo all’interno della cellula.

Ogni processo che tende a portare Vm ad un livello meno negativo apre le

barriere m attivando i canali rapidi del Na+, ma siccome il potenziale a cui

queste barriere si aprono varia da canale a canale nella membrana cellulare,

man mano che Vm diventa meno negativo si apre un numero sempre maggio-

re di barriere: questo processo di apertura di barriere m favorisce l’ingresso

di Na+ nella cellula ad opera delle forze elettrostatiche e chimiche descritte

in precedenza, che a sua volta tende a neutralizzare alcune delle cariche ne-

gative presenti, provocando una riduzione ulteriore di Vm che diventa meno

negativo; quest’ultimo processo tende a far aprire un numero maggiore di

barriere m, incrementando cosı ulteriormente l’ingresso di corrente del Na+,

dando cosı vita ad un fenomeno chiamato processo rigenerativo. Come Vm si


avvicina al valore di soglia di circa -65 mV, le restanti barriere m dei canali

rapidi del Na+ si aprono rapidamente fino a quando praticamente tutte que-

ste barriere risultano aperte.

La rapida apertura delle barriere m dei canali rapidi del Na+ e responsabi-

le dell’improvviso aumento della conduttanza dello ione stesso, e l’ingresso

rapido del Na+ rende conto della rapida variazione di Vm durante questa fa-

se; sebbene la quantita di Na+ che entra nella cellula durante un potenziale

d’azione modifichi Vm di oltre 100 mV, tale quantita e troppo piccola per

modificare in modo apprezzabile la concentrazione intracellulare di questo

ione, pertanto nel corso del potenziale d’azione la forza chimica rimane pra-

ticamente costante e si modifica solo la forza elettrostatica. Con l’ingresso

di Na+ la carica negativa dell’interno della cellula viene neutralizzata, Vm

diventa progressivamente meno negativo fino a raggiungere il valore zero: a

questo valore di Vm si annulla la forza elettrostatica che spinge il Na+ dentro

la cellula, ma fino a quando i canali rapidi del Na+ rimarranno aperti, questi

ioni continueranno ad entrare a causa dell’elevato gradiente di concentrazione

ancora esistente. Il continuo fluire di correnti di Na+ dirette verso l’interno

della cellula fa sı che l’interno stesso diventi carico positivamente rispetto

all’esterno, realizzando una inversione della polarita di membrana che costi-

tuisce il cosiddetto overshoot del potenziale d’azione cardiaco e che tende

ad opporsi all’ingresso di ioni Na+, processo che comunque continua fino a

quando il gradiente chimico diretto verso l’interno e superiore al gradiente

elettrostatico diretto verso l’esterno, anche se con velocita ridotta.

Il flusso di corrente di Na+ ha termine quando si chiudono le barriere h di

inattivazione: l’attivita delle barriere h e regolata da Vm, come quella delle

barriere m, con la differenza che quando Vm diventa meno negativo le barriere

m tendono ad aprirsi molto rapidamente mentre le barriere h a chiudersi con

una cinetica relativamente lenta. La fase 0 termina quando le barriere h si so-

no chiuse inattivando di conseguenza i canali rapidi per il Na+, e tali barriere

rimangono chiuse fino a quando la cellula non si e parzialmente ripolarizzata

in una fase successiva: in questo intervallo la cellula e nel periodo refrattario

assoluto e non rispondera ad ulteriori eccitazioni, impedendo la contrazione

tetanica del miocardio ventricolare che ritarderebbe il rilasciamento ventri-


colare interferendo con la normale azione di pompaggio del cuore. In una

fase successiva (la fase 3) le barriere m ed h in alcuni dei canali rapidi del

Na+ portano al recupero dell’inattivazione, e quindi la cellula puo iniziare

gradualmente a rispondere ad ulteriori stimolazioni.

3.7.2 Fase 1: genesi della ripolarizzazione precoce

In molte cellule cardiache questa fase costituisce un primo breve periodo di

ripolarizzazione parziale nel quale si ha una corrente transitoria diretta verso

l’esterno, per gran parte dovuta al K+ e chiamata ito; l’attivazione dei canali

del K+ durante questa fase comporta una breve fuoriuscita di questi ioni,

in quanto l’interno della cellula e carico positivamente e la concentrazione

interna del K+ supera ampiamente la concentrazione esterna, dando vita ad

una breve e limitata ripolarizzazione.

L’incisura della fase 1 e particolarmente evidente nelle fibre di Purkinje e nelle

fibre epicardiche e mediocardiche del miocardio ventricolare, mentre e molto

meno sviluppata nelle fibre endocardiche: infatti un aumento della durata

del ciclo di depolarizzazione porta ad una fase di ripolarizzazione precoce

maggiormente pronunciata e ad un aumento significativo della durata del

potenziale d’azione nelle prime, mentre ha effetti piu modesti nei miociti

endocardici.

3.7.3 Fase 2: genesi del plateau

Durante il plateau del potenziale d’azione, il Ca2+ entra nella cellula attra-

verso i canali del Ca2+ che si attivano e disattivano molto piu lentamente dei

canali rapidi del Na+, e questo ingresso di cariche positive portate dal Ca2+

e controbilanciata dall’uscita di una uguale quantita di cariche positive por-

tate dal K+ attraverso i canali che conducono le correnti ito, iK ed iK1 , con

ito corrente responsabile della fase 1 che non viene completamente inattivata

fino a quando non termina la fase 2, mentre le altre due correnti saranno

analizzate in seguito.

I canali del Ca2+ sono regolati dal voltaggio e si attivano quando, durante la

fase di ascesa del potenziale d’azione, Vm diventa meno negativo; nei tessu-

ti cardiaci sono stati identificati diversi canali del Ca2+, anche se in questa

trattazione verranno considerati principalmente i canali del Ca2+ di tipo L

nei quali la corrente che li attraversa ha una lunga durata, in quanto dopo

aver raggiunto il suo valore massimo in risposta ad una rapida variazione di


potenziale, ritorna a zero in modo molto graduale. L’apertura dei canali del

Ca2+ si riflette in un aumento della conduttanza della membrana allo ione

stesso successivamente alla fase ascendente del potenziale d’azione; all’inizio

del potenziale d’azione stesso la concentrazione intracellulare di Ca2+ e note-

volmente inferiore a quella extracellulare, di conseguenza un aumento della

conduttanza provoca l’ingresso dello ione nella cellula per tutta la fase di

plateau, favorendo l’accoppiamento eccitazione-contrazione.

Diversi fattori, come neurotrasmettitori e farmaci, possono influenzare la con-

duttanza della membrana al Ca2+: il neurotrasmettitore adrenergico noradre-

nalina, il recettore β-adrenergico isoproterenolo e diverse altre catecolamine

possono aumentare la conduttanza al Ca2+, mentre il neurotrasmettitore pa-

rasimpatico acetilcolina la puo diminuire. L’aumento della conduttanza al

Ca2+ provocato dalle catecolamine e probabilmente il principale meccanismo

attraverso il quale si ha un incremento della contrattilita del muscolo cardia-

co: esse interagiscono dapprima con i recettori β-adrenergici nelle membrane

delle cellule cardiache, stimolando di conseguenza l’enzima di legame adeni-

lato ciclasi che innalza la concentrazione intracellulare di adenosina monofo-

sfato ciclico (AMPc); questo incremento provoca l’attivazione del canali del

Ca2+ di tipo L della membrana cellulare e quindi l’aumento dell’ingresso dello

ione nella cellula. L’acetilcolina, al contrario, interagisce con i recettori mu-

scarinici delle membrane cellulari per inibire l’adenilato ciclasi, contrastando

quindi l’attivazione dei canali del Ca2+ e facendo diminuire la conduttanza

della membrana a questo ione.

Durante il plateau del potenziale d’azione le forze chimiche e quelle elet-

trostatiche favoriscono l’uscita del K+ dalla cellula, con un contemporaneo

valore di Vm positivo che porta ad una rapida riduzione della conduttanza

della membrana a questo ione, che insieme alla conseguente diminuzione del-

la corrente del K+ impedisce una perdita eccessiva di questo ione durante la

fase di plateau. Questa riduzione del valore della conduttanza per il K+ per

valori positivi di Vm e chiamata rettificazione in ingresso, che e una caratte-

ristica della corrente iK1 ; le relazioni corrente-voltaggio dei canali del K+ che

conducono questa corrente sono state determinate mediante esperimenti di

voltage clamping su cellule cardiache, registrando un potenziale di equilibrio

di Nernst per il K+ di -70 mV, valore che riflette il rapporto tra le concen-


trazioni intracellulare ed extracellulare di questo ione che prevale in questo

particolare preparato sperimentale.

Quando il potenziale imposto a questa cellula cardiaca e stato reso piu ne-

gativo di -70 mV, le forze elettrostatiche hanno superato le forze chimiche

inducendo una corrente in ingresso del K+ ed un aumento di ripidita della

curva corrente-voltaggio: si puo quindi dedurre che quando Vm e uguale o

piu negativo di EK , una piccola variazione di Vm induce un’ampia variazione

della corrente di K+, cioe la conduttanza della membrana cellulare a questo

ione ha un valore elevato.

Quando invece il potenziale imposto alla membrana e stato reso piu positivo

di -70 mV, le forze chimiche hanno superato quelle elettrostatiche, realizzan-

do una corrente netta di K+ in uscita: si puo notare che per valori di Vm

meno negativi di -70 mV la curva corrente-voltaggio e relativamente piatta e

che per valori di Vm meno negativi di circa -30 mV la corrente del K+ e pra-

ticamente nulla. Pertanto ai valori di Vm che prevalgono durante il plateau

del potenziale d’azione l’efflusso di K+ attraverso i canali che conducono la

corrente iK1 e insignificante, mentre la corrente di K+ diretta verso l’interno

e sostanziale per quei valori di Vm che prevalgono durante la fase di ripristino

delle concentrazioni ioniche: la corrente iK1 e pertanto rettificata in ingresso.

Un altro fattore che contribuisce a rendere bassa la conduttanza di membrana

al potassio durante la fase di plateau e la rettificazione ritardata, caratteri-

stica di altri canali del K+ e che contribuiscono a formare la corrente iK ;

questi canali sono attivati per quei voltaggi che in genere prevalgono verso la

fine della fase 0, anche se con una cinetica molto lenta, per chiudersi duran-

te la fase 4 di ripristino delle concentrazioni ioniche. L’attivazione di questi

canali tende quindi ad incrementare la conduttanza della membrana al K+

molto lentamente ed in misura modesta durante la fase 2, ma contribuisce al

processo di ripolarizzazione finale, come si vedra in seguito.

Il plateau del potenziale d’azione persiste fino a quando l’efflusso di cariche

trasferite dal K+ e bilanciato dall’ingresso di cariche trasferite dal Ca2+; le

conseguenze di una alterazione di questo equilibrio tra le correnti entranti

del Ca2+ e la corrente di uscita del K+ sono facilmente dimostrabili su mu-

scoli papillari isolati: somministrando dei farmaci che bloccano i canali del

Ca2+ si ottiene un voltaggio di plateau meno positivo e piu breve, mentre


una somministrazione di sostanze antagoniste dei canali del K+ prolunga la

durata del plateau stesso.

3.7.4 Fase 3: genesi della ripolarizzazione finale

Il processo della ripolarizzazione finale ha inizio al termine della fase 2, quan-

do la fuoriuscita di K+ dalla cellula cardiaca comincia a superare l’ingresso di

Ca2+: alla fine del plateau almeno tre correnti in uscita del K+, viste in pre-

cedenza, contribuiscono alla ripolarizzazione finale della cellula cardiaca. La

corrente transitoria in uscita ito e le correnti rettificanti ritardate iK concor-

rono ad iniziare la ripolarizzazione, quindi sono importanti per determinare

la durata del plateau: esperimenti elettrofisiologici hanno dimostrato che du-

rante tale fase la corrente in uscita del K+ e superiore nelle cellule atriali che

in quelle ventricolari, per cui la durata e maggiore nei miociti del ventricolo.

La durata del potenziale d’azione nelle cellule cardiache ventricolari varia in

modo consistente con la localizzazione dei miociti nella parete ventricolare,

in particolare la corrente rettificante ritardata iK sembra rendere conto di

queste differenze: nei miociti endocardici, dove la durata del potenziale d’a-

zione e minima, l’intensita di questa corrente e massima, l’inverso si verifica

nei miociti mesocardici, mentre nei miociti epicardici l’intensita di iK e la

durata del potenziale d’azione sono intermedie.

La corrente del K+ rettificata in ingresso iK1 non contribuisce in modo so-

stanziale all’inizio del processo di ripolarizzazione in quanto la conduttanza

di questi canali e molto piccola per i valori di Vm che prevalgono duran-

te il plateau, viceversa questi canali iK1 contribuiscono in modo importan-

te alla velocita della ripolarizzazione dopo che e stata raggiunta la fase 3.

Con l’efflusso netto di cationi, Vm tende a diventare piu negativo in questa

fase e la conduttanza dei canali che trasferiscono la corrente iK1 aumenta

progressivamente.

3.7.5 Fase 4: ripristino delle concentrazioni ioniche

L’eccesso di Na+ entrato nella cellula rapidamente durante la fase 0 e piu len-

tamente per il resto del ciclo cardiaco viene eliminato dalla Na+-K+ ATPasi,

che espelle tre ioni Na+ in cambio di due ioni K+, usciti soprattutto durante

le fasi 2 e 3. Gran parte degli ioni Ca2+ entrati nella cellula durante la fase

2 vengono eliminati dallo scambiatore Na+-Ca2+, che scambia tre ioni Na+


con uno ione Ca2+, anche se una piccola frazione di Ca2+ viene eliminata da

una pompa dello stesso ione alimentata con ATP.

3.8 Basi ioniche delle risposte lenteA differenza delle risposte rapide, nelle risposte lente la fase ascendente e

molto piu lenta, la ripolarizzazione precoce e assente, il plateau e meno pro-

lungato e meno piatto e la fase di transizione dal plateau stesso alla ripolariz-

zazione finale meno distinta. Quando nelle cellule a risposta rapida i canali

del Na+ sono bloccati da specifici antagonisti, in condizioni appropriate que-

ste stesse cellule possono generare risposte lente; alcune cellule del cuore, in

particolare le cellule dei nodi seno atriale ed atrio ventricolare, sono di nor-

ma fibre a risposta lenta, nelle quali la depolarizzazione e dovuta soprattutto

all’ingresso di Ca2+ attraverso i canali omonimi, e la ripolarizzazione e con-

seguente all’inattivazione di questi canali ed all’aumento della conduttanza

al K+ attraverso i canali iK1 ed iK .

3.9 Conduzione nelle fibre cardiacheStabilito il meccanismo con cui si genera un potenziale d’azione, si analizze-

ranno ora le modalita con le quali esso viene condotto nelle fibre cardiache,

propagandosi per correnti in circuito locale in modo simile a quanto avviene

nelle fibre nervose e nelle fibre muscolari scheletriche; si vedra inoltre che le

fibre a risposta rapida e a risposta lenta hanno caratteristiche di conduzione

diverse.

Nelle risposte rapide i canali rapidi del Na+ si attivano quando il potenziale

transmembranario viene portato dal suo valore di riposo di circa -90 mV al

valore soglia di circa -70 mV, causando una rapida depolarizzazione di una

porzione di fibra che entrera a far parte della zona depolarizzata, con conse-

guente spostamento di confine; il medesimo processo si verifichera al nuovo

bordo e si ripetera piu volte, realizzando uno spostamento di confine lungo

la fibra che assume la forma di onda di depolarizzazione.

La velocita di conduzione lungo la fibra varia in modo diretto con l’ampiezza

del potenziale d’azione e con la velocita di variazione del potenziale durante

la fase 0, espressa come dVm/dt; l’ampiezza del potenziale d’azione e ugua-

le alla differenza di potenziale fra la regione totalmente depolarizzata e la

regione polarizzata della cellula, e l’ampiezza delle correnti locali e propor-

2.3.9 Conduzione nelle fibre cardiache 95

zionale a questa differenza di potenziale. Poiche le correnti locali tendono a

portare il potenziale della zona a riposo verso il valore soglia, queste correnti

costituiscono gli stimoli locali capaci di depolarizzare la regione contigua a

riposo della fibra, portandola appunto al suo potenziale soglia: maggiore e

la differenza di potenziale tra la regione depolarizzata e quella polarizzata,

cioe maggiore e l’ampiezza del potenziale d’azione, piu efficaci risulteranno

gli stimoli locali e piu rapidamente si propaghera l’onda di depolarizzazione

lungo la fibra.

La velocita di variazione di potenziale durante la fase 0 rappresenta anch’essa

un fattore determinante per la velocita di conduzione: se la porzione attiva

della fibra si depolarizza gradualmente, le correnti locali che attraversano il

confine tra la regione depolarizzata e quella polarizzata saranno molto pic-

cole, quindi la regione a riposo contigua alla zona attiva verra depolarizzata

molto lentamente e ciascuna nuova porzione della fibra richiedera un tempo

maggiore per raggiungere la soglia.

Anche il livello del potenziale di riposo della membrana costituisce un fatto-

re importante per la velocita di conduzione, operando attraverso l’influenza

esercitata sia sull’ampiezza sia sulla pendenza massima del potenziale d’a-

zione. Il livello del potenziale di riposo che precede la depolarizzazione puo

variare per molteplici ragioni: puo essere modificata la concentrazione esterna

di K+, nelle fibre cardiache provviste di automatismo intrinseco Vm diven-

ta progressivamente meno negativo nella fase 4 e durante una contrazione

prematura la ripolarizzazione potrebbe non essere completa prima dell’inizio

dell’eccitazione successiva; in genere, meno negativo e il livello di Vm e minore

sara la velocita di propagazione dell’impulso, indipendentemente dalla causa

che ha provocato l’alterazione del livello di Vm.

Il livello di Vm influenza la velocita di conduzione in quanto le barriere di

inattivazione dei canali rapidi del Na+ sono dipendenti dal voltaggio, per cui

meno negativo e il valore di Vm maggiore sara il numero di queste barriere

che tenderanno a chiudersi. Durante il normale processo di eccitazione, la

depolarizzazione procede cosı rapidamente durante la fase 0 che le barriere

h di inattivazione, relativamente piu lente, non si chiudono fino al termine

di questa fase, ma se si verifica una depolarizzazione parziale per effetto di

un processo piu graduale, per esempio aumentando il livello del K+ esterno,


le barriere h hanno un tempo sufficiente per chiudersi. Quando la cellula si

trova in uno stato di depolarizzazione parziale, quindi, molti canali rapidi del

Na+ sono gia inattivati, ed al verificarsi di questa situazione, e disponibile

durante la fase 0 solo una frazione di questi canali per condurre all’interno

della cellula le correnti di Na+.

Se in un fascio di fibre di Purkinje viene aumentata progressivamente la con-

centrazione extracellulare di K+, si puo notare che il valore di riposo Vm

diventa sempre meno negativo, registrando anche riduzioni dell’ampiezza e

della durata dei potenziali d’azione, nonche della pendenza della fase 0; per

valori di concentrazione del K+ sufficientemente elevati si ha inattivazione di

tutti i canali rapidi del Na+ ed i potenziali d’azione assumono la forma di

risposte lente.

Le correnti locali sono responsabili anche della propagazione delle risposte

lente, anche se le caratteristiche del processo di conduzione sono comple-

tamente diverse da quelle delle risposte rapide: il potenziale soglia per le

risposte lente e di -40 mV e la velocita di conduzione ovviamente minore,

avendo maggiore probabilita di essere bloccate e non avendo la capacita di

essere condotte a frequenza elevata.

3.10 Eccitabilita cardiaca

Le fibre a risposta rapida e lenta mostrano notevoli differenze di eccitabi-

lita: una cellula cardiaca che si sia depolarizzata per generare un potenziale

d’azione a risposta rapida non sara piu eccitabile fino a che non si sia ri-

polarizzata parzialmente, e l’intervallo compreso tra l’inizio del potenziale

d’azione ed il momento in cui la cellula e nuovamente in grado di condurre

un altro potenziale d’azione e chiamato periodo refrattario assoluto. Nelle ri-

sposte rapide questo periodo va dall’inizio della fase 0 ad un punto della fase

3 in cui Vm ha raggiunto circa -50 mV, valore al quale alcune delle barriere

m ed h di molti canali rapidi del Na+ si sono di nuovo ristabilite; la piena

eccitabilita non viene comunque ristabilita fino a quando la fibra cardiaca

non si e completamente ripolarizzata. Tra la fase 3 e la fase 4 esiste anche un

intervallo di tempo nel quale puo essere evocato un potenziale d’azione, ma

solo applicando uno stimolo che sia piu intenso di quello capace di suscitare

una risposta durante la fase 4: tale periodo e detto periodo refrattario relati-

2.3.10 Eccitabilita cardiaca 97

vo.

Quando una risposta rapida viene evocata durante il periodo refrattario rela-

tivo di una precedente eccitazione, le sue caratteristiche variano con il valore

del potenziale di membrana che e presente al momento della stimolazione; se

la fibra viene invece stimolata in momenti successivi, sempre durante il pe-

riodo refrattario relativo, l’ampiezza della risposta e la velocita di salita della

depolarizzazione iniziale del potenziale d’azione aumentano progressivamen-

te. E probabile che il numero dei canali rapidi del Na+ che hanno recuperato

dopo l’inattivazione aumenti progressivamente con il procedere della ripo-

larizzazione durante la fase 3. A causa della maggiore ampiezza della fase

ascendente della risposta evocata, la velocita di propagazione dell’impulso

cardiaco aumenta, e l’aumento e maggiore quanto piu tardivamente viene

stimolata la fibra durante il suo periodo refrattario relativo. Quando la fibra

si e completamente ripolarizzata, si ripristina anche la sua completa eccita-

bilita e la risposta sara costante qualunque sia il momento della fase 4 nel

quale viene applicato lo stimolo.

Il periodo refrattario relativo delle fibre a risposta lenta si protrae frequen-

temente oltre la fase 3, ed anche dopo che la cellula si e completamente

ripolarizzata e difficile per un certo periodo di tempo evocare una risposta

propagata: questa caratteristica e detta refrattarieta post-ripolarizzazione.

I potenziali d’azione indotti nelle fibre a risposta lenta in una fase precoce del

loro periodo refrattario relativo sono piu piccoli ed hanno una fase di ascesa

meno ripida, e l’ampiezza e la pendenza della fase ascendente incrementano

progressivamente se i potenziali d’azione sono evocati piu tardivamente. Inol-

tre nelle fibre a risposta lenta il recupero della piena eccitabilita e piu lento

che nelle fibre a risposta rapida, ed i potenziali indotti in una fase piu pre-

coce del periodo refrattario relativo sono condotti ad una velocita inferiore a

quella con cui sono condotti i potenziali evocati in una fase piu tardiva. La

lunghezza del periodo refrattario spiega anche perche nelle fibre a risposta

lenta la conduzione tende ad essere bloccata piu facilmente, ed anche quando

la frequenza di stimolazione e bassa la fibra puo essere in grado di condurre

solo una frazione di quegli impulsi, per esempio possono essere propagati solo

impulsi alternati.


3.11 Effetti della lunghezza del cicloLe variazioni della durata del ciclo modificano il decorso del potenziale d’a-

zione delle cellule miocardiche e ne modificano il periodo refrattario, di con-

seguenza la durata del ciclo e spesso un fattore importante per l’inizio e la

fine di certi stati di aritmia: riducendo per esempio la durata dei cicli nelle fi-

bre di Purkinje, si ottiene una riduzione della durata del potenziale d’azione.

Questa correlazione diretta tra durata del potenziale d’azione e lunghezza del

ciclo e mediata da variazioni della conduttanza del K+ in cui sono coinvolti

almeno due tipi di canale dello stesso ione, ovvero i canali iK che conducono

la corrente ritardata ed i canali ito che conducono la corrente transitoria in

uscita.

Le correnti iK si attivano per valori di Vm prossimi allo zero ma in maniera

lenta, rimanendo nello stato attivo per centinaia di millisecondi prima di di-

sattivarsi, ed anche l’inattivazione e lenta: quando la durata del ciclo cardiaco

si riduce, quindi, ciascun potenziale d’azione tende a verificarsi piu precoce-

mente nel periodo di inattivazione della corrente iK iniziata dal precedente

potenziale d’azione, pertanto piu breve e il ciclo cardiaco e maggiore sara

la corrente uscente del K+ durante la fase 2 e di conseguenza piu breve il

potenziale d’azione.

Anche la corrente ito influenza la relazione tra durata del ciclo e durata del

potenziale d’azione: anche questa corrente si attiva per valori di Vm pros-

simi allo zero e la sua ampiezza varia inversamente con la durata del ciclo

cardiaco, pertanto quando il ciclo si abbrevia, il conseguente aumento di ito

accorcia il plateau. I contributi relativi di queste due correnti alle relazioni

tra durata del potenziale d’azione e lunghezza del ciclo cardiaco variano da

specie a specie.

3.12 Eccitazione naturale del cuoreIl sistema nervoso controlla diverse proprieta del cuore, inclusa la frequenza

dei suoi battiti e la forza di ciascuna contrazione, ma le funzioni del muscolo

cardiaco non dipendono dalla sua innervazione: la capacita di un cuore dener-

vato e trapiantato di funzionare e di adattarsi a diverse condizioni dipende da

certe proprieta intrinseche del tessuto cardiaco, in particolare l’automaticita,

ovvero la capacita ad iniziare in modo autonomo un battito cardiaco, e la

ritmicita, cioe la regolarita di questa attivita autonoma.

2.3.12 Eccitazione naturale del cuore 99

La regione del cuore di mammifero che di norma mostra il livello piu eleva-

to di ritmicita e il nodo seno atriale, chiamato anche pacemaker naturale:

la mappa dettagliata dei potenziali d’azione registrati dalla superficie del-

l’atrio destro ha mostrato che due o tre siti dotati di automaticita, posti a

1-2 cm dallo stesso nodo seno atriale costituiscono, insieme a quest’ultimo,

un complesso definito complesso pacemaker dell’atrio, ed a volte gli impulsi

insorgono in tutti questi siti contemporaneamente, mentre altre volte la se-

de dell’eccitazione puo spostarsi da un sito all’altro secondo certe condizioni

specifiche, come il livello dell’attivita delle afferenze autonome.

Quando il nodo seno atriale viene asportato o distrutto, le cellule pacemaker

della giunzione atrio ventricolare di norma esibiscono il livello piu elevato di

ritmicita e subentrano come pacemaker dell’intero muscolo cardiaco; dopo

un certo tempo, che puo variare da minuti a giorni, diventano dominanti

le cellule automatiche degli atri. Anche le fibre di Purkinje del sistema di

conduzione dei ventricoli possiedono automaticita, scaricando in modo ca-

ratteristico a bassa frequenza, e quando la giunzione atrio ventricolare non

e capace di trasmettere l’impulso cardiaco degli atri ai ventricoli funzionano

da pacemaker idioventricolare, provocando contrazioni ventricolari con fre-

quenza di 30-40 battiti al minuto.

Il nodo seno atriale e situato nel solco terminale della parete posteriore del

cuore, in prossimita della giunzione tra vena cava superiore ed atrio destro,

e contiene principalmente due tipi di cellule: cellule piccole, rotonde, con po-

chi organelli e miofibrille, e cellule allungate e sottili, di aspetto intermedio

tra le prime e le cellule del miocardio comune; quelle del primo tipo sono

probabilmente le cellule pacemaker, mentre le seconde potrebbero condurre

l’impulso dal centro del nodo al suo bordo.

Un tipico potenziale d’azione transmembranario registrato da una cellula del

nodo seno atriale, rispetto a quello registrato da una cellula del miocardio

ventricolare, ha un potenziale di riposo piu basso, la fase iniziale dello spike

(fase 0) molto meno rapida, plateau assente, e ripolarizzazione (fase 3) piu

graduale, tutte caratteristiche tipiche delle risposte lente. In condizioni nor-

mali la tetrodotossina e priva di effetti sul potenziale d’azione delle cellule

del nodo seno atriale, per cui si pensa che la fase iniziale del potenziale d’a-

zione stesso non sia dovuta all’ingresso di correnti del Na+ attraverso i canali


rapidi.

Il potenziale di membrana durante la fase 4 e molto meno negativo in tutte le

cellule automatiche dei nodi seno atriale ed atrio ventricolare che nei miociti

atriali e ventricolari in quanto i canali iK1 , rettificanti in ingresso, sono piu

rari nelle cellule nodali, pertanto durante la fase 4 il rapporto tra la condut-

tanza del K+ e quella del Na+ e inferiore nelle cellule nodali che nei miociti;

da cio si puo concludere che durante la fase 4, rispetto ai miociti, il valore

di Vm nelle cellule nodali e molto piu lontano dal potenziale di equilibrio del

K+, cioe EK .

La principale caratteristica distintiva di una fibra pacemaker risiede comun-

que nella fase 4: infatti nelle cellule non automatiche il potenziale rimane

costante durante questa fase, mentre in una fibra pacemaker si verifica du-

rante tutta la fase 4 una depolarizzazione lenta e continua chiamata potenziale

pacemaker, in quanto essa procede a velocita costante e, quando viene rag-

giunta la soglia, si genera un potenziale d’azione.

La frequenza di scarica delle cellule pacemaker puo essere modificata varian-

do la velocita di depolarizzazione nella fase 4, la massima negativita durante

la stessa fase oppure il livello del potenziale di soglia: con un aumento della

velocita della depolarizzazione diastolica lenta il potenziale di soglia verra

raggiunto prima e la frequenza cardiaca aumentera, mentre un incremento

del potenziale di soglia ritardera l’inizio della fase 0 e di conseguenza si avra

una riduzione della frequenza dell’attivita cardiaca. Allo stesso modo, quando

viene aumentato il livello del potenziale di riposo, pur rimanendo invariata

la pendenza della fase 4 sara necessario un tempo superiore per raggiungere

la soglia aumentata in precedenza, ed anche in questo caso la frequenza si

ridurra.

Diverse correnti ioniche contribuiscono alla genesi della lenta depolarizza-

zione diastolica delle cellule automatiche del miocardio: in quelle del nodo

seno atriale, la depolarizzazione diastolica e dovuta ad almeno tre correnti

ioniche, una in ingresso, detta if , prodotta dall’iperpolarizzazione, una in

ingresso dovuta al Ca2+ detta iCa, ed infine una corrente in uscita del K+,

iK .

La corrente in ingresso if e attiva verso la fine della ripolarizzazione ed e


dovuta soprattutto agli ioni Na+ che passano attraverso canali diversi dai

canali rapidi del sodio, ed e stata definita corrente funny perche i ricercatori

che l’hanno scoperta non si aspettavano di trovare una corrente in ingresso

del sodio nelle cellule pacemaker che si attiva dopo il compimento della ri-

polarizzazione. Questa corrente si attiva quando il potenziale di membrana

diventa piu negativo di -50 mV, ed in genere sara maggiore quanto piu di-

venta negativo il potenziale di membrana alla fine della ripolarizzazione.

La seconda corrente responsabile della lenta depolarizzazione diastolica e

la corrente in ingresso del calcio, iCa, che si attiva verso la fine della fase

4, quando il potenziale di membrana raggiunge circa -55 mV; l’ingresso di

Ca2+ accelera la depolarizzazione diastolica che genera la fase ascendente del

potenziale d’azione, inoltre si e notato che riducendo la concentrazione extra-

cellulare di questo ione o somministrando un bloccante dei canali del calcio,

si riduce sia l’ampiezza del potenziale d’azione sia la pendenza del potenziale

pacemaker delle cellule del nodo seno atriale.

La progressiva depolarizzazione diastolica provocata dalle due correnti di in-

gresso appena analizzate e contrastata dalla terza, la corrente in uscita del

potassio, iK , in quanto l’uscita di questo ione tende a ripolarizzare la cellula

dopo la fase ascendente del potenziale d’azione; il K+ continua ad uscire dalla

cellula oltre il periodo della massima ripolarizzazione, ma il suo movimento

si riduce durante la fase 4, e cio comporta anche un calo progressivo della sua

azione di contrasto agli effetti depolarizzanti delle due correnti in ingresso.

Le basi ioniche dell’automaticita delle cellule pacemaker del nodo atrio ven-

tricolare sono probabilmente identiche a quelle delle cellule del nodo seno

atriale, e meccanismi simili potrebbero rendere conto anche dell’automati-

cita delle fibre di Purkinje, ad eccezione della corrente dovuta al Ca2+ che

forse non e presente in queste cellule, nelle quali la lenta depolarizzazione

diastolica e dovuta ad un equilibrio tra la corrente in ingresso if e la corrente

in uscita iK che si riduce progressivamente.

I neurotrasmettitori del sistema nervoso autonomo modificano l’automaticita

alterando le correnti ioniche attraverso le membrane cellulari, in particolare

i trasmettitori adrenergici aumentano tutte e tre le correnti che partecipano

all’automaticita delle cellule del nodo seno atriale: l’incremento della depola-


rizzazione diastolica indotto da queste sostanze suggerisce che l’aumento di

if ed iCa deve essere superiore a quello di iK .

L’iperpolarizzazione provocata dall’acetilcolina liberata dal vago e mediata

da un aumento della conduttanza della membrana al K+ che sembra dovuto

all’attivazione di specifici canali del K+ controllati dall’acetilcolina, la quale

deprime le correnti if ed iCa.

L’automaticita delle cellule pacemaker puo essere temporaneamente depres-

sa dopo un periodo di attivazione ad elevata frequenza, e questo fenomeno

prende il nome di soppressione da overdrive; poiche di norma le cellule del

nodo seno atriale scaricano a frequenza piu elevata di quella delle cellule de-

gli altri pacemaker latenti, essa tende a sopprimere l’automaticita degli altri

focus ectopici.

Il meccanismo responsabile della soppressione da overdrive dipende dalla

pompa di membrana Na+-K+ ATPasi, quindi piu frequentemente la cellula

si depolarizza e tanto piu Na+ entrera nella cellula, e con frequenze elevate

di eccitazione l’attivita della pompa aumenta per espellere questa maggio-

re quantita di tale ione. Poiche la quantita di Na+ espulso dalla Na+-K+

ATPasi supera la quantita di K+ entrante nella cellula, l’attivita di questa

pompa iperpolarizza la cellula, facendo sı che il potenziale pacemaker impie-

ghi un tempo maggiore per raggiungere la soglia; inoltre quando l’overdrive

si interrompe all’improvviso, generalmente la pompa non si arresta istanta-

neamente, ma continua a lavorare a velocita piu elevata ancora per un certo

periodo di tempo: questo eccessivo trasferimento di Na+ dalla cellula tende

ad opporsi alla graduale depolarizzazione della cellula pacemaker durante la

fase 4, sopprimendo cosı temporaneamente la sua automaticita.

Dal nodo seno atriale l’impulso cardiaco si diffonde radialmente all’atrio de-

stro attraverso le fibre miocardiche ordinarie dell’atrio con una velocita di

conduzione di circa 1 m/s, mentre una speciale via, chiamata banda intera-

triale anteriore o fascio di Bachmann conduce l’impulso in modo piu diretto

dal nodo seno atriale all’atrio sinistro: l’onda di depolarizzazione che si pro-

paga inferiormente attraverso l’atrio raggiunge alla fine il nodo atrio ventri-

colare, che di norma e l’unica via per l’ingresso degli impulsi nei ventricoli.

Rispetto a quello registrato da una tipica cellula ventricolare, il potenziale


d’azione di una cellula atriale presenta un plateau meno sviluppato e piu

breve ed una ripolarizzazione piu lenta: la durata del potenziale d’azione nei

miociti atriali e piu breve che nei miociti ventricolari perche l’uscita di K+

durante il plateau e maggiore.

L’onda di depolarizzazione atriale raggiunge i ventricoli attraverso il nodo

atrio ventricolare, situato posteriormente sul lato destro del setto interatria-

le, in prossimita dell’orifizio del seno coronarico; il nodo atrio ventricolare

contiene gli stessi due tipi di cellule presenti nel nodo seno atriale, ma le

cellule rotonde sono meno numerose mentre predominano quelle allungate.

Il nodo atrio ventricolare viene suddiviso in tre distinte regioni funzionali: la

regione AN di transizione tra l’atrio e la restante parte del nodo, la regione

N centrale e la regione NH in cui le fibre nodali si uniscono gradualmente con

il fascio di His, che costituisce la regione iniziale del sistema specializzato di

conduzione dei ventricoli. Normalmente il nodo atrio ventricolare ed il fascio

di His sono le uniche vie attraverso le quali l’impulso cardiaco passa dalle

camere atriali ai ventricoli.

Diverse caratteristiche della conduzione atrio ventricolare sono importanti

per la fisiologia e la patologia del miocardio: il principale ritardo durante

il passaggio di un impulso dalle cellule atriali a quelle ventricolari si veri-

fica nelle regioni AN ed N, anche se in realta la velocita di conduzione e

inferiore nella regione N, la quale e anche di lunghezza minore, il che rende

conto del maggiore ritardo totale che si verifica in questa ultima zona. Il

tempo di conduzione attraverso queste due regioni giustifica il ritardo tra l’i-

nizio dell’onda P, che rappresenta la manifestazione elettrica della diffusione

atriale dell’eccitamento, ed il complesso QRS, rappresentativo della diffusio-

ne ventricolare, entrambi apprezzabili nel segnale elettrocardiografico; questo

ritardo tra l’eccitazione atriale e ventricolare e funzionalmente importante in

quanto consente un ottimo riempimento ventricolare durante la contrazione

atriale.

I potenziali d’azione delle cellule della regione N esibiscono le caratteristiche

tipiche delle risposte lente, con un potenziale di riposo di circa -60 mV, la

fase di ascesa del potenziale d’azione non particolarmente ripido ed una ve-

locita di conduzione di circa 0,05 m/s; la tetrodotossina, sostanza che blocca

i canali rapidi del Na+, non ha praticamente effetti sul potenziale d’azione


delle cellule di questa regione, mentre i bloccanti dei canali del Ca2+ riduco-

no l’ampiezza e la durata del potenziale d’azione, deprimendo la conduzione

atrio ventricolare. I potenziali d’azione delle cellule della regione AN hanno

una forma intermedia fra quelli delle cellule della regione N e quelli delle cel-

lule atriali, mentre i potenziali della regione NH hanno una forma intermedia

fra quelli della regione N e quelli del fascio di His.

Le cellule della regione N, come le altre cellule a risposta lenta, mostrano

un periodo refrattario relativo che si estende ben oltre il periodo di com-

pleta ripolarizzazione, cioe mostrano il fenomeno della refrattarieta post-

ripolarizzazione: se la frequenza delle depolarizzazioni atriali aumenta, la

conduzione attraverso la regione atrio ventricolare puo prolungarsi, e gran

parte di questo prolungamento ha luogo nella regione N.

Gli impulsi tendono ad essere bloccati nel nodo atrio ventricolare per fre-

quenze di stimolo che sono invece facilmente condotte in altre regioni del

cuore; se gli atri si depolarizzano a frequenza elevata, solo una frazione degli

impulsi possono essere trasmessi ai ventricoli attraverso la giunzione atrio

ventricolari, con lo scopo di proteggere i ventricoli da un’eccessiva frequenza

di contrazione, a causa della quale il tempo di riempimento tra le contrazioni

potrebbe risultare inadeguato.

Attraverso il nodo seno atriale puo avvenire la conduzione retrograda dai

ventricoli all’atrio, anche se il tempo di propagazione e notevolmente piu

lungo e l’impulso corrispondente e bloccato a frequenze piu basse; inoltre il

nodo atrio ventricolare costituisce la sede piu frequente per il fenomeno del

rientro, come si vedra in seguito.

Il sistema nervoso autonomo ha un ruolo importante nella regolazione del-

la conduzione atrio ventricolare, in quanto una debole attivita vagale e in

grado di prolungare il tempo di tale conduzione; per una data lunghezza del

ciclo atriale, il tempo di conduzione dall’atrio al fascio di His o dall’atrio

ai ventricoli viene prolungato dalla stimolazione vagale, mentre una attivita

vagale piu intensa puo bloccare a livello del nodo alcuni o tutti gli impulsi

provenienti dagli atri. La conduzione ritardata od il blocco si verificano so-

prattutto nella regione N del nodo.

L’acetilcolina rilasciata dalle fibre del nervo vago iperpolarizza le fibre di


conduzione della regione N, e maggiore e l’iperpolarizzazione raggiunta nel

momento in cui arriva l’impulso atriale e maggiore sara l’alterazione della

conduzione atrio ventricolare. I nervi simpatici del cuore esercitano invece

effetti eccitatori sulla conduzione atrio ventricolare, riducendo il tempo di

conduzione ed incrementando la ritmicita del pacemaker latente della giun-

zione. La noradrenalina liberata dai terminali simpatici aumenta l’ampiezza

e la pendenza della fase ascendente del potenziale d’azione delle cellule del

nodo atrio ventricolare, specialmente nelle regioni AN ed N.

Il fascio di His decorre a livello subendocardico lungo il lato destro del setto

interventricolare per circa un centimetro e successivamente si divide in due

branche, quella destra che rappresenta la continuazione del fascio stesso e che

decorre lungo il lato destro del setto, e quella sinistra che e notevolmente piu

spessa e che nasce dal fascio di His quasi perpendicolarmente e penetra nel

setto, dove si separa in una sottile divisione anteriore ed in una divisione po-

steriore piu spessa. La branca destra e le due divisioni della branca sinistra

si suddividono poi per formare una complessa rete di fibre di conduzione,

denominate fibre di Purkinje, che si distribuiscono sulla superficie subendo-

cardica di entrambi i ventricoli; in certe specie di mammiferi la rete delle

fibre di Purkinje e disposta in sottili fascicoli incapsulati.

Queste fibre possiedono molti sarcomeri, allineati secondo l’asse maggiore

della cellula come nelle altre cellule del miocardio, tuttavia i tubuli T sono

assenti nelle cellule di Purkinje di molte specie, pur essendo presenti e ben

sviluppati nei miociti. Le fibre di Purkinje sono le piu grosse del cuore, fino

a circa cinque volte quelle del miocardio ventricolare, ed il grosso diametro

rende conto, almeno in parte, della maggiore velocita di conduzione che con-

sente una rapida attivazione di tutte le regioni della superficie endocardica

dei ventricoli.

La configurazione dei potenziali d’azione registrati dalle fibre di Purkinje e

simile a quella delle fibre del miocardio comune del ventricolo, ma con la fase

1 in genere piu sviluppata e la durata del plateau intermedia tra quella delle

fibre epicardiche e mediocardiche.

A causa del lungo periodo refrattario delle fibre di Purkinje, molte attivazio-

ni premature degli atri, pur essendo condotte attraverso la giunzione atrio


ventricolare, sono poi bloccate all’altezza di queste fibre, pertanto non si

ha contrazione prematura dei ventricoli; questa azione protettiva contro gli

effetti di depolarizzazione prematura degli atri e particolarmente efficace a

basse frequenze del battito, in quanto la durata del potenziale d’azione e, di

conseguenza, del periodo refrattario assoluto delle fibre di Purkinje e inver-

samente proporzionale alla frequenza cardiaca. Simili variazioni del periodo

refrattario in funzione della frequenza si verificano anche in gran parte delle

altre cellule del miocardio, anche se nel nodo atrio ventricolare il periodo

refrattario assoluto non cambia in modo apprezzabile entro certi limiti di

frequenze cardiache, ma aumenta in modo considerevole a frequenze molto

elevate, per cui a tali frequenze sono le cellule di questo nodo che proteggono

i ventricoli dalle frequenze eccessivamente alte.

Le prime porzioni ventricolari ad essere eccitate dagli impulsi che arrivano

dal nodo atrio ventricolare sono il setto interventricolare, esclusa la porzione

basale, ed i muscoli papillari, e l’onda di eccitazione si diffonde nello spessore

del setto dalla superficie endocardica destra e sinistra. La contrazione preco-

ce del setto tende a rendere lo stesso piu rigido e gli permette di agire come

punto di appoggio per la contrazione della restante muscolatura ventricolare,

inoltre la contrazione precoce dei muscoli papillari serve per prevenire la pro-

trusione delle valvole atrio ventricolari nel corso della sistole ventricolare. Le

superfici endocardiche di entrambi i ventricoli sono attivate rapidamente, ma

l’onda di eccitazione diffonde dall’endocardio all’epicardio a velocita minore,

e poiche la parete del ventricolo destro e notevolmente piu sottile di quella

del ventricolo sinistro, la sua superficie epicardica e attivata prima, inoltre

le regioni epicardiche apicale e centrale di entrambi i ventricoli sono attiva-

te prima delle loro rispettive regioni basali; le ultime porzioni dei ventricoli

ad essere eccitate sono le regioni epicardiche basali posteriori ed una piccola

zona della porzione basale del setto interventricolare.

In particolari condizioni, un impulso cardiaco puo rieccitare la stessa regione

attraverso la quale era passato in precedenza: questo fenomeno e noto come

rientro e puo essere di tipo ordinato, nel quale l’impulso attraversa una via

anatomica ben stabilita, e di tipo casuale dove tale via cambia in continua-


zione. Le condizioni per il rientro sono illustrate nella figura 2.1417, dove in

ciasuno dei quattro riquadri e rappresentato un singolo fascio di fibre cardia-

che, indicato con la lettera F, che si divide in una branca destra e sinistra,

indicate con D ed S rispettivamente, mentre un fascio di connessione C de-

corre tra le due branche. Di norma un impulso che viaggia lungo un fascio

Figura 2.14: Ruolo del blocco unidirezionale nel rientro

principale si propaga alle due branche laterali, e quando raggiunge il fascio

di connessione entra da entrambi i lati e si estingue nel punto di collisione,

come indicato nel riquadro A: l’impulso che proviene da sinistra non puo

propagarsi perche il tessuto si trova in periodo refrattario assoluto, essendo

stato depolarizzato dall’impulso proveniente dalla direzione opposta, e per

gli stessi motivi l’impulso proveniente da destra non puo passare.

Il riquadro B mostra che l’impulso non puo percorrere un circuito completo

se esiste un blocco anterogrado delle due branche; inoltre se e presente un

blocco bidirezionale in un certo punto del circuito, come per esempio nella

branca destra del riquadro C, l’impulso non e in grado di rientrare.

Una condizione necessaria affinche si verifichi il fenomeno del rientro e che,

ad un certo punto del circuito, l’impulso sia capace di passare in una dire-

zione ma non nell’altra: questa situazione e chiamata blocco unidirezionale

ed e mostrata nel riquadro D. In questa situazione l’impulso puo viaggiare

normalmente lungo la branca sinistra, ma viene bloccato in direzione antero-

grada all’altezza della regione di blocco della branca destra, mentre l’impulso



che e stato condotto lungo la branca sinistra e lungo quella di connessione

puo penetrare in direzione retrograda nella regione depressa della branca

destra, anche se l’impulso anterogrado e stato bloccato nello stesso punto.

La spiegazione di questo fenomeno e che l’impulso anterogrado arriva alla

regione depressa della branca destra prima dell’impulso retrogrado, quindi

nel momento in cui tale zona e nel suo periodo refrattario assoluto, mentre

l’impulso retrogrado arriva in tale zona quando questo periodo e terminato.

Perche si verifichi la condizione di blocco unidirezionale e quindi necessario

anche che il periodo refrattario assoluto della regione di rientro sia inferiore

al tempo di propagazione lungo il circuito.

Le componenti funzionali del circuito del rientro sono molteplici: alcuni cir-

cuiti sono molto ampi e coinvolgono l’intero fascio di conduzione, altri hanno

invece dimensioni microscopiche; il circuito inoltre puo includere fibre mio-

cardiche, fibre specializzate di conduzione, cellule nodali e tessuto giunzionale

in varia combinazione, e le cellule cardiache che compongono l’anello possono

essere normali od alterate.

L’attivita indotta e cosı chiamata perche e sempre accoppiata ad un prece-

dente potenziale d’azione ed e causata dalle depolarizzazioni postume, distin-

guibili in depolarizzazioni postume precoci e depolarizzazioni postume tardive:

le prime si verificano alla fine del plateau oppure verso la meta del periodo

di ripolarizzazione, mentre le seconde avvengono verso la fine della ripolariz-

zazione o subito dopo la ripolarizzazione totale.

Le depolarizzazioni postume precoci si verificano piu facilmente quando pre-

vale una bassa frequenza cardiaca, in quanto vengono soppresse da frequenze

elevate: esperimenti condotti su fibre di Purkinje isolate ed alle quali sono

state indotte depolarizzazioni postume precoci mediante applicazione di cesio

hanno dimostrato che a frequenze via via minori sono apparse depolarizza-

zioni postume dapprima sotto soglia poi scariche anche di cinque potenziali

d’azione aggiuntivi. Questo tipo di depolarizzazione si verifica con maggiore

probabilita nelle cellule cardiache con potenziali d’azione prolungati, come i

miociti della regione mediocardica della parete ventricolare, possono essere

prodotte sperimentalmente con manipolazioni che prolungano il potenziale

d’azione ed inoltre, come si e gia visto, sono prevalenti quando la lunghezza

del ciclo viene aumentata; questi aumenti della durata del ciclo ovviamente


aumentano anche la durata del potenziale d’azione, che a sua volta contri-

buisce alla comparsa delle depolarizzazioni postume precoci.

La correlazione diretta tra la durata del potenziale d’azione della cellula e la

sua suscettibilita a questo tipo di depolarizzazione e probabilmente da met-

tere in relazione con il tempo richiesto per il recupero dall’inattivazione dei

canali del calcio della membrana cellulare: quando i potenziali d’azione sono

sufficientemente prolungati, quei canali del calcio che si sono attivati all’i-

nizio del plateau hanno tempo sufficiente per recuperare dall’inattivazione e

possono quindi essere riattivati prima della ripolarizzazione completa della

cellula, e questa attivazione secondaria puo suscitare una depolarizzazione

postuma precoce.

Le depolarizzazioni precoci tardive hanno invece maggiori probabilita di ve-

rificarsi a frequenze cardiache elevate: esperimenti con fibre di Purkinje trat-

tate con acetilstrofantina ad alta concentrazione hanno dimostrato che au-

mentando la frequenza dello stimolo queste depolarizzazioni hanno dapprima

una debole fase ascendente al termine dello stimolo stesso, poi superando un

valore di soglia si ha una depolarizzazione non evocata dello stimolo, detta

anche extrasistole, seguita da un potenziale postumo sottosoglia, fino a rag-

giungere un numero maggiore di extrasistole dopo le depolarizzazioni.

L’ampiezza di queste depolarizzazioni e aumentata da tutti quei fattori che

provocano incremento della concentrazione intracellulare di calcio che genera

un rilascio ciclico di questo ione dal reticolo sarcoplasmatico, quindi nelle

cellule miocardiche si associano a piccole variazioni dello sviluppo di ten-

sione. L’elevata concentrazione di calcio intracellulare, inoltre, attiva anche

alcuni canali della membrana che consentono il passaggio di sodio e potas-

sio, ed il flusso netto di questi cationi provoca un debole flusso di corrente,

detta corrente transitoria in ingresso, iti, responsabile almeno in parte della

depolarizzazione postuma della membrana cellulare; oltre a cio questa alta

concentrazione potrebbe anche attivare lo scambiatore Na+-Ca2+, che trasfe-

risce nella cellula tre ioni sodio per ogni ione calcio che espelle generando una

corrente di ingresso che potrebbe contribuire alle depolarizzazioni postume

tardive.

Capitolo 3

Modelli matematici della

eccitabilita cellulare

In questo capitolo verranno analizzati i principali modelli di cellule eccitabili,

iniziando da una semplice analisi della membrana da un punto di vista elettri-

co e termodinamico, proseguendo con i principali modelli generici sviluppati

da Hodgkin e Huxley ed i successivi lavori, per concludere con i modelli

specifici delle cellule cardiache, in particolare quelli studiati da Luo e Rudy.

1 Modelli di membranaIn questa sezione verra fornita una breve descrizione della membrana cellu-

lare da un punto di vista elettrico e soprattutto in ottica termodinamica,

ricavando anche alcune delle equazioni gia viste in precedenza.

1.1 Modello a condensatore elettricoIl doppio strato lipidico della membrana cellulare non rappresenta solo il

supporto di sostegno delle proteine transmembrana, ma essendo costituito da

uno strato molto sottile ed isolante elettrico che divide due fluidi conduttori,

esso funziona da condensatore elettrico. Come qualsiasi altro condensatore,

la membrana cellulare ha la capacita di separare cariche e quindi di generare

un potenziale elettrico, e la sua capacita C viene calcolata come la quantita di

carica Q necessaria per generare un potenziale elettrico V secondo l’equazione

C =Q

V

La maggior parte delle membrane cellulari ha una capacita di circa 1 µF/cm2,

e tale capacita relativamente elevata e determinante per la formazione del po-

112 Modelli matematici della eccitabilita cellulare

tenziale di membrana.

Per il principio dell’elettroneutralita, in condizioni biologiche la composizio-

ne ionica dei compartimenti intra ed extracellulare tende spontaneamente a

rimanere sempre elettricamente neutra, per cui nei due compartimenti non

esiste alcuna eccedenza di cariche libere positive o negative. Al contrario il

doppio strato lipidico, che ha uno spessore di pochi nanometri, puo accogliere

su entrambi i suoi lati ioni di carica diversa, e puo quindi essere approssima-

tivamente classificato come un equivalente cellulare di un condensatore piano

a due piastre, la cui capacita vale

C =εA

d

con A area della piastra, ε costante dielettrica e d distanza tra le due arma-

ture.

La differenza di potenziale elettrico totale tra interno ed esterno della cel-

lula viene dunque determinata da cariche che aderiscono strettamente alla

membrana cellulare caricando questo condensatore cellulare.

1.2 Termodinamica della membranaE possibile ricavare le leggi fisiche che determinano le differenze di potenzia-

le ai capi della membrana partendo dal concetto termodinamico di energia

interna di un sistema, che e definita come

dU = dQ + dW (3.1)

dove dQ indica la quantita di calore scambiato dal sistema con l’esterno e

dW il lavoro compiuto sul sistema, e per convenzione questi termini sono

entrambi entranti nel sistema, facendone aumentare l’energia interna.

Se un sistema compie lavoro verso l’esterno allora si avra una diminuzione

dell’energia interna, e tale lavoro puo essere visto come combinazione di la-

voro meccanico dW ′ e di lavoro utile dWu, che a sua volta puo essere visto

come somma del lavoro dW ′′ dovuto al campo elettrico e dW ′′′ dovuto alle

sostanze chimiche.

Il lavoro meccanico puo essere espresso come

dW ′ = pdVol

3.1.2 Termodinamica della membrana 113

cioe come variazione di volume, ed analogamente si puo definire il lavoro

dovuto al campo elettrico ed alle sostanze chimiche come

dW ′′ = V dq

e

dW ′′′ =∑

i

µidni

dove dq indica una carica infinitesima e µi il potenziale chimico di una mole

di una determinata specie chimica i.

Spontaneamente il sistema tende ad evolvere nella direzione che provoca

una riduzione dell’energia interna, per cui tenendo conto dei segni il pri-

mo principio della termodinamica per questo sistema puo essere scritto come

dU = −pdVol + V dq +∑

i

µidni + dQ (3.2)

ed inoltre e possibile rappresentare il potenziale chimico della specie chimica

i-esima in funzione della concentrazione, della pressione e della temperatura

µi = pVoli + RTlnCi + µi0 − A

dove Voli indica il volume molare, Ci la concentrazione, µi0 l’elemento costan-

te presente nei potenziali e A la costante di integrazione.

Verranno considerate solamente trasformazioni a temperatura e pressione

costanti, per cui si osserva l’etropia, che e una grandezza di stato e non

dipende dal punto considerato e la cui variazione si puo definire come

dS =dQrev

T

Se si e di fronte ad una trasformazione reversibile, cioe senza dissipazione di

energia, e possibile scrivere∮dQrev

T= 0

e la variazione di entropia e la stessa qualunque sia il cammino chiuso di

integrazione scelto, mentre se la trasformazione e irreversibile vale la relazione∮dQ

T> 0


Da queste due relazioni si ricava il secondo principio della termodinamica

dQ

T≤ dS (3.3)

1.3 Energia libera di GibbsCombinando l’equazione 3.3 con la 3.2 del primo principio della termodina-

mica si ottiene

dQ = dU + pdVol −∑

i

µidni − V dq ≤ TdS

da cui

dU + pdVol − TdS ≤ V dq +∑

i

µidni = dWu (3.4)

Si definisce energia libera di Gibbs

G = U + pVol − TS (3.5)

che a pressione e temperatura costante permette di valutare l’energia U del

sistema; infatti se tutte le variabili subiscono una variazione si ottiene

dG = dU + pdVol + Voldp− TdS − SdT

da cui

dG ≤ Voldp− SdT + V dq +∑

i

µidni

Nel caso di temperatura e pressione costanti si avra dT = 0 e dp = 0 dalle

quali si ottiene

(dG)p,T ≤ V dq +∑

i

µidni = dWu

e se il sistema evolve spontaneamente compira sempre lavoro utile, cioe la

sua variazione sara negativa

−(dG)p,T ≥ −dWu (3.6)

dove il segno di uguaglianza vale solo per le trasformazioni reversibili, men-

tre in quelle irreversibili parte dell’energia viene persa e quindi applicando

in senso opposto il lavoro utile svolto spontaneamente dal sistema non si

recuperera mai tutta l’energia libera di Gibbs.

3.1.4 Potenziale di Nernst 115

1.4 Potenziale di NernstSe una soluzione contiene diversi elettroliti, come per esempio le cellule uma-

ne, la variazione di carica totale dovuta ad essi si puo esprimere mediante la

relazione

dq =∑

i

dniziF

dove dni indica la variazione del numero di moli e zi la valenza della sostanza

i-esima, ed F e la costante di Faraday.

Sostituendo il valore cosı trovato nella formula 3.4 si ottiene

dWu =∑

i

V ziFdni +∑

i

µidni =∑

i

(V ziF + µi)dni

Si puo definire il potenziale elettrochimico della specie i-esima come

µi = µi + V ziF

che tiene conto sia del potenziale elettrico che di quello chimico. Quindi una

sostanza disciolta in una soluzione possiede una energia esprimibile con la

formula dell’energia libera di Gibbs 3.6

(dG)p,T ≤∑

i

µidni

Dalla conoscenza del potenziale elettrochimico µi e possibile sapere in che

modo le sostanze vengono trasportate passivamente, in quanto l’energia li-

bera di Gibbs decrescera lungo una direzione che e quella dell’evoluzione del

sistema: infatti un elettrolita libero a temperatura e pressione costanti si

muovera nella direzione negativa del gradiente del potenziale elettrochimico

−∇µi.

All’equilibrio ci sara un minimo dell’energia libera di Gibbs per una trasfor-

mazione a temperatura e pressione costante, ovvero si avra

(dG)p,T = 0

ed ai fini pratici occorre guardare il potenziale elettrochimico per le diverse

specie chimiche. Se si considera un sistema formato da due compartimenti I

e II separati da una membrana permeabile ad una specie ionica la condizio-

ne di equilibrio e quella in cui mediamente non si ha passaggio di sostanza


attraverso la membrana, cioe deve valere la relazione µIi = µII

i .

Sotto queste ipotesi si puo riscrivere l’equazione di equilibrio dei due com-

partimenti considerando temperature e pressioni diverse

pI V Ioli

+ RT I ln CIi + µ0

i + V IziF = pII V IIoli

+ RT II ln CIIi + µ0

i + V IIziF

Introducendo l’ipotesi di pressione e temperatura costanti risulta che tra i

due compartimenti non ci sono gradienti di pressione e temperatura, quindi

anche il volume molare delle due fasi e lo stesso, cioe

RT ln CIi + V IziF = RT ln CII

i + V IIziF

RT (ln CIi − ln CII

i ) = (V II − V I)ziF

da cui si ricava l’equazione del potenziale di Nernst gia visto in precedenza

V II − V I = ∆V =RT

ziFln

CIi

CIIi

(3.7)

In altre parole si puo dire che all’equilibrio il gradiente di concentrazione e

quello di voltaggio si bilanciano.

Questa differenza di potenziale si trova solo ai capi della membrana, in quan-

to vale il principio di elettroneutralita per cui, secondo la legge di Gauss,

all’interno della cellula il campo elettrico e nullo in quanto il suo potenziale

e costante, cosı come all’esterno∮E · ndS = 4π

∫ρdV = 4πq

dove si e indicato con ρ la densita di carica, con dV il volume infinitesimo e

q la carica.

La concentrazione si puo esprimere come numero di moli di soluto per unita

di volume, definizione tanto piu vera quanto piu una soluzione e diluita; per

una sostanza poco diluita si preferisce definire una attivita, che tiene conto

delle forze di interazione fra le molecole e la soluzione si comporta come se

avesse una concentrazione piu bassa

ai = γCi con γ < 1

1.5 Equazione di Nernst-PlankA causa delle pompe attive l’equazione di Nernst non e sempre soddisfatta

per tutte le sostanze ai capi della membrana, in quanto e presente anche

3.1.5 Equazione di Nernst-Plank 117

un termine dovuto alla diffusione, quindi tenendo conto dell’equazione 1.1

della prima legge di Fick e del termine dovuto al campo elettrico e possibile

scrivere, per un i-esimo soluto elettrolitico a pressione e volume costante, il

flusso Φi attraverso la membrana

Φi = −Di∇Ci − UiCiziF∇V

dove Ui e una costante che esprime la mobilita ionica della sostanza i-esima.

Nel caso monodimensionale quest’ultima espressione diventa

Φi = −DidCi

dx− UiCiziF

dV

dx

e prende il nome di equazione di Nernst-Plank. Nella pratica interessa la

corrente elettrica dell’elettrolita i-esimo attraverso la membrana

Ii = ΦiziF

dalla quale segue immediatamente

Ii = −DiziFdCi

dx− z2

i F2Di

RTCi

dV

dx(3.8)

La soluzione della 3.8 non e ricavabile elementarmente, ma puo risultare ap-

prossimata in maniera accettabile sotto determinate ipotesi, cioe

• tutte le ipotesi fatte sulla 3.8 sono vere;

• i vari soluti non interagiscono tra di loro;

• nella membrana il campo elettrico e costante.

In particolare questa ultima ipotesi implica che

−dV

dx=

Vint − Vest

h=

∆V

h

dove Vint e il potenziale interno della cellula, Vest quello esterno ed h lo

spessore della membrana.

In questo modo l’equazione 3.8 puo essere riscritta

Ii = −DiziFdCi

dx+

z2i F

2Di∆V

RThCi


che e una equazione differenziale lineare nella variabile Ci ed indipendente

da x.

Si puo quindi riscrivere quest’ultima equazione

dCi

dx=

ziF∆V

RThCi −

Ii

DiziF

che e una equazione del tipo

dy

dx= λy + C

con λ autovalore del sistema lineare, che ha come soluzione

y = Aeλx +C

λ

quindi l’equazione differenziale oggetto di studio ha soluzione

Ci(x) = AeziF∆V

RThx +

RThIi

ZiF∆V

ed applicando le condizioni al contorno

Ci(0) = Cint

e

Ci(h) = Cest

si ottiene l’equazione

Ii =Diz

2i ∆V

RTh

Cest − CinteziF∆V

RT

1− eziF∆V

RT

Per ottenere il potenziale di Nernst all’equilibrio occorre porre Ii = 0, ovvero

annullare il numeratore dell’equazione precedente.

Nel caso si avesse ∆V = 0, la corrente Ii e quella dovuta al contributo

chimico, ed in analogia alla legge di Fick vale

Ii = −DiziF

h(Cest − Cint)

mentre nel caso duale in cui non c’e differenza di concentrazione ai lati della

membrana, cioe Cint = Cest = C, si ottiene

Ii = ∆VDiz

2i F

2

RThC

3.2 Il modello di Hodgkin-Huxley 119

2 Il modello di Hodgkin-HuxleyIl piu importante studio riguardante la generazione e la propagazione dei

segnali nelle cellule eccitabili degli esseri viventi e stato realizzato da Alan

Hodgkin e Andrew Huxley1, che hanno sviluppato il primo modello quanti-

tativo della propagazione di un segnale elettrico lungo un assone gigante di

calamaro, estendendolo poi a tutti i tipi di cellule eccitabili.

Come visto in precedenza la membrana cellulare puo essere modellizzata

come una capacita in parallelo ad una corrente ionica, come descritto dall’e-

quazione

CmdV

dt+ Iion(V, t) = 0 (3.9)

dove V indica la differenza di potenziale tra l’interno e l’esterno della cellula.

Nell’assone gigante di calamaro, come in molte cellule neuronali, le principali

correnti ioniche sono quelle dovute al sodio ed al potassio, anche se ne esistono

altre come quella dovuta al cloro: queste ultime sono tuttavia di piccola entita

e verranno considerate insieme alle correnti di dispersione. Poiche le relazioni

istantanee tensione-corrente dei canali aperti del Na+ e del K+ possono con

buona approssimazione essere considerate lineari, l’equazione 3.9 puo essere

riscritta nella forma

CmdV

dt= −gNa(V − VNa)− gK(V − VK)− gL(V − VL) + Iapp (3.10)

dove gNa, gK indicano la conduttanza della membrana rispettivamente al so-

dio ed al potassio, gL la conduttanza dovuta agli altri ioni ed alle correnti di

dispersione, VNa, VK e VL i potenziali di equilibrio del sodio, del potassio e

degli altri ioni ed Iapp rappresenta la corrente applicata.

Durante la produzione di un potenziale di azione lo scambio ionico tra interno

ed esterno della cellula e molto basso, per cui si assume che le concentrazioni

ioniche, e di conseguenza i potenziali di equilibrio, rimangano costanti ed

insensibili al potenziale d’azione stesso, inoltre la relazione di linearita tra

tensione e corrente dei tre tipi di canali analizzati e suffragata da molti dati

sperimentali, anche se in altre specie tale andamento e meglio descritto da

1A.L.Hodgkin, A.F.Huxley (1952) A quantitative description of membrane current andits application to conduction and excitation in nerve J.Physiol.(Lond) 117:500-544


altre relazioni, come si vedra in seguito.

L’equazione 3.10 e una equazione ordinaria del primo ordine e puo essere

riscritta nella forma

CmdV

dt= −geff (V − Veq) + Iapp (3.11)

dove

geff = gNa + gK + gL e Veq =gNaVNa + gKVK + gLVL

geff

e quest’ultimo valore rappresenta il potenziale di riposo della membrana ed

e il bilancio dei potenziali inversi dovuti alle tre correnti ioniche: infatti al-

l’equilibrio le conduttanze del sodio e del cloro sono molto minori di quelle

del potassio, per cui il potenziale di equilibrio della cellula e vicino a quello

di quest’ultimo ione.

L’inverso della conduttanza geff puo essere indicata con Rm che e chiamata

resistenza passiva di membrana, ed e dell’ordine del migliaio di Ohm per

cm2, per cui e possibile definire la costante di tempo per questa equazione,

esprimibile come

τm = CmRm (3.12)

che e dell’ordine del millisecondo: da cio segue che con una corrente applicata

costante il potenziale di membrana raggiunge velocemente il valore

V = Veq + RmIapp (3.13)

Per correnti applicate sufficientemente piccole quest’ultima espressione ri-

sulta vera, ma per correnti piu grandi la risposta e diversa: assumendo che

l’espressione 3.10 rappresenti correttamente il modello, l’unica possibile spie-

gazione per queste differenze e che le conduttanze non siano costanti ma che

dipendano in qualche modo dalla tensione; storicamente il passo chiave per

determinare le conduttanze e stata la capacita di misurare le singole correnti

ioniche e da queste dedurre i cambiamenti delle conduttanze stesse.

Mediante la tecnica del voltage clamp descritta in precedenza, Hodgkin e

Huxley scoprirono che quando la differenza di potenziale veniva aumentata

di quantita discrete e tenuta fissa ad un livello piu alto, la corrente ionica

3.2 Il modello di Hodgkin-Huxley 121

totale dapprima era diretta verso l’interno ma in seguito si sviluppava una

corrente diretta esternamente alla cellula. Per diverse ragioni che non verran-

no qui trattate essi dimostrarono che la iniziale corrente entrante e portata

quasi interamente da ioni Na+, mentre quella uscente che si sviluppa in un

secondo momento e trasportata in gran parte da ioni K+; partendo da queste

supposizioni Hodgkin e Huxley usarono un trucco ingegnoso per separare la

corrente ionica totale nelle loro singole parti ioniche costituenti: essi sostitui-

rono il 90% del sodio extracellulare del normale bagno di acqua marina con

un liquido viscoso presente in molti tessuti animali e vegetali, la colina, che

rende l’assone non eccitabile ma che cambia il potenziale di riposo in maniera

trascurabile.

Assumendo che immediatamente dopo l’aumento di tensione la corrente ioni-

ca sia totalmente trasportata dal Na+, e possibile misurare la corrente iniziale

dovuta a questo ione, ma non la corrente su un periodo di tempo piu lun-

go, in quanto la corrente ionica totale da un certo punto in poi include un

contributo dovuto alle correnti del K+. Se si denota con I1Na la corrente del

sodio nel caso di concentrazione extracellulare di tale ione normale e con I2Na

la corrente misurata nell’esperimento sopra descritto, quindi con concentra-

zione extracellulare di sodio nulla, e possibile misurare sperimentalmente il

rapporto tra esse, denominato K

I1Na

I2Na

= K (3.14)

In seguito Hodgkin e Huxley supposero che K fosse indipendente dal tempo

e costante nel corso di ogni esperimento eseguito con la tecnica del voltage

clamp, cioe che l’ampiezza e la direzione della corrente del Na+ possono essere

modificate dalla bassa concentrazione extracellulare, ma non il suo andamen-

to temporale; inoltre essi supposero anche la non dipendenza dei canali del

potassio dalla variazione della concentrazione extracellulare del sodio, cioe

che i canali del sodio e del potassio sono indipendenti: infatti, come gia visto

in precedenza, la tetrodotossina blocca le correnti del Na+ lasciando inalte-

rate quelle del K+, mentre il tetraetilammonio produce l’effetto contrario.

Dal momento che la corrente ionica totale si puo esprimere come la somma

delle correnti ioniche del sodio e del potassio e che la corrente del potassio


non varia cambiando la concentrazione del sodio, si ha che

Iion = INa + IK e I1K = I2

K =⇒ I1ion − I1

Na = I2ion − I2

Na

da cui si ricava

I1Na =

K

K − 1(I1

ion − I2ion) (3.15)

IK =I1ion −KI2

ion

1−K(3.16)

Dalla misura della corrente ionica totale nei due casi e dalla conoscenza del

valore di K per le correnti del Na+ e possibile determinare l’andamento

completo nel tempo delle correnti del sodio e del potassio, e dalla conoscenza

delle singole correnti ioniche si possono determinare le conduttanze come

gNa =INa

V − VNa

, gK =IK

V − VK

(3.17)

Questo risultato deriva dal fatto che si e assunto dall’inizio di considerare le

curve istantanee tensione-corrente dei canali del sodio e del potassio lineari.

Le osservazioni sperimentali hanno evidenziato che con una differenza di po-

tenziale fissa, la conduttanza e dipendente dal tempo: quando la tensione V

aumenta a gradino e viene tenuta fissa ad un livello piu alto del precedente,

gK non aumenta istantaneamente ma in un periodo successivo fino ad un

livello finale di equilibrio. Entrambe le costanti di tempo del valore di gK ,

quella crescente e quella finale, dipendono dall’ampiezza del gradino applica-

to a V , inoltre gK varia, sempre al crescere di V , in modo sigmoidale con una

pendenza che prima aumenta e poi decresce; per valori decrescenti del vol-

taggio, poi, gK ha un andamento di tipo esponenziale. Questa particolarita,

cioe una crescita sigmoidale accoppiata con un decremento esponenziale, e

importante per la modellizzazione di gK , mentre l’andamento di gNa e piu

complesso, in quanto prima aumenta ed in seguito diminuisce, ma in maniera

indipendente dal valore di V che varia in ogni singolo esperimento, quindi la

sua dipendenza dal tempo richiede un modello piu complicato.

3.2.1 La conduttanza del potassio 123

2.1 La conduttanza del potassioDai dati sperimentali e ragionabile aspettarsi che gK obbedisca ad una equa-

zione differenziale del tipo

dgK

dt= f(v, t) (3.18)

dove v = V −Veq, cioe rappresenta la differenza tra il potenziale di membrana

ed il potenziale di riposo: da cio ovviamente consegue che se Veq e costante

allora dv/dt = dV/dt. Per fare in modo che gK assuma l’andamento sigmoi-

dale richiesto dal modello, e piu comodo esprimere tale conduttanza tramite

una potenza di una variabile n che soddisfa una equazione differenziale del

primo ordine del tipo

gK = gKn4 (3.19)

dove gK e un valore costante. L’esponente della variabile n non e scelto per

motivi fisiologici, ma perche e il valore piu piccolo che da maggior corri-

spondenza con i dati sperimentali. La variabile secondaria n e esprimibile

mediante l’equazione differenziale

τn(v)dn

dt= n∞(v)− n (3.20)

dove τn(v) e n∞(v) sono funzioni determinate dai dati sperimentali, come

verra descritto in seguito. L’equazione 3.20 e spesso scritta nella forma

dn

dt= αn(v)(1− n)− βn(v)n (3.21)

dove

n∞(v) =αn(v)

αn(v) + βn(v)(3.22)

e

τn(v) =1

αn(v) + βn(v)(3.23)

A potenziali elevati, n(t) e monotona crescente e diretta in modo esponen-

ziale verso il suo valore di equilibrio, attivando cosı la corrente di potassio:

finche il potenziale di Nernst e sotto il potenziale di riposo, la corrente del


potassio e uscente verso potenziali maggiori di quelli di riposo; n(t) e chia-

mata funzione di attivazione del potassio.

Si consideri ora come una tale formulazione di gK rappresenti l’andamento

sigmoidale richiesto: si supponga che al tempo t = 0 il valore di v sia portato

da 0 a v0 istantaneamente e lı mantenuto costante e che n(0) = 0, risolvendo

l’equazione 3.20 si ottiene

n(t) = n∞(v0)

[1− exp

(−t

τn(v0)

)](3.24)

che e la curva che si avvicina al suo massimo per n∞(vo); elevando n alla

quarta potenza si ottiene l’incremento sigmoidale richiesto, mentre potenze

piu elevate risultano in curve con una pendenza massima maggiore nei punti

di flesso.

In risposta ad un decremento a gradino di v dal valore v0 a 0 la soluzione

dell’equazione e

n(t) = n∞(v0) exp

(−t

τn(0)

)(3.25)

ed in questo caso n4 e esponenziale decrescente privo di punti di flesso. Per

Figura 3.1: Funzioni di stato d’equilibrio m∞(v), n∞(v) e h∞(v)

determinare come le funzioni n∞(v) e τn(v) siano determinate dai valori spe-

rimentali, per ogni gradino di voltaggio la costante di tempo τn ed il valore

finale di n, cioe n∞ possono essere determinati adattando la 3.24 ai dati spe-

rimentali, e con questa procedura e possibile fissare le due funzioni incognite

3.2.2 La conduttanza del sodio 125

ad un insieme di valori discreti di v. Per ottenere una descrizione completa

di gK valida per tutti i valori di voltaggio e non solo per quelli usati negli

esperimenti, Hodgkin e Huxley tracciarono una curva omogenea tra i punti

ottenuti sperimentalmente: l’andamento di tale curva non ha alcun significa-

to fisiologico, ma e un modo conveniente per fornire un andamento continuo

di n∞; analoga procedura e stata utilizzata per τn. In seguito verranno date

formulazioni continue per n∞ e τn in funzione di αn e βn.

2.2 La conduttanza del sodioLa dipendenza dal tempo della conduttanza del sodio e piu difficile da chia-

rire, in quanto dai dati sperimentali sembra che ci siano due processi, uno

che attiva le correnti del sodio ed uno che le disattiva. Hodgkin e Huxley

proposero per la conduttanza del sodio una forma del tipo

gNa(v) = gNam3h (3.26)

ed adattarono il comportamento di m ed h ad un andamento esponenziale

con la formula

dw

dt= αw(1− w)− βww (3.27)

dove w puo essere m od h. Poiche m e piccola a riposo e poi aumenta e detta

funzione di attivazione del sodio, mentre h che inattiva le correnti del sodio

e detta funzione di inattivazione del sodio, e quando h e nulla la corrente

del sodio e completamente inattivata. La procedura completa e simile a quel-

la utilizzata per determinare gK : per ogni passo di variazione del voltaggio

le funzioni sconosciute αw e βw sono adattate alle curve sperimentali, e le

curve continue ottenute, con andamento arbitrario, sono adattate ai punti

sperimentali di αw e βw.

2.3 Riassunto delle equazioniLe equazioni di Hodgkin-Huxley per gli esperimenti eseguiti sugli assoni con

il metodo del patch clamp possono essere cosı scritte:

Cmdv

dt= −gKn4(v− vK)− gNam

3h(v− vNa)− gL(v − vL) + Iapp (3.28)

dm

dt= αm(1−m)− βmm (3.29)


dn

dt= αn(1− n)− βnn (3.30)

dh

dt= αh(1− h)− βhh (3.31)

Le specifiche funzioni α e β proposte da Hodgkin e Huxley sono, espresse in

(ms)−1

αm = 0.125− v

exp(

25−v10

)− 1

(3.32)

βm = 4 exp(− v

18

)(3.33)

αh = 0.07 exp(− v

20

)(3.34)

βh =1

exp(

30−v10

)+ 1

(3.35)

αn = 0.0110− v

exp(

10−v10

)− 1

(3.36)

βn = 0.125 exp(− v

80

)(3.37)

In queste espressioni il potenziale v e la variazione dal potenziale di riposo,

cioe v = V − Veq, ed e misurata in mV, la densita di corrente in µA/cm2, le

conduttanza in mS/cm2 e le capacita in µF/cm2; le rimanenti costanti sono

gNa = 120 , gK = 36 , gL = 0.3 (3.38)

con i potenziali di equilibrio regolati

vNa = 115 , vK = −12 , vL = 10.6 (3.39)

3.2.3 Riassunto delle equazioni 127

Nella figura 3.12 sono mostrate le funzioni di equilibrio m∞(v), n∞(v) e h∞(v).

I modelli ottenuti espressi con le formule dalla 3.28 alla 3.31 possono esse-

re derivate considerando i canali ionici come formati da subunita multiple,

ognuna delle quali segue un semplice modello a due stati. Nelle equazioni di

Hodgkin e Huxley si assume che i canali del Na+ siano formati da tre gate

di tipo “m” ed uno di tipo “h”, ognuno dei quali puo essere chiuso oppure

aperto: se queste barriere operano in modo indipendente la funzione dei ca-

nali aperti e m3h, con m ed h che seguono l’equazione del modello di canale

a due strati; analogamente, se ci sono quattro gate di tipo “n” nei canali del

K+, essi devono essere tutti aperi affinche tale ione possa passare, quindi la

frazione di questi canali aperti e n4.

Dopo aver rilevato i valori delle conduttanze dagli esperimenti, ricavando i

voltaggi con la tecnica del patch clamp, ci si puo chiedere se le equazioni

trovate riproducano un potenziale d’azione relistico e, se cosı, da quale mec-

canismo sia prodotto: di fatto e possibile descrivere in termini qualitativi

come le equazioni di Hodgkin e Huxley descrivano tali processi. Se piccole

correnti vengono applicate alla cellula per un breve periodo di tempo, il po-

tenziale ritorna rapidamente al suo valore di equilibrio v = 0 dopo che la

corrente viene tolta, potenziale che e prossimo a quello di Nernst relativo al

potassio a causa del fatto che a riposo le correnti del sodio e quelle di disper-

sione sono piccole. Inoltre c’e sempre competizione tra le tre correnti ioniche

per portare il potenziale al corrispondente potenziale di riposo, per esempio

se le correnti di potassio e quelle di dispersione venissero bloccate oppure la

conduttanza del sodio crescesse sensibilmente, il termine gNa(V − VNa) della

3.10 diventerebbe predominante. Finche v rimane inferiore a vK una corrente

diretta internamente alla cellula e dovuta al sodio porta il potenziale verso

VNa, similmente mentre v e superiore a vK la corrente del potassio e diret-

ta esternamente e tenta di portare v verso il valore vK : si noti che finche

vK < VL < VNa, v e necessariamente costretto nel range vK < v < vNa.

Se gNa e gK fossero costanti, l’equilibrio a v = 0 sarebbe stabile, e dopo

qualsiasi stimolo il potenziale tornerebbe all’equilibrio, ma siccome tali con-

duttanze possono cambiare, le diverse correnti possono esercitare la loro ri-

2J.Keener, J.Sneyd (1998) Mathematical physiology ed. Springer


spettiva influenze. La sequenza degli eventi e determinata dalle dinamiche di

m, n ed h: e importante osservare che τm(v) e molto minore sia di τn(v) sia

di τh(v), come si puo vedere dalla figura 3.23, cosı che m(t) risponde molto

piu velocemente di n(t) e h(t) alle variazioni di v. Il modello di Hodgkin e

Figura 3.2: Costanti di tempo τm(v), τn(v) e τh(v)

Huxley e un sistema eccitabile: se il potenziale v e aumentato leggermente

da una piccola corrente di stimolo, il sistema ritorna al suo equilibrio stabile,

e durante il periodo in cui v e elevato la funzione di attivazione del sodio

m segue il suo valore a regime m∞(v), mentre se la corrente stimolante e

sufficiente per innalzare il potenziale e di conseguenza m∞(v) oltre un livello

chiamato di soglia, prima che il sistema possa tornare a riposo m crescera

abbastanza da cambiare il segno della corrente netta, fino a diventare una

corrente del sodio autocatalitica diretta verso l’interno della cellula; m cresce

con l’aumentare del potenziale, e la corrente entrante del sodio fara altret-

tanto contribuendo all’aumento del potenziale.

Se non accade niente di diverso il potenziale viene portato verso un nuovo

equilibrio a vNa, anche se in questo caso gioca un ruolo importante la diffe-

renza tra le costanti di tempo: quando il potenziale e al suo valore di riposo

la funzione di inattivazione del sodio h e positiva, ma quando il potenzia-

le aumenta h∞ decresce verso lo zero, e quando h si avvicina a tale valore

la corrente del sodio diviene inattiva a causa del fatto che gNa si avvicina

anch’essa allo zero. Nella figura 3.54 si possono osservare gli andamenti nel

3J.Keener, J.Sneyd (1998) Mathematical physiology ed. Springer4J.Keener, J.Sneyd (1998) Mathematical physiology ed. Springer

3.2.3 Riassunto delle equazioni 129

tempo delle conduttanze variabili del sodio e del potassio durante un poten-

ziale d’azione. Poiche la costante di tempo τh(v) e molto maggiore di τm(v), si

crea un considerabile ritardo tra l’attivazione della corrente del sodio causata

dall’aumento di m e l’inattivazione della stessa corrente dovuta alla diminu-

zione di h: l’effetto netto delle due differenti scale di tempo di m ed h e che

la corrente del sodio e dapprima attivata ed in seguito inattivata, e questo e

visibile come un iniziale aumento del potenziale seguito da un ritorno verso

l’equilibrio.

Quasi contemporaneamente all’inattivazione della corrente del sodio si ha

l’attivazione di quella uscente del potassio, questo a causa della similarita

delle costanti di tempo τn(v) e τh(v): l’attivazione della corrente del potassio

porta il potenziale sotto il valore di riposo verso vK ; inoltre quando v e nega-

tivo n si abbassa, ed il potenziale alla fine ritorna al suo valore di riposo ed

il processo puo ricominciare. La figura 3.35 mostra il grafico del potenziale

v(t) durante un potenziale d’azione conseguente ad uno stimolo soprasoglia,

mentre in figura 3.46 sono indicate le variabili di attivazione m(t), n(t) ed

h(t) durante lo stesso potenziale d’azione.

Si possono riconoscere quattro fasi in un potenziale d’azione: ascendente,

eccitatoria, refrattaria e di recupero; il periodo refrattario e successivo a quello

eccitatorio ed e caratterizzato dal fatto che stimoli addizionali non evocano

risposte sostanziali anche se il potenziale e inferiore o vicino al suo valore

di riposo. Non ci puo essere risposta finche i canali del sodio sono ancora

inattivati a causa del basso valore di h, ma quando quest’ultima variabile

torna al suo livello di riposo le risposte agli stimoli tornano ad essere possibili.

Esistono due modi con i quali e possibile trasformare il sistema di Hodgkin e

Huxley in un oscillatore autonomo: il primo e quello di iniettare una corrente

costante di sufficiente intensita, che fa aumentare il potenziale di riposo sopra

la soglia del potenziale d’azione cosı che, dopo il recupero dell’assone, il

potenziale aumenta ad un livello soprasoglia al quale un altro potenziale

e evocato.

Immergendo l’assone in un bagno ad alta concentrazione di potassio si ottiene

lo stesso effetto in maniera leggermente differente: l’aumento del potassio



Figura 3.3: Potenziale d’azione delle equazioni di Hodgkin-Huxley

Figura 3.4: Le variabili di attivazione m, n e h durante un potenziale d’azione

Figura 3.5: Valori delle conduttanze gNa e gK durante un potenziale d’azione

3.2.4 Analisi qualitativa 131

extracellulare ha infatti l’effetto di aumentare il potenziale di Nernst di questo

ione, innalzando di fatto il potenziale di riposo della membrana, dal momento

che i due potenziali sono simili; se questo aumento del potenziale di Nernst del

potassio e sufficientemente elevato il potenziale di riposo diventa soprasoglia,

generando oscillazioni autonome.

2.4 Analisi qualitativaFitzhugh7 ha dato una descrizione qualitativa delle equazioni di Hodgkin e

Huxley particolarmente elegante che permette un migliore recepimento del

comportamento del modello: tale approccio e basato sul fatto che alcune delle

variabili del modello hanno una cinetica rapida, mentre altre ne hanno una

molto piu lenta. In particolare, m e v variano con estrema velocita, mentre n

ed h sono meno rapide, per cui durante gli stati iniziali del potenziale d’azione

n ed h rimangono sostanzialmente costanti mentre m e v sono variabili:

questo permette di dividere lo spazio delle fasi quadridimensionale in parti piu

semplici considerando fisse le variabili che cambiano lentamente e studiando

il comportamento del modello come funzione di due variabili. Anche se questa

descrizione e accurata solo per gli stadi iniziali del potenziale d’azione, essa

fornisce comunque un utile modo per lo studio del processo eccitatorio.

2.4.1 Il piano delle fasi veloce

Da quanto detto in precedenza verranno fissate le variabili n ed h ai loro

rispettivi stati di riposo, chiamati n0 ed h0, e si considera il comportamento

di m e v in risposta alle stimolazioni; le equazioni differenziali per il piano

delle fasi veloce si possono esprimere in questo modo

Cmdv

dt= −gKn4

0(v − vK)− gNam3ho(v − vNa)− gL(v − vL) (3.40)

dm

dt= αm(1−m)− βmm (3.41)

oppure, in modo equivalente,

τmdm

dt= m∞ −m (3.42)

7R.FitzHugh (1961) Impulses and physiological state in theoretical models of nervemembrane Biophys.J. 1:445-466


Questo e ora un sistema a due dimensioni e puo facilmente essere studiato

nel piano delle fasi (m, v), un cui esempio e riportato in figura 3.68. Le curve

definite da dv/dt = 0 e dm/dt = 0 sono le nullocline di v ed m rispettivamen-

te, in particolare la nulloclina m e la curva m = m∞(v) mentre la nulloclina

v e definita dalla

v =gNam

3h0vNa + gKn40vK + gLvL

gNam3h0 + gKn4

0 + gL

(3.43)

Per i parametri del modello di Hodgkin e Huxley le nullocline m e v si in-

tersecano in tre punti, corrispondenti agli stati di equilibrio del sistema sem-

plificato, anche se nel sistema completo non lo sono, e per questo motivo

sono chiamati pseudo-stati di equilibrio: verranno identificati come vr, ve e

vs, cioe rispettivamente punti di riposo, eccitati e di sella, con i primi due

stati di equilibrio stabile ed il terzo punto sella. Quest’ultimo punto ha una

Figura 3.6: Il piano delle fasi veloce del modello di Hodgkin-Huxley

molteplicita stabile monodimensionale che divide il piano delle fasi (m, v)

in due regioni: qualsiasi traiettoria che ha origine a sinistra della moltepli-

cita stabile e impossibilitata a raggiungere ve e puo eventualmente ritornare

allo stato di riposo vr, mentre ogni traiettoria che parte alla destra di tale

molteplicita non puo tornare allo stato di equilibrio ed eventualmente puo

terminare nello stato eccitato ve. In pratica la molteplicita stabile, insieme

ai due stati di equilibrio stabile, e causa di un fenomeno di soglia, e qualsiasi



perturbazione a partire dallo stato di riposo che non e in grado di oltrepassare

la molteplicita stabile e destinato a svanire, ma una perturbazione che la su-

pera si conclude in una ampia escursione del voltaggio fino allo stato eccitato.

Se m e v fossero le uniche variabili del modello, v starebbe in ve indefinita-

mente, ma tale punto non e di equilibrio stabile per il modello completo: per

verificare cosa accade nel lungo periodo, e necessario considerare come lente

variazioni di n ed h influenzino la natura qualitativa del diagramma delle

fasi del sistema semplificato. Prima di tutto si noti che finche ve > vr si ha

che h∞(ve) < h∞(vr) e n∞(ve) > n∞(vr), e che finche v si trova nello stato

eccitato, h inizia a diminuire inattivando cosı la conduttanza del Na+ mentre

n comincia ad aumentare attivando la conduttanza del K+. Si noti anche che

mentre la nulloclina m del piano delle fasi semplificato e indipendente da n

ed h, altrettanto non si puo dire di v, in quanto diversi valori di n ed h ne

modificano la forma: se n aumenta ed h diminuisce la nulloclina v si sposta a

sinistra ed in alto, con i punti ve e vs che si muovono l’una verso l’altro e vr

si sposta a sinistra, mentre il valore del voltaggio e ve e decresce lentamente.

Alla fine ve e vs si uniscono e si dissolvono in una biforcazione nodo-sella, e

quando cio accade vr rimane l’unico stato stabile, cosı la soluzione puo ritor-

nare allo stato di riposo; inoltre dal momento in cui la nulloclina v si muove

verso l’alto e sinistra, vr non e un punto di equilibrio per il sistema completo,

ma quando comincia a diminuire verso vr, n ed h ritornano entrambe al loro

stato di equilibrio stabile e nel frattempo vr lentamente cresce finche non si

raggiunge lo stato di equilibrio stabile del sistema completo ed il potenziale

d’azione e completo.

2.4.2 Il piano delle fasi veloce-lento

Nell’analisi precedente si e semplificato lo spazio delle fasi a quattro dimensio-

ni prendendo una serie di sezioni bidimensionali con diversi valori fissi per n

ed h; prendendo una differente sezione e possibile mettere in luce altri aspetti

particolari del potenziale d’azione, in particolare considerando una variabile

a dinamica rapida ed una a dinamica lenta si puo ottenere un descrizione del

modello di Hodgkin e Huxley estremamente utile.

Si estrae una singola variabile a dinamica rapida assumendo che m sia una

funzione istantanea di v e quindi che m = m∞(v) in qualsiasi istante di tem-


po: cio equivale a dire che l’attivazione della conduttanza del Na+ agisce in

una scala temporale piu veloce di quella del voltaggio. Fitzhugh noto che

durante il potenziale d’azione vale la relazione h + n ≈ 0.8, quindi h puo

essere eliminata ponendo h = 0.8 − n; con queste semplificazioni il modello

di Hodgkin e Huxley contiene una variabile a cinetica elevata v ed una a

cinetica lenta n che si possono esprimere come

−Cmdv

dt= gKn4(v−vK)+gNam

3∞(v)(0.8−n)(v−vNa)+gL(v−vL) (3.44)

dn

dt= αn(1− n)− βnn (3.45)

per convenienza si puo scrivere la parte destra della 3.44 come f(v, n), da cui

−f(v, n) = gKn4(v−vK)+gNam3∞(v)(0.8−n)(v−vNa)+gL(v−vL) (3.46)

In figura 3.79 sono indicate le nullocline di questo sottosistema, con la nul-

Figura 3.7: Il piano delle fasi veloce-lento del modello di Hodgkin-Huxley

loclina v definita da f(v, n) = 0 che e una forma cubica mentre la nulloclina

n e n∞(v) ed e monotona crescente; si puo vedere che c’e una singola interse-

zione, almeno per i parametri considerati, e quindi un solo stato di equilibrio

stabile. A causa del fatto che v e una variabile veloce ed n lenta, le solu-

zioni sono traiettorie quasi orizzontali eccetto le regioni dove f(v, n) ≈ 0:



la curva individuata da f(v, n) = 0 e detta molteplicita lenta, e lungo tale

traiettoria la soluzione si muove lentamente nella direzione determinata dal

segno di dn/dt, ma lontano da essa la soluzione si muove velocemente in di-

rezione orizzontale. Dal segno di dv/dt consegue che la soluzione si allontana

dal ramo centrale della traiettoria lenta in direzione dei rami destro e sini-

stro, e tale ramo e chiamato ramo centrale instabile della varieta lenta. Se

una perturbazione imposta al sistema in uno stato di equilibrio stabile non

e sufficiente a fare in modo che v attraversi la varieta instabile, la traietto-

ria si muove orizzontalmente verso sinistra e ritorna nello stato di equilibrio,

viceversa se v attraversa la varieta instabile la traiettoria si muove verso de-

stra fino a raggiungere il ramo destro della varieta lenta, che corrisponde allo

stato eccitato: in questo ramo dn/dt > 0, cosı la soluzione risale lentamente

questa traiettoria finche non raggiunge il punto critico, nel quale n non puo

crescere ulteriormente, facendo sı che il ramo destro della varieta lenta cessi

di esistere, forzando la soluzione a muoversi oltre il ramo sinistro della va-

rieta lenta. In quest’ultimo ramo dn/dt < 0, cosı la soluzione scende lungo

tale ramo fino a raggiungere lo stato di equilibrio, completando in tal modo

il potenziale d’azione, il cui andamento nel tempo e rappresentato in figura

3.810. Le variabili v ed n sono chiamate rispettivamente di eccitazione e di

Figura 3.8: Potenziale d’azione per il modello di Hodgkin-Huxley ridotto veloce-

lento

recupero: di eccitazione perche v governa l’ascesa dello stato eccitato, e di

recupero perche n causa il ritorno allo stato di equilibrio, in quanto in assen-



za di n la soluzione starebbe nello stato eccitato indefinitamente.

Esiste una stretta correlazione tra i due piani delle fasi analizzati: nel piano

delle fasi veloce le nullocline v ed m hanno tre punti di intersezione quando

n = n0 ed h = h0, e tali intersezioni corrispondono ai tre rami della curva

f(v, n0) = 0; in altre parole, quando n e fissata ad n0 l’equazione f(v, n0) = 0

ha tre soluzioni corrispondenti ai punti vr, vs e ve del piano delle fasi veloce.

D’altro canto, se n aumenta i due rami piu a destra della varieta lenta si

uniscono e scompaiono, analogamente a cio che accade a ve e vs nel piano

delle fasi veloce: il piano delle fasi lento-veloce e un modo conveniente di

riassumere il modo in cui vr, vs e ve dipendono dalle variabili lente.

3 Il modello di FitzHugh-Nagumo

E importante studiare sistemi di equazioni piu semplici di quelle descritte

da Hodgkin e Huxley ma che al contempo ne mantengono le caratteristiche

qualitative: questo e l’obiettivo delle equazioni di FitzHugh-Nagumo e le suc-

cessive varianti, che estraggono il comportamento essenziale del piano delle

fasi lento-veloce del modello di Hodgkin-Huxley e lo rappresentano in una

forma semplificata. Il modello di FitzHugh-Nagumo ha due variabili, una a

dinamica veloce v ed una a dinamica lenta w: la variabile v ha una nulloclina

ad andamento cubico ed e chiamata variabile eccitatoria, mentre w e detta

variabile di recupero ed ha una nulloclina monotona crescente; tali nullocline

hanno un singolo punto di intersezione che, senza perdere di generalita, si

puo assumere essere l’origine degli assi. Un possibile diagramma schematico

delle fasi e indicato in figura 3.911, dove sono anche indicate alcune notazioni

che verranno utilizzate in seguito. Tale modello puo essere ricavato da una

modellizzazione semplificata della membrana cellulare, come indicato in figu-

ra 3.1012, dove la cellula e rappresentata da tre elementi: un condensatore che

rappresenta la capacita della membrana, un dispositivo non lineare tensione-

corrente che rappresenta la corrente veloce ed un circuito RL serie posto a

sua volta in serie ad una generatore di tensione costante per rappresentare la


3.3 Il modello di FitzHugh-Nagumo 137

Figura 3.9: Diagramma schematico del piano delle fasi generalizzato del modello

di FitzHugh-Nagumo

corrente di recupero. Negli anni ’60 Nagumo13, un ingegnere elettrico giappo-

nese, costruı questo circuito utilizzando un diodo tunnel come elemento non

lineare, aggiungendo in tal modo il suo nome al modello. Usando le leggi di

Figura 3.10: Diagramma circuitale per le equazioni di FitzHugh-Nagumo

Kirchhoff e possibile scrivere le equazioni che governano questo diagramma

di circuito di membrana:

CmdV

dτ+ F (V ) + i = −I0 (3.47)

Ldi

dτ+ Ri = V − V0 (3.48)

13J.Nagumo, S.Arimoto, S.Yoshizawa (1964) An active pulse transmission linesimulating nerve axon Proc.IRE. 50:2061-2070


dove I0 e la corrente esterna applicata, i la corrente che attraversa il gruppo

RL, V = Vi − Ve e il potenziale di membrana, V0 e la tensione ai capi del

generatore; inoltre τ e usata per rappresentare il tempo in quanto t verra

introdotta in seguito come variabile adimensionale. La funzione F (V ) e una

forma “cubica” avente tre zeri, dove il piu piccolo ed il piu grande, ovvero

V = 0 e V = V1, sono le soluzioni stabili dell’equazione differenziale dV/dτ =

−F (V ); prendendo R1 come la resistenza “passiva” dell’elemento non lineare,

essa assume il valore R1 = 1/F ′(0). Introducendo le variabili adimensionali

v = V/V1, w = R1i/V1, f(v) = −R1F (V1v)/V1 e t = Lτ/R1, la 3.47 e la 3.48

diventano

εdv

dt= f(v)− w − w0 (3.49)

dw

dt= v − γw − v0 (3.50)

dove ε = R21Cm/L, w0 = R1I0/V1, v0 = V0/V1 e γ = R/R1.

A questo punto e necessario specificare f(v), che come detto in precedenza e

un polinomio cubico del tipo

f(v) = Av(v − α)(1− v) con 0 < α < 1 (3.51)

che descrive il modello di FitzHugh-Nagumo, mentre un’altra scelta possibile

si ha con il modello di McKean14 per la quale

f(v) = H(v − α)− v (3.52)

dove H e la funzione di Heavyside. Questa scelta e preferibile in quanto

permette soluzioni esplicite per molti problemi interessanti; un altro modello

simile e il seguente

f(v) =

−v se v < α

2

v − α se α2

< v < 1+α2

1− v se v > 1+α2

(3.53)

Un terzo modello che ha trovato una vasta diffusione e il modello detto “Push-

chino”15, sviluppato nella omonima citta russa da Krinsky, Panfilov, Pertsov,

14H.P.McKean (1970) Nagumo’s equation Advances in Mathematics 4:209-22315A.V.Panfilov, A.M.Petrsov (1984) Vortex ring in a 3-dimensional active medium

described by reaction-diffusion equations Dokl.Akad.Nauk SSSR 274:1500-1503

3.3 Il modello di FitzHugh-Nagumo 139

Zykov ed i loro collaboratori.

Una variante importante delle equazioni di FitzHugh-Nagumo e il cosiddet-

to oscillatore di van der Pol, dal nome dell’ingegnere elettrico che costruı

il circuito usando triodi in quanto mostrano oscillazioni stabili: nonostante

all’epoca ci fosse poco interesse nei circuiti oscillatori, nel 192816 propose il

suo circuito come modello di pacemaker cardiaco oscillatorio, e tale model-

lo e diventato un classico esempio di sistema con ciclo limite e oscillazioni

smorzate, incluso in seguito in quasi tutti i testi riguardanti le oscillazioni.

Eliminando la resistenza R dal circuito, differenziando la 3.47 ed eliminando

la corrente i si ottiene una equazione differenziale del secondo ordine

Cmd2V

dτ 2+ F ′(V )

dV

dτ+

V

L=

V0

L(3.54)

che, dopo opportuni passaggi e dopo aver posto F (v) = A(v3/3− v) diventa

l’equazione di van der Pol

v′′ + a(v2 − 1)v′ + v = 0 (3.55)

D’ora in poi con il termine equazioni di FitzHugh-Nagumo generalizzate si

intendera il sistema di equazioni

εdv

dt= f(v, w) + I (3.56)

dw

dt= g(v, w) (3.57)

in cui la nulloclina f(v, w) = 0 ha un andamento cubico, da cui si ricava

che per un insieme finito di valori di w esistono tre soluzioni v = v(w)

di questa equazione, che verranno chiamate v = V−(w), v = V0(w) e v =

V+(w); quando e possibile confrontarle, in quanto queste funzioni non esistono

necessariamente tutte per gli stessi valori di w, e possibile scrivere

V−(w) ≤ V0(w) ≤ V+(w) (3.58)

16B.van der Pol, J.van der Mark (1928) The heartbeat considered as a relaxationoscillation, and an electrical model of the heart Phil.Mag.Suppl. 6:763-775


Il minimo valore di w per il quale esiste V−(w) verra chiamato W∗, mentre

il massimo valore di w per il quale esiste V+(w) sara detto W ∗; inoltre per

valori di w sopra la nulloclina f(v, w) = 0 la funzione f(v, w) avra valori

strettamente negativi, mentre sopra la stessa nulloclina la funzione assumera

valori positivi, cioe in altre parole fw(v, w) < 0.

Si assume che la nulloclina g(v, w) = 0 abbia esattamente una intersezione

con la curva f(v, w) = 0: l’aumento di v oltre la curva g(v, w) = 0 fa diventare

g(v, w) positiva, cioe gv(v, w) > 0, mentre una diminuzione di w sotto la

stessa curva fa aumentare g(v, w), quindi gw(v, w) < 0.

3.1 Andamento nel piano delle fasi

Una caratteristica interessante del modello di FitzHugh-Nagumo risiede nel

fatto che, essendo un sistema a due variabili, puo essere studiato usando

le tecniche del piano delle fasi, ed e possibile rappresentarne almeno due

particolari. Si assume l’esistenza di un solo stato di equilibrio nel punto

v = v∗, w = w∗, con f(v∗, w∗) = g(v∗, w∗) = 0, e si puo prendere tale punto

nell’origine senza ledere di generalita, in quanto si opera solo una traslazio-

ne delle variabili. Inoltre il parametro ε e tipicamente un valore piccolo, per

cui se lo stato di equilibrio giace sul ramo destro o sinistro della soluzione

f(v, w) = 0, per esempio sulla curva v = V±(w), esso e linearmente stabile.

Da qualche parte nel ramo centrale della soluzione v = V0(w), e vicino ai

valori estremali della curva f(v, w) = 0 c’e una biforcazione di Hopf, quindi

se i parametri sono variabili lo stato di equilibrio passa attraverso questo

punto ed un’orbita periodica nasce come un ramo a soluzione continua e bi-

forca in un ciclo limite stabile. Quando lo stato di equilibrio e sul ramo piu a

sinistra ma vicino al minimo, come per esempio nella figura 3.1117, il sistema

e eccitabile a causa del fatto che pur essendo tale punto linearmente stabile,

una perturbazione sufficientemente ampia puo mandare la variabile di stato

su una traiettoria che fugge dallo stato di equilibrio prima di ritornare, alla

fine, a riposo. Tale traiettoria si sposta rapidamente sul ramo piu a destra

che segue mentre gradualmente sale, e quando raggiunge il massimo passa

rapidamente nel ramo piu a sinistra e lentamente ritorna al punto di riposo


3.3.1 Andamento nel piano delle fasi 141

Figura 3.11: Esempio di traiettorie nel piano delle fasi per un sistema di FitzHugh-

Nagumo

seguendo tale ramo.

La descrizione matematica di questi eventi segue dalla teoria della pertur-

bazione singolare: con ε � 1, v e la variabile veloce e w quella lenta, e cio

implica che se possibile v si regola rapidamente per mantenere uno pseudo

equilibrio a f(v, w) = 0, cioe in altre parole se possibile v aderisce stretta-

mente ai rami stabili dell’equazione f(v, w) = 0, chiamati v = V±(w). Lungo

questi rami le dinamiche di w sono governate dalle equazioni ridotte

dw

dt= g(V±(w), w) = G±(w) (3.59)

e dove v e impossibilitata ad essere in una situazione di quasi equilibrio, il

moto e governato approssimativamente dalle equazioni differenziali

dv

dτ= f(v, w),

dw

dτ= 0 (3.60)

trovate effettuando la sostituzione delle variabili nella scala dei tempi rapida

t = ετ e quindi ponendo ε = 0: in questa scala dei tempi w e costante mentre

v si bilancia ad una soluzione stabile di f(v, w) = 0.

Ora e possibile descrivere l’evoluzione di v e w a partire dalle condizioni ini-

ziali v0 e w0: supponendo v0 maggiore del valore di riposo v∗, nella condizione

v0 < V0(w) la variabile v ritorna direttamente al punto di equilibrio, mentre

se v0 > V0(w), v si sposta rapidamente sul ramo superiore V+(w) con w che

rimane circa costante a w0; la curva v = V0(w) e chiamata curva di soglia.


Mentre v rimane nel piano superiore, w cresce in accordo con l’equazione

dw

dt= G+(w) (3.61)

il piu a lungo possibile, ed in un tempo finito

Te =

∫ W ∗

w0

dw

G+(w)(3.62)

w raggiunge il “ginocchio” della nulloclina f(v, w) = 0, e questo periodo

costituisce la durata della fase eccitatoria del potenziale d’azione. Quando

w raggiunge W ∗, v non puo piu stare nel ramo eccitatorio ed e costretta a

ritornare sul ramo inferiore V−(w), e una volta su questo ramo w diminuisce

in accordo con l’equazione

dw

dt= G−(w) (3.63)

Se il punto di equilibrio giace sul ramo inferiore, G−(w∗) = 0 e w ritorna

gradualmente all’equilibrio su tale ramo, mentre se si trova sul ramo centrale

V0(w), tale punto di equilibrio e instabile; in quest’ultimo caso la traiettoria,

invece di tornare al punto di equilibrio dopo un’escursione sul ramo eccita-

torio, passa periodicamente tra i rami superiore ed inferiore, con w che varia

tra W∗ e W ∗, e questo ciclo limite e chiamato oscillazione di rilassamento,

che ha un periodo finito a causa del fatto che G+(w) > 0 e G−(w) < 0 per

tutti i valori di w appropriati ed espresso dalla formula

T =

∫ W ∗

W∗

(1

G+(w)− 1

G−(w)

)dw (3.64)

In figura 3.1218 e indicato un esempio di soluzione del sistema con determinati

valori dei parametri.

4 Modelli delle cellule cardiacheSuccessivamente al lavoro di Hodgkin e Huxley sono stati fatti studi sostan-

ziali per applicare il loro modello a differenti tipi di cellule, incluse quelle

cardiache, ed i modelli quantitativi di queste ultime hanno caratteristiche ti-

piche del modello di Hodgkin-Huxley, riproducendo abbastanza bene la forma


3.4.1 Le fibre di Purkinje 143

Figura 3.12: Esempio di soluzione per un sistema di FitzHugh-Nagumo

del potenziale d’azione ma riuscendo solo a dare una spiegazione meccanici-

stica del comportamento attraverso i canali e le correnti ioniche. La principale

difficolta risiede nella varieta di tipologia delle cellule cardiache e dei canali

ionici, ed anche in ogni singolo tipo di cellule esistono differenze sostanziali,

come si e gia visto nei precedenti capitoli. A causa della alta complessita

della struttura di queste cellule, i modelli del loro comportamento, anche

se quantitativi, sono lontani dall’essere completi, e conservano un significato

qualitativo, anche se i dettagli non sono cosı precisi; questi modelli comun-

que riflettono la qualita e nello stesso tempo la scarsita della modellizzazione,

nella quale alcuni effetti sono mantenuti, altri non sono considerati ed altri

ancora sono considerati nel loro insieme. Esiste una competizione continua

tra due forze, una che vorrebbe una spiegazione molto dettagliata di tutti i

canali e tutti gli effetti, ed un’altra che riconosce che alcuni particolari sono

inconsistenti per descrivere il comportamento finale del modello.

4.1 Le fibre di PurkinjeIl primo modello che descrive il potenziale d’azione di una cellula cardiaca e

stato proposto da Noble nel 1962 per le cellule delle fibre di Purkinje: il prin-

cipale scopo del modello e quello di dimostrare che il potenziale d’azione di

queste cellule, visibilmente diverso da quello dell’assone gigante di calamaro,

puo essere descritto da un modello del tipo Hodgkin-Huxley. Come gia visto

le fibre di Purkinje hanno un comportamento auto oscillatorio con un ripi-

do tratto ascendente che poi decresce fino a generare un plateau prolungato


prima della fase di recupero.

4.1.1 Il modello di Noble

Il modello di Noble19, essendo del tipo Hodgkin-Huxley, e descritto in termini

di correnti ioniche e conduttanze; in particolare le correnti sono tre, una

entrante del sodio, una uscente del potassio ed una di dispersione dovuta al

cloro, e tutte soddisfano una relazione lineare tensione-corrente del tipo

I = g(V − Veq) (3.65)

Sempre secondo questo modello tutte le variazioni di conduttanza misurate

in soluzioni carenti di sodio si assumono dovute a correnti portate dagli ioni

K+ e sono chiamate correnti del potassio, con le correnti del cloro considera-

te nulle: non c’e certezza che esse siano realmente dovute al potassio, ma la

nomenclatura e conveniente.

Seguendo la comune formulazione di Hodgkin e Huxley, il bilancio delle

correnti transmembrana e espressa dalla legge di conservazione

CmdV

dt+gNa(V −VNa)+(gK1 +gK2)(V −VK)+gan(V −Van) = Iapp (3.66)

dove gan = 0 e Van = −60 sono rispettivamente la conduttanza e il potenziale

di equilibrio per le correnti anioniche del cloro, che quindi non sono necessa-

rie, mentre si considerano i valori VNa = 40 e VK = −100.

Il modello di Noble considera due differenti tipi di canali del potassio, uno

istantaneo e regolato dal voltaggio ed uno dipendente dal tempo: quest’ul-

timo e simile al canale del potassio del modello di Hodgkin-Huxley, ma e

circa 100 volte piu lento nella risposta allo scopo di prolungare la durata

del plateau del potenziale d’azione, e genera la cosiddetta corrente rettificata

ritardata che e principalmente uscente.

La conduttanza per questo canale, gK2 , e funzione di una variabile n di

attivazione del potassio tempo-dipendente secondo la formula

gK2 = 1.2n4 (3.67)

19D.Noble (1962) A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to Purkinjefibre action and pace-maker potentials J.Physiol. 160:317-352


mentre la conduttanza per i canali istantanei e descritta empiricamente come

gK1 = 1.2 exp

(−V + 90

50

)+ 0.015 exp

(V + 90

60

)(3.68)

La conduttanza del sodio per il modello di Noble e in una forma simile a

quella del modello di Hodgkin-Huxley, essendo

gNa = 400m3h + gi (3.69)

con gi = 0.14, termine che permette un prolungamento del potenziale d’azio-

ne senza dover intervenire sulle dinamiche di m ed h.

La dipendenza dal tempo delle variabili m, n ed h e nella forma

dw

dt= αw(1− w)− βww (3.70)

con w = m, n ed h, e dove αw e βw sono nella forma

C1 exp(

V−V0

C2

)+ C3(V − V0)

1 + C4 exp(

V−V0

C5

) (3.71)

e le costanti da C1 a C5 espresse dalla tabella 3.1

C1 C2 C3 C4 C5 V0

αm 0 − 0.1 -1 -15 -48

βm 0 − -0.12 -1 5 -8

αh 0.17 -20 0 0 − -90

βh 1 ∞ 0 1 -10 -42

αn 0 − 0.0001 -1 -10 -50

βn 0.002 -80 0 0 − -90

Tabella 3.1: Valori delle costanti per α e β per il modello di Noble

Nel modello di Noble Cm = 12, che e un valore irrealisticamente grande,

ma e usato perche permette una corretta scala dei tempi per la durata del

potenziale d’azione, e tale scelta e giustificata dalla prova che l’effettiva ca-

pacita per un piccolo fascio di cellule cilindriche, dal quale sono stati ottenuti


i dati, dovrebbe essere piu grande di quella ottenuta per una singola cellula

cilindrica, la cui superficie e solo una piccola porzione dell’intera membrana

cellulare. Simulazioni numeriche mostrano come il modello di Noble produca

Figura 3.13: Potenziale d’azione per il modello di Noble

un andamento corretto per il potenziale d’azione, indicato in figura 3.1320,

caratterizzato da un ripido tratto ascendente dovuto ad una ampia e veloce

corrente entrante del sodio ed un plateau mantenuto anch’esso da una cor-

rente entrante del sodio ma continua con conduttanza gi, che controbilancia

la corrente uscente del potassio istantanea. In seguito si attiva gradualmente

la corrente uscente del potassio lenta che causa la depolarizzazione della cel-

lula e, successivamente, una piccola corrente entrante di dispersione dovuta

al sodio, chiamata corrente pacemaker, permette al potenziale di salire len-

tamente ed infine di iniziare un nuovo potenziale d’azione.

A causa del ripido picco iniziale, non e possibile riprodurre il potenziale

d’azione delle fibre di Purkinje con un modello a due variabili di FitzHugh-

Nagumo, comunque ponendo m = m∞(V ) il modello di Noble puo essere

ridotto ad un sistema a tre variabili che mantiene le caratteristiche qualita-

tive principali del modello originale.

Mentre il modello di Noble ha successo nel riprodurre il potenziale d’azione

delle fibre di Purkinje con un modello del tipo Hodgkin-Huxley, la sottostante

fisiologia non e corretta, principalmente per il fatto che il modello e stato im-

plementato prima che dati sulle correnti ioniche fossero disponibili in quanto



la tecnica del voltage clamp non e stata applicata con successo alle cellule

del cuore fino al 1964. Il punto debole della fisiologia nel modello di Noble e

illustrata dal fatto che non c’e nessuna corrente identificata dagli ioni calcio

e la corrente entrante del sodio ha assunto il ruolo sia di generare il tratto

ascendente che di mantenere il plateau.

4.1.2 Il modello McAllister-Noble-Tsien

Nel 1975, McAllister, Noble e Tsien21 presentarono un modello migliore per

il potenziale d’azione delle fibre di Purkinje basato su un “mosaico di ri-

sultati sperimentali” perche, al contrario del modello di Hodgkin-Huxley, le

informazioni richieste non provengono da un singolo preparato sperimentale;

inoltre il modello da una descrizione inadeguata della corrente del sodio, per

cui la velocita del tratto ascendente non e accurata.

Il modello di McAllister-Noble-Tsien e simile a quello di Noble in quanto si

basa su una descrizione delle correnti ioniche transmembrana, ed e notevol-

mente piu complicato di molti altri avendo 9 correnti ioniche e 9 variabili

di attivazione. Esistono due correnti entranti, INa ed ISi, chiamate corren-

ti entranti lente, la prima delle quali assomiglia alla corrente del sodio del

modello di Hodgkin-Huxley ed e rappresentata come

INa = gNam3h(V − VNa) (3.72)

con m ed h variabili rispettivamente di attivazione ed inattivazione e VNa =

40 mV; la corrente entrante ISi ha una cinetica piu lenta ed e causata in

minima parte da ioni calcio, ha due componenti e puo essere scritta

ISi = (0.8df + 0.04d′)(V − VSi) (3.73)

con VSi = 70 mV, mentre d ed f sono variabili di attivazione ed inattivazione

dipendenti dal tempo e d′ e dipendente dal voltaggio, essendo

d′ =1

1 + exp[−0.15(V + 40)](3.74)

Nel modello McAllister-Noble-Tsien sono presenti tre correnti uscenti del

21R.E.McAllister, D.Noble, R.W. Tsien (1975) Reconstruction of the electrical activityof cardiac Purkinje fibres J.Physiol.(Lond) 251:1-59


potassio, chiamate IK2 , Ix1 ed Ix2 , e nessuna di queste assomiglia alle correnti

del potassio del calamaro da un punto di vista quantitativo, sebbene tutte

siano descritte usando una variabile di attivazione e nessuna di inattivazione.

La corrente IK2 e chiamata corrente pacemaker perche e responsabile della

periodica origine del potenziale d’azione ed e data da

IK2 = 2.8IK2s (3.75)

con

IK2 =exp[0.04(V + 110)]− 1

exp[0.08(V + 60)] + exp[0.04(V + 60)](3.76)

Le correnti Ix1 ed Ix2 sono chiamate correnti di plateau e sono governate dalle

espressioni

Ix1 = 1.2x1exp[0.04(V + 95)]− 1

exp[0.04(V + 45)](3.77)

Ix2 = x2(25 + 0.385V ) (3.78)

Esiste anche una corrente uscente del cloro dipendente dal tempo descritta

dalla

ICl = 2.5qr(V − VCl) (3.79)

dove q ed r sono variabili di attivazione ed inattivazione e VCl = −70 mV.

Infine ci sono diverse correnti di dispersione che non dipendono dal tempo, in

particolare esiste una corrente uscente di fondo dovuta al potassio descritta

dalla

IK1 = IK2 + 0.2V + 30

1− exp[−0.04(V + 30)](3.80)

dove IK2 e data dalla 3.76, una corrente entrante di fondo causata dal sodio

descritta dalla

INa,b = 0.105(V − 40) (3.81)


ed una corrente di fondo del cloro data dalla

ICl,b = 0.01(V + 70) (3.82)

Tutte le conduttanze sono espresse in mS/cm2 e i voltaggi in mV. Le 9 va-

riabili di attivazione m, d, s, x1, x2, q, h, f ed r soddisfano tutte equazioni

differenziali del primo ordine nella forma della 3.70 con αw e βw nella forma

della 3.71 e le costanti da C1 a C5 espresse dalla tabella 3.2.

C1 C2 C3 C4 C5 V0

αm 0 − 1 -1 -10 -47

βm 40 -17.86 0 0 − -72

αh 0.0085 -5.43 0 0 − -71

βh 2.5 ∞ 0 1 -12.2 -10

αd 0 − 0.002 -1 -10 -40

βd 0.02 -11.26 0 0 − -40

αf 0.000987 -25 0 0 − -60

βf 1 ∞ 0 1 -11.49 -26

αq 0 − 0.008 -1 -10 0

βq 0.08 -11.26 0 0 − 0

αr 0.00018 -25 0 0 − -80

βr 0.02 ∞ 0 1 -11.49 -26

αs 0 − 0.001 -1 -5 -52

βs 5.0 x 10−5 -14.93 0 0 − -52

αx1 0.0005 12.1 0 1 17.5 -50

βx1 0.0013 -16.67 0 1 -25 -20

αx2 1.27 x 10−4 ∞ 0 1 -5 -19

βx2 0.0003 -16.67 0 1 -25 -20

Tabella 3.2: Valori delle costanti per α e β per il modello di McAllister-Noble-Tsien

Il potenziale d’azione per il modello McAllister-Nobel-Tsien e essenzialmente

lo stesso di quello del modello Noble, con la differenza che isola e descrive

meglio l’attivita dei diversi canali, anche se naturalmente e piu difficile da


comprendere da una prospettiva qualitativa; d’altra parte cio mostra chia-

ramente il dilemma dei modellisti, cioe lo sforzo costante nel bilanciare la

richiesta di dettagli quantitativi e la comprensione qualitativa.

4.2 Il nodo seno atrialeLa principale funzione delle cellule del nodo seno atriale, come si e gia visto

in precedenza, e di iniziare un regolare battito cardiaco, quindi possiedono

una piccola funzionalita contrattile ed una minima quantita di calcio.

4.2.1 Il modello di Yanagihara

Uno dei modelli per rappresentare il comportamento di queste cellule e stato

presentato da Yanagihara22 nel 1980, ed e del tipo di Hodgkin-Huxley: es-

so comprende quattro correnti dipendenti dal tempo, ovvero la corrente del

sodio INa che e del tipo entrante e veloce, la corrente del potassio IK , la

corrente entrante lenta Is e la corrente entrante ritardata attivata dall’iper-

polarizzazione Ih, ed una corrente di dispersione indipendente dal tempo Il;

si noti che le prime tre correnti sono simili a quelle presenti nel modello di

Hodgkin-Huxley.

Per la conservazione della corrente transmembrana si puo scrivere

CmdV

dt+ INa + IK + Il + Is + Ih = Iapp (3.83)

dove

INa = 0.5m3h(V − 30) (3.84)

IK = 0.7pexp(0.0277(V + 90))− 1

exp(0.0277(V + 40))(3.85)

Il = 0.8

[1− exp

(−V + 60

20

)](3.86)

Is = 12.5(0.95d + 0.05)(0.95f + 0.05)

[exp

(V − 10

15

)− 1

](3.87)

22K.Yanagihara, A.Noma, H.Irisawa (1980) Reconstruction of sino-atrial nodepacemaker potential based on the voltage clamp experiments Jap.J.Physiol. 30:841-857

3.4.2 Il nodo seno atriale 151

Ih = 0.4q(V + 45) (3.88)

Le variabili di attivazione m, h, p, d, f e q soddisfano equazioni del primo

ordine nella forma 3.70 con alcune delle costanti αw e βw che possono essere

scritte nella forma 3.71 con le costanti illustrate nella tabella 3.3, mentre le

altre possono essere scritte come

αp = 9 · 10−3 1

1 + exp(−V +3.8

9.71

) + 6 · 10−4 (3.89)

αq = 3.4 · 10−4 (V + 100)

exp(

V +1004.4

− 1) + 4.95 · 10−5 (3.90)

βq = 5 · 10−4 (V + 40)

1− exp(−V +40

6

) + 8.45 · 10−5 (3.91)

αd = 1.045 · 10−2 (V + 35)

1− exp(−V +35

2.5

) + 3.125 · 10−2 V

1− exp(− V

4.8

) (3.92)

βf = 9.44 · 10−4 (V + 60)

1 + exp(−V +29.5

4.16

) (3.93)

La forma del potenziale d’azione ricavato con questo modello, indicato anche

nella figura 3.1423, e simile a quella ottenuta dal modello di Hodgkin-Huxley,

con la differenza che e periodico e piu lento; la corrente del sodio e una

corrente veloce e c’e una piccola perdita in precisione sostituendo m(t) con

m∞(V ). La corrente piu significativa nel modello di Yanagihara e Is, che non

solo agisce per la maggior parte del tratto ascendente, ma e anche responsa-

bile dell’oscillazione, in quanto dopo la ripolarizzazione dovuta alla corrente

del potassio, quella lenta entrante depolarizza gradualmente il nodo fino a

raggiungere la soglia e dare inizio ad un nuovo potenziale.

Siccome il potenziale d’azione delle cellule del nodo seno atriale non presenta

un picco iniziale, e relativamente facile simularlo usando un modello a due

variabili di FitzHugh-Nagumo.



C1 C2 C3 C4 C5 V0

αm 0 − 1 -1 -10 -37

βm 40 -17.8 0 0 − -62

αh 1.209 x 10−3 -6.534 0 0 − -20

βh 1 ∞ 0 1 -10 -30

βp 0 − -2.25 x 10−4 -1 13.3 -40

βd 0 − -4.21 x 10−3 -1 2.5 5

αf 0 − -3.55 x 10−4 -1 5.633 -20

Tabella 3.3: Valori delle costanti per α e β per il modello di Yanagihara

Figura 3.14: Potenziale di membrana per il modello di Yanagihara riguardante il

comportamento del nodo seno atriale

4.3 Le cellule ventricolariLe equazioni di Beeler-Reuter24, sviluppate nel 1977, nacquero subito dopo

quelle di McAllister-Noble-Tsien e forniscono un modello per il comporta-

mento elettrico delle cellule del ventricolo, ed e anch’esso basato su dati

ottenuti con il metodo del patch clamp.

4.3.1 Il modello di Beeler-Reuter

In questo modello sono considerate solamente quattro correnti transmem-

brana: due entranti, delle quali una lenta ed una veloce, e due uscenti, una

dipendente e l’altra indipendente dal tempo; e possibile indicare la corrente

24G.W.Beeler, H.Reuter (1977) Reconstruction of the action potential of ventricularmyocardial fibres J.Physiol.(Lond) 268:177-210

3.4.3 Le cellule ventricolari 153

entrante del sodio con la formula

INa = (4m3hj + 0.003)(V − 50) (3.94)

che e controllata dalle variabili di attivazione m, h e j, con quest’ultima detta

variabile di riattivazione in quanto questo processo e piu lento di quello di

inattivazione e non puo essere accuratamente simulato con la sola variabile

h. In questo modo la corrente del sodio e attivata da m, inattivata da h e

riattivata da j, la piu lenta delle tre, inoltre le funzioni h∞ e j∞ sono iden-

tiche, anche se hanno costanti di tempo differenti. Si noti anche l’inclusione

di una corrente di dispersione del sodio, simile a quella presente nei modelli

di Noble e di McAllister-Noble-Tsien.

La corrente del potassio ha due componenti, una indipendente dal tempo

IK = 1.4exp[0.04(V + 85)]− 1

exp[0.08(V + 53)] + exp[0.04(V + 53)]+0.07

V + 23

1− exp[−0.04(V + 23)]

(3.95)

ed una attivata dal tempo

Ix = 0.8xexp[0.04(V + 77)]− 1

exp[0.04(V + 35)](3.96)

mentre la corrente pacemaker del potassio usata nel modello di McAllister-

Noble-Tsien non e attiva nel tessuto miocardico, che non e spontaneamente

oscillatorio.

La principale differenza tra una cellula del ventricolo ed una delle fibre di

Purkinje o del nodo seno atriale e la presenza di calcio, che e necessario per

attivare il meccanismo contrattile: tale influsso e modellato dalla corrente

entrante lenta

Is = 0.09fd(V + 82.3 + 13.0287 ln[Ca]i) (3.97)

attivata dalla variabile d ed inattivata da f . Dal momento che il potenziale

di inversione di Is e dipendente dal calcio, la concentrazione interna di tale

ione deve essere seguita attraverso la

dc

dt= 0.07(1− c)− Is (3.98)


Figura 3.15: Potenziale d’azione per le equazioni di Beeler-Reuter

dove c = 107[Ca]i, e siccome le correnti sono considerate positive uscenti,

la sorgente intracellulare di calcio e −Is. Le variabili di attivazione seguono

le dinamiche espresse dalla 3.70 con αw e βw espresse dalla 3.71 con le co-

stanti espresse nella tabella 3.4. Per queste equazioni V e espresso in mV,

C1 C2 C3 C4 C5 V0

αm 0 − 1 -1 -10 -47

βm 40 -17.86 0 0 − -72

αh 0.126 -4 0 0 − -77

βh 1.7 ∞ 0 1 -12.2 -22.5

αj 0.055 -4 0 1 -5 -78

βj 0.3 ∞ 0 1 -10 -32

αd 0.095 -100 0 1 -13.9 5

βd 0.07 -58.5 0 1 20 -44

αf 0.012 -125 0 1 6.67 -28

βf 0.0065 -50 0 1 -5 -30

αx 0.0005 12 0 1 17.5 -50

βx 0.0013 -16.67 0 1 -25 -20

Tabella 3.4: Valori delle costanti per α e β per il modello di Beeler-Reuter

le conduttanze in mS/cm2 ed il tempo in millisecondi. Si puo notare inol-

tre che il lungo plateau del potenziale d’azione del modello di Beeler-Reuter


e mantenuto da una corrente del calcio entrante lenta, mentre il ritorno al

potenziale di riposo e mediata dalla lenta corrente uscente del potassio Ix1 .

L’andamento del potenziale d’azione per questo modello e indicato in figura

3.1525.

Quando furono sviluppate le equazioni di Beeler-Reuter non era possibile

misurare accuratamente la corrente entrante del sodio veloce a causa della

sua rapidita di attivazione: come risultato, tutti i modelli precedenti hanno

utilizzato la formulazione della corrente del sodio del modello di Hodgkin-

Huxley, anche se non genera un tratto ascendente del potenziale d’azione

sufficientemente rapido. Questo ha una piccola influenza sul potenziale d’a-

zione studiato in locale ma ha pero un effetto consistente sulla velocita di

propagazione nei potenziali d’azione propagati.

4.3.2 Il modello di Ebihara-Johnson

Da quando sono diventati disponibili dati appropriati, e stato possibile pro-

porre una descrizione migliore della corrente del sodio, come quella proposta

da Ebihara e Johnson26 nel 1980:

INa = 23m3h(V − 29) (3.99)

con

αm = 0.32V + 47.13

1− exp[−(V + 47.13)](3.100)

βm = exp

(− V

11

)(3.101)

αh =

{0 se V<-40 mV

0.135 exp(−0.147(V + 80)) se V>-40 mV(3.102)

βh =

7.69

exp(−0.09(V + 10.66)) + 1se V<-40 mV

3.56 exp(0.079V ) + 3.1 · 105 exp(0.35V ) se V>-40 mV(3.103)

25J.Keener, J.Sneyd (1998) Mathematical physiology ed. Springer26L.Ebihara, E.A.Johnson (1980) Fast sodium current in cardiac muscle: a quantitative

description Biophys.J. 32:779-790


La maggiore difficolta con il modello di Beeler-Reuter e nella determinazio-

ne della corrente del calcio e la concentrazione interna di questo ione: cio

non deve stupire, in quanto al tempo in cui il modello e stato formulato le

conoscenze sul meccanismo di rilascio e cattura del calcio erano scarse.

4.3.3 Il primo modello di Luo-Rudy

Mentre l’inclusione delle cinetiche del calcio appropriate in un modello ionico

del miocardio e al centro delle attuali ricerche, Luo e Rudy27 proposero nel

1991 un modello, che generalizza quello di Beeler-Reuter, realizzato compien-

do studi su cellule ventricolari di porcellino d’india.

L’approccio generale e basato su una ricostruzione numerica del potenziale

d’azione utilizzando il formalismo del modello Hodgkin-Huxley, esprimendo

quindi la conservazione della carica ai capi della membrana nella forma

dV

dt= − 1

C(Ii + Ist) (3.104)

dove C e la capacita della membrana, Ist la corrente di stimolo ed Ii la somma

di sei correnti ioniche, come indicato nell’analogo elettrico di figura 3.1628: la

corrente rapida del sodio INa, la corrente entrante lenta Isi, la corrente del

potassio dipendente dal tempo IK , la corrente del potassio non dipendente

dal tempo IK1, la corrente di plateau del potassio IKp e la corrente di fondo

indipendente dal tempo Ib. Le correnti ioniche sono determinate dall’attivita

di barriere ioniche le cui variabili di apertura sono ottenute come soluzione

di un sistema accoppiato di otto equazioni differenziali ordinarie non lineari:

queste correnti singolarmente modificano il potenziale V , che a sua volta

influenza le barriere ioniche e le correnti stesse. Le equazioni differenziali

sono nella forma

dy

dt=

(y∞ − y)

τy

(3.105)

dove y e la generica variabile di apertura, τy = 1/(αy + βy) e la sua costante

di tempo, yx = αy/(αy + βy) il valore della variabile y nello stato di equili-

27C.H.Luo, Y.Rudy (1991) A model of the ventricular cardiac action potential.Depolarization, repolarization, and their interaction Circ.Res. 68:1501-1526

28E.Grandi (2002), Simulazione numerica dell’effetto di mutazioni a carico del geneSCN5A sull’attivita elettrica della cellula cardiaca - tesi di laurea in Ingegneria Elettronicapresso l’Universita di Bologna


Figura 3.16: Analogo elettrico di membrana

brio, y∞ il suo valore a regime, αy e βy costanti di velocita dipendenti dal

voltaggio; inoltre αK1 e βK1 del canale IK1 dipendono dalla concentrazione

di potassio extracellulare.

In questo modello si assume che una stimolazione di breve durata non in-

fluenzi apprezzabilmente l’ambiente cellulare in condizioni normali e, quindi,

che la concentrazione degli ioni, eccetto quella intracellulare del calcio, non

cambi in modo dinamico durante la stimolazione.

La corrente veloce del sodio puo essere espressa nella forma

INa = GNam3hj(V − ENa) (3.106)

con, per V maggiore od uguale a -40 mV

αh = 0 (3.107)

βh =1

0.13[1 + exp

(−V +10.66

11.1

)] (3.108)

αj = 0 (3.109)

βj =0.3 exp(−2.535 · 10−7V )

1 + exp[−0.1(V + 32)](3.110)


mentre per valori di V minori di -40 mV

αh = 0.135 exp

(−80 + V

6.8

)(3.111)

βh = 3.56 exp(0.079V ) + 3.1 · 105 exp(0.35V ) (3.112)

αj =[−1.2714 · 105 exp(0.2444V )− 3.474 · 10−5 exp(−0.04391V )](V + 37.78)

1 + exp[0.311(V + 79.23)]

(3.113)

βj =0.1212 exp(−0.01052V )

1 + exp[−0.1378(V + 40.14)](3.114)

e per tutti i valori di V valgono le

αm =0.32(V + 47.13)

1− exp[0.1(V + 47.13)](3.115)

βm = 0.08 exp

(− V

11

)(3.116)

Il modello dei canali rapidi del sodio incorpora un processo lento di recupe-

ro dall’inattivazione ed una conduttanza massima opportuna che risulta in

una realistica velocita di depolarizzazione di membrana, inoltre si utilizzano

i parametri m di attivazione, h di inattivazione e j di inattivazione lenta,

quest’ultimo per simulare il recupero lento avente il valore all’equilibrio j∞

uguale a h∞.

Nella formula 3.106 GNa e la massima conduttanza del canale del sodio, ENa e

il potenziale di inversione del sodio descritto come ENa = (RT/F ) ln([Na]o/[Na]i)

ed m, h e j sono ottenute come soluzione della 3.105 con le appropriate co-

stanti di velocita.


La corrente entrante lenta Isi e rappresentata nello stesso modo di quella del

modello di Beeler e Reuter ed ha le seguenti formulazioni:

Isi = 0.09df(V − Esi) (3.117)

con Isi dipendente in modo logaritmico dalla concentrazione intracellulare di

calcio e con

αd = 0.095exp[−0.01(V − 5)]

1 + exp[−0.072(V − 5)](3.118)

βd = 0.07exp[−0.017(V + 44)]

1 + exp[0.05(V + 44)](3.119)

αf = 0.012exp[−0.008(V + 28)]

1 + exp[0.15(V + 28)](3.120)

βf = 0.0065exp[−0.02(V + 30)]

1 + exp[−0.2(V + 30)](3.121)

e l’assorbimento del calcio descritto dall’equazione

d([Ca]i)

dt= −10−4Isi + 0.07(10−4 − [Ca]i) (3.122)

La corrente del potassio IK ha la proprieta di avere i suoi canali controllati

da una variabile di attivazione dipendente dal tempo denominata X ed una

di inattivazione non dipendente dal tempo chiamata Xi, nessuna delle quali

dipende da [K]o, mentre la conduttanza del singolo canale e proporzionale a√[K]o. Utilizzando l’equazione di Shibasaki29 e possibile scrivere

IK = GKXXi(V − EK) (3.123)

con

GK = 0.282

√[K]o5.4

(3.124)

29T.Shibasaki (1987) Conductance and kinetics of delayed rectifier potassium channelsin nodal cells of the rabbit heart J.Physiol.(Lond) 387:227-250


e

EK =RT

Fln

[K]o + PRNaK [Na]o[K]i + PRNak[Na]i

(3.125)

dove PRNaK vale 0.01833 ed e il rapporto di permeabilita sodio-potassio.

La variabile Xi introduce la proprieta di rettificazione entrante di IK e segue

la formulazione

Xi =

2.837exp(0.04(V + 77))− 1

(V + 77) exp[0.04(V + 35)]se V>-100 mV

1 se V<-100 mV(3.126)

con

αx = 0.0005exp[0.083(V + 50)]

1 + exp[0.057(V + 50)](3.127)

βx = 0.0013exp[−0.06(V + 20)]

1 + exp[−0.04(V + 20)](3.128)

La corrente del potassio indipendente dal tempo IK1 ha due importanti pro-

prieta: la dipendenza della conduttanza del singolo canale da√

[K]o e l’alta

selettivita al potassio; inoltre i canali responsabili di questa corrente possie-

dono una variabile di inattivazione K1 dipendente, oltre che dal potenziale

di membrana, anche da EK1 e di conseguenza da [K]o, che si chiude ad alti

valori del potenziale e che ha una costante di tempo breve, per cui si puo

approssimare al suo valore di equilibrio K1x. Basandosi su cio e possibile

scrivere questa corrente nella forma

IK1 = GK1K1x(V − EK1) (3.129)

con

EK1 =RT

Fln

[K]o[K]i

(3.130)

K1x =αK1

αK1 + βK1

(3.131)


GK1 = 0.6047

√[K]o5.4

(3.132)

con

αK1 =1.02

1 + exp[0.2385(V − EK1 − 59.215)](3.133)

βK1 =0.49124 exp[0.08032(V − EK1 + 5.476)] + exp[0.06175(V − EK1 − 594.31)]

1 + exp[−0.5143(V − EK1 + 4.753)]

(3.134)

Si noti che la formulazione della corrente IK1 di questo modello differisce

da quella del modello di Beeler-Reuter, nel quale sono inclusi contributi di

altre correnti a potenziali di plateau; quest’ultima corrente deriva da una

componente dovuta ad un tipo di canale tempo indipendente ed insensibile

a [K]o denominata IKp e da una componente di fondo Ib esprimibili nella

forma

IKp = GKpKp(V − EKp) (3.135)

con EKp = EK1 e Kp = (1 + exp(7.488− V )/5.98)−1 e

Ib = Gb(V − Eb) (3.136)

E possibile definire la corrente di potassio totale tempo indipendente come

IK1(T ) = IK1 + IKp + Ib (3.137)

con i parametri delle singole correnti, come le conduttanze, le variabili di

attivazione ed i potenziali di inversione ottenibili con una tecnica di stima

per adattare la IK1(T ) dell’intera cellula ai valori misurati da Sakmann e

Trube3031 per differenti valori di [K]o.

30B.Sakmann, G.Trube (1984) Conductance properties of single inwardly rectifyingpotassium channels in ventricular cells from guinea-pig heart J.Physiol.(Lond) 347:641-657

31B.Sakmann, G.Trube (1984) Voltage-dependent inactivation of inward-rectifyingsingle-channel currents in the guinea-pig heart cell membrane J.Physiol.(Lond)347:659-683


4.3.4 Il secondo modello di Luo-Rudy

Successivamente Luo e Rudy32 svilupparono il modello tenendo conto dei

cambiamenti dinamici che avvengono durante il potenziale d’azione, in modo

particolare la variazione di concentrazioni ioniche segue l’equazione

d[B]

dt= −IBACap

VCzBF(3.138)

dove [B] e la concentrazione del generico ione B, IB la somma delle correnti

ioniche trasportate da B, ACap e l’area capacitiva della membrana, VC e il

volume del compartimento in cui la concentrazione di B varia, zB la valenza

ionica dello ione in questione ed F la costante di Faraday. Un disegno sche-

matico della cellula secondo questo modello e rappresentato in figura 3.1733.

Geometricamente la cellula ventricolare e rappresentata come un cilindro

Figura 3.17: Diagramma schematico del secondo modello cellulare di Luo-Rudy

lungo 100 µm ed avente un raggio di 11 µm, ed il reticolo sarcoplasmatico

risulta diviso strutturalmente e funzionalmente in due compartimenti, il reti-

colo sarcoplasmatico giunzionale ed il reticolo sarcoplasmatico a rete: gli ioni

calcio passano dal mioplasma al reticolo sarcoplasmatico a rete attraverso un

processo di assorbimento, trasferendosi in seguito nel reticolo sarcoplasma-

tico giunzionale e tornando infine nel mioplasma seguendo una cinetica di

rilascio del calcio indotto dal calcio. Il reticolo sarcoplasmatico giunzionale

32C.H.Luo, Y.Rudy (1994) A dynamic model of the cardiac ventricular action potential.I. Simulations of ionic currents and concentration changes Circ.Res. 74:1071-1096

33C.H.Luo, Y.Rudy (1994) A dynamic model of the cardiac ventricular action potential.I. Simulations of ionic currents and concentration changes Circ.Res. 74:1071-1096


occupa lo 0.48% del volume totale cellulare, il reticolo sarcoplasmatico di rete

il 5.52% ed il mioplasma il 68%.

La corrente rapida del sodio INa segue la stessa formulazione del modello ori-

ginario, pur considerando variazioni di alcuni parametri quali la conduttanza

GNa.

In questo modello e stata introdotta una corrente ionica che passa attraverso

i canali di tipo L del calcio, i quali sono permeabili anche agli ioni sodio e

potassio ma in quantita nettamente inferiore; la corrente totale attraverso

questi canali puo essere espressa come somma di singole correnti

ICa,t = ICa + ICa,K + ICa,Na (3.139)

dove

ICa = dffCaICa (3.140)

ICa,K = dffCaICa,K (3.141)

ICa,Na = dffCaICa,Na (3.142)

e dove il maggior contributo e dovuto a ICa. Inoltre per il generico ione S che

appare nelle equazioni precedenti e possibile scrivere

IS = PSz2S

V F 2

RT

γSi[S]i exp(

zSV FRT

)− γSo[S]o

exp(

zSV FRT

)− 1

(3.143)

La cinetica di attivazione rappresentata dalla variabile d non puo essere mi-

surata con precisione in preparazioni di tessuto multicellulare a causa dell’ar-

chitettura del tessuto stesso che comprende giunzioni gap, endotelio e spa-

zio intracellulare, tuttavia e possibile darne una rappresentazione secondo la

formulazione di Rasmusson34

d∞ =1

1 + exp(−V +10

6.24

) (3.144)

34R.L.Rasmusson, J.W.Clark, W.R. Giles, K. Robinson, R.B.Clark, E.F.Shibata,D.L.Campbell (1990) A mathematical model of electrophysiological activity in a bullfrogatrial cell Am.J.Physiol. 259:H370-H389


τd = d∞1− exp

(−V +10

6.24

)0.035(V + 10)

(3.145)

con

αd =d∞τd

(3.146)

e

βd =1− d∞

τd

(3.147)

La cinetica di inattivazione sembra essere dipendente dal voltaggio e dal

calcio, per cui le variabili sono rispettivamente f e fCa indipendenti l’una

dall’altra.

Per misurare la cinetica della variabile puramente dipendente dal voltaggio

f , il calcio e sostituito da altri ioni quali Ba2+, Sr2+, K+ e Na+, e le misure

ottenute sono

f∞ =1

1 + exp(

V +35.068.6

) +0.6

1 + exp(

50−V20

) (3.148)

τf =1

0.0197 exp{−[0.0337(V + 10)]2}+ 0.02(3.149)

con

αf =f∞τf

(3.150)

e

βf =1− f∞

τf

(3.151)

mentre per ricavare la variabile fCa dipendendente solo dal calcio si assume

un modello a singolo compartimento, da cui e possibile ricavare

fCa =1

1 +(

[Ca2+]iKm,Ca

)2 (3.152)


La corrente dipendente dal potassio IK che nel primo modello e propor-

zionale a√

[K+]o, alla luce dei nuovi risultati diviene, in questa versione,

proporzionale a X2 secondo la relazione

IK = GKXiX2(V − EK) (3.153)

con

EK =RT

Fln

[K+]o + PNa,K [Na+]o[K+]i + PNa,K [Na+]i

(3.154)

GK = 0.282

√[K+]o5.4

mS/µF (3.155)

Xi =1

1 + exp(

V−56.2632.1

) (3.156)

e con

αX = 7.19 · 10−5 V + 30

1− exp[−0.148(V + 30)](3.157)

βX = 1.31 · 10−4 V + 30

−1 + exp[0.0687(V + 30)](3.158)

La corrente del potassio indipendente dal tempo IK1 e quella di plateau IKp

sono quasi identiche a quelle formulate nel modello precedente, con la sola

variazione del valore della conduttanza GK1.

La corrente INaCa e dovuta allo scambiatore Na+-Ca2+, mentre non c’e co-

trasporto di K+: gli studi sperimentali hanno rilevato molte proprieta rela-

tive a questo meccanismo, quali la dipendenza dalle concentrazioni extra-

cellulari degli ioni dello scambiatore e la saturazione di questa corrente per

valori molto negativi del potenziale. Una formulazione che puo riprodurre

correttamente questa proprieta e la

INaCa =1

K3m,Na + [Na+]3o

1

Km,Ca + [Ca2+]o

1

1 + ksat exp[(η − 1) V F

RT

]


(3.159)

exp

(ηV

F

RT

)[Na+]3i [Ca2+]o − exp

[(η − 1) V

F

RT

][Na+]3o[Ca2+]i

dove η = 0.35 e la posizione della barriera energetica che controlla la dipen-

denza dal voltaggio di INaCa, mentre ksat e il fattore che assicura la satura-

zione a potenziali molto negativi.

La corrente INaK e dovuta alla pompa sodio-potassio, ed ha la proprieta

di essere dipendente dal voltaggio per differenti valori di concentrazione

extracellulare di sodio; tale corrente e esprimibile come

INaK = INaKfNaK1

1 +(

Km,Nai

[Na+]i

)1.5

[K+]o[K+]o + Km,Ko

(3.160)

con

fNaK =1

1 + 0.1245 exp(−0.1V F

RT

)+ 0.0365σ exp

(−V F

RT

) (3.161)

e

σ =1

7

[exp

([Na+]o67.3

)− 1

](3.162)

La corrente non specifica attivata dal calcio Ins(Ca) presenta canali ugual-

mente permeabili al sodio ed al potassio ma molto meno al calcio, per cui e

considerata come la somma del contributo dovuto al sodio e quello dovuto al

potassio attraverso questi canali

Ins(Ca) = Ins,K + Ins,Na (3.163)

Questa corrente e formulata usando l’equazione a campo costante insieme al

termine di attivazione del calcio nel quale il coefficiente di Hill vale 3, quindi

le componenti sono espresse come

Ins,K = Ins,K1

1 +(

Km,ns(Ca)

[Ca2+]i

)3 (3.164)

Ins,Na = Ins,Na1

1 +(

Km,ns(Ca)

[Ca2+]i

)3 (3.165)


dove i valori Ins sono ottenuti dalla equazione 3.143 con i medesimi valori di γ.

La corrente Ip(Ca) dovuta al calcio del sarcolemma fornisce un ulteriore mec-

canismo per l’espulsione degli ioni calcio dalla cellula, in aggiunta a quello

fornito dallo scambiatore sodio-calcio e descritto dalla corrente INaCa. Questa

pompa e inclusa nel modello per mantenere il basso livello di concentrazione

intracellulare di calcio a riposo ed e rappresentata nella forma

Ip(Ca) = Ip(Ca)[Ca2+]i

Km,p(Ca) + [Ca2+]i(3.166)

La corrente di fondo del calcio ICa,b e formulata come corrente di dispersione

lineare, ed il suo contributo alla concentrazione del calcio intracellulare e

bilanciata dall’espulsione dello stesso ione attraverso le correnti INaCa e Ip(Ca)

viste in precedenza, cosı da mantenere tale valore di concentrazione costante.

ICa,b = GCa,b(V − ECa,N) (3.167)

con

ECa,N =RT

2Fln

[Ca2+]o[Ca2+]i

(3.168)

Anche la corrente INa,b di fondo dovuta al sodio e formulata come corrente di

dispersione lineare, ed il suo contributo alla concentrazione intracellulare di

sodio e bilanciata attraverso l’espulsione di questo ione attraverso la corrente

INaK e l’ingresso attraverso INaCa

INa,b = GNa,b(V − ENa,N) (3.169)

con

ENa,N = ENa (3.170)

La corrente IV e dipendente solamente dal voltaggio e non dal tempo, ed e

la somma di sei contributi

IV = IK1 + IKp + Ip(Ca) + INa,b + ICa,b + INaK (3.171)


e rispetto alla formulazione nel modello precedente non e generata solamente

da ioni K+, quindi sostituisce la corrente IK1(T ) del primo modello di Luo-

Rudy.

Gli accumuli di calcio sono localizzati nel sarcolemma interno e nel mio-

plasma: nel sarcolemma la capacita di accumulo e molto alta ma non pare

avere un ruolo importante nel processo di raccolta di calcio durante il ciclo

di eccitazione-contrazione. In questo modello l’accumulo nel sarcolemma e

trascurato e si assume che gli ioni calcio rilasciati dal reticolo sarcoplasmati-

co siano accumulati solo nel mioplasma dalla calmodulina e dalla troponina

secondo le concentrazioni e le cinetiche di accumulo descritte dalle equazioni

buffered[TRPN ] = [TRPN ][Ca2+]i

[Ca2+]i + Km,TRPN

(3.172)

buffered[CMDN ] = [CMDN ][Ca2+]i

[Ca2+]i + Km,CMDN

(3.173)

dove con TRPN si e indicata la troponina e con CMDN la calmodulina.

Il meccanismo di rilascio del calcio da parte del reticolo sarcoplasmatico car-

diaco e conosciuto con il nome di rilascio del calcio indotto dal calcio, o piu

brevemente CIRC: in questo modello si rappresenta questo processo assu-

mendo la cinetica variabile e dipendente dalla concentrazione intracellulare

del calcio ed una soglia fissa per il rilascio; si assume inoltre che tale processo

di rilascio avvenga da un unico punto del reticolo sarcoplasmatico giunziona-

le, ignorando pertanto la distribuzione spaziale di quest’ultimo e la risultante

propagazione del calcio.

Dati sperimentali hanno dimostrato che il picco del transitorio dovuto al cal-

cio intracellulare e proporzionale alla quantita di ioni di questo elemento che

entrano nella cellula nei primi 10 ms dall’instaurarsi della stimolazione, con

un minimo contributo negli istanti successivi, e cio implica che la quantita

di calcio rilasciata dal reticolo sarcoplasmatico di giunzione dipende dalla

quantita dello stesso ione che entra nella cellula in questo periodo. Nel mo-

dello si considera l’aumento di concentrazione intracellulare di calcio nei 2


ms seguenti l’istante in cui si ha Vmax, cioe la massima velocita di salita di V ,

e si indica questa variazione di concentrazione con ∆[Ca2+]i,2: questa corre-

zione e necessaria per tenere conto della cinetica piu rapida che avviene alla

temperatura corporea di 37◦C mentre gli esperimenti sono effettuati a 23◦C,

inoltre questo tempo e consistente con l’istante di picco della corrente ICa,

quando l’attivazione di tale corrente causata dalla concentrazione intracellu-

lare di calcio e significante, implicando un transitorio dovuto a quest’ultima

concentrazione sufficientemente grande da richiedere un rilascio dal reticolo

sarcoplasmatico giunzionale nei primi 2 ms. Sulla base dei dati sperimentali

questo rilascio di ioni calcio e innescato a potenziali fissi piu positivi di -30

mV: a questa soglia di potenziale si ha un aumento definito della concentra-

zione intracellulare di calcio, e si attribuisce a ∆[Ca2+]i,th questo valore.

La corrente di rilascio Irel dovuta a questo processo e descritta dalla formula

Irel = Grel([Ca2+]RSG − [Ca2+]i) (3.174)

dove il termine RSG indica reticolo sarcoplasmatico giunzionale e nella con-

dizione ∆[Ca2+]i,2 > ∆[Ca2+]i,th 2 ms dopo l’istante in cui si ha Vmax vale la

relazione

Grel = Grel∆[Ca2+]i,2 −∆[Ca2+]i,th

Km,rel + ∆[Ca2+]i,2 −∆[Ca2+]i,th

[1− exp

(− t

τon

)]exp

(− t

τoff

)(3.175)

mentre se la condizione non e soddisfatta si ha Grel = 0.

Si puo notare che il termine dipendente dalla concentrazione intracellulare di

calcio e moltiplicato con due termini esponenziali con costanti di tempo di

attivazione τon e di disattivazione τoff del processo di rilascio, che assumono

entrambe il valore di 2 ms per assicurare che in 5 ms si completi il processo

di impulso-rilascio.

Mentre un processo di rilascio di calcio indotto dal calcio nel reticolo sarco-

plasmatico giunzionale richiede un innesco dall’esterno ad opera del ∆[Ca2+]i

nel mioplasma, un processo di avvio alternativo avviene dall’interno del re-

ticolo sarcoplasmatico giunzionale stesso sotto condizioni di sovraccarico di


calcio. In un modello semplificato il reticolo sarcoplasmatico giunzionale rila-

scia tutti i suoi ioni Ca2+ immagazzinati quando il livello del calcio rilasciabile

raggiunge una soglia, ed in seguito si torna a riempire seguendo un andamen-

to nel tempo di tipo esponenziale; in particolare il reticolo sarcoplasmatico

giunzionale e ricaricato di ioni Ca2+ dal reticolo sarcoplasmatico di rete at-

traverso un processo di trasferimento descritto da una funzione esponenziale,

e la soglia per l’avvio interno di rilascio del calcio dal reticolo sarcoplasmatico

giunzionale sovraccaricato dipende dalla specie animale delle cellule prese in

esame. Dal momento che la maggior parte del calcio rilasciabile nel reticolo

sarcoplasmatico giunzionale e legato all’accumulo da parte della calsequestri-

na, si definisce la soglia in termini di percentuale di tale proteina legata al

calcio. E possibile definire la corrente Irel generata da questo processo con le

equazioni


e nella condizione buffered[CSQN ] ≥ [CSQN ]th

Grel = Grel

[1− exp

(− t

τon

)]exp

(− t

τoff

)(3.177)

dove con CSQN si e indicata la calsequestrina, mentre se tale condizione

non e verificata si ha Grel = 0.

Il calcio accumulato dalla calsequestrina aumenta la quantita di tali ioni

rilasciabili nel reticolo sarcoplasmatico giunzionale, in quanto quest’ultimo

compartimento cellulare non puo contenere da solo abbastanza calcio per

provocare la contrazione muscolare a causa del suo ridotto volume. Si noti

che la capacita di assorbimento di calcio nel mioplasma del muscolo schele-

trico e molto maggiore di quella del muscolo cardiaco, per cui nel modello si

tiene conto di valori di [CSQN ] adeguati per assicurare che il reticolo sarco-

plasmatico giunzionale sia quasi completamente svuotato del suo contenuto

di calcio durante ogni ciclo di eccitazione-contrazione e che il picco transi-

torio intracellulare dello stesso ione sia consistente con i dati sperimentali.

Questo processo e descritto con la formulazione

buffered[CSQN ] = [CSQN ][Ca2+]RSG

[Ca2+]RSG + Km,CSQN

(3.178)


A causa del piccolo volume del reticolo sarcoplasmatico giunzionale e della

bassa velocita di assorbimento del calcio, nel modello si trascura l’assorbimen-

to diretto di questo ione da parte del reticolo sarcoplasmatico di giunzione,

in quanto si presume che il calcio raggiunga questo compartimento cellulare

attraverso il reticolo sarcoplasmatico di rete. La cinetica di assorbimento del

calcio dal mioplasma al reticolo sarcoplasmatico di rete puo essere descritta

dall’equazione

Iup = Iup[Ca2+]i

[Ca2+]i + Km,up

(3.179)

Il valore di Iup scelto nel modello permette di ricaricare nel reticolo sarco-

plasmatico di rete, chiamato nelle formule RSR, tutti gli ioni calcio che sono

stati rilasciati nel reticolo sarcoplasmatico giunzionale durante un potenziale

d’azione. La velocita netta di ioni Ca2+ assorbiti nel reticolo sarcoplasmatico

di rete e la differenza tra Iup e Ileak dove

Ileak = Kleak[Ca2+]RSR (3.180)

La cinetica di passaggio del calcio dal sito di assorbimento, cioe il reticolo

sarcoplasmatico di rete, a quello di rilascio, cioe il reticolo sarcoplasmati-

co giunzionale, e spiegato dallo studio delle relazioni forza-intervallo come

le restituzioni ed il potenziamento post-extrasistolici: entrambe le relazioni

possono essere descritte con funzioni esponenziali con la stessa costante di

tempo, e la corrente che descrive questo processo e descritta dall’equazione

Itr =[Ca2+]RSR − [Ca2+]RSG

τtr

(3.181)

In seguito altri autori hanno apportato modifiche a questo modello, e ver-

ranno ora analizzati i piu significativi.

4.3.5 Il modello di Zeng

Nel 1995 Zeng35 presento un modello nel quale la corrente del potassio IK

del modello di Luo-Rudy e composta da due componenti, una di attivazione

35J.Zeng, K.R.Laurita, D.S.Rosenbaum, Y.Rudy (1995) Two components of the delayedrectifier K+ current in ventricular myocytes of the guinea pig type Circ.Res. 77:140-152


rapida IKr ed una IKs ad attivazione piu lenta, quindi piu simile ad IK ; inol-

tre e stata aggiunta una corrente del calcio dovuta a canali del calcio di tipo

T e chiamata ICa(T ).

La corrente IKr mostra una attivazione rapida ed una notevole rettificazione

entrante, e la sua formulazione, che comprende una variabile di attivazione

dipendente dal tempo Xr ed una indipendente dal tempo R che approssima

la veloce inattivazione dei canali, puo essere espressa nella forma

IKr = GKrXrR(V − EKr) (3.182)

dove V e il potenziale di membrana, EKr il potenziale di inversione e GKr il

massimo valore di conduttanza che assume la forma

GKr = 0.02614

√[K+]o5.4

(3.183)

Questa corrente e puramente selettiva agli ioni potassio, per cui EKr e scelto

in modo da avere il potenziale di equilibrio di tale ione attraverso la mem-

brana, inoltre per il valore della variabile Xr all’equilibrio, cioe Xr∞ , per

la costante di tempo per l’attivazione τXr e per la variabile R si usano le

formulazioni

Xr∞ =1

1 + exp(− (V +21.5)

7.5

) (3.184)

τXr =1

0.00138(V +14.2)1−exp[−0.123(V +14.2)]

+ 0.00061(V +38.9)exp[0.145(V +38.9)]−1

(3.185)

R =1

1 + exp(

(V +9)22.4

) (3.186)

La corrente IKs e la componente lenta che non presenta caratteristiche di

rettificazione entrante, ed in depolarizzazione l’attivazione di questa corrente

puo seguire un andamento sigmoidale, quindi e possibile scriverla come

IKs = GKsX2s (V − EKs) (3.187)


dove GKs e il massimo valore di conduttanza, Xs la variabile di attivazione

e EKs il potenziale di inversione: si noti l’assenza di qualsiasi variabile di

inattivazione in questa formulazione.

I canali del calcio di tipo T, detti anche canali del calcio a bassa soglia, si

attivano a potenziali compresi tra -50 mV e -30 mV mostrando una veloce

inattivazione, e sono responsabili della corrente

ICa(T ) = GCa(T )b2g(V − ECa) (3.188)

dove GCa(T ) e il massimo valore di conduttanza, ECa il potenziale di inversio-

ne, uguale al potenziale di equilibrio del calcio attraverso la membrana, b e g

le variabili rispettivamente di attivazione ed inattivazione, la cui formulazione

e

b∞ =1

1 + exp(− (V +14)

10.8

) (3.189)

g∞ =1

1 + exp(

(V +60)5.6

) (3.190)

Il modello inoltre modifica il valore di GKp per la corrente di plateau IKp.

4.3.6 Il modello di Viswanathan

Successivamente, nel 1999 Viswanathan36, notando che la costante di tempo

della corrente IKs e fino a 5 volte piu grande di quella della corrente IKf ,

incorporo questo aspetto nella formulazione di IKs introducendo la variabile

di attivazione Xs2, la cui costante di tempo e 4 volte quella di Xs1, che

corrisponde a Xs del modello visto in precedenza; la formulazione di questa

corrente diviene quindi

IKs = GKsXs1Xs2(V − EKs) (3.191)

con

τXs1 =1

7.19·10−5(V +30)1−exp[−0.148(V +30)]

+ 1.31·10−4(V +30)exp[0.0687(V +30)]−1

(3.192)

36P.C.Viswanathan, R.M.Shaw, Y.Rudy (1999) Effects of IKr and IKs heterogeneity onaction potential duration and its rate dependence Circulation 99:2466-2474


e

τXs2 = 4τXs1 (3.193)

Inoltre la scoperta che il reticolo sarcoplasmatico rilascia continuamente cal-

cio ha permesso di modificare la formula del trattamento del calcio e la

corrente Irel nel modo seguente:


e se dopo 2 ms dopo l’istante in cui si ha Vmax vale la relazione ∆[Ca2+]i,2 >

∆[Ca2+]i,th e possibile scrivere

Grel = Grel∆[Ca2+]i,2 − 0.18 · 10−3

Km,rel + ∆[Ca2+]i,2 − 0.18 · 10−3

[1− exp

(− t

τon

)][exp

(− t

τoff

)](3.195)

se dopo lo stesso tempo vale invece la relazione 0 < ∆[Ca2+]i,2 < ∆[Ca2+]i,

con ∆[Ca2+]i = ∆[Ca2+]i,2 · 103 si ha

Grel = Grel(7.5(∆[Ca2+]i)3−(∆[Ca2+]i)

2+0.1(∆[Ca2+]i))

[1− exp

(− t

τon

)]exp

(− t

τoff

)(3.196)

mentre nel caso ∆[Ca2+]i,2 ≤ 0 dopo lo stesso periodo di tempo vale la

relazione

Grel = 0 (3.197)

Questa nuova formulazione previene discontinuita non fisiologiche ed oscilla-

zioni della concentrazione intracellulare di calcio in condizioni estreme.

4.3.7 Il modello di Faber

Nel lavoro di Faber37 del 2000 la formulazione di INaK e INaCa e stata modifi-

cata per tenere conto delle variazioni di concentrazione di sodio intracellulare,

per cui si puo scrivere

Irel = grelRyRopenRyRclose([Ca2+]RSG − [Ca2+]i) (3.198)

37G.M.Faber, Y.Rudy (2000) Action potential and contractility changes in [Na+]ioverloaded cardiac myocytes: a simulation study Biophysical Journal 78:2392-2404


con

grel =150

1 + exp(

ICa(L)+ICa,b+Ip(Ca)+ICa(T )−2INaCa

0.9

) (3.199)

e dove

RyRopen =1

1 + exp(− (t+4)

0.5

) (3.200)

e la velocita di apertura dei canali del rilascio e

RyRclose = 1− 1

1 + exp(− (t+4)

0.5

) (3.201)

la velocita di chiusura degli stessi, dove il valore di t e assunto uguale a zero

all’istante in cui si ha (dV/dt)max.

Per la corrente INaCa si puo invece scrivere

INaCa = c1 exp

[(γ − 1)V F

RT

]exp(V F

RT)[Na+]3i [Ca2+]o − [Na+]3o[Ca2+]i

1 + c2 exp[

(γ−1)V F )RT

] [exp(V F

RT)[Na+]3i [Ca2+]o + [Na+]3o[Ca2+]i

](3.202)

Anche il processo di rilascio del calcio indotto dal calcio e stato modificato

per coprire valori di concentrazioni intracellulari di sodio e calcio molto piu

elevati.

E stata anche introdotta una nuova corrente del potassio attivata dal so-

dio IK(Na) che sembra giocare un ruolo importante nella riduzione della

durata del potenziale d’azione ad elevati valori di concentrazione di sodio

intracellulare.

IK(Na) = gK(Na)PoNaiPoV (Em − EK) (3.203)

dove gK(Na) e il massimo valore della conduttanza di membrana per questa

corrente e

PoV = 0.8− 0.65

1 + exp(

(V +125)15

) (3.204)


PoNai =0.85

1 +(

KD

[Na+]i

)n (3.205)

Questa corrente e modellata a rettificazione uscente indipendente dal tempo

ma dipendente dal voltaggio e dalla concentrazione di sodio all’interno della

cellula, ed e altamente selettiva al potassio.

5 I modelli MarkovianiI canali ionici possiedono una cinetica di apertura e di chiusura impredicibi-

le, quindi il loro comportamento, caratterizzato dal passaggio da uno stato

all’altro, si presta ad una descrizione di tipo probabilistico: questo processo

puo essere descritto da un processo di Markov senza memoria, cioe un pro-

cesso in cui lo stato futuro del sistema dipende solo dallo stato presente ed il

tempo di permanenza in uno stato e una variabile aleatoria con una distribu-

zione di probabilita di tipo esponenziale. Ogni volta che il canale raggiunge

lo stato i vi rimane per un tempo Ti, al termine del quale si portera in uno

stato j diverso con probabilita di transizione Pij, ed in questo stato rimarra

per un tempo Tj: questo tipo di descrizione e applicabile anche a processi

complessi ad n stati, come nel caso di alcuni canali che prevedono ulteriori

stati di inattivazione, desensibilizzazione o blocco.

Come si e gia visto in precedenza, nel modello di Hodgkin-Huxley la cinetica

e rappresentata da un prodotto di due variabili del primo ordine m3h, e puo

essere descritto da una catena di Markov a otto stati dei quali uno e di aper-

tura, tre sono di chiusura e gli altri di inattivazione, come indicato in figura

3.1838 La grandezza principale descrittiva del sistema e la probabilita di un

canale di effettuare una transizione da uno stato all’altro in un intervallo di

tempo ∆t = τ , si definisce quindi Pij la probabilita che il sistema passi dallo

stato i all’istante t allo stato j all’istante t + τ ; se k e il numero di stati

cinetici indistinguibili, la matrice k × k degli elementi Pij viene indicata con

P(τ).

38E.Grandi (2002), Simulazione numerica dell’effetto di mutazioni a carico del geneSCN5A sull’attivita elettrica della cellula cardiaca - tesi di laurea in Ingegneria Elettronicapresso l’Universita di Bologna

3.5 I modelli Markoviani 177

Figura 3.18: Schema cinetico per il canale del sodio secondo il modello di Hodgkin-

Huxley

Nel caso di due stati le probabilita possono essere espresse nel seguente modo:

P12(τ) = ατ + o(τ) (3.206)

P11(τ) = 1− ατ − o(τ) (3.207)

P21(τ) = βτ + o(τ) (3.208)

P22(τ) = 1− βτ − o(τ) (3.209)

dove α e β sono detti anche ratei cinetici e rappresentano la probabilita che

la singola variabile di attivazione od inattivazione cambi stato nell’unita di

tempo e o(τ) tiene conto della possibilita che piu transizioni abbiano luogo

durante l’intervallo di tempo τ , e diventa trascurabile se

limτ→0

o(τ)

τ= 0 (3.210)

Differenziando P(t) si ottiene l’equazione di base del modello esprimibile

come

dP(t)

dt= P(t)Q (3.211)


la cui soluzione e

P(t) = eQt (3.212)

dove Q e una matrice a coefficienti costanti definita da

Q = limτ→0

P(t)− I

τ(3.213)

con I matrice identita. In sostanza gli elementi della matrice Q si possono

ottenere trascurando o(τ) e considerando gli elementi sulla diagonale (Pij −1)/τ e gli altri elementi Pij/τ , che nel caso a due stati diventa

Q =

(−α α

β −β

)(3.214)

con Q in generale singolare in quanto la somma degli elementi di una sua

riga e nulla.

Indicando con λ1, λ2, . . ., λk gli autovalori di Q, uno di essi, che senza ledere

di generalita puo essere λ1, e nullo; supponendo inoltre che tutti gli autovalori

siano differenti, la matrice Q puo essere descritta nella forma

Q = MΛN (3.215)

dove Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λk), M e una matrice che ha per colonne gli auto-

vettori di Q e N = M−1. Indicando con ni la i-esima riga della matrice N e

possibile riscrivere la 3.215 come

Q =k∑

i=1

Aiλi (3.216)

con

Ai = mini (3.217)

e dove le matrici A godono delle seguenti proprieta:

AiAj = 0 per i 6= j (3.218)

AiAi = Ai (3.219)


k∑i=1

Ai = I (3.220)

Si puo inoltre dimostrare che l’autovettore relativo a λ1, cioe la prima colonna

della matrice, e costituito da elementi tutti uguali che possono essere posti

uguali a uno: da cio consegue che A1 ha tutte le righe uguali e coincidenti

con la prima riga di N, e la colonna j-esima di A1 ha elementi uguali alla

probabilita di occupazione dello stato j-esimo all’equilibrio, che verra indi-

cata con pj(∞). Indicando quindi con a(m)ij un elemento di Am, risulteranno

verificate le uguaglianze

n1j = a(1)ij = pj(∞) (3.221)

e

k∑m=2

a(m)ij = δij − pj(∞) (3.222)

dove δij = 1 se i = j e δij = 0 se i 6= j.

A partire da questi risultati e ricordando la definizione di esponenziale di

matrice

eQt =∞∑i=1

Qiti

i!(3.223)

e la forma di Jordan

Q = MΛM−1 ⇒ Qi = MΛiM−1 ∀i ∈ N (3.224)

si puo scrivere la soluzione come

P(t) =k∑

i=i

Aieλit (3.225)

per ogni elemento si avra pertanto

Pij(t) = pj(∞) + C1eλ1t + C2e

λ2t + . . . (3.226)


Indicando con pj(t) la probabilita che un canale sia nello stato j al tempo t

e con p(t) il vettore riga avente per elementi le pj(t) e dimensione 1 × k, si

supponga che in un certo istante, assunto come origine, si verifichi una va-

riazione a gradino del potenziale di membrana che provochi un cambiamento

dei ratei cinetici. L’espressione che descrive l’evoluzione del sistema dopo tale

perturbazione, e quindi per t > 0, assume la forma

pj(t) =k∑

i=1

pi(0)Pij(t) j = 1, 2, . . . , k (3.227)

che puo essere scritta anche in forma matriciale

p(t) = p(0)P(t) (3.228)

dove p(0) definisce la probabilita di stato del sistema prima dell’arrivo della

perturbazione.

Si osservi che, poiche λ1 = 0 e Re(λi) < 0 per i > 1, risulta p(∞) = p(0)A1

e quindi

p(t) = p(0)eQt = p(0)k∑

i=1

Aieλit = p(∞) + p(0)

k∑i=2

Aieλit (3.229)

Poiche A1 ha tutti gli elementi di una colonna uguali, il prodotto p(0)A1

fornisce, indipendentemente dalla distribuzione di probabilita iniziale p(0),

un vettore riga coincidente con una qualsiasi delle righe di A1, dimostrando

cosı quanto detto in precedenza.

Per un sistema a due soli stati l’espressione del rilassamento dello stato 1,

ovvero l’andamento nel tempo della probabilita di apertura di un canale dopo

uno stimolo, assume la forma

p1(t) = p1(∞) + [p1(0)− p1(∞)]eλ2t (3.230)

Una volta trovate le probabilita di stato pj(t) e facile ricavare l’espressione che

descrive il rilassamento della corrente di membrana dopo una perturbazione:

supponendo in generale che vi siano r stati corrispondenti alla condizione di


canale aperto con conduttanza γi e k − r stati associati alla configurazione

di chiusura con γi = 0, la corrente totale attesa al tempo t e

I(t) = N(V − Veq)k∑

i=1

pi(t)γi = N(V − Veq)p(0)eQtΓu (3.231)

dove N e il numero totale di canali, Γ e la matrice diagonale delle conduttanze

γi per i = 1, . . . , k e u e un vettore k × 1 di elementi unitari.

Si ottiene pertanto

I(t)− I(∞) = N(V − Veq)p(0)k∑

i=2

AieλitΓu (3.232)

con

I(∞) = N(V − Veq)p(0)A1Γu (3.233)

che diventa

I(t)−I(∞) = N(V −Veq)γ[p1(0)−p1(∞)])eλ2t = [I(0)−I(∞)]eλ2t (3.234)

nel caso di due soli stati.

Discussioni conclusive

Lo studio di questi modelli naturalmente non e fine a se stesso, ma e di sup-

porto soprattutto alle scienze mediche, in particolare per la ricerca su un

importante insieme di sindromi cliniche che fanno riferimento a difetti nei

canali ionici, causati probabilmente da alterazioni genetiche, come la fibrosi

cistica, la fibrillazione ventricolare idiopatica e la sindrome del QT lungo;

queste mutazioni dei canali ionici possono manifestare i loro effetti deleteri

tramite l’alterazione delle cinetiche di attivazione, la perdita della selettivita

ionica od ancora la soppressione di correnti negative dominanti.

Negli ultimi anni la modellizzazione, derivata dall’iniziale lavoro quasi pio-

nieristico di Hodgkin e Huxley e proseguita fino all’utilizzo del modello di

Markov, si e concentrata in particolare sullo studio della sindrome congenita

del QT lungo, una disfunzione della ripolarizzazione ventricolare rilevabile

con un normale esame elettrocardiografico, ma che puo portare alla morte

improvvisa. Questa sindrome e associata alla mutazione di almeno sei subu-

nita di canali ionici, in particolare la variante 3 e associata alla mutazione

del gene SCN5A che codifica la subunita α del canale del sodio regolato dal

voltaggio e che puo portare a gravi rischi cardiaci in condizioni di riposo o

bradicardia sotto sforzo. Lo studio finalizzato alla comprensione sempre piu

approfondita dei meccanismi caratteristici di questa sindrome e cruciale per

lo sviluppo di interventi terapeutici idonei.

Un altro studio interessante ricerca le condizioni che inducono un’attivita di

ripetuti e ravvicinati ritmi endogeni nel complesso pre-Botzinger, una piccola

regione della radice del cervello dei mammiferi implicata nella generazione

del ritmo respiratorio, realizzando un modello computazionale che spieghi i

risultati sperimentali eseguiti in vitro. In particolare si e potuto verificare

che tale comportamento e spiegato da una soppressione della corrente del

potassio di rettificazione ritardata realizzata in modo diretto, tramite au-

184 Discussioni conclusive

mento della concentrazione extracellulare di potassio oppure per mezzo di

un aumento della corrente del sodio persistente.

In altri lavori si e anche potuto constatare che le risposte contrattili in fibre

muscolari singole di gambero evocate da stimoli elettrici intracellulari, da de-

polarizzazioni dovute al potassio e da applicazione di caffeina sono bloccate

dagli ioni Pb2+: in questi lavori si e notato che le correnti totali del calcio,

che possono essere suddivise per mezzo delle equazioni di Hodgkin-Huxley

in due componenti, una veloce di attivazione ed una lenta di inattivazione,

sono soppresse dall’aggiunta nel preparato sperimentale di Pb(NO3)2, e che

l’effetto del piombo dipende dalla sua concentrazione e dal tempo.

La continua ricerca nel campo delle scienze mediche portera probabilmente

un miglioramento, in termini di precisione, della qualita dei dati sperimen-

tali in tempi molto brevi, fornendo nuovi elementi per la formulazione dei

modelli; inoltre il progressivo aumento delle possibilita di calcolo degli ela-

boratori elettronici potra portare all’implementazione numerica di modelli

sempre piu complicati. Per i modellisti, come gia detto in precedenza, l’o-

biettivo rimane pero la ricerca di un compromesso tra la quantita di dettagli

che si vuole utilizzare ed il livello di interpretazione qualitativa che si intende

raggiungere.

Appendice A

Esempio di codice MATLAB

In questa parte verranno presentati alcuni esempi di programmi, scritti con il

linguaggio MATLAB, che riproducono alcuni aspetti dei modelli studiati nei

capitoli precedenti. Il codice e stato in gran parte reperito tramite internet

e modificato, dove necessario, per adattarlo al lavoro svolto: in particolare

questi esempi derivano dai siti http://www.computationalcellbiology.net e

http://www.cvrti.utah.edu.

1 Il modello di Hodgkin-HuxleyIl codice seguente1 fornisce un esempio di come sia possibile ricavare gli

andamenti di alcune variabili del modello di Hodgkin-Huxley.

% Simulazione del modello Hodgkin_Huxley

global VNa VK VL gNa gK gL C Iapp Vinit minit hinit ninit tend

VNa=50;VK=-77;VL=-54.4;gNa=120; gK=36;gL=0.3;C=1;Iapp=0;

Vinit=-65;minit=0.052;hinit=0.59;,ninit=0.317; tend=20;

mess=’Variabili inizializzate: VNa VK VL gNa gK gL C Iapp Vinit

minit hinit ninit tend’

clear t;

1http://www.computationalcellbiology.net/ComputerCode/MATLAB.htm

186 Esempio di codice MATLAB

figure(1);clf;figure(2);clf;figure(3);clf;

tstart=0;

k=1;t=[tstart:.25:tend];

xint=[Vinit;minit;hinit;ninit];

[t,x]=ode45(’Ghhfun’,t,xint);

figure(1);plot(t,x(:,1));axis([0 tend -80 60]); xlabel(’tempo

(ms)’),ylabel(’potenziale (mv)’);hold on;

figure(2);subplot(221);plot(t,x(:,2)); xlabel(’tempo

(ms)’),ylabel(’m’);hold on; subplot(222);plot(t,x(:,3))

xlabel(’tempo (ms)’),ylabel(’h’);hold on;

subplot(223);plot(t,x(:,4)); xlabel(’tempo (ms)’),ylabel(’n’);hold

on;

clear VRay taum minf tauh hinf taun ninf; VRay=[-75:.50001:75];

for k = 1:length(VRay);

V=VRay(k);

taum(k)=1/(0.1*(V+40)/(1-exp(-(V+40)/10))+4*exp(-(V+65)/18));

minf(k)=(0.1*(V+40)/(1-exp(-(V+40)/10)))*taum(k);

tauh(k)=1/(0.07*exp(-(V+65)/20)+(1/(1+exp(-(V+35)/10))));

hinf(k)=0.07*exp(-(V+65)/20)*tauh(k);

taun(k)=1/(0.01*(V+55)/(1-exp(-(V+55)/10))+0.125*exp(-(V+65)/80));

ninf(k)=(0.01*(V+55)/(1-exp(-(V+55)/10)))*taun(k);

end

figure(3);subplot(211);plot(VRay,taum,VRay,tauh,VRay,taun);

title(’costanti di tempo per m, h e n’),xlabel(’potenziale

(mv)’),ylabel(’tempo (ms)’);hold on;

A.1 Il modello di Hodgkin-Huxley 187

subplot(212);plot(VRay,minf,VRay,hinf,VRay,ninf); title(’funzioni

di equilibrio per m, h e n’),xlabel(’potenziale (mv)’);hold on;

figure(1);

function xdot=Ghhfun(t,x);

global VNa VK VL gNa gK gL C Iapp V=x(1); m=x(2); h=x(3); n=x(4);

taum=1/(0.1*(V+40)/(1-exp(-(V+40)/10))+4*exp(-(V+65)/18));

minf=(0.1*(V+40)/(1-exp(-(V+40)/10)))*taum;

tauh=1/(0.07*exp(-(V+65)/20)+(1/(1+exp(-(V+35)/10))));

hinf=0.07*exp(-(V+65)/20)*tauh;

taun=1/(0.01*(V+55)/(1-exp(-(V+55)/10))+0.125*exp(-(V+65)/80));

ninf=(0.01*(V+55)/(1-exp(-(V+55)/10)))*taun;

xdot(1,1)=(-gNa*m^3*h*(V-VNa)-gK*(V-VK)*n^4-gL*(V-VL)+Iapp)/C;

xdot(2,1)=-(m-minf)/taum; xdot(3,1)=-(h-hinf)/tauh;

xdot(4,1)=-(n-ninf)/taun;

Questo programma produce tre grafici: nel primo si nota l’andamento co-

stante del potenziale nel tempo, nel secondo le cinetiche delle variabili di

eccitazione m, n ed h in funzione del tempo, mentre nel terzo sono descritte

le costanti di tempo τm(v), τn(v) e τh(v) nella parte superiore e le funzioni

m∞(v), n∞(v) e h∞(v) in quella inferiore.

Figura A.1: Andamento del potenziale nel tempo


Figura A.2: Cinetica delle variabili di eccitazione

Figura A.3: Costanti di tempo e funzioni di equilibrio

Si noti la dipendenza dei valori del grafico dalla scelta dei valori iniziali dei

parametri e la somiglianza dei grafici della figura A.3 con quelli corrispondenti

visti nel capitolo precedente.

2 Il modello di FitzHugh-NagumoQuesto esempio2 simula il comportamento del modello di FitzHugh-Nagumo

con specifici parametri iniziali.

% classi per il modello FitzHugh-Nagumo

% gamf=5 (iniziale - sovrasmorzato), =2 sottosmorzato, =1 oscillatorio

global Af betaf deltaf Cf epsf gamf tend vinitf winitf

2http://www.computationalcellbiology.net/ComputerCode/MATLAB.htm

A.2 Il modello di FitzHugh-Nagumo 189

Af=.001;betaf=-40;deltaf=40; Cf=10;epsf=1;gamf=5; tend=50

vinitf=-60;winitf=.1;

mess=’Variabili inizializzate: Af betaf deltaf Cf epsf gamf tend

vinitf winitf’

clear t;

figure(1);clf;figure(2);clf;

tstart=0;

k=1;t=[tstart:.25:tend];

xint=[vinitf;winitf];

[t,x]=ode45(’GFNfun’,t,xint);

figure(1);subplot(211);plot(t,x(:,1));axis([0 tend -75 75]);

xlabel(’tempo (ms)’),ylabel(’tensione (mv)’);hold on;

subplot(212);plot(t,x(:,2));

%axis([0 tend 0 1]);

xlabel(’tempo (ms)’),ylabel(’W=frazione di canali aperti’);hold

on; pause(5); mess=(’OPiano delle fasi e nullocline’)

%% traccia il piano delle fasi e le nullocline

figure(3);clf; %% autovalori

[Vs,Ws,lams,VRAY,nullV,nullw]=GFitz_Nag_Jac;

figure(2);plot(x(:,1),x(:,2),x(1,1),x(1,2),’md’,VRAY,nullw,’:’,VRAY,nullV,’--’);

ylabel(’w’),xlabel(’v’);axis([-80 80 -40 40]); title(’Piano delle

fasi e nullocline’);hold on;


C=input(’Premi un numero per avere il campo vettoriale: ’); if

length(C)~=0

Vray=[-60:10:60];Nray=[-40:10:40];figure(2);

vector_field(’GFNfun’,Vray,Nray,.5);

end;

function xdot=GFNfun(t,x);


V=x(1); W=x(2); xdot(1,1)=Af*V*(V-betaf)*(deltaf-V)-Cf*W;

xdot(2,1)=epsf*(V-gamf*W);

function [Vs,Ws,lams,VRAY,nullV,nullw]=GFitz_Nag_Jac

% Trova le nullocline, punti di incrocio ed autovalori


clear lams

syms V w

Vdot=Af*V*(V-betaf)*(deltaf-V)-Cf*w; wdot=epsf*(V-gamf*w);

wsubs=solve(wdot,w); vsubs=solve(Vdot,w);

[Vs,Ws]=Intersect(Vdot,wdot);

good=imag(Vs)==0; %% solo quelli reali

Vs=Vs(find(good));

Ws=Ws(find(good));

a11=diff(Vdot,V); a12=diff(Vdot,w); a21=diff(wdot,V);

a22=diff(wdot,w); A=[a11 a12;a21 a22];

A.3 Il modello di Luo-Rudy 191

for k=1:length(Ws)

w=Ws(k);

V=Vs(k);

AN=subs(A);

lams(:,k)=eig(AN);

end

VRAY=[-75:.5:75];

for k=1:length(VRAY)

V=VRAY(k);

nullw(k)=subs(wsubs);

nullV(k)=subs(vsubs);

end

clf;plot(VRAY,subs(nullw),VRAY,subs(nullV),Vs,Ws,’r*’);axis([-75

75 -40 40]) xlabel(’tensione (mV)’);ylabel(’w’);

LINT=[’V = ’;’w = ’];LEIG=[’ autoval 1 = ’;’ autoval 2 = ’];

for k=1:length(Ws)

P=num2str([Vs(k);Ws(k)]);

text(Vs(k),Ws(k),strcat(LINT,P,LEIG,num2str(lams(:,k))));

end pause(5);

Lo stile di programmazione e simile al precedente, ma in questo caso vengono

generati grafici diversi: in particolare la figura A.4 mostra lo sviluppo della

tensione e della frazione di canali aperti nel tempo per determinati valori dei

parametri scelti all’inizio della simulazione.

3 Il modello di Luo-RudyIn questo programma3 si puo verificare l’andamento del potenziale d’azio-

ne e delle principali correnti della prima versione del modello di Luo-Rudy

sviluppata nel 1991.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

3http://www.cvrti.utah.edu/∼macleod/bioen/be6000/homeworks/cell/code/


Figura A.4: Andamento della tensione e della frazione di canali aperti

% Lancia lo script Map che simula il potenziale d’azione cardiaco %

% della prima versione del modello di Luo-Rudy %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear,clf;

% Parametri globali

Constant;

% Durata della simulazione

duration = 400;

% Chiamata al programma principale

[t,V,INa,ICa,IK,IK1,IKp,Ib,gNa,gK,gK1,gKp,gb] =

Map(duration,-30,10,12);

% Risultati

% Grafico del potenziale d’azione

figure(1), subplot(3,2,1) plot(t,V); set(gca,’box’,’off’);

set(gca,’XColor’,[0 0 0]); axis([0 duration -100 100])

ylabel(’mV’); text(300, 20, ’AP’);

% Grafico della corrente del sodio


subplot(3,2,3) plot(t,INa); set(gca,’box’,’off’);

set(gca,’XColor’,[0 0 0]); ylabel(’uA/cm^2’); axis([0 duration

-400 00]) text(300,-130, ’INa’);

% Grafico della corrente del calcio lenta entrante

subplot(3,2,5) plot(t,ICa); set(gca,’box’,’off’);

ylabel(’uA/cm^2’); axis([0 duration -6 00]) text(300, -2, ’Isi’);

% Grafico della corrente del potassio IK

subplot(3,2,2) plot(t,IK); set(gca,’box’,’off’);

set(gca,’XColor’,[0 0 0]); axis([0 duration -1 2])

ylabel(’uA/cm^2’); text(300, 0,’IK’);

% Grafico della corrente del potassio IK1

subplot(3,2,4) plot(t,IK1); set(gca,’box’,’off’);

set(gca,’XColor’,[0 0 0]); axis([0 duration 0 3])

ylabel(’uA/cm^2’); text(300,1, ’IK1’);

% % Grafico della corrente del potassio IKp e corrente di fondo Ib

subplot(3,2,6) plot(t,IKp,t,Ib); set(gca,’box’,’off’);

ylabel(’uA/cm^2’); axis([0 duration -5 5]) text(300, -1.5,’IKp’);

text(300, 3,’Ib’);

function [t,V,iNa,isi,iK,iK1,iKp,ib,gNa,gsi,gK,gK1,gKp,gb] = ...

Map(TD,Ist,ton,toff)

% Input:

% TD durata della simulazione (ms);

% Ist intensita dello stimolo di corrente (uA/cm^2);

% ton tempo (dopo uno zero arbitrario) di applicazione dello stimolo (ms)

% toff tempo in cui lo stimolo cessa (ms);

%

% Output:

% t vettore per la variabile tempo

% V vettore per il potenziale di membrana


% INa,Isi,IK,IK1,IKp,Ib vettore per le correnti (uA/cm^2)

% gNa,gsi,gK,gK1,gKp,gb vettore per le conduttanze (mS/cm^2)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

global Vrest Cm;

TSmin = 0.2; % minimo passo temporale;

TSmax = 1; % massimo passo temporale;

dVmax = 5; % massimo dV

% Valori iniziali a riposo

[It,gt,mt,ht,jt,mNa,hNa,jNa,taumt,tauht,taujt] =

VClampNa(Vrest,0); [It,gt,mt,ht,msi,hsi,taumt,tauht] =

VClampsi(Vrest,0); [It,gt,mK,taumt,mt,ht] = VClampK(Vrest,0); V(1)

= Vrest; t(1) = 0;

th = TSmin; % ampiezza del passo

i = 1;

while (t(i) < TD)

if (t(i) > ton & t(i) < toff)

th = TSmin;

Id = Ist;

else

Id = 0;

end

[iNa(i),gNa(i),mNa,hNa,jNa] = INa(V(i),th,mNa,hNa,jNa);

[isi(i),gsi(i),msi,hsi] = Isi(V(i),th,msi,hsi);

[iK(i),gK(i),mK] = IK(V(i),th,mK);

[iK1(i),gK1(i),ht,tauht] = IK1(V(i));

[iKp(i),gKp(i)] = IKp(V(i));

[ib(i),gb(i)] = Ib(V(i));

I = Id+iNa(i)+isi(i)+iK(i)+iK1(i)+iKp(i)+ib(i);


dV = -I/Cm;

V(i+1) = V(i) + dV*th;

t(i+1) = t(i) + th;

i = i+1;

th = TSmin*dVmax/abs(dV);

if th > TSmax

th = TSmax;

elseif th < TSmin

th = TSmin;

end

end V(i) = []; t(i) = [];

% Le costanti sono quelle usate nel modello di Lio-Rudy del 1991 %

% in particolare Na_i=18 mmol/L (modello del 1991) invece di 10 (modello del 1994) %

% e GNa_=23 mS/uF (modello del 1991) invece di 16 (modello del 1994) %

global K_o K_i Na_i Na_o Ca_i Ca_o; global R T F; global PK PNa_K;

global Cm; global Vrest; global Ggap;

% Geometria della cellula

Length = 100; % um

Radius = 11; % um

Vcell = pi*Radius^2*Length; % uL, volume della cellula

Ageo = 2*pi*Radius^2 + 2*pi*Radius*Length; % cm^2, area della membrana

Acap = 2*Ageo; % cm^2, area della membrana capacitiva

Vmyo = Vcell*.68; % uL, volume del mioplasma

Vmito = Vcell*.26; % uL, volume dei mitocondri

Vsr = Vcell*.06; % uL, volume del reticolo sarcoplasmatico

Vjsr = Vsr*0.08; % uL, volume del RS di giunzione

Vnsr = Vsr*0.92; % uL, volume del RS di rete

% Concentrazioni ioniche standard per cellule ventricolari

K_o = 5.4; % mmol/L


K_i = 145; % mmol/L

Na_o = 140; % mmol/L

Na_i = 10; % mmol/L

Ca_o = 1.8; % mmol/L

Ca_i = 0.12*10^(-3); % mmol/L

% Costanti fisiche

F = 96.5; % Costante di Faraday, coulombs/mmol

R = 8.314; % costante dei gas perfetti, J/K

T = 273+37; % temperatura assoluta, K

% Costanti della cellula

PK = 1.66*10^(-6); % permeabilita del potassio

PNa_K = 0.01833; % rapporto di permeabilita sodio-potassio

PCa_K = 0.9; % rapporto di permeabilita calcio-potassio

Cm = 1; % capacita di membrana, uF/cm^2;

% potenziale di membrana a riposo

Vrest = (R*T/F)*log((K_o + PNa_K*Na_o)/(K_i+PNa_K*Na_i)); % mV

% conduttanza delle giunzioni gap (mS/cm^2) , 50 pS per canale per 39 canali

Ggap = 1000*1000*50*10^(-12)/Ageo;

function [I,gK,minf,taum,m,h] = VClampK(V,t)

% VClampK corrente del posassio tempo-dipendente (IK) sotto voltage clamp

% [I,minf,taum,m,h] = VClampK(V,t)

% I corrente del potassio

% minf variabile di attivazione all’equilibrio

% taum costante di tempo delle barriere m

% m variabile di attivazione

% h variabile di inattivazione

% V potenziale di membrana (mV)

% t tempo (msec)

% Constanti

global R T F K_o K_i Na_o Na_i PNa_K;


GK_ = 0.282*sqrt(K_o/5.4); % mS/uF

EK = (R*T/F)*log((K_o+PNa_K*Na_o)/(K_i+PNa_K*Na_i)); % mV

m0 = 0; numTimeStep = length(V);

for i=1:numTimeStep

% am(i) = 0.0005*exp(0.083*(V(i)+50))/(1+exp(0.057*(V(i)+50)));

% bm(i) = 0.0013*exp(-0.06*(V(i)+20))/(1+exp(-0.04*(V(i)+20)));

am(i) = 7.19*10^(-5)*(V(i)+30)/(1-exp(-0.148*(V(i)+30)));

bm(i) = 1.31*10^(-4)*(V(i)+30)/(-1+exp(0.0687*(V(i)+30)));

minf(i) = am(i)/(am(i)+bm(i));

taum(i) = 1/(am(i)+bm(i));

m(i) = minf(i) - (minf(i)-m0).*exp(-t(i)/taum(i));

h(i) = 1/(1+exp((V(i)-56.26)/32.1));

gK(i) = GK_*m(i)*m(i)*h(i);

I(i) = gK(i)*(V(i)-EK);

end

function [I,gNa,m,h,j,minf,hinf,jinf,taum,tauh,tauj] =

VClampNa(V,t)

% VClampNa Corrente del sodio veloce sotto voltage clamp

% [I,gNa,minf,hinf,jinf,taum,tauh,tauj] = VClampNa(V,t)

% I corrente del sodio

% gNa conduttanza del sodio



% j variabile di inattivazione lenta

% minf variabile di attivazione all’equilibrio

% hinf variabile di inattivazione all’equilibrio

% jinf variabile di inattivazione lenta all’equilibrio

% taum costante di tempo per le barriere m

% tauh costante di tempo per le barriere h


% tauj costante di tempo per le barriere j


% t tempo (msec)

% sotto voltage clamp, a e b sono costanti per ogni V

global R T F Na_o Na_i;

ENa = (R*T/F)*log(Na_o/Na_i); % Potenziale di Nernst per il Na, mV

GNa_ = 16; % mS/uF

m0 = 0; h0 = 1; j0 = 1;

numTimeStep = length(V);

for i=1:numTimeStep

if V(i) >= -40

ah = 0;

aj = 0;

bh = 1/(0.13*(1+exp((V(i)+10.66)/(-11.1))));

bj = 0.3*exp(-2.535*10^(-7)*V(i))/(1+exp(-0.1*(V(i)+32)));

else

ah = 0.135*exp((80+V(i))/(-6.8));

aj = (-1.2714*10^5*exp(0.2444*V(i))-3.474*10^(-5)*exp(-0.04391*V(i)))...

*(V(i)+37.78)/(1+exp(0.311*(V(i)+79.23)));

bh = 3.56*exp(0.079*V(i))+3.1*10^5*exp(0.35*V(i));

bj = 0.1212*exp(-0.01052*V(i))/(1+exp(-0.1378*(V(i)+40.14)));

end

am = 0.32*(V(i)+47.13)/(1-exp(-0.1*(V(i)+47.13)));

bm = 0.08*exp(-V(i)/11);

minf(i) = am/(am+bm);

hinf(i) = ah/(ah+bh);

jinf(i) = aj/(aj+bj);

taum(i) = 1/(am+bm);


tauh(i) = 1/(ah+bh);

tauj(i) = 1/(aj+bj);

m(i) = minf(i) - (minf(i)-m0)*exp(-t(i)/taum(i));

h(i) = hinf(i) - (hinf(i)-h0)*exp(-t(i)/tauh(i));

j(i) = jinf(i) - (jinf(i)-j0)*exp(-t(i)/tauj(i));

gNa(i) = GNa_*m(i)^3*h(i)*j(i);

I(i) = gNa(i)*(V(i)-ENa);

end

function [I,g,m,h,minf,hinf,taum,tauh] = VClampsi(V,t)

% VClampsi Corrente entrante lenta sotto voltage clamp

% [I,g,m,h,minf,hinf,taum,tauh] = Isi(V,t)

% I corrente entrante lenta

% g conduttanza

% minf svariabile di attivazione all’equilibrio

% taum costante di tempo delle barriere m




% t tempo (msec)

%%global Ca_i;

global Ca_i Ca_o; Gsi_ = 0.09;

m0 = 0; h0 = 1;


for i=1:numTimeStep

am(i) = 0.095*exp(-0.01*(V(i)-5))/(1+exp(-0.072*(V(i)-5)));

bm(i) = 0.07*exp(-0.017*(V(i)+44))/(1+exp(0.05*(V(i)+44)));

minf(i) = am(i)/(am(i)+bm(i));

taum(i) = 1/(am(i)+bm(i));

m(i) = minf(i) - (minf(i)-m0).*exp(-t(i)/taum(i));


ah(i) = 0.012*exp(-0.008*(V(i)+28))/(1+exp(0.15*(V(i)+28)));

bh(i) = 0.0065*exp(-0.02*(V(i)+30))/(1+exp(-0.2*(V(i)+30)));

hinf(i) = ah(i)/(ah(i)+bh(i));

tauh(i) = 1/(ah(i)+bh(i));

h(i) = hinf(i) - (hinf(i)-h0).*exp(-t(i)/tauh(i));

g(i) = Gsi_*m(i)*h(i);

%% Esi = 7.7 - 13.0287*log(Ca_i);

Esi = 7.7 - 13.0287*log(Ca_i/Ca_o);

I(i) = g(i)*(V(i)-Esi);

end

function [I,gb] = Ib(V)

% Ib Corrente di fondo

% I = Ib(V)

% I currente

% gb conduttanza


Gb_ = 0.03921; Eb = -59.87;


for i=1:numTimeStep

gb(i) = Gb_;

I(i) = Gb_*(V(i)-Eb);

end

function [I,gK,mm] = IK(V,th,m)

% IK corrente del potassio tempo-dipendente

%

% [I,gK,mm,hh] = IK(V,th,m)

%

% I currente del potassio tempo dipendente attuale

% gK conduttanza attuale

% mm variabile di attivazione aggiornata per il successivo passo


% V potenziale di membrana attuale (mV)

% th passo temporale (msec)

% m valore attuale per la variabile di attivazione m

global R T F K_o K_i Na_o Na_i PNa_K;

GK_ = 0.282*sqrt(K_o/5.4); % mS/uF

EK = (R*T/F)*log((K_o+PNa_K*Na_o)/(K_i+PNa_K*Na_i)); % mV

if V > -100

if ((V+77)<10^(-6)) % singolarita

h = 0.7;

else

h = 2.837*(exp(0.04*(V+77))-1)/((V+77)*exp(0.04*(V+35)));

end

else

h = 1;

end

gK = GK_*m*h; I = gK*(V-EK);

am = 0.0005*exp(0.083*(V+50))/(1+exp(0.057*(V+50))); bm =

0.0013*exp(-0.06*(V+20))/(1+exp(-0.04*(V+20)));

minf = am/(am+bm); taum = 1/(am+bm);

%dm = (minf-m)/taum;

%mm = m + dm*th;

mm = minf - (minf-m)*exp(-th/taum);

function [I,gK1,hinf,tauh] = IK1(V)

% IK1 corrente del potassio tempo-dipendente

%

% [I,gK1,hinf,tauh] = IK1(V)

%



% hinf variabile di attivazione all’equilibrio

% tauh costante di tempo della variabile h


global R T F K_o K_i;

GK1_ = 0.6047*sqrt(K_o/5.4); EK1 = (R*T/F)*log(K_o/K_i);


for i=1:numTimeStep

ah(i) = 1.02/(1+exp(0.2385*(V(i)-EK1-59.215)));

bh(i) = (0.49124*exp(0.08032*(V(i)-EK1+5.476)) + ...

exp(0.06175*(V(i)-EK1-594.31)))/ ...

(1+exp(-0.5143*(V(i)-EK1+4.753)));

hinf(i) = ah(i)/(ah(i)+bh(i));

tauh(i) = 1/(ah(i)+bh(i));

gK1(i) = GK1_*hinf(i);

I(i) = gK1(i)*(V(i)-EK1);

end

function [I,gKp] = IKp(V)

% IKp corrente del potassio di plateau

% I = IKp(V)


% gKp conduttanza


global R T F K_o K_i; GKp_ = 0.0183; EKp = (R*T/F)*log(K_o/K_i);



for i=1:numTimeStep

Kp = 1/(1+exp((7.488-V(i))/5.98));

gKp(i) = GKp_*Kp;

I(i) = gKp(i)*(V(i)-EKp);

end

function [I,gNa,mm,hh,jj] = INa(V,th,m,h,j)

% INa corrente del sodio veloce in cellule ventricolari di mammiferi

%

% [I,gNa,mm,hh,jj] = INa(V,th,m,h,j)

%

% I corrente dle sodio attuale

% gNa conduttanza del sodio attuale

% mm,hh,jj variabili di attivazione aggiornate per il passo successivo



% m,h,j valori attuali di m,h,j

%

global R T F Na_o Na_i;

ENa = (R*T/F)*log(Na_o/Na_i); % potenziale di Nernst per il Na, mV

GNa_ = 16; % mS/cm^2

gNa = GNa_*m^3*h*j; I = gNa*(V-ENa);

if V >= -40

ah = 0;

aj = 0;

bh = 1/(0.13*(1+exp((V+10.66)/(-11.1))));

bj = 0.3*exp(-2.535*10^(-7)*V)/(1+exp(-0.1*(V+32)));

else

ah = 0.135*exp((80+V)/(-6.8));

aj = (-1.2714*10^5*exp(0.2444*V)-3.474*10^(-5)*exp(-0.04391*V))...

*(V+37.78)/(1+exp(0.311*(V+79.23)));

bh = 3.56*exp(0.079*V)+3.1*10^5*exp(0.35*V);

bj = 0.1212*exp(-0.01052*V)/(1+exp(-0.1378*(V+40.14)));


end

am = 0.32*(V+47.13)/(1-exp(-0.1*(V+47.13))); bm = 0.08*exp(-V/11);

minf = am/(am+bm); hinf = ah/(ah+bh); jinf = aj/(aj+bj);

taum = 1/(am+bm); tauh = 1/(ah+bh); tauj = 1/(aj+bj);

%dm = (minf-m)/taum; % metodo di Eulero

%dh = (hinf-h)/tauh;

%dj = (jinf-j)/tauj;

%mm = m + dm*th;

%hh = h + dh*th;

%jj = j + dj*th;

mm = minf - (minf-m)*exp(-th/taum); % metodo ibrido

hh = hinf - (hinf-h)*exp(-th/tauh); jj = jinf -

(jinf-j)*exp(-th/tauj);

function [I,g,mm,hh] = Isi(V,th,m,h)

% Isi_step corrente lenta entrante

%

% [I,g,mm,hh] = Isi(V,th,m,h)

%

% I currente lenta entrante attuale

% g conduttanza attuale

% mm,hh variabili di attivazione aggiornate per il successivo passo



% m,h valori attuali per le variabili m and h

%%global Ca_i;

global Ca_i Ca_o; Gsi_ = 0.09;

%%Esi = 7.7 - 13.0287*log(Ca_i);

Esi = 7.7 - 13.0287*log(Ca_i/Ca_o); g = Gsi_*m*h; I = g*(V-Esi);


am = 0.095*exp(-0.01*(V-5))/(1+exp(-0.072*(V-5))); bm =

0.07*exp(-0.017*(V+44))/(1+exp(0.05*(V+44))); minf = am/(am+bm);

taum = 1/(am+bm);

ah = 0.012*exp(-0.008*(V+28))/(1+exp(0.15*(V+28))); bh =

0.0065*exp(-0.02*(V+30))/(1+exp(-0.2*(V+30))); hinf = ah/(ah+bh);

tauh = 1/(ah+bh);

%dm = (minf-m)/taum;

%dh = (hinf-h)/tauh;

%mm = m + dm*th;

%hh = h + dh*th;

mm = minf - (minf-m)*exp(-th/taum); hh = hinf -

(hinf-h)*exp(-th/tauh);

dCa_i = -10^(-4)*I + 0.07*(10^(-4)-Ca_i); Ca_i = Ca_i + dCa_i*th;

Il grafico che si ottiene mostra chiaramente i risultati richiesti

Figura A.5: Potenziale d’azione ed andamento delle correnti

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Modelli matematici della eccitabilit`a...

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