Modelli analitici per la stima della qualità creditizia nel mercato del credito al consumo
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Modelli analitici per la stima della qualità creditizia nel mercato del
credito al consumo
Firenze20 Novembre 20082 Dicembre 2008 1
Lorenzo QuiriniResponsabile Servizio Sistemi
Decisionali, Scoring e Monitoraggio Consum.it Gruppo MPS
Consum.it
2
Società del Gruppo MPS specializzata nel credito al consumo
Consum.it
3
1999: inizio attività nel credito finalizzato (acquisto auto, mobili, …)2002: carte di credito revolving2003: prestiti personali clienti Gruppo MPS2006: nasce “Integra”, accordo con Unicoop Firenze 2008: 5.7 miliardi di crediti in portafoglio (ottobre)
Lo sviluppo di modelli interni per la valutazione e la gestione del rischio di credito
4
L’elemento base…
… Indice di affidabilità
Indicatore del rispetto degli obblighi contrattuali
5
Indice di affidabilità
Caso 1) presenza del piano di ammortamento (prestiti personali, finalizzati, mutui)
Caso 2) carta di credito (revolving, a saldo)
6
Caso 1)
Gli elementi da considerare:
Piano rimborso contrattuale
Piano rimborso effettivo
Epoca di osservazione
Attualizzazione flussi di cassa
7
Indice di affidabilitàDefinizione
Rh importo aleatorio corrisposto epoca h (mese)
rh rata contrattuale epoca h
i tasso di interesse periodale, per convenzione, quello contrattuale
t periodo di osservazione
t
t
t
1h
hh
1h
hh
i)(1r
i)(1RX
0 evalutazion di epocal' Data
8
Indice di affidabilità
Interpretazione 1
Affidabilità legata al pagamento parziale delle rate
a...i)(1r
i)(1RX
allora)(a arR Se
t
1h
hh
t
1h
hh
t
hh
1
9
Indice di affidabilità
Interpretazione 2
Affidabilità media legata alla probabilità del rispetto degli
impegni contrattuali alle varie epoche
p...)i)(1r
i)(1R(E)E(X
rata di pagamento generico del àProbabilit p
t
1h
hh
t
1h
hh
t
10
Indice di affidabilità
Interpretazione 3
Affidabilità quale indicatore di ritardo dei pagamenti
bt
1h
hh
t
1h
)bh(h
t v...i)(1r
i)(1RX
mesi in ritardo b
periodale sconto di fattorei1
1 v
11
Indice di affidabilità
b
i)(1ri)(1δ.p 1p-1)E(X
h-m
1hh
T-
DDT
1
12
T durata operazionePD probabilità di defaultm1 epoca ultimo versamentob importo finanziatoδ importo recuperato opportunamente attualizzato i tasso di attualizzazione
Interpretazione 4
Affidabilità finale e default
Una relazione tra affidabilità finale e probabilità default
13
DT
m
1hh
p1)E(X
allora
0b
rδ
se
0i Posto
1
Indice di affidabilitàUn esempio… di due posizioni
Istanti tempo 1 2 3 4 5 6
Pagamenti effettivi 0 0 0 300 0 0
Pagamenti contrattuali 100 100 100 100 100 100
Ritardi 100 200 300 100 200 300
Affidabilità epoca 0% 0% 0% 69% 57% 49%
Tasso interesse mensile 5%
Rata 100
Importo Finanziato 500
Istanti tempo 1 2 3 4 5 6
Pagamenti effettivi 0 0 0 300 200 100
Pagamenti contrattuali 100 100 100 100 100 100
Ritardi 100 200 300 100 0 0
Affidabilità epoca 0% 0% 0% 69% 93% 94%
14
Nella costruzione di prodotti finanziari cosa dobbiamo considerare?
15
Alcuni strumenti:
Simulazione Monte-Carlo
Analisi di sensitività
Correlazione tra i ranghi (Copule)
L’esercitazione
16
Indice di affidabilità
Caso 1) presenza del piano di ammortamento (prestiti personali, finalizzati, …)
Caso 2) carta di credito (revolving, a saldo)
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Il processo stocastico di rapporto debitore: un esempio di carta revolving
1.33% tasso interesse periodale
Acquisti
Rimborsi
Spese
addebitate
Saldo ?1639.24 2036.12 1983.40 2034.20
32.29 14.29 0 5.29
80.00 80.00 80.00
Epoca h*=3 osservazione
1589.70 437.20 0.00 100.00
18
Il processo stocastico di rapporto debitore: la carta revolving
x
Acquisti
Rimborsi
Spese
addebitate
Saldo
Def ault
Ah*+2
Bh*+2
CH*+1 CH*+2
tasso interesse
Epoca h* osservazionea0 a1
s0 s1
b1
Uscita in equità
c0 c1
Sh*+1 Sh*+2
Bh*+1
Ah*+1
19
Il processo stocastico di rapporto debitore: carta di credito, cliente, dealer…
...,,2,1
0,0,0,0
)1(
...,,2,1
0,0;0,0;0,0;0,0
)1(
**
1
*
0000
1
000
hhhper
SBCA
BCAxSS
hhper
ssbbccaa
bcaxss
cas
hhhh
hhhhh
hhhh
hhhhh
20
L’affidabilità
Sia h* l’istante di valutazione del rapporto debitore
Si ipotizzano due eventi:
1) Il conto chiude in equità epoca t
2) Il conto chiude in default epoca t
t= h*+1, h*+2, …, ω
21
L’affidabilità
Evento 1: uscita in equità epoca t
In questo caso l’affidabilità è pari a 1, vale a dire il titolare ha adempiuto agli obblighi contrattuali
1)t(X *eh
22
L’affidabilità
Evento 2: uscita in default epoca t
*h,...,h t....,*hh
hth
hth
*h,...,h t,...,*hh
hth
hthtt
*dh )x(A)x(a
)x(B)x(bSK
)t(X0 1
0 1
11
11
23
Una sintesi per l’affidabilità
Essendo pdh* (t) la probabilità che un conto in essere
all’epoca h* esca per default epoca tpeh* (t) la probabilità che un conto in essere
all’epoca h* esca in equità all’epoca t
,...,*ht *eh*eh
,...,*ht *dh)t(*dh*eh*h
)t(pp
))t(X(Eppaff
1
11
24
Stima probabilità di uscita in default e in equità
Il modello
25
Il modello (1)
T1 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita per default T1 ha valori in 1, 2, …, ω-1 T2 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita in equità contrattuale; T2 ha valori in 1, 2, …, ω
Sia phk = Prob(T1 = h, T2 = k)
26
Il modello (2)
Sussistono
phh = 0
1
1 1
1
h k
hkp
Se δ< 1 , la distribuzione non è propria;
1- δ è la probabilità di non osservare il default.
I n questo caso, si defi nisce un valore “fi ttizio” per T1, θ, che
rappresenta l’evento di “no default”.
Si ottiene una distribuzione congiunta:
,1,...,2,1 ,1,...,2,1
1h k
hkp
con prob(T1= θ , T2=k) = pθk
27
Il modello (3)
La stima dei phk dai dati di archivio non è semplice.
Si procede al calcolo delle seguenti grandezze:
lh,1 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,
sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in def ault f ra h-1 e h;
lh,2 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,
sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in def ault né esca in equità f ra h-1 e
h.
28
Il modello (4)
Sussiste
l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1≥ l1,1 ≥ l1,2 ≥ l2,1≥ l2,2 ≥ …≥ lh,1 ≥ lh,2 ≥ …≥ lω-1,1 ≥ lω-1,2 = lω,1 ≥ lω,2= 0
Oss.
1) l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1 è relativa all’intera popolazione di titolari fi nanziati
al tempo -1 e che hanno eff ettuato il primo utilizzo al tempo 0.
2) Vale lω-1,2= lω,1 in quanto il modello assume che al tempo ω non possa
essere osservato il default.
3) lω,2 = 0 per defi nizione di ω.
29
Il modello (5)
I l numero di parametri da stimare per il modello (4) è
2(ω-1).
Sebbene questi non siano suffi cienti a descrivere la distribuzione
congiunta, che possiede un numero di parametri
ω2- ω
tuttavia essi caratterizzano la distribuzione di
T = min(T1, T2)
30
Il modello (6)
Per h = 1, 2, …, ω-1,
,1,...,1 ,1,...,1,
211, ),(hi hhj
ijh phThTprobl
,1,...,1 ,1,...,1
212, ),(hi hj
ijh phThTprobl
Se la carta è a rischio al tempo h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-2, è importante
fornire una stima del periodo nel quale la carta andrà in default
Per h = h*+1, …, ω-1
),(
),()1,1()(
*2
*1
2121
2*,
1,2,1*
hThTprob
hThTprobhThTprob
l
llhp
h
hh
dh
)(),(
),(
),(
),(*
2*
1
21*
2*
1
21 defaultinhTprobhThTprob
hThTprob
hThTprob
hThTprob
31
Il modello (7)
Analogamente, è possibile valutare la probabilità che una carta, a rischio
all’epoca h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-1, chiuda regolarmente.
Per h = h*+1, …, ω
),(
),(),()(
*2
*1
2121
2*,
2,1,* hThTprob
hThTprobhThTprob
l
llhp
h
hheh
= )equitàhT(prob)hT,hT(prob
)hT,hT(prob**
21
21
Oss.
Le probabilità locali pdh*(h*+1), peh*(h*+1) possono essere viste come
intensità di chiusura per default o di chiusura in equità rispettivamente.
32
Il modello (8)
Se il focus è su una delle due cause di elimazione si ottiene:
Lh è la distribuzione (decumulativa) di probabilità del tempo di def ault
defi nita da
...12,1
1,212
2,0
1,1010
l
lLL
l
lLLL
1
2,2
1,121
2,1
1,1 ...... Tprob
l
lLL
l
lLL
h
hhh
33
Il modello (9)
Analogamente, per Mh la f unzione di distribuzione (decumulativa) di
uscità in equità si ottiene:
...11,2
2,212
1,1
2,1010
l
lMM
l
lMMM
0......1,
2,1
1,
2,1
l
lMM
l
lMM
h
hhh
Le precedenti stime sono coerenti in quanto:
hhh MLl 2,
34
L’analisi statistica di sopravvivenza
35
Il focus sull’uscita per solo default
L’analisi di sopravvivenza
36
Il tempo aleatorio di osservazione è pari al minimo delle due seguenti grandezze:
Il tempo di default T1
Il tempo di censura C
L’analisi di sopravvivenza
epoca 1 2 3 4 5 6 7 8
carta 1 ☻uscita per default=3 mese
carta 2 ☺ uscita in equità = 5 mese
carta 3 ☼ uscita per osservazione = 8 mese
37
L’analisi di sopravvivenza
38
Il meccanismo di censura:- uscita in equità- inattività di utilizzo - tempo di osservazione
La funzione di sopravvivenza
39
)()( 1 tTPtS
Mesi da primo utilizzo
Qu
ota
so
pra
vvis
su
ti a
l d
efa
ult
0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lo stimatore Kaplan-Meier
ti i
i
n
dtS 1)(ˆ
40
Essendo ni il numero di carte in vita all’inizio dell’epoca i-madi il numero di default registrati nell’epoca i-ma tra coloro in vita all’inizio di tale periodoi pari ai periodi di osservazione
Lo stimatore Kaplan-Meier
Funzione di sopravvivenza e limiti di confidenza al 95%
0.970
0.975
0.980
0.985
0.990
0.995
1.000
1.005
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mesi di osservazione
Quota s
opravvis
suti al default
Stima K-M
lim inf 95%
lim sup 95%
41
DATI FITTIZI
La formula di Greenwood per la varianza
ti iii
i
)dn(n
d))t(S())t(Sr(av 2
42
La stima intervallare per S(t)
2/1
2
)))(ˆr(a(v)(ˆ
),(
%100)1(
tSztS
fissatottSper
confidenzadiIntervallo
43
L’esercitazione
44
Lo script S+ ( R )#Funzione di sopravvivenzau1<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~1, Esercitazione2)
#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95%plot(u1, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al default")
#Funzione di sopravvivenza per gruppi di scoreu2<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)
#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95% per gruppi di scoreplot(u2, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al
default“,main="Funzione di sopravvivenza per score", lty=3:6)legend(5, 0.3, c(“D", “C", “B", “A"), lty=3:6)
#log-rank testu2<-survdiff(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)
#Test chi-quadrou2
45
Impatto su redditivitàdel default e dell’uscita in equità
46
Il recupero in caso di default
47
t l’epoca in cui si è registrato il defaultRk il pagamento aleatorio effettuato all’epoca k, con k≥ t x il tasso di attualizzazioneSt il saldo all’epoca t
t
tk
)tk(k
t S
)x(RK
1
Una simulazione
48
I parametri:Tasso contrattuale annuo: 0.18ω = 25 meseNumero carte iniziali: 3000Kt variabile uniforme in [0, 0.6]pdh*(h*+1) costante pari a 0.01peh*(h*+1 ) costante pari a 0.04 A0 primo acquisto variabile uniforme in [-2400, 0)Ah spese successive variabili uniformi in [-800, 0) h =1, …, ω-1Bh incassi variabili uniformi in (0, min(800,-Sh-1)) h =1, …, ω-1Ch = -1 h =1, …, ω-1
Tavola di eliminazione e quota di recupero
Epoca Pop Def. Eq. Recupero 0 3000 0 0 1 3000 27 109 0.280 2 2864 41 119 0.286 3 2704 27 97 0.279
... 12 1749 24 64 0.291
... 23 982 13 39 0.214 24 930 11 28 0.279 25 891 0 891
49
Flussi riferiti al gruppo default a 12 mesi
Epoca Default Acquisti Pagamenti Spese 12 0 -25923.17 0.00 -24.00 12 1 -10368.03 7414.09 -24.00 12 2 -8715.78 8230.73 -24.00 12 3 -10449.54 8157.81 -24.00 12 4 -10099.17 8473.60 -24.00 12 5 -10185.19 10257.58 -24.00 12 6 -10068.74 9181.53 -24.00 12 7 -11601.57 9178.37 -24.00 12 8 -9576.05 9342.18 -24.00 12 9 -10175.21 9285.29 -24.00 12 10 -11022.67 9566.73 -24.00 12 11 -8432.70 11150.70 -24.00 12 12 0.00 12720.69 0.00 Affidab. 0.8018 prob. def. 0.0080 tir annuo -0.6861 Perdita -23935.74 euro
50
Flussi riferiti al gruppo titolari usciti in equità
Epoca Default Acquisti Pagamenti Spese 25 0 -2032366.00 0.00 -1660.00 25 1 -620213.50 656230.80 -1551.00 25 2 -579627.00 658261.30 -1432.00 25 3 -521423.70 626124.80 -1335.00 25 4 -501907.10 608484.60 -1237.00 25 5 -471739.10 538017.70 -1167.00 25 6 -448971.70 535698.00 -1075.00 25 7 -394624.70 521953.70 -982.00 25 8 -358213.90 480523.50 -891.00 25 9 -319892.40 467626.80 -804.00 25 10 -294004.90 408461.30 -726.00 25 11 -271436.10 352952.50 -666.00 25 12 -240165.90 334293.70 -602.00 25 13 -209034.70 348410.70 -524.00 25 14 -170471.70 315944.00 -450.00 25 15 -165551.60 272689.80 -392.00 25 16 -134363.20 264786.80 -336.00 25 17 -120863.50 196560.80 -292.00 25 18 -91797.71 212209.70 -241.00 25 19 -78529.86 174250.00 -196.00 25 20 -60319.35 157098.80 -155.00 25 21 -46617.63 133179.70 -115.00 25 22 -24691.77 134009.90 -67.00 25 23 -11167.57 107888.50 -28.00 25 24 0.00 59422.07 0.00 Affidab. 1.0000 tir annuo 18.00 Guadagno 38158.40 euro
51
Flussi riferiti al gruppo titolari attivi al 24° mese
Acquisti Pagamenti Spese 26 0 -1058830.00 0.00 -891.00 26 1 -338978.30 295269.00 -891.00 26 2 -361308.20 304546.50 -891.00 26 3 -355251.80 314413.00 -891.00 26 4 -348015.00 317796.00 -891.00 26 5 -352028.50 319908.70 -891.00 26 6 -356228.10 320588.30 -891.00 26 7 -359548.50 322132.20 -891.00 26 8 -353006.40 330613.30 -891.00 26 9 -341590.00 332472.70 -891.00 26 10 -358746.00 340461.00 -891.00 26 11 -363867.50 336905.70 -891.00 26 12 -349981.30 330053.90 -891.00 26 13 -351234.30 345654.70 -891.00 26 14 -358983.20 341266.60 -891.00 26 15 -363280.60 336756.20 -891.00 26 16 -347761.80 349990.80 -891.00 26 17 -361133.70 347214.60 -891.00 26 18 -354062.50 335289.30 -891.00 26 19 -361459.00 341569.60 -891.00 26 20 -348569.50 340182.10 -891.00 26 21 -364060.00 338950.30 -891.00 26 22 -365704.70 335977.50 -891.00 26 23 -357075.40 341632.50 -891.00 26 24 -355226.90 353684.30 -891.00 26 25 0.00 2208285.00 0.00 Affidab. 1.0000 Tir annuo 0.18 Guadagno 573406.00
52
Esiti economico-finanziari sul portafoglio simulato
I VALORI MEDI DAI DATI DI GRUPPO Prob. default cumulata 0.1497 Affidabilità media 0.9547 INDICATORI SINTETICI DI PORTAFOGLIO Interessi 503445.80 Redditività 0.0821 Tasso nomin. 0.1800 Affid. port. 0.9736
53