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Misure di trasporto elettronico (Effetto Hall)

Modello semplice:

Data un barretta a x b x l = x l, nella quale

scorre una densità di corrente i = j

ortogonale a un campo magnetico B, sui

portatori agisce la forza di Lorentz

F = e vd x B

esistendo quindi un campo elettromotore

EH= vd x B = j/ne x B EH= jB/ne

essendo j = nevd

Si accumulano, quindi, cariche sulle due facce con normale ortogonali a j e B

creando un contro-campo elettrostatico Eel che cresce finché Eel = EH .

l

a

b

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Il segno del campo e della E H dipendono dal segno dei portatori che si accumulano

sulla faccia superiore della barretta (dato il verso di B)

E H = Eel b = j B /ne b = i B b/(n e ) = i B /(n e a)

Da cui si possono ricavare segno e concentrazione, n, dei portatori

n = i B /(e a E H )

Eel genera una d.d.p. E H = Eel b che può essere misurata.

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La densità di corrente j = i / = n e vd = n e EL = n e VL /l

dalla quale si può ricavare la mobilità, , avendo già ricavato n

= i l /( n e VL)

E’ anche da tener presente il fattore di proporzionalità tra E H e B

= E H/B = i /n e a

da cui la misura di B tramite misura di E a i costante (sonda Hall)

Si individua il coefficiente Hall RH = 1/en

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Una descrizione più accurata è più complessa (Bloch – Boltzmann)

Si deve tener conto:

a) della struttura a bande del solido, per calcolare la velocità media di portatori e

la funzione di distribuzione.

c) della frequenza di ciclotrone C , e del

tipo di traiettoria dei portatori

d) . . .

b) del tempo medio di scattering .

Nell’ipotesi, solitamente utilizzata, B molto elevato, C >> 1, RH assume la

forma semplice RH = 1/ne

Il coefficiente Hall assume una forma complessa.

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Metodi di misura della resistività e dell’effetto Hall

La resistenza di un campione si misura velocemente con il metodo volt-

amperometrico (R = V/I ); ma per resistenze molto piccole la resistenza di contatto

tra puntali e campione è paragonabile se non maggiore a quella del campione

stesso.

Quindi si usano quattro punte: due per misurare (o iniettare) la corrente e due tra le

quali misurare la V

Due geometrie: quattro punte in linea e van der Pauw

Il primo preferito per campioni sottili e monocristalli, il secondo per film

strutturati, campioni irregolari, ceramici

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Quattro punte (in linea)

Campione di forma rettangolare (parallelepipedo) con diversi contatti per le varie

misure.

ove VO e I sono la d.d.p. longitudinale e la corrente che scorre ; l è la

distanza tra i contatti di tensione/resistenza e S la sezione trasversale del

campione .

La resistività si calcola a partire da

Si possono misurare e VH

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Per misurare VH (d.d.p. trasversale dovuta alla presenza di B) potrebbero bastare

due contatti ortogonali a B e I. Ma così facendo si misura anche la differenza di

resistenza dovuta al disallineamento dei contatti opposti, anche senza B

Allora si usano due contatti dalla stessa parte, con un potenziometro (R variabile)

tra di loro. Così si azzera la d.d.p. trasversale in assenza di B.

Il potenziometro deve avere una resistenza molto maggiore di quella del

campione, così da non assorbire corrente, ma senza introdurre ulteriore rumore!

Questo metodo è noto come “delle cinque punte”!

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Svantaggi:

- Devono essere note con grande precisione la dimensioni del campione che

deve essere molto regolare;

- il flusso di corrente deve essere omogeneo in tutto il campione ( campioni

lunghi e stretti, circa 4 volte)

- le dimensioni dei contatti dovrebbero essere trascurabili rispetto alle

dimensione del campione.

Tutto ciò non rende questo metodo adatto a piccoli cristalli di forma irregolare.

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Cinque condizioni per poter usare questa geometria

1) Campione piatto e di spessore uniforme, d

2) senza buchi isolati

3) omogeneo e isotropo

4) tutte e quattro i contatti devono essere ai bordi del campione

5) l’area di ogni contatto dovrebbe essere almeno un ordine di grandezza

inferiore all’area del campione

van der Pauw

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la relazione tra resistività e V/I è:

ove R1 = V1/I1 e V1 è la d.d.p. tra C e D quando tra A e B

scorre la corrente I1. mentre R2 = V2/I2 con V2 la d.d.p. tra C

e B quando tra A e D scorre la corrente I2.

f è un fattore geometrico che dipende dal rapporto R1 / R2

In caso di perfetta simmetria dei contatti R1 = R2 e f = 1

Il coefficiente di Hall si può ottenere come

ove I è la corrente tra A e C e VH è la differenza tra la d.d.p. VBD con il campo

magnetico e senza.

C B

D A

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Tuttavia può capitare, nella realtà, che VBD ,anche senza B, sia molto maggiore di

VH a causa del disallineamento dei contatti.

Anche piccoli drift in temperatura possono portare a variazioni di resistenza

comparabili con il segnale Hall .

A questo si può porre rimedio rifacendo la misura con B invertito e mediando.

Oppure scambiando i contatti di corrente con quelli di d.d.p.. . .

Rumore elettrico e pratiche sperimentali

Il segnale Hall è tipicamente dell’ordine dei nV, quindi può essere paragonabile o

anche inferiore al rumore elettrico. E’,quindi, importante utilizzare tecniche

sperimentali per ottimizzare il rapporto segnale/rumore.

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Tipici contributi al rumore, sono: 1) rumore bianco (ampio range di frequenze)

raccolto dai contatti o dai fili; 2) tensione d.c. dovuta al potenziale di contatto tra

fili e campione, o anche a minime differenza di temperatura.

Metodo principale per superare questi effetti è l’uso della modulazione del segnale

e della sua misura con un amplificatore agganciato in fase (lock-in).

In pratica:

1) Check del segnale a.c. : deve essere proporzionale alla corrente e indipendente

dalla frequenza.

2) Nel caso di v.d.P, si misurano R1 e R2 per determinare il fattore geometrico f

3) Si porta a zero la d.d.p. senza B, con il potenziometro

4) A ogni valore del campo B, si mediano i due valori ottenuti invertendo il campo

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Sonda Hall per la misura di B (sia esterno che prodotto dal campione)

Doppia croce, una col campione e una vuota per sottrarre il contributi del

campo magnetico esterno

Per misurare la magnetizzazione di un campione

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Strumentazione

2 criostati con T < 1 K ed elevati campi magnetici

Generatori di segnale ed amplificatore lock-in

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